（运筹学与控制论专业论文）基于精算方法的数理金融模型.pdf

基于精算方法的数理金融模型 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学或其他单位 的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在 论文中做了明确的浇明并表示了谢意。 作者签名： 2 日期： 人连埋下人学删i ：学位论义 摘要 近年来，随着全球范围内经济的复苏，金融市场迅猛扩展。银行等金融行业 在扩展业务的同时就一定要考虑日益增大的利率风险，信用风险等诸多因素。而 用精算学处理风险，特别是会融风险，是一种特别有效的方法。在现代保险业的 发展中，精算理论有着非常重要的作用，而我国的精算研究起步较晚，与世界上 保险发达的国家有不小的差距，迫切需要引进国际先进的保险精算理论，并结合 我国国情加以应用。 本文首先简要阐述了保险精算学的起源以及发展的趋势，介绍了保险精算学 的一些基本理论，随后阐述了精算科学在银行保险等金融行业的应用。文章分为 四节：精算学的基本原理，基于随机利率下的保险赔付模型的研究，基于精算方 法的银行资本决策模型的研究以及本文的结论。针对金融行业通常假定利率是确 定的，但实际上利率是随机波动的这个问题，建立了以布朗运动为基础的随机利 率模型，并在传统精算学的基础上，对随机利率下的比例赔付额( 赔付额与时间 相关) 进行了分析，计算出了随机利率下的比例赔付保险的纯保费和责任准备金， 以及相关公司的风险。接着介绍了基于精算方法的银行资本决策模型在银行确定 贷款风险时的应用，阐述了保险精算思想在金融领域，尤其是在信用风险度量领 域中的应用。 文章的创新点之一是将随机利率引入比例赔付保险，计算出的纯保费等各项 数据更加贴近实际；m - - 是模型中的赔付额与对间相关，这样的险种更加灵活，具 有吸引力。三是对建立的银行资本决策模型在确定违约频率时作了改进，用负二 项分布来代替传统的泊松分布：四是在确定违约损失分布时作了改进：用r 1 分布 替代了传统的f 态分布。 关键词：布朗运动；随机利率；纯保费；风险 茎王焦苎立鲨塑墼堡垒墅堡型一 a b s t r a c t a c t u a r i a lt h e o r yi sv e r yi m p o r t a n ti nt h em o d e m i n s u r a n c ei n d u s t r y t h i s d i s s e r t a t i o ni sd e v o t e dt ot h es t u d yo f i n s u r a n c ea c t u a r i a lt h e o r ya n d i t sa p p l i c a t i o n s f i r s to f a u ，r e v i e wt h eh i s t o r yo f a c t u a r i a ls c i e n c ea n dl o o kf o r w a r d t ot h et e n d e n c y o ft h ed e v e l o p m e n t i n t r o d u c es o m e k e yp r i n c i p a li nt h e a c t u a r i a ls c i e n c e ：i n t e r e s t t h e o r ya n da n n u i t y , s u r v i v a lf t m c t i o na n dl i f et a b l e ，t y p e so f i n s u r a n c e a n d p r e m i u m t h em a i nw o r k so b t a i n e dh e r ea l es u n l l n a r i z e da sf o l l o w s ： b a s e do nt h et r a d i t i o n a la c t u a r yt h e o r y , w ea n a l y z e dt h ep r o r a t e db e n e f i t ，c a l c u l a t e d t h ep u r ep r e m i u ma n dr e s e r v eu s i n gr a n d o mi n t e r e s tf o rt h i sm o d e l w ec o n s i d e r p r o r a t e db e n e f i tu s i n gr a n d o mi n t e r e s ti nt h i sm o d e l ，s oi t i sc l o s et ot h er e a lw o r l d p r a c t i c e t h ep r o r a t e db e n e f i ti sr e l e v a n tt ot h et i