（应用数学专业论文）随机环境中下临界分枝过程的灭绝时.pdf

太原理i 。人学硕十研究生学伶论文 随机环境中下临界分枝过程的灭绝时 摘要 本文首先介绍r 从g w 分枝过程到随机环境分枝过程的发展，g w 分枝过程的理论基础，随机环境分枝过程的一些：_ i | 要结果。l c 次分别介 绍rg w 分枝过程、变化环境分枝过程以及独亩：不l 司分l j 随机环境分枝 过程的灭绝时的研究以及取得的主要结果。在此基础 ：，本文- j 要做了 以i - ；1 ： 1 ： ( 1 ) 对 r ( s ) 的界： 其- 股随机环境- l 卜临界分枝过程的火绝时做了研究，得出 丁( 1 - s ) a m 脚茎半) 郇闩x 。卜一( 1 - s ) r m 一蟮 r i l ：- m ( 1 。- 。s 一) 6 毋，l j 。 ( 2 ) 利用此界当给定彤( 1 ) ，筋( o ) ，彤( 1 ) 关于目的最大与最小值时，得 出了一般随机环境中下临界分枝过程灭绝时均值的界：l e n 蔓e n - - u e n 其中 肼= + j + 鲁 2 m - m r 鬲1 u 刊等 尚高) o 太味。ti ：人硕i ： o r 究乍、z 化论文 ( 3 ) 当环境 为独立同分斫j 且只有0 ，l 两个状态，j 二l 尸( f 。= o ) = | d ( 知= 1 ) = 三时，分枝过程的繁衍概率母函数为二项分布时对灭 绝l 时均值界的确定给“；了，具体的实例。 ( 4 ) 最后，文章简单介绍了控制分枝过程以及随机环境，i - 控制分枝 过程的模型，得f - “几个概率母函数之间的关系。 关键词：随机环境，分枝过程，一t - l l 筒界，灭绝时 i i 太原理i ：人学硕l 研究i l ：。t f 论文 o nt h ee x t i n c t i o nt i m eo fs u b c r i t i c a l b r a n c h i n gp r o c e s s e si n r a n d o me n v i r o n m e n t a b s t r a c t f i r s t l y ，t h i sp a p e ri n t r o d u c e st h ed e v e l o p m e n tf r o mg wb r a n c h i n g p r o c e s s e st ob r a n c h i n gp r o c e s s e si nr a n d o me n v i r o n m e n t ，s o m ee l e m e n t a r y t h e o r i e sa b o u tg wb r a n c h i n gp r o c e s s e s ，a n ds o m ep r i m a r yc o n c l u s i o n s a b o u tb r a n c h i n gp r o c e s s e si nr a n d o me n v i r o n m e n t s i na d d i t i o n ，o nt h e s t u d yo ft h ed i s t r i b u t i o no ft h ee x t i n c t i o nt i m eo fg wb r a n c h i n gp r o c e s s e s b r a n c h i n gp r o c e s s e s i n v a r y i n ge n v i r o n m e n t ，b r a n c h i n gp r o c e s s e s i n i n d e p e n d e n tb u tn o n - i d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e dr a n d o me n v i r o n m e n ta n ds o m e i m p o r t a n tr e s u l t sa r ei n t r o d u c e d ，r e s p e c t i v e l y o nt h e s ef o u n d a t i o n s ，i nt h i s p a p e r ，t h ef o l l o w i n gw o r k sa r ed o n e 1 t h i sp a p e rs t u d i e st h ed i s t r i b u t i o no ft h ee x t i n c t i o nt i m e o f b r a n c h i n gp r o c e s s e si nr a n d o me n v i r o n m e n t ，a n do b t a i n st h eb o u n do f ( s ) ： f l s ) m 砸，= e x p 卜面( 1 - s 丽) r m i i i 。