（一般力学与力学基础专业论文）斜拉索的参数振动与相互作用研究.pdf

硕上学位论文 摘要 斜拉索是斜拉拱桥及斜拉桥等大跨度结构中非常重要的受力构件，它承受了 结构中的绝大部分载荷。由于斜拉索的刚度小，阻尼低，因此在载荷作用下极易 发生各种形式的振动，概括讲主要是以下两大类原因：( 1 ) 风雨激振；( 2 ) 参数 激振。观测表明，在无风或风载荷很小的情况下，个别拉索有时会发生十分剧烈 的横向振动。直观认为这种振动是由风载荷直接激发的，但很难解释拉索无风自 振，或微风发生剧烈振动的事实，因此可以认为拉索的这种振动是由桥面和桥塔 的振动或其它某种原因而激发的。斜拉索参数振动的研究，按照激励形式的不同， 可以分为两大类：第一类是理想激励源，即激励的幅值和频率不受拉索响应的影 响，在振动过程中，按照指定的方式变化；第二类是非理想激励源，即拉索的质 量在振动过程中不能忽略，拉索的振动与桥面的振动是相互耦合的，显然，随着 桥梁跨度的增加，拉索长度的加长，后者比前者更接近真实系统。结合以上事实， 本文主要开展了以下工作： ( 1 ) 利用有限元软件a n s y s 建立了斜拉拱桥的空间有限元模型，在对模型 进行模态分析的基础上，分别采用模态叠加法和直接积分法求得了简谐激励和地 震载荷作用下斜拉拱桥的瞬态时程响应，并以斜拉索与桥面连接处的位移响应作 为拉索的激励输入，即将桥面响应拟合成函数，从而更加真实的模拟拉索参数振 动情况，同时讨论了激励幅值和结构阻尼对拉索参数振动的影响。 ( 2 ) 针对主参数共振情况，采用单索轴向激励模型，利用迦辽金方法和多 尺度方法对斜拉索稳态运动的稳定性进行了较详细的讨论，并得到了拉索振动的 幅频响应和幅幅响应曲线，从中可以看出许多拉索非线性振动的特有现象：多值； 跳跃等等。 ( 3 ) 以斜拉拱桥模型为基础，从中提取出双索质量块参数振动模型，在建 立了双索质量块耦合运动方程基础上，通过变化拉索固有频率以及初始条件的方 法展现了斜拉拱桥在振动过程中索桥耦合以及拉索间的相互影响。 关键词：斜拉拱桥；耦合；参数振动；直接积分法；振型叠加法；稳定性 斜拉索的参数振动与相互作用研究 a b s t r a c t i n c l i n e dc a b l e sa r ev e r yi m p o r t a n tc o m p o n e n t sb o t hi nt h ec a b l e - s t a y e da r c h b r i d g ea n dc a b l e - s t a y e db r i d g e ，b e c a u s et h e ya r eu n d e r t a k i n gt h em o s to fl o a di n t h e s es t r u c t u r e s h o w e v e r , i n c l i n e dc a b l ei se a s yt oa p p e a ra l lk i n d so fv i b r a t i o nd u e t oi t sl o wd a m p i n g i ng e n e r a l ，w i n d - r a i ne x c i t a t i o na n dp a r a m e t r i ce x c i t a t i o na r et h e t w or e a s o n st h a tl e a dt ov i b r a t i o no fc a b l e s o m ep e c u l i a rc a b l e sm a ya p p e a rs t r o n g t r a n s v e r s ev i b r a t i o ni nt h ec a s eo fn ow i n do rs m a l lw i n d p e o p l ea l w a y sa t t r i b u t e t h i sk i n d o fo s c i l l a t i o nt ot h ew i n da n dr a i n b u ti ti sd i f f i c u l tt oe x p l a i nt h ef a c tt h a t c a b l e sw i l lh a v es t r o n gt r a n s v e r s ev i b r a t i o nw h e nt h e r ei so n l ys m a l lw i n d s o ，w e c a nr e g a r dt h a tt h i ss o r to fo s c i l l a t i o ni si n d u c e db yt h ed e c ko rs o m eo t h e ru n k n o w n r e a s o n s i nt h ea n a l y s i so ft h ep a r a m e t r i cv i b r a t i o no ft h ec a b l e s ，w ec a nc