（应用数学专业论文）两类拟线性椭圆型方程解的边界行为研究.pdf

摘要 摘要 本文主要讨论了两大类拟线性椭圆方程解的边界行为。在第 一类情况中，主要讨论了在有界光滑区域q 中，其中qcr ， n 1 ，拟线性椭圆方程 d i v ( i v u l m - 2 v u ) + ( m 一1 ) 钆一7 = 0 的解的估计。这里1 ，y 3 ，m 1 在满足边界上u 为零嗣。i 肯况 下，得到关于非负解u 的一阶估计。当，y = 1 时，可得到估计 棚l i m q 州u ( x z ) = 1 ， 其中在7 = o 时，p ( r ) r m l o g ( 1 r ) ，6 ( z ) 指的是由z 到a q 的 距离。而当1 1 ，拟线性椭圆方程 d i v ( i v u l p 。2 v u ) = ( p 一1 ) f ( u ) 的解的估计，其中1 1 w eg e ts o m ef i r s t o r d e re s t i m a t e so fan o n n e g a t i v es o l u t i o n 乱s a t i s f y i n gu = 0 o na q f o r 1 = 1 ，w ef i n dt h ee s t i m a t e 枷l i m q 酬u ( x z ) 万= 1 ， w h e r ep ( 7 ) 7 ml o g ( 1 r ) n e a rr = 0 ，6 ( z ) d e n o t e st h ed i s t a n c e f r o mxt oa q f o r1 1 。n 1a n d fi s as m o o t h ，i n c r e a s i n gf u n c t i o ni n 0 ，co ) w eg e ts o m ee s t i m a t e s o fas o l u t i o nus a t i s f y i n gu ( x ) _ o oa sd ( z ，a q ) _ 0u n d e rd i f f e r e n t c o n d i t i o n so nf k e y w o r d s ：b o u n d a r yb e h a v i o r , q u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n ，s i n g u l a r e q u a t i o n ，l a r g es o l u t i o n 一一 前言 上j 刖 吾 现代科学技术的发展在很大程度上依赖于物理学，化学和生物学的成就 和进展，而这些学科自身的精确化又是它们取得进展的重要保证学科的精确 化往往是通过建立数学模型来实现的，而大量的数学模型可归纳为所谓的反 应扩散方程，有较强的实际背景 近二十多年来反应扩散方程的研究日益受到重视在反应扩散方程的研 究中，一个基本问题是平衡解的性态分析，但由于大量的反应扩散方程是拟线 性的，这便给研究带来了很多实际困难 拟线性椭圆型方程的问题产生于研究非牛顿湍流理论( 见【1 ，2 】) 和非牛顿 渗流( 见【3 】) 其中数量m 是用来描述介质的特征m 2 时媒质称为膨胀流， m 1 和f ( t ) = e 的非线性项，当z _ a q 时，分别成立 和 乱( z ) = ( ，y 6 ) 一i j 2 ( 1 + 紫6 + 。( 6 ) ) ， 仳( z ) = l 。g 萨2 + ( 一1 ) 日( 牙) j + 。( 6 ) 杨老师在文献【2 2 】中讨论了下述问题， d i v ( i v u l m - 2 v u l + q ( x ) u 一，y = 0z r 一2 一 前言 并且证明得知如果q c ( r + ) ，0 7 p 一1 ，且对任意的 0 e ( n p ) ( p i i r l ) ( p 一1 ) ， 都有 ，o o 妒托1 + 【( j 7 v p ) l r l ( p 一1 ) q ( r ) d r 。， ，1 及对r ( 0 ，1 ) ，j 1 ，有q ( r ) = o ( r - 5 ) ，则所讨论问题存在一正整体解。 在本篇论文里，第一章中研究了如下形式的拟线性椭圆型方程 d i v ( i v u l m - 2 v u ) + ( 仇一1 ) u 一1 = 0 在边界为零的情况下非负解的一阶估计。