（应用数学专业论文）激波层厚度的计算.pdf

原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究：e 作及取得的研究成 果。除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得瘦墓直本堂及其他教育机构的学位或证书而使f l j 过的材料。与我一同1 ：作的同 志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明井表示谢意。 学位论文作者签名： 日期： 宴受起 兰盟：! ：生 指导教师签名：! 互堡玉兰il 1 日期：五盟3161 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使t e l j 学位论文的规定，即：内蒙古人学有权将 学位论文的全部内容或部分保留弗向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件平| i 磁盘，允 许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文。 为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属于内蒙古人学。作者今后 使用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期间导师的同意：若_ e j 于发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表。 学位论文作者签名：牲 e l期：垫堡2 ：! 生 指导教师签名：1 五蔓立笙( 】 内蒙古大学硕士学位论文 激波层厚度的计算 摘要 激波是超音速流动中经常遇到的一种基本现象由于气体粘性和热传导性 的存在，激波的厚度是不可忽略的因此，求激波厚度成为了一个重要的课题 本文采用了将分布函数展开成s o n i n e 多项式的级数形式，而后将展开式代入 到b o l t z m a n n 方程中，并在速度空间帮上积分，即可得到关于展开式系数的一 系列等式通过确定展开式中零次项系数，即可依次将各项系数求解出来在 第三章中，我们将展开理论应用到正激波中通过计算表明，本文采用的方法 较好的模拟了激波结构在波前马赫数m = 2 时，激波厚度是平均自由程的5 倍 关键词：正激波，b o l t z m a n n 方程，s o n i n e 多项式 a b s t r a c t c o m p u t a ，i i o nf o r t h et h i c k n e s so fs h o c k a b s t r a c t t h es h o c kw a v ei sab a s i cp h e n o m e n ai ns u p e r s o n i cf l o w a st h e v i s c o s i t ya n dt h e r m a l c o n d u c t i o no ff l u i d se x i s t ，t h et h i c k n e s so fs h o c kw a v em u s tb en o ti g n o r e d h o wt os o l v e t h et h i c k n e s so f s h o c kw a v ei sa ni m p o r t a n ts u b j e c t i nt h i sp a p e r a nm e t h o dd i f f e r e n tf r o m o t h e r si si n t r o d u c e dw h i c ht h ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o ni sw r i t t e ni nt h es o n i n ep o l y n o m i a l s e r i e s ，a n dt h e ns u b s t i t u t e di n t ot h eb o l t z m a n ne q u a t i o nf o rt i m e l yu n i f o r mg a s a f t e rt h e b o l t z m a n ne q u a t i o ni si n t e g r a t e do v e rt h es p e e ds p a c er 3 w ef i n das e r m so fe q u a t i o n s a b o u tc o e f f i c i e n k so fe x p a n s i o n w h e ut h ez e r o t hc o e f f i c i e n tw a sd e f i n e d o t h e r sc a nb e e a s i l yo b t a