m e ，s ot h e r ei sar e f e r e n c ev a l u ef o r t h ep r o p e r t yi b s b r r n c eo ft h ei n s u r a n c ec o m p a n y t h i s p a p e r i n t r o d u c e st h a th o wt h ec s f p a p p l i e si nt h ec o n d i t i o no f v a l u i n g t h er i s k o f l o a nc o m b i n a t i o n w e e x p a t i a t e t h a th o wa c t u a r i a lt h e o r y a p p l i e s i nt h ef i n a n c e ， e s p e c i a l l yi nv a l u i n g t h e r i s k t h e n ，w ei n l p r o v ec s f pm o d e l i nt w o p o r t i o n s ，m a k i n g i tm o r e a p p r o p r i a t ei nv a l u i n gt h er i s k k e y w o r d s ：b r o w nm o t i o n ；r a n d o m i n t e r e s t ；p u r ep r e m i u m ；r i s k 4 l 精算学的基本原理 1 1 精算学及其发展 随着世界经济的发展，金融市场迅猛扩展银行等余融行业在扩展业务的同 时就一定要要考虑日益增大的利率风险“3 ，信用风险等诸多因素。而用精算方 法处理风险，特别是金融风险，是一种特别有效的方法。 保险精算学起源于入寿保险中的保费计算0 1 ，其发展与寿险有着深厚盼渊源 关系。1 9 6 3 年，英国著名天文学家爱德华哈雷根据德国布勒斯市居民的死亡资 料，编制了世界上第一张完整的死亡表。1 ，用科学的方法，计算出各年龄段人群 的死亡率。这不仅使产生于1 2 世纪的年金保险的费率更加合理，也为寿险精算 的形成奠定了基础。1 8 世纪中叶，辛普森根据哈雷的死亡表构造了依据死亡率 变化而变化的保险费率表”1 ，进一步推动了寿险精算的发展。1 7 6 2 年，英国成立 了世界上第一家寿险公司伦敦公平保险公司，该公司以死亡表为依据，采用 均衡保费的理论来计算保费。该公司的成立，标志着现代寿险制度的建立，也标 志着寿险精算的开始。 保险精算的基础是大数定律川。大数定律是指随机事件的频率稳定性及平均 结果的稳定性，即随机事件在每次独立的观察中出现的偶然性将在大量重复观察 中呈现必然性。保险是将投保人的某些风险转移到保险公司，保险公司再利用在 大多数情况下损失发生的相对稳定性使风险分散，使各投保人公平合理的共同分 担总的损失。对单个投保人来说，损失的发生是不确定的，在其把风险转移给保 险公司后，损失的发生的不确定性并没有消失，只是就保险公司的整体而言，损 失发生的不确定性被消除了。保险公司经营的风险在于未来实际发生的损失与估 计的期望损失值不一致，若实际给付大于期望给付就会有损失。有大数定律可知， 投保人越多，实际损失与期望损失越接近，保险经营越稳定。所以，合理的保险 经营必须维持最小限度的投保人数，并不断使投保人数增加。 现代精算学已不仅限于寿险精算，还包括非寿险精算“”。寿险和非寿险在保 险标的、保额、保险期限、保险合同的性质、承保风险的均匀性、保费的估算方 法都有所不同，所以两者的精算方法也不同。非寿险精算的发展晚于寿险精算的 发展。现代精算学是由多学科交叉而形成的，它与多个学科都有着深广的关系。 盔堡墨三查堂堡! ：堂丝堡苎一 精算学与统计学的关系：精算学是运用统计的方法，根据经验数据来分析问题和 预测未来发展趋势，如构造生存模型、编制生命表“3 3 、确定损失分布1 、计算 费率和准备金“。 精算学与投资学嘲的关系：投资是指经济主体购买资产( 金融资产和实物资 产) ，以便在未来某个时期取得与承担的风险成比例的收入的经济行为。投资最 重要的是投资决策问题，精算师在识别和控制利率风险以及确定合理的投资组合 等方面的工作是保险公司正常运作的基础。 精算与财务和会计。3 的关系：会计是管理经济活动的手段之一，是利用资金 的价值形式，以货币为主要计量尺度、应用专门的核算方法，通过记账、报账等 程序，以实现对其经营活动所起的核算、监督、预测、决策、控制、分析等职责。 在保险公司中，精算的职能主要是：负责保单设计，准备金核算，红利和佣金的 合理匡算，使会计流程规范合理；对公司财务运作过程进行技术监督：更为重要 的是对未来的财务风险做出评估与预测，使公司的经营建立在科学的基础上，确 保公司的稳妥经营。 精算学与金融和保险学的关系“”：精算对于保险业务所进行的科学定量分析 所依据的是保险学的基本原理，而其对保险公司进行有效的金融管理使用的是大 量的包括衍生债券在内的金融创新工具。