（应用数学专业论文）painleve截断展开与非线性发展方程的精确解.pdf

中文摘要 本文研究内容主要涉及孤立子理论中精确求解非线性发展方程的b i i c k l u n d 变 换法，p a i n l e v 6 截断展开法，c k 直接约化法等几个方面。引言中主要介绍了孤立 子概念的产生、孤立波的发展及其意义和本文的主要工作。第二章介绍了p a i n l e v 6 分析法及其新进展。第三章利用p a i n l e v 6 分析法得到了修正k d v 方程的递推算 子及其共振点。第四章应用p a i n l e v 6 截断展开法求解了几个非线性发展方程。第 五章在修改文献 5 7 几处笔误的基础上应用c k 直接约化法求解了一类描述方向 上存在可变剪切流动的长波变系数b o u s s i n e s q 方程的相似解，这种解不同于用 p a i n l e v 6 截断展开法求出的解。 关键词：p a i n l e v 6 性质，p a i n l e v 6 截断展开，非线性发展方程，孤波解 内蒙古师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nm a i n l ys t u d i e st h em e t h o d si ns o l i t o nt h e o r yf o rf i n d i n g e x a c ts o l u t i o n so fn o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n s ，s u c h a st h eb i i c k l u n d t r a n s f o r m a t i o nm e t h o d ，t r u n c a t e dp a i n l e v 6e x p a n s i o nm e t h o d ，t h ec kd i r e c t m e t h o da n ds oo n ， t h ef i r s tc h a p t e ri n t r o d u c e st h ec o n c e p to fs o l i t o n s ，i t sd e v e l o p m e n t sa n d m e a n i n g s w i t ho u rm a i nw o r k i nt h es e c o n dc h a p t e r , t h ep a i n l e v 6p r o p e r t ya n di t sn e wd e v e l o p m e n ta r e i n t r o d u c e d i nt h et h i r dc h a p t e r , t h er e c u r s i o no p e r a t o ra n dt h et o t a lr e s o n a n c e so ft h e m o d i f i e dk d v e q u a t i o na r eo b t a i n e db yt h eu s eo f p a i n l e v 6a n a l y s i s i nt h ef o r t hc h a p t e r , e x a c tt r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n st os e v e r a ln o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n sf i r eo b t a i n e db yt r u n c a t e dp a i n l e v 6e x p a n s i o nm e t h o d i nt h ef i f t hc h a p t e r , t h ec kd i r e c tm e t h o di se x t e n d e dt or e d u c eav a r i a b l e - c o e f f i c i e n tb o u s s i n e s qe q u a t i o na n ds o m en e ws i m i l a r i t ys o l u t i o n sa r ef o u n d a f e wm i s t a k e si n 5 7 】a r ea l s oc o r r e c t e d k e yw o r d s ：p a i n l e v 6 p r o p e r t y , t r u n c a t e dp a i n l e v 6e x p a n s i o n ， n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ，s o l i t a r yw a v es o l u t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示感谢。 