i n e d i nt h i r dc h a p t e r ，t h et h e o r yo fe x p a n s i o ni si n t r o d u c e dt os h o c kw a v e t h e c o m p u t a t i o ni n d i c a t e st h a tw ec a ng e tag o o dr e s u l t w h e nt h eu p s t r e a mr o a c hn u m b e ri s 2 t h et h i c k n e s so ft h en o r m a ls h o c kw a v ei sa b o u t5p r o p o r t i o n a lt ot h eu p s t r e a mm e a n f r e ep a t h k e y w o r d s ：n o r m a ls h o c kw a v e ，b o l t z m a n ne q u a t i o n ，s o n i n ep o l y n o m i a l 2 内蒙古大学硕士学位论文 第一章引言 激波理论的研究最早可以追溯到1 8 5 0 年当时r i e m a n 考虑如下一个气体动力学 问题：用一片薄膜格开管道中两部分静止气体假定左边气体的压强比右边的压强大当 薄膜被突然抽掉时，左边的气体由于压强大的原因会压迫右边的气体，从而产生一个具有 压缩性的间断波此波即为激波激波是超音速流动中经常遇到的一种基本现象例如，子 弹在空气中飞行、飞机作超音速飞行等都可以引起空气的压缩而形成激波我们可以这样 概括激波的产生：当气体以超音速绕物体流动时，在物体前面会形成一道突跃的压缩波 气流通过这道波时，其压强、密度、温度突跃地上升一个数值，流速或马赫数m 相应地下 降一个数值，即气流受到突然的压缩激波是一种强扰动波在气流通过强扰动波时，该 过程已不再是等熵过程，而是一个有效能增加、熵量减少的过程，由于激波是气体的一种 瞬时压缩现象，因此其过程是不可逆的 激波有几种不同类型按其形状，可以将激波分成以下几种： 正激波：气流方向与波面垂直： 斜激波：气流方向与波面不垂直，见图1 1 ： 曲线激波：波面为曲线形例如，当超声速气流流过钝头物体时，在物体前面往 往产生脱体激波这种激波就是曲线激波，见图1 2 图1 1 ：斜激波 在早期的激波研究工作中，将激波看作是气体参数的突跃面，即激波是没有厚度的 实际上并不是这样地因为气体通过激波时，其参数的变化率不可能无穷大，从而我们可 以说激波是有厚度的t a y l o r 等人已经解释了如果考虑到流体的粘性与热传导性时，激波 不再是间断的，而是具有有限厚度根据理论计算和实测表明，在一般情况下，激波的厚 3 引言 图1 2 ：曲线激波 度大约是2 5 1 0 “e r r s 左右这个数量和气体分子的平均自由程同属于一个量级自发 现这个问题至今，科学工作者们已发现、发展、完善了各种理论我们可以将这些理论大 致分为两大类：宏观理论和微观理论 b e c k e r 3 1 从简单气体的一维稳定激波中推导出激波厚度的计算公式他发现对弱激 波来说，激波厚度大约位于平均自由程量级上然而对于强激波来说，激波厚度大约分子 间距的量级上不幸的是，b e c k e r 忽略了粘性系数和熟传导系数随温度和压强变化的性 质，而是将气体的粘性系数和热传导系数视作常数对于强激波来说，气体的温度变化极 大，气体的粘性系数、热传导系数已不再保持为常数因此这样做将会导致激波的厚度比 实际厚度要小之后t h o m a s 4 】完善了b e c k e r 的理论他假定气体的粘性系数和热传 导系数是温度t 的函数( 即考虑b u r n e t t 方程) 通过t h o m a s 理论，我们可以计算出马 赫数为2 时激波厚度大约为平均自由程的4 倍，在马赫数无穷大时，激波厚度趋向于平 均自由程的1 7 4 倍 t h o m a s 4 在其理论中的a z ( 其中a 是气体分子的平均自由程，a x 是气体分布 函数的变化距离) 并不是小量由于在寻找b u r n e t t 项时，采用了e n s k o g c h a p m a n 理论因此t h o m a s 和b u r n e t t 无法证明e n s k o g c h a p m a n 理论在激波中是否成立 王承书【6 1 6 解决了这个问题她发现考虑了分布函数三阶项的e n s k o g c h a p m a n 理论 可以应用到激波中，并成功地利用将气体各参数展开成m l ( 其中m 是马赫数) 级数 形式的方法，求得了激波厚度然而将气体的参数展开成级数形式的处理方式限定了此方 法只适用于弱激波的情形 上面的几种方法都涉及宏观理论下面的我们再介绍几种微观理论 。 