本章利用了杨老师在文献【2 2 】中的 方法推广了文献【8 】的结论 在第二章中考虑了形如 d i v ( i v u l p - 2 v u ) = p 1 ) f ( u ) ，1 1 。以上形式的问题出 现在p - l a p l a c e 系统理论，一般反应扩散方程理论，非牛顿流理论( i l l - 【2 】) ， 非牛顿渗流理论( 【3 】) 及渗流媒介中气体的湍流理论( 【4 】) 中。 当m = 2 时，以下奇异型d i r i c h l e t 问题已经被广泛研究过： a u + u 一7 = 0 在q 中，t 正= 0 在a q 上 ( 1 1 2 ) 其中q 是r 中的有界光滑区域，见参考文献【5 8 】。由文献【5 】中的证明得 知，问题( 1 1 2 ) 存在古典解u 伊( 瓦) ，并且当靠近边界a q 满足 , x p 0 ( x ) ) u ( x ) a p ( 5 ( x ) )( 1 1 3 ) 其中p ( r ) 是问题 + p 一1 = 0 ，p ( o ) = 0 ，( 1 1 4 ) 的( 正) 解，而入，a 为两个适当的正的常数。如果，y 1 , 可y g p ( r ) = ( b r ) 焘 ，其中 b = 高南 ( 1 ) 对于7 1 的情况，文献【6 】将估计( 1 1 5 ) 的结果进行提升，并且证明得到 i u ( z ) 一( b 6 ( z ) ) 布i 罗6 ( z ) ，( 1 1 6 ) 一4 一 第1 章一类奇异型拟线件椭圆力程的解的边界行为 其中p 是合适的常数。而当，y 3 时，文献【7 】得到了比不等式( 1 1 6 ) 更加精确 的结果： i u ( z ) 一( b 6 ( z ) ) 南i ( 6 ( z ) ) 籍( 1 1 7 ) 在文献【8 】中，取p ( ? ) 使其满足厝了菰d 丽t = r ，则对于721 ，问题( 1 1 2 ) 的 解满足不等式i u ( z ) 一p ( 6 ( z ) ) i 3 6 ( x ) ( 1 0 9 击) ，其中 1 2 ，对于1 ，y 3 ，有 l u ( z ) 一( b 6 ( z ) ) 击i p ( 6 ( z ) ) 转 而当1 = 3 时，则有 荆一( 2 荆) 枢剿z ) ) 丽1 受以上所引用文章的启发，本篇文章将继续研究奇异型椭圆方 程( 1 1 1 ) 的解的边界行为，并且将半线性问题的结果扩展到拟线性问题中。 读者可以在文献【8 】中找到当m = 2 时相关的部分结果。本章根据文献【8 】中给 出的方法，将得到以下主要结论。 本章主要分为以下几个部分：第二部分主要针对，y = l 的情况作了研究， 首先分析在径向情况下的边界行为，其次扩展到一般区域；第三部分讨论 了l 7 3 情况下解的渐近行为，并得出相应结论。 1 2 ，y = 1 1 2 1 径向情况 引入函数p = p ( r ) ：( 0 ，1 ) _ r + 使得 丽d 丽t 钆 这里p ( r ) 满足- ( i y i m - 2 ) 7 + ( m 一1 ) p 一1 = 0 ，p ( o ) = 0 可证明得到 l i r a 型生：1 ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) 第l 章一类奇异型拟线他椭圆方程的解的边界行为 首先证明得出对任意小的r ，都有 实际上，( 1 2 3 ) 可以写成形如 o p r d t ，rv m l o g ( 1 打) d v 7 m 2 2 1 2 0 2 9 2 ( 2 1 2 t 2 ) 2r ( 1 一e ) 萼塑塑堑堕 x m1 0 9 ( 1 ( ( 1 一e ) 7 m l o g ( 1 r ) ) ) 由此得知，等式( 1 2 2 ) 成立。 对于n 1 ，接下来将研究以下问题： ( 1 2 3 ) d i v ( i v u m - 2 v u ) + ( m 1 ) u 一1 = 0 在b ( r ) 中；钆= 0 在o b ( r ) 上， 一6 一 第1 章一类奇异型拟线性椭圆方稃的解的边界i ，为 i i 其中b ( r ) 是以原点为圆心半径为r 的球。