签名： 渔蠢日期：二口口子年厂月斜日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用学位 论文的规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容 和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名圩海是导师签名：蓬脚 日期：如鬈年6 月2 笋日 第一章引论 ( 一) 孤立波的发展及其意义 第一章引论 孤立子的发现，可以追溯到1 9 世纪3 0 年代。孤子( s o li r o n ) 是最早在自然界观察到，并 且可以在实验室产生的非线性现象之一。1 8 3 4 年的一天，从爱丁堡的g l a s d o w 运河上，一位苏 格兰造船工程师j o h ns c o t tr u s s e l l 第一次观察到了一种奇特的水波。1 8 4 4 年，j o h ns c o t t r u s s e l l 在英国科学促进协会第1 4 届会议报告上发表的论波动口1 报告的中，他详细地 描述了当时观察到的奇特的水波现象，并称这种波为孤立波( s o l i t a r yw a v e ) 。他是这样描述 他的发现的：“当时，我正在观看由两匹马拉着的，沿着不宽的河道迅速向前运动的一只 小船。当小船突然停止时，河道里由船推动的一大堆水并不停止，而是聚集在船头，激烈地摇 动着，随后呈现出一个很大的、孤立的隆起，那是一个滚圆的、光滑的、而且周界分明的水堆。 它突然离开小船，以很高的速度向前运动，而将小船甩在后面。这个水堆沿着河道继续行进， 没有明显地改变它的形状或者降低它的速度。我骑马紧跟，并赶上了它。它仍然以大约每小时 8 或9 英里的速度滚滚向前，并且保持原来的大约3 0 英尺长、l 英尺到1 英尺半高的外形。随 后，它的高度逐渐下降。在我追赶了一两英里后，它在河道的弯曲处消失了。这就是我在1 8 3 4 年8 月间看到的那个奇特而美丽的现象一这是公认的有关孤立波的首次报道。后来，为 了更仔细地研究这一现象，r u s s e l l 又在实验室规模的水槽中做了大量的实验。 1 8 9 5 年g d ev r i e s 在导师d j k o r t e w e g 的指导 2 1 下，提出了一种流体中单向传播的浅水 波数学模型，即著名的k d v 方程。他们求解k d v 方程得出与r u s s e l l 描述一致的形状不变脉冲 状孤立波解，从而在理论上证明了孤立波的存在。 2 0 世纪5 0 年代，著名物理学家f e r m i ，p a s t a 和u l a m 将相等质量的6 4 个质点用非线性弹 簧相连，做了非线性振动弦的实验( 既著名的f p u 问题) 3 1 ，虽未发现孤立波解，但后来，t o d a 用晶体的非线性振动近似模拟这种情况，得到了孤立波解，证实了除流体力学以外在其它领域 也存在孤立波解。 但是，真正引”孤立子”这一概念并导致世界范围内产生孤立子理论研究热潮的是k r u s k a l 和z a b u s k y 在1 9 6 5 年发表的一篇文章1 4 1 ，他们从连续统一体的观点来考虑f p u 问题的过程中 确切的揭示了孤立波( 子) 的本质。当两个孤立波碰撞之后保持形状不变，那么就称这类孤立 波为孤立子( 简称孤子) 。 k r u s k a l 和z a b u s k y 的这项研究工作是孤立子发展中的一个重要里程碑。“孤立子概念 内蒙古师范大学硕士学位论文 的引入，确切地揭示了这种孤立波的本质。到了1 9 6 7 年，g a r d n e r 等将k d v 方程的初值问题与 一维线性s c h r 6 d i n g e r 方程的反散射问题联系起来，现代意义上的孤子理论才真正产生。在此后 的三十多年，孤立子理论的研究工作更加蓬勃发展，在世界范围内掀起了研究的热潮。孤立理 论一方面在量子场论、粒子物理、凝聚态物理、流体力学、等离子体物理和非线性光学等物理 学的各个分支及数学、生物学、化学、通信等各自然学科领域得到了广泛的应用【咖；另一方 面极大地促进了一些传统数学理论的发展，从而孤立子理论已经成为理论物理和数学物理中的 一个极其重要的方面，是许多理论物理学家和数学家研究的焦点。目前，较为完整的数学和物 理的孤立子理论正逐步形成和成熟，并且在自然科学尤其是物理学科的各个领域和分支中，均 有对孤立子理论及其应用的深入研究。 ( 二) 本文研究的内容 本学位论文主要由第二章第五章构成。第二章将介绍p a i n l e v 6 分析法的发展和p a i n l e v 6 分析法的新进展。第三章利用p a i n l e v 6 分析法得到修正了k d v 方程的递推算子及其共振点。 第四章应用p a i n l e v 6 分析的截断展开法求解非线性发展方程。第五章在修改文献 5 7 几处笔误 的基础上应用c k 直接约化法求解了一类描述方向上存在可变剪切流动的长波变系数b o u s s i n e s q 方程的相似解，这种解不同于用p a i n l e v 6 截断展开法求出的解。 