（计算数学专业论文）二阶奇性椭圆问题的mortar元方法及其cascadic解法.pdf

摘要 在偏微分方程数值求解的领域中，有限元方法具有重要地位，其中m o r t a r 元 方法和c a s c a d i c 多重网格方法一直在受到关注。本文的目的便是研究这两种方 法对于二阶奇性椭圆问题有限元求解的作用。 m o r t a r 元方法在近十年中取得了很大的发展，与传统区域分解方法不同的 是，该方法允许在不同子区域中用不同方法或使用不同的有限元网格剖分来求 解，增加了求解的灵活性，而所的结果的精度不变。本文证明了对于二阶奇性椭 圆问题，其m o r t a rp 1 有限元解存在唯一，并且具有o ( h ) 阶的口1 范数误差估计 和o ( h 2 ) 阶的工2 范数误差估计。 由于m o r t a r 有限元方法求解中的刚度矩阵不具有良好的条件数，对于大型 问题难于直接求解，本文考虑用c a s c a d i c 多重网格方法作为预条件子来求解。文 中给出了适宜的网格转移算子和迭代算子，证明了方法的最优性，即在问题的阶 数变大时，在不影响误差的能量范数估计的阶数的前提下，总体的工作量仅呈线 性增长。最后通过数值实验再次验证了本文的理论结果。 关键词：二阶奇性椭圆问题，m o r t a r 有限元方法，c a s c a d l c 多重网格方法。 a b s t r a c t f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) p l a y sa l li m p o r t a n tr o l ei nt h en u m e r i c a ls o l u t i o n o fp a r t i md i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h em o r t a rf i n i t e l e m e n tm e t h o d sa n dt h e c a s c a d i cm u l t i g r i dm e t h o dh a v er e c e i v e db r o a dc o n s i d e r a t i o n s ot h i sp a p e ri sf o c u s e d o nt h es o l u t i o no fs i n g u l a r i t ys e c o n do r d e re l l i p t i cp r o b l e mu s i n gt h e s et w om e t h o d s m o r t a rf e mh a sa c h i e v e dag r e a tp r o g r e s si nt h er e c e n tt e ny e a r st h j sm e t h o d d i f f e r sf r o mt r a d i t i o n a ld o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d si nt h a ti ta l l o w st oc o u p l e d i f i e r e n tm e t h o d si nd i f i e r e n ts u b d o m a i n sw i t h o u td e t e r i o r a t i n go nt h ee r r o re s t i m a t e s 、 w h i c hb r i n g sm o r em o b i h t yt ot h es o l u t i o n i nt h i sp a p e r ，i tw i l lb ep r o v e dt h a tt h e m o r t a rf e mi sa l s oe f f i c i e n tt os i n g u l a r i t ys e c o n do r d e re l l i p t i cp r o b l e m ，i ti st os a yt h a t t h e r ee x i s t so n ea n do n l yo n em o r t a rs o l u t i o nt ot h ep r o b l e ma n dt h ee r r o re s t i m a t ej s o p t i m a l t h eo ( h 1e r r o re s t i m a t ec a nb ea c h i e v e db y 日1n o r ma n dt h e e r r o re s t i m a t e o fl 2n o r r f li s0 f h 2 ) i ti sw e l lk n o w nt h a tt h es t