将其解标注为u ( z ) = z ( r ) ，r = 的 形式，会得到如下问题： ( i z l m - - 2 z # ) 7 + _ n - 1i z 7 m - 2 z t - _ ( m 一1 ) z 一1 = o ，z ，( 0 ) = z ( j r ) = o ( 1 2 4 ) 等式两边同乘以z 7 并且在( 0 ，r ) 进行积分，可以得到 卅m + 当( _ 1 ) z r 字拈咧羽班) ( 1 2 5 ) 等式( 1 2 5 ) 表明当r r 时，i z 7 i m _ i x ) 由( 1 2 4 ) 可以发现 r ( 一1 ) i z 7 i m - 2 z = - - ( 们q 一1 ) z r 一1 名一1 d ， 从而得到z ， 一帑z 由上述最后一个不等式 及( 1 2 4 ) 可以得到 。：( 眵i r a - 2 z , ) 7 + _ n - 1 m - 2 z l - - ( m 一1 ) z - 1 ( i r a - 2 z , ) 7 + 专( m 一1 ) z 从而，( i z ，i m 一2 z ，) ， 0 因 为z 7 ( r ) ( 1 一e ) ( r r ) ( 1 2 7 ) 。7 1 。八1 。，l 1 ， 把等式( 1 2 1 ) 中的7 替换为r r ，则有 f p ( r 一，) f j o 由式子( 1 2 8 ) 和( 1 2 7 ) 可得到 坚：r r v ml o g ( 1 t ) 丽d t ( 1 _ e ) 广帕丽蒜 f ( 1 一e ) p ( r r ) d tf ( 1 一e ) p ( r r ) 2 j o v 。：m 2 = 2 1 0 2 9 2 ( 2 ( 2 1 2 = - = 2 。) 2 2 t 2 ) o 所以，有以下不等式成立： ( 1 2 8 ) z ( r ) ( 1 一e ) p ( r r ) ，v r ( 以，r ) ( 1 2 9 ) 现在研究如下问题： d i v ( i v u i m - 2 v u ) + m 一1 ) 札一1 = 0 在b ( r ，虎) 中；u = 0 在o b ( r ，屈) 上， 其中b ( r ，应) 是以原点为圆心，半径分别为r ，a 的环。将其解表示为孔( z ) = 伽( r ) ，r = j x l 的形式，则可得到 ( 1 w l m - 2 w t ) h g r - _ _ a i 叫甲一2 叫7 + ( m l j1 = o ，叫7 ( 凡) ：叫( 冗) ：o ，( 1 2 1 0 ) 一8 一 第1 章一类奇异型拟线性椭圆方程的解的边界行为 其c r o 是r r o 兄中一个特殊的数字。对方程( 1 2 1 0 ) 在( r ，r o ) _ k 进行积 分，会得到 叫m = 当( _ 1 ) 华批g ( 啪m f l 了( 1 2 11 ) 可知当r _ 兄时，1 w 7 ( 7 ) i m _ 。日业d r 0 ，可以找到 满足r r r o ，使得对任意的r ( r ，如) ，都 有瓦龋 1 + e 对此式在( 尺，r ) 上积分可得到 厂蠢赫 ( 1 嘶叫 ( 1 2 舶) 把等式( 1 2 1 ) 中的r 替换为r r ，则有 i 厂卅坷叁：r 一冗 (，1213j = = 一托i 厶1 0 ， o ml o g o t ) 、。 由式子( 1 2 1 2 ) 和( 1 2 1 3 ) - i d a 得到 厂丽d 丽t钟叫广固志 o 1 州r 一固 班 m。l。o。g。(。1。t) w ( r ) 0 ，0sr 1 ，而让为问题 ( 1 u 7 i m 一2 u 7 ) 7 + ( m 一1 ) u 一1 = 0 ，0 7 r ，u 7 ( o ) = u ( r ) = 0 的解，则在【o ，兄) 中，z ( r ) 0 从而引理得证。类似地可证明： 引理1 2 2 若w 为问题 ( i 叫7 i m 一2 w 7 ) 7 + ( 仇一1 ) w 一1 0 ，r r r o ，w ( r ) = w 7 ( 凰) = 0 的解，而u 为问题 ( i u 7 i m 一2 让7 ) 7 + ( m 一1 ) u 一1 = 0 ，r 乱( r ) 成立。 在接下来的证明中定义z 为q 中的一点，6 ( z ) 表示从z 到a q 的距离。 定理1 2 3 问题( 1 2 1 5 ) 的解u ( z ) 满足：l i m z 。8 q 端= 1 ，其中p ( r ) 是由式 第l 章一类奇异型拟线性椭圆方程的解的边界行为 子( 1 2 1 ) 中定义的函数。 