2 第二章非线性发展方程的p a i n l e v 6 性质 第二章非线性发展方程的p a i n l e v 6 性质 判定非线性系统的可积性是许多科学家感兴趣的课题之一，这个问题至今也没有得以解 决，其中最基本的原因是可积性尚没有明确的定义。所谓可积性是指不同意义下的可积性，所 以在说一个非线性系统是可积的时候通常会指明它是在某种意义下的可积。例如：l i o u v i l l e 可 积、反散射可积、对称可积、p a i n l e v 6 可积、c 可积和l a x 可积等等【8 】。尽管可积性尚无明确 的定义，但普遍的看法是，一个完全可积系统通常具有如下性质：( 1 ) 反散射方法可解【5 8 。1 0 】； ( 2 ) 孤立波之间的相互作用为弹性碰撞，即存在多孤子解【5 ，9 1 ；( 3 ) 具有b i i c k l u n d 变换【5 8 1 0 ， 1 2 1 ；( 4 ) 拥有无穷多对称与守恒律1 5 1 0 】；( 5 ) 具有l a x 对表示1 5 ，8 a1 2 】；( 6 ) 可以约化为完全可 积的h a m i l t o n 系统【8 川，1 2 1 。1 9 世纪末p a i n l e v 6 等在研究常微分方程时引入了p a i n l e v 6 性质的 概念。2 0 世纪7 0 年代末a b l o w i t z 和s e g u r 等发现完全可积系统与p a i n l e v 6 性质有密切的联 系，他们提出的p a i n l e v 6 猜想给出了一个可应用的可积性检验方法。随后w e i s s 等将常微分方 程的p a i n l e v 6 性质推广到偏微分方程，使其能有效地用于非线性系统的可积性质和特殊解的研 究。近年来，国内外学者在非线性发展方程的p a i n l e v 6 分析及应用研究领域取得了重大进展。 本章简要介绍非线性常微分方程及非线性偏微分方程p a i n l e v 6 性质的基本概念及近年来的发 展状况。 ( 一) 常微分方程的p a i n l e v 6 性质及检验 非线性方程的求解和解的性质的研究要比线性方程复杂的多。线性方程的一些基本性质在 非线性方程中不再成立，如叠加原理，它是线性方程理论的出发点，利用它可以建立线性方程 的通解结构定理，知道了n 个线性无关的特解就可以给出n 阶线性方程的通解。但对非线性方 程而言，叠加原理不再成立，即使得到了非线性方程的一批特解，也不能期望将它们叠加起来 求得一般的解。 就解的奇性分析而言，线性方程的奇点完全由系数决定，除了系数函数的奇点以外，线性 方程的解在其它位置不会有奇性。考虑n 阶线性常微分方程( 简称o d e ) 箬堋z ) 碧驰) 警堋咖- 0 ， ( 2 1 ) 内蒙古师范大学硕士学位论文 如果e ( z ) ，只( z ) 在复平面点附近解析，则称是这个常微分方程的一个正则点，此时方程 ( 2 1 ) 在z o 点邻域内有n 个线性无关的解析解。方程( 2 1 ) 解的奇点只能是其系数最( z ) ，只( z ) 的奇点。由于这些奇点的位置与初始条件无关，故称其为固定奇点( f i x e ds i n g u l a r p o i n t ) 。 复平面上线性常微分方程的解只有固定奇点。 对非线性方程而言，解的奇异现象丰富多彩，除可能存在固定奇点外还可能存在移动奇点 ( m o v a b l e s i n g u l a rp o i n t ) ，这类奇点完全由方程的初始条件或边界条件所决定，例如对方程 掣二e 啾w ) ：o ， 弦 而言，直接积分求得其通解为 t w ( z ；z o ) = l o g ( _ 二一) ， z z o 其中z 。为积分常数。显然，z = 是解的移动奇点且是对数分支点。非线性常微分方程可能同 时具有移动奇点和固定奇点。当自变量z 取为复变量时，一个常微分方程的解w ( z ) 可以用复变 量函数表示。利用复变函数理论，常微分方程的奇点可分为极点、支点( 包括代数支点、对数 支点) 度本性奇点。支点和本性奇点合成为临界点。 1 常微分方程的p a i n l e v 6 性质 1 9 世纪末科学家们开始了按照解的奇性对方程进行分类的研究。考虑方程 _ d w ：f ( z ，w ) ， ( 2 2 ) 珏 其中f 对z 局部解析，对w 为有理函数。f u c h s 于1 8 8 4 年证吲1 3 1 了所有形如( 2 2 ) 的一阶常微 分方程中没有移动临界点的方程是r i c c a t i 方程 d w = v o ( z ) + 露( z ) w + 忍( z ) 矿 ( 2 3 ) 叱 在f u c h s 研究工作的基础上，p a i n l e v 6 ，g a m b i e r 等分析了二阶方程的分类问题【1 4 15 1 ，认为二阶 方程当中只有5 0 种不同类型的方程是不具有移动临界点的且他们都可以化为如下形式： w n = e ( z ，川2 + q ( z ，w ) + 月( z ，w ) ， ( 2 4 ) 其中p ，q ，r 都是z ，w 的有理函数，且关于z 是局部解析的。