l a s s i f yt h e e x c i t a t i o ni n t ot w oc a t e g o r i e s ：o n ei st h ei d e a le x c i t a t i o n ，t h a ti s ，t h ea m p l i t u d ea n d f r e q u e n c yo ft h ee x c i t a t i o na r en o tr e l a t e dt ot h ev i b r a t i o no ft h ec a b l e t h eo t h e ri s t h a tt h eo s c i l l a t i o no ft h ec a b l ew i l la f f e c tt h ed e c k ，t h ev i b r a t i o no ft h ed e c ka n d c a b l ei sc o u p l e d o b v i o u s l y , w i t ht h ei n c r e a s i n gl e n g t ho fi n c l i n e dc a b l e ，t h el a t t e ri s m o r ec l o s et ot h er e a l s y s t e m c o n s i d e r i n gt h e s ef a c t s ，t h i sp a p e rm a i n l yd i s c u s s f o l l o w i n gq u e s t i o n s ： ( 1 ) t h r e ed i m e n s i o n a lf i n i t ee l e m e n tm o d e lo fc a b l e - s t a y e da r c hb r i d g ei sb u i l t b yt a k i n ga d v a n t a g eo fs o f t w a r ea n s y s a f t e rc a l c u l a t i n gt h en a t u r a lf r e q u e n c i e so f t h eg l o b a lm o d e s ，t h eg l o b a lm o t i o n sg e n e r a t e db y ( 1 ) s i n u s o i d a le x c i t a t i o n ( 2 ) a n e a r t h q u a k ea r ea n a l y z e db yu s i n gt h em o d a la n a l y s i sm e t h o do rt h ed i r e c ti n t e g r a t i o n m e t h o dr e s p e c t i v e l y t h el o c a lv i b r a t i o no fs t a y e d - c a b l ei sc a l c u l a t e db yu s i n ga m o d e li nw h i c hi n c l i n e dc a b l ei ss u b j e c t e dt ot i m e v a r y i n gd i s p l a c e m e n ta to n e s u p p o r td u r i n gg l o b a lm o t i o n si no r d e rt os t i m u l a t et h ep a r a m e t r i cv i b r a t i o no f i n c l i n e dc a b l em o r er e a l i s t i c a tt h es a m et i m e t h ee f f e c t sp r o d u c e do nt h e p a r a m e t r i cv i b r a t i o no fc a b l eb yt h ea m p l i t u d eo fe x c i t a t i o na n dd a m p i n ga r e d i s c u s s e d ( 2 ) t h em e t h o do fm u l t i p l es c a l e si sa p p l i e dt ot h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o no f i n c l i n e dc a b l ee x c i t e db ya x i a le x c i t a t i o nt o a n a l y z et h ep r i n c i p l ep a r a m e t r i c r e s o n a n c eo fi n c l i n e dc a b l ea n dt h es t a b i l i