s ( 一气竽 l o g m 、，j 人原理i 人学预 ：研究。l 学f 、7 _ 论文 u ( s ) = 一( 1 一s ) 毋l 2 m ( i 一占) j 2 w h e nt h em a x i m u ma n dt h em i n i m u mo f 舶( 1 ) ，蝣( o ) a n d 蝣( 1 ) a r eg i v e n ，t h i sp a p e ro b t a i n st h eb o u n do ft h er n e a no ft h ee x t i n c t i o nt i m eo f b r a n c h i n gp r o c e s s e si nr a n d o me n v i r o n m e n tm a k i n gu s eo ft h ea b o v e b o u n d - l i t , , ，e n u n ， 小j + 鲁 篙 小m + 笙m 尚m 一高m 0 l z l i l 3 w h e nt h er a n d o me n v i r o n m e n t 话。) a r ei n d e p e n d e n ti d e n t i c a l d i s t r i b u t i o nr a n d o mv a r i a b l e s ，a n dt h et w os t a t e sa r e0 ，1 ，a n db e s i d e s p ( f ，：o ) ：p ( f ，：1 ) ：三，f o rt h es p e c i a lc a s e 。ft h e b i n o m i a l p r o b a b i l i t y z g e n e r a t i n gf u n c t i o na ne x a m p l ew a sg i v e nt os h o wh o wt ob o u n dt h em e a n o ft h ee x t i n c t i o nt i m e 4 i nt h ee n d ，t h em o d e l so fac o n t r o l l e db r a n c h i n gp r o c e s sw i t h c o n t r o lf u n c t i o na n dac o n t r o l l e db r a n c h i n gp r o c e s si nr a n d o me n v i r o n m e n t a r ei n t r o d u c e ds i m p l y a n ds o m er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h e i r sp r o b a b i l i t y g e n e r a t i n gf u n c t i o n sa r eo b t a i n e d k e yw o r d s ：r a n d o me n v i r o n m e n t ，b r a n c h i n gp r o c e s s ，s u b c r i t i c a l ， t h ee x t i n c t i o nt i m e 1 v 声明 y9 7 9 3 9 2 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 论文作者签名：日期： 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解太原理工大学有关保管、使用学位论文的规定，其 中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印 件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文； 学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为目的， 复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) o 签名：日期： 导师签名：造巡日期： 太原理1 人。学硕 ：研究生学何论文 第一章绪论 经典分枝过程模型最早由g a l t o n 和w a t s o n 在1 8 7 3 年建立，一个经典分枝过程 可以设想为一个种群演化模型，在此过程中不同个体全部遵循同样的概率分布律而 独立地繁衍后代。