（课程与教学论专业论文）现代信息技术与数学教学整合研究.pdf

摘要 以计算机为代表的现代信息技术与数学教学的整合在很 多地区已经开始成为现实，但是透过现代信息技术给数学教 育带来的表面繁荣，理性地分析其成效，不难发现我们对现 代信息技术的应用都还是浅层次的。在我们这样一个整体经 济比较落后、地区发展非常不平衡的国家要实现现代信息技 术与数学课程的整合，无疑比发达国家要困难。笔者就现代 信息技术与数学教学整合过程中出现的几个问题，初步阐述 了自己的观点以及应该注意的几个方面，并在此基础上提出 了若干建议。 本文分三章。 第一章主要是介绍把现代信息技术整合到数学教学的过 程中所遇到的外部困难和内在困难，指出在我国推行整合并 不是不可能的。 第二章是本文的重点，就如何把现代信息技术整合到数 学教学中，以创设更理想的教学环境，阐述了自己的一些认 识。主要把问题集中在“现代信息技术与数学实验”、“现代 信息技术与探究性数学活动”以及“现代信息技术与数学课 程的改革”这三个专题，并列举了具体的实例来说明如何实 现这些目标。在此基础上对“现代信息技术与解题教学”、“现 代信息技术与学生参与”、“现代信息技术与因材施教”等几 个专题也作了简单的介绍。 第三章主要是讨论了现代信息技术与数学教师之问的关 系，说明现代信息技术的引入导致了教师的工作方式、教学 观念的深刻变化。 关键词：现代信息技术数学教学数学实验整合t e m i s a b s t r a c t i n t e g r a t i n gm o d e r ni n f o r m a t io nt e c h n 0 1 0 9 y w h i c h r e p r e s e n t e db yc o m p u t e r sin t om a t h e m a t ic st e a c h in gh a s b e e nb e c o m i n gr e a l i t yi nm a n yr e g i o n s b u ti fw e p e n e t r a t e t h es u p e r f ic i a lp r o s p e r i t y b r o u g h tt om a t h e m a t i c st e a c h i n gb ym o d e r ni n f o r m a t i o n t e c h n o lo g y ，a n da n a ly s isi tsr es u l ti nar e a s o n a b le m a n n e r ， i t se a s yt of i n do u tt h a tt h ec o n t e n to ft h is k i n do fa p p l ic a t i o niss t i l lo nt h es h a l l o w1 e v e l i n ad e v e l o p i n gc o u n t r yw h ic hi tso v e r a l le c o n o m yisq u i t e b a c k w a r da n dt h el o c a ld e v e l o p m e n t ise x t r e m e l yn o t b a l a n c e d ， i t 7 sl i l o r ed i f f i c u l tt oi n te g r a t ei n f o r m a t i o n t e c h n o l o g yin t om a t h e m a t i c st e a c h i n gt h a ni nd e v e l o p e d c o u n t r y t h ea u t h o r p r e l i m in a r i l y o p i n i o n sa n d a t t e n t i o nt o in t om a t h e m a t f o r w a r ds o m e s e v e r a la s p e c tsw hic h d is c u s s e d s h o u l db e w h e ni n t e g r a ti n gin f o r m a t i o nt e c h n o s o m e d a id lo g y ic st e a c h i n g ，b a s e do nt h is ，s t i l lp u t p r o p o s a l s t h isa r t ic l eh a st h r e ec h a p t e r s 。 