（理论物理专业论文）均匀与非均匀zrp的凝聚现象.pdf

学位论文独创性声明 本人郑重声明： i 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究 成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构 已经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示 了谢意。 作者签名：! 宣i ! 盏 日 期： ! 土! f ! 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 作者签名：鲎 生蕴 日 期：d 五上! 翌 南京师范大学硕士毕业论文 摘要 摘要 本文描述了一维零程过程( z e r o - r a n g e p r o c e s s 简写为z r p ) 模型中的凝聚，并 且对粒子在一维z r p 模型中的动力学行为进行研究与讨论。 首先讨论了在一维z r p 模型中，粒子按照不同动力学规则运动的分布情况。 数值模拟得到系统中粒子分布。粒子分布随时问逐步演化直至相对稳定，得到在 不同时刻的粒子分布。我们引入了一个新的参量局域化系数 来度量系统粒子分 布的局域性，据此对系统中粒子的局域性进行了讨论。数值模拟了在随机动力学 规则下的局域化系数随粒子密度的变化关系，得到临界密度，结果与解析得到的 系统临界密度相符。数值模拟了在不同的动力学规则下的局域化系数随粒子密度 的变化关系，得到了临界密度，并进行了比较。 其次介绍了利用正则系综和巨正则系综分析的方法来研究单杂质一维z r p 模型。在单杂质一维z r p 模型中，我们通过数值模拟计算局域化系数，得到了 系统的临界密度与解析的理论结果相符。在单杂质一维z r p 模型分析的基础上， 推广为多杂质一维z r p 模型。在多杂质一维z r p 模型中，利用巨正则系综的方 法解析的求解临界密度，同样进行数值模拟，得到的系统的临界密度和解析结果 相符。 关键词：z r p 模型；凝聚； 临界密度；顺序动力学规则；并行动力学规则：随机动力学 规则；局域化系数孝； 南京师范大学硕士毕业论文 摘要 a b s t r a c t w ei n t r o d u c eao n e - d i m e n s i o n a lz e r o - r a n g ep r o c e s sm o d e l ( z r p ) a n dd y n a m i c s t od e s c r i b et h ec o n d e n s a t i o n f i r s t l yp a t i c l ed i s t r i b u t i o ni n z r pm o d e lw i t hd i f f e r e n tu p d a t 王n gr o l e si s d i s c u s s e d i nt h ec o u r s eo fs y s t e mg e t t i n gs t a b l e ，w eg e td i f f e r e n ts y s t e mp a t i c l e d i s t r i b u t i o na td i f f e r e n tt i m e an e wp a r a m e t e r 孝i si n t r o d u c e da n dd i s c u s s e d a n db y u s i n gt h el o c a lc o f f e c i e n t 参w ec a ng e tt h ec r i t i c a ld e n s i t yw h i c hi sa c c o r dw i t h t h e o r e t i c a l l yc r i t i c a ld e n s i t yw i t ham e t h o do f n u m e r i c a ls i m u l a t i o ni nt h es y s t e mw i t h r a n d o mu p d a t i n gr o l e w ec o m p a r ec r i c i t i e a ld e n s i t yw i t ham e t h o do fn u m e r i c a l s i m u l a t i o ni nt h es y s t e mw i md i f f e r e n tu p d a t i n gr u l e s e c o