用经典分枝过程来刻砸一个种群的演化模型，给数学处理以及实 际模型的简化带来了很大的方便，但同时由于自然界中的物种在繁衍过程中大多数 个体都要受到彼此之问以及外界的影u i 自1 町形成一种依赖关系，使得经典分枝过程在 应用上有很大的局限性。为弥补经_ ! | l 分枝过程在应用上的局限性，于是产生了随机 环境中的分枝过程。作为经典分枝过程的自然延拓与发展，随机环境分枝过程r 叮以 更如实更逼真的模拟自然界中许多物种的繁衍演化，其研究结果可以更合理的解释 人们在现实世界物种繁衍过程中观察到的各种现象，例如：为什么一种森林野鸽的 产蛋数总是2 ，而在英困牛津地区的雨燕的产蛋数不是2 就是3 ，而一种大山雀的 产蛋数从1 到1 5 都有可能】，还有为什么有的种群经过繁衍演化最终会临近灭绝， 某种家族的遗传病经过若干年后为什么会不再存在。 经典分枝过程和随机环境分枝过程研究的主要问题之一便是物种的灭绝或存 活概率，a t h r e y a k b 和k a r l i n s 对随机环境分枝过程的灭绝概率和极限理论作了系 统的研究，得到了不少比较完美的结论心“1 1 。对于分枝过程的灭绝时来说如果我们 能够知道灭绝时的分布那么不仅对于研究灭绝概率具有很好的帮助而且在生物学 领域也具有很重要的意义。1 9 6 6 年c r h e a t h c o t e 和e s e n e t a 研究了下临界g w 分枝过程，给出了_ ；f ，( s ) 的界利用此界得出了下临界g w 分枝过程的灭绝时均值e n 的界，并对繁衍概率母函数为泊松分布概率母函数时的下临界g w 分枝过程的灭绝 时均值e n 界的确定给出了一个具体的实例”1 。a g r e s t i 在1 9 7 4 年利用两个分数线性 母函数界定概率母函数的方法也得出了g w 分枝过程的灭绝时均值e n 的界，同时 也对繁衍概率母函数为泊松分布概率母函数时的下临界g w 分枝过程的灭绝时均 值e n 的界给出了实例，实际证明此界比 4 】中的界较为精确“1 。次年，a g r e s t i 又建 太原娌1 人学帧哪外究生；! ：化论文 多：了变化环境分枝过程火绝时均值e n 的上、下界，以及l l 此得 u 了过程以概半l 灭绝的充要条f l ：。并利用两个变化环境中分枝过币l i t i l , j 灭绝时作为随机变化的卜、下 界来央逼f l i _ i 计独立但不同分斫j 的环境【 | 的随机环境分枝过程的灭绝时以得到灭绝 时均值e n 的界。1 “。j c ds o u z a 则研究了变化叫：境1 ，的g w 分枝过l ：( 1 1 - - 齐次分枝过 程1 的灭绝时“。湖南师范大学的毕秋香对独立不尉分m 随机j 不境叶】的分枝过程作了 研究，对于此类分枝过程当概率母函数为分数线性母函数i i j ，计算出了概率1 _ ：j = 晒数 的一般表达式，从而得出了火绝时的分厕一3 。 关于灭绝概率的确切值的汁算问题，w i l k i n s o n 在1 9 6 9 + 1 - 提了天j j 独。i 孙d 分 柿环境中分枝过程的灭绝概率q 的矩阵求法j 。g r e y 与l u 在1 9 9 3 年则讨论了 s m i t h w i l k i n s o n 随机环境分枝过程的火绝 i c 率q 。的渐近行为”，并经1 9 9 4 年探泔 了具有分数线性概率t ：函数的s m i t h w i l k i n s o n 随机舅：境分枝过程的条件灭绝 | c 率 的分前i ，并给出了判别其分前j 类型的一些特+ j e g t j i _ t i j i 参数”。 对随机环境分枝过程的研究工作一直主要集中在独立环境或平稳环境小的随 机环境分枝过程，2 0 0 2 年，p e t e r 和l u 提出了适应盯一代数结构随机环境下分枝过 程的概念，使得环境成为广义的环境变量，更具有一般性，并发表了篇有关恶化 随机j ! ： ：境中的分枝过程的文章“。王汉兴主要研究了依赖于人口的随机川；境分枝过 程”，文 2 2 卜 2 4 研究了带有人口迁移的随机环境分枝过程。自s e v a s t y a n o v 和 z + u b k o v 最晕提出 垮7 f 控制函数的控制分技过程，对控制分技过程的研究也一直受j ；l j 关注并得到不少殳r 的结果，湖南师范大学的毕秋香发表了一篇有关随机环境中的受 控分枝过程方面的文章，在j l 稳遍_ | _ 7 j 环境下研究了其灭绝概率的问题，并得出了判 断过程灭绝的一个判定准则。“。 由于分技过程具有马尔可夫性，且可视为以0 为吸收壁的一种随机游动， 故其研究结果与方法对研究随机环境马尔可夫过程和随机环境随机游动，以及更一 般的随机环境随机过程都有一定的启发性和指导意义，文献 2 6 卜 2 8 是对随机环 境中随机游动的研究：文献 3 0 3 1 是有关随机环境中马尔科夫链的研究。 