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独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知,除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果,也不包含为获得( 注:如没有其他需要特别声 明的,本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名:融凤斤芝 导师签字: 盔么勿年_ 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定,有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘,允许论文被查阅和借阅。本人授权堂 楚可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索,可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存,汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名:酉、风励之 导师签 虿兹薮 签字日期:2 0 0 年 月日 签字日期:2 0 0年月 日 山东师范大学硬士学位论文 对流占优问题的扩展混合元数值模拟及其理论分析 眩掣小扛c ) v 时6 1 吼) _ m j l 篓三 n ) 裳+ 1 正( z ) v c v ( n ( z ,c ,) v c :) = ,( e ,c ,) , ( 3 ,) n , 6 ) c ( z + f ) = 0 ( z t ) r , c ) c = c o ( z ) z n ,= o 的一种新的数值模拟方法一扩展特征混合有限元方法,即对对流部分沿特征线 方向进行离散,以消除流动锋线前沿的数值弥散现象,保证格式的稳定性;而对 扩散部分采用扩展混合有限元方法,同时高精度逼近未知函数,未知函数的梯 度及伴随向量函数理论分析表明,该方法足稳定的,具有最优l 2 逼近精度 数值例子进一步说明了该方法的有效性 其次讨论了对流占优问题 , l ( b )一v - ( n v u + 6 u ) = ,z n , l ( 砷u ( z ) = o , z 鲫: 稳定化的扩展混合元数值模拟把稳定化的思想与扩展混合元方法相结合,既 可以高精度逼近未知函数,未知函数的梯度及伴随向量函数,又能保证格式的 稳定性理论分析表明,此方法是有效的,具有最优l 2 逼近精度 山东师范大学硬士学位论文 关键词ts o b o l e v 方程,拟线性对流占优扩散方程,稳定化,扩展特征混合 有限元方法,最优误差估计 图书分类号:0 2 4 1 8 2 山东师范大学硕士学位论文 n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa i l da n a l y s i so ft h e e x d a n d e dm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o df o r c o n v e c t i o n d o m i n a t e dp r o b l e m f e n g ) c i nc h e n c o l l e g eo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c 皤,s h a l l d o n gn 0 r m a lu n i v e r s i t y j i n a l l ,s h 粕d o n g ,2 5 0 0 1 4 ,p r c h i n a ab s t r a c t i nt h i sp a p e r ,w ec o n s i d e rt h ec o n v e c t i o i 卜d o m i n a t e ds o b o l e ve q u a t i o n n ) 等+ d ,) v u v ( 口( ,) v m + 