在微观理论中，最难处理的是b o l t z m a n n 方程的碰撞算予b g k 模型是b o l t z m a n n 4 内蒙古大学硕士学位论文 方程碰撞项的近似处理方式( 应用c h a p m a n e n s k o g 展开方法可较易地得到b g k 模 型) 因此采用b g k 模型代替碰撞算子的方式可以简化问题的难度l i e p m a n n 2 7 首先 将b g k 模型应用到激波问题中然而通过b g k 模型得到的结论并没有上述几种方法 精确后来s e g a l 和f e r z i g e r 5 采用了椭球型b g k 模型这样经过修正的b g k 模 型可以较精确地模拟激波问题 1 9 4 9 年，g r a d 9 1 提出了十三矩方法，他将分布函数展开成h e r m i t 多项式级数的形 式，并利用密度、动量和热量表示分布函数展开式系数，使得b o l t z m a n n 方程的渐近理 论得到进一步发展之后y o n g 1 5 1 等人将其理论应用到激波中去 1 9 5 0 年m o r t s m i t h 提出了不同于上述方法的伞新方法他从b o l t z m a n n 方程和 b o l t z m a n n 输运方程出发，直接推导出激波厚度的计算公式计算表明对单原子、多原子 气体来说，当m 一1 较小时，激波厚度反比于m 一1 ，对于强激波来说，激波厚度位于平均 自由程的量级上由于m a t t s m i t h 方法并不适合于弱激波，s a l w e n 1 6 1 和h o l w a y 1 7 l 修正了m a t t s m i t h 方法 本文借鉴上述几种方法的优缺点，采用微观的方法，利用b o l t z m a n n 方程将气体各 物理量及其导函数联系起来在本文中，作者将采用文献【1 3 】介绍的方法处理碰撞算子 这种处理方式不同于b g k 模型、m a t t s m i t h 方法以及十三矩方法 文章的第二章给出了渐近展开系数满足的方程首先将分布函数，展开成s o n i n e 多项式级数的形式，利用s o n i n e 多项式加权正交性，在无外力b o l t z m a n n 方程两端同 乘以多项式s ( c 2 ) ，并在速度空间r 3 上积分，得到关于碰撞系数的等式由于任意气 体在无外力的情形下都满足这个关系式，因此其具有普遍性 在第三章中，我们将第二章的结论运用到激波中去利用b o l t z m a n n 方程的n 阶矩 方程及第二章中的关系式( 展开系数满足的关系式) 推导出气体各参数及其导数满足的 方程再根据激波厚度的定义，得到激波厚度的定义 第四章主要是检验本文采用的方法是否正确在m 一1 或1 m 2 两种情况分 别与y 帆g 【l5 】、王承书的结论1 3 0 】以及a l s m e y e r 3 1 l 的数据作比较，从而得到本文的方 法适用范围 最后总结本文采用方法的优缺点，以及总结后续工作的发展方向 5 b o l t z m a n n 方程的基本性质与分布函数的渐近展开 第二章b o l t z m a n n 方程的基本性质与分布函数的渐近展开 2 1b o l t z m a n n 方程的基本性质 礼( r ，t ) = lf ( r ，t ) 武 ( 2 1 ) u ( r 归：厶掀， 硝l 。5 ：匆成 ( 2 3 a ) t ( r ，t ) 2 署厶a q g ，武， 、。 q 蚺t 讧，t = | c c j c l ，d 乏 j 胆 砷脚= m 2 ，二c 2 成 ( 2 3 b ) ( 2 3 n ) 式中定义的u 是气体流速度粕是气体流在r 处的压力张量，且础= 3 p ，为流 记疡= 砌一p 曲，显然有p i i = 0 由于f 的四次矩q 洲的准确表达式比较复杂，因此，我们将采用文献【9 j 中给出的 胪暑篡拦p i k s j t 由+ 局4 - 麓鸠m 协蚴 眨t ， + p r 丁( 奶以l + 民k 每l氏岛t ) 内蒙古大学硕士学位论文 在( 2 4 ) 式中，r ：二，七为b o i t z m 明竹常数，瓠。是d 函数，定义为 = k 耋：嚣 求和不变量是气体理论中最基本的量 碰前分子速度分别记作，6 ，碰后分子速度分别记作7 ，甚 设i p ( 毛矗) 是碰撞前分子速度f ，6 的函数，妒( f f ) 是碰撞后分子速度p ，g 的函 数如果满足妒( f ，矗) = 妒( f 7 ，器) ，则称妒( 为碰撞不变量进一步，如果还满足 妒( f ，= 妒( f ) + 妒慨) ，则称妒( e ，为求和不变量很容易验证1 + 1 ，f - i - 6 ，f 2 + 是 求和不变量，即 1 + 1 = l - t - 1 + 矗= f + g ，( 2 5 ) f 2 + 6 = p + 矗 对于每一个求和不变量都可以表示成1 + l ，f + 6 ，p + 6 的线性组合，即 妒他) = a ( 1 + a ( 2 ) + a ( 3 f 2 ，( 2 6 ) 其中a ( 2 ) = ( a ( 2 ，a 乒，a 乎) 考虑无外力的b o l t z m a n n 方程， 暮垤o - - f 加= q ( f ， ( 2 _ 7 ) 其中，= ，( r ，t ) 是气体分子在位置r 处速度为f 的分布函数， q ( f ，f ) = ( ， ) ，) 一，代) ，心) ) b ( 口，v ) d n d ( 2 8 ) j j s 2 伊 对于任意一个与速度相关的函数妒( ) ，我们发现 h = l p ( f ) ( ，( f ，) ，( ) 一，( f ) ，慨) ) b ( 口，v ) d n d , 武 ，j j s 2 r a 舻 = ：脱。