t h ef ir s tc h a p t e rm a i n l yi l l us t r a t e st h eo u t e ra n d i n n e r d i f f i c u l t ie se n c o u n t e r e dw h e nt r yt o i n t e g r a te m o d e r ni n f o r m a t i o nt e c h n 0 1o g yi n t o m t e a c h i n g ，a n dp o i n to u ti t sn o ti m p o ss ib l et o t h ei n t e g r a t i o ni nourc o u n t r y a t h e m a t ic s i m p l e m e n t s t h es e c o n dc h a p t e rist h ec o r eo f t h ea r t ic le ， it d is c u s s e d i n t e g r a t e m a t h e m a t ic s s o m eo p i n i o n so ft h e m o d e r n in f o r m a tio n a u t h o ro n t e c h n o l o g y t e a c h i n g ， s ot h a tw ecanes t a b lis h h o wt o ln t o am o r e i d e a lm a t h e m a t i c si n s t r u c t i o ne n v i r o n m e n t 。 上tm a l n 上y c o n c e n t r a t e so nt h r e et r o pic ss u c ha s”m o d e r n工ta n d m a t h e m a t ic se x p e r i m e n t ”，”m o d e r ni ta n dt h ei n q u i r i n g i n t om a t h e m a t ic sa c t i v i t y ”a sw e l la s ”m o d e r ni t a n d m a t h e m a t i c sc u r r i c u l u m r e f o r m ”a n dc i t e ds o m er e a l e x a m d l e st oi 1 1 u s t r a t eh o wt og a i nt h e s eg o a ls b es i d e o ft h es e i ta 1s oi n t r o d u c e ss o m eo t h e rt o p i cs ，s u c ha s “m o d e r n i ta n d p r o b le m s o l v i n g i n s t r u c t i o n ”， “m o d e r ni ta n ds t u d e n ts t a k e p a r t i n ， “m o d e r ni t a n dt e a c h i n g a c c o r d t o s t u d e n t s a b i1i t y ” i nav e r y s i m p l i f i e dw a y c h a p t e rt h r e em a i n l yd is cussest h er e l a t i o n s h i p s b e t w e e nt e a c h e r sa n dm o d e r ni n f o r m a t i o nt e c h n 0 1 0 9 y ，a n d d o i n to u tt h a t t h e i n p u t o fm o d e r ni n f o r m a t io n t e c h n o l o g yb r i n g st h et i t a n i cc h a n g eo ft e a c h e r s w o r k s t y l ea n dw o r kc o n c e p t s n a e ：l ux i a o z h o n g m a j o r ： c u r r i c u l u ma n dt e a c h i n gt h e o r y d i r e c t e db y ：p r o f c h e nh u i k e yw o r d s ：m o d e r ni n f o r m a t i o nt e c t e a c h i n g ：m a t h e m a t i c s i n t e g r a t i o n ： t e m 工s h n 0 1 0 9 y e x d e r l m m a t h e m a t i c s e n t 现代信息技术与数学教学整合研究 绪言 ( 一) 人类已经步入2 1 世纪，在这个科技日新月异的时代，我 们身边的很多事物每时每刻都在变化，计算机的普遍运用正 迅速而深刻的改变着世界，人们把我们所处的时代称为计算 机时代或资讯时代。由于计算机的广泛应用，加速了现代社 会的数学化进程，越来越多的问题需要归结为能用计算 手段处理的数学问题，检查身体的c t 扫描技术，车辆、飞 机的模拟、设计和控制技术，金融证券价值的估算技术，天 气和气象的预测技术，电子设计自动化以及生物工程等技术， 其核心都是数学技术。数学技术正是依附于计算机来显现它 的威力，而计算机正是依靠数学技术得以工作与革新换代。 