t yo ft h es t e a d ys o l u t i o n sa r ea l s o i n v e s t i g a t e di nd e t a i l t h e n ，w ec a nf i n ds o m ei n t e r e s t i n gp h e n o m e n ai n c l u d i n g m u l t i p l ev a l u e sa n dj u m p i n ga n ds oo nw h i c ha r et h ec h a r a c t e r i s t i c so fn o n l i n e a r v i b r a t i o n i i 硕士学位论文 ( 3 ) n o n l i n e a rp a r a m e t r i cv i b r a t i o nm o d e lo fc o u p l e db r i d g ed e c k sa n dt w o c a b l e si sb u i l to nt h eb a s i so ft h em o d e lo fc a b l e s t a y e da r c hb r i d g e a f t e rd e r i v i n g t h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so ft h i ss y s t e m ，w em a i n l yi n v e s t i g a t et h ec o u p l i n g b e t w e e nd e c k sa n dt w oc a b l e sa n dt h ei n f l u e n c ea m o n gc a b l e sb yc h a n g i n gt h e n a t u r a lf r e q u e n c yo fc a b l ea n di n i t i a lc o n d i t i o n s k e yw o r d s ：c a b l e s t a y e d a r c h b r i d g e ；c o u p l i n g ；p a r a m e t r i cv i b r a t i o n ；d i r e c t i n t e g r a t i o nm e t h o d ；m o d e la n a l y s i sm e t h o d ；s t a b i l i t y i i i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其它个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名：王嗜 日期：2 巧年如承徊 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名 导师签名 日期：2 矽多年f 月2 夕日 e t 期：2 小巧年歹月2 夕日 硕士学位论文 1 1 引言 第1 章绪论 拉索作为质量轻、有柔性的结构组件被广泛应用于土木、电气、海洋和空间 工程中。它们可以传递力，承担有效载荷，大跨度的传递信息。桥梁工程中的悬 索桥，斜拉桥；电气工程中的高压输电线；海洋工程中的缆索甚至空间工程中的 卫星拴都可以用索为其简化模型。这些应用要求我们不仅要清楚拉索的静力特 性，还要了解它的动力学行为，因为几乎所有工程实例都有着很高的动力学特征， 尤其是非线性特征。研究这种简单的结构组件在各种载荷下的响应有助于我们理 解实际结构中更为复杂的行为。 由于非线性的存在，结构中会出现很多不能用线性模型解释的非线性现象。 这些现象包括跳跃现象，多值现象，饱和现象，超谐波共振，次谐波共振，组合 共振，自激振动，分叉和混沌。实际上，没有一个物理系统是严格线性的，因此 物理系统的线性模型有它们的限制。一般说来，只有我们把条件加以限制时，比 如当振动的幅值很小，线性模型才是实用的。因此，为了更准确的识别和理解一 般条件下结构的动力学行为，我们非常有必要对索结构的非线性简化模型进行研 究。 斜拉索是斜拉桥等大跨度结构中非常重要的受力构件，它承受了结构中的绝 大部分载荷。由于斜拉索的刚度小，阻尼低，因此在载荷作用下极易发生各种形 式的振动，概括讲主要是以下两大类原因：( 1 ) 风雨激振；( 2 ) 参数激振。其中 参数振动是在外界环境的影响下桥面和桥塔发生振动，当桥面和桥塔的振动频率 与拉索的单模态频率或组合模态频率存在特殊倍数关系时，拉索会发生大幅振 动。 观测表明，在无风或风载荷很小的情况下，个别拉索有时会发生十分剧烈的 横向振动，直观认为这种振动是由风载荷直接激发的，但很难解释拉索无风自振， 或微风发生剧烈振动的事实，因此可以认为拉索的这种振动是由桥面的振动或其 它某种原因而激发的。桥面的振动会引起拉索轴力的不断变化，所以这种振动属 于参数振动。 