（应用数学专业论文）数据包络分析在多阶段交换生产系统中的应用.pdf

数据包络分析在多阶段交换生产系统中的应用 摘 要 数据包络分析(dea)是一种用来对一组具有多输入和多输出的决 策单元(decision making unit ,简称dmu) 的相对效率进行评价的数学规 划方法。该方法在不需要给出投入产出数理函数关系和权重假设的前提 下，仅利用投入产出的观察数据来评价各个决策单元( dmu) 之间的差 异, 即相对有效性。经典dea模型一般考察只有一个阶段的生产系统或 者将多阶段生产系统视为一个“黑箱” ，不考虑中间产品，即等价于单一 阶段的生产系统。这显然不能满足生产实际的需要。 化工生产中经常出现中间生产过程与外部有物质交换的多阶段生产 系统。如何评价一个生产过程的效率并提出科学地提高该效率，是一个 值得研究的课题。为考察这一系统的生产效率，本文根据这一实际背景， 利用数据包络分析方法从三个不同角度建立了相应的数学模型，即只考 虑一个阶段的单阶段模型、不考虑内部转化的多阶段黑箱模型，以及考 虑内部转化的多阶段总模型，给出了决策单元的各种 dea 有效性定义， 证明了各有效决策单元的存在性定理、量纲无关定理等性质，最后讨论 了各种不同模型 dea 有效性之间的关系， 并得到总模型的弱有效性可以 推出黑箱模型的弱有效性的结论。 关键词：数据包络分析，多阶段，物质交换，决策单元，dea 有效性 application of data envelopment analysis in multi- stage exchange production system abstract data envelopment analysis (dea) is a mathematical programming method of evaluating the relative efficiency of a series of decision making unit (dmu) with multi- input and multi- output. this method can evaluate the performance difference, namely relative efficiency, of dmus just through the real input and output, without the function between input and output or the weight assumption. classical dea model is generally used in a single stage production system, or a multi- stage production system which is treated as a black- box system without the internal mechanism, equal to a single stage one. but it s not suitable for many real production systems obviously. there are many multi- stage production systems with exchange of substance with outside during the process. how to evaluate the efficiency of a production system and then improve the efficiency scientifically, which is really a valuable problem. in order to evaluate the performance of this system, we use dea method to set up mathematic models from three different points of view, which include the single stage model, multi- stage black- box model which ignore the internal mechanism and multi- stage total model which include the internal mechanism according to the fact. we define the different dea efficiency of dmu and prove the existence theorem and dimension irrelevance theorem of efficient dmu, and so on. at last we analyze the relationship among the efficiency of different models. and we get conclusion that if there is an efficient dmu in the total model, then there must be an efficient one in the black- box model. key words: dea, multi- stage, exchange of substance, dmu, dea efficiency 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：陈 媛 日期：2 0 0 8 年 4 月 8 日 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文。 