在今后的技术社会、信息社会里，数学还将成为众多工 作岗位的先决条件，就业机会的敲门砖，数学能力将制约一 个人的发展潜力。数学训练出清晰思维的智力和独立思考的 习惯，即使只为了应付不断变化的日常工作，为了驾驭经常 更新的计算机软、硬件，都是不可少的。工程师谈论着怎么 利用c a d 更快捷精确的设计图纸，办公室文职人员用计算机 处理公文与报表，财务会计正在抓紧普及“电算”，连记者、 作家、音乐家、画家等看似跟计算机扯不上关系的人也都开 始感到计算机对自己的工作有帮助，计算机正成为现代社会 大多数人应该掌握的一项基本技能。 学数学不再只是升学的需要，也越来越是谋生的需要， 生活的需要。这些都导致了数学科学在社会发展中所占地位 空前的提高，社会的发展要求每个公民都要比以往任何时候 更懂数学，具有更自觉的数学意识，更灵活的数学头脑，更 善于进行数学地思考。美国数学教育界认为：“在众多促进数 学教育改革的因素中，现代技术具有最大的潜在的革命性影 现代信息技术与数学教学整合研究 响。”1 1 1 ( 二) 全日制义务教育数学课程标准指出：“数学课程的设 计与实施应重视运用现代信息技术，特别要充分考虑计算器、 计算机对数学学习内容和方式的影响，大力开发并向学生提 供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学 和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使 学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动 中去”。 今天，以计算机为代表的现代信息技术应用于数学教学 在很多发达地区已经开始成为现实，即使经济欠发达地区， 当地政府部门、各级学校也想方设法筹措资金，千方百计的 要上这个项目，其发展势头之强，影响面之大，投入资金之 多，都是以往的数学教育改革所不能比拟的。按照目前中国 的发展速度，学校的数学教学条件将会不断得到改善。大部 分地区的中小学都将有电脑教室，一些发达地区的学校里， 电脑和网络等将成学生一种重要的数学学习手段。口1 但是跟 这些相矛盾的是：本来应该从中得到最大好处，对此现象感 到兴高采烈的第一线数学教师，却往往感到困惑，无所适从， 除了浪费了大量的时间和精力外，现代信息技术并没有给他 们带来的想象中的各种好处。 透过现代信息技术给数学教育带来的表面繁荣，理性地 分析其成效，不难发现我们对现代信息技术的应用都还是浅 层次的。比如，利用现代信息技术进行教学大多是看重对学 生感官的强化，并没有充分利用计算机强大的运算功能。即 便是目前搞得如火如荼的网络教学，也多是着力于对现行教 育的能量放大，还没有突破传统的教学模式。随便进入一所 网校，基本是名师主讲、同步( 或异步) 辅导、答疑解惑等 现代信息技术与数学教学整合研究 传统教学模式，具体内容多是将课本、教案、习题等复制到 网上，除自由度大一些外，似乎还显不出更强的优势。 现代信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以 及学与教的方式产生了重大的影响，令许多尚未完全对计 算机摆脱神秘感的数学教育工作者感到困惑是很容易理解 的。另外，利用现代信息技术进行数学教育，需要一笔不小 的经费，在我们这样一个教育发展水平极不平衡的发展中国 家，教育经费严重不足是必须面对的现实问题，交多少学费， 得多少回报，需要精打细算。这些都要求我们应该认真考虑 现代信息技术与数学教育之问的整合关系，如何在数学教学 中充分地发挥计算机的优势，已成为数学教育现代化和数学 教改的现实课题。 现代信息技术与数学教学整合研究 第一章现代信息技术与数学教学整合所面临的问题 1 0 引言 当前我国不少中小学的硬件设施已经有了很大的改善。 据2 0 0 0 年底的不完全统计，与19 9 9 年相比，无论是学校的 电脑拥有台数还是校园网的数量都有较大幅度的增长。在少 数发达地区，多媒体计算机、大屏幕投影设备和网络已经开 始进入了每一间教室，甚至在有的学校人均电脑占有量已达 到了1 1 1 的比例，超过了发达国家。 但是随着课程整合的实施和深入，产生了越来越多、越 来越深的疑问。“课程整合”已经提出了有四年之久，但是为 什么收效甚微呢? 不少人都把原因归咎于脱离国情谈整合。 请看下表所示的中美两国在教育设施和教学方式上的对比。 中国美国 硬件装备1 台电脑3 5 名学生l 台电脑5 名学生 数字化教育资源较为缺乏较为丰富 教师技能和素养总体上很差总体上较好 基础教育体制以应试为主以普及教育为主 教学模式以教师为中心以学生为中心 确实，从硬件、软件、师资、教学模式、教育体制等等 方面来说，我们都与欧美发达国家相距甚远。笔者也在网上 发布过类似的调查问卷系统，调查对象是丽水市的中学生， 从反馈回来的1 7 3 份结果来看，也很好的吻合上面的结果， 而丽水市的经济水准大致就处于全国的平均水平，能比较准 确的反映全国的实际情况。显然我们在硬件、软件、师资、 教学模式、教育体制上还均没有达到满足“现代信息技术与 现代信息技术与数学教学整合研究 课程整合”的要求。 尽管我们已经投入了巨大的人力物力，但是关于如何有 效地使用现代信息技术提高数学教学质量，怎样在这个全新 的教学环境中设计教学，这些问题都还没有圆满的解决。