p a i n l e v 6 等证明了在所有形如( 2 4 ) 4 第二章非线性发展方程的p a i nj e v e 性质 的方程中有4 4 类方程司化为线性方程或用椭圆函数求解，另外六类方程的解不能用已知的特 殊函数表示，它们分别是【5 t1 5 1 刀： 互：= 6 w 2 + z ； ：w ”= z w + 2 w a + 口； 另：w w ) 2w f + 三心矿+ 刃+ 7 矿+ 变； 只：= 等2 专w 3 + 4 矶2 训w + 告； 只：w 。= 【去+ w 1 - - 1 _ 1 ( w ，) 2 一三w + 吉( w 嘲口+ 等】+ 孚+ 彳6 w ( w 丁+ 1 ) ； 忍：w z 1 万1 + 石1 + w l - - _ z ( w ，) 2 一已+ 击+ 击】w ， + 帮”7 肛+ 而r ( z - d + 篱】 其中口，y 和万为常数。这些方程通常不能化为简单的方程去求解，但可以应用p a i l l l e v 6 等所 给的方法求出一些特解或渐进解，或者定义六种p a i n l e v 6 超越函数“硝。对于三阶或三阶以上的 常微分方程，虽然有许多有意义的新进展，但目前尚未有和低阶方程类似的完整分类结果a 当一个常微分方程的解只有移动极点时，称方程具有p a i n l e v 6 性质，或者说常微分方程的 解没有任何移动的临界点，称这样的方程具有p a i n l e v 6 性质，简称为p 一型方程。e ，只就是 它们的典犁代表。 2 常微分方程的p a i n le v 6 试验 给定一个非线性常微分方程，如何确定它是否具有p a i n l e v 6 性质? 按照p a i n l e v 6 性质的定 义，p 一型方程的解以z ) 在奇点z = z 。处的l a u r e n t 展开式中只含有有限的负幂次项，即： w 2 而a _ k + 芒+ - + 丽a _ i + 喜啪吲， a b l o w i t z ，r a m a n i 和s e g u r 通过对解的l a u r e n t 展开式的研究提出了判定常微分方程p a i n l e v 6 性质的方法- a r s 方法n 们。a r s 方法是在如下定理的基础上给出的。 内蒙古师范大学硕士学位论文 定理：n 阶常微分方程 舅叫训，参，雾， 眩5 ) 具有p 划e v 6 性质，仅当其l a u r e n t 展开式 w ( z ) = ( z - z o ) ，a j ( z - z o ) 7 ， j = o 含有n 1 个任意系数。 如果一个常微分方程满足上述定理给出的具有p a i n l e v 6 性质的必要条件，则称该方程通过 p a i n l e v 6 试验。根据a r s 方法，方程( 2 5 ) 的p a i n l e v 6 试验包括以下三个步骤： 步骤一：分析方程的主要性态( 也称为领头项分析或首项分析) 。设方程( 2 5 ) 具有流动 的奇点z o ，当zj 气时，将 w a o ( z z o ) ， ( 2 6 ) 代入( 2 5 ) 并提取0 一z o ) 的最低次幂项并令其为零，求得p 和a 。的值。当p 不是整数，方程 的解将具有代数分支点，那么方程( 2 5 ) 就不是p 型的。若p 有两个以上的值，则要求对每个 p 分别进行后续步骤的分析。 步骤二：确定共振点，即求展开式中0 一气) 的这样的幂次，在这种幂次下展开式中可能出 现任意常数。对步骤一的每一个p 值，将 = a o ( z - z o ) p + p ( z - z o ) j 代入( 2 5 ) 的主要项，整理包含夕的项，得 o ( j ) p ( z - z o ) p = 0 ，q p + j 一刀， 称代数方程q ( j ) = o 的根j l ，l 为方程( 2 5 ) 的共振点。 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 注l ：通常- 1 为代数方程q ( j ) = o 的根，故它是方程的一个共振点，该共振点对应任意常 数z o 注2 ：若a 。被确定为任意常数，那么0 也是一个共振点。 注3 ：若q ( j ) = 0 有非整数根，表明方程有移动支点，则可判定方程( 2 5 ) 不是p 型的。 注4 ：对n 阶常微分方程而言，若代数方程q ( j ) = o 有重根，表明方程的解存在移动对数 支点，从而判定方程不是p 型的。 第二章非线性发展方程的p a i nj e v 6 性质 步骤三：设 歹2 j ，将 w = a o ( z 一) 一p + + 口。( z z o ) 一p + 厶： 代入( 2 5 ) ，比较( z - - z 。) 的各次幂的系数，确定共振点r 对应的系数a ，的值广 l ，验证共振 点j k ( k 亍1 , 2 ，m ) 的相容性条件是否恒成立。 a r s 方法给出了判定非线性常微分方程是否具有p a i n l e v 6 性质的必要条件，它仅能分析方 程的非负共振点是否满足相容性条件，只能判定方程是否含有移动代数支点及对数支点，对本 性奇点则需单独进行分析。 ( 二) 偏微分方程的p a i n l e v 6 性质 尽管p a i n l e v 6 性质的提出由来己久，但其大力推广和应用还得益于a b l o w i t z 等发现p a i n l e v 6 性质与完全可积模型存在十分密切的联系。a b l o w i t z 等证明了洲：如果一个偏微分方程( 简 称p d e ) 可用反散射方法( i s t ) 求解，则和这个偏微分方程相对应的用相似方法得到的常微分 方程都具有p a i n l e v 6 性质。 至今已经知道的i s t 可解的p d e ，其精确约化的o d e 都是p 一型的，而且不是i s t 可解的p d e ， 其精确约化的o d e 就不是p 一型的，所以a b l o w i t z ，r a m a n i 和s e g u r 作出了如下猜想： a r s 猜想：一个偏微分方程是i s t 可解的，如果仅当用精确约化法( 或者经过适当变量变 换) 得到的所有非线性常微分方程都具有p a i n l e v 6 性质。 ， a r s 猜想不仅建立了p a i n l e v 6 性质与可积性的联系，还给出了检验偏微分方程的p a i n l e v 6 性质的一个准则。利用该猜想判定一个非线性p d e 的p a i n l e v 6 性质包括两个主要步骤：求出 给定偏微分方程的相似约化，得到相应的非线性常微分方程，用a r s 方法逐个验证非线性常微 分方程是否只有移动极点。 a r s 猜想给出了检验偏微分方程的p a i n l e v 6 性质的一个准则，但验证过程比较复杂。首先 必须求出给定偏微分方程的相似约化来，然后用a r s 方法逐个验证它们是否只有极点型的可去 奇点。此外，并不是每一个偏微分方程都能求出所有的相似约化来，有些偏微分方程甚至没有 任何相似约化，所以a r s 方法对于偏微分方程而言，并不是最有效的。如果我们能够找到种 方法，它可以直接运用于偏微分方程，问题就会容易得多。为此，w e i s s ，t a b o r 和c a r n e v a l e 7 内蒙古师范大学硕士学位论文 ( 简称w t c ) 将常微分方程的p a i n l e v 6 性质直接推广到偏微分方程乜。w e i s s 等给出了偏微分 方程p a i n l e v 4 性质的定义：如果一个偏微分方程的所有解在任意奇异流形上都是单值的，则这 个偏微分方程具有p a i n l e v 6 性质。 ( 三) 偏微分方程的p a i n l e v 4 试验 偏微分方程的p a i n l e v 6 性质的试验，可以使用多种方法，包括a r s 方法、w t c 方法盥卜2 射、 k r u s k a l 简化方法1 0 1 、共形不变p a i n l e v 4 分析法3 、推广的p a i n l e v $ 分析法州及w t c k r u s k a l 算法n 3 1 。a r s 方法已前面作了介绍，这里我们介绍其他几种方法。 p a i n l e v 6 试验的l t r c 方法 1 9 8 3 年，w e i s s ，t a b o r 和c a r n e v a l e ( 简称w t c ) 乜卜2 2 1 推广了o d e 的p a i n 1 e v 6 可积的判定 方法嘲1 ，提出了p d e 的p a i n l e v 6 可积的判定方法，并用其获得可积方程的l a x 对、b i i c k l u n d 变 换以及d a r b o u x 变换。 推广的试验方法可以直接运用于判定非线性偏微分方程的p a i n l e v 6 性质。对于一个非线性 p d e ，w e i s s ，t a b o r 和c a r n e v a l e 在分析中引入了流形的概念，他们定义： 如果一个偏微分方程的所有解在任意奇异流形上都是单值的，则这个偏微分方程具有 p a i n le v 6 性质。 根据这个定义，w e i s s - t a b o r c a r n e v a l e 引入了p d e 的p a i n l e v 6 性质试验方法，即所谓的 w t c 方法： 考虑一给定的非线性偏微分方程 k ( u ) = 0 ， ( 2 9 ) 设奇异流形 妒( 毛，z 2 ，乙) = 0 ， ( 2 1 0 ) 定义了一个任意的可去奇异流形。设k ( u ) = u ( 毛，7 2 ，乙) 为( 2 9 ) 的一个解，如果k ( u ) 具有 形式 u ( 而，乞，乙) = 矿以矿， ( 2 11 ) k * o 其中= 以( z l ，z 2 ，乙) ，( k = o ，l ，2 ，) 是在流形( 2 1 0 ) 附近关于( z 。，z 2 ，- - z 。) 的解析函数， 8 第二章非线性发展方程的p a i nj e v 6 性质 p 为负整数，则称( 2 9 ) 具有p a i n l e v 6 性质。 将展开式( 2 1 1 ) 代入偏微分方程( 2 9 ) ，比较妒的最低幂次项，可得p 和砜的值，同时可 得u 。