保密，在 年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密。 （请在以上方框内打“” ） 学位论文作者签名：陈 媛 指导教师签名：王晓敏 日期：2 0 0 8 年 4 月 8 日 日期：2 0 0 8 年 4 月 8 日 1 第一章 绪论 1.1 dea 的发展 数据包络分析(data envelopment analysis，简记 dea)是著名的运筹学家 a. charnes和w.w .cooper和e.rhodes以相对效率概念为基础发展起来的一种新的效率 评价方法。1978 年，第一个 dea模型 2 c r出现1。此后 dea 方法和理论在实际的 应用中快速发展并逐步成熟, 新的模型被不断地建立, 如 2 bc模型(banker. r.d, w.w. cooper, 1984) 、fg 模型( fare r、grosscopf,1985) 、 22 c gs模型( a.charnes、w.w. cooper, 1985) 、 2 c w和 2 c wh模型( 魏权龄、charnes、cooper, 1986) 等。在过去的 近 30 年中,在运作管理研究中,dea 是最有活力和富有成果的领域之一23，至今已 经形成关于效率、生产可能集、生产前沿面等概念的完整的理论、方法和模型的研 究领域。 1.2 dea 方法的基本原理 数据包络分析(dea) 是使用数学规划对同类决策单元(decision making unit ,简 称dmu) 的相对效率进行评价的一种方法， 其研究对象是多投入多产出的生产过程。 所谓同类决策单元,是指具有三个特征的 dmu 集合:有相同的目标和任务;有相同的 外部环境;有相同的输入和输出指标。 设某个 j dmu在一项经济(生产) 活动中的输入向量为 1 (,.,)t jjmj xxx=，输出向 量为 1 (,.,)t jjsj yyy=。初始的 dea 模型 2 c r是一个分式规划，即 0 0 2 max .11,2,.,() 0,0 t t t j t j t u y w x u y stjnc r w x uw = 当使用 1962 年由 charnes和 cooper 给出的 2 c 变换 （即过 charnes- cooper 变换， 参见文献4）后，可将分式模型化为一个与其等价的线性规划问题，即 2 2 0 0 max .01,2,., () 1 0,0 t tt jj i c r t t y stxyjn p x uw = = 于是对 d e a 模型 2 ()c r 性质的研究转化为对于线性规划模型 2 () i c r p的研究。 1.3 多阶段 dea 模型的发展 在经典 dea 模型中,每个 dmu 都被看作是一个“黑箱”,人们并不关心输入是 如何转化为输出的、运作过程本身是不是影响整体效率等等。但这显然不符合现实 中大多数生产过程的状况，大多中间过程本身都对整个过程有着重要影响。在突破 单一阶段的 dea 模型的过程中,代表性的成就是网络 dea 模型的提出。fare 和 grosskopf 首次提出网络 dea 的概念5 ,其实质是将 dmu 的“黑箱”打开,将复杂 的业务流程进行分解,从而考察每一业务环节可能存在的对生产系统整体效率的影 响。于是,生产过程之间的联系变量中间产品就显得格外重要,它既是前一阶段的 输出,又是后一阶段的输入。 目前研究较多的是基于两阶段生产过程的 dea 模型多阶段 dea模型的特 例。其 dea 模型研究分为两类:一类是资源约束型,即系统的总输入同时为两个阶段 所消费,chen 等人于 2006 年研究了这类 dea 模型6 ,该方法是以各阶段效率均值 最大化为目标函数构建模型的;一类是序列型,即系统的总输入只为第一阶段所消费, 后一阶段的输入完全来自前一阶段的输出，wang、gopal 和 zionts 于 1997 年提出 了序列型两阶段生产过程的 dea 效率评价模型7。 1.4 本文研究内容 本文主要提出中间过程与外部有物质交换的多阶段模型。所谓物质交换是指需 要外部在中间过程中提供输入，并且部分中间产物不再进入到下一阶段生产。这种 多阶段生产过程是有其重要的现实意义的。 工业生产，尤其是在化工生产中，经常有这样的生产过程：最终产品需要经过 多步中间反应才可以生成。在这些中间反应中，每一步的产物或者需要进入下一步 的反应过程，或者作为副产品回收，同时每一步反应也需要从外部输入补充原料或 催化剂等。