数学方法论论文 数学归纳法在中学数学中的灵活使用.doc

研究生课程论文论文题目 数学归纳法在中学数学中的灵活使用 课程名称 数学方法论 专 业 学科教学（数学） 年 级 研一 学 院 数计院 日期(年月日) 2014年1月14日数学归纳法在中学数学中的灵活使用摘 要：本文主要从数学归纳法的整体结构出发,对数学归纳法的原理与方法、理论与应用进行分析,并介绍了数学归纳法在解决几何证明、数列证明、不等式证明和数的整除证明等方面的灵活运用，目的是通过应用数学归纳法解题从而培养学生的运算能力、观察能力、逻辑思维能力和解决综合性问题的能力。关键词：数学归纳法；中学数学；问题分析每一个数学研究工作者都必须精通某些微观的数学方法论，才能有效地开展科研工作，获得丰硕成果。教师们也必须熟知这些方法论才能实行启发式教学法。下面就让我来介绍数学归纳法在中学数学中的灵活使用。数学归纳法是数学中一种证明与自然数 n 有关的数学命题的重要方法，是通过有限次的验证、假设和论证来代替无限次的事例的验证，从而达到严格证明命题的目的，也就是把从某些特殊情况下归纳出来的规律，利用递推的方法，从理论上证明这一规律的一般性。合理地运用数学归纳法解决问题是中学数学教学中的一个重要内容。首先我们来看看数学归纳法的基本原理，数学归纳法来源于皮亚诺(peano)自然数公理，自然数有以下性质：(1)1是自然数字；(2)每一个确定的自然数,都有一个确定的后继数,也是自然数；(3)1不是任何自然数的后继数；(4) 一个数只能是某一个数的后继数,后者根本不是后继数,即当的时候一定有； (5)任意一个自然数的集合如果包含1，并且包含，也一定包含的后继数 ,那么这个集合包含所有的自然数。性质(5)就是数学归纳法的根据。数学归纳法原理的形式有很多种,在此我只给出与中学数学内容有关的形式及其变形,并揭示它的逻辑结构。形式：设 p(n)是关于自然数 n 的命题，若p(1)成立；nN，若 p(n)成立p(n+1)成立,则 p(n)对 nN 都成立。变形:设 p(n)为自然数 n 的命题，若成立；nN，若 p(n)成立p(n+1)成立。则 p(n)对 nN,都成立。根据数学归纳法原理的形式,我们在证明有关的自然数命题时可相应地按照以下两个步骤来进行:验证 p(1)是成立(奠基步骤)；假设 p(n)成立，导出 p(n+1)也成立（归纳步骤）；由、可知 p(1)对 nN 成立。这就是数学归纳法的最基本的形式,通常称作第一数学归纳法。数学归纳法的中心思想是:用有限次的验证和一次逻辑推理,代替无限次的验证过程,实现从无限到有限的转化。学生学会了数学归纳法,意味着既掌握了一种证明方法,可以解决很多以前他们解决不了的问题,又开拓了知识领域。但在利用数学归纳法证明的过程中,不仅会遇到各种技巧上的困难,而且即使学生具有应用数学归纳法的技巧,也常常不能真正理解它的含义。因此,数学归纳法是一个教学难点,在中学数学教学中应给予足够的重视。下面我们就来看看数学归纳法的灵活应用：一、解决几何问题可应用数学归纳法用数学归纳法证明几何问题的关键是: 由“n=k 时命题成立”,到“n=k+1 时命题成立”。应理解为由 k 个几何元素又增加了一个元素到k+1 个,要找出增加的元素与原来的 k 个几何元素的关系及其引起的几何元素的变化,找到 f(k+1)与 f(k)的关系。例 1：平面上有 n 条直线,其没有两条平行,也没有三条直线交于一点,求证这 n 条直线共有个交点。证明(1)当 n=2 时,命题成立；(2)假设当 n=k(k2)时,命题成立。即 k 条直线有个交点。当n=k+1时,增加了一条直线,由于没有两条直线平行,也没有三条直线相交于一点, 所以新增加的直线与原来 k 条直线各有一个交点,就是比 n=k 条直线时增加了 k 个交点,即 （即(f(k+1)=f(k)+k) 就是当 n=k+1 时,命题也成立。由(1)和(2)知,对任意自然数 n,命题都成立。二、 求解数列问题可借助数学归纳法由于数列与自然数有直接的联系,因而,在数列问题的证明中常常用到数学归纳法的方法进行证明。例2：已知数列的通项公式，数列的通项满足。证明。证明：，（1)当 n=1 时,成立；（2）假设，则 =即 n=k+1 时命题成立。由(1),(2)得。三、 证明不等式可妙用数学归纳法用数学归纳法证明不等式,在将 f(k)过渡到 f(k+1)时,为了利用归纳假设,在变形中常用替换法放大(或缩小)不等式。例3：证明对于 的自然数,有。证明：(1)当 n=5 时,左边 =32,右边 =25,不等式成立。(2) 假设当 n=k(k5)时,不等式成立,即 ，当 n=k+1,有 ；而又；即当 n=k+1 时,不等式也成立。由(1)和(2)知,不等式成立。 这里我们是先形成不等式的一边(大的一边),再将另一边(小的一边)通过用替换，再用替换进行放大(根据题的需要也可先形成小的一边,缩小大的一边),利用了归纳假设。在证的过程中,也可先从出发进行分析,然后再综合证明。采用分析法是数学归纳法常用的思考方法。4、 证明整除性问题可利用数学归纳法 证明整除性问题,在从 f(k)过渡到 f(k+1)时,一般的“变形”是将 f(k+1)变化表示为 f(k+1)=g(k)f(k)+h(k)的形式(必须变为这种形式,才能利用归纳假设),由归纳假设知 g(k)f(k)能被整除,关键是 h(k)也能被整除。 例4：用数学归纳法证明是64的倍数。 证明：（1)当 n=1 时，原命题成立。 （2)假设当 n=k(k1)时,原命题成立,即； 当 n=k+1 时，； 变形 由归纳假设知 是 64 的倍数,（这里一定要用归纳假设),又64k+64=64(k+1)也是64的倍数。 即当n=k+1 时,原命题成立。 由(1)和(2)知,对任意自然数 n,原命题成立。总之,数学归纳法的应用比较广泛,可以讲凡是关系到自然数的结论都可以用它来验证。在中学数学教学过程中,教师应当给学生指出采用观察猜测论证的方法来解决问题；并且在学生做了一定的练习之后，上一堂错误例分析课，可促使学生更好地掌握数学归纳法。学习和应用数学归纳法能够培养学生的运算能力、观察能力、数学化能力、逻辑思维能力和解决综合性问题的能力。另外,它也是初等数学与高等数学衔接的一个纽带，是初等数学中非常重要的一部分。参考文献：1