6 1 可u ) = ,( ,) , ( z ,) n , 6 )“( f ,t ) = = o ,( z ,) r , c ) ( z ,0 ) = u o ( z ) , z q ,= o 艇篓_ 玑( n 1 c ”v c ) _ “叩 哦篓兰 w h i c ha r es i n m l a t e db ye x p a n d e dc h a r a c t e r i s t i c s - m & e df j n i t ee l e n l e n t i e t h o d t l l em e t l l o ( 1 诂ac o n l b i n a t i o no fc h a r a c t e r i s t i ca p p r o x i m a t i o nt oh a n d l e 恤ec o n - 、r e c t i o np a r ti nt i m ea n da ne p a n d e dm i x e d 丘n i t ee l e m e n ta p p r 似j m a t i o nt o d e a l 稍t ht h ed 丽l s i o l lp a l t t h es 出e m el ss t a b l es i n c e 丑u 试诂t r a n s p o n e da l o n g t h ea p p r o x i m a t ec h a r a c t e r 斌i c so n 曲ed i s c r e t ek v e l a tc 悖s a m et i m ei te x - p a n d st h es t a n d a r dm i x e d 矗n i t ee k m e n tm e t h o di nt h es e n s et h a t t m r e ev a r i a b l 稻 a r ee x p l i c i t l yt r e a t e d :t h es c a l a ru n k n o w n ,i t sg r a d i e n t ,a n di t sn u xo p t i m a l l ya n d s i n l u l a c a n e o u s l y ,n u m e r i c a la i l a | y s i ss h a 孵t h a tt h i sm e t h o di ss t a b l ea n di t sl 2 e r r o r 龉t i m a t ei s 叩t i m a l 3 些奎堕蔓盔兰堡主兰垡堡茎 馏焉乩羔 w h i c hi ss i m u l a t e db yt h e8 t a b l i z e da n de x p a n d e dm i x e df i n i t ee l 锄朗tm e t h o d t h em e t h o d 主sac o m b i n 鑫亡j o no fs t a b 王i 2 e d6 n i t ee l e m e n t 描e t h o da n de x p a n d e d m i x e df i n i 七ee l e m e n tm e t h o d ,n u m 盯i c a la n a j y s i ss h a w st h a tt h em e t h o dc a n a p p r o x i a t et h es c a l a ru n k n o w n ,妇g r a d i e n ta n di t s 丑u xo p t i m a l l y ,a 如s h o w s t h es c h e m ei sm u c hs t a b i et h a nt h es t a n d a r de x p a n d e dm i x e df i n i t ee l e m e n t m e t h o d k e y w o r i sis o b o l e ve q u a t i o n ,q u 鹊i l i n e a rc o n v e c t i o n