近年来，精算学的发展表现在以下几个 方面： 1 数学基础更为深广，新的数学模型层出不穷。除了大数定律、随机过程等已被 广泛应用外，鞅论1 、模糊数学、现代偏微分方程、神经网络等，在较高深的精 算理论中已得到了应用。 2 多学科交叉更为明显。现代精算学不仅包括了金融经济学、数学、统计学、财 务学，还涵盖了计算机科学、管理学等学科。 3 应用领域更为宽泛。精算学最早起源于人寿保险中的费率计算，而目前国际上 已普遍认为，精算学不仅限于寿险，它在非寿险中也有很大的发展，同时在投资 领域，银行系统，社会保障等金融部门得到了更广泛的应用。 4 迅速进入计算机时代。计算机在保险经营中的作用越来越明显，一些大型软件 已在各大保险公司中得到了广泛的应用，比如t a s $ 1 p r o p h e t m l 。这对于提高保 险公司的经营效率和节省成本起了相当大的作用。 9 苎堑簦立鲨些塑型竺壁塑型一 1 2 利息的度量 在金融数学中，资金的投资收益最为重要，而资金是有时间效应的，利率 作为投资，储蓄和收益之间的杠杆作用尤为重要。利息理论便成为金融数学的基 础。 下面介绍几个在利息理论中比较重要的概念。 1 2 1 单利( s i n g l ei n t e r e s t ) 考虑投资一个单位的货币，其在每一时期中得到的利息为常数，即本金和利 息和在第一期术为l + i ，在第二期末为1 + 2i 。对于一般情况，就得到线性积 累函数： ( f ) = l + i t对整数f 0 ( 1 1 ) 这里我们用口( f ) 代表积累函数，a ( t ) 表示在f 时刻本金与利息的和。 上面提到的单利的积累函数仅对f 0 的整数有定义。现在我们将其拓展到 t 0 的非整数值，相当于把利息按比例的分配给一时期内的任何部分。由单利 的定义可知，个单位的利息函数口( f ) 一1 应只与时阳j 长度有关，而与时间起点无 关。换而言之，一个单位的初始投资经过t + s 时期所得到的利息口o + j ) 一1 ，等 于t 个时期得到的利息与经过s 个时期得到的利息之和。 a ( t + s ) 一l = ( 口( f ) 一1 ) + ( o ( 5 ) 一1 ) 即 口o + s ) = a ( t ) + a ( s ) 一lv t ，j 0( 1 2 ) 因累计函数有连续性，由初始条件：a ( o ) = 1 ，口( 1 ) = 1 + i ，由导数的定义可 得： ：l i m 巡塑! 坐! = 坠二坐塑 _ t i s ：1 1 毋坐丝：1 1 臻螂：疗。( o ) ( 1 3 ) v 呻0 f _ + 0c 、 在上式中以r 代替，并将等式两端从0 n t 积分，就有 1 0 缝堡盐塑丝堂生一 弘。p ) a t = p ( o ) d r 0o 即a ( o 一日( 0 ) = r 。d ( 0 ) a f t ) = 1 + fd ( 0 ) 若取f = 1 ，则有 口( 1 ) = 1 十j = 1 + d ( 0 ) 因而目( o ) = “代回原式得到： d ( f ) = 1 + f t v t o 这样我们得到上述推导并不依赖于f 为正整数 1 2 2 复利( c o m p o u n di n t e r e s t ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 丽是对一切t 0 都成立。 上面提到的单利具有一种特4 的性质，即每期得到的利息不再进行投资以获 得更多的利息。两下面所讲到的复利会假设每期得到的利息会自动再投资。“复” 这个词在这里是指用利息投资以得到额外利息的过程。 我们还是考虑投资一个单位的货币，其本金和利息和在第一期束为1 + i ；这 余额l + i 在第= 期开始时作为本金，并在第二期内赚取利息z ( 1 + 0 。第二期末 的积累值为1 + i + 4 ( 1 + f ) ：( 1 + 妒；类似的，我们以余额( 1 + 矿作为第三期开始的本 金并在第三期获得利息+ 矿，那么第三期的积累值为( 1 + j ) 2 + f f l + 妒= ( 1 + 矿此 过程无限继续下去得到复利模型： a ( t ) = ( i + f ) 。 对整数o( 1 6 ) 这里我们用口( f ) 代表积累函数，口表示在f 时刻本金与利息的和。 上面提到的复利的积累函数仅对，o 的整数有定义。现在我们将其拓展到 f 0 的非整数值。由复利的定义可知，一个单位的利息函数d 一l 应只与时间 长度有关，而与时问起点无关，一个单位的初始投资经过，十j 时期所得到的积累 值，等同于经过，个时期得到的积累值d ( f ) 在投资s 个时期所得到的积累值，可表 基于精算方法的数理金融模型 示为 a ( t 十s ) = a ( t ) a ( s ) v t ，s 20 由累计函数的可微性和初始条件：a ( o ) = 1 ，a o ) = 1 + i ，有 a 。( f ) = 嘞掣 ur 堡煦：l i r a 坐2 ：! 盟二坐! 