i f f n e s sm a t r i xf o rt h em o r t a rf e mi sn o tw e l lc o n d i t i o n e d ，s oi tw i l lb ec o s t l yt os o l v el a r g e s c a l ep r o b l e m sd i r e c t l y i tp r o v e dh e l p f u l t ou s em u l t i g r i dp r e c o n d i t i o n e r si ns i n g u l a r i t ys e c o n do r d e re l l i p t i cp r o b l e mh e r ew e o n l yt a k ef o rg r a n t e dt h ec a s c a d i cm u l t i g r i dm e t h o d e f f i c i e n ti n t e r g r i do p e r a t o ra n d s m o o t h i n go p e r a t o ra r eg i v e na n dp r o v e dt ob eo p t i m a l ，w h i c hm e a n st h a tw h e nt h es i z e o ft h ep r o b l e mi n c r e a s e s ，t h ea m o u n to fw o r ki n c r e a s el i n e a r l yw i t h o u td e t e r i o r a t i n go n t h ee n e r g yn o r mo ft h ee r r o re s t i m a t e a tl a s t ，t h er e s u l to fc o m p u t e ri m p l e m e n t a t i o n 上p n 龟誓疆j h 也 缸t l， k e yw o r d s ：s i n g u l a r i t ys e c o n do r d e re l l i p t i cp r o b l e m ，m o r t a rf e m ，c a s c a d i cm u l t i g r i d m e t h o d s 2 1 介绍 二阶椭圆问题是一类常见的问题，本文将主要考虑第一类边界条件的二阶奇 性椭圆问题。下面简单介绍一下本文中将要用到的m o r t a r 元方法和c a s c a d i c 多 重网格方法。 m o r t a r 元方法：m o r t a r 元方法f 2 ，3 是一种非协调区域分解方法，与传统的区 域分解方法不同的是，m o r t a r 元方法允许在不同子区域中采用不同的有限元网 格剖分，或是在某些区域中用有限元方法，而在另一些区域中用其它方法，例如 谱方法。为了达到一定的解的误差估计结果，要求解空间在子区域连接处满足一 定条件，即所谓的m o r t a r 条件。这样一种方法的灵活性是显而易见的，不仅适 用于复杂区域上的求解，还适合于大型问题的并行计算。 在b e r n a r d i ，m a d a y 和p a t e r a 的论文f 3 】中，对谱方法和有限元方法下的 m o r t a r 元方法作了详细的论述，并给出了在子区域上用协调元逼近时解的存在 唯一性和误差估计，其误差估计结果与不加m o r t a r 时是同阶的，但该论文中的 m o r t a r 条件要求解空间在子区域的顶点连续。后来出现了许多新的m o r t a r 条件 提法，大致可分为两类。一类是在总体的离散空间上加上一个弱连续条件f 3 ，15 1 ， 例如在子区域边界上加一些积分相等条件( 在子区域顶点可不连续) ，这样得到的 解空间不属于日1 f n ) ，并且对于嵌套的网格得到的有限元空间是不嵌套的，但所得 的刚度矩阵是对称正定的。另一类采用l a g r a n g e 乘子法f 4 ，9 ，1 9 ，2 4 1 ，即将m o r t a r 条件将松驰为等价的鞍点问题8 ，9 1 。而在这些m o r t a r 条件中，已经不再要求子 区域的顶点连续条件。 对m o r t a r 元方法，已经发展出了一些有效的预条件迭代解法，如”d i r i c h e t n e u m a r m ”方法 2 ，”n e u m a n n 。n e u r a a n n ”方法 1 9 ，2 0 】，和子结构方法 1 。目前更 多的关注在m o r t a r 元方法的多重网格解法上。如【1 5 是按b r a m b l e 1 0 1 的非嵌套 多重网格框架，对v a r i a b l ev - c y c l e 方法给出了很好的预条件子，而1 4 ，1 9 ，2 4 i 则是 对鞍点问题给出了多重网格法的框架。