证明令q 是有光滑边界的有界区域，且尸a q 考虑包含在q 中的 球域b = b ( r ) 且与a q 相切于点p ，当然也要进一步考虑包含q 的环域a = a ( n ，屈) 使其内部边界与a q 相切于点p 假设球域b r 的半径r 与环域4 ( r ，屈) 的内部半径相等。如果z ，u ，w 分别是问题( 1 2 1 5 ) 在b ，q 和4 中的解，则可以 得到在q 中，z ( x ) u ( z ) 叫( z ) 利用不等式( 1 2 9 ) 和( 1 2 1 4 ) 就会得到 ( 1 一e ) p ( 6 ( z ) ) u ( x ) ( 1 + e 功( 6 ( z ) ) 由于是任意的，从而定理成立。 1 31 l 的条件下，将研究以下问题： d i v ( i v u l m - 2 v u ) + ( m 一1 ) u 一叮= 0 在q 中；u = 0 在a q 上 ( 1 3 1 ) 如果q 是半径为刷拘球且定义z ( r ) 为问题( 1 3 1 ) 相应的解，则有 ( i z l m - 2 z t ) 7 + n - _ 1 l z 7 i m - 2 z t + ( m 1 ) z - 7 - - - - _ o ，z ，( 0 ) = z ( 兄) = o ( 1 3 2 ) 问题( i 3 2 ) 存在递减的正解。在方程( 1 3 2 ) 两端同乘p a m z 并且在( o ，r ) 上积 分后，可得 ( m - 1 ) l 胛i + m ( _ 1 ) z 字拈鲁昔i - y _ z i - ? ( 0 ) ) ( 3 ) 等式( 1 3 3 ) 意味着当r _ r 时，i z l m _ 。而且，i 刍l a z e r - m c k e n n a 【9 ，引 理2 1 可矢 1 l i m r - - , r 与葺挈：o ，从而由方程( 1 - 3 3 ) 可推出 ，l 。i r a rz 。 一f - - - ：m ，y = 石m 1 r rz l 一，y1 一l ( 1 3 4 ) 第1 章 类奇异型拟线性椭网方程的解的边界行为 利用洛比达法则和等式( 1 3 4 ) 可得 鲰喾：姆r 业m 业z 等( ) 掣掣( 鲁) 去屯 r r代一r ，_ 、 7 一 仇、一y 一1 7” ( 1 3 5 ) 从而可发现著名的表达式 z 掣= b ( r r ) ( 1 + d ( 1 ) ) ( 1 3 6 ) 现在令q 为环域b ( r ，詹) 。如果令叫( r ) 为所讨论问题的相应的解，则有 ( 1 w l m - 2 w ) 7 + g r - 11 叫7 m - 2 w + ( m 一1 ) w - 1 - - o ，似7 ( 凰) = 伽( r ) = o ，( 1 3 7 ) 其中凰满足兄 r o 詹因为函数叫( r ) 在( 兄，风) 是递增的，在( nr o ) 中积分 可得到 刎m = 熹( _ 1 ) r 0 1 w t m d t + m l l - - - ! - ，y ( 硼卜1 ( ) 一弋州( 1 3 8 ) 这就表示当r _ r 时，w 7r ) _ o o 。而且i 由l a z e r - m c k e n n a 9 ，引理2 1 】可 9 ；h l i m r - - r 斧：o ，利用这个结果和( 1 3 8 ) 可推出 l i m 也竺：l r - rw 1 - 1 1 利用洛比达法则和( 1 3 9 ) 又可得到 ( 1 3 9 ) r l - t m r 等：鲤r 掣掣伽勘业m 业( 鲁) 去地 l i m 竺：l i m 工尘兰二土伽等叫， 坐竺二坐f 旦1 去：乩， r 一“ r _m 一 、1 1 7 ” ( 1 3 1 0 ) 从而得到表达式 丝与= b ( r r ) ( 1 + d ( 1 ) ) (1311)w m = 儿l r 一凡) il + d l1 ) ) f1 1 3 2 一般区域 假设q 是有界光滑的区域，并且满足内外球一致条件，讨论问题( 1 3 1 ) 第1 章一类奇异型拟线性椭圆方程的解的边界行为 定理1 3 1 问题( 3 1 ) 的解u ( z ) 满足 l i m 兰盟葡一：1 z _ a n ( b 6 ( z ) ) 彳虱鬲：巧 证明利用相同的比较原则，同定理2 i 的证明。 一1 3 一 第2 章一类拟线性椭圆型方程大解的边界行为 2 1 引言 本章研究的是以下形式的拟线性问题解的边界行为： d i v ( i v u l p - 2 v u ) = 一1 ) f ( u ) ，1 p 1 ，且当t _ o 。