二。舻 妒慨) + 妒i f ) 一妒( g ) 一妒( 。) ( ，( 。，( ) ，( f ) ，心) ) b ( 目，y ) d n d 6 必 = ；脱：。伊。肿 妒( g ) + 妒( ) 一妒( 6 ) 一妒任) ，睡) ，( 矗) b p ，y ) d i d 6 武 = fff 妒( 7 ) 一妒恁) ，幢) ，( 6 ) b 徊，y ) d l d f j 武 j j j s 2 r 3 x 凡3 ( 2 9 ) 如果妒( f ) 是求和不变量，则有 h = 0 ( 2 1 0 ) 7 b o l t 。m n 方程的基本性质与分布函数的渐近展开 2 2 分布函数的渐近展开 下面我们将位置r 处气体的分布函数展开成s i n o n e 多项式级数的形式 记 ，= n ( 击) 9 9 ， ( 2 1 1 ) 州扣名薹s ， 其中，c 2 = 螋2 r t - 上面提到的，札，t , u 均是r ，t 的函数且u = ( ， ，加) ，r = ( z ，暑，z ) 为后面计算的方便，我们仍将m ，记作， ( 2 1 1 ) 式中的雩( c 2 ) 是s o n i n e 多项式，由下面的公式定义 s 弦) ；端f ( - n , i j + 1 , 办 其中，f ( 一礼，p + 1 ，c 2 ) 是超几何函数低阶s o n i n e 多项式为 鳄( c 2 ) = 1 ，蹬( c 2 ) ：一c 2 ， 22 s 妒) = 虿1 5 一；c 2 + 一 对于s o n i n e 多项式，有如p 公式厥亚i l l j ， je。s弦)sp(c2)dc=笺籍弦，r3 i 。i 4 “l 仃! 厂 记7 = 壬利用( 2 1 2 ) 式，我们可以得到， 厶，s 必= 刃；群 则上式可以化简为， = 鹬7 号厶，掣t 嗽 因此，当n = 0 时，由( 2 1 3 ) 式彳导到 伽= ，y ； 当扎= 1 时， 一争；厶c ；武 = ( 1 - 丽2 e 汇) 1 i ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 内蒙古大学硕士学位论文 当n = 2 时， 由( 2 4 ) 式可知 因此 n 2 = 西8 p ，；，r 舻、1 8 5 一争+ ) 武n 2 2 西p ，知、8 一f + ) 埏 = ( i - 砸2 p + 面杀二熊一u ) 4 鹰) 7 2 砸+ 砸厶熊一u ) 4 鹰) 7 2 ，任一u ) 4 = 1 5 i r t , j 艄 啦卸一盎+ 品7 ； 下面我们将( 2 1 1 ) 式代入到( 2 7 ) 式中， ( 2 1 6 ) 筹铆惑掣3 羔0 9 夏3 册了c o r t 。a 船协。砷 + ( 击) 2 必警+ p ( 盯p 。塞一面幕卯f 。警 、。 塞= ( 去) ；譬妻s ( c 2 ) + c 扣李掣+ c 抄李警 赛= ( 去声宅主s ( c 2 ) 氓1 z e 2 薹掣+ c 抄产量警， 当m 1 时， d s 扩( z ) m s p ( z ) 一( m + 2 l ，、。q ( m 1 ( z ) - - - - ：- - - - - 一= - - - - - ；：- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ! - 一 d xz 因此有如下公式成立 掣一压型型掣c 象； 掣一压塑型坚c 2 鼽 9 ( 2 1 8 ) ( 2 t g ) b o l t z m a n n 方程的基本性质与分布函数的渐近展开 冼一一 2 - 1 9 扎 百。v 两8 d 面； 譬：1 斋e 。争百。v 厦8l d 磊j 仉 ( 2 2 1 ) 从叨，【1 ，j 避一步改与成， a _ 1 + f 笪 疣。、a r ；c 丽1 ) ；薹舡s e 。+ p 压e 吒窑s 一压型生堂c 2一, g u r t _ o g t 胆气 、 。 p ” + 胆1 2 鲁s p ( c 2 ) + f 塞e 。s 扩( c 2 ) ( 2 2 2 ) 十p 丽2e - , 9 “c 妄) u e 。n 。s ( 小嘉p 警e s 弦) 一压r t _ 型型掣“c 1 c 2、卜撕严” + 胆一p 警s 尹( c 2 ) 一斋必o 四r t e - , g s ； , ) ( c 2 ) n 。) 在( 2 2 2 ) 式两端同乘以s r ( c 2 ) ，并在速度空间帮上积分得 厂( 甏垤筹蚋佻 = c 嘉，2 薹良舻f 妒啪珠。