对前一种方法，关键在于对非嵌套的解空 间给出一个合适的网格转移算子，对后一种方法，则在于证明离散后的l b b 条 件。 在本文中将考虑的是对于第一类边界条件的二阶奇性椭圆问题，在一定的 m o r t a r 条件下，证明其解的存在唯一性，并给出误差估计。本文将在离散空间上 考虑m o r t a r 条件，而不是在l a g r a n g e 乘子法的背景下考虑该问题，因此工作将 主要在于证明m o r t a r 条件下的误差估计。 c a s c a d i c 多重网格方法：c a s c a d i c 多重阿格法首先由b o r n e m a n n 和d e u f l h a r df 5 ， 6 提出，与经典多重网格法 1 0 不同的是，c a s c a d i c 方法不需要进行粗网格矫 正，从这个意义上来看，也可以把它看作一种”o n ew a y ”多重网格方法。该方法 的另一个特征，是在粗网格上增加迭代次数，这样可以在细网格上仅用较少的迭 1 代次数就可获得较高精度。这样的一种方法相比之下要更容易理解，而且数值例 子也已证明了该方法的有效性。 文献f 6 ，2 1 中证明了，对p 1 协调元，三维空间中二阶椭圆问题在通常的 步迭代方法，如j a c o b i 迭代法、g a u s s s e i d e l 迭代法、r i c h a r d s o n 迭代法以及c g 方法下，c a s c a d i c 多重网格法都能达到最优，但是在二维情形，仅对c g 方法能 达到最优，而对其它迭代方法只能达到拟最优。石钟慈和许学军在最近的一篇文 章 2 3 j 中则推广了这个结论，证明了对二阶椭圆问题，该结果对其它的协调元或 非协调元也成立。 在 2 5 中给出了对二阶奇性椭圆问题的c a s c a d i c 解法，而在本文中所不同 的是将对m o r t a r 元背景下的给出二阶奇性椭圆问题一种最优的c a s c a d i c 方法。 下面是本文的总体结构，第2 章详细分析了二阶奇性椭圆问题的m o r t a rp 1 元方法，证明了对第一类边界条件问题的解的存在唯一性，并对第一类边界条件 问题给出了日1 范数误差估计和l 2 范数误差估计，第3 章对第一类边界条件问 题给出了一种最优的c a s c a d l c 算法。第4 章则给出了一些数值例子，其结果很好 的验证了本文的理论结果。 2 2 二阶奇性椭圆问题的m o r t a r 元方法 2 1 问题的提出 设n 是平面上的一个有界多边形区域，它有一个内角0 ”，为简单起见， 不妨设其他内角不大于”，不妨记内角0 的顶点为0 ，在n 上考虑如下的p o s s i o n 问题： 一a u = ， u l o a = 0 。 上述问题的弱解的提法是：找u 琊( n ) ，满足 a ( u ，”) = ( ，”) v v 础( n ) 。 其中 a o ，。) = v u v v d z n ( ，”) 2 五，础。 只要，日一1 ( n ) ，方程( 2 13 ) 有唯一解。 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 2 2 网格剖分 把n 剖分成个子区域n i ( i = 1 ，2 n ) ，设这些子区域是几何协调的，并 且有奇性点只包含在一个子区域上，在每一个子区域上按一般的有限元剖分成正 规的三角形网格。记这一层网格为昂。 定义p21 为网格剖分因子，当 0 时，假设一1 层网格已经剖分完 成，记女一1 层网格为r 一，。对于任何的一个三角形山一b k 一- g k 一1 以一， 如果a k 一，3 一，c k 一，的三个顶点都不属于那些有奇性的点，则按一般的剖分， 即把三角形的三个中点相连剖分成四个三角形。若a 一，仇一，仉一，的三个顶点 有一个是奇性点，不妨设这一顶点为a 一t ，则按如下剖分：以2 一一为比例， 在a k - 1 b k 。4 t 一，c k 一，上取两点e ，f ，使得! j 告= ! 铪= 2 1 ，取 风一，瓯一，上的中点g ，把e ，f ，g 相互连接，则把4 一1 风一1 仉一，剖分成四个三 角形。记这个剖分为兄。 设r 的直径为h 。，i = 0 ，1 ，则峨= h i 2 。+ 1 ，i 0 ( 见 2 5 】) 。设圣口( z ) = 护， 其中r 是z 到0 的距离。 定义2 2 1 设一个剖分f 是( ，7 ，三) 类型，如果f 满足c x t s - 个条件： ：对三角形f 并且对的任何一个角d ，有 d 五。 3 一妙：如果在上圣，0 ，有 l 一1 垂，( z ) 百d a s 珊，( 2 ) 。 其中d = s 婶 i z y i ：z ，y ) 是a 的直径。 ( i i i ) ：如果在上有一点壬，= 0 ，则 一s 吼。n 吲z ) s 警s 三s 。