时，有o ( 1 ) _ 0 。由其证明得知，此条件等同于以下不 等式： c t ( 1 0 9f ) 扣6 ( f ( ) ) 0 ，0 e 口一1 在此假设下，对，附加另外的条件，则有 删1 + 意南( - 1 ) k 6 - e s - 蹦2 】锄( 水删1 + 意南( _ 1 ) 刚托冲叫2 】， 其中满足层。) 面币d t 丽2s ，6 = j ( z ) 表示从点z 到a q 的距离，k = k ( z ) 是表 面 z q ：5 ( x ) = c o n s t a n t 的平均曲率。 受文献 1 9 1 及【2 0 】的启发，本章继续研究问题( 2 1 1 ) 的大解的渐近行为， 并且将半线性方程的结果推广到拟线性方程中。对于p = 2 的情况，读者可以 在文献 1 9 1 及【2 0 】中找到相应结果。另外，本章内容需要以下条件： ( f - 2 ) 对于充分大的t ，f ( t ) t p 单调递增。 ( f 3 ) 令g ( t ) = 后( f ( s ) ) 卜；d s 存在o ，b ，其中1 o b ，使得对充分大 的t ，有 a f f f c c 7sb f f ” ( f 一3 ) 。l i m a 。1 ，5 。0s u p 7 ( 口6 ) 7 ( 6 ) o o ( f 4 ) c t ( 1 0 9t ) n 一8 ( f ( ) ) ；1 0 ，0 c 2 ，则有咖。( z ) 0 定义l = 咖。( x o ) 一。，( x o ) ，z = 多。( z + 8 0 ) 一l ，其e e e o 0 是任意小的正数使得。：( z o + o ) 0 它满足对于z x o 有( i z 7 i p - 2 2 7 ) 7 = ( p 一1 ) ，( 。：( z + e o ) ) ( p 一1 ) f ( z ) ，z ( o ) o o 及z ( x o ) 九。( z o ) 由条件( f 一1 ) 知，z 一。的微分在( o ，z o ) 中不存在正的最大值， 从而z ( x ) c 。( z ) 因为此不等式对任意的 e o 都成立，于是可以得到 在( 0 ，z o ) 中 c 1x ) 九2 ( z ) 。1 ( x ) + l ( 2 2 1 ) 令c 为任一正数。由定义 一c 俪而= 俪隔， 从而当z _ 0 时， 反，而d s ， 1 = z z 两c - 删，新志 因此， 俐刊州1 + d ( 1 ) ) 参z 霉志) ， ( 2 2 2 ) 第2 章类拟线性椭圆犁方程大解的边界行为 舯 心c 1 + o ( 1 ) ) ( c 4 ，z z 志 zs 孟z + ( + ) 焘 因为7 i 妒7 ( 童) i 由此不等式 和( 2 2 2 ) 得到 。- - - i 咖( 矿圳i l 州l ( 1 + d ( 1 ) ) 嘉：z 志刮n ( 2 2 3 ) 观察( 2 2 1 ) 知，存在一个常数l 便得c 一l 所以得剑 z 。志z 。志= 而南 因此， 咖) ( 1 + d ( 1 ) ) ( c 4 ) ( 删) l p f 币南z 志 此引理由( 2 2 - 3 ) 和( f 一2 ) 可得证。 2 3 关于径向对称解的估计 本节主要考虑在环域a ( p ，r ) = z ：p r p 在等式两端同时乘以叫，然后 积分，则可得到 ) 1 p = p f ( 训1 + 揣+ 帮) - ( 2 3 8 ) 同之前的证明，可以得n 1 w 7 ( 7 ) l 在p 的某个右邻域是递减的。因此，给定s 0 ，可以选择r o j d 充分接近p ，使得在( j 口，绚) 中， 伯半d s p l o g7 r o i 竹i 吐 因此，当r _ p 时，( 2 3 8 ) 等同于 i w ，| p = p f ( w ) ( 1 + d ( 1 ) ) ( 2 3 9 ) 剩下的部分和( i ) 中的讨论是一致的。 定义 u = 石；2 三 j 刍瓦( 1 + 。( ，) ) r r ( u ( s ) ) d s ， 白= 尚( 1 + 0 ( 1 ) ) 小删d s ( 2 3 1 0 ) 则由引理2 3 1 可得 v ( r ) = 咖( 6 一u ) = ( j ) 一7 ( 6 7 ) u ，其中6 = r r 6 7 j u ， 伽( r ) = 妒( d + 西) = ( 6 ) + ( 多) 白，其中6 = r p 伊s 占+ 白 ( 2 3 i i ) 上述定义是研究径向大解边界估计的关键。