（运筹学与控制论专业论文）离散时间切换系统的h2模型降阶问题.pdf

离散时间切换系统的凰模型降阶问题 岛m o d e lr e d u c t i o np r o b l e m s f o rd i s c r e t e - t i m es w i t c h e ds y s t e m s 学科专业：运筹学与控制论 研究生：徐宁 指导教师：谢冬梅副教授 天津大学理学院 二零零八年五月 中文摘要 本文主要研究离散时间切换系统的日2 降阶模型。对于给定的切换系统，研 究其在平均停留时间的切换信号下的降阶模型，使得对应的误差系统指数稳定， 且具有最优的日2 性能指标 全文共分为五章来详细论述上述问题 第一章为前言，主要介绍切换系统以及模型降阶问题的研究现状 第二章主要给出了一些相关定义和定理，利用这些工具研究离散时间切换系 统的指数稳定性及凰性能。 第三章根据某些重要的引理和命题，研究确定的离散时间切换系统的日2 降 阶模型，以线性矩阵不等式( l m i s ) 形式获得降阶模型的存在条件 第四章研究凸多面体不确定的离散时间切换系统的日2 降阶模型 第五章为结束语，总括全文的工作。 关键词：切换系统；离散时间切换系统；飓降阶模型；平均停留时间；线性 矩阵不等式( l m i s ) a b s tr a c t i nt h i sp a p e r ，日2r e d u c t i o nm o d e lf o rd i s c r e t e - t i m es w i t c h e ds y s t e m sw i l lb ec o n - s i d e r e d f o rag i v e ns w i t c h e ds y s t e m ，w ef o c u so i lc o m p u t i n gi t s 羁r e d u c e d - o r d e rm o d e l s u c ht h a tt h ec o r r e s p o n d i n ge r r o rs y s t e mi se x p o n e n t i a l l ys t a b l ea n dh a sag e n e r a l i z e d 日2p e r f o r m a n c ei n d e xf o rc e r t a i nu s e f u lc l a s so fs w i t c h i n gs i g n a l sw i t ha v e r a g ed w e l l t i m e t h ep a p e ri sm a i n l yd i v i d e di n t of i v es e c t i o n s t h ef i r s ts e c t i o ni st h ei n t r o d u c t i o no ft h ew h o l ep a p e r w ei n t r o d u c et h e s w i t c h e d s y s t e m ，a n dt a l ka b o u tt h er e s e a r c ho ft h em o d e lr e d u c t i o np r o b l e m t h en e x ts e c t i o nc o n s i s t i n go fs o m ed e f i n i t i o n sa n dt h e o r e m s m a i n l yi n v e s t i g a t e s t h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t ya n d 凰p e r f o r m a n c ei n d e xo fd i s c r e t e t i m es w i t c h e ds y s t e m s i nt h et h i r ds e c t i o n ，b a s e do ns o m ei m p o r t a n tl e m m a sa n dp r o p o s i t i o n s ，t h ee x - i s t e n c ec o n d i t i o n so ft h er e d u c t i o nm o d e la t ed e r i v e da n de x p r e s s e di nt e r m so fl i n e a r m a t r i xi n e q u a l i t i e s ( l m i s ) 日2r e d u c t i o nm o d e lf o rd