d o m i n a t e dd i m l s i o ne q u 舢 t i o n s ,s t a b l i z e dm e t h o d ,e x p a n d e dc h a r a c t e r i s t i 睁m i ) 【e d 五n i t ee l e m e n tm e t h o d , o p t i m a le r r o re s t i m a t e s u b j e c tc l a s s m c a t i o n :0 2 4 1 8 4 山东师范大学硕士学位论文 第一章引言 有限元方法足求解偏微分方程数值解的一个重要方法,最早用有限元处理 偏微分方程近似解的始于4 0 年代c o u r a n t 等人国内最早研究有限元方法的 屉冯康先生,他的成果当时处于世界先进行列【2 6 1 6 0 年代初,有限元方法开始 广泛应用于船舶,一般机械,巨型建筑和水利设施( 如大坝和桥梁) 的设计以及 用于解决流体力学,电磁场等非应力分析问题,并取得了很好的效果但有限 元方法仅能得到对未知函数的逼近,而对具有重要物理意义的流量函数还需要 进一步求解 7 0 年代初,口n k t i 妇【2 1 和口r c :z z f 2 8 l 在l b b 条件陋“1 的基础上创立 了混合有限元方法的一般理论8 0 年代初。f a l k 和o s b o r n 提出了一种改进 的混合元方法,扩大了混合有限元的适应范围,使混合有限元方法得到进一步 的发展鞍标准有限元方法,混合元方法可以同时高精度逼近未知函数及其伴 随向量函数,对处理高阶方程和含有两个或两个以上的未知函数的方程更为有 利,且易于数值处理在标准混合元的基础上,陈章新于1 9 9 8 年提出了扩展混 合元方法,并将其应用于椭圆型方程的求解h 1 4 】该方法可以同时逼近未知函 数,未知函数的梯度及流量函数( 即系数与梯度的乘积) ,特别的,当方程中的流 量函数所包含的系数足一个小张量时,用扩展混合元方法可以得到更好的数值 结果,但是其混合有限元空问的构造仍需满足l b b 条件,从而给有限元空间的 选取及方法的应用带来一定的困难 实际计算表明,上述方法在处理对流占优问题时,在流体流动的锋线前沿 会产生强烈的数值弥散现象和非物理震荡现象,因此对实际对流占优问题,将 上述方法与迎风格式特征线法,稳定化格式相结合,预期可得到既能体现混 合元之优点,又能有效消除流动锋线前沿的数值弥散现象的好的结果 本文中将特征线法与扩展混合元巧妙结合。提出了既可以同时高精度逼近 未知函数,未知函数的梯度及伴随向量函数,又可以消除流动锋线前沿的数值 弥散现象,保证格式稳定性的高性能数值方法一特征扩展混合元方法;同时本 5 山东师范大学硬士学位论文 文中又把稳定化格式与扩展混合元相结合,建立了对流占优方程的稳定化扩展 混合元方法,此方法也既体现了扩展混合元的优点又保证了格式的稳定性 全文的主要内容如下一 第二章讨论s o b o l e v 方程的扩展特征混合有限元方法数值模拟, 给定具有光滑边界r 的区域nc 科,l = 1 ,2 ,3 ,时间区间( o ,t 】,考虑下列对 流占优s o b o l e v 方程: , i ( n )象+ d ( ) v t 一v ( 口扛,) v 啦+ 6 l v ) = ,( z ,) , ( z ) n , i 1 ( 办) “( 茁,) = o ,( z ,) r , l i ( c )“( z ,o ) = t 幻( 卫) , z n ,= o , ( 1 1 1 ) 其中嘶( z ,) 表示u ( z ,) 关于时间t 的导数 s o b o l e v 方程在流体穿过裂缝岩石的渗透理论【9 】,土壤中湿气迁移问题【1 0 】, 不同介质的热传导问题【“r 等许多数学物理问题有着广泛的应用关于s o b o k v 方程解的存在唯一性讨论可参见文献【1 2 】【1 3 】实际应用中d ( z ,) 相对较大,使 问题表现出强烈的对流占优趋势,因而方程具有明显的双曲性质,在流动锋线 前沿会产生较大震荡 此时,传统的抛物型离散格式在逼近流体流动的锋线前沿时会产生强烈的 数值弥散现象为了克服传统格式的上述缺陷。