本文利用中值定理、泰勒展式等数学工具，对一般随机环境中的下临界分枝过 2 太原理i 人学硕十研究生学化论文 程作了研究，得出了随机环境中下临界分枝过程的灭绝时均值的界，并在二项分布 繁衍 ! ：c 牢母函数的两状态独立例分m 随机月：境情况下，对火绝时均值的界的确定给 出了一个算例。 第二章基础知识 2 1 从g w 过程到b p r e 分枝过程t 历经一个世纪的重要发展之一，是从经典分枝过程剑随机环境一 】的分 枝过私! 的发腱。 为探讨英 _ f 族姓氏继承矧系_ l jr 问题，g a l t o n 和w a t s o n 于1 8 7 3 年建立了 一种新的随机过程模j 此模j r ；, ! f f , j 建立奠定了经典分枝过程的基础，因此经媳分枝 过程通常称为g a l t o n w a t s o n 分枝过程( 简记为g w 过程) 。 定义2 1 1g w 过程是一个取非负整数值的m a r k o v 链( z = 0 ，l ，2 ) ， z 0 = k ：z 。( ”= 0 ，1 ，2 ) 其一中k 为某指定( t j i f ! 整数，f = 1 , 2 ) 是一个取 i ：负整数值、服从嗣一概率分布律 p ，：，= 0 ，1 ，2 ：或具有相同概率母函数痧( s ) 的独立同分伽的随机变量序列( 阳记为 i i d 序列) ”1 。 个g w 过程可设想为一个种群演化模型：设某物种在丌始时刻0 有z 。= k 个 称为第0 代或“祖先”的个体，他们根据同一概率分布律 儿：j = 0 , 1 ，2 ) ( 其中p 。 表示每一个个体产生k 个下。代的概率) 相互独立且随机地繁殖若干个新个体，所 有这些新个体的总数z ，恰是z 。= k 个服从同一概率分布律 p ，：j = 0 , 1 ，2 或具有 相同概率母函数庐( s ) 的相互独立随机变量鲁( f _ 1 , 2 ，女) 之和。然后，这z 个新个 体构成第一代并重复上辈的演化而繁衍出z ：个第2 代个体。依此规律一代代繁衍下 4 太原理工大学硕士研究生学位论文 去。在此过程中，不管哪一代中的哪一个个体，其繁衍下一代的数目只取决于上述 的同一概率分布律佃，：，- o a 2 ) 或相同概率母函数妒o ) ，而不受其前辈或同代中 其它个体的影响。以z 。表示第n 代个体的总数，j i j z ) 就是一个g w 过程嘲。 经典分枝过程中不同个体全部遵循同样的概率分布律而独立繁衍后代的这种 时齐性假设，给数学处理及许多实际模型的简化带来极大的方便。但是，由于自然 界中的物种繁衍过程大多都受个体间相互作用以及其他因素影响而具有相互依赖 的关系，因而使得经典分枝过程模型在应用上受到一定的限制，随机环境中的分枝 过程正是在这种背景下产生的，在某种意义上弥+ f t 经典分枝过程因时齐性假设而 造成应用上有局限性的不足 随机环境分枝过程( b r a n c h i n gp r o c e s si nr a n d o me n v i r o n m e n t ，简记为b p r e ) 这 一概念最早由s m i t h 和w i l k i n s o n 提出。他们在一般g w 分枝过程 z 。，的基础上增 加了环境随机变量 毒。 ，于1 9 6 9 年建立了独立同分布环境中的随机环境分枝过程， 并在1 9 7 1 年推出了m a r k o v 环境中的随机环境分枝过程。同年，a t l t r c y a 与k a r l i n 建立了平稳遍历环境中的随机环境分枝过程。 定义2 1 2 设( q ，f ，p ) 是一个概率空间，m 为取非负整数值的随机变量的所 有非平凡概率分布律的集合，即： m 。 昼，：，_ q l 五i 。s p ，t l 盖p ，。1 且盖j p j 一l i m 九( o ) 。 - 6 太原理i ：人学硕十研究生学位论文 定理2 2 1 ”：设e z i ：，v a ，z 1 e z l2 一，”2 = 口2 i ，则灭绝概率g 是方程 s = ( s ) 的唯一的非负解且小于1 。 定理2 2 3 、没m = e z l 为个有限数，则有当 趋于无穷大时过程 z 。 或灭绝 或为无穷大，而不会为某个确定的数，即 e z 。一，( ”时) ) = o ，k = l ，2 ， 盖 也即 e z ，。寸o ，( ”呻。) ) + p z 。- 4 o o ，( 斗。) = 1 。 一 2 3 有关b p r e 的一些主要结果 记b = “，：z 。( w ) = o ，h 为某个正整数) 则集合b 表示“过程 z 。) 