i s c r e t e - t i m es w i t c h e ds y s t e m sw i t hp o l y t o p i cu n c e r t a i n t y i si n v e s t i g a t e di nt h ef o u r t hs e c t i o n a tl a s t ，w es u m m a r i z et h er e s u l t so ft h ew h o l ep a p e r k e yw o r d s ：s w i t c h e ds y s t e m s ；d i s c r e t e - t i m es w i t c h e ds y s t e m s ；日2m o d e lr e d u c t i o n ； a v e r a g ed w e l l - t i m e ；l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ( l m i s ) 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨鲞盘茔或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：徐多 签字日期：毋 年么月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解丞壅盘茎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 钓 导师签名： 签字日期：7 嘟年石月少日 签字日期：h 暑年舌月v 侣 第一章前言 第一章前言 1 1 切换系统研究概述 切换系统是混杂系统里面一类形式比较简单而在实际中有颇有代表性 的系统，它是由多个子系统以及作用在其中的切换规则构成的根据切换 规则，在每一时刻均有某一子系统处于被激活状态。切换系统的特点是，系 统在几个不同的系统结构间切换运行由于切换的引入，切换系统和以往 的单纯的连续系统或离散系统有很大的不同，单纯的连续系统或离散系统 的理论已经不适用于切换系统，这就迫切需要我们为切换系统建立新的控 制理论体系从应用的角度来看，切换系统在电力系统 1 ，2 】、计算机磁盘驱 动器【3 】、智能控制系统【4 ，5 】等实际应用中具有广泛的工程背景，因而切换 系统的研究引起了国内外学者的广泛关注 在过去的十年里，切换系统得到了较多的研究，出现了许多研究切换 系统的文章，比如 6 】一 2 5 】，主要研究切换系统的稳定性、性能分析与设计 此外也有文章研究切换系统的鲁棒控制，下面我们主要从几个方面来分析 切换系统的研究现状： 1 1 1 切换系统的稳定性 由于稳定性是一般系统正常工作的前提，切换系统的稳定性是研究最 为集中的问题稳定的切换系统，在初值受到意外的微小扰动后，系统的 运行轨迹不会过分偏离原先的轨迹，并且能够逐渐恢复到未受扰动时的状 态。由于。切换”的引入，切换系统的稳定性比一般系统的稳定性要复杂的 多，它的性能并不是各子系统的性能的简单叠加比如两个稳定的子系统， 如果选取的切换信号不合适，经切换后有可能是不稳定的；反过来，即使两 个不稳定的子系统，却有可能通过适当选取切换信号使切换系统稳定【6 】 对切换系统的稳定性做了系统的总结，主要归为三个基本问题： 问题a ：寻找切换系统在任意切换下渐近稳定的条件对于这类问题， 寻找切换系统的公共l y a p u n o v 函数或切换l y a p u n o v 函数是解决问题的典型 第一章前言 方法 6 】_ t o 问题b ：研究切换系统在一些确定的切换信号下渐近稳定的条件多 l y a p u n o v 函数方法，以及经典l y a p u n o v 理论的扩展是研究这类问题的主要 工具 1 1 卜【13 】 问题c ：构造一些切换信号使得切换系统稳定。这类问题不仅是一类设 计问题而且是一种稳定性或镇定问题关于这类问题，也出现了许多研究 成果 1 4 】- 1 9 】 1 1 2 切换系统的性能研究 对一个实际的系统，仅仅要求系统满足稳定性是不够的，我们还需要 系统满足一定的性能，比如日2 性能、如性能、扰动衰减性、扰动抑制等。 