例如硫酸的理论制造过程，如图所示： 3 硫 2 so 3 so 硫酸 氧气 氧气 水 图 1 硫酸制造流程图 我们将这种带有中间物质交换的生产过程称为多阶段交换过程。其特点为： 1阶段数大于 2； 2某个阶段的一部分输出可以作为下一阶段的输入，另一部分输出要离开生产系 统，可以视为最终输出之一； 3中间过程需要外部输入的补充。 本文将利用 dea方法从三个不同的角度分别研究单阶段过程、不考虑中间转化 的多阶段黑箱过程和考虑中间转化的多阶段过程，并建立相应的三个原始分式模型， 然后通过变换将其转化为等价的线性 dea 模型。对于得到的三个线性 dea 模型， 分别给出决策单元 dea有效性的定义， 并得到最优解存在性， 有效决策单元存在性， 量纲无关以及输入输出同倍增长无关等性质。最后本文讨论了不同模型 dea 有效性 的关系。 4 dt- 1 dt 第二章 t 阶段 dea模型 2.1 模型的建立 设共有 n 个决策单元。对于第 j 个决策单元 j dmu，定义其输入为 1, 1 2, (,.,) t j tttt jjmj t j x xxx x = ，输出为 1, 1 2, (,.,) t j tttt jjmj t j y yyy y = ，其中 1,2,1,2, , tltm ltlts l jjjj xexeye ye 上标 1 代表该部分输入、输出具有相同性质，并且上一阶段的输出 1,1t y 可以直接作 为下一阶段的输入的一部分；上标 2 代表该部分输入完全要依靠外部提供，该部分 输出不能作为下一阶段的输入。因此，多阶段生产过程如下图所示： 1,1 j x 1,1t j y 1,t j x 1,t j y 1, 1t j x + 2,1 j x 2,1 t j y 2,t j x 2,t j y 2,1t j x + 第 t 阶段 图 2 多阶段生产过程示意图 本章研究虚线框中的生产过程，即 t 阶段生产过程。 为简便起，记 1,0 0(1,., ) j yjn=， 0 dmu 为 0 j dmu 0 (1,2,., )jn。并记第 t 阶 段 d e a 模型为 t- d e a ，其原始模型为 0 111,1 00 111,1 1 1 2 () max ()() () () .11,2,.,(0) ()() () 0,0, 0 ttt ttttttt ttt j ttttttt jj t ttt l t uy wxwdy uy stjnt wxwdy w uwde w + = + = o o 5 （t- 0） 为一个分式规划， 使用下列变换可将其转化为一个等价的多项式规划形式： 111,1 00 1 ()() t ttttttt wxwdy = +o ， 1 2 t ttt t v w v = ， 11ttt w=， ttt u= 则目标函数可以化为 0 () ttt y 约束条件为 111,1 () ()() t tt j t ttttt jj y xdy +o = 111,1 () 1 ()() () t tt j t ttt ttt jj uy wxwdy +o ，1,.,jn= 0,0 tt 而由 111,1 00 1 ()() () t ttttttt wxwdy = +o 可知它化为 111,1 00 ()() ()1 ttttttt xdy +=o 因此分式规划（t - 0 ）化为 0 111,1 00 111,1 1 1 2 max() .()() ()1 ( - 1)()() ()()0 ,1,., 0,0, 0 ttt ttttttt tttttttttt jjj t ttt l t y stxdy txdyyjn v de v += += = o o 引理 2 . 1 分式规划（t - 0 ）与多项式规划（t - 1 ）在下述意义下等价： ( i ) 若 ,0,01,0 (,) ttt uwd 为（t - 0 ）的最优解，则 ,0,0,0,0,0,01,0 (,) ttttttt uwd = 为（t - 1 ）的最优解，且二者最优值相等，其中 ,0 ,01,01,01,1 00 1 ()() () t ttttttt wxwdy = +o ； （i i ）若 ,0,01,0 (,) ttt d 为（t - 1 ）的最优解，则 ,0,01,0 (,) ttt d 也为（t - 0 ）的最 优解，且二者最优值相等。 证明：（i） 设 ,0,01,0 (,) ttt uwd 为(t- 0)的最优解， 显然(t- 1)的任意可行解 1 (,)0 ttt d 都 6 为问题(t- 0)的可行解，故(注意到 111,1 00 ()() ()1 ttttttt xdy +=o) ,0 00 0 ,01,01,01,1111,1 0000 ()() () ()() ()()() () tttttt ttt tttttttttttttt uyy y wxwdyxdy = +oo 又由 ,0 ,0,0,0 0 00 ,01,01,01,1 00 () ()() ()() () ttt ttttttt ttttttt uy uyy wxwdy = +o 故对（t - 1 ）的任意可行解 1 (,) ttt d 有 ,0 00 ()() tttttt yy. 