（信号与信息处理专业论文）多路径信号建模在换能器校准中的应用.pdf

东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：i 燃 日期：上业乃 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人 电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论 文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包 括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名：拟导师签名：隧笙 日期兰翌7 哆 摘要 在实验水池等这种有限大小的水域里面反射信号常常比能够观测到的稳态 信号提前到达，因此在声纳系统向低频方向发展的今天，在信号频率很低或者可 利用的数据太短的时候，使用传统的瞬态信号建模技术精度不高，给我们测量和 估计带来困难。多路径信号建模技术可以利用足够长的多路径数据，分析估计直 达信号和各种反射信号到达时间、频率、幅度、相位等特性参数，有可能更好地 解决低频信号的分析问题，并且提高参数的估计精度。本文介绍了多路径信号建 模技术，从接收的多路径信号中估计直达信号和各种反射信号的到达时间、频率、 幅度、相位等各种参数，参数估计采用最小二乘法。 论文共分四章； 第一章介绍信号建模的基本原理，分析、比较瞬态建模的方法，阐述模型参 数的优化算法，给出由模型参数恢复信号和估计信号参数的基本方法。 第二章多路径信号模型的结构、参数和模型参数的最优化方法等建模理论分 析，说明信号极点的初始值可由瞬态建模技术给出。 第三章多路径建模对仿真信号的分析处理，探讨由模型参数估计信号各参数 的性能和影响估计精度的因素；由校准水声换能器的仿真和模拟实验，验证多路 径建模技术扩展校准低频限的可行性。 第四章低频、窄带换能器的校准实验。应用多路径建模技术对水池实测信号 分析处理，系统研究由模型参数重建信号和估计信号参数的具体实现方法，探讨 提高估计精度的途径和方法，达到了较高精度，讨论算法的适用条件和信号参数 的估计性能。 关键词：换能器校准，多路径信号建模，非线性最小二乘法 a b s t r a c t h lt l l ec a l i b r a t i o no f 锄衄d 廿w a 毗w h e nt l l ec a l i b 翰t i o n sa r ei m d a t a j ni l l r e v e r b e rl a b o f a t o r yt a i l l 娼o ff i i l i t es i z e ，r e n e c t i o n sf b mt h et a n kb o m l 捌e so f 细 a m v eb e f o 辑t l l es t c a d y s t a _ t e 陀s p o n o ft i l e 仃；m s d u c e rc 她b eo b r v e dd i r c c t l y i n t h i sr c p o r t ，m o d e la r ed e s c r i b e df o r 枷u s t i cs i 印a l s 恤t c o l i n tb o mf o rt i l et r a n s i e n t b e h a v i o u ro ft h ec i e v i c e sa sw e ua st l l ee 任b c t so fr e n e c t i o i l s a l s od e s c f i b e da r et h e d a t ap r o c e s s i n ga 1 9 0 r i m m sf o re s t i m a t i i 培v a l 嘲f o rt h ep a m m e t e 埽i i lt h e m o d e l s 丘d mm e a s u r e m e n t 咖i i lt l l ec a t h i sp a p e ri n c l u d e s4c h a p t e 培： h lc h a p 衙l ，n 州n c 虹斌so fs i g n a lm o d e l i n gw e 佗i n n d d u c e d ，i n c l u d i n gs o m e 缸雠s i e n t s i 驴a lm o d e l i n gm e t l l o d s ，t i i eo p t i m 溉i o na l g o r i t h m sf 断t h em o d e l p a 姗e t c r sa i l dh o w t 0f e c o v 商n gs i g l l a l 锄de 删n g s i g n a jp a r 锄e t e i s h lc h 印t e r 2 ，t l l e 疔锄eo fm u m p a ：i l ls i g lm o d e l ，i t sp a r 锄e t e r sa 1 1 d 弹咖e t c r o p t i m i 盟t i w e r ci n l r o d u c e d 1 ki i l i t i a lv a l u e so fp o l e sc o u l db e 西v e i lb y 呛 t r a n s i e mm o d e i i i 培t e c t l i l o l o g y i nc h 印t c r3 ，s o m es i i n u l a t i o nd a l aw a sp r o c e s s c dw i t l lm l l l t i p a ms i 掣1 a lm o d e