吲咄 引理2 2 1 如果p 是网格剖分因子，且7 = 学，则只是( h i ，7 ，l ) 类型，其中 工是与i 无关的常数。 证明：见f 2 5 1l e m m a6 1 。 设r 玎是n i ，n j 两个子区域的边界，选择r 巧的一边为m o r t a r 边，记为7 砘 ，另一边为非m o r t a r 边，记为嘞。记r = u ，j r 妇。 对日，f _ 1 ，2 ，在上定义空间 定义 和 ”c o ( 6 坷) ，”在最上分段线性且两端的区间内为常数) ”e o ( 嘶) ，”在n 上分段线性且两端为零) 。 x h ( n j ) = 口c o ( n j ) ，u 卜p 1 ( r ) ，v r 只，口i a n n a n ，= o ) x 。( n ) 中元素有半范 和范数 凰，( q ) = ux h ，( n ) 。 七= 】 “慨，( n ) = ( f “瞄n ) + i “| 硪2 ( n ) j z 1 _ 。 作空间y “t ( n ) ，i = 1 ，2 ， 沙( 卟觚( n ) , v 6 k j ef , v 庐瞄? ( 吼厶，一刮) 曲d m = o 。 4 咒毋彬舾 j 1 7 1瑶雌 1 2 n2 1 u | j nh 注2 2 1 上面的定义并不要求n i 的顶点连续。 对于剖分只，离散问题的提法为： 找砺v “( n ) ，使得 。k ( 碡， ) = ( ，”) ，v 口矿“( n ) 。 ( 2 - 2 4 ) 其中 眠( 叩) 2 善五。乳聊幽。 定理2 2 1 如果，l 2 ( n ) ，则方程俾2 纠的解存在唯一e 证明：由l a x m i l g r a m 引理，只要证明存在常数c ，使得 c a ( “，u ) 2 砩( n ) 。 即证明 c 蚤五。乳珈如 - 矧e l i 叫b 。 由【3 p r o p o s i t i o na 3 即得。从上面的证明可以知道常数c 与i 无关。 2 3 误差估计 设o 点的坐标为( o ，o ) ，取7 0 0 ，以( o ，0 ) 点为圆心，7 0 为半径作圆，与 n 相交为一个扇形。作极坐标( r ，妒) ，0 r r o ，0 妒 日，定义 面( r ，妒) = r “芒( r ) s i n 丌妒佃， 其中p = ”口，i ( r ) c 。 o ，o 。 定义为： f l t ，r 【o ，r 。2 ， i = 单调i ，r 【t o 2 ，r o ， i o i ，r 【r 。，o 。 。 设u 是方程( 2 13 ) 的解，则 u ( z ) = ”( z ) 十鼬( z ) 。 其中u ( z ) h 2 ( n ) ，u ( 2 1 ，。2 ) = u ( r c 0 8 妒，rs i n 妒) = 西( 妒) 满足 i 5 1 + 2 ，f l 茎c l l f l l o ，n 。 5 ( 23 5 ) 6 是一个常数。并且 定义空间矗m ，8 ( n ) ，m 0 ，0 卢 1 是按范数i r ，口在e ”( n ) 的闭包。其 中i i i 。口定义如下： “峨日 l u l l 0 2 ，p 钏训+ 上如时。蒹帕。( 卵铲班当m 1 = 上如“2 出当m = o 。 定理2 3 1 设l p 1 p ，设卢= ( p u p f h o ，8 ( n ) ，u ，玩分别是方程俾别， 偿2 # ，的解，则成立： ir u 一酬砩? ( n j c 3 圳川o 。 先证明几个引理。 引理2 3 1 设满足定理俾3 剀的条件，则 ，嬲。1 i u 一”恢( n 】sc h d l f l l o hn l 。 yt ( n ) 证明：在每一个吼，= 1 ，2 ，上，u 在足上有一个插值函数u ：，满足 | | “一“：l h ( n 。) c h d f l l o 。 如果n 是一般区域，则上式显然成立。如果n 包含角点，见 2 6 定理5 l 。 设。定义在n ，且u k = u ：。因为u gy “- ( n ) ，所以下面作w ，使得 u + v “，( n ) 。 6 。的作法如下：在r 。上，w 在m o r t a r 边m 。上为零，在非m o t t a r 边6 z n 上由 下式决定： f 妒d s ： ( “l m 。一“1 6 、) 妒d 5 v 妒埘j i ( 6 z 。，只) 。 对其它的点，。：0 。把”在n 上作零延拓。为方便起见，假设n t 只弯- 二条 矗o r i 。边r ，且与非m 0 r t ”边对应的子区域为吗。设记号z 为等价关系。则 1 w 1 ft ，一h 1 2 , 21 w w 因为 z m 2 t c f z l 2 去吾k 陋“2 茎e 却圳) s g 却喵慨引。 “j u i l l i ：( r ，) 5c h i ( 1 1 u 一“j | 1 备- ( n ，) + 5 1 u u t l i 备z ( n 。) ) 。 又因为。