n d l yw ed e s c r i b ep a t i c l e si n ao n e d i m e s i o n a lz r pw i mas i n g l ed e f e c t s i t e ，t h es y s t e mi sa n a l y s e di nt h eg r a n dc a n o n i c a la n dc a n o n i c a le n s e m b l e s i na o n e d i m c s i o n a lz r p ，w cg e tc r i t i c a ld e n s i t yw i t ham e t h o do fn u m e r i c a ls i m u l a t i o nb y u s i n gt h el o c a lc o f f e c i e n t w es t u d yt h es y s t e mw i t hm a n yd e f e c ts i t e so nt h eb a s i so fa o n e - d i m e n s i o n a lz r pw i t ha s i n g l ed e f e c ts i t e w ec a l lg e tt h ec r i t i c a ld e n s i t yw i m a m e t h o do f n u m e r i c a ls i m u l a t i o nb yu s i n gt h el o c a lc o f f e c i e n t 毒 k e y w o r d s ：z e r o r a n g ep r o c e s sm o d e l ；c o n d e n s a t i o n ；c r i t i c a ld e n s i t y ；o r d e r e d u p d a t i n gr u l e ；p a r a l l e lu p d a t i n gr u l e ；r a n d o mu p d a t i n gr u l e ；l o c a l c o f f i c i e n t 善； 2 南京师范大学硕士毕业论文 刖舌 颗粒物质，如沙子、面粉、谷粒等，一般指的是其线度很小的大量固体 颗粒的聚集体。颗粒物质有着广泛的应用领域，如生物、药理学、化学工程、食 品和农业等，它还和火山爆发、沙丘的形成、陆地侵蚀和滑坡等环境科学有着紧 密的联系。近二十年来对它们物理性质的研究，引起了物理学工作者的普遍兴趣 和关注。一方面，很多传统的物理系统的性质可以用颗粒物质所表现出的特性来 描述；另一方面，实验上已经发现颗粒物质具备许多其它物质所没有的奇异现象。 在颗粒物质众多奇异的物理现象中，振动引起颗粒的分离以及由于相互作用而聚 集的现象引起了不少物理工作者的兴趣与关注。 颗粒物质由大量固体颗粒堆积而成，且颗粒由于摩擦具有能量损耗，所以传 统的平衡态统计方法已无法应用，随着计算机性能的不断提高和处理数据速度的 不断加快，计算机为模拟颗粒的运动及分布情况提供了比较精确的手段，能很好 地计算出粒子数密度、粒子分布、粒子堆集和集团的形成、冷却态、稳态的形成 等；而动力学或是流体力学( h y d r o d y n a m i c s ) 方法可以很好地研究颗粒的速率分 布、颗粒间的能量交换、热对流、热扩散的形成，以及力、热、电等在颗粒之间 的传播。如果研究的颗粒数目巨大且无需考虑到具体每一个粒子的运动情况，那 么用非平衡态统计的办法是简单而有效的。因此提出了很多替代模型，其中z r p 模型是最简单的一种，它能够定性的给出颗粒物质的某些特性。本文以计算机为 计算手段，用动力学的方法研究颗粒物质不同状态的变化问题。 本文针对在z r p 模型中的凝聚现象，并且对粒子在一维z r p 模型中不同的 动力学行为进行讨论与研究。 论文第一章讲述了我们的研究背景，介绍了z r p 模型及其运用，并且还介绍 了相变和临界现象概念及基本知识。 论文第二章讨论了在一维z r p 模型中，粒子按照不同的动力学规则运动的 分布情况。在随机动力学的一维z r p 模型中，可以解析得到系统的临界密度。 粒子单向运动和双向运动得到的粒子分布图都一样，本文以单向运动来研究，系 3 南京师范大学硕士毕业论文 统经过长时间不再发生变化，我们称系统达到定态。系统达定态后，粒子会逐渐 集中，但不会全部集中到一两位置中，且粒子多的位置不是固定不变的，所以所 谓定态是一个运动的定态。用来度量系统粒子分布局域性的参数f 的值稳定在 o 3 1 0 之间，所以稳定时系统处在一个相对局域态。