必 + p 斋e p c - 象( 带弦) 必 一每型型掣c 耖 + p 警e - , g s ! ( c 2 ) s ( c 2 ) 必一嘉p 巧c g r f t n 。fs ? ( c 2 ) s 扩( c 2 ) e 一，武( 2 2 3 ) + ，fs 。t n 忉i 跚g p 。o - c 2 。q ( r 悃武 l + p 斋。s 妒) s ( 毋。“c 晏脓 l o 内蒙古大学硕士学位论文 一层舭，型型掣“。争飞 + p f e - a ( 百c g a m s 弦娜佻一丽3 脚s 弦肛警e 。武) 再根据【1 1 i 中给出的公式 s p ( c 2 ) = 窜( c 2 ) 一s p 。( c 2 )( 2 2 4 ) 222 和( 2 1 3 ) 式，我们得到 c 丽1 ，5 压2p 三o o z e 略妒一岳臌 侩。、 ( 2 n + 1 ) ! 一i a ，4 n + 3 2 n + 3 、 2 可叉忑磊= j 瓦币i = 丽7 2 p 而。u i 互；n n 一扩a n + l n ”一l j 由上述等式可以将( 2 2 3 ) 式化简为 厂( 筹垤秘 = 群7 一3 , o p _ 30 7 , , + p 警) f 2 。) + 而端7 名t c 毪竽p 妾u + 瓦1u 塞一杀p u 筹k 1 o a 。 10 、 + 芴舯i 一p 压u 一l - 2 3微分碰撞算子的计算 在文献【1 3 l 中k a n j i 给出了一种解决非线性碰撞算子的方法即， 加妒肛薹墓 仁z z ， 其中， 幽；是一个与空间无关的量且具有如下形式， m h = 器砉脱一铲e - ( e 2 喇，哆懈蚋即s 黔蚋咧 s ( c 2 ) b p ，v ) d c 。d c d n l 0 ，当m + k n 时 2i 一粼( 和矿三壹龋一m + 七= n 时 ( 2 2 8 ) b o l t z m a n n 方程的基本性质与分布函数的渐近展开 在( 2 2 8 ) 式中，托表示分子间相互作用力常数，( 如，m a x w e l l 分子间力矢f 可以表示成 鲁) ，a ( 5 ) 是由下面公式定义的一个纯正常数 ， a 。( 5 ) = ( 1 一c 0 8 ”u ) 峋d 峋， j o 其中u 代表反射角，峋= 6 ( 等) 文献f 1 3 】已详细的给出了( 2 1 7 ) 式的推导过程，在这里我们将在附录，中给出其推 导过程在文献【1 2 】中，作者已经给出了a ( 5 ) 的计算方法，对于t ，s5 0 的值已被用计 w a ( 5 ) a ( 5 ) 削 a ( 5 ) a ( 5 ) 钞 a ，( 5 ) l0 4 2 1 91 10 8 8 6 62 11 0 7 9 83 11 2 1 1 2 4 11 3 1 3 0 2o 4 3 6 21 20 8 9 4 52 21 0 8 5 83 21 2 1 6 14 2 1 3 1 7 2 30 5 8 5 21 30 9 3 3 72 31 1 0 9 53 31 2 3 3 44 3 1 3 3 1 0 4 0 5 9 7 11 40 9 4 1 12 41 1 1 5 23 41 2 3 8 14 4 1 3 3 5 1 50 6 9 0 01 50 9 7 5 62 51 1 3 7 23 51 2 5 4 64 5 1 3 3 8 4 60 7 0 0 41 60 9 8 2 52 61 1 4 2 73 61 2 5 9 2 4 6l - 3 5 2 4 7 0 7 6 8 81 71 0 1 3 42 71 1 6 3 23 71 2 7 8 44 7 1 3 6 5 1 80 7 7 8 11 81 0 2 0 02 81 1 6 8 53 81 2 7 9 34 8 1 3 6 9 1 90 8 3 2 61 91 0 4 8 02 91 1 8 7 83 9 1 2 9 4 3 4 9 1 3 8 1 4 1 00 8 4 1 12 01 0 5 4 23 01 1 9 2 94 01 2 9 8 65 0 1 _ 3 8 5 2 甄【瓦一瓦面胁+ p 万， ，2 n + 301 o p 3 升、 + 【百p 丽+ 甄u 丽一石胆磊) n n 1 o a 10( 2 2 9 ) + 甄肿百一p 历o n 一1 一薹薹掣c 丽2 t 产p 2 旦d = o 产e = o 赤端岛 其中，m + k = ，1 1 2 内蒙古大学硕士学位论文 第三章渐近展开在激波中的应用 3 1激波的基本假定 对于一维正激波，气体的各物理量( 温度t 、z 轴方向流速度让、压力张量p 、密度p ) 羔蠡：善： ， ，+ 2p + ( 痈舞) 鼍e 一坼， 矗差= q ( ，) ， ( 3 2 ) 心t ) 。；厶甜妃 p ( z ，) ；m ( 岛一t ) 2 ，武， 如一：；磊阳i ) 2 熊 。