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浅淡数列中的分类讨论问题钟杰伦（通讯地址：浙江省鲁迅中学）摘要：分类讨论思想是高中数学的一种重要的思想，也是历年高考的考察重点在数列这一章的题目中，作者通过多年的教学观察和总结分析,发现同学们在解决数列问题的过程中,往往会在涉及到分类讨论的题目中出问题.下面我们总结几类常见的数列题中需要分类讨论来解决的问题.问题一:用数列前n项和求数列的通项公式问题例1、已知数列的前n项和为，且，则 【答案】【解析】当，；当时，不符合上式，所以.评析:此题是与的关系问题.关键要知道由求时分两类讨论其实同学们在解决此类问题时,每次先写好公式: ,代入求解,然后看两类能否合并,就不容易出错了.例2、已知数列中，.【解析】，-：， 即（），又=2，时，数列是以2为首项，3为公比的等比数列.，故. 评析: 此题是个易错题,容易出现没有讨论的错误.事实上,如果我们把题中的记作数列的前项和,再利用前项和求通项公式的公式: ,就可以避免少讨论的错误了.问题二:讨论等比数列公比问题例3、求和： .【解析】记当时，当时，原式= .评析:此题是基础题,关键在以能准确讨论的取值,也就是讨论等比数列的公比是否会等1的问题.此题给同学们的启示是,当等比数列公比是参数时,其前n项和.例4、已知数列中, 且( 且).(1) 设,证明:数列是等比数列;(2) 求数列的通项公式.【解析】（1）(2)由(1)易知, ,() 当时,由上式易得, 当时,由上式易得.综上可知.评析:此题的易错点在于对公比的讨论,等比数列的前n项和问题往往会出现公比为参数的情形,此时讨论公比是否可以等于1就是解决题目的关键.牢记等比数列前n项和公式,此类问题也就迎刃而解了.问题三:数列通项公式含的问题例5、已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，数列满足，为数列的前项和（1）求、和；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】：（1）在中，令，得 即 解得， ， （2）当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立 ，等号在时取得 此时 需满足 当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立 是随的增大而增大， 时取得最小值 此时 需满足 综合、可得的取值范围是评析:数列问题中,经常会出现的形式,当数列通项公式中出现的形式时,往往对分奇、偶讨论,问题就迎刃而解了.例6、已知数列，其前项和满足,其中（）设，证明：数列是等差数列；（）设（为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立【解析】：（）当时，当时，即，（常数），又，是首项为2，公差为1的等差数列，（）由得，（i）当n为奇数时，即恒成立，当且仅当n=1时，有最小值为1，；（ii）当n为偶数时，即恒成立，当且仅当n=2时，有最大值-2，又为非零整数，则=-1.综上所述：存在=-1，使得对任意，都有成立评析:此题仍然是题中出现的问题,只需要对分奇、偶讨论,问题也就解决了.问题四:分段数列和带三角函数的类周期数列的求和问题例、数列是递增的等差数列，且，（1）求数列的通项公式；（）求数列的前项和【解析】：（1） 由，得、是方程的二个根，此等差数列为递增数列，公差，.（）由得，解得，此数列前四项为负的，第五项为0，从第六项开始为正的当且时，当且时，评析:此题是个基础题，这个题的关键在于求数列的前和时，注意对的范围的讨论很多同学在计算这个题目时，只计算到了第二种可能，而没有考虑第一种情形的求和方式是不同的例、数列的通项，其前n项和为. (1) 求; (2) 求数列的前n项和.【解析】: (1) 由于,故,故 ()(2) 两式相减得故评析:这个题是个典型的分组求和的问题当数列的通项公式中带有正弦、余弦等三角形式时，往往都可以先考虑三角式的周期，然后再按三角式的周