（信号与信息处理专业论文）基于时变时间序列分析的凝析天然气计量算法研究.pdf

摘要 基于自行研制的凝析天然气流量计量样机和大量实验数据，本文采用时变时间序列 分析方法获得分相流量，实现流量在线计量。 分析凝析天然气流量计采集的差压信号与气液分相流量之间的关系，首先采用小波 模极大值去噪方法对差压信号进行预处理，为定量提取不同工况下的信号特征做准备。 其次采用时变时间序列分析方法处理差压信号，选择合适的序列长度和基时间函数，利 用极大似然法和递推最d x - - 乘法分别获取阶次和模型参数。再次采用等高线图法定性分 析模型参数与分相流量之间的关系，选取相关特征值组合。最后以特征值和气液分相流 量分别作为神经网络的输入和输出，比较b p 神经网络和r b f 神经网络的性能，采用稳 定性较强的r b f 网络预报气液分相流量，相对误差分别低于1 0 和1 5 。 该计量算法表明时变a r 模型参数与气液流量存在着密切关系，为凝析天然气的计 量研究提供了有益的借鉴。 关键词：差压信号；时变a r 分析；递推最小二乘法；气液分相流量 r e s e a r c ho fw e tg a sm e a s u r i n ga r i t h m e t i c b a s e do nt i m e - v a r y i n gs e r i e sa n a l y s i s s u ns h i w e n ( s i g n a la n di n f o r m a t i o np r o c e s s i n g ) d i r e c t e db yp r o f z h e n gj i n w u a b s t r ac t b a s e do n as e l fd e v e l o p e dp r o t o t y p eo fw e tg a sm e t e ra n de x p e r i m e n t a ld a t as e t ，as e r i e s o fw o r k sh a v eb e e nc a r r i e do u t i nt h i st h e s i s ，t h et i m e - v a r y i n gs e r i e sa n a l y s i st e c h n i q u ew a s i n t r o d u c e dt og e tt h ei n d i v i d u a lf l o wr a t e ，r e a l i z i n gt h eo n l i n em e a s u r i n go ft w o p h a s ef l o w r a t e a n a l y s i st h er e l a t i o n s h i po fd i f f e r e n t i a lp r e s s u r es i g n a lw h i c hw a sa c q u i r e db yt h ew e t g a sf l o wm e t e ra n dt h ei n d i v i d u a lf l o wr a t eo ft w o p h a s ef l o w f i r s t l y , t h ed i f f e r e n t i a lp r e s s u r e s i g n a lw a sp r e t r e a t e dt h r o u g hw a v e l e tt r a n s f o r mm o d u l u sm a x i m u mm e t h o d ，s oa st op r e p a r e f o re x t r a c t i n gd i f f e r e n tf l o wv e c t o r si nd i f f e r e n to p e r a t i n gc o n d i t i o n s s e c o n d l y , i n t r o d u c et h e t i m e v a r y i n gs e r i e sm o d e l st od e a lw i t l lt h ed i f f e r e n t i a lp r e s s u r es i g n a l c o n f i r mt h ed a t a l e n g t h ，b a s i sf u n c t i o n ，i n t r o d u c et h em a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t et oc a t c ht h em o d e lo r d e r s ， a n di m p o s et h er e c u r s i v el e a s t s q u a r e sm e t h o dt oc a t c ht h ep a r a m e t e r t h i r d l y , c o r r e l a t i o n b e t