并且数值模拟得到局域化 系数随密度的变化。发现系统达到定态时，随着密度的增大系统的局域性越高， 并且密度达到一定值时，局域化系数趋于1 就不再增大了。在并行动力学的z r p 模型中，我们仍然以粒子的单向运动来研究。系统达定态过程中，f 逐渐变大， 最后趋近于1 ，系统完全局域化。在顺序动力学z r p 模型中，仍然以粒子单向运 动为例。经过计算，得到了与在并行动力学的z r p 模型一样的结果，不管是定 态时的粒子分布，还是系统的局域性。与之不同的是，系统达到定态时的时间不 一样。 论文第三章在描述单杂质非均匀系统中的一维z r p 模型上，推广为多杂质 的非均匀系统的一维z r p 模型。并且通过局域化系数对单杂质的非均匀一维z r p 模型进行数值模拟，得到的结果和理论相符。多杂质的一维z r p 模型根据单杂 质一维z r p 也可以解析的求解临界密度，同样数值模拟了局域化系数随密度的 关系，得到了系统的临界密度。 最后对本文及所做的工作做了一个总结，指出工作中的不足之处，提出了一 些尚未解决的问题，需要我们在以后的工作中逐步解决。 4 南京师范大学硕士毕业论文第一章基本概念与背景 第一章基本概念与背景 1 1 颗粒物质及其聚集现象 颗粒物质，如沙子、面粉、谷粒等，一般指的是其线度在l l m a 1 0 的大 量固体颗粒的聚集体。由颗粒物质组成的系统，通常具有以下几个特点：l 系 统由大量个体颗粒组成；2 颗粒间的相互作用纯粹是经典的；3 粒子间只有在 相互接触时才有相互作用；4 粒子间的碰撞通常是非弹性的【”。 颗粒物质有着广泛的应用领域，如生物、药理学、化学工程、食品和农业 等，它还和火山爆发、沙丘的形成、陆地侵蚀和滑坡等环境科学有着紧密的联 系。近二十年来对它们物理性质的研究，引起了物理学工作者的普遍兴趣和关 注。一方面，很多传统的物理系统的性质可以用颗粒物质所表现出的特性来描 述，如沙滩的雪崩( a v a l a n c h e ) 可以被用来描述第二型超导体中磁通线的运动； 振动沙子的慢弛豫现象与玻璃和自旋玻璃( s p i ng l a s s ) 中的慢弛豫现象相类似；颗 粒物质的崩落现象与超导中的涡旋运动相似【2 1 ：在颗粒物质中发现的非线性现 象同半导体中的击穿( b r e a k d o w n ) 、微观摩擦中的钉扎滑动( s t i c k - s l i p ) 现象及宏观 的地震现象相类似【3 】：从沙堆的抽象模型中发现的自组织临界性( s e l f - o r g a n i z e d c r i t i c a l i t y ) 被发现存在于自然界的很多现象中【4 1 。另一方面，实验上已经发现 颗粒物质具备许多其它物质所没有的奇异现象，如沙堆存在着临界休止角和最 大倾角现象【5 1 ，颗粒物质内部静摩擦力随高度的非线性变化以及突然减小6 1 ，力 链的传播 7 1 ，在垂直激励下的表面隆起和内部对流现象以及多个无相互作用的孤 立子形隆起的产生【引，声传播反常【9 】、表面斑图0 a t t e m ) 的形成【10 1 ，大量颗粒堆 集时底部压力不随高度增加而趋于饱和的“粮仓效应”】，颗粒的大小分离、分 层现象、自组织临界现象2 等。这种系统还表现出与通常的固、液、气体三 态物质不同的性质：如具有类似液态物质的特性，具有一定的流动性( 如雪崩现 象，输运过程，搅拌过程) ，遵循动量方程，但比液态物质的流动性差。液体分 子之间的相互作用为l e r a n d j o n e s 势，而颗粒物质之间只存在碰撞时的斥力，有 别于一般意义下的连续介质，不遵从一般流体所满足的n a v i e r - s t o c k e s 方程；系 南京师范大学硕士毕业论文第一章基本概念与背景 统具有类似固态物质的特性，颗粒与外界存在摩擦力，颗粒之间存在切应力， 但与应变无关，且不能承受拉力的作用；在很强的外界激励下颗粒系统会产生 类似于气体的g a u s s 速率分布，但通常意义下的温度已经不起作用，且颗粒之 间的静摩擦和非弹性碰撞是耗散的；颗粒物质与其它软物质类似，很小的外力 可能使颗粒物质结构产生很大的变形，且这种变形通常表现为复杂的非线性特 性。因此有人称之为物质的“第四态”或“颗粒物质态”【1 】。 在颗粒物质众多奇异的物理现象中，振动引起颗粒的分离以及由于相互作 用而聚集的现象引起了不少物理工作者的兴趣与关注 1 3 , 1 4 , 1 5 , 1 6 , 1 7 】。z a n e t t i 和 g o l d h i r s c h 曾对4 0 ，0 0 0 个初始均匀分布，速度相同的粒子进行模拟，发现在没 有能量输入系统的情况下，颗粒很快堆积成许多高密度的集团i ”】，且与低密度 颗粒有明显分界。