可 以想象，如果在投入了大量资金购置这些硬件设施后，教育 质量如果没有明显的提高甚至降低了，那么把本来就非常有 限的教育经费投到这里岂不是一种浪费? 因此，与发达国家 相比，我们更迫切的需要讨论这些问题。 1 1 现代信息技术与数学教学整合面临的外部困难 1 1 1 当前硬件基础还不能满足要求 我国目前多数学校的硬件条件还满足不了课程整合的需 要，虽然“校校通”工程的实施大大推进了中小学的信息技 术基础建设，但是我国目前的信息技术硬件环境仍然达不到 在课堂教学中象黑板、粉笔这类教学工具那样得到普遍配备 的程度。 据2 0 0 3 年初发布的基础教育信息化进展情况介绍， 截至2 0 0 2 年底，全国中小学拥有计算机5 8 4 万台，平均每 3 5 名学生拥有1 台；全国中小学已建成校园网2 6 0 0 0 个，虽 然比上年增长1 4 3 ，但是在全国6 0 万所中小学中，比例只 有4 3 。需要注意的是，全国中小学的计算机绝大部分只用 于信息技术课的教学，而能够用于信息技术课以外的学科教 学的计算机数量恐怕就更少了。 全国能够满足实现整合所需硬件条件的学校还是少数， 由于硬件平台的缺乏，实现现代信息技术与数学教学的整合 自然只能局限在符合硬件条件的学校之内。 1 1 2 现有教育软件市场尚不能满足要求 当前中小学的数字化教学资源远远不能满足“现代信息 现代信息技术与数学教学整合研究 技术与课程整合”的要求。虽然我国在1 9 9 9 年已经启动了教 育资源建设工程，市场上已经有几十种商品化的教育资源库， 在一定程度上缓解了学校对数字化教育资源的需求。然而这 些教育资源同“新课程标准”所要求的资源标准相比，无论 在数量上还是在质量上都还相去甚远，据用户调查显示，用 户对教育资源库的满意程度还不高，目前的教育资源还远远 不能满足“现代信息技术与课程整合”的要求。 对于计算机专业人员开发的数学教学软件，相信大多数 教师都会不怎么满意，而事实上这些软件对数学教学的实际 意义也真的不大，市场上号称“电脑教师”、“家庭 小博士”的教育软件多半是课本搬家式的电子书或变换方式 的习题集，实际质量令人担忧。如果说多数传统的数学课堂 缺少启发，那么这类软件就根本没有启发。所谓讲解就是在 屏幕上显示出有关的概念、定理、公式，没有来源和实际应 有，没有知识的内在联系和发展，更不涉及最值得领悟的数 学思想和方法。所谓练习就是在屏幕上显示出答案，有的甚 至连必要的过程都没有，对于判断选择题或简单的填空题， 计算机倒是有些交互功能，但反馈信息却谈不上任何启发性。 试想：当学生答对时屏幕显示出“对了，你真聪明! ”，当学 生答错时屏幕显示“真遗憾，你没答对，请再加油想想。”人 们这时对c a i 会怎么看呢? 是否与传统教学相比，计算机更 不利于表现启发式的教学呢? 是否对表现以抽象与严谨为特 征的数学，不是计算机的特长甚至是它的短处昵? 至于教师亲自开发软件，由于教师远比一般的计算机工 程师熟悉教学、了解学生心理，所以这类软件可以在教学中 发挥一定作用。但问题又来了，那就是开发效率太低，一节 课用的软件需要几十个小时开发，谁都难以长期坚持下来。 软件本来设计的就不科学，加上糟糕的售后服务，自己 现代信息技术与数学教学整合研究 开发又费时费力，这所有的不利因素加起来，使得相当一部 分的数学教师对计算机辅助教学失去了信心，重新回到了黑 板加粉笔的时段。 1 1 3 当前基础教育体制尚未完各 虽然我国的基础教育改革正在如火如荼地进行着，但是 以“应试”为主的教育体制还占主流，这是由我们稀缺的教 育资源和庞大的人口就业压力之间的矛盾决定的。“素质教 育”之所以实施多年而效果甚微，正是因为它不可能从根本 上解决这一对矛盾。即使我国全面实施了基础教育改革，这 一对矛盾同样会存在。 具体的教学模式必须服务于特定的教育目标，实现现代 信息技术与数学教学的整合实质上是要在国内“复制”美国 的教学模式。但是由于没有教育目标的支撑，实现现代信息 技术与数学教学的整合尚处于“观摩”、“研究”状态，还远 远成不了学校教学的主流。 1 1 4 当前“以教师为中心”的教学模式不可能在短时间内 改变 我国长期以来形成的“以教师为中心”的教学模式虽然 遭到批评，正在推进的基础教育改革也旨在改变这一教学模 式。但是我国教育资金和师资短缺、教学观念难于转变的现 实国情决定了这一教学模式在长时间内还会居于主流。 “以学生为中心”的教学模式需要基于2 0 3 0 人以下的 小班教学，否则很难开展个性化教学。美国教育资金和师资 充足，已经实现了小班教学，而在中国要达到这个目标绝非 一日之功。在初中和高中，正常班级的人数在4 0 6 0 人左右， 甚至还有10 0 多人的“超级大班”。在这种情况下，怎么能实 现以学生为中心昵? 现代信息技术与数学教学整合研究 1 2 现代信息技术与数学教学整合面临的内在困难 1 2 o 问题的提出 除了上面指出的外在困难，阻碍现代信息技术与数学教 学整合的还有其自己的内在因素。由于计算机技术跟数学科 学之间的紧密联系，很自然地容易让人认为借助于计算机促 进数学的教学是很容易实现的。非常不幸的是，事实恰恰相 反：在借助于计算机促进各学科的教学改革中，数学大概是 最困难的学科，引起的争论也最大。 