更好的模拟此类方程,本章采 用了特征扩展混合有限元方法,即对对流部分沿特征线方向进行离散,以消除 流动锋线前沿的数值弥散现象,保证格式的稳定性;而对扩散部分采用扩展混 合有限元方法,同时逼近未知函数,未知函数的梯度及彳半随向量函数,理论分 析表明。此方法足稳定的,具有最优胪逼近精度 第三章讨论拟线性对流占优扩散方程的扩展特征混合有限元方法 本章讨论了拟线性对流占优扩散问题 i ( ) 容+ ( z ) v c v ( n ,q ) v c ) = ,( z ,c ,z ) ,z n ,: ( 6 ) c ( z ,) = o z r , ( 1 1 2 ) i i ( c ) c = g o ( z ) ,2 q ,= o 6 山东师范大学硕士学位论文 该方程刻画了诸如热量在流体中的传导,可溶物质或污染物在地下水中的 扩散及不可压缩流体的混溶驱动同题为了处理上的方便,假定( 1 1 2 ) 是q 一 周期的,即问题( 1 1 2 ) 中所有函数关于空间都是n 一周期的由于分子扩散 作用,8 ( x ) 是一致正定的,所以问题应当是严格抛物的但在实际应用中由于 p e c k t 数非常大,该问题常表现出强烈的对流占优趋势,因而方程具有明显的 双曲性质,在流动锋线前沿会产生较大震荡 此时,传统的抛物型离散格式在逼近流体流动的锋线前沿时会产生强烈的 数值弥散现象为了克服传统格式的上述缺陷,人们提出了一系列新的数值方 法,如显式特征法。迎风加权有限差分格式f ,流线扩散法| 1 7 ,特征线法【1 9 | , 最小二乘混合有限元法 2 0 j ,修正的特征有限元法( m m o c - g a l e r l c i n ) i 7 j ,特征混 合有限元法1 1 5 1 为了更好的模拟此类方程,本文采用了特征扩展混合元方法, 文献【1 】对线性问题已做了讨论,本章主要讨论扩散项为非线性的情况,理论分 析表明,此方法足稳定的,并且得到了与线性问题相同的最优l 2 逼近精度 第四章讨论对流占优问题的稳定化扩展混合有限元方法 本章讨论对流占优方程 , ( 。) 一v ( n v u + 6 u ) = r ,z n 1 ( 1 1 3 ) i ( 6 )1 上( z ) = 0 , z a n 其中nc 舻( n = 1 ,2 ,3 ) 为一有界区域,边界为a n a b ,f 均为已知函数,且 ,l 2 ( n ) 对于( 1 1 3 ) 利用标准的有限元方法求解只能逼近未知函数,对梯度 的估计需要进一步进行计算,增加计算量,精度差;另外,由于对流占优 该问豚常表现出强烈的对流占优趋势。在流动锋线前沿与边界附近会产生较大 震荡因此在本章,我们将稳定化方法巧妙的渗透于陈章新提出的扩展混合元 方法中,提出了稳定化扩展混合元方法,此方法既可_ 以高精度逼近未知纯量, 梯度及伴随函数,又能够保证格式的稳定性 7 山东师范大学硬士学位论文 第二章s o b o l e v 方程的扩展特征混合有限元数值模拟 2 1 扩展特征混合有限元逼近格式 给定具有光滑边界r 的区域qc 剧,l = 1 ,2 ,3 ,时间区间( o ,t 】,考虑下列对 流占优s o b o k v 方程: ( 工,) v “一v ( o ( z ,) v “t + 6 l v u ) = = ,( z ,t ) :( z ,t ) 2 , = 0 , ( z ) r , = t i o ( z ) , z n ,= o ( 2 1 1 ) 其中u t ( z ,) 表示u ( x ,t ) 关于时间t 的导数,v 和d i v 分别表示梯度和散度算 子,d = d ( x ,t ) 为流体速度,n = 口( 。,) ,6 l = 6 1 ( z ) ,6 l 不为零且存在正常数 口o ,d l ,满足o 口o d 6 l 8 i o 。,倍“x ,t ) 和“o ( z ) 均是给定的光滑函数或 向量。 在本节中,对( 2 1 1 ) 定义的对流占优s o b o l e v 方程,我们令 妒( 。