这些性能反映了外界持续扰动对系统运行的影响 切换系统的性能研究具有自身的特点，类似于稳定性的情况，也可以 归结为三个方面的内容，即 ( 1 ) 切换系统在任意切换信号下具有某种性能的条件 ( 2 ) 切换系统在某些特殊切换信号下具有某种性能的条件 ( 3 ) 构造切换信号或反馈控制使得切换系统具有某种性能 对于切换系统的性能研究，要求所设计的切换信号不仅要保证切换系 统是稳定的，而且保证系统具有某种性能所以，相对于切换系统稳定性的 研究，切换系统性能的研究难度更大目前，切换系统的性能研究大多集中 在日2 性能、如性能方面，性能研究方面比较好的文章有 1 7 ，4 0 】这两篇文 章均是基于平均停留时间来做的 1 1 3 切换系统的鲁棒控制 事实上，由于受系统自身的复杂性、外界扰动、测量手段等因素的影 响，我们为系统建立的数学模型不可能完全精确的反映实际物理系统的运 行规律，在数学模型与实际系统之间总存在着一些误差，这些差别称为不 - 确定性或摄动例如，对于系统宕= a x ，其不确定性系统为圣= ( a + ) z 。其 中z 为系统的状态向量，a 为定常矩阵，为不确定性矩阵研究该不确定 2 第一章前言 性系统，不确定性主要有下列几种形式： ( 1 ) 范数结构不确定性 a = e a f ，陋l l 1 ，e 、f 为定常矩阵，a 为不确定矩阵 ( 2 ) 参数不确定性 = 銎1 尬蜀，易为已知的定常矩阵，甄为未知常数，i = 1 ，2 ，咒 ( 3 ) 凸多面体不确定性 考虑系统圣= 墨1a i a i x ，其中n 注1a i = 1 ，啦0 ，i = l ，2 ，n 对于切换系统的研究，我们有必要考虑其中存在的不确定性，即研究 不确定性系统的鲁棒控制 虽然目前对切换系统已有大量的研究，但对不确定性切换系统的鲁棒 控制研究并不多。类似于一般系统的鲁棒控制，切换系统的鲁棒控制理论 所要研究的问题不外乎两个方面，即分析和综合分析方面要研究的问题 是：当切换系统存在各种不确定性和外加干扰时，系统性能变化的分析，包 括系统的动态性能与稳定性等在综合分析方面；采用什么控制结构、用 什么方法可保证控制系统具有很强的鲁棒性，包括如何对付系统中存在的 不确定性和外来干扰等的影响分析和综合当然是相互影响和相互依存的， 但也有各自的特点本文第四章主要分析凸多面体不确定性切换系统的稳 定性及性能 从以上分析可以看到，切换系统理论正处于发展阶段，远没有形成类 似于定常系统所建立的完整统一的理论体系，它是一个研究的热点另一 方面，切换系统的研究具有一定的难度：( 1 ) 如何正确理解和应用。切换” 在切换系统中所起的作用；( 2 ) 如何为切换系统的研究建立新的研究方法和 研究工具尽管切换系统的研究难度比较大，但切换系统的研究是研究混 杂系统的一个可行的切入点 1 2 模型降阶问题的研究现状以及问题的提出 用低阶模型逼近高阶装置是实际应用中的一个重要问题，也是控制系 统设计中的一个重要组成部分模型逼近常常依赖于物理上的直观，如在 ， 弹性体结构和涡轮机模型中常常需要除去高频振动的模态，它们对系统控 制的影响较小另一方面在控制系统设计中许多控制问题如如控制，正实 3 第一章前言 控制，混合控制等，通常的控制器综合方法产生的控制器阶数较高，一般大 于或等于原系统的阶数，但是简单的低阶的控制器优于复杂的高阶的控制 器，因为它们在实际操作中需要较短的过程时间，并且较少出现软、硬件问 题，具有较高的可信赖性而且一般情况下，复杂的实际系统一般建模为高 阶的数学模型，这些高阶的数学模型给我们分析和研究系统的性能带来了 严重的困难因此有必要考虑降低模型的阶数，然后通过低阶模型设计低 阶的控制器以及考虑控制器逼近问题，即在可接受的范围内寻找满足一定 性能指标的低阶模型或控制器模型降阶问题不仅具有理论上的意义而且 更具有实际应用方面的价值。 模型降阶最早是由d ep r o n y ( 1 7 9 5 ) 提出的，随着控制理论和应用的发 展，其模型简化理论得到了不断的发展，在过去的几十年里，人们提出了 各种降阶方法和算法目前，对一般的定常系统，已经出现了许多关于模 型降阶的重要成果，包含了许多有效的方法，比如聚集法 2 6 】，平衡结尾 ( b a l a n c e dt r u n c a t i o n ) 方法 2 7 】 2 8 】，最优h a n k e l 范数逼近方法 2 9 卜 3 1 】，最优 昱2 模型降阶 3 2 1 一【3 4 以及线性矩阵不等式( l m i s ) 方法【2 5 ，3 5 】 平衡结尾( b a l a n c e dt r u n c a t i o n ) 方法和最优h a n k e l 范数逼近方法通过全 阶系统的h a n k e l 奇异值给出了逼近的比误差界由于控制系统的特征常可 用频率特性表述，许多控制器降阶问题本质上也是频率加权的，因而就需要 考虑频率加权模型降阶问题为了处理这样的问题人们把平衡结尾方法和 h a n k e l 范数逼近方法推广到了频率加权的情形( 4 9 ，5 0 ，5 2 】文f 5 3 】讨论了相对 误差模型降阶问题。