3 肛；厶( f 叫i ) 2 ，武 对( 3 2 ) 式两端同时乘以池一t ) ”，并对在空间r 3 上积分，得到 厶6 差( 已刊“武= f r 3 q ( f ，) ( 已刊嗨 当凡= 0 时，( 3 4 ) 式化简为 厶已差蜓= f m q ( f ，) 武 ( 3 5 ) 式左端积分可做如下化简 厶厶差武= 差( 厶一彬+ u 厶，必) = 鑫( 川 1 3 ( 3 4 ) ( 3 5 ) 渐近展开在激波中的应用 由于l 是求和不变量，因此( 3 5 ) 式右端积分可以利用( 2 1 0 ) 式化简 q ( f ，) 武= 0 从而，( 3 4 ) 式化简为 p 老+ 让塞x x = 0 ( 3 6 ) p 瓦+ 让 。 ( 3 6 ) 当n = 1 时，( 3 4 ) 式化简为 二已差( 厶一乱) 必= 厶( 靠一牡) q ( ，) 鹰 由于 厶毛鬈( 已刊武 = 未( 厶，池一妒武+ 牡厶，他一“) 武) + 窆厶，已 a p d l u 2 五十肚五， 且厶一“是碰撞不变量，利用( 2 1 4 ) 式将n = 1 时的( 3 4 ) 式化简为 塞+ 倒罢= o ( 3 7 ) 夏+ 倒石5 “。 7 j 由于气体是各向同性的， 厶差( 岛刊2 鹰 = 3 厶矗差( 叫i ) 2 武 = e c 窆+ u 罢+ e 塞+ p 塞， 因此，当ln = 2 时，由于他一牡) 。；任“i ) 2 是碰撞不变量，( 3 4 ) 式可以化简为 塞+ 钍篆+ e 老+ p 塞= o c 。固 船簖z d z 7 方程( 3 6 ) 式、( 3 7 ) 式和( 3 8 ) 式共同组成了控制流体运动的一维方程组对这三式分别 积分。可得 p u = c o n 时 p + 肿2 = c o n s t ( 3 9 ) “e + q + j m z + ：p u 3 ；r m 照 内蒙古大学硕士学位论文 在激波波前、波后的气体方向的压强p 士满足p 士= 如r 琏由于在激波中，气体满足 质量守恒、动量守恒和能量守恒，因此，( 3 9 ) 式可以等价于如下方程组 p u = 冉t + = p t 一， p + p u 2 = “艘 = p 一肌， ( 3 1 0 ) 让e + 。+ p u + ；= ；“胁钍+ + ；“碑= ；肛肌n 一+ ；p _ u 3 _ ( 3 1 0 ) 式即为著名的r a n k i e h u g o n i o t 条件，这个条件给出了激波波前与波后气体各 物理量的关系 从( 3 1 0 ) 式中，我们可以得到的气体各物理量间关系如下， 4 舻 冉。丽巧巧皿， 耳= 坐专磐塑卫，( 3 1 1 ) 1 + 2 1 面万一1 一， 肘2 + 3 乱+ 2 面“ 其中m ：兰二，。为波前声速，且n ： a 引入气体的无量纲形式， 7 = ，。= 差，七= 云p ，痧= 砸p ，彳= 石匠q ，雪= 砸e 对于气体的总能量e ，我们取 e = ；p 魍 则( 3 1 0 ) 式和( 3 i i ) 式的无量纲形式分别为 k a = l 。 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 庐+ ；n m 2 = 1 + 吾5 m 2 ， ( 3 “) 孚+ 口+ 砸+ 矿52 “2 = 互5 + 五1 胪 4 m 2 机。m 2 + 3 ， ( 5 m 2 一1 ) ( m 2 + 3 ) 2 。商豪一， 舻+ 3 a + 。1 砑r ( 3 i 5 ) ：三摹5 - 2 善5 _ “3b 5m 5 似 5 + 舻 ，。，口、o 7 口= 虿一一j 1 一【j 。+ 1 j o + 石朋a 。 1 5 渐近展开在激波中的应用 3 2激波厚度的近似解 在第二章中，我们得到了关于渐近展开系数的等式( 2 2 9 ) 则( 2 2 9 ) 式在一维时 间均匀的条件下可以化简为 ，2 n + 3d u 1 d p 3 嘶、1 d a n 1砒 l 面p 瓦q - 芴u 五一磊肚石j + 磊舢石一百舯n 一1 压 = 一r 壹n - - - - 0 妻k = = o 坐掣7 一s 矿c 警p 薹妻孤尝龋，。1 砷 其中，m 4 - k = t , 现在化简( 3 1 7 ) 式中的( 一) 由于分子直径盯与k 之间存在如下关系 矿= ( 盎) 对于m a x w e l l 平均自由程a 来说，其与分子直径盯之间存在关联【1 2 j a = 丽1 因此，( 警) 与平均自由程a 之问有如下关系 0 - 2 ；型 将( 3 1 8 ) 式代入到( 3 1 7 ) 式中， ，2 n + 3 d u1 d p 3 d 7 、1 1 du4 百p 磊- 磊牡石一丽肚盂+ 磊舢石一j 胁一1 瓦 =一m妻=0妻k掣7彭掣茄端，；o r n kd 一 - - - - oe = o r 一、。一，、”， 其中，m + k = m 再取坐标的无量纲形式， 口= ； 利用( 3 1 2 ) 式和( 3 2 0 ) 式，将( 3 1 9 ) 式无量纲化， ，2 n 4 - 3 d a 1d k 3 西、 1d a 。