,) 2 ( 1 + 扩( 而) ) ;,特征方向r = 吾( 1 ,d ( 置”) ,则有雾= 古( 象+ d 9 ) 沿特征线方向r ,方程( 2 1 1 ) 可写成 n ) 一磬一v ( d ( t :) v “t + 6 1 ( z ,) v “) = ,( z ,) ( z ,f ) n , 6 ) u ( z ) = o , ( z ,f ) r , ( 2 1 2 ) c ) ( z ,o ) = o ( z ) ,z n ,t = o 令6 = 鲁,a = 一v m 一6 v “,p = n = 一d v 毗一饥v u ,并令c = 一v 6 ,则原 闽题可化为 i ( n ) 妒雾+ 幽,p = , 憾:o 棚 ( 2 1 3 ) ( 出v ;n ) = ( u ( l 2 ( n ) ) 2 ,v 一2 ( n ) ) , 8 叫砂务啦出 动够0 ,、i【 山东师范大学硕士学位论文 y = 和( d u ;q ) ) , = 厶2 ( q ) , a = ( 工2 ( n ) ) 2 则与问题( 2 1 1 ) 相对应的扩展特征混合元有限元变分形式为;求( “,a ,p ) xa y 满足 i ( 口) ( 妒缸,) 雾,加) + ( 威t 伊,叫) = ( ,t ,) , v 叫彬 ( 6 ) d ,u ) 一( “t + 6 t ,出m ,) + ( c “, ) = o ,v t ,k ( 2 1 4 ) 【( c ) ( p ,丁) 一( n a ,丁) = o ,v 丁 令死为q 的一致拟正则剖分,剖分参数为h ( 0 o 使得 l ( r ,f ) lsk ( rj j + rj l 1 ) ( e h 9 + 1 rj j ) + j ( r ,d f v 丌 g r ) l , ( 2 3 7 ) 其中兄= 重二塞芦一面c ,“是由引理2 3 1 确定的相应于r 的函数 1 2 山东师范大学硕士学位论文 引理2 3 3 f 2 l f ( j r ,r 靠) f 以8 f h + 0 r | f 1 ) 引理2 3 4 【2 】设目l 2 ( n ) ,日;口扛一t o ) ) ,“i 矿1 ,* ( n ) i 满足 ( “,口 ) 一( f ,击u 弧) + ( ,肌) = ( r ,以 弧) ,v 弧, 则 i ( 叶一 ,) f ( 忽+ ) f f f ( f “8 + 0 ,l + c ) 若( ,“) ( 2 3 8 ) 在第一节的相关假定下,可以得蓟( u 一“ ) 似一a ) 以及0 一珊) 的误差 估计 定理2 3 1 设( ,a ,p ) ,( u h ,p ) 分别足( 2 1 1 ) 和( 2 1 5 ) 的解,假定剖 分参数= 0 ( f 1 ) ,则对充分小的 o ,下列最优l 2 误差估计成立, ( d ) 黑笔9 ( t 饥一u ) ( p ) 0s ( + + 1 ) + k lj 貉l i p ( :) , ( 6 ) 器麓m 一a ) ( “) 0 s f i k 粤;i j 二( 工) + | | j 赘1 1 l ( ) + i i 箬等0 ,( l ) + i i 豢i i 一t f ) + l 貉i i l ,( l 。) ) + ( + + ) , ( c ) ,粤篙0 溉一p ) ( 扩) i l s , i | 虿雾洗i l l ( c ,+ jj 雾簖o l ( l ) + o 譬等0 l l ) + l | 象i i l * ( 驴) + i i 象o l :( l 2 ) ) + ( + + 1 ) 证明:记r 为l 2 一嘶的正交投影算子在误差方程( 2 3 5 ) 中分别取 = 篮筹二二+ p e 2 ) ,= 四,靠= e z 并相加得, ( 与乒,1 2 与雾+ r ( 抛2 ) ) + ( 北2 f 釉 = ( 砂筹一掣,盔 拿二+ r ( 6 ,i e 嚣) ) 一( ,监 耋二+ r ( 扩e 嚣) ) ( 矿,镑) + ( :j 一贸,出 霹) , = b l + 8 2 + b 3 + 8 t ( 2 3 9 ) 1 3 山东师范大学硕士学位论文 f 面分别估计石端各项类似于1 2 j 中的方法卅得 i8 i ls 纠i 券腥:沁p ,护) + 石j j e 2 8 2 + l l ! 。亏霎二三i 2 , i 岛i 惫l 见幢。( ,。,;l :) + 警i i e z i l 2 + 剁1 2 蚤= j 1 2 + 0 ,8 2 。