根据文献【1 9 ，3 0 1 0 8 提供的方 法，可得到以下主要结论。 一2 0 第2 章一类拟线性椭圆型方稃大解的边界仃为 定理2 3 2 令v ，w 是问题( 1 1 ) 在a ( p ，r ) 中的解，同之前的引理，假 设( t ) 是【o ，o o ) 中的光滑递增函数且满足条件( f 一1 ) 及( f 一2 ) ，则以下表 述成立。 ( i ) 定义6 = r r ，令o ( 1 ) 为一无穷小量，即在j o 时趋向于零。则有 ，1 ( 6 ) ur ) 咖( 6 ) 1 - 4 - ( 1 + 。( 1 ) i _ 砉乇= _ i 考琵卅 ( 2 3 1 2 ) ( i i ) 定义j = r p ，o ( 1 ) 为一无穷小量，即在6 _ o 时趋向于零。如 果( f 一3 ) 成立，则存在常数c 1 使得 邢) 刈啦螂) + c 1 黜删n ( 2 3 1 3 ) 注意到o r o ，v ( r ) 是递增的。则m ( f 一2 ) 及( 3 1 7 ) 得到 ( 2 3 1 8 ) ，而 l一、l，如一 一 一u 1 一， p f 一q 一 r r 一面竺三亍彦画( 1 + 。( 1 ) ) r r ( u ( s ) ) d s ( 2 3 2 4 ) 由于f 是递增的而咖递减，则由( 2 3 2 4 ) 和( 2 3 4 ) 可推出 一咖7 ( u ) = p f ( 妒( “，) ) ) 1 p ( p f ( ) ) 1 p 将上面的估计插入( 2 3 2 3 ) 嗍u u ( r ) 妒( 尺一r ) + c _ 墨专； 兰三；苦! rr ( u ( s ) ) d s ( 2 3 2 5 ) 一2 3 第2 章一一类拟线性椭圆型疗程大解的边界 j 为 定义g 为合适的正常数。 根据( 2 3 1 ) 及( f 一4 ) 的左边，可以得到 即) s 蒜 q 茄 ( 2 3 舶) 根据( 2 3 2 5 ) ，( 2 3 2 6 ) 及( f 一4 ) 的右边，发现当r 靠2 i r 时 及 小( 脚) + 墨岬o g ( 州眯r 研杀d s u ( r ) ( 1 一石丽1 ) ( 尺一r ) ， 所以 小) 纠( 1 一万与) ( r 叫】 ( 2 3 2 8 ) 由( 2 1 2 ) 及( f - 4 ) 的左边得知 l 。g ( s ) c s p l 屈( 三) 出 ( 2 3 2 9 ) 从而( 2 3 2 8 ) 意味着 1 0 9 似州 g p x p ( 乒鳊) 忐 将上述估计插入( 2 3 2 6 ) 可得 v ( r ) ( 冗一r ) + c 0 ) ( 兄一r ) 1 一叮u ( r ) ， 第2 章类拟线性椭圆型方程大解的边界行为 其e e c ( p )：瓯痞( 笋鲁) 忐，仃= 忐，由此可以发现 u ( 7 ) 【1 一c ( p ) ( 尺一r ) 1 一仃】( 冗一r ) 现在证明( 2 3 1 6 ) 由( 2 3 5 ) 得 u ( r ) = ( r j d ) + 7 ( 白i ；兰r _ 亏 ；万( 1 + 。( 1 ) ) z r ( u ( s ) ) d s ， ( 2 3 3 。) 舯州而n - 1 p”d ( 1 ) ) 厂r ( v ( s ) ) d s r 一 卅刊+ 南似叫) 小小) ) d s n n ( 2 3 2 6 ) ，上述估计可推出当r 靠近p 时 小) 卅刊一鲁( 刑( r 刊) ) 1 加丽庐1 ( 卜办 另一方面，由( 2 3 5 ) 可知，当7 靠近p 时， 砂( u ( r ) ) 庐( 2 ( r j d ) ) 由f 2 1 2 ) 及( f 4 ) 的左边可得 南 岛p l p s 赤 ( 2 3 3 1 ) ( 2 3 3 2 ) ( 2 3 3 3 ) 由上述估计及( 2 3 3 2 ) 可知 面1 丽 c 3 p v , ( 2 ( r j 口) ) 忐 ( 2 3 3 4 ) 一2 5 第2 章一类拟线性椭圆型方程大解的边界行为 根据( f - 4 ) 的右边及( 2 3 2 9 ) 可以得到 ( f ( ( r 一圳1 p a ( r 一枷。