叶0 s ( 1 7 ) 刮f ) 嘞掣刮f ) 嘞华叫咖( 0 ) ( 1 8 ) 这样就得到等等= 旦d t i n a ( f ) = a ( o ) 口( f ) 在上式中以，代替r ，并将等式两端从0 到r 积分，就有 i n a ( t ) = r - a ( o ) 若取l = 1 ，则有 l n a ( 1 ) = i n ( 1 + 0 = 口+ ( o ) 代回原式得到： l n a ( t ) = t l n ( 1 + i ) = l n ( 1 + f ) 。 v t o 即 d 0 ) = ( 1 + ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) 这样我们得到上述推导并不依赖于，为正整数，而是对一切r o 都成立。 1 2 3 现值( p r e s e n tv a l u e ) 投资一个单位的货币，在第一期末将积累到1 + i ，1 + ，称为积累因子 ( a c c u m u l a t i o n f a c t o r ) ，因为这是期初的投资累计到期末的值。考虑一种相反 的情况，为了在期末得到一个单位的货币，期初需要投资多少? 由前面的利息算 法可知，应该是( 1 + 力，这两种情况的出发点不同：前一种情况是问期初的一 口 研 叫 和 ，p 。“ i n 陟 卜 时 砷 n n j垮， 目 生垄些三叁堂璧! ：竺垡丝兰一 个单位货币在期末将增加到多少；而后一种情况是问期末的一个单位货币是由期 初多少货币带来的，为此，引入“贴现”的概念，并将( 1 + 矿1 称为贴现因子 ( d i s c o u n tf a c t o r ) 定义一个新的符号v ，有 l v = 一 1 + j 它表示将期术的投资贴现成期初的值，所谓“贴现”是指将来的价值折扣为 现在的某个价值，即现值( p r e s e n tv a l u e ) 将上述结果推广到不止个时期，要确定某人在丌始时应投资多少才能在r 时期末得到积累值1 ，所需的投资本金就是口“( f ) ，即口( f ) 的倒数。 对于v t 0 ，可以得到下述结果： 单秘a 一1 ( f ) = 而1 ( 1 1 1 ) 硎：d 气归南一v f 1 2 4 连续时间下的利息度量 ( 1 1 2 ) 在一些重要的情况下，需要度量利息在每一时刻，也就是在无穷小时问区间 内运行的强度，这种对利息在各个时刻的度量叫做利息力( f o r c eo fi n t e r e s t ) 。 在连续时间的情况下，考虑利息在p ，h - f 】上的推广，并取当出0 时的极限， 得到： l i r a 。a ( t + m a t ) - a ( t ) ：业( 1 1 3 ) 6 ，一。 口( ，) a t a f t ) 7 假定导数都存在，上式的极限值为在f 时刻的利息效力，简称为利息力，记作点， 臣廿 a ：盟：d l n a ( t ) n ( f ) 戤 用以度量利息在t 时刻的强度。 ( i 1 4 ) 堡至楚篓查鲨塑塾堡垒壁塑型 可以看到点具有下述两个性质： 1 一是利息在某个确定时刻，的强度的度量 2 矗将此度量表示为每一度量时期的比率： 用，代替r 并将此式两边在0 到，之间积分，得到： p 毋= 晔州咧圳纠n 器 从而累计函数服从指数分布 砷，= 器一c p ， ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 考虑时间区间o ，s 1 在浚区间上的利息力为常数占，在期术的实质利率为f 则有 1 + 扛口( 1 ) = e x p ( p 出) = e 5 ( 1 1 7 ) 0 从而，以下关系式成立 万= l n ( 1 + f ) ，i = e 5 1 ，v = e 一5 假定利息力d 恒为常数，则有复利累计函数的关系式 1 3 年金( a n n u i t y ) ( 1 1 8 ) 在相同间隔的时间上进行的一系列付款称为年金。如房屋的租金，抵押付款， 汽车的分期付款，投资款项的利息付款等都是年金的例子。“年金”的原义是限 于每年一次的付款，但现在已经被推广到按任何正规时间间隔付款。相邻的两个 年金付款之间的间隔称为支付期，相邻的两个计息日期之间的间隔称为计息周 期，这里计息是指将到期的利息转化为本金。 年会的主要构成要素有二：时期和付款。就这两个要素是否有固定性和确定 性，可将年会分为确定年会和风险年会。其中确定年盒是一种在固定的时期支付 1 4 大连理工大学硕士学位论文 确定款项的年金( 例如2 0 年分期付款购买一个价值1 0 0 万的房子，每年付款的 会额和付款的时间长度都是确定的) ：风险年余是付款不确定的年金( 例如，由 养老计划按月支付的退休金，只有当退休者活着时才支付的生命年会) 1 3 1 延付年会 考虑这样一种年金，它在n 个时期中，每个期末支付1 个单位。这种年金称 为延付年金。图l 3 l 是这种年金的示意图a 年金在0 时刻的现值记为铂，在n 时刻的积累值记为3 i 。 