( o t ,) + 耳i i e z i | 2 + k t 2 由误差方程( 2 3 5 c ) 可得 jj 镗j jsk 0 e z 儿 i 黾i i 忙训i i 簖0 0 暖e 训l | e z 酽+ 警0 e 删2 , i 岛i = f ( 簪一邵,出”嚣) i = ( 击雎,( 一。) 象出,d 而四) sh 威掣霹j j 上0 ,i 见:l 出+ k | h l w 。( o ,t 片, 8 出v 嚣| | 一i 盏j j p t tj 1 2 :,。;l ,) + 警0 e z l l 2 + 2 下面估计左端 ( ! 簪,每乒+ r ( 扩c z ) ) + ( t t z c z ) = ( :,驾笋) + ( 每乒,r ( 6 ,l e z ) ) + ( 篁二去乒二,! 置 亭二+ p ( 铲e z ) ) + ( n n ( ,f z ) = ,l + ,2 + ,3 + ,4 其中, ,。= o 毫乒忾 ,4 o o 懈| | 2 ,2 = ( 写笋,r ( 扩e z ) ) ( 2 3 1 0 ) ( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 2 ) ( 2 3 1 3 ) ( 23 1 4 ) ( 2 3 ,1 5 ) = 忐“e z ,p c x ) ) 一( e z ,r ( 扩- 1 e :- 1 ) ) ) + 击“e 2 一e z ,p ( 6 n e z ) ) + ( e :,r ( 扩1 e :一护皖) ) ) 击( e :一霞,r ( 6 n e ) ) 洲盈丢 1 1 2 + k l i e z 咿 ( 2 3 1 6 ) ( e :,r ( 铲一l e z 一6 n e 2 ) ) s o e z 一1 1 1 2 + 钏1 2 j # 胪 ( 2 3 1 7 ) 1 4 些垄墅整查堂婴主堂垡丝塞 由引理2 ,3 4 及e 一不等式可得 ,3 = ( 三掣,三t 芸+ r ( 护e z ) ) l | e 茗f f 2 + o e :一1 f f 2 + 警o 。z h 2 + 萨 注意到馥= o 及以上估计,可得, 钊1 2 j 笋0 2 + 击 ( e z ,r ( 扩e ) ) 一( 醯,玮渺一- e z - ) ) ) + 警l 怫酽 s l f e 嚣f 1 2 + j i e z 一1 1 1 2 + t 2 + 七i i 舞i l 各( 。,江,) + 兰i i 见c o 各( 。一。,p ;胪】 + 惫i i ,j l | b - ,;驴) + 0 p i | 2 ( o ,t 肛) ( 2 3 1 8 ) 两端同乘2 后,并对n 求和得, 金| 】盔8 2 + n o l i e 枷2 + 咖登o 。驯2 善l 嚷f | 2 + 2 + 珂2 象 f 知( p 】+ k | j n i | 基( 口) + | | ,| l 孙( :) + kj l n l 易( 厶。) 对充分小的,由g r o n w a i i s 引理及( 2 3 3 ) ,( 2 3 4 ) 得 l c 五i ls ,搿l p ( 驴】+ ( + ,产+ 1 ) ( 2 31 9 ) 在误差方程( 2 3 5 b ) 中分别取= p ,= ”1 并相减,则误差方程可整理为 r, ( n ) ( 净,) + ( 出”纯) = 似筹一兰等,觋) 一( 辱,) , j ( 6 ) ( 盈丢芦,“) 一击( 监丢 一掣+ 扩e z 一铲一- e z 一,击。j ) f + ( 竺噬,嵋) = ( 掣,出m h ) , 【( c ) ( ( 嚣,n ) 一( 口n f 2 ,) = o ,v a , 其中尺 = 掣一霹 在上式中分别取蛳= 盐一益芸# + r ( 铲e 2 6 n 一- e :一- ) ,蛳:嚣, r = 二掣相加得 击( 鸶譬,与筘一举) + ( z ,钙乒) ;击( 妒手一等,监 亭= 一掣+ r ( 6 n e z 一6 n 一- e :一) ) 一击( 掣,生蔷二二一掣+ r ( 扩嗡一6 忭一t 靖一z ) ) + ( 垦i ;乒,出”g ) 一( ! o ;器,r ( 扩e 2 一护一l e :一1 ) ) 1 5 山东师范大学硬士学位论文 一击( 立芸暑,盟丢芦一掣+ r ( 护嚯一扩一- e z 一。) )f i 、”。 