1 2 1 仅靠生动性和形象性不能达到数学教学的目的 借助于现代信息技术，物理、生物、化学等学科的教学 软件可以做得图文并茂、有声有色，把正常情况下很难观察 到的实验现象通过计算机就可以非常真实的再现或模拟如 来，从而促进教学。但是数学却不能，因为数学是需要进行 思维训练的，它是集严密性、逻辑性、精确性、创造性及想 象力于一身的科学。数学教学要求学生在教师设计的教学活 动或提供的环境中通过积极的思维，不断了解、理解和掌握 这门学科，揭示思维过程。促进学生思考就成为数学教学的 目的，仅仅依靠课件表面的生动性和形象性除了能带来一时 的兴奋之外，显然难以达到数学教学的根本目的。 1 - 2 2 计算机的滥用造成学生相应能力的退化 另外，还有很多教师担心过分依赖计算机将导致学生相 应能力的退化，这个担心从前些年校园里限制使用计数器的 现象就可以看出。而实际上这种担心也并不是杞人忧天，它 是有一定道理的：因为事实已经证明了一些西方国家的学生 数学基本技能的下降与滥用计算器有关。 现代计算机技术的发展不仅使数字计算变得轻而易举， 而且一个复杂方程的求解、一个函数图像的绘制、一个积分 或矩阵的运算，都只需轻轻敲几下键盘输入几个数据，再点 现代信息技术与数学教学整台研究 几下鼠标，一切结果顷刻问就会在显示器的屏幕上显示出来。 这种“描述”数学结论式的数学对数学教育是巨大的挑 战，它有助于概念的理解吗? 有助于问题的求解吗? 有助于 学生数学能力的提高吗? 甚至数学教育的必要性与目的性都 受到怀疑，学生会问：有了计算机还学数学干什么? 教师会 问：有了计算机数学还教什么? 数学教育的本质究竟是什 么? ”1 这些都是我们不得不考虑的问题。 1 2 3 教师的现代教育技能和素养落后于实际的需要 另外，当前中小学教师的现代信息技术技能和素养远远 不能满足将现代信息技术引入到课堂教学中的要求。如果教 师自己连基本的现代信息技术水平都不具备，怎么可能“象 使用黑板、粉笔一样”使用现代信息技术呢? 具备熟练操作 电脑、文字录入、熟练使用互联网收集自己所需的资料是对 教师最基本的要求，而国内大部分教师尚不具备这一技能。 除了基本的现代信息技术技能之外，教师还必须具备将 现代信息技术有效地、有机地整合到数学教学中的能力，目 前具备这种能力的教师在掌握现代信息技术技能的基础上就 更少了。正因为缺乏这种关键能力，于是出现了“黑板搬家”、 “电灌”、“为多媒体用多媒体”的误区。 通过调查发现，相当一部分数学教师尚未完全摆脱对计 算机的神秘感，对于那些单单依靠传统的教学方式就可以讲 解清楚的数学概念，很多教师就不愿利用计算机来进行辅助 教学了，尽管后者实际上能更有效、更快捷的解释这些数学 概念的真正含义。究其原因，主要是因为利用计算机来进行 教学现在还存在着一系列的问题，比如说技术上的：相当一 部分教师一旦计算机出了一点小问题就手足无措，而实际上 绝大多数情况下都是软件错误，只要重新启动一下机器就可 以了；在这些老师的计算机里，唯一能排得上用场的基本也 现代信息技术与数学教学整台研究 就两个软件：0 f f i c e 办公系列的p o w e r p o i n t 软件以及几何画 板。另外，也有一部分教师还考虑到安全问题，比如说学生 在使用电脑时，会不会被触电等等，这在低年段显得尤其突 出。 姑且不说对计算机了解的比较少的中老年教师，即使是 刚刚从师范学院毕业的年轻数学教师也存在着同样的疑问， 尽管他们对计算机的了解和掌握比中老年教师要多。笔者曾 经和本科时的一些校友谈起过这个问题，他们对这个问题同 样感到非常困惑：一方面，自己所在的学校花了大量的人力 物力建立起正规的多媒体教室，不仅配备了大屏幕投影仪， 做到了每个学生人手一机( 计算机) ，并且所有电脑均可以接 驳国际互联网，只要你愿意，随时与外地的学生或者老师实 行在线互动交流；另一方面，在这些教室里除了播放一些视 频介绍或者演示几个几何画板课件外，剩下的就是撤掉投影 屏幕，在露出来的黑板上板演，重复着以前的一切活动；或 者大部分时间就是让学生挤在计算机屏幕前，由于缺乏必要 的引导，学生对自己在计算机面前到底应该干些什么根本不 知道。 所有这一切都要求我们重新审视以前提供给教师的各种 在职培训( 单指计算机方面的) 是否真的合适? 很显然大多 数学教师都没能充分利用现有的资源改善自己的教学环境， 从而造成了教育资源的极大浪费。 实现现代信息技术与数学教学的整合，不仅仅受硬件基 础的制约，而且还受到教师素质、教育资源、教育体制、教 育观念等各方面因素的制约。 由于历史的原因，我们的经济发展具有非常大的区域不 均衡性，从而也导致了教育发展的地区不均衡。在中西部的 很大一片地区，由于条件限制，要把现代信息技术跟课程整 现代信息技术与数学教学整合研究 合起来确实不容易，特别是在一些连计算机都还没有进入学 校的地区，要在这样的条件下搞课程整合，难度是非常大的； 但是在某些经济发达地区，诸如长江三角洲、珠江三角洲以 及京津唐等地，多媒体计算机、大屏幕投影设备和网络已经 开始进入了每一间教室，甚至在有的学校人均电脑占有量已 达到了1 1 1 ，在这样的地区，按照某些校长的话来说，早已 是“天网、地网，奔四、奔五”了，绝对超过了发达国家的 平均水平。