州雌i 图1 3 1 延付年会的时间图 f i g 131t i m eo fd e l a y a n n u i t y 按第一时期开始时( 0 时刻) 的求值方程导出的表达式。 第个时期末付款1 在0 时刻的现值为v ，第二个时期末的付款1 在0 时刻 的现值为v 2 ，第n 个时期末付款1 在0 时刻的现值为v ”，总的现值必为 每次付款的现值之和，即 = v - i - y 2 + v 3 + w w ：粤生：半 ( 1 1 9 ) 一vj 5 i 的表达式用类似的方法按第n 个时期的求值方程得到。第一个时期术付款 l 在n 时刻的积累值为( 1 + 矿，第二个时期术的付款1 在n 时刻的积累值为 ( 1 + f ) ”2 ，第n 个时期末付款1 在n 时刻的积累值为l ，总的积累值必为 每次付款的积累值之和，即 吆l 。( 1 + f ) ”1 + ( 1 + d ”- 2 + + ( ，+ d + - = 号i ；? ；! = 卫二二? 二二! ( 2 。) 由a ；i 和5 i 的定义及计算公式可以得到它们之间的关系 2 盘羽+ f ) ” ( j 2 1 ) 1 3 2 预付年金 考虑这样一种年金，它在n 个时期中，每个期初支付1 个单位。这种年金称 为预付年金。图1 3 2 是这种年会的示意图。年金在0 时刻的现值记为占i ，在n 时刻的积累值记为5 i 。 汁 穗。 图1 3 2 预付年金的时间图 f i g1 3 2t i m eo fp r e p a ya n n u i t y 按第一时期开始时( 0 时刻) 的求值方程导出口i 的表达式。 第一个时期付款1 在0 时刻的现值为l ，第二个时期初的付款1 在0 时刻的 现值为v 。，第n 个时期初付款l 在0 时刻的现值为v ”1 ，总的现值口j 必为每 次付款的现值之和，即 a j ：1 + v + v 2 + + v i ：旦( 1 2 2 ) 踊的表达式用类似的方法按第1 1 个时期的求值方程得到。第一个时期初付款 l 在n 时刻的积累值为( 1 “) ”，第二个时期初的付款l 在n 时刻的积累值为 ( 1 + 矿，第n 个时期初付款1 在n 时刻的积累值为1 “，总的积累值必 为每次付款的积累值之和，即 j ；l = ( ，+ f ) ”+ ( - + i ) ”1 + + ( ，+ f ) = ( - + f ) 等i ；? ；： c z s ， 由和s i 的定义及计算公式可以得到它们之间的关系 踊= a i l ( 1 + f ) ” ( 1 2 4 ) 我们可以得到初付年金和延付年金之间的关系式： 1 6 踊= s 水+ i ) 口i = 乞l ( 1 + i ) 1 3 3 连续年金 ( 1 2 5 ) ( 1 2 6 ) 连续年会，即支付频率趋近于无限的年会。这种年会在n 个利息转换期间内 连续支付，且在每个时期内的总支付量为l ，我们用品和；i 表示其现值和积累 值。于是就有： 式 毛=b=p斫=等00 。 ；= y c + d 出= i e a d t = e - s 占- ( 1 2 7 ) ( 1 2 8 ) 这里占为固定连续利率。 将连续年会推广到利息力非固定的情况，设利息力函数点，则有以下计算公 玉= e x p ( - j 8 ，d r ) a t 而= c x p ( 肛d r ) a t 00 1 4 生存分布模型 1 4 1 生存函数 ( 1 2 9 ) ( 1 3 0 ) 投保人的生存和死亡状况，是寿险精算的主要基础。我们视投保人的死亡时 间为随机变量，即保险公司的给付保险金时问为随机变量，而保费、年金的计算 都是在此前提下进行的。 以x 记为新生儿的死亡年龄，则x 是一随机变量，以f ( x ) 记为x 的分布函 1 7 数 f ( x ) = t r ( x sx ) x 0 记s ( x ) = 1 一f ( x ) = p r ( x x ) ( t 3 1 ) ( 1 3 2 ) 对任何正数x ，f ( x ) 等于新生儿在x 岁或之前死亡的概率，而s ( x ) 等于新生 儿活过x 岁的概率。称函数s ( x ) 为生存函数( s u r v i v a lf u n c t i o n ) 。传统上，生 存函数是精算学及人口统计学研究的出发点，它与分布函数是一种在概率上的互 补关系，在实质上也是等价的，与死亡年龄有关的概率，既可用生存函数也可用 分布函数来表示。例如，新生儿在年龄x 与z 之间死亡的概率为 p r ( x x z ) = f ( z ) 一f ( x ) 1 4 2 剩余寿命 s ( x ) 一s ( z ) ( 1 3 3 ) 新生儿在生存到x 岁的条件下于年龄x 与z 之间死亡的条件概率为 p r ( x x z l x ) ：1 ：f ( z ) - f ( x )。