与f j w lr ，在n 上等价，所以 酬；n 一 g ；n c ；，n e 嘲2 l f 川0 2 口 g 碉3 。 所以 。y i n f j 1 “一圳峨。( n ) s1 1 u - 4 1 1 日 ，( n 州日j 。 g 屯f i ，1 1 0 。 引理2 3 2 设满足定理弘3 剀的条件，则 s u p w h 旧、咝i 淌i 意型鲫川刑o 。 v 6 t ( n )w t h ：i ( n ) 7 证明：由一般的p 1m o r t a r 元即得。见 2 7 。 定理f 2 32 ) 的证明：由第二s t r o n g 引理得： |“一面iljhi。(。)c。矿in。f，(。)11“一”j1ha。(n)+。su，p、(。)生塑i鱼：fi掣)。 再由引理( 2 3 1 ) ，( 2 3 2 ) 即得。 引理2 3 3 设满足定理俾3 剀的条件，则 |u一面|o,n- 0 是与k 无关 e h l ( “，面，妒，妒 。) = ，( “一面，妒妒h 。) 一e h ，( “，妒 ，) + e h ，( 妒，砑) 驰，”) = 蚤n 上。础。 证明：设v g 上2 ( n ) ，p 是下列问题的解， f a v = g 在n ， l 口= 0 在a n 。 则妒存在唯一且妒h 护( n ) ，并且目，n c l l g l l o n ，所以 ! i “一面l i 。，n g 。；s 。u ：p 。，掣 剑州s u p 紫。 由g r e e n 公式 ( u 一面i ，一妒) = a h ( “一可，妒) 十e h ( 垆，u 一面i ) ， 又因为 a h l ( “一砺，妒 ) + e h ( “，妒 ，) =0v 妒 ，v “2 ( n ) 及 e h 。( 妒，“) = 0 ， 可得证。 8 定理2 3 3 设满足定理俾，3 纠的条件，则 i “一砺“0 ，n e ；“j f 2 口，n 。 证明： e h 。( “，面，妒，妒h 。) = d 盯( u 一面，妒一妒h 1 ) 一e h ；( t 正，p h 。) + e h ，( 妒，丽) = j 1 + j 2 + j 3 ， 由妒h ，的任意性，不妨取妒h 。= 妒，其中i i 是瑶4 ( n ) 到y “。( n ) 的插值，则 n 。 。( u 一瓦妒一妒 。) 茎c h 一瓿h h 。胁一k h h ， k = 1 n 茎c 镰h n ；训妒北阳t k = l k = 1 c h ；恤恢口，n 。j f 妒k 成n t 。 对如，有 e h 。c 。，妒：嘉上裳【妒叫幽。 。( u ，妒h 。) = 芝。，j i 【妒h 。j d 5 。 取妒坞i n 1 ( ，最) ， 上。鼢刈a s = “爰刊( 一n ) s + 。菇最，l ；赛刊h ：c 一慨m 咄m 2 n z n s c h 川翱删2 ( r 训慨，。一眠一b ，2 ( ) ， 妒h 、m l p 。，。d l h ，。( r m 。 l f 妒 一妒h ，m i l 日- 2 ( r m 。) + i l 妒 。一妒h ，n 1 1 日，：( r g ( ，m 妒h m l 2 ，口，n 十k ，。 妒h ，。5 1 2 ，芦，n ) 。 对r 求和即得。对j 3 ，同理。所以定理成立。 9 3c a s c a d i c 多重网格方法 3 1 理论框架 在本章中将用c a s c a d i c 多重网格方法对前面给出的离散问题进行求解。 定义s 1 1 j u i o p ，n = ( 如乒；2 t 2 ) 。 由第2 章中给出的m o r t a rp t 元离散格式 a h 。( 硫，口) = ( ，u ) v y k ( n ) 。 其中 n ， 州u ，”) 2 三五。u u v v d z = 1 ( ，”) 2 工，础。 其余对d h 。，n 的假设同第2 章，设，三2 ( n ) ，并且原问题的解u 丑2 ，4 ( n ) ，且有 如定理2 3 2 ，2 3 3 的误差估计结果。对这样一个离散问题，可以用c a s c a d i c 多重 网格方法对之求解，下面的讨论将采用石钟慈与许学军的框架。 记珏2 为q 上的第 层网格，对，f 的假设同第2 章，因此不仿统一记为 h 2 。网格加细同第2 章，并且在每层上定义m o r t a rp 1 元空间= v “，其中l 是 层数。则每层上的有限元逼近为 a l ( u l ，啦) = ( ，饥) c v k ， ( 316 ) 其中a l ( ，- ) = a h ，( ，) 。记能量范数 m f _ ( a l ( v ，口) ) ；，咖， 由。小，。) 的性质可得，川为与i i f f 日 ( n ) 等价的范数，即 c l j ”1 1 日 f n ) i i l 口z e i i u i h i n ) ， v v ， 其中c 和c 与h z 无关，因此本章中均用f i i z ，而h ! 的性质对之仍成立。 