斜拉索参数振动的研究，按照激励形式的不同，又可以分为两大类：第一类 是理想激励源，即激励的幅值和频率不受拉索响应的影响，在振动过程中，按照 指定的方式变化，认为桥面的质量远大于拉索的质量，忽略拉索振动对桥面的影 响；第二类是非理想激励源，即拉索的质量在振动过程中不能忽略，拉索的振动 斜拉索的参数振动与相互作用研究 与桥面的振动是相互耦合的，桥面会受拉索振动的影响，显然，随着桥梁结构跨 度的增加，拉索长度的加长，后者比前者更接近真实系统。 最近几十年来，我国的拱桥事业得到了快速的发展，到现在建成的( 包括在建 的) 钢管混凝土拱桥已达至u 2 0 0 多座，最大跨径达至1 j 4 6 0 多米，这已经接近了普通拱 桥的跨径极限。另外，随着社会的进步和生产力的发展，桥梁结构不仅仅是为了 跨越河流和障碍物这一基本功能，人们对桥梁美学越来越重视，对造型的美学效 果提出了更高的要求。为了实现拱桥向更大跨度发展和满足更高的美学要求，在 最近几年里出现了一种新的拱桥桥型一斜拉拱桥。 新型结构的产生必将带来些新问题：斜拉索与主拱在整桥中的受力特点如 何；外界环境( 正弦激励，风载，车载，地震) 影响下，斜拉索的非线性振动特 性会发生怎样的变化；多索结构中，拉索与拉索之间是否会产生相互干扰等等一 系列有待研究的问题。 1 2 斜拉拱桥结构体系 1 2 1 整体结构的受力特点 斜拉拱桥是由斜拉桥和拱桥的主要构件组合而成的桥梁，它是一种以拱结构 受力为主，斜拉索受力为辅的组合结构。斜拉拱桥既展示了斜拉桥、拱桥的特点， 又使得两种桥型的优点得到了相互补充一与拱桥相比，斜拉索锚固在拱圈上，为 拱圈提供了多点的弹性支承，可以增加拱桥的跨径，降低拱脚处的弯矩，由于有 斜拉索的存在，提高了桥梁结构的面内稳定性和面外的抗风稳定性：与斜拉桥相 比，由于有拱圈承受部分来自桥面的荷载，可降低斜拉索索力，在塔的另外一侧 可不必设辅助墩，同时也可降低塔的截面积，降低工程造价，由于存在拱圈，缩 短了斜拉索的索长，降低了索垂度的影响，提高了刚度，从而也就提高了桥面横 向的抗风刚度。此外，在桥梁的施工阶段，可利用塔进行缆索吊装法施工，降低 了施工阶段的成本。 1 2 2 斜拉索的作用 ( 1 ) 施工中的作用 在主拱拱肋拼装过程中，部分斜拉索可起到临时扣索作用。 在主拱拱肋合龙后，斜拉索可起到调整拱轴线偏差，控制拱肋线形的作用。 ( 2 ) 运营阶段的作用 斜拉索与主拱共同承受桥面荷载，减小了主拱的水平推力。 斜拉索的存在，也增加了结构的横向稳定性。 1 2 3 主拱的受力特点 2 硕i j 学化论文 拱桥的拱肋在均匀外荷载作用下，通过选择合理的拱轴线，可使拱肋截面以 受压为主。斜拉拱桥的拱肋除了承受均匀吊杆传递过来的荷载，还受到斜拉索的 索力作用，使斜拉拱桥拱肋受力与一般拱桥的受力有所不同。作用在拱肋上的斜 拉索，通过索力可调整拱肋的受力状态，减少拱脚承受的弯矩，加大拱顶处的弯 矩。 1 3 非线性产生的原因及研究方法 1 3 1 非线性产生的原因 在理论上，只要有独立变量的乘积或是独立变量和它的导数的乘积存在于动 方程或是边界条件或是本构方程中，我们就说这是一个非线性系。一些学者曾对 非线性产生的原因作了详细的考察，并根据非线性产生的原因对非线性进行了分 类。在结构力学中非线性通常可以分为以下几类： 1 材料非线性。这种非线性产生的原因是由于材料的非线性的应力应变关 系，比如粘弹性材料( 橡胶) 。 2 几何非线性。几何非线性可能由非线性伸长或大曲率所引起的。如果这 样的支撑弹性体，使得它的端点和( 或) 边缘的运动受到限制，那么伴随着它的 横振动，存在着中面的非线性伸长。这种非线性是被诸多文献被研究最多的一种。 当结构中有中面伸长组件( 比如弦) ，大转角组件( 如简单的钟摆) 或是大位移 组件( 如悬索) 时就有可能出现这种非线性。 3 惯性非线性。这种非线性源于集中质量或分布质量，这样运动方程中存 在速度或者是加速度项。系统的动能是惯性非线性的源泉。具体的例子如弹性摆 ( 一根弦连接一质量块) 。 4 摩擦非线性。阻尼本质上是一个的非线性现象。线性速度阻尼只是一个 理想化的情况。非线性阻尼与惯性非线性相似却不同。它的例子为干摩擦，滞后 阻尼等等。 5 边界条件的非线性。这种情况下非线性出现在边界条件中。比如两个弹 性体接触时，为了满足非侵入条件接触点在接触方向的位移必须小于或等于它们 的初始间隙。 有时人们也根据非线性的强弱将系统分为强非线性系统和弱非线性系统。当 非线性项远远小于线性项时系统就为弱非线性系统，反之则为强非线性系统。弱 非线性系统的非线性项只是线性主部的小扰动。因此对于弱非线性的结构，我们 还是以线性固有频率和振型为出发点。所以我们还是以线性固有频率和振型来描 述结构的动力学行为。 1 3 2 非线性振动的研究方法 3 斜拉索的参数振动j 棚，作用石j f 咒 非线性振动理论的研究目的是基于非线性振动系统的数学模型，在不同参数 和初始条件下，确定系统运动的定性特征和定量规律。非线性振动系统的数学模 型为非线性微分方程。与线性微分方程不同，非线性微分方程没有普遍有效的求 解方法，很少能得到精确解。对于工程中的实际问题的处理方法可以分为实验的 和理论的两种。理论的方法又包括几何法、解析法、近似解析法和数值方法。 