g r i g o r i a d i s 4 2 和h e l m e r s s o n 4 3 】利用九十年代发展起来的 线性矩阵不等式方法讨论了次优如模型降阶问题，最优问题化为非凸规划 问题b e c k 4 4 】等人讨论了多维不确定系统的模型逼近问题o p d e n a c k e r 4 5 】 使用随机平衡结尾方法讨论了扩展正实系统的模型降阶问题，c h e n 4 6 】给出 了使用上述方法得到的逼近误差界，m u s c a t o 【4 7 】将结果推广到了奇异 扰动逼近的情形线性矩阵不等式( l m i s ) 方法近年来被用来研究许多控制 问题，如满足不同性能指标的各种控制器设计问题，p 综合问题，模型降阶 问题等这种方法有其特点和适用性，因为有效的凸规划算法可以从数值 上解决l m i 问题 3 8 】，因而在模型降阶问题的研究上出现的很多文章均采用 了l m i 方法本文就是采甩了l m i 方法。 上述均是研究单个系统的模型降阶问题，但是由于切换系统在实际中 4 第一章前言 应用广泛，许多复杂的实际系统均被建模为高阶的切换系统模型，也就是 说系统是由多个高维子系统和一个切换规则组成的研究这样的高阶模型 会给我们分析系统的性能带来很大的困难，如果我们能找到一个低阶系统 逼近它，用相应的低阶系统模型来研究原系统的性能，意义将是非常重大 的目前除了 2 5 】几乎没有文章研究切换系统的模型降阶问题。 2 5 研究了 切换系统的如降阶模型，考虑在任意切换信号下构造原系统的降阶模型， 使得两个系统模型在如范数意义上充分接近它提出了两种有效的方法： 第一种方法将模型降阶问题转化为凸优化问题，采用线性算法求解；第二 种方法将模型降阶转化为一列线性矩阵不等式约束的最小值问题，运用的 是切换l y a p u n o v 函数方法 2 5 1 将定常系统的模型降阶推广到了切换系统 的模型降阶问题，对于切换系统的研究具有非常重大的意义 但是实际上，就如 6 】所指出的，在任意切换信号下，所有子系统是渐 近稳定的只是整个切换系统渐近稳定的必要条件，而不是充分条件，要保 证整个切换系统渐近稳定，需要另外添加许多条件，且需要选择合适的切 换信号，这种情况下保守性是很强的，这样的降阶模型在实际应用中存在 较大的局限性因而有必要降低保守性，研究系统在满足一定条件的切换 信号下的降阶模型文献 4 8 】指出若每个子系统都是稳定的，且每个子系统 处于被激活状态的时间足够长，则整个切换系统稳定文献 1 7 】由每个子系 统处于被激活状态的时间，提出了平均停留时间的概念也就是说，若每个 子系统都是稳定的，且每个子系统的平均停留时间满足一定的条件，则整 个切换系统稳定基于上面的观点，本文借鉴了 2 5 】的第二种方法，将 2 5 】 的任意切换信号推广到平均停留时间满足一定条件的切换信号，构造切换 系统的降阶模型，使得降阶模型与原系统在日2 范数意义上充分接近。 1 3 本文的主要工作 本文首先通过构造多l y a p u n o v 函数，建立离散时间切换系统在平均停 留时间的切换信号下的指数稳定性及鲁棒指数稳定性，然后构造原系统的 降阶模型，使得降阶模型与原系统在凰范数意义上充分接近最后用一个 实例来证明我们的结论 本文的主要成果如下： 5 第一章前言 1 本文考虑在满足一定条件的切换信号下而非任意切换信号下，研 究系统的吼模型降阶问题。这在一定意义上减少了研究切换系统模型降阶 问题的保守性 2 降阶模型存在条件以及降阶模型的表示均采用线性矩阵不等式 ( l m i s ) 形式，这将比较容易的通过现有的线性矩阵不等式( l m i s ) 算法验证 其正确性 本文所采用的符号说明如下： m 7 表示矩阵m 的转置m 0 ( m 0 ，0 p 0 ，0 日 1 ，使得对于任意的切换信号 仃( 七) s ，且对于所有入可能的变化，系统( 2 2 ) 的解满足 忪南| | m 6 七1 1 = ( 0 ) 1 i 我们就称系统( 2 2 ) 在切换信号a ( k ) 下是鲁棒指数稳定的 2 2 多l y a p u n o v 函数 多l y a p u n o v 函数是研究切换系统稳定性的一个非常有用的工具，该 l y a p u n o v 函数在多个子系统之间切换本文便是运用了多l y a p u n o v 函数这 一有效的工具 对于这样一类切换系统 圣= 厶( z ) ( 2 4 ) 其中p p = 1 ，2 假设两个子系统宕= ( z ) 和圣= f 2 ( z ) 都是( 全局) 渐 近稳定的，并且和分别是它们各自的l y a p u n o v 函数如果这两个子系 统的公共l y a p u n o v 函数不能求得或不存在，我们可以通过和k 来研究原 切换系统的稳定性 一般的，当公共l y a p u n o v 函数不存在时，切换系统的稳定性依赖于切换 信号仃，设t ，i = 1 ，2 ，是切换时刻如果和k 的值恰巧在切换时刻相等， 即对于每一个i ，( t ) ( 如) = ( 如) ( 岛) ，那么k 是切换系统的连续l y a p u n o v 函 数，利用l y a p u n o v 定理，系统的渐近稳定性比较容易获得 一般的，函数亿是不连续的。