w e e nm o d e lp a r a m e t e r sa n dt h ei n d i v i d u a lf l o wr a t ew a si n v e s t i g a t e db yc o n t o u rm a p ，g e t t h er e l a t i v ee i g e n v a l u e s f i n a l l y , u s i n gt h ee i g e n v a l u e sa st h ei n p u ta n dg a sl i q u i df l o wr a t ea s o u t p u to fn e u r o nn e t w o r k ，c o m p a r i n gt h ep e r f o r m a n c eo ft h eb pa n dr b fn e t w o r k ，u s et h e r b fn e t w o r kw h o s es t a b i l i t yi sr e l a t i v e l ys t r o n gt op r e d i c tt h ei n d i v i d u a lf l o wr a t e ，t h e r e l a t i v ee r r o ra r ew i t h i nl0 a n d15 t h er e s u l t ss h o wt h ec o n s a n g u i n e o u sr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt i m e - v a r y i n ga rm o d e l p a r a m e t e r sa n dg a sl i q u i df l o wr a t e ，a l lt h ew o r k s a lep o t e n t i a l l yu s e f u lf o rt h ei n d i v i d u a lf l o w r a t em e t e r i n go fg a s - l i q u i dt w o p h a s ef l o w k e yw o r d s ：d i f f e r e n t i a lp r e s s u r es i g n a l ；a n a l y s i so ft i m e - v a r y i n ga r ；r e c u r s i v e l e a s t s q u a r e sm e t h o d ；g a sl i q u i df l o wr a t e 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的 成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得中国石油 大学( 华东) 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料。与我一同工作的同j 基 对研究所做的任何贡献均已在论文中作出了明确的说明。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名：孟! l ：睦孟叁! r 期：哆吖月矿 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学( 华东) 有权使用本学位论文( 包括但不限于其印刷版 和电子版) ，使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部门( 机构) 送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被查阅、借阅和 复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用影印、缩印或其他 复制手段保存学位论文。 保密学位论文在解密后的使用授权同上。 学位论文作者签名：盈、监煎： 指导教师签名：荔17 气袭 r p ， 句 月 月广f 年 年 砷叩 期 期 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 1 1 课题研究来源及意义 第1 章绪论 本课题研究的是凝析天然气的流量计量算法，对流量计所测量的差压信号进行处 理，采用数字信号处理方法测量气液两相的分相流量。随着开采年限的增加，现在很多 气井的产出物中伴生有凝析的液态烃和水，这样的天然气称之为凝析天然气，凝析天然 气或者湿气的准确含义国际上还没有统一的定义，一般指在工作条件下气相体积含率大 于9 0 ，液相与其它组分体积含率小于1 0 的气井产出物。 气液两相流动是一种复杂的随机现象，计量分析更为复杂，主要是由于：气液共流 中，其交界面的形状不断改变，无规律可循；气相具有可压缩性；随输送条件( 压力、 温度) 的变化，气液相间产生蒸发、冷凝，即相间有质量传趔。