下面先给出三个假设： ( t t l ) 存在网格转移算子五：磁一，一k ( 1 ) 一i z 1 l o ，n c l l 口1 1 ，h j 一， v v k 一1 ， ( 2 ) 恤一五“z 一1 nsc 砰u l l o ，n ，u l 为f 层上的有限元解， ( h 2 ) 对选定的l 层上的迭代算子c z 。：m 一，存在线性算子噩：一v l ，使 o 。u ? l 1 甲( u j 田) 1 ，其中m l 为第j 层上的迭代次数，且有 1 0 ( 1 ) 丁v l c 各忡i i o ，呐n ， v u ， ( 2 ) 甲v i l l i i i l v l v v ， 其中一为由所选择的迭代算子决定的正常数。 ( h 3 ) 存在投影算子蜀：k 一14 - 一，使a l ( b “，口) = a l ( u ， ) ，咖m ，且 ( 1 ) i 1 一p f v l l o ，一口，nsc h d h ，h 。，v u 一1 。 注3 1 1 上面的假设俾j c s j ，f s s 砂p ，与石钟慈与许学军的框架有点不同，但是 在三个假设下定理阳j j 也是成立的。 对二阶奇性椭圆问题的c a s c a d i c 方法迭代的算法如下： ( 1 ) 令u 8 = u ；= u 0 且 u ? = i t u i _ 1 ， ( 2 ) 对l = 1 ，l 进行迭代 u r c z ，。u ( 3 ) i = “ya 得到的u ? 被称为第f 层上的c a s c a d i c 逼近解。 根据吼称一个上层c a s c a d f c 方法在能量范数l 意义下是最优的，当 且仅当它满足 川f f u l “：f u u l i i ，吣r 口1 、 1 工作量= o ( n l ) ，n l = e l i m y l ， “叫 其中“是问题( 2 1 3 ) 的真解，“l 为第三层上的有限元解。如果迭代工作量仅能 满足工作量= 0 ( n l l o g n l ) ，则称该方法是拟最优的。 若设正整数m ? ( 0s1 上) 为满足下式的最小正整数 其中常数e l ，r n l 表示最细层三层上的迭代次数。石钟慈与许学军的在论文1 2 3 中，证明了对于满足假设( h 1 ) ，( h 2 ) ，( h 3 ) 及m f 满足( 3 1 8 ) 的c a s c a d i c 迭代法， 有如下定理 定理3 1 1 在假设( h i ) ，( h 2 ) ，( h 3 ) 下，若m l 满足( 3 1 8 ) ，则 一吲忆 詈蒜缈m 薹 其中常数c 与h s , 和三无关。而c a s c a d i c 方法的计算复杂度满足 薹l 哪r s 1 = 挑e 其中d 为空间n 的维数。 1 1 ( 319 ) ( 3 1 10 ) 3 2 对= 阶奇性椭圆问题的最优c a s c a d i c 方法 在卒节中将给出一种c a s c a c f i c 算法，它对于本文中二阶奇性椭圆问题的的 m o r t a rp 1 元方法是最优的。 定义3 2 1 算子。6 ：三2 ( 5 ) 一w o ，1 ( 6 ，r ) 如下： u = 玩6 u 。 满足 z ”x 幽= z u x 如， v xe “d ，只) 。 由1 5 可以知道i ，5 的定义是合理的，且对于三2 和础是稳定的，即 l i ，5 u 6sc l l l l o ，6v u 工2 ( 5 ) ， 慨，6 u 吣sc 1 u l h ，5v u 瑶( 6 ) 。 定义3 2 2 网格转移算子厶：一1 一v 2 ，i = 2 ，j 如下： u = “+ 5 ( “) 。 其中 a u ( 醒) = 等i “舻一u m 。幻羹喜筝6 6n 丽m 忙 n _ m 陋1 表示6 的非m o r t a r 边的子区域。 引理3 2 1 对p 1m o r t a r 元，网格转移算子五满足仲，。 证明：( h 1 ) 中的第一式证明见 1 5 引理5 1 下面证( h 1 ) 中( 2 ) 式，设“是方程( 2 13 ) 的解，则 u l 一五u f 一1 【_ o ，ns f i u 一蛳i i o ，n 十| | u 一叫一1 | f o ，n + u l 一1 一l l u l 一1 f t o , n sc h t 2 i i f l l o ，n + 匕州e f ，6 u l 一1 n 。 因为 f f e f 6 一1f i o ，n 所以 茎c h z ( i u c h z ( i “ 6 刘钆6 “z 一1 n sc h d u q 1 , 1 1b i c h t 2 i i f l l o , n 。 ) 帮“ v 一川 一 u u 一 一 um 。 一 ”v j q o毗 得证。 记第l 层上的p 1m o r t a r 元空间上的基函数为截，1 i 尬，则对v ” v z ( a ) ，有”= 骂截，m z 是第l 层p 1m o r t a r 元的维数。