几何方法是利用相平面的相轨迹作为对运动过程的直观描述，所以只能定性 分析。它的主要内容是研究奇点的类型和它的稳定性，极限环的存在和稳定性等 等。在常微分方程定性理论的基础上，根据相轨迹的几何性质判断微分方程的解 得性质。利用相平面内的奇点和极限环作为平衡态和孤立周期运动的几何表述。 但随着非线性振动理论的发展几何方法又有了新的研究内容。现代几何法也研究 由数学抽象所得到的人为构建的几何结构，它具有与真实非线性系统类似的性 质。比如可以用分型理论来解释混沌现象。 几何法的缺点是只能适用于二维系统，当它向高维系统进行扩展时就会遇到 困难。并且也只能得到定性的分析，而不能得到定量的振动规律。尽管如此几何 方法仍在非线性振动的研究过程中起着非常重要的作用。几何方法不仅能得到直 观的定性结果，而且可以为其它的研究方法提供理论依据。 解析方法即通过精确地求解非线性微分方程的解析解，得到非线性系统的运 动规律，以及对系统参数和初始条件的依赖关系。能够得到精确解得非线性系统 称为可积系统，反之则称为不可积系统。显然实际中的可积系统很少。 所以更常用的是近似解析法。它主要适用于弱非线性系统( 准线性系统) 。 通常是以线性振动理论中得到的精确解为基础，将非线性作为一种摄动，求出近 似的解析解。故将这种方法叫做摄动法或小参数法。摄动法包括正规摄动法，林 滋泰德旁加莱法，多尺度法，谐波平衡法，平均法和渐进法等。 这些方法各有优缺点。谐波平衡法是概念最明了，使用最简便的近似方法， 而且应用范围不仅局限于弱非线性。正规摄动法在处理自由振动问题时会出现久 期项的问题。针对这些问题林滋泰德庞加莱法作了一些改进。但这些方法具体 计算时小参数的次数越高，计算就越繁琐。平均法就是一种各位有效的方法，直 接求出一次近似解。1 9 2 0 年范德波尔在研究电子管的非线性振荡时，使用了慢 变系数法，形成了平均法的基础。以后经过克雷洛夫、包戈留包夫等人的工作使 平均法更趋完善。但平均法的计算精度不高。平均法利用了两种时间尺度将系统 的振动分为快变和慢变两种过程。为了提高计算精度，1 9 5 7 年斯特罗克最早提 出了多尺度概念，将时间尺度划分的更细，由此发展为2 0 世纪6 0 年代的多尺度 法，经过奈弗等人发展和完善，成为一种十分有效的近似计算方法。它的优点是 不仅能计算周期运动，而且能计算耗散系统的衰减运动：不仅能计算稳态响应， 而且能计算非稳态过程；也可以分析稳态相应的稳定性，描绘非自治系统的全局 4 硕i ：学位论文 运动性态。本文的研究正是基于这种方法。 数值方法通过数值求解非线性微分方程，得到非线性系统在特定的参数和初 始条件下的运动规律。它的基础是常微分方程组的初值问题的数值揭发。数值方 法既可以计算特定非线性系统的各种运动的时间历程，包括平衡、周期运动和非 周期运动等，也可以确定参数对系统运动的影响，以及通过吸引盆及其边界的计 算确定初始条件对系统运动的影响。由于处理非线性振动的数学工具尚不完备， 数值方法起着不可替代的作用。数值方法在非线性振动中的突出作用事发现新现 象，这已成为非线性振动现代发展的突出特点。数值方法可以使一些理论结果定 量化，或揭示有关条件成立时可能发生的情况。此外，数值方法还可以检验理论 结果的正确性。 数值方法的缺点是只能针对特定的参数和条件，而不能得到一般普遍的结 果。它虽然可以发现新现象，但却不能解释。这就需要理论方法了。实验方法也 可以发现一些新问题，对理论做出验证或是推翻。但也不能帮助我们了解系统的 振动机理。 1 4 国内外文献综述 关于索的动力学研究最早可以追溯到l8 世纪，随着偏微分方程理论的发展， e u l e r 、b e r n o u l l i 、a l e m b e r t 和l a g r a n g e 曾对有集中质量的张拉弦和垂度的索做了 很多的研究。1 9 世纪，r o h r s 和r o u t h 分别利用b e r n o u l l i ，p o i s s o n 推导的索的运动 方程得到了不可伸展分布质量索的固有频率的封闭解和近似解。但此后很长一段 时间罩，索的研究被冷落下来，直到2 0 世纪中期美国塔可马吊桥因风载荷引起的 振动而倒塌后，人们才重新注重了对索的研究。在建模理论上，b e r n o u l l i 首先推 导出张紧弦的线性运动方程，i r v i n e 和c a u g h e y 1 】推导了悬索的非线性运动方程， 并研究了考虑悬索的面内面外线性自由振动，给出了面内外振型的解析表达式以 及相应的固有频率，而且通过实验验证了他们的结果，r e g a 2 3 】等人推导了基于 小垂度假设的悬索的非线性动力学方程，ph a g e d o r n 4 西】等学者建立了考虑大幅振 动时拉索的非线性振动方程，p e r k i n s 和m o t e 【7 】得到了基于i n t r i n s i c 坐标系内的 悬索的三维非线性方程。t a k a h a s h i t8 】和s r i n i l 9 】得到了任意垂度悬索的非线性运 动方程。 