的递推关系式 ( 七一岛) ( 后一乞) ( 七一毛) = f ( 以一l ，m o ，仍，织，) ，k = o ，1 ，2 ， ( 2 1 2 ) 从式( 2 1 2 ) 可看出，当k = k l ，七2 ，吒时，玩不能确定，这些k 值称为递推关系的“共振点 。 在这些点上，矾是“任意的”。对于共振点k = k 仰，z ) ，在展开式( 2 1 1 ) 中必须引入任意 函数和相容性条件。该条件要求对于函数( 仍砜，矾，u 朋一。) 式( 2 1 2 ) 右端恒等于0 。 综上所述，p a i n l e v 6 试验的w t c 方法首先要求选择一个展开族( 支) ，即选择一组领头项 指数p 和领头项系数乩。对于每一个展开族，存在一组共振点k = k l ，一，k ) ，展开式( 2 1 2 ) 中要求引入的任意函数所对应的即是这些k 值。同时，每一个共振点的相容性条件均要求满足。 这里对偏微分方程的展开族作如下两个定义：如果方程的一个展开族拥有共振点个数”与 该方程( 组) 的阶数相同，则定义这样的展开族为最大展开族；如果展开族拥有的共振点除1 外都是非负整数，且1 只出现一次，则定义其为基本展开族【2 6 】。 根据p a i n l e v 4 试验的新近发展f 2 7 】可得，拥有p a i n l e v 4 性质的p d e 满足的必要条件为： ( 1 ) 不论展开族代表通解或特解，p 必须是整数。 ( 2 ) 共振点必须是分立的整数。 ( 3 ) 每一个共振点对应的相容性条件必须满足。 在偏微分方程的p a i n l e v 6 试验方法中，w t c 方法已经被证明是一种非常有效的工具。 然而，w t c 方法乜h 2 1 也能够为p d e 的完全可积性质提供了有效证明。由截断展开 坼= 缈p 叽矿， ( 2 1 3 ) k = o 出发可以获得许多可积的p d e 的l a x 对。m u s e t t e 和c o n t e 陶1 在算法上改进了w e i s s 乜2 1 提出的 奇异流形方法，推广的方法在给出p d e 的l a x 对的同时，也能够求出方程的b i i c l d u n d 变换以及 d a r b o u x 变换。为了保证w t c 展开式在常数级的截断式( 2 1 3 ) 存在，关键是寻找关于奇异流形 矽的约束，即所谓的“奇异流形方程 。 对于展开式( 2 1 1 ) 某些选定的任意系数，截断展开式( 2 1 3 ) 仅仅代表( 2 1 1 ) 的平庸求 和( 有限项求和) ，其中矿满足奇性流形方程组。特别地，展开式( 2 1 1 ) 中矽任意的正指数项对 9 内蒙古师范大学硕士学位论文 应的系数均取为0 。 k r u s k a l 简化方法 w t c 方法直接应用于偏微分方程的p a i n l e v 6 检验是很有效的，但其计算量比较大。若将这 种方法应用于高阶非线性发展方程或强耦合非线性发展方程组，计算量将更加庞大。为此， k r u s k a l 等对w t c 试验算法提出了_ 种简化方法：( 这里仅以1 + 1 维方程为例) 令u ，( x ，) 仅为f 的函数，而且奇异流形满足 妒( z ，f ) = x + y ( ，) ， 然后再进行w t c 方法的后续工作。 共形不变p a i n l e v d 分析方法 在w t c 方法的展开式( 2 i i ) 中，矽是任意的，并且扮演了两个角色：奇异流形的定义与 展开量。在p d e 的p a i n l e v 珊d p 一，c o n t e 引入了一个展开变量z z ：( 堕一冬) 一， ( 2 1 4 ) ? 9j z 9 。 从而成功地将同一个伊所起的两个不同作用区分开来。这样u 的展开式可以重新写为 u = z ，以z ， ( 2 1 5 ) 的形式。( 2 1 5 ) 式的所有展开系数阢在流形伊的m 6 b i u s 变换( 任意的同构群变换) 矽寸旦型，a d b 仁1 ， ( 2 1 6 ) c ( o + 口 下是不变的。 展开变量z 满足r i e c 撕方程 以：1 + 丢观2 ， ( 2 1 7 ) 石：c + c z 一要( c 二+ c s ) z 2 ， ( 2 1 8 ) 式中s 是t p 的s c h w a r z 导数，且s 和c 分别为 s 暑 妒；x ) ：( 堕) ，一三( 堕) 2 ，c 宣一盟， ( 2 1 9 ) 9 ； 2 9 l9 l 式( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) 的相容性条件是 第二章非线性发展方程的p ai nf e v 6 性质 墨+ c 砸+ 2 s c x + s ，c = 0 ( 2 2 0 ) 孽 共形不变的p a i n l e v i 分析法中展开式( 2 1 5 ) 是对w t c 展开式( 2 1 1 ) 的一个再求和结果。 经过严密地推导，c o n t e 给出了展开系数u ：和u 。之间的变换公式。共形不变的p a i n l e v 6 r 子析 方法的一个很大优点是大大简化了展开系数u ：的表达式。