即使外界对体系有一定的能量输入，只要输入能量不大于某 个临界值，系统还能产生集团并长时间稳定。只有在外界驱动达到足够强度时， 集团才会发生突然崩溃，颗粒很快扩散到整个系统【b l 。我们知道集团的形成主要 是由于颗粒系统是个强耗散体系，内部存在摩擦和粒子之间的非弹性碰撞，当 粒子堆积时体系的能量降低从而使颗粒集团处于稳定状态，而集团的崩溃主要 来自过大的外界输入能量。为研究振动对颗粒分布的影响，s c h l i c h t i n g 和 n o r m m e i e r 做了一个振动颗粒的实验【l 引，发现当振动频率较大时，颗粒会很快 均匀分布在容器内，振动频率降至某个临界值以下，颗粒分布会发生自发对称 破缺现象，即使颗粒开始时均匀分布于容器内，随振动时间的增加，颗粒的分 布也会一边远多于另外一边，形成密堆积集团。该实验一方面很好地展示了颗 粒物质分布具有不稳定性和非对称性；另一方面我们发现，它与统计物理学基 本理论有密切关系，在体系发生对称破缺时，系统不满足各态历经的等概率统 计原理，系统分布函数趋于平衡分布函数的弛豫时间为旬一o o 。 1 2 相交和临界现象 平衡态相变是体系有序无序两种矛盾的表现，相互作用是有序的起因，热运 动是无序的来源。e h r e n f e s t 根据热力学函数及其导数是否连续变化，将平衡态相 变进行分类，通常研究最多的是一级和二级相变，二级和二级以上相变通常称为 连续相变。一级相变伴随着明显的比容的突变与潜热的产生，并可能出现亚稳态， 6 南京师范大学硕士毕业论文第一章基本概念与背景 如普通的固液气三相的变化，在外磁场中的超导转交等。二级相变中比容连续变 化，没有潜热的产生，体系的宏观状态不发生任何突变，但体系的对称性发生突 变，具有对称性破缺。比热、压缩率、磁化率等物理量随温度的变化会出现突变 或无穷尖峰，如超流q 点) 、没有外磁场的超导转变、气液临晃点、铁磁反铁磁 相变、渗流模型的几何相变等都属于二级相变。二级相变的相变点称为“临晃点”， 在i 临界点附近系统将表现出一系列特殊的性质，如某些热力学量趋于无穷，有很 强的涨落和关联等，这种现象称为“临界现象”。其实“二级相变”、“临界现象”、 “连续相变”指的是一回事。除温度以外，相变还有其它控制参量：如渗流模型中 的占空比、金属绝缘体转变中的电导率等【1 9 郐 2 1 1 。 对于连续相变，1 9 3 7 年l a n d a u 概括了v a nd e rw a a l s 和w e i s s 等人的平均场 理论精神，提出了序参量的概念。平均场理论的基本出发点是由一个“平均了的 场”即“内场”来代替其它粒子对某个特定粒子的作用，从而把复杂的多体问题近 似转化为单体问题，而序参量表征系统的有序程度，通过序参量的变化可以获得 临界点及临界指数。如对于单轴各项异性的铁磁体，可用自发磁化强度矢量m 表示有序程度，而气液相变中可用两相的密度差p - p 。作为序参量，在逼近临界点 时，它们的值连续趋于零，临界指数为口= l 2 。 在平衡态相交统计模型和实验精确测量的基础上形成了描述相交的另一种 概念一标度律和普适性。各种物理体系在相变时可以分成若干个普适类，每个普 适类的临界特性完全一样，存在相同的标度律，区分普适类的主要标志是空间维 数d 和系统内部自由度的数目或者说是序参量的个数n 。这样，只要确定了某 种物质所属普适类，就能知道它的标度律以及所有的临界指数。 另一方面，物理系统离开平衡态后，还可能陷入某种定态的有序或结构状态 中，如流体运动中发生的对流花纹、湍流现象，生物中的自组织现象等，这些有 序状态的形成对于b o l t z m a n n 平衡态统计来说是种高度不可几事件，这种状态的 形成称之为非平衡相变，用原有的平衡态统计原理已无法解释。p r i g o g i n e 把这 些形形色色非平衡相变中出现的有序和结构称作“耗散结构”，它一般具有以下四 个特点： 1 ) 耗散结构发生在“开放系统”中，它要靠外界不断供应能量或物质才能维持， 这与平衡相变中产生的结构完全不同。 南京师范大学硕士毕业论文第一章基本概念与背景 2 ) 只有当“控制参数”( 如流速、温度差、摩擦系数等) 达到一定“阈值”时才能出现。 3 】它具有时空结构，对称性低于达到“阈值”前的状态。 4 ) 耗散结构虽然是不稳定的产物，它一旦产生，就具有相当的稳定性，不被任 何小扰动破坏。 颗粒物质由于本身的摩擦和碰撞都会产生能耗，需外界不断提供能量，因此 也属耗散结构。当它发生粒子占有率的突变时，我们称之为“非平衡相变”。