由此可知气液两相流 的实验研究具有相当的难度，如果用传统的单相气体流量仪表计量凝析天然气，由于液 相的存在，会造成很大的测量误差。石油天然气工业生产中凝析天然气的传统计量方式 是将若干口气井产物集中到计量站，控制各井产量分时通过计量分离器，对分离后的油 气水进行单相倒井计量，生产复杂、造价高而且是断续计量。目前大多数的多相流技术 还处于实验研究阶段，工业实践应用例子还为数不多，仍有不少理论和实践问题有待进 一步完善和发展研究，我国的多相流技术的研究正是在这种情况发展起来的【2 】。 本课题是基于西部和海上油气田的特点，利用软测量技术，开发出一种在线计量的 多相流计量系统。多相流计量系统可以实现：对油气进行连续、在线、自动测量，实现 无人值守；系统质量轻，结构紧凑，占地面积小；无任何可动部件，几乎不需要维护。 对于简化工艺流程、降低生产成本、提高气藏和气井的科学管理水平以及操作决策的最 优化等方面都具有很重要的实际意义。采用两相流量计比应用传统分离法至少能节约投 资和运行费用4 7 ；而且该系统维护量小，又可以省掉目前计量分离器的巡检、事故处 理等运行费用，为减员增效，降低开采成本提供保证；最后，气井产出物的准确计量还 将对气井管理、水合物抑制剂的适量添加等操作提供直接的参考数据，产生间接的经济 效益【3 ，4 j 。 该系统可以实现连续监测和计量，提供更加实时的信息，改善油藏管理；可以省去 测试分离器、计量管线、管汇和阀组；在海洋平台上可以减少油井计量所需的空间和质 第1 章绪论 量；特别是在沙漠和极地等自然条件恶劣的地区，此系统与基于测试分离器的油井计量 设施相比在使用上更具优势。该系统同时还能够带来很高的经济效益，一是无需在偏远 小区块或边际油田建设昂贵的生产设施就能进行开采；二是可降低井口回压，增加原油 总产量；三是由于可提前开采和增加原油产量，因此，可获得良好的投资回收效益。 1 2 多相流计量技术研究现状 随着海洋、沙漠、极地以及其他边远地区油气田的开发和老油井的技术改造，解决 在线实时准确测量天然气、凝析油、水的流量就显得尤为重要。在这种情况下，传统的 气液两相流分离测量技术已不能满足实际需要，而造价低廉、操作方便的多相流计量技 术成为取代计量站的理想选择。 1 2 1 两相流计量技术 根据测量原理可将现有的两相流流量测量方法分为三类：分离法、非分离法和分流 分相法。分离法是一种传统的测量方法，它的测量精度比较低，而且体积庞大、价格昂 贵，不宜作为自动化仪表单独使用；非分离法指不对两相流体进行分离，而直接将测量 仪表置于气液两相流体中进行测量；分流分相法( 也称部分分离法) 是近年来发展的一 种测量气液两相流体流量的新方法。分流分相式两相流流量计主要由分配器、分离器及 单相流量计等部件组成，在计量多相流总流量和平均密度的基础上，提取少量样液加以 气体分离，并测定油气水各相的百分含量，通过计算获得油、气、水各相的流量。 多相计量中的测量技术主要包括两个方面：一方面是流速或总流量的测量技术；另 一方面是相分率的测量技术。相分率的测量主要用伽马射线传感器、电容传感器、电导 电感传感器、微波相分率传感器等，流速和总流量的测量用互相关测量技术、文丘里流 量计和正排量流量计等【5 】。 近年来，多相流计量研究得到了迅速的发展，自2 0 世纪6 0 年代以来，国外就建造 了各种具有水平、垂直和倾斜测试段的多相流综合试验环道，并展开了对多相流的研究。 相关流量测量技术、计算机自动控制和数据处理技术的发展刺激了多相流测量技术的开 发与研究，美国、挪威、法国、英国、俄罗斯等国家的一些大石油公司，相继投入大量 的人力、财力进行多相流量计的研制和开发，并建立了一批多相流检定装置，使得这一 技术获得实质性的进展，研制出一批可供生产应用的试验样机。但是目前大多数的测试 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 技术仅局限于实验室阶段，为数极少的商品化的多相计量仪表在工业应用中存在一定的 局限性，并且造价昂贵。 基于软测量的测量技术自上世纪6 0 年代提出以来已经取得了不少有益的进展，特 别是9 0 年代以来研究发展相当迅速，在理论研究和实际应用两方面都取得了多方面的 成果，展示了良好的工业应用前景。在多相流检测领域，目前常用的软测量方法主要有： 基于机理分析的软测量、基于人工智能( 如人工神经网络、模糊数学和模式识别等) 的 软测量、基于过程层析成像的软测量和基于动态信号分析( 含频谱分析、相关分析和现 代非线性信息处理技术等) 的软测量等几大类，且各类方法互有交叉和融合。 由于多相流动系统的复杂性，软仪表在线标定和校正手段的缺乏，这些方法很多都 只是应用于实验阶段，还没有获得达到一定精度的测量结果，离工业应用还有很远的距 离，所以仍须对其进行进一步研剜6 1 。 1 2 2 多相流量计的开发使用 从上世纪8 0 年代至今，多相流计量技术的开发和应用已经取得了重要的进展，截 至目前为止，国际上达到商品化程度并且在工业现场进行过试验或应用的多相流计包 括：美国a g a r 公司的a g a r 3 0 4 4 0 1 、挪威r o x o r 公司的r f m 与f l u e n t a1 9 0 0 v i 、中国 h a i m o 公司的m f m 2 0 0 0 、西安交通大学的t f m 5 0 0 、美国m c c r o m e t e r 公司的v - c o n e 、 英国s o l a r t r o n 公司的d u a l s t r e a m 、英国帝国理工大学的e s m e r 以及意大利t e a 公司 的v e g a 等多相流量计。