记 其中 a z = a t ，1 ，1 a l ，2 ，1 a z ，1 ，2 a l ，2 ，2 a t ，1 ，m a t ，2 ，m a f ，m j ，1a t ，m ，2 一a z ，m f ，m a 。，j = o k ( 截，截) 。 记对是a 的最大特征值。 v v v 。( n ) ，v ，l 2 ( n ) ，记 其中 m =毋= ，l ，= ( ，彬) 。 1 2 ，f m ( ”，”) e = ( ，m ) e = 璺k ；m p n v l l e ：i t , l l e = ( 答略m ，。) ， i i i v ：h i e ：( a f m ，) ；1 ：a ( ”，”) = ”z 。 有了上面的记号，则l 层上的离散变分问题等价于下式： a = f f 。 同时，可以将c a s c a d i c 算法写成如下形式 c a s c a d i c 算法 1 w = a f t lf 0 ； 2f o rf = 1 一工d o 1 3 v z = i k 二1 ； p u tw = s t ( a t ，最，m i ) ； e n d 其中丑为网格转移算子，& ( 山，蜀，m f ) 表示第f 层上的迭代，迭代次数为m 1 次。本文将使用共轭斜量法( c g 方法) 作为迭代方法，并证明该方法是最优的。 引理3 2 2c g 方法满足条件但纠，并且= i 。 证明：v ”v ( q ) ，由c g 方法的能量最小性质 2 1 j 可以知道，对于任何线形算 子噩， l l i z rr s f g ( a t ，f c ，m ) e 。 由s h a i d u r o v 的结论 2 1 ，存在线性算子正使 i l ；t 7 e s 熹e = 蒜i i e ， 甲5 v i i h es e = | | i v l l l t 。 其中”表示a z 的最大特征值。因此，为了证明( h 2 ) ，只要证明 ( a ) a sc ，c 与嘞无关，( b ) j e c 町1 川i 。，一p ，n ( 32 1 1 ) ( 3 2 1 2 ) 即可。 先证( a ) ，设”= 哟+ ”r ，其中蜘为内部节点基的线形组合，记这些基的集 合为垂o ，设v r 为m o r t a r 边和l l o t n o r t a y 边的两个顶点的基的线形组合，记这些 基的集合为圣r ，则 其中 ( 4 ，) e = o ( ，u ) 2 ( n ( 口o ， 0 0 ) + a ( v r ，”r ) ) a ( v o ，”o ) =a ( v t ，i 。，j 奶) 4 , 1 ，“m o a ( m ，i 妒i ，i 也) n ( ，奶，j ，) ； 壬；，币j 垂o c ( m ，妒 ，m ，k 妒) 机壬o s c j ， 蚓； ， 由【15 中引理( 4 5 ) 的证明可得 a ( v r ，) sc i ，k 蚓i h 6 , 1 1 r 1 4 n i i e x , 寸机壬。f ，氟，兰c ( v 。y v l , k ) ，对慨圣r ，设该基在7 上，则 1 ， k i ； h l s c ( 气。，k ) ， ( ，k 币k ) b h 曼c 町2 ( m ，k e k ) l g ，n ， sc i 1 i q ，f ( ，k k ) l g ， c 危i 1f ，k 妒kl g ，7 c ( k 夏，) 。 综上所述，即得 ( a l ，v t ) e c ( ，k ) e 。 ( 3 2 1 3 ) ( a l ，c ( ，皈) e 。 l 。上oj 由砺的任意性，所i ；1 ”c 。 其次证( b ) ，v k 丑( n k ) 因为 艰删刍c l l v l l g ，k ， 所以 s c 霄i l v l l g ，k k c 町2 壬口( ) i i ”l l g ，k k c 町2 i i t , l l g ，一目，n 。 得证。 引理3 2 3p f 满足俾剀。 证明：设。v ( n ) ，则存在f 日矽( q ) ，使得 f 一= i 2 ( u p 2 v ) 在n ， 1 =0在a n 。 由g r e e n 公式 l l ”一p f ”憾一p ，n = ( 咖i 2 ( 。一p i ”) ，口一p f ”) ；。“和一蜀”，一蚤nz 。豢础+ 三n 上。豢最础 二 。k ( f ， 一尸f ”) 一e h ，一，嬉，”) + e h ( f ，蜀 ) 。 因为 ( ，”p f ”) i = ( 一，”一p f ”) 1 sg ! 一引1 ，n l 口一旦u i l ，n c h t 蚓i2 ，口1 ， f l c h , i i 口一p f 口一口，n 川1 ，h l - l ， 类似前面误差估计的证明 所以 得证。 e h 。( f ，u ) l 茎c h l l l 口p i o ，一口，n 1 ，h 。， e h 瓜，p f u ) f c h d v 5 ”l f o ，一口，n f 蜀u b ， c h z l l t j p f , h o ，一目，n 川1 ， 。 