在这 里，我们运用非平衡态统计方法来考虑颗粒物质的“非平衡相变”问题。 1 3z r p 模型介绍及其运用 从系统 2 2 , 2 3 1 中相互粒子作用的研究，得到了微小相互作用如何影响非平衡 稳态的性质。这些系统定义是：粒子在格子上从一个位置随机跳到另一个位置 上，更精确的随机粒子动力学的定义，是在物理背景下激发的。非平衡稳态是通 过在整个系统粒子流( 守恒量) 来描述的。这类系统认为是驱动耗散系统。 因为这些模型表现出来的大量奇特的行为，所以物理学工作者对驱动耗散 系统产生了极大的兴趣。即使在一维，也能出现相变。相变可能是在边界的动 力学或是杂质的引起的。值得注意的是，一维驱动耗散系统的这些性质不同与 一维经典平衡系统。 最近，物理学工作者对描述驱动耗散系统的z e r o - r a n g ep r o c e s s ( z r p ) 模型表 现出极大的兴趣，z r p 模型最早是在1 9 7 0 年由s p i t z e rf 引入 2 2 】作为随机模型 系统，考虑是有限位置。然而，后来很多精确方法都是在无限系统下得到的。 在这里我们考虑的是有限的位置格子系统，在格子中粒子以一定的概率是从一 个位置移到另一个位置，粒子跃迁的概率一般只和离开的位置上的粒子数有关。 在第二章会详细的介绍其有关性质，尽管这个模型简单，但能展现出上面提出 的非常奇特的性质，并且还有另外一个特点是稳态能精确用因子的成绩( p r o d u c t o ff a c t o r ) 形式给定；稳态的简单形式为精确的分析性质提供了便利。下面我们 简单介绍其运用的两个例子。 1 3 1 振动颗粒物质 有大量的颗粒系统和z r p 有关，例如沙堆动力学2 4 0 扪。另外一个例子是最 南京师范大学硕士毕业论文第一章基本概念与背景 近受到大量关注的振动颗粒物质。这些模型是建立在一个容器用挡板平均的分成 l 个部分的实验的基础上，每个挡板是很薄，厚度为h 。容器安装好振动片和装 有n 个粒子，例如塑胶球或是沙粒。系统是垂直振动，粒子从一个隔问跳到另 一个隔间。如图( i ) 图( 1 ) l = 6 个隔间高度为h 。这个系统为周期边界条件，因此粒子 离开这最右边的隔间就进入最左边的隔间反之亦然 这个系统的动力学很明显和z r p 的相似。为了清晰的对应，必须根据在隔间中 的粒子动力学找到在z r p 中的跃迁概率“( ，力对应的形式。在【2 6 ，2 7 】中考虑了“( ) 两种形式和在 2 8 中对他们两种形式进行了比较。 第一种方法是应归于e g g e r s t 2 6 1 可以通过用垂直振动颗粒物质的动力学理论找 到的运动方程获得“) 的解释。针对两维的圆盘，结果为 甜( 胛) = , o n 2 e 一4 ”7 r ， ( 1 1 ) 这里u o 是常数， 是在隔问中的粒子数和a ，给定为 删矿”扩寿( 盖) 2 m 2 ， 依赖于系统的参数：重力加速度：r ，圆盘的半径：p ，弹性系数；爿，振幅；f 驱动频率；q ，每隔间的宽度。 对于定值a 的系统能找到单一隔间包括大部分粒子的一个稳态。在热力学极 限下，哼。o 和l 是固定值，这对应一个相是在一个隔间粒子的百分量为1 。 9 南京师范大学硕士毕业论文第一章基本概念与背景 对l = 2 是二级转变，从粒子均匀分布在隔间中的相和伴随着自发对称破缺。 这个模型首先是l = 2 引入的，但是接着研究了l = 3 t 2 9 】和任意的三【3 ”1 1 显示了在对 l 2 转变是一级的。 第二种方法是应归于l i p o w s k i 和d r o z 2 7 1 ，提出了比e g g e r 更为简单的模型仍 能抓住现象的本质。他们考虑的跃迁概率形式为 咖) 2 号唧( - 石赤而j ( 1 。) 这里乃和一是正的常数，依赖于系统的参数。e g g e r s 的( 1 1 ) 式的根据是粒状 系统的有效温度随着密度的增大而下降。( 1 3 ) 式的描述的动力学是随机的选取一 个粒子，以概率e x p ( - l t o + ( 1 一挖 例) 跳入随机的选取相邻的一个隔问 1 3 2 公车一路模型 z r p 运用的最早的一个例子就是公车路模型3 2 1 。这个模型定义在一维格 子上。每个位置( 车站) 或是空的，容纳了一辆公车( 守恒粒子) 或是容纳了一位 乘客( 非守恒量) 。动力学过程是乘客以口概率到达空位置上；一辆公车以概率 l 向前运动下一个站台，如果站台是空的；如果下一个站台有乘客，公车以概率 向前运动和让乘客下车。公车路模型动力学类似于z r p ：公车相当于在z r p 中的位置和在公车间的站台数相当于在z r p 中的粒子数。公车进入的概率是有 关在离下一辆车的距离的函数。