7 1 一f ( x ) ：s ( x ) - s ( z ) ( 1 3 4 、 s ( x ) 我们用( x ) 表示年龄为x 岁的人也称为x 岁的生命( 1 i f e a g e x ) ，令x 为 ( x ) 的寿命，我们用t ( x ) 表示他的剩余寿命，t ( x ) ：x x ，是一个随机变量，引 入精算学的符号： ，q ；= p r t ( x ) t 】v f 0 ，p r2 l r 吼2 p r t ( x ) s 妇v t _ o ( 1 3 5 ) 其中，t q ，表示( x ) 将在t 年内死亡的概率，它是t ( x ) 的分布函数；而，p x 表示( x ) 将活过t 年的概率，它是t ( x ) 的生存函数。在年龄x = o 的特别情况下，t ( 0 ) = x ， 这是新生儿未来寿命的随机变量。如果以x 变量来表示，q ，它实际上是一个条 件概率： 大连理丁大学硕士学位论文 q ，= p r e x x f ( t + x ) 一f ( x ) 1 一f ( x ) s ( x ) 一s ( t + z ) s ( x ) ( 1 3 6 ) 我们继续往下推导，( x ) 岁的生命活过t 年，且在随后的u 年内死亡的概率可 以表示为： 岫q ，= p r x 0 是描述死亡水平的指标，在研究系统寿命可靠性的理论中，将其称 为失效率函数( h a z a r dr a t e f u n c t i o n ) 。用死亡力度来确定x 的分布，将上式 中的x 改为y 并整理得到 一，咖= d i n s ( y ) ( 1 4 0 ) l 叠 苎型苎；查鲨塑塑些全螋塑里一 对此式从x 到( t + x ) 积分，有 一n 咖一n 等= i n t 见。， 即，n = e x p ( 一，_ d y ) 进一步，作替换s = y - x ，上式改写为 ，p ，= e x p ( 一j ；段a s ) 接下来我们对，q ，进行求导，得到 矿d 磊d 卜等卜等，湍 这样我们就得n - - 个重要等式： 厂( x ) = ，p x l l , , + ， 1 4 4 生命表 ( 1 4 2 ) ( 1 4 3 ) 在人寿保险中，保险公司所承担的责任，就是在被保险人在生存或死亡时， 对其受益人支付保险金。因此，保险公司首先必须掌握各个年龄段人群的生存或 死亡的规律，作为计算纯保费的基础，这个规律就是生命表产生的基础。保险公 司运用这些指标，并与利息结合考虑，就可以计算出人寿保险的均衡纯保费。 作为表格生存模型，生命表反映在封闭人口( 没有人口迁移) 条件下，这些 人从出生到死亡全过程的一种统计表。在这一封闭人口中，只有人口的出生与死 亡变动。它包括一群同龄人生存到某一个特定年龄的人数，在一年内死亡的人数， 以及一定年龄的人在一年内的生存率和死亡率。编制人口生命表的资料来源主要 有两个：一是在人口调查时所作的人e l 统计和死亡登记记载，根据这个资料编制 的生命表叫做国民生命表：二是根据实际的被保险人中的死亡人数编制的生命表 叫做经验生命表。人口统计学家的一项重要任务就是定期构造生命表来作为一个 群体在一定时期死亡概况的写照。但因为生活习惯和医疗水平的发展，生命表会 随着地区和时期的不同而改变，这会对保险公司的定价产生很大的影响。 下面是我国各家保险公司现在定价所使用的经验生命表，它是中国人寿保险 大连理工大学硕士学位论文 公司编制的，称为“1 9 9 0 - - - 1 9 9 3 年中国人寿保险业经验生命表”，简称为“c l l 2 ” 表1 l t 41 9 9 0 1 9 9 3 年中国人寿保险业经验生命表( c l l 2 ) t a b1 4 4c l l - 2 a g e mf a g e mf a g e mf 000 0 3 0 3 70 0 0 2 7 6 53 60 0 0 1 4 3 60 0 0 0 8 3 87 l0 0 3 7 8 3 50 0 2 7 1 8 0 10 0 0 2 1 5 70 0 0 1 8 5 93 7 0 0 0 1 5 6 50 0 0 0 9 1 47 200 4 l , t 7 40 0 3 0 0 0 9 20 0 0 1 6 1 10 0 0 1 3 1 43 8 0 0 0 1 7 1 00 0 0 1 0 0 i7 30 0 4 5 4 4 6 0 0 3 3 1 2 3 30 0 0 1 2 5 00 0 0 0 9 6 6 3 90 0 0 1 8 7 20 0 0 1 0 9 87 4 0 0 4 9 7 7 90 0 3 6 5 4 9 4 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 7 3 44 00 0 0 2 0 5 10 0 0 1 2 0 8 7 50 0 5 4 5 0 1 0 0 4 0 3 1 3 50 0 0 0 8 2 1 0 0 0 0 5 7 34 1 0 0 0 2 2 5 00 0 0 1 3 3 l7 6 0 0 5 9 6 4 40 0 4 4 4 4 7 6 0 0 0 0 6 9 00 0 0 0 4 5 84 2 0 0 0 2 4 7 0o 0 0 1 4 6 87 7 0 0 6 5 2 3 80 0 4 8 9 8 4 70 0 0 0 5 9 3 0 0 0 0 3 7 