但是由于这些产品的性价比难以令客户满意，至今还没有一种 产品能够占据明显的技术优势和市场优势7 1 。 e s m e r ( 多相计量专家系统) 是基于数字信号处理和人工智能技术在多相流量物 理学上的应用，通过观察不规则紊流的特点来预测各相的流量。该系统仅需要一个简单 的机械短管，其压降非常小，并配备标准压力和阻抗传感器，数字信号通过一台普通的 计算机来处理【s , 9 1 。 e s m e r 小组研究利用常规测量信号如温度、压力、压差等在两相流条件下的波动 特性，结合模式识别、神经网络等技术解决两相流的计量问题。e s m e r 的硬件组成包 括三个部分：用户选择的传感器；a d 转换器和个人计算机。在气液两相流的研究中， 水流速可以由孔板测出，压缩气体的流速可以由转子流量计或孔板测出。该系统软件部 分通过分析统计特征向量来描述多相流的流动特性，利用4 0 4 0 网格实现多相流流型 3 和流速的识别，利用等高线图技术来内推，外推整个网格域的测景结果，垠后已知特征向 量可以应用欧几里得距离模板匹配技术来实现多相流流型和流量的自动识别1 1 0 - 1 2 i 。 圈i - i 用于海上平台的e s m e r 系统 f i g i - ie s m e r o da o f f s h o r e p l a t f o r m 在国内，多相流计量研究还处于起步阶段从2 0 世纪9 0 年代扔，西安交通大学、 清华大学、天津大学、浙江大学和中国石油大学等都在积极地开展油气水多相流量计的 开发研制工作。在多相流的基础理论研究方面西安交通大学处于国内领先地位，提出 了许多流型辨识的方法：天津大学研究了将文丘里管用于凝析天然气测量的方法；石油 大学自动化系也已开展了开发凝析天然气流量计的工作；其它院校大多集中在各种传感 原理的过程层析成像分析、图像重建算法等方面的研究。 123 目前主要存在的问题 由于技术水平的限制多相流量计尚存在系列的问题主要表现在以下几个方面： ( 1 ) 现有大多数多榍流量计都需要在测量若干数据后，再根据所测数据计算出各 相的流量，计量精度受到很大影响，目前市场上大多数多相流量计在大部分流态下各相 的测量误差为1 0 。 ( 2 ) 目前用于多相计量的技术都要求必须掌握流体的特性，如介电常数、质量吸 收系数等，才能进行比较精确地计量。如果流体特性出现变化或多相流量计用于多井计 量，则必须频繁地评价和标定多相流量计的传感器。 ( 3 ) 目前市场上几种主要多相流量计的最高适用岔气率为0 9 一l0 ，随着含气率增 加液相的计量精度将受到影响。 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 ( 4 ) 多相流量计普遍采用像微波等辐射源，而有关法规对使用辐射源有严格的限 制。 因此多相流量计的研究是一项计量科学的前沿，具有很大的技术难度，国内外学者 对其进行了一系列的研究，虽取得了一定的进展，但还处在实验研究阶段，离工业应用 还有一定的距离【1 3 】。 1 2 4 流量计量技术的发展动向 多相流计量技术是一项复杂的测量技术，其主要发展趋势表现在以下几个方面： ( 1 ) 单相流参数检测技术已相当成熟，将成熟的单相流检测技术应用于两相流参 数测量中，充分发挥其优势，仍然是一个重要的研究方向。 ( 2 ) 超声波、激光、电磁、核技术及微计算机等新技术引入流量计量领域，使得 非接触式测量技术大大发展，流量传感器趋向电子化和数字化。 ( 3 ) 利用计算机技术和图像处理技术，获取多相流体系统二维或三维时空分布信 息。应用过程层析成像技术，对多相流局部空间区域进行微观和瞬态测量。 ( 4 ) 完善与推广目前已有相当基础的相关法和激光多普勒法等测试技术的应用。 ( 5 ) 随着随机过程理论和信号处理技术的不断完善和发展，应用数理统计、过程 识别、参数估计和模式识别等理论和技术，进行多相流参数估计的软测量方法将会成为 重要的研究方向。 ( 6 ) 对两相流动过程中参数测量系统的建模、特征参量的选取、时变性的自适应 功能和动态跟踪能力等基础理论的研究，以及对多相流参数的校验标定方法和误差分析 等基础方法的研究将日益受到关注。 ( 7 ) 借助于各种现代高新技术的发展，经济性、通用性、组合式、智能化、数字 化、价格低廉、维修方便的新型流量计将是气液两相( 或多相) 流测量技术的发展趋势。 1 3 凝析天然气计量系统的原理 凝析天然气流量计量算法是由传感器测得温度、压力及差压信号，利用不同的分析 方法得到气液流量，主要有人工神经网络、小波、小波神经网络、相关法等等。本文是 采用时变时间序列分析方法实现对采集的差压信号的特征提取，利用相关特征值和相应 的幅频特性计算出气液两相流的体积流量，并应用神经网路映射特征值和气液分相流量 5 i 口绪论 之问的关系，使该型仪表具有较高的测量精度和较强的宴时性，满足天然气工业生产计 骑的需要。 