其大意：假如在紧接着有一辆公车1 的站台持续 状态要在平均时间n v 之后才公车2 进入，其中以为公车2 和公车l 的距离，v 稳态时的速度。因此平均场概率是指在邻近的公车1 的位置不被乘客占据的概率 为e x p ( 2 n v ) 从这个概率有效的公车进入离它为n 距离概率可以通过平均两个可 能的概率1 得到； “( n ) = + ( 1 一p ) e x p ( 一, , l n v ) ( 1 4 ) 这个例子表明了局域动力学如何通过“( n ) 的定义产生有效的z r p 动力学。 凝聚现象是指在z r p 的位置上的某单一个位置有限部分的粒子占据，对应 的在两公车间有限的部分的站台数，例如在稳态时公车堵塞和所有的公车同时到 达同一站台! 然而，证明了在因为“( n ) 是指数衰减的，在这个条件下热力学极限 1 0 南京师范大学硕士毕业论文第一章基本概念与背景 下没有严格相交，除非我们采用乘客到达概率旯寸0 尽管在有限系统对九足够 小，明显的凝聚现象就可以观察到。 1 4 本文主要的研究工作 本文描述了一维z r p 模型中的凝聚，以计算机为计算手段，对粒子在一维 z r p 模型中的动力学行为进行研究与讨论。 论文的第二章讨论粒子在一维z r p 模型均匀系统中，粒子按照不同动力学规 则运动的分布情况。数值模拟了系统中粒子分布。粒子分布随时间逐步演化直至 相对稳定，得到在不同时刻的粒子分布。我们引入了一个新的参量局域化系数f 来度量系统粒子分布的局域性，据此对系统中粒子的局域性进行了讨论。数值模 拟了在随机动力学规则下的局域化系数随粒子密度的变化关系，得到临界密度， 结果与解析得到的系统临界密度相符。数值模拟了在不同的动力学规则下的局域 化系数随粒子密度的变化关系，得到了临界密度，并进行了比较。 第三章介绍了利用正则系综和巨正则系综分析的方法来研究单杂质一维 z r p 模型。在单杂质一维z r p 模型中，我们通过数值模拟计算局域化系数，得 到了系统的临界密度与解析的理论结果相符。在单杂质一维z r p 模型分析的基 础上，推广为多杂质一维z r p 模型。在多杂质一维z r p 模型中，利用巨正则系 综的方法解析的求解临界密度，同样我们进行数值模拟，得到的系统的临界密度 和解析结果相符。 南京师范大学硕士毕业论文第二章z r p 模型在均匀系统中的动力学行为 第二章z r p 模型在均匀系统中的动力学行为 2 1 引言 在许多非平衡态系统稳态 3 2 , 3 3 1 中已经观察到凝聚转变【3 4 1 。凝聚转变在不同的 驱动耗散系统中表现出不同的现象。凝聚以从自由流相到阻塞相变f 3 2 】的转变的方 式出现。在交通流模型1 3 5 q a 介绍了阻塞的转变。我们这里的凝聚转变是指粒子 均匀分布在格子系统中到单一位置占据了有些粒子的状态改变。 z r p 2 2 】是简单的模型。表明了凝聚和阻塞相变间的平衡，并提供了凝聚转变 的分析【3 2 3 铂6 1 的理论模型。在模型中粒子在位置间跳跃，粒子的跃迁概率只和离 开位置中粒子数有关。如果随着粒子数的增加，跃迁概率趋向0 或是缓慢趋向一 个有限值，则我们发现有凝聚转变，因为有一个位置格子逐渐占据大量的粒子。 最早在公车一路模型研究了凝聚和阻塞相变的关联。在这个模型中近似的描 述公车的进入概率是随着离下一辆公车的距离而衰减函数。如果这衰减合适慢， 阻塞相变会出现，这时车聚集在成一起变成堵塞和有大量的车道没有车。这个模 型的近似描述和z r p 模型的相似，公车相当于在z r p 中的位置和公车站台数相 当于在z r p 位置上的粒子数。驱动耗散系统可能和凝聚转变有关系，z r p 可以用 来阐明在一维的一般的相变标准3 7 j 引。 z r p 是一个随机模型，在这个模型中有许多不可区分的粒子占据在格子的位 置上【2 2 ，3 4 , 3 9 1 。格子的位置上能容纳任意整数个粒子，在粒子的运动过程中，粒子 以一定的概率跳跃到相邻的位置上，概率只是取决与离开位置上的粒子数。换句 话说，每个粒子相互影响是在同一个位置上的粒子，也就是零程相互作用。z r p 当作经典的非平衡系统【4 0 4 1 1 是因为我们可以选任一个函数作为跃迁概率函数， z r p 已经得到广泛的研究和运用于大量多粒子的系统中f 3 2 , 4 2 , 4 3 1 ，尽管现在有大量 的z r p 的概括和及其延伸【3 9 朋，4 4 】，在本章中我们集中其最原始的模型，也就是在一 维的z r p 和周期性边界条件。粒子的组态更新是在不连续的时间步骤，这里我们 考虑三种动力学规则分别是随机动力学规则，并行动力学规则和顺序动力学规则。 