而 ,0 ,0,0,0 ,01 , 01,01,1 00 ()() () t ttt ttttttt u u wxwdy = +o ,0 ,0,0,0 ,01,01,01,1 00 ()() () t ttt ttttttt w w wxwdy = +o 1,01,0tt dd = 为（t - 1 ）的可行解，因此 ,0,01,0 (,) ttt d 为（t - 1 ）的最优解，并且( t - 0 ) 与( t - 1 ) 最 优值相等。 (ii) 设 ,0,01,0 (,) ttt d 为(t- 1)的最优解，可知 ,0,01,0 0,0,0 ttt l de ，并且 ,0,01,0 (,) ttt d 为（t- 0）的可行解。此外，对于问题（t- 0）的任意可行解 1 (,) ttt u w d ， 令 11 111,1 00 1 , ()() ttttttttt ttttttt uw dd wxwdy = +o ， 显然 1 (,) ttt d 是（t - 1 ）的可行解，于是有 ,0 0 00 111,1 00 () ()() ()() () ttt tttttt ttttttt uy yy wxwdy = +o ， 因为 ,01 , 01,01,1 00 ()() ()1 ttttttt xdy +=o，故 ,0 ,0 0 0 ,01 , 01,01,1 00 () () ()() () ttt ttt ttttttt y y xdy = +o ， 所以，对( t - 0 ) 的任意可行解 1 (,) ttt u w d ，有 ,0 00 ,01 , 01,01,1111,1 0000 ()() ()() ()()() () tttttt tttttttttttttt yuy xdywxwdy +oo 。 7 因此 ,0,01,0 (,) ttt d 为（t - 0 ）的最优解， ，并且（t - 0 ）与（t - 1 ）最优值相等。 （t- 1） 是非线性规划模型， 使用下列变换可将其化为一个等价的线性规划的形式： 11ttt d =o 代入（t - 1 ）得线性规划模型 0 1,1 00 1,1 1 1 2 max() .()()1 - 2()()()0,1,., 0,0, 0 ttt tttttt ttttttttt jjj t tttt t y stxy txyyjn v v += += = （） 引理 2 . 2 多项式规划（t - 1 ）与线性规划（t - 2 ）在下述意义下等价： （i ）若 ,0,01,0 (,) ttt d 为（t - 1 ）的最优解，其中 1,0 ,0 2 ,0 t t t v v = ，则 ,0,0,0 (,) ttt 是（t - 2 ）的最优解，且两者最优值相等，其中 ,01,01,0ttt d =o。 （i i ）若 ,0,0,0 (,) ttt 是（t - 2 ）的最优解，则 ,0,01,0 (,) ttt d 为（t - 1 ）的最优 解，且两者最优值相等，其中 1,0,01,0 / ttt d =。 证明: ( i ) 对模型 （t - 2 ） 的任意可行解(,) ttt ， 相应的 1 (,) ttt d 都是模型 （t - 1 ） 的可行解，其中 1 / ttt d =。 ,0,01,0 (,) ttt d 为（t - 1 ）的最优解，则 ,0 00 ()() tttttt yy 而 ,0,0,0 (,) ttt 显然是（t - 2 ）的可行解，其中 ,01,01,0ttt d =o，所以它是（t - 2 ）的 最优解，且最优值相等。 ( i i ) 令 1,0,01,0 / ttt d =，则 ,01,01,0ttt d =o，因此 ,0,01,0 (,) ttt d 为（t - 1 ）的 可行解。又对（t - 1 ）的任意可行解 1 (,) ttt d ，显然(,) ttt 是（t - 2 ）的可行解， 其中 11ttt d =o。由于 ,0,0,0 (,) ttt 是（t - 2 ）的最优解，有 ,0 00 ()() tttttt yy 所以 ,0,01,0 (,) ttt d 也是( t - 1 ) 的最优解, 且两者最优值相等。 由引理 2 . 1 、2 . 2 马上得到如下定理。 定理 2 . 1 分式规划问题（t - 0 ）与线性规划（t - 2 ）在下述意义下等价： 8 （i ）若 ,0,01,0 (,) ttt uwd 为（t - 0 ）的最优解，则 ,0,0,0 (,) ttt 是（t - 2 ）的最优解， 且两者最优值相等，其中 ,0 ,0 ,01 , 01,01 1 00 ()() () t t ttttttt u wxwdy = +o ,0 ,0 ,01,01,011 00 ()() () t t ttttttt w wxwdy = +o 1 , 01,0 ,0 ,01,01,011 00 ()() () tt t ttttttt wd wxwdy = + o o （i i ）若 ,0,0,0 (,) ttt 是（t - 2 ）的最优解，则 ,0,01,0 (,) ttt d 为（t - 0 ）的最优 解，且两者最优值相等，其中 1,0,01,0 / ttt d =。 2.2 模型的性质研究 定理 2 . 