54 30 0 0 2 7 1 3 0 0 0 1 6 2 07 8 0 0 7 1 3 1 70 0 5 3 9 5 8 8 0 0 0 0 5 2 00 0 0 0 3 1 54 4 0 0 0 2 9 8 10 0 0 1 7 9 07 9 0 0 7 7 9 1 60 0 5 9 4 0 5 g 0 0 0 0 4 6 80 0 0 0 2 7 44 5 0 0 0 3 2 7 60 0 0 1 9 7 98 0 0 0 8 5 0 6 90 0 6 5 3 6 4 1 0 0 0 0 0 4 3 70 0 0 0 2 4 94 6 0 0 0 3 6 0 10 0 0 2 1 8 88 1 0 0 9 2 8 1 3o 0 7 1 8 7 6 1 1 0 0 0 0 4 3 20 0 0 0 2 4 0 4 70 0 0 3 9 5 8 0 0 0 2 4 2 08 2 0 1 0 1 1 8 40 0 7 8 9 8 l 1 20 0 0 0 4 5 8 0 0 0 0 2 4 84 8 0 0 0 4 3 5 20 0 0 2 6 7 7 8 30 1 1 0 2 1 8 0 0 8 6 7 2 2 1 3 0 0 0 0 5 1 60 0 0 0 2 6 94 9 0 0 0 4 7 8 40 0 0 2 9 6 2 8 4 0 1 1 9 9 5 10 0 9 5 1 4 5 1 4 0 0 0 0 6 0 30 0 0 0 3 0 2 5 0 0 0 0 5 2 6 00 0 0 3 2 7 78 5 0 1 3 0 4 1 8 0 1 0 4 2 9 1 1 50 0 0 0 7 0 6 0 0 0 0 3 4 15 1 0 0 0 5 7 8 3 0 0 0 3 6 2 78 6 0 1 4 1 6 5 10 1 1 4 2 0 7 1 6 0 0 0 0 8 1 20 0 0 0 3 8 2 5 2 0 0 0 6 3 5 80 0 0 4 0 1 4 8 7 0 1 5 3 6 8 1 0 1 2 4 9 3 3 1 7 0 0 0 0 9 0 70 0 0 0 4 2 1 5 3 0 0 0 6 9 9 1 0 0 0 4 4 4 28 8 0 1 6 6 5 3 4 0 1 3 6 5 1 1 1 8 o 0 0 0 9 8 10 0 0 0 4 5 4 5 4 0 0 0 7 6 8 6 0 0 0 4 9 1 68 9 0 1 8 0 2 3 30 1 4 8 9 8 0 1 9 0 0 0 1 0 2 8 0 0 0 0 4 8 15 5 0 0 0 8 4 4 90 0 0 5 4 4 0 9 0 0 1 9 4 7 9 5 0 1 6 2 3 7 4 2 0 0 0 0 1 0 4 9 0 0 0 0 5 0 05 6 0 0 0 9 2 8 80 0 0 6 0 2 09 l 0 2 1 0 2 3 30 1 7 6 7 2 1 2 l 0 0 0 1 0 4 8 0 0 0 0 5 1 15 7 0 0 1 0 2 1 0 0 0 0 6 6 6 19 2 0 2 2 5 5 5 0 0 1 9 2 0 4 6 2 2 0 0 0 1 0 3 00 0 0 0 5 1 7 5 8 0 0 1 1 2 2 20 0 0 7 3 7 0 9 3 0 2 4 3 7 4 2 0 2 0 8 3 6 4 2 3 0 0 0 1 0 0 3 0 0 0 0 5 1 95 9 0 0 1 2 3 3 3 0 0 0 8 1 5 49 4 0 2 6 1 7 9 7 0 2 2 5 6 8 0 茔雯盟苎直鲨墼塾堡垒壁堡型 f 2 40 0 0 0 9 7 2 0 0 0 0 5 1 96 00 0 1 3 5 5 3 0 0 0 9 0 2 2 9 50 2 8 0 6 9 40 2 4 3 9 9 2 2 50 0 0 0 9 4 500 0 0 5 1 96 l0 0 1 4 8 9 2 0 0 0 9 9 8 0 9 60 3 0 0 3 9 90 2 6 3 2 8 5 2 60 0 0 0 9 2 50 0 0 0 5 2 06 20 0 1 6 3 6 10 0 1 1 0 3 9 9 703 2 0 8 7 10 2 8 3 5 3 1 2 70 0 0 0 9 1 50 0 0 0 5 2 56 3o 0 1 7 9 7 20 0 1 2 2 0 99 80 3 4 2 0 5 50 3 0 4 6 9 0 2 80 0 0 0 9 1 80 0 0 0 5 3 36 40 0 1 9 7 4 00 0 1 3 5 0 29 90 3 6 3 8 8 90 3 2 6 7 0 8 2 90 0 0 0 9 3 30 0 0 0 5 4 66 50 0 2 1 6 7 70 0 1 4 9 2 91 0 00 3 8 6 2 9 90 3 4 9 5 1 8 3 00 0 0 0 9 6 30 0 0 0 5 6 66 60 ，0 2 3 8 0 0o 0 1 6 5 0 51 0 