1d a l 丽f 面q - 2 n k d 8 五鬲面j 十磊万一菘一1 面 ，儋薹薹裂7 一；t 薹妻面尝鹄吼， 其中，m4 - k ：n ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) 内蒙古大学硕士学位论文 在激波中，由于气体的分布函数，在波前必须满足波前分布函数l ，且p ( o ) = 7 ( o ) = t ( 0 ) = 1 ，因此在z = 0 处，有 o o ( o ) = 1 ，( 0 ) = 0 ，n ；1 ，2 ，3 ， ( 3 2 2 ) 刍7 1 , = 1 啊，利用力程组【1 4 j 吁朋弟一个，岢瓦，日j 将【z l j 瓦化，蔺为 万6 , 1 2 1 一【一2 一d k + 瓦3 一d 3 , ) 3 kd o d o 。l + 三3 k 竺d 0 7 = o ( 3 2 3 ) d 口 、 2 1 1 一 。7 ( 3 2 3 ) 式是一个线性非齐次方程，因此，我们可以采用常数变易法求解( 3 2 3 ) 式满足条件 ( 3 2 2 ) 式的解然而，我们在第二章中已经求出了在( 3 1 3 ) 式成立的条件下满足边界条 0 矿 件( 3 。2 2 ) 式的a o = t g ，。1 = ( 1 一云瓷h 因此，将哪，8 l 代入到( 3 2 3 ) 式中，得到 ，y = 锺 ( 3 2 4 ) 当礼= 2 时，利用( 3 1 4 ) 式，( 3 2 1 ) 式化简为 等一( 杀舅+ 丽4 丽d k 心+ 磊4 丽d k n 。= 一v - 5 6 厩a 2 k 7 一( n 。知一) ( 3 _ 2 5 ) 面一t 瓦丽十丽丽) 0 2 + 磊丽o i 。一v5 五瓦7 2 【0 2 知一昕工 h 利用( 3 1 2 ) 式将第二章中给出的眈= ( 1 一盎+ 是h 无量纲化， 。2 = ( 1 一i 2 p 十i p t 渖, ( 3 2 6 ) 将a o ，a l ，a 2 代入到( 3 2 5 ) 式，得 7 2 p ( 7 2 ) + 3 研 k3 后2 由( 3 1 6 ) 式可知， 劣+ ；舅1 a 2 ( 7 - 2 ) ( p - k 1 , ) ( 3 2 7 ) 历十i 面2 1 p 。， 塑=一曼m2等=丽5m2一dkdo3d o 一硼3 七2 由( 3 2 4 ) 式可知， 由柳礁 历2 磊历。 将( 3 2 8 ) 式和( 3 2 9 i 式代入到( 3 2 7 ) 式中，并利用( 3 1 4 ) 式得， ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) 坠d o 一 ；警丽毒杀精( 3 3 0 ，一2 一v 亏可面沥= 面两万= 万了西硬f 巧两 ) 渐近展开在激波中的应用 激波厚度f 定义为 b 链或k 靛 利用( 3 1 4 ) 式，将( 3 3 1 ) 式无量纲化， f 惫+ 一七一o + 一。一 一= z 一= 一 a i 苗i j 翥l 肘一 取( 3 3 0 ) 式的倒数，将其分解成两个多项式之和，即 d o 一厘mr 5 m 2 5 础一僻。4 k ( p 一2 k ) 1 一d k v 石瓦t 1 i r + 万j 丽两j 再利用作差法，可以证明历d k 的最大值在七：k ：嘉差处取得 因此，激波的厚度为 其中 ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) ；= 一 皇5 丛m 丽( 5 m 蕊7 p 焉+ k 若锵2 磊k 警要2 k + 丽可1 ，( 3 3 。) z v f 2 一 + ) ( ，+ 一) + 2 h + ( 酢一) 】( f 2 ) 、。7 p+=+学一丝=警，w=碡；(而4m23k+ j ； p + 。1 + 丁一。i 旷，w2 桦5 【瓦芦j 巧j 3 1 8 内蒙古大学硕士学位论文 第四章结果分析 l i n e a r ( 2 7 ，r o b b e n 2 8 1 2 0 1 ，s c h m i d t 3 0 ，a l s m e y e r 3 1 1 等人利用试验方法相继得到 激波厚度与波前马赫数之间的关系由于试验条件( 如测量设备的精确度、边界条件的 存在等) 的限制，致使测得的数据与实际情况有一定的误羞以a l s r r h e y e r 的数据( 见图 4 1 ) 为例，正规化后密度的测量误差为4 - 0 0 1 ，由于激波前速度、压强和温度的不稳定性 造成的长度( 波前平均自由程) 的误差是4 - 0 0 1 3 ，因此得到的激波厚度误差大约是4 - 0 0 4 o 入i 口 o 6 ：法釜掣：臻 。毋。 l 粉4 ；- 擘 o a 声 。 