。 。 , 一( 盟二等竖! ,留) ( 2 3 2 0 ) = a 首先估计( 2 3 2 0 ) 左端各项 笺者尚幸叔 3 2 2 忐( 9 1 掣肚。掣1 1 2 ) , ( o “e z ,! i 二芸芦) 矗i f ( o “e 2 ,e 2 ) 一( n n 一,( :一1 ,:一1 ) j + 麦i ( a 【n 一- 一o n ) e z 一1 ,e :一t ) 】 ( 2 3 2 2 ) 下面估计( 2 32 0 ) 右端各项 = i ( 型掣簖) i 三篡嚣瓮m 偿s 捌 硎e z 洲g f | + 刚! := ! 芷h 叫i | 簖0 f i r z i i z + o t z i i :+ o 三罡 等二1 1 2 ) , l 以4 i = i ( 盟乒,r ( 俨一嚣一扩一l r ;一1 ) ) is 训r 洲2 + i i ! 芷每二胪) , ( 23 2 4 ) 由文献【2 j 我们可以得到凡的估计如下 3 k i l 所“1 1 2 叫p 1 + f | e 洲2 + k 2 ( 2 3 2 5 ) 把( 2 3 2 1 ) 一( 2 3 2 5 ) 代入( 2 3 2 0 ) ,两端同乘2 ,并关于n 求和得 1 1 与鍪l l :+ 0 0 l l 。 量c 圳2 + ( 2 + 强+ 2 ) 十f 耋h 簖h 2 + 壹。益0 2 ,? 。n,l 4 ;= 1 + 2 f 4 l + 2 以2 + 2 5 ( 23 2 6 ) 由文献【2 】可以得到( 2 3 2 6 ) 右端最后三项的估计。 nn 。一 nn a 5 s k ! k 丢 二2 + k 垆+ 耳h e x | | 2 + 耳l | e 2 | 1 2 , ( 23 2 7 ) 1 6 山东师范大学硕士学位论文 耋坯翱蟛俨+ 础勤簪酽州c 2 + 肛+ 2 ) ( 2 3 ;l 1 2 l i z o z o + k 铲i 务1 1 2 :( l ,) + k p l i 貉1 1 2 。( o ,t l ;l 。) , 2 耋耶础2 ( | i 急幢邓* ) + o 黥+ 2 哪。) ,( 2 3 2 9 ) + 妻j f ! j 荽二1 1 2 + 2 ( f | 貉j j 2 。( 。) + i i 貉悒,( 驴) ) , 把( 2 3 ,2 7 ) ( 2 3 2 9 ) 代入到( 2 3 2 6 ) ,并利用g r o n w a 胍引理得 蚓i 删赢p ) + i i 患岫p ) + | c 3 0 ) + o 貉。州功+ l 貉怯( 驴一十耳( t + 6 1 ) + 。蚤懈 由( 2 3 1 2 ) ,( 2 3 1 9 ) ,( 2 3 3 0 ) ,( 2 3 2 ) ( 2 3 4 1 以及三角不等式可得定理结论 2 4 数值例子 为了验证本文所提格式的有效性,我们在区间【o ,l 】( o ,l 】上讨论如下问 题 i 客+ 舞一差( 6 1 爱+ o 警) = ,i n 【o ,1 】( o ,1 】, u ( z ,o ) = s i n 7 r z , z ( o ,1 】, ( 24 1 ) 【“( 1 ,) = u ( o ,) = o , f 【o ,l 】 其中n = 南,6 i = 矗,( z ,) = e s 饥7 r z + 丌e c d 5 7 r z + 靠丌2 5 打1 7 r z 容易验证方程( 2 4 1 ) 的真解为“( z ,) = 一s f n 7 r z ,在计算中我们采用零 次r a v i a r t t h o m a s 混合元空间来求解未知函数梯度和伴随向量函数的近似 解c h ,吼,在表1 ,表2 ,表3 中列出了c 一“,a h 和口一盯 的离散l 2 模 误差。