但是，在第p 个子系统被激活时，是 递减的，可能在切换时刻，l y a p u n o v 函数的值出现一定程度的增长这种情 况下研究切换系统的稳定性，l y a p u n o v 函数需满足一定的条件 8 第二章预备知识 定义2 3 ( k 类函数) 函数q ：【0 ，0 0 ) 一【o ，0 0 ) 是连续严格单调上升函数， 且有a ( o ) = 0 ，则称q 属于k 类函数 定理2 1 4 1 】对于系统( 2 4 ) ，假设每一个子系统都是全局渐近稳定 的，p p 是每个子系统对应的l y a p u n o v 函数如果存在一个k 类函数p ， 且对于每一对切换时刻( t i ，t j ) ，i j 使得a ( h ) = a ( t j ) = p p ，a ( t k ) p ，其中 t i t k 0 ，如果切换系统存在一系列切换时刻t l ，t 2 ，对于所有 的i = 1 ，2 ，满足t 一t i 7 - ，则常数丁称为停留时间 定义2 5 17 】( 平均停留时间) 对于切换信号盯( 七) ，k 8 ，k 。都是切换时刻，满足0 = k o k 8 0 脉冲信号( k ) = 0 6 ( k ) 的大小可以用向量知的范数l l ，o i 来衡量，其中 6 ( ) 是k r o n e c k e r 的d e l t a 函数：6 ( o ) = 1 ，对所有的k 0 ，艿( 七) = 0 。 可以用如上衡量信号大小的范数来定义离散时间切换系统的一些系统 性能指标： 如性能：a t = s u p 1 2 ； l t u l l 2s 1 日2 性能：a h = s u pl f y f i 。； i u l l 2 0 ，如果系统( 2 1 ) 在零初始条件下是渐近稳定 的，且对于所有非零的缸h o ，o o ) ，1 2 0 ，考虑切换信号集s ，如果系统( 2 1 ) 在零初始条件 下是指数稳定的，且对于所有的切换信号a ( k ) s ，系统的广义日2 范数 j r 一1 凰= s u d 、 l l y k ij ：x 0 = 0 ，雠札七) 1 ) k e 1 川2 “ 函 小于7 则称系统( 2 1 ) 是指数稳定的且具有广义凰性能7 】0 第二章预备知识。 定义2 8 给定7 0 ，考虑切换信号集s ，如果系统( 2 2 ) 在零初始条件 下是指数稳定的，且对于所有的切换信号a ( k ) s ，以及所有a 的可能变化， 系统的广义日2 范数 k 一1 1 - 1 2 = s u p i l y k i i ：跏= 0 ，( u 丢钍南) s1 k 1 ，i 2 云：o 一 小于7 则称系统( 2 2 ) 是鲁棒指数稳定的且具有广义凰性能7 2 5 线性矩阵不等式( l m i ) 线性矩阵不等式被广泛用来解决系统与控制中的一些问题，随着m a t - l a b 软件中l m i 工具箱的推出，线性矩阵不等式这一工具越来越受到人们 的注意和重视本文主体内容涉及到多数线性矩阵不等式及其求解，因而 有必要对线性矩阵不等式做一下介绍有关内容主要参考了 5 5 本节主要介绍线性矩阵不等式的一些基本概念、一些标准的线性矩阵 不等式问题的求解方法 2 5 1 线性矩阵不等式的表示式 一个线性矩阵不等式就是具有形式 f ( x ) = f o + x l f l + + x m f m 0 ( 2 6 ) 的一个表达式其中z 1 ，z m 是m 个实数变量，称为线性矩阵不等式( 2 6 ) 的决策变量，z = ( z 1 ，z m ) t r m 是由决策变量构成的向量，称为决策向 量，e = f s r 竹加，i = 0 ，l ，m 是一组给定的是对称矩阵，( 2 6 ) 式中的不等 号“ ”指的是矩阵f ( z ) 是负定的，即对所有的非零的向量v r n ，v t f ( x ) v 0 ， 或者f ( z ) 的最大特征值小于零 如果把f ( z ) 看成是从r m 到实对称矩阵集酽= m ：m = m t r 似”) 的 一个映射，则可以看出f ( x ) 并不是一个线性函数，而只是一个仿射函数 在许多系统与控制问题中，问题的变量是以矩阵的形式出现的例如 l y a p u n o v 矩阵不等式： f ( x ) = a t x + x a + q 0 ( 2 7 ) 】 第二章预备知识 其中：a ，q r 似”是给定的常数矩阵，且q 是对称的，x 酞似n 是对称的未 知矩阵变量，因此该矩阵不等式中的变量是一个矩阵设局，局，e m 是酽 中的一组基，则对任意对称矩阵x r n 姗，存在x l ，x m ，使得x = x i e i 。 