2 线性规划（t - 2 ）存在最优解，并且最优值小于等于 1 。 证明：令 0 2 0 t t t x x =， 1 1 0 2 0 2 t tt t x x = 则 11,1 *1,1 00 00 2 0 () ()()1 2 ttt tttt t xy xy x += + 令 0 2 0 0 11,12 11,1 00 000 2 0 2 () 2() 1 2 t t t t t tt tttt t x x x xy xxy x = + + 1 1 0 21,1 11,1 00 000 ()() 2() tt tt tttttt tttt x xy xxy = + + 令 1 (,0,.,0) tts e= 其中 9 1 1,1 1 ()() min tttttt jj t t j n sj xy e y + = 显然有 1 0,0, 0 tttt ，并且 1,1 00 ()()1 t ttt tt xy += 以及 1,1 ()()()0,1,., ttttttttt jjj xyyjn += 因此 (,) ttt 是（t - 2 ）的可行解，即（t- 2 ）存在可行解。又显然（t- 2 ）的可行域 有界，故由线性规划最优解存在性定理知（t- 2 ）存在最优解。并且，对（t- 2 ）的任 意可行解(,) ttt ，有 11 000 ()()()1 ttttttttt yxy += 于是知（t- 2 ）的最优解小于等于 1 。 定义 2 . 1 若线性规划（t - 2 ）的最优值为 1 ，则称 0 j dmu为 t - 弱 d e a 有效。进一步， 若模型( t - 2 ) 存在最优解 ,0,0,0 (,) ttt ，满足 ,0,0,0 0,0,0 ttt ，且最优值为 1 ， 则称 0 j dmu为 t - d e a 有效。 引理 2 . 3 设 1 1 2 0,0, 0,0 t ttttt t = ，满足 11 ()()()01,., ttttttttt jjj xyyjn += 若对某 * (1)jjn，有 * 11 ()()()0 ttttttttt jjj xyy += 则 * j dmu为 t - 弱 d e a 有效。进一步，若 0,0,0 ttt ，则 0 j dmu为 t - d e a 有 效。 证明：令 * 1,1 ()()0) tttttt jj xy +， * 1 2 1,1 ()() t t t t tttttt jj xy = + ， * 1,1 ()() t t tttttt jj xy = + ， * 1,1 ()() t t tttttt jj xy = + 10 则 1 0,0,0 tttt ，且满足 1,1 ()()()0 ,1,., t ttt ttt tt jjj xyyjn += * 1,1 ()()1 t ttt tt jj xy += 又 * * * 1,1 () ()1 ()() t tt j t tt j t ttt tt jj y y xy = + 即当模型 （t - 2 ） 中取 0* jj=时， (,) ttt 是 （t - 2） 的可行解， 且其目标值 * ()1 t tt j y=。 因为（t - 2 ）的目标函数值小于等于 1 ，所以(,) ttt 为( t - 2 ) 最优解且最优值为 1 ， 由定义知 * j dmu为 t - 弱 d e a 有效。 当 0,0,0 ttt 时，有0,0,0 ttt ，由定义知 * j dmu为 t - d e a有 效。 引理 2 . 4 存在0 ，对( , )o ，下面线性规划存在可行解： 0 1,1 00 1,1 1 max() .()()1 ()()()0,1,., ( - 3) ttt tttttt ttttttttt jjj t m t s tt l y stxy xyyjn t e e e += += 证明：记 000 1 (,.,) tttt jm xxx=，令 0 * 2 0 0,1,., i t i t x im x = 0 * 2 0 ,1,., 2 i t ii t x il x = 则 11,1 *1,1 00 00 2 0 () ()()1 2 ttt tttt t xy xy x += + 令 11 0 0 2 0 11,12 11,1 00 000 2 0 2 0,1,., () 2() 1 2 i i t t t i t tt tt tt t x xx im xy xxy x = + + * 0 2*1 1 111 00 000 , 1,., ()() 2() t ii ii tttt tttt x il xy xxy = + + ,1,., r rs= 其中 ( , )o 1,1 111 ()() minmin,min,min,1 tttttt jj ii t i mi lj n sj xy e y + = 可知 1 , ttt msl eee 1,11,1 ()()()()()()0,1,., tttttttttttttttttt jjjjjsj xyyxyeyjn +=+= 1,1 00 ()()1 t ttt tt xy += 即 (,) ttt 为( - 3)t 的可行解。 定理 2 . 3 （存在性定理）至少存在一个 d m u 是 t - d e a 有效的。 