但他们的“教育信息化”也有很多是“形象工程”， 课程整合也只是在公开课、观摩课上才会露下面，课堂教 学主要还是靠“黑板加粉笔”。 显然，“物资条件”并不是起决定性作用的唯一因素，在 我国搞现代信息技术的整合不一定就是天方夜谭。现在唯一 可以不怀疑的就是在目前的中国实现现代信息技术与数学教 学的整合对我们来说还任重道远，绝对不是一件轻松的事。 我们面临的最大问题就是要弄清楚现代信息技术对数学教学 改革能发挥哪些作用，在新技术的支持下能否创设更理想的 数学教育，以及如何创设更理想的教学环境，解决传统教学 某些难以解决的困难。 现代信息技术与数学教学整合研究 第二章现代信息技术与数学教学整合的几个途径 2 0 问题的提出 数学教学中，抽象与具体、逻辑与直观是永恒的矛盾。 太简单的例子不能说明问题，有意思的例子又因计算量大而 不能讲，课堂上更难有好的图像，于是理性与感性脱节，学 生会觉得数学非常枯燥，没意思，即使学了也没什么用，这 样的学习态度自然会影响到学习的效果。而计算机强大的计 算功能和图像功能正好能弥补这种缺陷，通过演示可以帮助 学生观察现象，理解概念，领会方法；通过自己动手计算体 验解决问题的过程。应该试着组织数学实验课程，在教师指 导下探索某些理论课题或应用课题，学生的新鲜想法可以借 助数学软件迅速实现，在失败与成功中得到真知。这种方式 变被动的灌输为主动的参与，有利于培养学生的独立工作能 力和创新精神”，。 在第一章里，我们简单的介绍了现代信息技术与数学教 学整合所面临的种种困难，那么以计算机为代表的现代信息 技术究竟应该怎样才能对数学教育注入活力? 数学教育是否 真的需要现代信息技术的支持? 在数学教学中引入计算机 后，是有助于学生的思考呢，还是相反? 这些问题都还没有 给予明确的回答。就这些问题，根据北大附中王鹏远等老师 近七年来在北大附中、北京2 0 中、中国地质大学附中、海淀 区知春里中学等四所学校所进行的实验表明：面对传统教学 的种种困扰，计算机或许是能帮助我们摆脱困境的有效手段。 现代信息技术深藏的潜力将为数学教改注入强劲的活 力，标准也指出：“有条件的地区，教学中要尽可能地使 用函数计算器、计算机以及有关软件，这种现代教育手段和 现代信息技术与数学教学整合研究 技术将有效地改变教学方式，提高教学的效益”。本章将对此 展开详细的讨论。 2 1 现代信息技术与数学实验 2 1 1 现代信息技术让数学教学引入数学实验成为可能 在中小学生的眼里，教师在课堂上都是成功者，数学教 师都是聪明绝顶、无所不能的，因为他们通过几步非常简单 的演绎推理就推导出了一个放之四海而兼准的定理。年级越 低，这个现象就越明显。 其实数学教师在学生面前展现的不是数学研究的真面 目，数学研究是需要实验的，数学家很多情况下是通过成百 次上千次的实验、观察、联想，再进行归纳、类比、猜想才 能发现一个真理，最后用特有的严谨的数学语言表达出来， 传给世人也留给后人。但是由于篇幅的关系，我们的教科书 一般都把数学问题提出的背景、数学家的探索过程省略了， 不记录他们艰苦探索的经历，而仅仅记录了他们得出的结果。 数学课应引进数学实验，有些内容可以是演示的，有些 是学生必需亲自动手的。引进数学实验的宗旨不在于让学生 去发现什么新的内容，而在于让学生亲身去体验一下数学的 创造和发现过程，让学生自己找出规律，学会自己提出问题、 解决问题，激发学生的学习欲望，培养他们的创新精神、意 识和能力 6 】。数学实验的提法已经有一段时间了，但是考虑 到处理实际数据碰到的复杂性以及课堂教学的时间限制，这 个非常好的设想被长期搁置下来。有了计算机强大的计算功 能后，把实验引入数学就成为了可能。 至于怎样在课堂中引进数学实验，这点我们应该借鉴外 国的先进经验，我们必须认识到自己的不足之处，承认这个 差距。虽然可以说我国学生的基本功比一些发达国家的学生 现代信息技术与数学教学整合研究 扎实，但仅这个方而，我们的确是落后于国外的。 美国是一个现代信息技术发展很早的国家，它的计算机 辅助教学的发展则完全按照作为指导教师的模式、作为学习 者模式、作为工具模式的发展轨迹，他们更重视学生的计算 机素质的培养，重视发展学生利用计算机解决问题的能力， 所以计算机作为学习者模式在美国很流行，对这个新事物的 认识也有其自己独到的一面，认识和了解美国数学教学是如 何利用高科技现代信息技术，从而领略他们的数学教育理念， 这一点对于我们的教育技术现代化无疑是很有帮助的。 2 1 2 一个数学实验的具体案例【7 1 下面介绍一下美国密歇根州一所中学12 年级( 相当于我 国的高中三年级) 的学生利用数列的极限来推导石的一系列 具体的数学课堂教学活动，读者可以从自己的教育哲学观点 和教育理念出发，认识和领略美国人的数学教育理念。 这堂课描述了一群高中三年级的学生如何通过一个数列 的极限来推导石的值。 首先教师提出了下面这样一道问题：假设有六个一美分 的硬币排成一个圆，问能否在六个硬币的中央放进同样的一 枚硬币，使它与其余六个硬币都相切? 咧 这道题目一提出后，学生们就纷纷互相借硬币以希望能 通过具体的实验来验证是否真的可以再放进一个硬币，结果 是有好些学生都认为这是可以办到的。与此同时，还有个学 生提出了这样的疑问：这种情形是不是对所有的硬币都可以 呢? 也就是说：这个结果是不是不依赖于硬币半径的大小 呢? 