二| m a c h i 图4 1 ：实验数据 口：c a m a c ( 1 9 6 5 ) ；一：g a r e n ，s y n o f z i k ，f r o h n ( 1 9 7 4 ) ；0 ：l i n z e r ，h o r n i g ( 1 9 6 3 ) ； a r g o n ，r o b b e n ，t a l b o t ( 1 9 6 6 ) ；+ ：h e l i u m ，r o b b e n ，t a l b o t ( 1 9 6 6 ) ；a ：r u s s e t ( 1 9 6 5 ) ； r i e u t o r d ( 1 9 7 0 ) ；v ：s c h m i d t ( 1 9 6 9 ) ；：s c h u l t z ，g r u n o w ，f r o h n ( 1 9 6 5 ) ；一： a l s m e y e r ( 1 9 7 6 ) 当波前马赫数m 一1 时，y o n g l l 5 】利用修正后的m a t t s m i t h 方法得到了正规 化后的激波厚度与波前马赫数的近似关系式；= 孑4 ( 爵6 ) i l ( m 一1 ) 这时将本文的结果与 y o n g 及王承书的结果作比较( 见图4 2 ) 我们发现y a n g 的结果与王承书的结论基本符 合，而本文得到的正规化后的激波厚瞳酶久些 1 9 结果分析 o 1 o 1 0 o 0 o o o o o o m a c h 图4 2 ：m 1 时无量纲化后的激波厚度与波前马赫数之间的关系图线 粗线：本文的结果；细线：王承书的结果；虚线：y o u n g 的结果 o o 1 o o o 图4 3 ：无量纲化后的激波厚度与波前马赫数之间的关系图线 粗线：本文的结果：细线：王承书的结果 m a c h 当波前马赫数1 ms2 ，即激波是弱激波时，本文得到的激波厚度比王承书的结 果要大一些例如，当马赫数为2 时，本文得纠的正规化后的激波厚度为o 1 9 4 4 1 6 利用 王承书方法得到的正规化后的激波厚度是02 3 1 7 6 5 ，而根据a l s m e y e r 的数据，我们发现 2 0 内蒙古大学硕士学位论文 正规化后的激波厚度大约为o 2 1 再如当马赫数为1 6 时，本文得到的正规化后的激波 厚度为o 1 3 1 1 2 1 ，利用王承书方法得到的正规化后的激波厚度是0 1 9 2 4 5 7 ，a l s m e y e r 的 数据表明这时的激波厚度大约是o 1 6 根据比较，我们发现本文计算得到的正规化后的 激波厚度始终比a l s r n e y e r 的数据要大，而王承书的结果比a l s m e y e r 的数据要小 2 1 总结与展望 总结与展望 对本文的推导过程分析，我们发现在推导声的过程中，仅仅利用了( 3 1 4 ) 式中的前 两个等式，即相当于在激波过程中只考虑了流体的连续性方程和运动方程，没有考虑流体 中热流量的输运这样将会造成不必要的误差 在文献【1 5 】中，给出了如下公式， 乏厶，必吐， 其中， r 口= ；岛2 q ( l ) d f = 一2 a p ( q + p 百u 一2 u e ) ， j r a z 上式中的a 为与分子碰撞截面相关的常数 利用上式，我们可以化简n = 3 时的( 3 4 ) 式，得到含有热流q 的等式将此式与 ( 3 1 0 ) 式联立，可以得到豆口，乒，n 关于k 的表达式这里得到的e 不再是刀在考 虑流体的热流后，本文的结果定会更接近a l s m e y e r 的数据具体的计算过程，我们将在 后续文章中介绍对于当m 2 时的强激波，此方法不成立因此在以后的工作中，我们 需要修正此方法，使得此方法可以在强激波中应用 内蒙古大学硕士学位论文 附录i 在这里，我们将介绍( 2 2 8 ) 式在文献【13 】中的推导过程 引入s o n i n e 多项式的生成函数【1 1 1 定义， s 字( c 2 ) = ( 1 一 r 。 ( i 1 ) f ( 2 n + 1 ) ! 矿 1 肚酉可两f 丽i 瓣 ( i 2 ) g ( e _ 砖一c l + z ，c 2 一研一坩一e c 1 + x 碡- o + y + z ) e 2 ) 夕如触心必p 叫 其中，0 z ，玑z l ，且五k z 定义为 x = 圭，y = 尚加吉 我们发现m 。h 是函数f 的展开式中的矿可扩系数 引入新变量g ，g 7 ，g ，g ， g = 警舻等，g = g ，= 半z ；小等 ( i s ) 将( ，3 ) 式代入到( 1 2 ) 式中，得到 f ( 2 n + 1 ) ! 矿 l 肚鼍罗两f 丽i 瓣。 ( i 4 ) ( e 一7 ( g 4 + 9 2 ) 一g 【2 9 + ( y x ) 一】一e 一。r ( 6 a + 9 2 ) 一( 。+ y x ) g g g b d b d e d g 冥中，u 是偏转角 由于g g ，= 矿c 0 8 h ) ，因此，只要u = o ，即可将f 转换为g 则 即) = 瓦而兰而习e e ，( 州h 州一吲g 利用p ) 和日( o ) ，将( 1 4 ) 式化简为 ，= 搿2 筹j 厂j h ( 小删撇她 。 铲( n ! ) 丌3 ，y 3 ”。1 一” 定义变换 。：g + z g + 1 ( y f - z ) g ( i 5 ) ( 1 6 ) 附录i 则( 1 5 ) 式 脚) = ( f i 孑兰而沌。一 ( i 7 ) 其中 荆= 坠车警善学 将( 1 7 ) 式中的指数部分展开成z ，y ，z 的级数 其中和( r + + ) 代表r ( r 一1 ) ( r 一2 ) +