本章通过引入局域化系数，针对这三种不同的动力学规则进行了数值模拟。 1 2 南京师范大学硕士毕业论文第二章z r p 模型在均匀系统中的动力学行为 2 2z r p ( z e r o - r a n g ep r o c e s s ) 模型 2 2 1 定义 z r p 是有许多不可区分的粒子占据在有限或无限位置格子系统的一个模型。 每个格子位置能容纳任意整数个粒子，这些粒子以一定的概率在相邻的位置间跳 跃，粒子的跳跃概率只和离开的那个位置的粒子数有关。 一般的我们考虑有m 个位置，位置标有g = l m 的一维格子和周期性边界条 件。每个位置占据任意整数个不可区分的粒子。这个系统的组态用在每个位置 的占据的粒子数疗。来表示。这个系统的总粒子数为l 和粒子从一个位置跳到最近 邻的左( 或右) 的另一个位置是在粒子数守恒动力学的下进行的。系统的动力学给 定是为跳离位置的跳跃概率如图( 1 ) 。跳跃概率”( n ) 只和离开位置上所占有的粒 子数n 有关。有些特殊的例子如：假设u ( n ) = n 则每个粒子的动力学是相互独立的： 假设n 0 ，u ( n ) = 常数，则一个粒子跳离位置时的概率与在这个位置中占有的粒 子数的无关( 只要粒子数大于零) 。用蒙特卡洛模拟：在“o ) = n 的情况是为随机选 取一个粒子和跳到最近邻的位置上；在u ( n ) = 常数的情况任意选取一个位置和有 单一个粒子跳到最近邻的位置上。 2 2 2 稳态性质 z r p 的最重要性质是可以用因子的成绩( p r o d u c to ff a c t o r ) 来描述的系统的稳 态，这意味着找到系统的组态瓴，甩：优，) 的概率p ( ) ) ，用因子厂( 盯。) 表示为 饥) = 赤垂他) ， f ( n 。) 的表达式为 ( 2 1 ) 南京师范大学硕士毕业论文 第二章z r p 模型在均匀系统中的动力学行为 厂( 儿) = 刀l n = 0 ， ( 2 2 ) 这里z ( m ，三) 是归一化因子，因此具有粒子数为l 的系统下所有组态的概率总和 为1 mm z ( m ，三) = 6 ( z n ，- t ) 兀丘( ) ( 2 3 ) 吩，也，k n = l n = i ( 2 1 ) 和( 2 2 ) 式易得证，我们容易考虑到有关组态概率的细致平衡条件 9 ( ) “仍，) 尸( 刀，刀) = 曰( 甩，) “0 ，+ 。+ 1 ) j p ( 甩1 + 。+ 1 ) ( 2 4 ) u p 把式( 2 1 ) 代入式( 2 4 ) ，消去两边的共同相，结果为( 对n 。1 ) 甜l 刀一j ，t 甩一+ l j ，l 甩一j = “【n 一+ l + l j ，【n 一一1 ) ( ，l i 件l + 1 ) ， 这个等式可以整理为 嘶) 蒜刮州) 筹制， 则可以得到 他) = 等 表明r 2 7 1 式导出( 2 2 ) 式这罩，r o 、：i 。 ( 2 6 ) ( 2 7 ) 2 3z r p 模型在均匀系统中不同动力学规则的计算方法和结果 所谓均匀系统是指每个位置上的粒予的跳跃只和位置上的粒子数有关，与格 子的位置无关，这样我们取“( n ) ：( 1 + 鱼) 的跳跃概率，这里粒子的跳跃满足的 n 动力学规则1 、随机动力学规则：每步骤随机选取一个位置，如果不是空的，其 中一个粒子向右( 或左) 的最近邻的位置跳跃。2 、并行动力学规则：每时间步骤所 有位置上的粒子都以“( n ) 的概率向右( 或左) 的最近邻的位置跳跃。3 、顺序动力学 规则：每一时间步骤为按顺序来更新位置中的粒子的。而非均匀系统是指不是每 1 4 赤 。n d 南京师范大学硕士毕业论文第二章z r p 模型在均匀系统中的动力学行为 个位置上的粒子跳跃都满足同样的规律，还和位置有关。 2 3 1 随机动力学的临界密度解析及数值结果分析 a ) 解析结果 考虑一维格子中有膨个位置，和工个粒子组成的均匀系统，因为4 n ) 和位 置无关，所以厂( 玎) 也和位置无关。我们集中研究的是凝聚现象。可以看出有凝聚 现象的发生是取决于f ( n ) 的渐进行为和a ( n ) 。( 2 3 ) 式的z ( m ，工) 是正则系综的配 分函数。然而，为了更好的理解凝聚现象，采用巨正则系综更为简单。