在表4 中列出了“,k ,靠的收敛阶 结果表明本文方法在采用零次元进行计算时收敛阶为一阶,误差估计达到 最优,计算结果与数值分析的结果是一致的 1 7 山东师范大学硕士学位论文 表4 10u 一“ = = 0 1 = 0 ,2= o 3t = 0 ,4t = o 5 0 0 16 9 0 8 0 3o 0 1 3 9o 0 2 0 8o 0 2 7 50 0 3 3 9 o 0 0 5 3 5 0 8 0 30 0 0 6 9o ,0 1 0 40 0 1 3 8 0 0 1 7 00 0 2 51 7 0 l 0 3o 0 0 3 50 0 0 5 2o 0 0 6 90 0 0 8 5 o 0 0 1 2 58 6 5 至0 40 0 0 1 700 0 2 60 0 0 3 400 0 4 3 = t = o6t = o 7t = o 8t = o 9 t = 1 0 00 1o 0 3 9 9 0 0 4 5 6o 0 5 l 0 0 5 6 1 o 0 6 1 2 0 0 0 500 2 o 0 2 2 9 o ,0 2 5 6 o 0 2 8 2 00 3 0 7 00 0 2 5 00 1o 0 1 1 5o ,0 1 2 8 0 0 1 4 1 0 0 1 5 4 o 0 0 1 2 5o 0 0 5o 0 0 5 70 ,0 0 6 4o 0 0 7 1o ,0 0 7 7 表4 2 8a h ,l = t = 0 1t = o 2t = o 3t = o ,4 t = 0 5 00 10 2 3 9 903 0 7 3o 3 8 5 8o 4 6 6 10 5 4 2 4 0 ,0 0 5o 1 2 1 20 1 5 7 30 1 9 9 7o 2 4 3 802 8 6 5 o 0 0 2 50 0 6 0 80 0 7 9 6o 1 0 1 7o 1 2 4 90 1 4 7 5 0 0 0 1 2 50 0 3 0 60 0 4 0 1o 0 5 1 30 0 6 3 2o0 7 4 9 = ft = 0 6t = 0 7 t = 08 t = 0 9 t = 1 o o 0 10 6 1 0 7o 6 6 9 1o 7 1 7 30 7 5 6 40 7 8 9 4 0 0 0 5o 3 2 5 70 ,3 6 0 2o 3 8 9 4o 4 1 3 8o 4 3 4 8 o 0 0 2 5o 1 6 8 6o ,1 8 7 40 2 0 3 60 2 1 7 4o 2 2 9 3 o o o l 2 5o 0 8 5 80 0 9 5 7o 1 0 4 2o 1 1 1 50 1 1 7 9 山东师范大学硬士学位论文 = t = o 1t = 0 2t = o 3t = o4t = o 5 0 0 10 0 0 2 400 0 3 1o 0 0 3 90 ,0 0 4 70 0 0 5 4 00 0 50 0 0 1 20 0 0 1 60 0 0 2o 0 0 2 40 0 0 2 9 o 0 0 2 50 0 0 0 67 9 6 8 0 4o 0 0 10 0 0 1 20 0 0 1 5 0 0 0 1 2 53 0 6 8 0 44 0 1 8 0 4o 0 0 0 5 1 3 3 56 3 2 8 0 4 7 4 9 d 0 4 = t = o 6t = 0 7t = 0 8t = o ,9t = 1 0 00 1o 0 0 6 1o 0 0 6 7o 0 0 7 2o 0 0 7 60 0 0 7 9 0 0 0 50 0 0 3 30 0 0 3 60 0 0 3 90 0 0 4 10 0 0 4 3 0 0 0 2 50 0 0 1 7o 0 0 1 90 0 0 2o 0 0 2 20 0 0 2 3 o 0 0 1 2 5 85 8 8 0 4 9 5 7 8 0 4o 0 0 1 o 0 0 1 1o 0 0 1 2 t i m eo r ( i e rf o ri iu 一“ 0o r d e rf o r8a h8o r d e rf o ri ip m0 0 舯2 500 100 50 ( ) 0 2 5 00 l00 0 2 5 c o 1 o 9 7 9 l 1 0 4 1 8 o 9 7 4 20 ,9 8 5 00 9 9 5 20 9 9 7 6 1 0 0 0 01 0 0 0 0o ,9 9 5 3 0 2l0

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