在索的研究历史上最初人们处理的是单自由度线性模型的自由振动问题，起 初不少学者利用数值方法：有限元，直接积分法来求解悬索的振动问题， t i a v a v a r a sd 0 】，n i 1 q ，c h u c h e e p s s a k u l 和w o n g s a t l2 1 ，s r i n i l t l3 1 ，w u 14 1 ，k o h r o n g t l 5 】 用有限差分法处理过索的问题。d e s a i1 t 6 , 1 7 ，z h a n g 和p e i l t l8 1 ，k a r o u m i t l9 1 ，s o f t 2 0 】， n i t 2 1 1 用有限单元法研究了索的动力学问题。h e n g h o l d 和r u s s w e l l 2 2 】用非线性有限 元法研究过各种边界条件对悬索的影响。r o s e n t h a l 2 3 】用数值方法研究了大曲率松 5 斜拉索的参数振动j 栩_ h ：f l 用研究 _ 1 1 弛索的响应。大垂度索的理论的研究则有些少。解析方法的出现更有助于我们理 解拉索的振动 2 4 实际上，由于拉索应用的不同，发展起了不同的索理论，如 小垂度索理论和大垂度索理论。小垂度拉索指的是垂跨比小于或等于1 8 的索。解 析方法更适合处理小垂度索，而半解析半数值方法是用来处理大垂度索。 b e r n o u l l i 首先推导出张紧弦的线性运动方程，随后r o h r t 2 5 1 和r o u t h 2 6 1 得到 了该方程的解析解，也即得到了非弹性索的横向振动解，接下来的不少学者又研 究了弹性索的线性振动问题 2 7 ，2 8 】，i r v i n 和c a u 曲e y 【1 】虽然考虑的是线性问题， 但他们考虑了弹性索，并介绍了面内固有频率的交叉面现象。i r v i n e t 2 9 1 利用单模 态模型对弹性索的线性振动进行了总结。s i m p s o n 和s o l e r t3 0 】发展了有垂度索的模 型，这是对张拉弦模型的一次飞跃。c a r r i i e r 第一次考虑了有垂度索的非线性问题。 接着很多学者对悬索的非线性自由振动进行了大量的研究，他们包括h a g e d o r n a n ds c h a f e r t 3 l 】和l u o n g o r e g a b e n e d e t t i n i 3 2 - 3 6 】这些研究者利用悬索单自由度 或两自由度模型得出悬索非线性自由振动的解析解。解析法用来处理悬索的面内 面外自由振动问题 3 7 4 0 】，其中面内外模态耦合以及内共振现象被发现，其中由 初始构型引起的平方非线性在悬索发生大幅振动时会引发很多有趣的振动特性。 索的非线性足由两个因素引发的，其一是索在振动过程中的伸长引发运动方 程中的立方非线性，其二是拉索的初始构型引发了运动方程中的平方非线性 4 1 ， 4 2 】，平方非线性与立方非线性的产生使得拉索的振动形态十分丰富【4 3 】。后来 人们开始关注拉索的强迫振动，一些学者【4 4 4 7 】研究了悬索单自由度或两自由 度模型的强迫振动，并且得到了悬索振动的许多有趣现象：非线性条件下的外共 振以及内共振现象。文献【4 8 】研究了平方非线性影响下拉索的内共振和外共振研 究对象是弹性有限垂度的拉索，文章指出垂度引发几何非线性，而几何非线性又 在运动方程中引起平方非线性。a 1 n o u r ya n da l i t 4 9 】研究了无阻尼简谐激励作用 下，弦的面内面外振动，主要集中在面内面外频率相接近时的内共振情况，此方 程的主要对象是张紧弦而非带垂度的索，所以此方程体现出硬弹簧的性质，并且 方程中只有立方非线性。文献 5 0 研究了面内单自由度主共振问题，并利用相同 的模型研究了2 次和3 次超谐波共振，而文献 5 l 】研究了拉索的二分之一，三分之 亚谐波共振，单自由度系统的2 次和3 次超谐波共振受到很多学者的关注 n a y f e ha n dm o o k1 5 2 1 针对带平方和立方非线性的方程对2 次超谐波共振进行了研 究，但是他们得出的近似解并没有考虑立方非线性的影响，同时，他们又研究了 3 次超谐波共振仅仅考虑了立方非线性。b e n e d e t t i n ia n dr e g a 5 3 - 5 6 研究了简谐激 励下带垂度拉索的非线性面内振动，考虑了超谐波激励和亚谐波激励下的悬索 此运动方程中既有平方非线性又有立方非线性。 通过对单自由度模型的研究人们发现了很多有趣的非线性现象。但单自由度 模型是对悬索最大的简化，事实上悬索在振动的时候不可能是单模态的。经常会发 6 硕i ：学化论文 生能量在两个或是几个模态之间交换的过程，而单自由度模型不可能发现这个现 象。r a o y 7 】研究了考虑2 ：1 内共振的悬索在谐波激励下的非线性响应。p e r k i n s 5 8 】研究了考虑2 ：l 内共振的三维振动问题。他首先用g a l e r k i n 法对运动方程进行 摄动，然后用多尺度法进行摄动，得到了一阶近似解。