证明：考虑线性规划问题( - 3)t ，由引理 2 . 4 ，存在0 ，使得( - 3)t 有可行解。由 于对( - 3)t 的任意可行解(,) ttt ，其目标函数值 11 000 ()()()1 ttttttttt yxy += 故知( - 3)t 存在最优解。设其最优解为 ,0,0,0 (,) ttt 。 （i）若存在 * (1)jjn，有 * ,0,01 1,0 ()()()0 ttttttttt jjj xyy += 根据引理 2.3， * j dmu为 t- dea 有效。 （i i ）若对1,2,.,jn=，均有 ,0,01 1,0 ()()()0 ttttttttt jjj xyy + 令 12 ,0,01 1 ,0 1 ()() min () tttttt jj ttt j n j xy y + = 则1 ，并有 ,0,01 1,0 ()()()0,1,2,., ttttttttt jjj xyyjn += ,0,011 00 ()()1 tttttt xy += ,0,0,01,0 , tttt mssl eeee 因此 ,0,0,0 (,) ttt 为( - 3)t 的可行解，但其目标函数值却有 ,0,0 00 ()() tttttt yy 这与 ,0,0,0 (,) ttt 为( - 3)t 最优解相矛盾，故情况( i i ) 不可能，证毕。 定理 2 . 4 （有效性与量纲选取无关定理）决策单元的 t - 弱 d e a 有效性和 t - d e a 有效 性与输入和输出量纲的选取无关。 证 明 ： 设 输 入 和 输 出 的 量 纲 发 生 变 化 ， 即 各 j dmu由(,) tt jj xy变 为 (,),1,., tt jj xyjn=oo，其中 1 1 1212 2 (,.,) ,(,.,) tt ml = 1 1 1212 2 (,.,) ,(,.,) tt sl = 由于 1t j x与 1t j y具有相同量纲，因此 11 =。则量纲发生变化后的模型为 0 11,1 00 11,1 1 max() () .() ()() ()1 (4) () ()() ()() ()0,1,., 0,0, 0 ttt tttttt ttttttttt jjj tttt y stxy t xyyjn += += o oo ooo 由模型(t- 2)、(t- 4)可知，若 ,0,0,0 (,) ttt 为模型(t- 2)的最优解，令 1,0,0,0 1 2 , ttt ttt = ) ) ) ) 则 ,0,0,0 (,) ttt 为模型(t- 2)的最优解的充分必要条件是(,) ttt ) ) 为(t- 4)的最优解， 并且 ,0,0,0 0,0,0 ttt 的充分必要条件是0,0,0 ttt ) ) 。 由 t- 弱 d e a 有效性 和 t- d e a 有效性的定义， 知定理结论成立。 13 定理 2 . 5 （有效性与 d m u 同倍 “增长” 无关定理） 决策单元的 t - 弱 d e a 有效性和 t - d e a 有效性与决策单元对应的输入和输出的同倍“增长”无关。 证明：设输入和输出同倍“增长“，即各 j dmu由(,) tt jj xy同倍“增长”为 (,),1,., tt jjjj xyjn=，其中 1, 0,1,., jj ejn= 则同倍“增长”后的模型为 00 11 0000 11 1 max() () .() ()() ()1 ( - 5) () ()() ()() ()0,1,., 0,0, 0 tttt ttttttt tttttttttt jjjjjj tttt y stxy t xyyjn += += 由 1, 0,1,., jj ejn=不难看出，上述规划等价于线性规划 00 11 000 11 0 1 max() () .()()1 (6) ()()()0,1,., 0,0, 0 ttt tttttt ttttttttt jjj tttt y stxy t xyyjn += += 由模型(t- 2)、(t- 6)可知，若 ,0,0,0 (,) ttt 为模型(t- 2)的最优解，令 ,0,0,0 000 , ttt ttt = % % 则 ,0,0,0 (,) ttt 为模型(t- 2)的最优解的充分必要条件是(,) ttt %为(t- 6)的最优解， 并且 ,0,0,0 0,0,0 ttt 的充分必要条件是0,0,0 ttt % %。 由 t- 弱 d e a 有效性 和 t- d e a 有效性的定义，知定理结论成立。 2.3 本章小结 对于采用上一阶段部分输出作为本阶段输入，即引入 11,1 0 tt dy o作为部分输入的 t 阶段，其原始分式模型可以通过一系列变换等价的转化为线性规划形式，并且存在 与传统 d e a 模型相似的性质。 14 dt- 1 dt 第三章 多阶段黑箱 dea模型 3.1 模型的建立 本章考虑多阶段黑箱模型，不考虑内部生产过程的转化，只考虑最终可见的输 出和外部输入。如下图所示: 11,1 () tt lj edy o 1 () tt lj edyo 1,1 j x 1,1t j y 1,t j x 1,t j y 1, 1t j x + 1,k