酬r 一圳a + 竹刊一酬r 刊2 q ( 击) 惫( r 刊赫( r 刊 若盯= 端且有合适的m ，则不等式( 2 3 1 6 ) 成立。因为 2 e 孑五 2 e ( 2 a 一1 ) ( o t 一1 ) 2 一e 2 所以( 2 3 1 5 ) 及( 2 3 1 6 ) 均在a = i 2 q e 一( 2 1 a ) 。- 一1 。) ：。l ! g 。- 情况下成立。 定理得证。 2 4 一般区域中的情况 本小节讨论在有着光滑边界a q 的有界区域qcr 中的情况。为了接下 来的证明，要求如果边界a q 属于c 4 ，那么它必须是光滑的。而且，如果q 是 光滑的，其边界a q 则满足内外球一致条件。利用定理3 可以推导处任意光滑 区域中大解的估计。证明过程利用了弱比较原理。 定理2 4 1 令qcr ，n 2 为一含有光滑边界a q 的有界区域。且。，( ) 为 o ，o o ) 上的光滑递增函数，f ( o ) = 0 ，并满足( f 一1 ) 和( f 一2 ) 如果“( z ) 是 问题( 2 1 1 ) 的解，则下面式子成立。 ( i ) 如果厂满足条件( f 一3 ) ，则存在常数c 。使得问题( 2 1 1 ) 的所有解u 满足 端_ l l 各6 ( 2 4 1 ) ( i i ) 如果，满足( f 一3 ) ，则存在常数c 使得 寿等端邯硝 仁4 p 一1 砂( 6 ) 。( 6 ( z ) ) 一 、一7 2 6 第2 章类拟线性椭圆型方程大解的边界彳j ：为 成立。 ( i i i ) 如果，满足条件( f 一4 ) ，则对某些仃( 0 ，1 ) ，当r 接近a q 时，我们有 妒( j ) 【1 一c ( p ) 6 1 一盯】 d i a mq 显而易见，qca ( p ，兄) 若z ( z ) 是问题( 2 1 1 ) 在a ( p ，兄) 中的正 径向解，则由比较原理得 z ( x ) 钆( z ) 然后根据定理2 3 2 ，定理得证。 参考文献 参考文献 【1 】g a s t r i t a ，g m a r r u c c i ，p r i n c i p l e so fn o n n e w t o n i a nf l u i dm e c h a n i c s m c g r a w h i l l ，19 7 4 【2 】l k m a r t i n s o n ，k b p a v l o v , u n s t e a d ys h e a r f l o w so fac o n d u c t i n gf l u i d w i t har h e o l o g i c a lp o w e r l a w , m a g n i t n a y ag i d r o d i n a m i k a2 ( 1 9 71 ) ，5 0 5 8 【3 】a s k a l a s h n i k o v , o nan o n l i n e a re q u a t i o na p p e a r i n gi nt h et h e o r yo f n o n - s t a t i o n a r yf i l t r a t i o n ，t m d s e m i g p e t r o v s k i ( 19 7 8 ) ( i nr u s s i a n ) 【4 】j r e s t e b a n ，j l v a z q u e z ，o nt h ee q u a t i o no ft u r b u l e n tf i l t e r a t i o ni n o n e d i m e n s i o n a lp o r o u sm e d i a ，n o n l i n e a ra n a l 1 0 ( 1 9 8 2 ) ，1 3 0 3 1 3 2 5 【5 】g r a n d a l l ，m g ，r a b i n o w i t z ，p h ，t a r t a r , l o nad i r i c h l e tp r o b l e mw i t ha s i n g u l a rn o n l i n e a r i t y c o m m p a r t d i f f e q ，2 ( 1 9 7 7 ) ，1 9 3 2 2 2 6 1b e r h a n u ，s ，g l a d i a l i ，e ，