1 0 4 0 9 2 0 00 3 7 3 0 3 7 3 l0 0 0 1 0 0 70 0 0 0 5 9 26 70 0 2 6 1 2 5 0 0 1 8 2 4 41 0 2 0 4 3 2 5 0 30 3 9 7 1 7 3 3 20 0 0 1 0 6 4 0 0 0 0 6 2 56 80 0 2 8 6 7 10 0 2 0 1 6 21 0 3 0 4 5 6 1 0 80 4 2 1 8 2 0 3 30 0 0 1 1 3 60 0 0 0 6 6 66 9 0 0 3 1 4 5 70 0 2 2 2 7 81 0 40 4 7 9 9 1 1 0 4 4 6 8 6 3 3 40 ，0 0 1 2 2 2 0 0 0 0 7 1 4 7 00 0 3 4 5 0 40 ，0 2 4 6 1 01 0 5 1 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 3 5o o o l 2 3 30 0 0 0 7 5 8 由上表不难看出以下几个特点： 婴幼儿的死亡率相当高，l e _ p , 5 岁到3 0 岁的时间段，死亡率保持在一个比较 低的水平， a i _ 寸_ t 3 0 岁后，死亡率会随着年龄的增加而不断增大，实际上，死 亡率可以看成一个u 型图。 女性的死亡率比男性要低，在有些年龄段上甚至相差很多，这有很多原因，比 如男性从事的工作危险程度要高，男性的工作压力要比女性大等等，这样死亡率 的不同也带来了保费的不同。 1 5 人寿保险的几种基本形式 死亡保险( m o r t a l i t yi n s u r a n c e ) ：是以被保险人的死亡为保险事故的人寿保险。 根据合同期的不同，死亡保险可以分为终身寿险( w h o l el i f ei n s u r a n e e ) 与定 期寿险( t e r mi n s u r a n c e ) 。终身寿险是不规定保险期限的保险，无论被保险人 何时死亡，保险公司都会给付保险金；而定期寿险是约定被保险人在定时期内 咎亡为给付条件的保险，若被保险人在此保险期间内没有死亡，将没有任何保险 金。 生存保险( p u r ee n d o w m e n t i n s u r a n c e ) ：也称为纯生保险，是以被保险人在经 历定时期后能继续生存为给付条件的保险。若被保险人在合同期内死亡，将没 人造理t 人学硕1 学位论文 有任何保险金，这与定期寿险正好相反。 两全保险( e n d o w m e n ti n s u r a n c e ) ：是指在一定时期内，不论被保险人是生存或 死亡，保险公司都将给付保险金。当被保险人在合同期间内死亡，在死亡时就能 获得保险金，而当被保险人在合同期间没有死亡，那么在合同结束时，就能得到 被称为满期金的保险金。 年金保险( a n n u i t yi n s u r a n c e ) ：是指从保险合同规定的时间开始，保险公司相 隔每一规定的时间支付给保险受益人按合同规定的保险金额，这一规定的时间可 以是月、季、半年、年，若被保险人在合同期内死亡，给付将立即终止。以上所 述的都是人寿保险的基本形式，在实际的应用中会是多种形式的组合，比如有一 种保险是父母为自己的孩子购买，当小孩满1 7 岁时，给付笔叫做“教育基金” 的保险金，当他满2 0 岁时，给付一笔叫做“创业基金”的保险金，这时合同终 止，若小孩在保险期间不幸生故，将会得到一笔比例赔付保险金。这种保险里就 涵盖了纯生保险和两全保险。 1 6 保费 保险费也称为保费，是保险公司为了履行一定的保险责任向投保人收取的 实际金额，它被称为“毛保费”。 保险是一种分散风险的手段，它把大量的风险单位聚集起来，以收取保险 费的方式建立起风险准备基金，当个别风险单位发生保险合同约定的保险事故 时，就会用此项基金进行补偿。保险公司收取保费是风险准备基金的基础，确定 恰当的保费是保险公司正常经营的重要前提。 保险费是投保人购买保险的价格，它由两个部分组成：一部分是保险公司 用来作为将来保额支付的保费，它是保险标的损失分摊形成的费用，称为“纯保 费”或“净保费”，在下一章中我们将会讨论它的计算方式；另一部分是保险公 司作为经济实体，其在经营和管理上所需的各种费用，以及所要求的利润合在一 起，称为“附加保费”。这两个部分之和称为总保费或毛保费。 保费的支付方式通常有以下两种：一种是一次性缴清，称为趸缴保费：二 是采用均衡定期缴纳直到缴费年期期满，这个定期缴纳可以是月缴，季缴，半年 堆十楷算方法的数理盒艘| ! 模型 缴，年缴。保费的计算特点是由保险业经营的特征决定的。保险业不同于一般行 业，它是保费收取在先，保额支付在后。保费是预付的，是在保险合同生效之前 确定的。保险公司对保费的计算不是以已保标的已经发生的损失资料为基础的， 而是根据过去相关标的历史的损失与费用纪录等因素来推断的。所以保费计算的 特点是在过去的资料基础上，形成对未来的预期。计算保费采用的比率都是预期 比率，而不是真实或实际的比率，预