而标准的w t c 截断展开式( 2 1 3 ) 可以改写成 一尸 u r = 肌u i z ( 2 2 1 ) k = o 推广的p a i n l e v 6 分析法 在展开式( 2 1 5 ) 中，c o n t e 引入了z 作为展开变量。虽然该变量满足的r i c c a t i 方程( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) 包含了两个任意函数s 和c ，但s 和c 之间只存在一个约束关系，所以展开变量z 的 任意性仍然成立。依据这样的观点，楼森岳教授对c o n t e 的展开方法作了进一步的发展【2 4 1 。 在推广p a i n l e v 6 分析方法中，楼森岳教授指出：我们可以选择不同的函数作为新的展开变 量，只要使变量满足的一对“梯度 ( 对自变量x ，t ) 方程中任意函数的个数大于它们的约束 条件的个数，那么就可以保证新的展开变量的任意性。例如，选择与2 n + 2 个任意函数s ，和z 有 关的函数孝作为展开变量，且善满足下列关系： 则解u 的展开式可以写成 | 磊= e 六 k = 0 u = 孝尸u k = o 关于善的方程式( 2 2 2 ) 中，仅存在2 n 1 个约束方程 n + l s - r 时- z k ( s y + l 一k & l ) = qn = o ，1 ，2 n 七( 瓯+ l - i - y t s o + l _ t ) = o n = n + l ，n + 2 ，2 n - 2 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 所以，函数s 和z 中至少存在三个任意函数。也就是说，新的展开变量孝的任意性条件满足。 w t c k r u s k a l 算法 朱思铭教授囱3 根据a r s 方法，将吴方法和符号计算应用于偏微分方程的p a i n l e v 6 性质试验， 七 声j 、瓯 脚 i i 内蒙古师范大学硕士学位论文 证明了一大批偏微分方程是p 一型的。最近谢福鼎博士、陈勇博士提出了p a i n l e v 6 试验的新算 法渤1 ，该算法主要特点是将吴微分消元法思想用于相容性条件的验证，但在共振点的计算上较 为繁琐。基于这个新算法他们在m a p l e 系统上开发了单个方程的p a i n l e v 6 试验的软件包。 h e r e m a n 等在非线性系统p a i n l e v 6 性质的自动检验做出了出色工作，先后在m a c s y m a 及 m a t h e m a t i c a 平台上开发了用于非线性常微分方程、非线性偏微分方程、非线性晶格方程 p a i n l e v $ 试验的软件包b 1 3 2 1 。 w t c 方法和k r u s k a l 方法是非线性发展方程p a i n l e v 6 试验的两种常用方法。w t c 方法的最大 不足是检验效率低，在检验高阶非线性发展方程或耦合方程时尤其如此，而k r u s k a l 方法虽有 较高的检验效率，但却无法获得进一步研究方程其他可积性质的有用信息，如p a i n l e v 6 截断展 开式，由此基于这两种方法的软件包也存在一定的局限性。为充分发挥w t c 方法和k r u s k a l 方 法的优点，徐桂琼博士和李志斌教授提出了一种新算神t c - k r u s k a l 算法，基于这个新算法 他们又在计算机符号系统m a p l e 上开发了w k p t e s t 软件包口。 为简便起见，仅以两个自变量为例来阐明如何应用w t c - k r u s k a l 算法进行p a i n l e v 6 试验的 过程，对多个自变量的情形，试验步骤完全类似隅3 4 - ：m 。 考虑1 + 1 维的非线性发展方程( 组) 风( ”，”n ，u n ，) = 0 ，s ，k = 1 ，m ( 2 2 4 ) 其中未知函数为m 元变量，u = ( 材l ( z ，) ，u 2 ( x ，f ) ，( x ，f ) ) ，u 表示所有k 阶导数，红是变元 以及其导数的多项式。 方程组( 2 2 4 ) 通过p a i n l e v 6 试验，如果其所有解关于任意奇异流形矽是单值的，即 蚱( x ，f ) = 缈( 毛f ) q m ( x ，r ) 缈( 工，) ，u l , o ( x ，) o ，q z 一 ( 2 2 5 ) k = o 中有与方程组( 2 2 4 ) 的阶数相同数目的任意函数。w t c - k r u s k a l 算法验证方程组( 2 2 4 ) 的 p a i n l e v 6 可积性由以下四个步骤组成： 步骤1 ：首项分析。如果方程组( 2 2 4 ) 有形如( 2 2 5 ) 的解，将 u 。( x ，) = 材，o 矽q ， f = 1 , 2 ，m ( 2 2 6 ) 代入方程组( 2 2 4 ) ，比较关于伊的最低幂次项，可确定出首项阶数口。和首项系数”5 j 。对具有 较强非线性方程( 组) 而言，首项分析可能得到多组解，即方程组存在多个不同的分支。对每 1 2 第二章非线性发展方程的p a i n l e v b 性质 个分支都要进行后续步骤的分析。