凝析天然气流量计的碗件结构如图l 一2 ，在使用时该仪表采取水平安装方式，由 图1 - 2 可知仪表通过一次传感器可测得温度、压力和差压信号，在进行凝析天然气流量 测量时就是通过在线读取这些信号的数值，并进行实时处理得出气相和液相流量的。 围1 - 2 凝析天然气流量计结构示意图 f i g l - 2s c h e m a t i c d i a g r a m o f t h e w e tg a s f l o w m e t e r 本课题研究的是孔径比分别为o7 5 和05 的槽式孔板，应用流量计样机进行了一系 列的实验，针对实验测量要求试验范围为：孔板前压力p = 4 0 0 4 2 0 k p a ，流体温度为 t = 5 1 7 ，气体体积流量为吼= 1 0 0 6 5 0 n m 3 h ，液体体积流量为 q l = 0 2 8 46 0 n m h ，流型为分层波浪流和环状流。处理实验所授4 得的8 4 组著压信 号，首先把这8 4 组数据分为1 2 类，气相流量从1 0 0 n m3 h , - 6 5 0 n t o3 i h ，每隔5 0 n t o3 h 分一类，每类内的液相流量各不相同。分析这1 2 类差压信号的特征值，得到差e 信号 弓气液流量之间的关系。 整个测量系统的测量原理罔如图l _ 3 所示，通过差压坐送器获得差压波动信号，数 据滤波( 小波去噪) 后，采用时变时间序列分析方法进行特征提取，从模型类型与模型 阶次的确立、模型参数的变化规律等方面研究时变a r 模型。对差压信号建立时变a r 模型得到模型参数作为特征值，再通过统计特征量分析获取其它的特征值。假殴提取出 米特征向量是一纽7 个：b skq 口：如吼 ，其中s 为标准差，s 为偏态系数， k 为蜂态系数，d d ：a 吼是时间序列模型参数。 为了描述差压信号与流量之问的关系做差堰信0 特征量的多维空间图形，如图1 - 4 所示，其中表观速度是假设管子中只自气体和液体荦独流动时所且有的速度即混台物 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 中的任一相单独流过整管道截面时的速度。以流体的体积流量被管道的总截面积除而得 到的数值。通过这个图像可以内推i j b 推整个网格域的测量结果，从而分析出特征量与气 液流量之间的关系。 图l - 3 气液两相流量计工作原理图 f i 9 1 3 s c h e m a t i co ft w o - p h a s ef l o wm e a s u r e m e n t 图1 4 特征向量图形( 横轴为表观气速，m s ；液速，n t i s ) f i g l - 4 t h eg r a p ho ff e a t u r ev e c t o r ( h o r i z o n t a la x i si ss u p e r f i c i a lg a sv e l o c i t y , m s ； v e r t i c a la x i si ss u p e r f i c i a ll i q u i dv e l o c i t y , n v s ) 1 4 本文研究内容 本课题针对已有的实验数据，研究传感器测量差压信号特征值与气液两相流量之间 7 第l 章绪论 的关系，主要是处理差压信号，整个研究过程如图1 5 所示。 气相流量 液相流量 图l - 5 计量原理图 f i g l - 5 s c h e m a t i co fm e a s u r a t i o n 所做工作就是借鉴前人的经验，分析差压信号，提取特征值。首先对差压信号进行 预处理，采用小波模极大值方法消除信号的噪声，使信号变得光滑，便于分析和识别； 其次提取差压信号的相关特征值，采用时变a r 方法对差压信号建模，该方法取消了对 时间序列平稳性的限制，对非平稳的差压信号分析较为方便，选择合适的序列长度、阶 次、基时间函数和参数识别方法；再次采用等高线图分析方法来定性的分析特征向量与 气液分相流量之间的关系；最后以差压信号的特征值为输入，气液两相流的分相流量为 输出，选择合适的网络结构，利用神经网络预测气液两相流的流量。 本文的主要内容如下： 论文第1 章简要介绍了凝析天然气计量来源及意义，分析了相关的背景情况、生产 需求、及国内外研究现状，并在此基础上确定了课题的研究目的及主要工作。 论文第2 章对时间序列处理方法进行了论述，首先阐述平稳时间序列的建模方法， 然后探讨非平稳时间序列的建模方法，最后针对时间序列在生产中的应用进行阐述。 论文第3 章和第4 章阐述如何处理差压信号，主要内容包括：利用小波变换模极大 值方法去噪；利用时变a r 建模进行模型参数的提取；利用统计理论提取时域的参数。 并分析各个特征参数与两相流量之间的关系，该部分为本文的重点。 论文第5 章研究了利用神经网络预测流量，并比较各个网络的性能优劣，选择合适 的网络结构实现流量的计量；采用多项式拟合的方法获得实现两相流计量的数学方程 式，并分析其预测性能。 