i = 1 因此， mmm f ( x ) = f ( 蜀) = a t ( 兢蜀) + ( x i e i ) a + q i - - - - 1i = 1t = 1 =q + x l ( a t e l + e 1 a ) + + 2 c m ( a r e m + e m a ) 0 即l y a p u n o v 矩阵不等式( 2 7 ) 写成了线性矩阵不等式的一般形式( 2 6 ) 如果在( 2 6 ) 式中用”代替” 0 ，f ( x ) g ( x ) 也是线性矩阵不等式，因为它们可以等价的写成一f ( x ) 0 ，f ( x ) 一g ( z ) 0 系统与控制中的许多问题初看起来不是一个线性矩阵不等式问题，或 不具有( 2 6 ) 式的形式，但可以通过适当的处理将问题转化成具有( 2 6 ) 形式 的一个线性矩阵不等式问题下面给出这方面的一些典型例子 1 多个线性矩阵不等式 蜀( z ) 0 ，最( z ) 0 称为一个线性矩阵不等式系统引进f ( x ) = d i a g f 1 ( x ) ，r ( z ) ) 则f 1 ( z ) 0 ，最( z ) 0 同时成立当且仅当f ) 0 。因此，一个线性矩阵不等式系 统也可以用一个单一的线性矩阵不等式来表示 2 在许多将一些非线性矩阵不等式转化成线性矩阵不等式的问题中， 我们常常用到矩阵的s c h u r 补性质考虑一个矩阵s r 似n ，并将s 进行分 块； 广1 i $ 1 1s 1 2i s = il is 2 1 s 2 2 l - 一 其中舅1 是r r 维的。假定s 1 1 是非奇异的，则2 一s 2 1 s f i l 岛2 称为研1 在s 中的s c h u r 补以下引理给出了矩阵s c h u r 补性质 s l ls 1 2 i 引理2 1 ( s c h u r 补) 对给定的对称矩阵s = ii ，其中s n 是r r is 2 1 & 2l 维的以下三个条件是等价的： 第二章预备知识 ( i ) s 0 ； ( i i ) s n o ，s 2 2 一s s s 5 1 $ 1 2 o ； ( i i i ) & 2 o ，s n 一$ 1 2 s 易1 既 0 是给定的适当维数的常数矩阵，p 是对称 矩阵变量，则应用引理2 1 ，可以将矩阵不等式( 2 8 ) 的可行性问题转化成一 个等价的矩阵不等式 a r p b + t p p a + qp r b 。 的可行性问题，而后者是一个关于矩阵变量p 的线性矩阵不等式 2 5 2 一些标准的线性矩阵不等式问题 本节介绍三类标准的线性矩阵不等式问题在m a t l a b 的l m i 工具箱 中给出了这三类问题的求解器假定其中的e g ，日是对称的矩阵值仿射函 数，c 是一个给定的常数向量。 1 可行性问题( l m i p ) ：对给定的线性矩阵不等式f ( x ) 0 ，检验是否 存在z ，使得f ( x ) 0 成立的问题称为一个线性矩阵不等式的可行性问题。 如果存在这样的z ，则该线性矩阵不等式问题是可行的，否则这个线性矩阵 不等式就是不可行的 2 特征值问题( e v p ) 该问题是在一个线性矩阵不等式约束下，求矩阵 g ( z ) 的最大特征值的最小化问题它的一般形式是： m i n i m i z ea s u b j e c tt og ( z ) x i( 2 9 ) h ( z ) 0 这样一个问题也可以转化成以下的一个等价问题： m m l m l z ec z f 2 1 0 ) s u b j e c tt of ( z ) 0 、。 】3 第二章预备知识 这也是l m i 工具箱中特征值问题求解器所要处理问题的标准形式问题( 2 9 ) 和问题( 2 1 0 ) 的相互转化是因为； 一方面， m i n i m i z ec r z m i n i m i z e 入 s u b j e c tt of ( z ) 0 铮s u b j e c t t o c ( z ) 入j h ( x ) 0 另一方面，定义牙= p t ，刈? ，f ( 蕾) = d i a g g ( x ) 一a ，日( z ) ) ，c = 0 t ，l 】丁，则 f ( 牙) 是牙的一个仿射函数，且问题( 2 9 ) 可以写成： m l i l l m l z e s u b j e c tt o 手毫 f ( 牙) 0 一个线性矩阵不等式f ( z ) 0 的可行性问题也可以写成一个e v p ； m i n i m i z e a s u b j e c tt of ( z ) 一m 0 显然，对任意的z ，只要选取足够大的a ，( z ，入) 就是上述问题的一个可行解， 因此上述问题一定有解。