早晚要灭绝”这一事件，称g = j d 忙l z o = 为“祖 先数为t 时的( 无环境条件的) 灭绝概率，g ( ；) = p 扫i f ( 西，z o = 女 为“祖先数 为t 时的( 有环境条件的) 灭绝概率。不难得出，g t ( 孑) ：b l ( 孑) r ， 。= e k 。西】= e 阮) r 。 查堕型! ：盔三兰堕：兰塑壅笠：! ：生丝苎 2 3 1 独立同分布随机环境中分枝过程的主要结论 s m i t h 与w i l k i n s o n 利用 z 。) 在独立同分们i 环境中取一个任何有限证整数均为 瞬时状态r r , jm a r k o v 链的性质，使j h 兜新过程的分析技巧结合哭j i 独立随机变量和 的波动蛐! 论的方法，得到以下结论j ： ( 1 ) 在独立旧分布环境中，当h 趋于无穷时， z ， 或灭绝或无限增大，而不会停 露怕l 定的规模i ：。即： p l z 。斗0 或z 。专o o ( n - o o ) ) = 1 。 ( 2 ) 对于s m i t h w i l k i n s 。n 随机环境分枝过程 z 。i z 。= t ，若e l i 。g ，( 1 ) l 0 。i t e - l o g ( 1 一品( 0 ) ) 】 。时，q 1 ： 当e 1 0 9 ：, - ( 1 ) o 时，q 。= 1 。 当q 女 1 时，b p r e 不是必然灭绝的。关于q t 的确切值的计算问题，w i l k i n s o n 在1 9 6 9 年提出了关于独立同分布环境中分枝过程的灭绝概率q t 的矩阵求法：，对 于一般平稳遍历环境中分枝过程的灭绝概率g t 至今尚未找到有效的计算方法。而且 w i l k i n s o n 的知! 阵求法计t 算繁琐，当k 的值较大时几乎无法算得q 。但是若知道g t 的 渐进行为，则可在k 较大时以其渐进函数近似表示，从而使研究工作变得方便可行。 因此对q t 的渐进行为的探讨就具有至关重要的意义。 g r e y 与l u ( 1 9 9 3 ) 就q 0 ) b 。趋于。时的渐j 丘彳亍为除相 差个取对数1 0 9 后比l o g k 低阶的因子外大致与 喝相当。 在( b ) 类有：。l + i r a 。二警= 一i 。g k ，( o k 1 ) ，即：吼趋于。时的渐近行 为除相差一个取对数i o g 后比k 低阶的因子外大致与t ：相当。 在( c ) 类有：o ，i i mi n f 二堕笋sj i ms u p 二号警土 m ，即：q 。趋于。时的渐 + 七 t r 七 。 近行为除相差个驳对数1 0 9 后比i 低阶的因子外大致与e 一再相当。 2 32 一般平稳遍历随机环境中分枝过程的主要结论 设 z 。) 舀是平稳遍历环境下的随机环境分枝过程，对 c a r ，记 a + = m a x a ，0 ) ，a t h r e y a 与k a r l i n ( 1 9 7 1 ) 利用c h u r c h 的一个关于概率母函数迭代 性质的定理，在研l o g 庐奠( 1 ) + 的条件下把上述s m i t h w i l k i n s o n 随机环境分枝 过程中的结论( 1 ) ( 当”趋于无穷时， z ，) 或灭绝或无限增大，而不会停留在一定 的规模上) 推广到一般的平稳遍历环境下的随机环境分枝过程。就一般平稳遍历 环境下的随机环境分枝过程，a t h r e y a 与k a r l i n 得出以下结论”1 ： ( 1 ) 当e 【l o g ( 1 ) 】0 时，q = 1 ： ( 2 ) 当o e 1 0 9 珐( 1 ) 】 。且研一l o g ( 1 一吒，( o ) ) 】 0 0 时，q 女 1 ； 人g s q ；f 人。f 州：研究生、：f 带沦文 l l l j b ，a t h r e y a 与k a r l i ni i l n ) 了当环境为一个玎：可约、正常返且具有可数多个 状态的m a r k o v 链时，有类似j ：s m i t h w i l k i n s o n 随机环境分枝过程t 3 的结论： ( 3 ) 当e t l o , 9 4 - , ( 1 ) + 0 | i 寸，g t = 1 。 一个非平凡的随机环境分枝过程总赴最终灭绝；j z 4 , n 发腱而趋于无穷，火绝概 率的研究是探讨过程灭绝的两，借助于极限定理可描述过程自身发展的射i 面。 a t h r e y a 与k a r l i n 增设环境魁“a l 0 ，由于雌。 o ) - 1 一九( o ) ，从而妒r o j 反 应了尾概率事件e ( z 。 o ) 的渐近行为。