8 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 第2 章时间序列分析方法研究 时间序列分析是数理统计的一个分支，是对有序随机数据进行分析和处理的一种重 要方法，完全不同于传统方法，是种处理动态数据的参数化时域分析方法。主要手段 是对实测数据( 信号) 用数学模型去近似描述，进而从模型入手，研究数据的本质，提 取内在规律性的信息，达到预测和控制目的。这种方法不但能用于传统谱分析中一些难 解决的短序列问题，而且还为信号处理技术及其新领域的应用研究开辟了广阔的前景。 2 1 平稳时间序列分析 对于时间序列模型来说，只有满足平稳性与可逆性才能真正有意义的反映定态系统 的实际变化特征，如果数据是平稳的一般都用传统的时间序列分析方法，例如a r 、m a 和a r m a 等模型进行预测而且效果还不错，首先介绍这三种平稳时间序列建模方法。 序列x ( n ) 的p 个极点g 个零点的a e m a ( p ，q ) 模型可以描述为式( 2 - 1 ) 。 z ( 门) ：一壹吼x ( 刀一七) + 童钆“( 刀一七) 并假 b o = 1 ，针对式( 2 - 1 ) 可分三种情况讨论： ( 2 1 ) 1 如果b l , b 2 ，全为零，则式( 2 - 1 ) 变成式( 2 - 2 ) ，此模型称为自回归模型，简称 a r 模型，该模型现在的输出是现在的输入和过去p 个输出的加权和。 x ( 刀) ：一圭口。x 一七) + “( 甩) 2 如果口。，口：，口，全为零，则式( 2 1 ) 变为式( 2 3 ) ，此模型称为滑动平均模型， 简称m a 模型。 工( 刀) ：圭仇“一后) ：“( 刀) + 妻以“( 刀一七) ，钆：l ( 2 - 2 ) 3 如果口。，口：，口p ；b l , b ：，b q 不全为零，则式( 2 一1 ) 给出的模型称为自回归一 滑动平均混合模型，简称为a r m a 模型。 9 ( 2 - 3 ) 第2 章时间序列分析方法研究 a r 、m a 、a r m a 是平稳时间序列最主要的参数模型，a r 模型的正则方程是一组 线性方程，而m a 和a r m a 模型是非线性方程。w o l d 分解定理可知有限方差的a r m a 或m a 平移过程可以用可能是无限阶的a r 模型表达，同样任何a r m a 或a r 模型可 以用可能是无限阶的m a 模型表达。因此，如果在这三个模型中选了一个与信号不匹配 的模型，但只要模型的阶次足够高，它仍然能够比较好的逼近被建模的随机过程 1 4 , 1 5 】。 2 1 1 模型类型的判别 对于模型预测，首先要找到与其拟合最好的预测模型，其次模型阶数的确定和参数 的估计也是建模的关键，确定模型类型最重要的工具是序列的自相关和偏自相关函数。 构成时间序列的每个序列值，x h ，x t 一。之间的简单相关关系称为自相关，自相关 程度由自相关系数吒度量，表示时间序列中相隔k 期的观测值之间的相关程度。 n - k ( 工，- x - ) ( x m - x - ) 咋= 旦- 一( 2 - 4 ) ( x ，- x - ) 2 t = l 其中，n 是样本量，k 为滞后期，i 代表样本数据的算术平均值。与简单相关系数一样， 自相关系数的取值范围是【一l ，1 】，并且越接近1 ，自相关程度越高。 偏自相关是指对于时间序列x ，在给定x ，- ，x m ，x h + 的条件下，一与x h 之间的 条件相关关系。其相关程度用偏自相关系数度量，有- 1 f p 肚1 。 伊从2 k - i _ 一，r k 一 盟一k=2,3k-i ， 1 - - - f & 一。，0 j = l ( 2 - 5 ) 在实际应用中，应该综合考察序列的自相关与偏自相关，将时间序列的自( 偏自) 相关系数绘制成图，并标出一定的随机区间，称为自( 偏自) 相关分析图。 a r 、m a 、a r m a 三种模型自相关与偏自相关函数的特点： ( 1 ) a k ( p ) r 垄 蝴) 模型的偏自相关函数为式( 2 6 ) - = ? + q 以后全部是0 ，即自相关函数是q 步截尾的。 而与a r ( p ) 模型相反，m a ( o 模型的偏自相关函数随着滞后期k 的增加，呈现指数或者 正弦波衰减，趋向于0 ，是拖尾的。 ( 3 ) a r m a ( p ，q ) 模型 a r m a ( p ，q ) 的模型的自相关函数和偏自相关函数均是拖尾的。 根据以上a r ( p ) 、m a ( o 、a r m a ( p ，q ) 序列的自相关和偏自相关函数的统计特性， 可以初步确定模型的类型1 1 6 】。 2 1 2a r 模型的建模 a r 模型的参数估计法大致可以分为两类，一类称为直接估计法，这类方法直接观 测数据的统计特性估计出模型参数；另一类称为递推估计法，在这类方法中，根据递推 对象与递推方式的不同，可分为矩阵递推估计法、参数递推方法和实时递推方法。由于 最小二乘法最容易编程实现，且计算精度高，故主要介绍最小二乘法。自回归( a r ) 模型 的一般数学表达式如式( 2 8 ) ，a ，为残差，当a ，为白噪声时认为所得模型符合要求。 _ 2 伊l x f l + 伊2 x ，一2 + + 伊n 一一+ a t ( 2 8 ) x 肿1 。仍x h + 伊2 x 月一l + + 9 月而+ 口月+ 1 ； x 疗+ 22 缈i x 月+ i + 伊2 x n + + x 2 + 口月+ 2 ； x 2 伊l x ，一l + 妒2 x ，一2 + + 纯工| 一疗+ 口 用矩阵形式表示为：少= x f p + o r ； ( 2 - 9 ) 其参数计算步骤如下：将时间序列扛， 直接带入a r 模型的一般表达式，得线性方 第2 章时间序列分析方法研究 程组式( 2 9 ) ，式中的各个参数由式( 2 1 0 ) 所示。 r z 月+ 2 x l ， j r 仍i ， j r 口棚i ， j x 月一l 而 z hx 2 x n 一2 x n n ( 2 一1 0 ) 根据多元回归理论，参数矩阵缈的最小二乘估计为式( 2 1 1 ) ，式中角标t 表示矩阵 转置，( ) 一表示矩阵求逆。 痧= ( x7 x ) 。1 x r y 陀1 1 ) a r m a 模型的随机差分方程的形式见式( 2 - 1 2 ) 。 z ，= 5 f ，x ，一一够口卜+ 口，口，n i d ( o ，仃三) ( 2 - 1 2 ) f = l j = l 在t 时刻，各书_ 书均是已经确定的观测值，尽管扛， 是白噪声序列，是不可 观测的，但t 时刻以前的所有口，口m ，却是已经发生的，因而也是确定的；而在t 时 刻，口，是不可观测的随机性干扰，一的随机性正是由于口，的随机性所导致的。 采用长自回归模型计算残差法计算残差，其思路是：对同一输出扛， 拟合长自回归 模型a g ( p ) 与a r m a ( p ，q ) 模型，这两模型所描述的等价系统在同一时刻输入白噪声口， 应相等。这样可以先对b ， 拟合触) 模型，并计算残差序列扛0 ，将此p 。) 作为 h r t h ( p ，q ) 的扛，) ，从而，h r m h ( p ，q ) 模型中的缸，) 成为已知值，a r m a 模型的参 数估计过程成为线性回归过程，则可采用最j 、- - 乘法估计参数1 引。 其参数估计步骤如下： 对扛0 拟合4 r ( p ) 模型，再利用得到的模型参数少= 1 , 2 ，p ) 计算残差序列： ：一圭y - l ，( f ：p + 1 ，p + 2 ，) ( 2 - 1 3 ) i = l 1 2 h 研 一 一一 一一 一 哺 哺 = = = = y 缈 口 x 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 将缸 代入爿砌刎( ，m ) 模型，得如下矩阵方程：y = 即+ 彳。 其中，j ，= i x 朋+ lx 舢+ 2 x n r a = 口p + 。+ l 口p + 。+ 2 口| 】r = 伊。妒： 妒一0 1一岛一吒】r x = a p + m i o f p + m x n - ix n 一2x n na n ic c n 一2q n n 2 1 3 模型适用性检验 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 - 1 6 ) ( 2 - 1 7 ) 从理论上来说，a r 模型和a r m a 模型成立的根本条件是缸， 为白噪声，因此，模 型适用性，即模型定阶最根本的检验准则是检验缸。 是否为白噪声。从数理统计的角度 来看，是检验模型残差k ，) 是否为白噪声；从系统的角度来看，则是检验系统输入k ， 是否为白噪声。 主要介绍两种检验方法，自相关系数准则和a i c 检验准则。 ( 1 ) 自相关系数准则：数理统计可以证明，如果缸， ( r = 1 , 2 ，n ) 是白噪声，当 数据长度n ( 2 0 0 - 3 0 0 ) ，k 从l 取至( 2 0 一3 0 ) 书j ，p 甜近似于正态分布：p 础( o ；蜘) 。 根据这一结论，若取置信水平为9 5 ，则a ，。的置信区间为( o 1 - 9 ) ，这样估计出色 可按式( 2 18 ) 进行检验。 其中， 厢阪。 1 9 6 x t 靠i t 一，_ 危，。= 堕卜 x ? t = k + l ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 若允。满足此式，则认为相应的模型为适用模型。这是模型适用性检验最根本的方法。 ( 2 ) a i c 准则：这一准则从提取出观测时序中的最大信息量出发，适用于a r m a 模型的检验。准则函数为：彳圮( p ) = n l n 2 + 2 p ，在模型参数估计方法给定的条件下， 1 3 卅 跏即 鼍 第2 章时间序列分析方法研究 a i c ( p ) 是模型阶次p 的函数，当p 增大时，l n c r ：下降，但后一项2 p 增大，因此，取a i c ( p ) 值最小时的模型阶次p 为适用模型阶次【1 5 l 。 2 2 非平稳时间序列分析 判断序列非平稳性的方法有：数据图检验法、自相关或偏相关函数检验法、特征根 检验法、常数检验法、逆序检验法、游程检验法【1 9 1 ，下面主要介绍这几种方法。 