若其最小值”0 ，则线性矩阵不等式f ( z ) 0 是 可行的 3 广义特征值问题( g e v p ) ：在一个线性矩阵不等式约束下，求两个仿 射矩阵函数的最大特征值的最小化问题 对给定的两个相同阶数的对称矩阵g 和f ，对标量a ，如果存在非零向 量y ，使得g y = a f 耖，则入称为矩阵g 和f 的广义特征值。矩阵g 和f 的最 大广义特征值的计算问题可以转化成一个具有线性矩阵不等式约束的优化 问题 事实上，假定矩阵f 是正定的，则对充分大的标量入，有g a f 0 随 着入的减小，并在某个适当的值，g a f 将变为奇异的。因此，存在非零向 量y 使得g y = 入f ! ，这样的一个a 就是矩阵g 和f 的广义特征值根据这 样的思想，矩阵g 和f 的最大广义特征值可以通过求解以下的优化问题得 到： 1 2 1 1 n l i n l z e s u b j e c tt o 入 g 一入f 0 1 4 第二章预备知识 当矩阵g 和f 是z 的仿射函数时，在一个线性矩阵不等式约束下，求 矩阵函数g ( z ) 和f ( z ) 的最大广义特征值的最小化问题的_ 般形式如下： m i n i m i z e 入 s u b j e c tt og ( z ) 0 h ( x ) 0 注意到上述问题中的约束条件关于z 和入并不同时是线性的。 1 5 第三章确定性离散时间切换系统的飓降阶模型 第三章确定性离散时间切换系统的飓降阶模型 在这一章中，我们将构造确定性离散时间切换系统在满足一定条件的 切换信号下的降阶模型，使得降阶模型与原模型在日2 范数意义上充分接 近降阶模型的存在条件和表示均采用线性矩阵不等式( l m i s ) 形式，因而 很容易通过l m i 算法 3 7 】一 3 8 】求解 根据上一章的基本理论知识，这一章我们将重点研究下面的一类线性 离散时间切换系统： z k + l2a 口( 噼+ 乃( 眯 ( 3 1 ) y k = c 盯( k ) x k + d 口( k ) u k ， 、7 其中z 七r n 是系统的状态向量，u k r ”是控制输入，y k r p 是系统输 出，函数o ( k ) ： o ，1 ，2 ，) _ z = ： 1 ，2 ，) 表示系统采用的切换信号而 且，仃( 砖) = 表示子系统( a ，琶，g ，域) 在尼时刻处于被激活状态，i z 我们试图构造上述系统的降阶模型如下： 奄+ 1ia 矿? 2 七，b a ( k ) 托2 ( 3 2 ) 纨= g ( 砌钆+ d 口( k ) u k ， 其中筑砒是降阶系统的状态向量，k 0 ，0 口 0 ，s 为切换信号集，如果系统( 3 3 ) 在零初始条件下 是指数稳定的，且对于所有的切换信号a ( k ) s ，系统的广义日2 范数 k - 1 - 2 = s u p 、 1 1 e k l l ：伽= 0 ，( 扎看u 而) 1 】 k e 1 川2 函 小于7 则称系统( 3 3 ) 是指数稳定的且具有广义凰性能，y 引理3 1考虑离散时间切换系统x k + 1 = 厶( z 知) ，设0 口 1 是给 定的常数，0 = k o k 1 如 k z 0 ，使得 ( a ) n l l x l l 2 k ) 讹i f z 2 ，v i 互 ( b ) a ( 膏) ( z 七) ：= ( 七) ( z 七+ 1 ) 一巧( 七) 0 ) 一n ( ) ( z 詹) ，v k k z ，k z + 1 ) ， ( c ) ( h ) ( z h ) p ( 一。) ( z 确) ， 那么系统在平均停留时间亿的切换信号下指数稳定，其中满足； 亿霄嘲蚌禹) ， 其中i n t ( v ) 代表大于v 的最小整数 证明：v k k z ，晃：+ 1 ) ，由条件( b ) ( c ) ，易得： k ( 七) ( ) s( 1 一q ) p 心( o ，) ( o ) ( z o ) ( 1 一口) 奄i 正p 蠡r o k ( o ) ( z 6 ) ( 由定义2 5 ) = # n o e k 。n ( 1 一a ) + 等】( o ) ( 知) 1 7 ( 3 5 ) 第三章确定性离散时间切换系统的吼降阶模型 因此，由条件( a ) ，我们得到 i i z | l m 0 2 i l x o l l ， 其中m ：，? # n o7 2 l ，0 ：e 毕 v y l 显然，由 亿刮m ( 一蒜) ， 我们容易得到t n ( 1 一a ) + 警 0 ，满足0 0 1 因此，由定义3 1 ，该引理得证。 