1 9 6 6 年c r h e a t h c o t e 和e s e n e t a 研究了 下临界g w 过程的灭绝时，得出了妒o ) 的界并利用此界探讨了灭绝时均值e 的界， 开垌系衙飘毕博豳双刀捆私分仲觋翠蹲幽飘盯啊p 哂界g w 分覆珏程田火绝啊捌 值肼的界给出了一个具体的实例，结果如下t 定理3 。1 。2 某分枝过程的繁衍概率母函数为妒( s ) ，并有m 1 ，妒( 1 ) t2 6 一妒( o ) ，设，。l 是使得埘7 - 1 妒( 1 ) t2 成立的最小整数，则有以下结果： ( 1 )m ”缸一办0 井l ，o ) 妒o ) 蔓埘”缸一冉o ) 妙，o ) 。 t 舯唧【- 业掣一端】， 啪卜唧【一帮】o ( 2 ) “鼎s e a v s t 小叫击一篇褊 o 、设繁衍概率母函数西m e m o - 1 1 ，e 的界如下表所示： 表3 - 1 繁衍概率母函数为妒0 ) 一e n , ( s - 1 ) 时五w 的界 t a b l e3 - 1b o u n d so ff a rw h e nt h e i s 妒o )p y o m b l i t y g e n e r a t i n g f u n o i o n i e 1 1 ( s - z ) m 0 1o 20 30 40 5 0 6 o _ 7 o 8 0 9 上界1 1 0 5 7 1 2 2 5 9 1 3 6 7 01 5 3 9 71 7 6 6 12 0 8 8 92 6 1 3 03 6 5 柏6 7 9 2 8 下界1 1 0 5 71 2 2 5 51 3 6 3 31 5 2 6 11 6 9 9 51 8 8 8 22 0 6 7 72 2 0 7 62 2 7 7 6 1 2 太原理工大学硕士研究生学位论文 本文第四章则是在此基础上讨论了随机环境中的下临界分枝过程的灭绝时，并 得到了随机环境中下临界分枝过程灭绝时均值的界。 a g r e s t i 在1 9 7 4 年利用两个分数线性母函数界定概率母函数的方法也得出了 g w 分枝过程的灭绝时均值点的界，同时也对繁衍概率母函数为泊松分布概率母 函数时的下临界g w 分枝过程的灭绝时均值e 的界给出了实例，实际证明此界比 【4 】中的界较为精确嘲。结果如下： 定理3 1 3 嘲某分枝过程的繁衍概率母函数g ( s ) 一p j s ，o ，则有 ， ( 五s ) t 1 -彬- t , - 1 i 1 舀 - 1 丽吖( 1 ) 丽1 定理3 2 4 1 在随机环境中，妒；( 1 ) ，妒；( 1 ) 。a0 分别是独立随机变量列 p ( 一打) 一e叮a - 2 一端高 太原理工大学硕士研究生学位论文 第四章关于随机环境中的下临界分枝过程 灭绝时均值的界 4 1 引言 设磊表示一个经典离散分枝过程中第万代的个体数，z o 1 ，并且其繁衍概率 母函数为妒o ) 曼s 7 p ( z 1 j ) ，( o j 1 ) ，则z 。的概率母函数是妒o ) 的一次迭代 o ) 。当历一e z l l 时。 z 。 为一个下临界的g w 分枝过程，熟知此过程以概率 1 灭绝哪。对于条件概率尸但。- ji z 。，o ) 来说，则有概率母函数 舌慨刊z 棚小 黑 ，1 ) o q o ) - j p ( z 。一，i ，o ) - 1 一 二 喘 ，( o s 1 ) 。 ，- l1 1 一h u j i 令机o ) 。塑掣， m ” 由【4 】知当妒。( 1 ) m 时，有l i m 妒。o ) 一妒o ) ，o s 1 从而得 g m 熙q 1 一瓣 可见g o ) 的信息可以由妒o ) 体现出来。c r h e a t h c o t e 和e s e n e t a 在1 9 6 6 年 得出了妒0 ) 的界，并通过对此界的研究得出了下临界g w 分枝过程的灭绝时均值 e i v 的界。本文给出了随机环境中下临界分枝过程相应的界，并在二项分布繁衍概 率母函数的两状态独立同分布随机环境情况下，对灭绝时均值界的确定给出了一个 算例。 1 6 太原理工大学硕士研究生学位论文 4 2 妒o ) 的界 引理4 2 1 记q q ) 亓( 1 一b 7 ) ，o s s s l , o b 。1 时，则有 ，- 1 e x 十羔一胡s ，叫一爿。 证第一个不等号的证明见文献【4 】。下证第二个不等号。 因为当o 善t 1 时，有1 一茗懿一工) ，则由引理的条件可得， 舛b f ) = e 悟- k s 0 薯叶卦 引理得证。 引理4 2 2 t 4 3 当0 i n 1 0 i ki 1 时有下式成寺： ( 1 一七口r 矗6 七口) s 1 一詹口一 j 4 设 z 。) 为随机环境古。，以一o 】乏 中的分枝过程，且在随机环境为“时z 。个第 n 代个体具有相同的繁衍概率母函数屯o ) ，则当e b g 吒( 1 ) j c 0 ，e 4 0 9 晚( 1 ) j t 0 ， 砷o g 吒( 1 ) po 时，留。) 