根据这一点，接下来教师就鼓励学生们用两角五分的硬 币来试一下，结果也是可以。 由这两次实验的启示，有几个学生在教师的提示下给出 了以下的证明思路： 现代信息技术与数学教学整合研究 如下图所示，外围的六个圆的圆心组成一个正六边形， 连接任意两个圆的圆心和六边形的中心，( 这里不妨记这两个 圆为圆爿和圆b ，正六边形的圆心记为o ) ，连接圆d 和圆曰的 圆心，切点记为c ，连接圆4 和圆曰的圆心，则彳b 过两圆的切 点d ，连接o d ， 在r 丛。肋中，血o d = 3 0 。 ? 。b d ：o b 。 2 而= d c + 凹， d c = 占c 。 圆d 和圆曰有相同的半 径，这就是说在中问刚好可以 放下一个同样面值的硬币。 在这些学生把自己的证 明步骤解释给全班同学听后，老师在肯定了这些学生所作证 明正确性的同时，接着又布置了这样一道家庭作业： 当硬币的数目无限增大时，硬币的数目和内部圆半径的 比值的极限是多少? 从第二天交上来的作业来看，大多数人都是使用了计算 器完成这个作业，但是得出的结果并不是特别理想；但也有 个学生利用了e x c e l 强大的数据处理功能，列出了一个又详 细又精确的数据库，认为这个比值应该是厅。 从下表可以看出： 当硬币的数目增大到3 0 0 0 时，这个比值是3 1 4 4 9 6 6 ；增 大到17 0 0 0 时是3 1 4 2 6 2 9 。( 为了简便起见这里假设硬币的半 径是1 ) 现代信息技术与数学教学整合研究 硬币数目等腰三角形等腰三角形底角弧度数内部圆半径硬币数目内 底角角度数部圆半径 66 0 0 01 0 4 7 1 9 7 5 3 3 3 3 3 3 3 01 0 0 0 0 06 0 0 0 0 0 0 76 4 2 91 12 1 9 9 7 3 5 7 1 4 2 8 6 01 3 0 4 7 65 3 6 4 9 5 2 86 7 5 01 17 8 0 9 7 2 2 5 0 0 0 0 0 01 6 1 3 134 9 5 9 3 1 6 97 0 0 01 2 2 1 7 3 0 4 5 5 5 5 5 5 6 0 1 9 2 3 8 0 4 6 7 8 2 3 1 2 9 9 88 9 9 41 5 6 9 7 4 8 4 0 3 8 6 9 2 5 09 5 3 2 6 8 8 33 1 4 4 9 6 8 2 9 9 98 9 9 41 5 6 9 7 4 8 7 5 3 2 8 4 4 3 09 5 3 5 8 7 1 23 1 4 4 9 6 7 3 0 0 08 9 9 41 5 6 9 7 4 9 1 0 2 4 6 6 6 7 09 5 3 9 0 5 4 23 1 4 4 9 6 6 17 0 0 08 9 9 91 5 7 0 6 1 15 0 0 4 3 5 2 9 05 4 0 9 4 8 3 7 03 1 4 2 6 2 9 1 7 0 0 18 9 9 91 5 7 0 6 1 1 5 1 13 0 5 2 2 05 4 0 9 8 0 1 9 23 14 2 6 2 9 l7 r 0 0 28 9 9 91 5 7 0 6 l l5 2 2 l7 3 8 6 05 4 l o 1 2 0 l33 1 4 2 6 2 9 17 0 0 3 8 9 9 91 5 7 0 6 11 5 3 3 0 4 12 3 05 4 1 0 4 3 8 3 53 1 4 2 6 2 9 注意到3 1 4 2 6 2 9 跟石并不是非常接近，就有必要讨论这 样的结果跟题目的要求是否一致：虽然3 1 4 2 6 2 9 跟石非常接 近，但并不等于厅，如果可以证明的话，那就没问题了。最 后，经过激烈的讨论以及在老师的提示下，有个学生给出了 以下的证明思路：( 这个证明显然运用了微积分的知识) 设硬币的数目是n ，半径是y 。因为有仃个硬币这就意味 着能构成一个正”边形，它的内角和是m 一2 协，所以任意两个 相邻硬币的圆心与内部圆圆心构成 的等腰三角形的底角是：0 2 ) 万2 ” 如左图所示：记内部圆的半径 是，我们有： 。警 h c o s ( 警肛叭 现代信息技术与数学教学整合研究 rr 伽一2 切、 铲犁高叫c o s ( 警 现在我们感兴趣的是l i m 旦的值。 ”斗。 c o s ( 警) = c o s 匕一守咖三，豇。溉豳2 去， _ + os m l m 石i 石 九 v 一一v 万 。 s 1 n n 。作倒数代换：”= ，我 碘嘉嘲南哟南 m 呻0v m 斗o fv1斗o fm v1 _ _ l ym l _ 一_ 一yi _ l 一，i s l n 埘石 s l n m 石s l n m 石 2 瓯飘 1 上一o 石 特别的，如果硬币的半径是1 ，则n 无限增大时该极限趋 于石。 到这里这道题目已经解决了，但是这个结果有什么用 呢? 在接下来的讨论中，有个学生是这样叙述的： 当”趋于无穷大时，这个正n 边形的周长就和内部圆的周 长无限接近，而正n 边形的周长很容易可以算出是2 缈，所以 圆的周长也是2 础，而由上面我们已经知道：驯= 矾，所以可 以推出：= 2 ，这样我们就证明了圆的周长等于两倍的半 亭鬈 现代信息技术与数学教学整台研究 径乘以超越数石。 