1 数据图检验法 将所研究的时间序列汇成连线图，观察其是否存在趋势性或周期性，若无明显的趋 势性或周期性，就认为序列是平稳的，要靠经验，主观意识强。 2 自相关偏相关函数检验法 一个零均值平稳序列的自相关函数和偏相关函数要么是截尾，要么是拖尾，如果一 个序列零均值化以后的自相关函数或偏相关函数既不截尾又不拖尾，则可以判定该序列 是非平稳的。 3 特征根检验法 先拟合序列的适应模型，然后求该适应模型的参数组成的特征方程的特征根，若所 有的特征根丑都满足平稳性条件，即l 五i 1 则可以认为该序列是平稳的，否则该序列就 是非平稳的。 4 参数检验法 先拟合适应的模型，然后再根据求出的自回归参数来检验。首先要用自回归参数构 造一个列阵如下： 行参数 1 仍 仍 纯 2 纯 纯一i纯一2 p o 3 口0q a 2 a n - l 4 口n i a 月一2 口h 一3 0 0 5 0 0 轨b 2 以一2 6 b n 一2b 月一3b 月一4b o 2 n 3 z 1 z 2 其中( p o = 一l ，第一行其余元素是模型的自回归参数，第二行是第一行的逆序排列，第 1 4 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 三行元素分别为式( 2 2 0 ) 所示。 口，：f ? 2 1 l 一线一，f ( 2 - 2 0 ) = 9 0 c p ，- - 0 , 1 , 2 , - , n - 1q 2 l 伊， 一线一 求a 。的行列式中第一列为列阵中由第1 、2 行组成的子阵的第一列，第二行为子阵的倒 数第i 列。第四行元素为第三行元素的逆排列，同理，第五行元素分别为式( 2 2 1 ) 百) r t , 。 包= b 口斗刚，1 一， 剐 2 ，扩2 p 2 ， 第六行元素是第五行元素的逆排列。依次类推，直到第2 n - - 3 行时，只剩下三个元素， 当且仅当满足下述三个条件时，序列才是平稳的。 ( a ) 伊l + 伊2 + 缈3 + + 吼 1( 2 - 2 2 ) ( b ) 一仍+ 仍一仍+ + ( - i ) ” 1( 2 - 2 3 ) ( c ) 蚓 圳，k 。l l a o i ，i b 砘i l b o l 也l l f o ( 2 2 4 ) 5 逆序检验法 首先由时间序列求出一个大致不相关的均值或方差值的序列。具体的可以将整个序 列分成m 段，然后求出每段数据按时间平均的均值和方差，设所得序列为y 。，y ：，y m 。 第二步，计算均值序列( 或方差序列) 的逆序总数。记y ，的逆序数为a j ( 即后面有 4 ，个值大于它) ，逆序总数为式( 2 2 5 ) 。 4 = a ，( 2 2 5 ) 第三步，计算统计量进行统计检验。可以证明，一个随机序列的逆序总数a 具有以 下的期望和方差： e(爿)=m(m一1)(2-26) 。( 彳) = m ( 2 m 2 可+ r 3 m - 一5 ) ( 2 2 7 ) 其中，m 为数据个数，并且统计量z 如式( 2 2 8 ) 所示， 1 5 第2 章时间序列分析方法研究 z ：区型 d ( 彳) ( 2 2 8 ) z 渐近服从于n ( o ，1 ) 分布。因此，对于均值( 或方差) 序列y 。，y ：，蜥可以依据以 上三式求出统计量z 的值，在显著性水平口= o 0 5 情况- f ，若l z i 1 9 6 ，则认为序列无 明显的趋势，否则认为序列是非平稳的。显然a 过大，则表明序列有上升趋势，而a 过小，表明序列有下降趋势。 6 游程检验法 设序列x ，的均值为又，对序列中比j 小的观察值记“一 号，其余的记“+ 号， 这样相应于原序列就可得到一个符号序列。在符号序列中每一段连续相同的记号序列就 叫做一个游程。 作为一个随机平稳序列，各观察值应在均值附近随机波动，因而高于平均数或低于 平均数的变化应该适当。如果游程太少，则观察值连续高于或低于平均数。这说明序列 中可能存在某种趋势性或周期性波动。同样，如果游程太多，也可能存在某种趋势。这 就是游程检验法的基本思想。 设序列长度为n ，n = n l + n 2 ，n 。和2 分别是记号序列中“+ ”与“一”出现的 次数，游程总数为，。对于随机序列，可以证明：当。和：均不超过1 5 ( 小样本) 时， 游程总数服从，分布。 e ( ，) = 1 2 n 广i n 2 + 1 ( 2 - 2 9 ) d ( 厂) ：2 n in i 2 ( i 2 n _ ! n - 2 - n ) ( 2 - 3 0 ) 2 ( 一1 ) 当。，2 大于1 5 时( 大样本) 时，统计量z 如图( 2 3 1 ) 所示， z ：r - e ( r ) ( 2 - 3 1 ) 厶= = = = = 7 4 d ( r ) z 渐近服从于n ( 0 ，1 ) 分布。 因此，对所检验序列可以计算出统计量，或z ，在给定显著水平口下，若r l 厂 i ，厂。一1 ) l 且i 哆，( x ) i f ，厂o + 1 ) i ， 则1 ，( x ) l 在点x 处取得模极大值，记所有的模极大值点为z i ，x ；，x t ，那么相应的极 大值为：，f ( x