配分函数 为 0 00 0m z ( 竹，z ) = nz 丘( 以，) n l = on 2 - oh m 1 = 1 其中 o o ( z ) = z ”丘( 玎) n = o 平均粒子数的约束条件是 m ) = 工， “= l 每个位置的平均占据数，( 以。) ( = j p ( ) ， t t a = o p ( n u ) ) 的表达式代入式( 2 1 1 ) 可得 ( n a ) ：z e t n _ = e - u ( 一2 ) ， o z 从而得到密度的表达式为 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 、，0 盯n 一 = 南京师范大学硕士毕业论文第二章z r p 模型在均匀系统中的动力学行为 p = 云薹劣 ( 2 1 3 ) 我们给定了转移率为“( 栉) ：( 1 + 鱼) 的均匀系统，考虑这种情况下的凝聚现象。 n m m ”珥n 丽i 咿4 蒜。， ，( z ) = z n f ( n ) ， ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 这里的( d ) 。= 口( 口+ 1 ) ( 口+ 行一1 ) 把式( 2 1 4 ) 代入式( 2 1 5 ) 可得 脚薹( 砉) “焉= 弘丁器 回 m = 万1 筘o oz l f l j 丫错b 群1 = 志f l ( b + 1 筘k p j 4 粉乃一篇( + 1 ) 斛) 篇 ( 6 + 2 ) n 甩! 卜“ 棚4 s m 公式薹酱= 而f ( c ) r 丽( c - 面a - b ) 奶m ( 2 1 8 ) f ( z ) 的收敛半径为z = 卢，所以在z = 时的密度即为临界密度，则 耶) 2 击秽( 舻而丽b 丽， 所以 岛2 矗 ( 2 1 9 ) 临界密度区分流相( p l 时，随着时 系统处于完全局域化。因为还是有极少 i - l i l-_ i 图( 8 ) a 在顺序动力学规则下的粒子分布图3 4 = - 2 0 ，l = 2 0 0 0 ，b = l 从左到右，从上到 下对应时间分别为t - - o ，1 0 4 ，1 0 5 ，1 0 6 ，1 0 7 ，1 0 8 南京师范大学硕士毕业论文 第二章z r p 模型在均匀系统中的动力学行为 o 8 o4 o5 0 0 0 01 0 0 0 5 01 5 0 0 0 02 0 0 0 0 02 5 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 g f l ( s ) b 局域化系数f 随时间f 的变化关系图 图( 9 ) a 在顺序动力学规则下的粒子分布图m = 2 0 ，l = 2 0 0 0 ，6 = 2 从左到右，从 上到下对应时间分别为产0 ，1 0 4 ，1 0 5 ，1 0 6 南京师范大学硕士毕业论文 第= 章z r p 模型在均匀系统中的动力学行为 o2 0 0 0 04 0 0 0 06 0 0 0 08 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 图( 9 ) b局域化系数 随时间t 的变化关系图 _ 傅 - 呈。 - - i ， 图( 1 0 ) a 在顺序动力学规则下粒子分布图m = 2 0 , l = 2 0 0 0 ，b = 3 从左到右，从 上到下对应时间分别为t - - - - 0 ，1 0 4 ，1 0 5 ，1 0 6 南京师范大学硕士毕业论文 第二章z r p 模型在均匀系统中的动力学行为 o5 1 0 0 0 0 0 1 5 0 0 0 02 0 0 0 0 02 5 0 舶o3 0 0 0 0 0 t 图( 1 0 ) b 局域化系数e 随时间f 的变化关系图 图( 1 1 ) 给出了m = 5 0 0 ，b = 4 在顺序动力学规则下局域化系数随密度的变化关 系图，由图可以看出系统处于完全局域状态即系统没有临界密度，不管密度的大 小，系统都处于凝聚状态，比前面两种动力学规则情况更易凝聚。 0 , 20 a0 6n 卫1 0 j 1 a p 图( 1 1 ) 在m = 5 0 0 , b = 4 局域化系数l 随密度的变化关系 2 4 小结 本章讨论了粒子在z r p 模型中，按照不同动力学规则运动的分布情况。系统 ” 旺 盯 帖 旺 e 南京师范大学硕士毕业论文 第二章z r p 模型在均匀系统中的动力学行为 在达数值模拟了系统中粒子分布随时间逐步演化直至相对稳定，得到在不同时刻 的粒子分布。对系统达定态后，出现的均匀态、部分局域态和完全局域态进行了 研究。并且数值模拟了在三种不同动力学规则下局域化系数随密度的变化关系。 在z r p 模型中，随机动力学规则下得到b 2 时系统有凝聚现象并且可以解析 的求解出临界密度，我们通过计算机模拟系统达定态，粒子会逐渐集中，但不会 全部集中到一两个位置中，且粒子多的位置不是固定不变的，所以所谓定态是一 个运动的定态。用来度量系统粒子分布局域性的参数宇的值稳定在0 3 一1 0