l e e 和p e r k i n s 6 0 】利用三模 态模型研究了同时发生l ：l 内共振和2 ：1 内共振的悬索，发现面内面外模态的强 烈耦合。p a k d e m i r i i 【6 1 l 研究了面内第二阶对称模态与面外模态的1 ：l 内共振，他 们利用直接法与离散法得到了性质相反的幅频响应曲线。赵跃宇等【6 2 6 3 l 讨论了直 接法和离散法，发现离散法在用于非对称结构的非线性求解时可能会导致错误的 结果。b e n e d e t t i n i 等【6 4 ，6 5 】利用多尺度法对悬索的四自由度离散模型进行摄动，讨 论了悬索的非线性响应。r e g a 6 6 】利用四自由度模型研究了悬索的多重内共振问 题，并且证明了离散法有时会导致错误的结果。a r a f t 等【6 7 “8 】的结果表明四阶模 态离散可以达到足够精确的结果。t a k a h a s h i 和m o t e 6 9 - 7 i 】发展了一个复杂的三维模 型，它可以处理任意垂度的弹性索，可以获得索在任意载荷下的稳态封闭解。 以上研究主要集中在拉索的自由振动与强迫振动上，至于参数振动的研究， 始于l9 8 2 年，k o v a c s 7 2 l 第一次用参数激励来说明拉索振动的机理，认为斜拉索产 生大幅振动的原因与参数激励密切相关，p i n t od a 7 3 ，7 4 】等的研究结果表明当桥面 的振动频率与拉索的固有频率的比值接近l 或2 时，桥面的小幅振动将会引起拉索 的大幅振动，p e r k i n 【7 5 1 建立了弹性悬索在一个支座有小的切向谐振下的模型，通 过摄动技术研究指出：支座的激励会引起面外和面内的参数共振，同时会引起面 内对称模态的谐振，t a k a h a s h i 7 每8 2 】及他的合作者们研究了斜拉索的局部参数振动 与斜拉桥之间的关系，但是在他们的研究中拉索的激励是给定的，没有考虑整桥 在环境激励下如风载荷：地震载荷拉索的振动情况，而后者包含了一个频率范围， 前者频率则是单一的。 我国学者亢战和钟力勰83 1 ，陈水生和孙炳楠【8 4 1 ，汪志刚和孙炳楠【8 5 】也建立 了索桥耦合振动模型，对斜拉索的参数振动作了较详细的分析。亢战，钟万勰将 拉索与桥面的耦合振动简化为一个两自由度的非线性振动系统，用精细的时程积 分方法进行了数值分析，得出了当拉索的局部自振频率与桥面的某一低阶频率的 比值落在某一区间时，将会发生严重的参数共振，陈水生和孙炳楠等人对拉索轴 向激励下的面内参数振动作了较详细的分析，利用谐波平衡法得到了产生参数共 振的最小激励幅值，并对瞬态与稳态索的内力变化作了分析。赵跃字，王连华， 蒋丽忠【8 7 西o 】等人对斜拉索的三维动力学性态进行了较为深入的研究，建立了索 梁组合结构的力学模型，同时对拉索面内面外振动的耦合现象进行了详细的分 析。从以上描述可以看出，多数学者都是将拉索或悬索从整体结构中提取出来， 单独分析拉索结构，而没有考虑结构的整体受力特性；同时大多数学者很少甚至 没有对稳态运动的稳定性进行分析，从很大程度上讲，工程中对平衡位置稳定性 7 斜扣索的参数振动j 相h ：作用研究 及运动状态的稳定性的研究具有十分重要的意义，在某些情况下，确定系统在其 平衡位置上是否稳定或研究所出现的运动状态的稳定性，比研究运动状态本身的 正确性还重要。同时以往学者只考虑了一根拉索的振动模型，而忽略了索索之闯 耦合作用的相互影响，斜拉拱桥以及斜拉桥作为一种整体结构，考虑拉索之间的 相互作用是有必要的。 1 5 本文研究的主要内容 ( 1 ) 利用大型有限元软件a n s y s 建立了斜拉拱桥的空间有限元模型，在对 模型进行模态分析的基础上，分别采用模念叠加法和直接积分法研究了简谐激励 和地震载荷作用下斜拉拱桥的整体响应，并以斜拉索与桥面连接处的位移响应作 为拉索的激励输入更加真实的模拟拉索振动情况，并讨论了激励幅值和结构阻尼 对拉索振动的影响。 ( 2 ) 针对主参数共振情况，采用单索轴向激励模型，利用迦辽金法和多尺 度方法对斜拉索稳态运动的稳定性进行了较详细的讨论，并得到了幅频响应与幅 幅响应曲线，从中可以看出许多拉索非线性振动的特有现象：多值；跳跃等等。 ( 3 )以斜拉拱桥模型为基础，从中提取出双索质量块参数振动模型，在建 立了双索质量块耦合运动方程基础上，通过变化拉索固有频率以及初始条件的方 式展现了斜拉拱桥在振动过程中拉索之间是如何相互影响的。 8 硕i ：q - 佗论文 第2 章有限元基本理论与拉索振动分析方法简介 2 1 桥梁结构振动分析有限元方法的一般步骤 对于桥梁结构的振动分析，利用有限元方法解决的基本思路是：首先对结构 进行离散化，将所求结构或求解域分割成许多单元或是小部分；接着在各单元内 部选择适当的插值模式或位移模式；然后计算每个单元以及整个结构的动能和应 变能，由哈密顿原理导出结构的振动方程；最后由直接积分法或模态分解法对结 构振动响应进行求解。 运用有限元方法进行结构振动分析的基本步骤如下。 2 1 1 结构( 求解域) 的离散化 在动力问题的分析中，所求的是四维问题( x ，y ，z ，t ) ，即空间三维和时间一维。 