口一日一口，n c h l l v h ，h 一。 1 6 4 数值算例 本节给出一些数值计算的结果，这些结果将从实践上说明本文的结论。设区 域n = 0 ，1 l 0 ，1 u 一1 ，0 1 【0 ，1 1 u - 1 ，0 - 1 ，0 分成1 2 个子区域：n i ，i = 1 ，2 ，1 2 设交界边上有一条线的设m o r t a r 边，另一条边为n o m o r t a r 边。如下： 0 虽然上面子区域的划分不满足奇性点只包含在一个子区域上，但是仍然可以 计算。 设u = ( 1 一x 2 ) ( 1 一y 2 ) r ；s i n ；目，用u 求出，后，采用第3 章的c a s e a d i c 算 法，用c g 迭代法为每一层上的光滑子来计算c a s c a d l c 近似解，并使每层上迭 代次数为上一层上的一半，可得到如下结果。 d 0 f l “l 一钍1 1 ， i i “l u l l 0 n 2 1 0 8 00 0 6 6 0 5 90 0 0 5 0 5 6 8 4 3 8 400 3 2 8 2 60 0 0 2 2 5 5 3 3 7 7 1 20 0 1 6 0 3 30 0 0 0 8 0 2 1 3 5 1 2 4 80 0 0 8 2 0 40 0 0 0 2 9 8 表1 ：l = 4 ，m l = 6 4 ，m 5 = 8 时的结果 d of 表示最细层上总的自由度，即所得线性方程组的阶数； 1 7 d o f j 毗一uj 1h j j u 二一t 上j 1 0 ，n 2 1 0 8 0o 0 5 7 9 6 00 0 0 2 1 4 0 8 4 3 8 40 0 2 9 8 3 90 0 0 1 3 7 1 3 3 7 7 1 200 1 5 2 0 80 0 0 0 6 2 4 1 3 5 1 2 4 800 0 7 7 6 60 0 0 0 2 2 2 表2 ：l = 4 ，m l = 1 2 8 ，m 5 = 1 6 时的结果 d o f i u l 一“j 1 ，hj l “l u l f o ，n 2 1 0 8 00 0 5 6 5 9 20 0 0 1 3 6 6 8 4 3 8 400 2 8 6 5 40 0 0 0 5 7 7 3 3 7 7 1 2 0 0 1 4 7 3 10 0 0 0 3 6 4 1 3 5 1 2 4 800 0 7 6 3 20 0 0 0 1 7 8 表3 ：工= 4 ，m l = 2 5 0 ，m 5 = 3 2 时的结果 参考文献 1 y a c h d o u ，y a k u z n e t s o va n d 0 p i r o n n e a u s u b s t r u c t u r i n gp r e c o n d i t i o n e r s ，0 rt h eqj m o r t a re l e m e n tm e t h o d sn m n e r m a t h 1 9 9 5 v 0 1 7 1 ：4 1 9 - 4 4 9 2 j cb e r n a r d i ，y m a d a ya n dg s a c c h i l a n d r i m f i n o nc o n f o r m i n gm a t c h i n gc o n d i t i o n s ，d rc o u p l i n gs t e c t r a la n df i n i t ee l e m e n tm e t h o d sa p p l n u m e r m a t h ，1 9 8 9 ，v o l5 4 ： 6 4 、8 4 3 cb e r n a r d i y m a d a ya n da t p a t e r a 且n e wn o n c o n f o r m i n ga p p r o a c ht od o m a i n d e c o m p o s i t i o n ：t h em o 订a t e l e n l e n tm e t h o d s 1 1 1 ”n o n l i n e a rp a r t i a ld l i f e r e n t i a le q u a t i o n s a n dt h e i ra p p l i c a t i o n s “h b r e g i s jl l i o n s ，e d s n u m b e r2 9 9i np i t m a nr e s e a r e hn o r e s i nm a t h e m a t i c ss e r i e s n e wy o r k ：l o n g m a ns c i e n t i f i c & t e c h n i c a l 1 9 9 0 ：1 3 5 1 | 4 d b r