分别称为该随机环境中的下临界、临界、上临界分枝过程， 为叙述方便，我们引入下列记号： 记 而一o ) 一吒魄。( 屯。q ) 彬o , 1 n - 1 ， 万o ，o o ) 一s ， ，玎i - 石0 q ) i , - 1 ，i o ，】一一1 ， 妒抽o ) 型，f 吼 n - - 1 ，妒o ) n m 妒q ) ， m i j l - 。 m i m 唧a x 6 。 、1 ) ，小一曾协( 1 ) ， 1 7 太原理工大学硕士研究生学位论文 6 。型孥协( o 暗，其中e 为随机环境岳。 的状态空间 因为石叻o ) 一o 、。o ) ) ，由中值定理可得 其中 1 一石饥。o ) - 4 一而一q ) j 蚝b 国枷o ) ) ， 哆曲o ) 叼功0 ) 1 。 由螺r s ) 的单调性可得 l 一 。o ) 峨( o ) 1 一飞。o ) l 一气。o ) 虼( 1 ) ， 对不等式两边依次递推可得 ( 1 - s ) d 。l - x o 。o ) ( 1 - s ) j i f “，( 4 1 ) 由泰勒展式可得 屯m 1 + o 一睨+ 华吒伪) 1 1 - 砣( 1 ) + 学虼q c 叩t 1 ) 。 那么对于刀“q ) 就有 石o ，l “0 ) - 氟( + 1 0 ) ) 从而 1 1 _ l 一晰。慨( 1 ) + 掣吒锄加” 0 b + 1 0 ) m i i + 1 0 ) 1 ) 删一华 1 8 太原理i 人学硕十研究生学似论文 其中 ：! 二尘型! ：型! 盟竺：型：! ：竺坐乏 m 0 ，+ l ：! 二坐! 盟一上尘! 盟r 垫坠! 二型l 坠! m l m i 【，j 2 h + ij2 虼( 1 ) = 心，一l q i + l ( s ) 2 箐 ，、i ，、 2 妒1 l 【s j 1 一i 、l 【s ) = t l d l + l ( 5 ) 兀 1 一，。+ l ( s ) ，= l i 2 虼( 1 ) ；一1 ( ，7 j 。+ l ( s ) ) m j ，” 万，- j ? 十l ( s ) 乃m i ( s ) 1 。 把( 4 1 ) 式运用于m + l ( s ) 可以得出 其中 2 畦。( 1 ) 等卅雩卜。 坠坐n 1 _ m 村【 等卧蝶。( 1 ) ：j l r 1 一s ) m ”+ 1 一r 2 m 妒。川( s ) 譬半n m 苘【 r 2 搿鼢( 1 ) ，r2 卿( o ) 。 ( 1 - s ) d n + l - j 吩。( o ) 2 赡。( 1 ) 太躁现；人。t 磺j 研究卜0 i 批沦文 上式等价于 掣密 一号糊。 对不等式( 4 2 ) 的右半部分取极i ；艮y - j 妒( s ) = l i m o + 1 ( s ) 鲥n - - m ，a e ：一m 小学m = l l2 生! 坐孙 ，” = i 当旦亏舄堕 1 时，根据引理4 2 1 可以得u ( 1 一百) 占厂i 2 m 一( 1 一s ) 8 r 2 m ( 1 一万) i 当g 竺 l 时，有尺 2 州理对不等式( 4 2 ) 的左半部分取极限也有 z ”? 显然当月 o = 1 一怯( o ) ， p ( n 胛) = l e ( 万o 。( o ) ) = e o g o n ( o ) ) ， 0 0 r、 e n = p ( n 胛) ；4 一e t r o 。( o ) j e ( 4 3 ) n = on = o 学卧鼍竽卜h 加， 令s = 0 ，并取期望后即可得 。! ! 二! 巡：二 裁 一訾 o = i j 太原理i ：人学硕十研究生学俺论之 笙m 剐k = l i 卜m ：k rj i 、，m m + l 叫ni ，一针 由公式( 4 3 ) 可得 即有 上式等价于 薹百6 m n 州n - i 百mk r 卜删m 薹i m n + l n - l f 翥 坐e一2+舯)2m 。 ”。、 鲁争n k = l i 一等 ( 删m 等酣一生2 m l j 。 ，+ 1 - e n o i ( 0 ) + 等驴外等 删 外。咖一c o ， + 等扩囊 一丛2 m j 州 根据引理4 2 2 ，当r 2 时( 4 4 ) 式可变为 - + 1 - e n o i + 鲁争 ，一射驯 外 1 - e n o i ( 0 ) + 等扩 l _ 斟 j，、l 兀 一 n m 。嘲 塑m 坐晰 一 川n 川 m 。越 丝卅 p ，o ，曼p ，= 1 ，曼f p ， o 。，p o + p ，l 1 l = 0i = 0 显然u 是有界实数列构成的b a n a c h 空间( ，。，b 。) 的子集，b 。是，。上赋乘积拓扑产 生的b o r e l o - 一代数；对每一f ，溉) = 话。