而c = 2 册这个公式我们以前虽然知道，但对于为何要这么 算圆的周长我们却不清楚。通过这个实验，我们对这个知识 有了更深的认识。 2 1 3 给我们的启示 美国人的一堂典型数学课就是这样，在这里我们看不到 花哨的动画演示，有的只是利用现在每台电脑都装有的 0 f f i c e 系列软件，借助于电脑强大的计算功能进行辅助计算， 为推理确定一个明确的目标，这与我们国内的某些现象是截 然不同的，我们的教师在应用现代信息技术时，往往强调画 面的华丽，背景音乐的悦耳，动画效果的震撼人心，着力于 对现行教育的能量放大，而深层次的内容则往往被忽视了。 数学实验给我们的启示是深刻的：它不仅使学生获得了 知识，还学会了研究问题的方法，最重要的是改变了对数学 学习的态度，这些学生变得喜欢数学了。同时这还令人信服 地说明了一个道理，相当多的数学定理首先是可视的，数学 事实有时无需用语言表达，眼睛一看全清楚了，接下来才是 对自己视觉感受的说明，最后才是抽象的数学符号术语表达 的天衣无缝的数学语言和严谨的逻辑证明。因此，数学教师 的作用在于艺术的设计数学活动，让学生通过活动在自己的 头脑中建构一个不断发展的数学世界。数学实验还给当前日 渐升温的教学软件开发提出了一个尖锐的问题，那就是为什 么花费大量人力财力开发的数学教学软件在教学上表现不 佳? 其实，有了如“几何画板”、“m a t h c a d ”、“m a t h e m a t i c a ”、 “t i 图形计算器”的支持，许多教学软件没有必要开发，更 有意义的是在这些环境的支持下进行教学设计。计算机引起 的不单是教学内容、教学方法的变化，而且引起了数学教学 模式的深刻变革t ”。 现代信息技术与数学教学整合研究 当然并非一切数学知识都要通过学生亲自实验，有的可 以通过演绎推导，有的还是通过听教师讲解才领会更深。哪 些适宜学生自己上机实验，哪些只需看教师的演示实验就可 以了，哪些根本无需实验，这需要认真研究。但现在普遍存 在的问题是：许多事实都是教师“讲”出来的，有的连教师 自己都没有经过必要的实验，可以设想学生怎么能接收这些 强加给他的结论呢? 比如如幂函数的图像，就缺少必要的实 验，这在过去由于工具的限制很难办到。现在不同了，借助 m a t h c a d 、m a t h e m a t i c a 等软件，可以在一个窗口键入不同的 参数对比观察图像的异同，也可以通过动画观察参数变化对 图像的影响，其效果真是妙不可言! 问题是现在许多教师还 不甚了解计算机的魅力。 2 1 4 引申 上面这个小实验面向的对象是高中生，而2 0 0 3 年在杭州 举行的“杭州一香港小学数学教育学术交流”大会上，香港 教育学院数学系的黄德华先生也作了一个报告，主题恰好也 是关于如何在数学实验课中求石的值，不同的是面向的对象 是小学生。由于对象不同，所以其使用的策略也就有很大的 不同，最明显的就是使用了更直观形象的软件，处理的对象 主要是图形，而不是数据。下面简单的介绍一下实际情况， 以供对比研究。 2 1 4 1 目的和原理 目的：利用w i n g e o m 探究圆周率的近似值，强化学生对 圆周率概念的认识。( 注：w i n g e o m 是一个类似几何画板的软 件，因操作简单，非常受欢迎) 。事先学生应先通过度量若干 圆形的圆周和直径，找出圆周和直径的比大约等于3 ；由于 手工度量误差颇大，学生得出的结果，自然各有不同，所以 很难找出3 14 这个大约数值。而通过w i n g e o m ，则可以弥补 现代信息技术与数学教学整合研究 这个不足，找出圆周率的大约数值。 原理：圆周率 堕堕堡蓦耋彗堑旦篓 且1 芏 2 1 4 2 大致步骤 l 、先新建一个新的二维工作区，在菜单栏中，拉下s h a p e ， 按p 0 1 y g o n r e g u l a r ，准备进行规则多边形的绘制工作。 2 、当多边形i n p u t 对话框出现后，输入多边形的边数。 如图，输入“4 ”，按下0 k ；再输入多边形的边长“1 o ” 现代信息技术与数学教学整合研兖 3 、在菜单中，拉下c i r c l e ，选c i r c u m c i r c l e ，在相继出 现的对话框中输入a d ，按下o k ，完成正四边形外接圆的绘 现代信息技术与数学教学整合研究 制工作。 5 、接下来，就是要准备测算正四边形的周长和外接圆的 比值。在菜单中，按一下m e a s ；在对话框中输入运算公式： 4 b d ，再敲一下回车就算出了四边形周长与直径的比为： 2 8 2 8 4 3 ，如下图所示： 现代信息技术与数学教学整合研究 6 、类似的，可以找出八边形周长与直径的比为3 0 6 1 4 7 以及5 7 边形周长和直径的比为：3 1 4 1 2 0 。 现代信息技术与数学教学整合研究 这时，我们不难发现多边形的边数愈大，其周长便愈接 近圆周。 圆周率= 譬 由于圆内接多边形的周长小于圆周，所以3 1 4 1 2 0 小于 圆周率。 2 2 现代信息技术与探究性数学活动【l o 】 2 2 1 为什么要设计t e m i s 一位澳洲数学教师在一篇文章中这样写到：“在我教学生 涯的第一个10 年，我认为自己是在教数学。在第二个1o 年， 我认识到自己不是在教数学，而是在教探索，教学生如何进 行数学方面的探索。