如果( ，口。) 没有负整数解，表明方程组的所有分支均为 代数分支，此时w t c - k r u s k a l 算法终止。 步骤2 ：确定截断p a i n l e v 6 展开。截断p a i n l e v 6 展开可用于研究非线性系统的诸多可积性。使 用w t c - k r u s k a l 算法，还可以得到方程组可能的截断p a i n l e v 6 展开。将截断展开式 ( x ，n - - - - u i ，o 矿+ 坼，l 旷q “+ + 一岛矽o ，f = 1 ，m ( 2 2 7 ) 代入方程组( 2 2 4 ) ，比较关于缈的同次幂项并令其为零，确定“? ( 尼= o ，1 ，一呸- 1 ) 的值。若 存在掰? 无解，则级数( 2 2 5 ) 不能截断展开至常数项。 步骤3 ；寻找共振点。对所有的非代数分支，计算该分支的共振点。在每一个共振点，- 处，级 数( 2 2 5 ) 中的系数z f ：磅可能为任意函数。为确定共振点的值，只需将级数( 2 2 5 ) 的简化式 ( x ，t ) = z i , o 矿+ u t ，矿”，江1 ，2 ，m 代入方程组( 2 2 4 ) ，提取关于缈的最低幂次项，得 q ( ，) 咋= 0 ，u ，= ( “黪”只，“：哪) r = o ， 其中q ( ，) 为y i x ，z 矩阵。关于，的代数方程 d e t q ( r ) 】= 0 ， ( 2 2 8 ) 的根是方程组( 2 2 4 ) 的共振点集合。 若代数方程( 2 2 8 ) 有非整数根，即方程组存在非整数型共振点，表明该分支为代数分支， 由p a i n l e v 6 性质的定义，方程组( 2 2 4 ) 不能通过p a i n l e v 6 试验，w t c - k r u s k a l 算法终止。对 单个方程而言( m = 1 ) ，如代数方程( 2 2 8 ) 有重根，表明代数方程有对数支点，此时方程( 2 2 4 ) 不能通过p a i n l e v 6 试验，w t c - k r u s k a l 算法终止。若( 2 2 4 ) 为耦合方程组，则允许存在相同 的共振点。 奇异流形矽为任意函数，故1 通常为( 2 2 4 ) 的一个共振点。此外，0 也可能是共振点，它 对应于级数( 2 2 5 ) 中u ，o 为变量z ，f 的任意函数。 步骤4 ：验证相容性条件。如果方程组( 2 2 4 ) 有形如( 2 2 5 ) 的解，每一个共振点引入一个相 容性条件。对每一个分支验证相容性条件，不必考虑级数( 2 2 5 ) 的完整形式，只需将其有限 展开式 ( 硝) ：艺m ，i 矿，f ：1 川2 ，m ( 2 2 9 ) k - o 1 3 内蒙古师范大学硕士学位论文 代入方程组( 2 2 4 ) 中，其中为最大的共振点。为简化计算过程，( 2 2 9 ) 式中 “，上( 后= o ，一一1 ) 可取步骤2 中截断展开式中相应系数的值。在非共振点k 处，将( 2 2 9 ) 式 代入( 2 2 4 ) 后，提取缈的同次幂项，计算出u 女，的值。在共振点，处，利用已确定，u r 山的 值验证相容性条件是否满足。 若所有分支的相容性条件恒成立，且主分支有与方程组阶数相同数目的任意函数，则称方 程组( 2 2 4 ) 通过p a i n l e v 6 试验。换句话说，给定方程组( 2 2 4 ) 在以下三种情况下不能通过p a i n l e v 6 试验：( 1 ) 首项分析确定的首项阶数不是负整数；( 2 ) 由代数方程组得到的共振点集合包括有非 整数共振点，或者对单个方程而言，代数方程有重根；( 3 ) 对非负共振点处相容性条件不能恒 成立。 w t c - k r u s k a l 算法的前两步中，奇异流形函数按w t c 方法定义，既 驴= 缈( x ，f ) ， u ! ，i = “? ( x ，) ， 而后两步中，为了简化计算，采用了k r u s k a l 简化手段，既令 伊= x - - 少( ，) 甜? = 甜? ( ，) ， 利用w t c - k r u s k a l 算法，我们不仅可判断给定的非线性偏微分方程组是否通过p a i n e v 6 试验， 还可以得到方程组的截断p a i n l e v 6 展开。这种截断展开有助于进一步研究可积系统的其他可积 性以及不可积系统的特殊解。 1 4 第三章修正k d v 方程的递推算子及其共振点 第三章修正k d v 方程的递推算子及其共振点 本章利用p a i n l e v 6 性质展开有关首项阶数、解分支和共振点的性质，从给定的具有p a i n l e v 6 性质的一个方程出发去构造具有p a i n l e v 6 性质的一族方程。同时还给出了描述非线性晶格t a d a 方程在连续区间的极限型k d v 族的递推算子和所有解分支的共振点。 w e i s s ，t a b o r 和c a m e v a l 给出了偏微分方程p a i n l e v 6 性质的自然推广( 即w t c 方法) ， 这就要求解关于移动奇异流形是单值的。w t c 方法引出了内涵丰富