( w ) ：n ) 是从( 臼，f ，p ) 至l j ( 1 。，b 。) 的 映射序列，使p w ：厶( w ) u ，i ，月 _ 1 ，则每一个这种从力到u 的映射伴随 一个概率母函数： 吒，( w 埘2 盖y p ( 厶( w ) ) s 7 ，o s 1 。 其中对每一i ，p ( 厶( w ) ) ，1 = 0 , 1 列 岛( w ) ：”k f ，称为随机环境， 是相应于厶( w ) 的概率分相，这样的映射序 对固定的i e ， n ，x ，( ，”) 为独立同分布 太原理l ：人学硕十研究_ i 学能论文 的同具有概率母函数吒，( w ，j ) 的随机变量；且刘1 ：同的i ，诸，( ，7 ) 彼此独立，有 竹。( 二) z o = l ，z 。l = x ，( ，胛) 。 i e j = l 以此产生的 z 。) 称为随机环境中的妒一控制分枝过程( c b p r e ) 。简称随机环境中的受 控分枝过程。 电丸( s ) = e ( s 乙i f ( 品) ，i i ；z o = 1 ) ，简记屯，( w ，s ) 为吒( s ) 。 结论1 设堕铲= 口。，则有州( s ) = 马蛙。0 。笛o t i 马喂1 ( 呦) ) 。 证用归纳假设法证明。 妒l ( s ) = e ( s 2 i f ( 身) ，i ，z o = 1 ) 篾- o ， = e ( s “1l f ( 鼻) ，i ，z o = 1 ) ：b 制洲：曩( 2 娶盟如( 5 ) 2 b 吒。( 5 ) ) 蛳” = 兀( 呜。( s ) ) 。 ， 即疗= 1 时结论成立。 假设九( s ) 2 盟嚷( 马蠓。( ( 兀蟾c t ，i , n - i。( s ) ) ) ) 。e li e i “i i 、” j | * l 则 九+ l ( s ) = e ( s z , ，+ 。i f ( 磊) ，i ，z o = 1 ) = e ( e ( s z i z o = l ，z l ，z 2 z n , f ( 磊) ，i ，) i z o = 1 ，f ( 磊) ，i ，) ( 乙) 2 e ( f i f i 慨( s ) i z o2 1 ，f ( 缶) ，i ，) ，i，= i 太原理i ：人学顶 ：研究1 1 三学化论文 = e ( 兀( 吒。( s ) ) 蚂”乙iz o = l ，f ( 4 f ) f ，) ， e ( 兀( 呜。( s ) ) 。7i z o = l ，f ( f ) i ，) ， ：璺蝰? 马蝰x 。马；= 1 马螺7 ( s ) ) ) ) ) 命题得证。 2 9 太原理i ：人学硕f ：研究生位论文 6 1 结论 第六章结论与展望 本文首先介绍了从g w 分枝过程到随机j = 1 = 境分枝过程的发展，g w 分彼过程 的理论堪础，随机1 ：境分枝过程的些：t 要结果。其次介绍g w 分枝过程、变化环 境分技过程、独直不同分伽随机环境分枝过程的灭绝时的研究以及取得的主要结 果，并对独立不同分析i 随机环境中分枝过程的概率母函数为分数线性母函数的一类 特殊情况，介绍了灭绝时的分析j 。 在此基础上本文重点研究了一般随机环境中下临界分枝过程，利用中值定 里、 泰勒展式等数学工具得出了w ( s ) 的界，并利用此界对一般随机环境中下临界分枝过 程的灭绝时的分和做了研究，得出了灭绝时均值的界。并在二项分布繁衍概率母函 数的两状态独立同分布随机环境情况下，对灭绝时均值的界的确定给出了一个算 例。最后，本文简单介绍了控制分枝过程和随机环境中的受控分枝过程的模型，得 出儿个概率母函数之问的关系。 6 2 展望 本文只是对一般随机环境中下临界分枝过程的灭绝时做了研究，今后我们可以 研究一般随机环境中的临界分枝过程以及上l 晦界分枝过程的灭绝时，从而得出灭绝 时的分布。我们还可以通过对随机环境中受控分枝过程的控制函数作一定的限制， 把随机环境中分枝过程的一些结论推广到随机环境中受控分枝过程中来。 3 0 太原理i ：人学硕1 ：研究生学何论文 参考文献 1 】m o u n t f o r d m dt h es i g n i f i c a n c eo f c l u t c h - s i z e t h em a t h e m a t i c a lt h e o r yo f t h ed y n n a m i c so f b i o l o g i c a lp o p u l a t i o n s ，e d i t e db yb a r l e t t ，m s & h i o r n s ，r w 1 9 7 3 ，3 1 5 3 2 3 2 】a t h r e y a ，k b k a r l i n ，s o nb r a n c h i n gp r o c e s sw