注2 ：由引理3 1 的证明，我们知道常数0 ( 定义2 5 ) 影响稳定性的超 调界，但是它并不改变切换系统的稳定性因此，为了简便起见，我们在下 面均假设n o = 0 在下面的讨论中，我们引入下列切换信号集： i i = ) i 气嘲t ( 一蒜) ) ， 其中亿表示切换信号盯( 七) 的平均停留时间 基于引理3 1 ，我们得到以下命题，它在下一节定理的证明中起着至关 重要的作用 命题3 1对于切换系统( 3 3 ) ，设0 1 是给定的常数。 如果存在l i 0 ，以及g t ，i z ，使得 ( 1 一口) ( l 一g i g ，) 0g 乒a 宰 一i 霹 术木 一p 一1 l t l i g i 一砰 0 c t o t j 霹 木 一, 7 2 i 0 ，vi 五( 3 6 ) 0 ，vi z ，( 3 7 ) l j 一# l i q ，v ( i , j ) z xz ， ( 3 8 ) 那么，系统( 3 3 ) 在切换信号盯( 七) i i 下是指数稳定的且具有广义日2 性能7 1 8 第三章确定性离散时间切换系统的日2 降阶模型 证明： ( i ) 首先，我们证明系统( 3 3 ) 在切换信号a ( k ) i i 下是指数稳定的 假设0 = k o k l k l 0 ，使得下列不等式成立： - ( 1 一a ) 只 奎 木 其中只= 玎1 由s c h u r 补，( 3 9 ) 等价于 r 埽二 0 砰只 一i 鞋r 木 一弘一1 县 0 设 一j 霹 卑 一乎i 0 ，v i z ， ( 3 9 ) 0 ，v i z ，( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) z v 0 1 ，( 3 1 1 ) 隐含 一( 1 ：q ) 只二 + 主； 五豆 o ，v i e 2 7 因此， 碍r a 一( 1 一口) 只 0 ，v i 工， 易得 ( 南) ( 吼) + q ( 知) ( 饥) 0 所以，由引理3 1 ，系统( 3 3 ) 在切换信号盯( 七) i i 下是指数稳定的 ( i i ) 现在，我们证明系统( 3 3 ) 具有广义日2 性能7 v k ，令 k 一1 j k = ( k ) ( 粒) 一珏 k = o = ( k ) ( ，揪) 一( k 一1 ) ( 懈一1 ) + k ( k 1 ) ( 懈一1 ) 一( k 一2 ) ( u k 一2 ) + k 一1 + ( 1 ) ( ，7 1 ) 一( o ) ( 叼0 ) 一u t u k k = o k 一1 ( 弘巧( 七) ( 讯+ 1 ) 一( 知) ( 饥) 一u 蚕也七) 其中 p ( 老) ( 吼+ 1 ) 一( _ i c ) ( 仉) 一u t u k = ： 程珏虿 璺b a ( 知k ) ) p j 乙c 屉， a 仃c 七，雪仃c 七， 一 气七； 0 ( 由( 3 9 ) ，( 3 1 1 ) ) 因此，( k ) ( 似) 。 【 e k ( - 。，p 川- k 1 ) c - 矿t ( x ) + 西f ( k ) f ) ，t ( k ) j k e k e 乏 ( “t 七，u 趴l - 盯( k ) - ( k 1 ) c - d t ( k ) + d 盯( k ) d - 仃t ( k ) ) ( 3 1 3 ) k = o 0 让i 匿( 岛( k ) z i k ) g - 盯t ( k ) + d 口( k ) d - t ，( k ) ) 由( 3 1 0 ) 及s c h u r 补，我们得到磊可1 掣+ 威西- f j ，v i z ， 即 ( - 。，p 叭- k 1 ) c - 盯t ( k ) + 西盯( k ) d - 口t ( k ) 。， 即 i e 乏( 酽i m i ；) 一1 e k 0 ， e t g e k 7 2i l u l l 2 因为k 是任意的，我们得到系统的广义岛范数 日2 = s u p 1 1 e - i i k e 1 纠2 一) 小于7 因此，系统( 3 3 ) 在切换信号仃( ) i i 下是指数稳定的且具有广义日2 性 能，y 。 2 1 一 向 u r 七 u 脚 0 = 哟 第三章确定性离散时间切换系统的日2 降阶模型 1 3 2 确定性离散时间切换系统降阶模型的表示 在这一节中，我们将运用线性矩阵不等式( l m i s ) 方法来计算切换系统 ( 3 1 ) 的降阶模型( 3 2 ) 定理3 1对于线性切换系统( 3 1 ) ，0 1 是给定的常 数如果存在下列矩阵l 1 ，l 2 ，三3 t ，五，磁，磊，最，皿，尬，她，v i z ，使得 ( 1 一口) ( l 1 t 一五一j 亭)