在有限元分析中一般均采用部分离散的方法，只对空间进行离散，相当于用一个 具有有限自由度数目的系统来替代就有无限自由度数目的系统。因此，此步骤与 静力分析相同。 对结构进行离散是有限元法的第一步，需要注意的是，对于单元的形状、尺 寸、数量以及排列时应尽可能的近似模拟原物体或区域，同时又不增加求解时的 工作量。 2 1 2 构造插值函数 有限元的基本思想是分段逼近，在将所求结构或求解域分割成许多单元或是 子域后，对每个子域用简单函数近似求解，最后得到复杂问题的解。可见选择一 个简单函数来近似表示单元的解是十分重要的，这种能够表示单元的解性状的函 数就称为插值函数。目前研究当中应用最为广泛的插值函数形式是多项式，因此 也称为插值多项式。 捅值函数的选择必须满足以下条件： ( 1 ) 在单元范围内场变量必须连续，即各个单元内变化值连续。 ( 2 ) 完备性要求，即所假定的位移模式应当包括刚体位移以及单元内的常应 变。 ( 3 ) 相容性要求，即在单元边界上和结构外部边界上保持连续性，单元的变 形不会引起相邻单元问的断开、重叠等。 由于只是对空间域进行离散，因此单元内位移u ，w 的插值可表示为： 9 斜 趣索的参数振动o j 相作用研究 或写成： 其中： “ 一= u ( x ，y 石f ) = i ( x , y ，z ) u ，t ) i = 1 v ( x ，y z ，t ) = m ( 工，y ，z ) u ( t ) i = 1 w ( x ，y ，z ，t ) = i ( y ，z ) ( t ) i = i 掰 = 【m 8 ) u ( x ，y ，副) 1 v ( x ，y ，z ，f ) ，为单元内任一点位移列阵； w ( x ，j ，z ，f ) j 【】形函数矩阵； 群0 单元节点位移列阵。 2 1 3 形成系统的运动方程 单元的应变分量可由式( 2 1 ) 求得： = 汹) = 【m 。) = ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 其中，为计算单元应变的微分算子矩阵；【b 】为单元应变矩阵，【8 】= 【】。 单元的应力分量为： = 【d = 【d 】【b 】 = 吲p ( 2 4 ) 式中，【d 】为弹性矩阵，【s 】为应力矩阵。 单元的应变能为： = 吾肛) r 咖= 吾m 。) r 时【d 】刚“0 咖 ：善 ”c r ( 曰】r 【二 b 】咖) “。 ：导 “。 r k 。 ”，) 2 5 式中， x 。 为单元刚度矩阵， 必。 = 艿r 【d 】【艿】咖。 单元的动能为： 1 0 硕i ：学位论文 肚j 1 工川矗烨) 咖= 扣砌训n 】咖) = 妒) 7 m ( 2 6 ) 式中， m e 为单元一致质量矩阵， 朋。 = c p ) 【】r n l d v 。 若有体积力 g 。 作用，可由虚功原理得到其等效节点力 r 。 ： = 工【】7 q 。 a v 若有粘性阻尼力 彩 作用，表示为： g ，e ) = - 7 t i ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 其等效节点力 嘭) 为： 彤 = 一i y n 1 1 】 西0 咖= 一( i r t n 7 【】咖) 西。) = _ c 】 西0 ( 2 9 ) 式中，7 为阻尼系数；【c 】为粘性阻尼矩阵， c - - - 工y 【】7 n a v 。 通过利用坐标转换矩阵，可以将局部坐标系下的节点力向量和节点位移转换 到整体坐标系下，接着求出结构总的动能丁，应变能v 以及外力、阻尼力虚功总 和8 w ，分别如下所示： 丁= t e = 吾r 聊。弦 = 万1 f 肌。m ) = 如 7 【m m ( 2 1 0 ) 矿= y 。= 导 “。 7 k 。 “。) = 丐i “) r ( k 。 1 “) = 导 “) r 【k 】 “ ( 2 1 1 ) 万= 万形。= 万r ( 沁 + 僻) ) 。 ：二 ” r ( 莩；尺c + 莩 嘭) ：万 ” r ( 尺) + 吩) ) 2 1 2 ) 式中，【m 】一 所。 ，为结构总质量矩阵，为各单元质量矩阵之和； 【k 】= k 。 ，为结构总刚度矩阵，为各单元刚度矩阵之和。 利用式( 2 7 ) 得： 母 = 莓 嘭 = 一； c 1 = 一( 莓 c 1 ) 西) = 【c 】 矗 式中，【c = z f c ，为结构总阻尼矩阵。 ( 2 1 3 ) 将式( 2 1 3 ) 带入式( 2 1 2 ) 中，有 万矽= 万 “) 7 r ( 2 1 4 ) 式中， 尺) = r ) + 髟) = 尺 一【c 】 西) ( 2 1 5 ) 至此，将式( 2 1 0 ) 、( 2 1 1 ) 和( 2 1 5 ) 带入拉格朗日方程中，得： 【m l l j + k l l u ) = 一 r - c d ( 2 1 6 ) 即： 。 【m ) + 【c m + 【k m = r ) ( 2 1 7 ) 式( 2 1 6 ) 臣1 1 为结构在总体坐标系下的振动方程。 若不考虑结构的阻尼和外荷载的影响，结构成为无阻尼的固有振动，式( 2