l i n g t e c h n o l o g yt of i n do m t l l ep e r f b m m c ea n df a c 岫w h i c ha f f e c tt h e 瓢吼l r a c yo ft h e s i g l l a l 肼i m m e t c r se s t i m a t i o n 五r o mt l l em o d e lp a m m e t e 瑙t h es i i l l l l l a l i i l g 觚di n l i 诅虹r l g e x p c r i i m n t sp r o v et l l a t “i sp 础i c a lt oe x p a l l dt h el o w 骶q u e n c yl i i i l i to fc a l i b m t i b y 慨1 s i e n tm o d e l i n g i nc h a p t e r3 ，m u l t i p a 血m o d e l i n gt e c l l i l o l o 舒i sa p p l i e dt 0 圮r e a ld g 【a ，w m c hw e r e a o q u i r c d 缸忸n 姗w - b 觚d ，l o w - 矗_ e q u e n c y 虹a n s d u c 既t h er e a l i z a t i o fs i 割i a l f e c o v e r i n g 柚ds i 鲫a lp a r 锄e t l 嘟e s t i m a t i n g 缸吼m o d e lp a 删n e 蠕a n dh o wt o i m p r o v ee s t i m a t i o na c c 哪yw 髂s y s t e m a t i c a l l yr e s e a r c h e d t h e 印p l i c a t i o nc o n d “i 咖 f o rt h ea l g o r i t l l | nw 鹤a l d i s c l l s s e d t 1 1 i sm e m o ds h o w sag o o dp e r f o 咖a n c c k e yw o r d ：h 锄s d u c e rc a l i b m t i o n ，m u t l i p a ms i g | l a lm o d e l ，n o n l i 咖i 翩s t - s q l | a r e m g 耐t h m 2 东南人学硕上研究生学位论文 前言 水声换能器是实现电声能量互换的装置，是声呐湿端的重要组成部分。它作 为发射器是水下声系统的信息源，作为接收器是感知水下信息的耳目，也是采集 水下信息的窗口。它肩负着将电信号转换成水中声信号或将水中声信号转换成电 信号的重任。为了确保声呐系统的工作性能以及量值传递的需要，必须对水听器 和发射换能器进行校准。现代水声工程需要声呐系统向低频方向发展，以提高声 呐系统的探测作用距离。声呐的工作频率从高频向低频的扩展，又为换能器校准 技术提出了新的要求。 根据换能器的工作条件和换能原理，大多数换能器的校准应在自由场、远场 和稳态条件下进行。但是，在现有的实验室条件下，由于校准水池的尺寸限制， 不可能取得理想的自由场条件。在低频情况下，消声水池的消声效果大大减弱， 尤其是对大功率声呐发射器来说，由于存在着水面反射和池壁的不完全吸收引起 的反射，使得水听器接收到的信号变成了通过发射器和水听器之间的各种各样传 播通道的多个信号的叠加，因此无法全面、精确地评价此类换能器的声性能。 为了减小由有限尺寸水域引起的反射声影响，通常采用脉冲声技术。脉冲声 技术是目前常用的测试技术，各国水声计量测试单位都建有相应的标准装置和测 量系统。脉冲声技术是利用直达信号和反射信号到达的时间差来避开来源于边界 ( 池壁，水面，水底) 的反射干扰的。然而在测量中要求达到稳态测试条件。根 据我国国家标准要求声脉冲中包含的最小稳态正弦波不能少于两个周期。由于 换能器建立稳态振动所需的时间，即瞬态过程的持续时间，取决于其机械振动系 统的绒值与测量时所用的频率厂的比值( q 肿，d ，因此，对于低频、高绒值的 换能器，要求声脉冲具有足够大的宽度，而有限尺寸的水域又限制了声脉冲具有 的最大宽度。这些条件限制了能校准的低频限。一般尺寸的水池( 如：8 8 乖5 一) ， 下限频率一般都高于2 z 。为了发展远距离声纳系统的，需要解决水声换能器 低频校准的问题。 4 东南大学硕e 研究生学位论文 结合现代信号处理技术和信号分析技术，用宽带信号作为校准信号，用频率 分析技术代替脉冲声的扫描技术，只需一次时间信号的测量，就可以在很短的时 间内求得系统在一定频率范围的复频响应曲线。不但大大缩短了测量时间，而且 还可能降低由水域的有限尺寸所引起的低频限制。信号分析通常利用f f t 技术， 但在水声换能器的校准中，直达信号和反射信号到达的时间差很短，因此可利用 的数据样本也很短，一般在2 m s 左右。而对于2 m s 的离散数据，f f t 的频率分 辨率将达到5 0 0 h z 。显然，f f t 技术由于频率分辨率以及其本身存在的功率泄漏 造成谱估计的失真等问题，已不能适合于水声换能器的低频校准。应用信号建模 技术，可以克服f f t 技术的上述缺点而引人注目，是一个非常值得研究的方向。 在换能器校准中的转移阻抗测量中，接收的开路电压由于受到换能器的激 励，水中声信号的传输，水听换能器的接收，信号的放大等环节，具有较大的噪 声，是影响系统测量精度的主要因素。由于换能器的瞬态校准采用了瞬态信号的 分析方法，为了相对的提高测量精度，要求接收的开路电压响应信号在测量频段 内具有尽可能平坦的信号功率谱。水听器通常工作在远离其谐振频率，具有较为 平坦的响应；而对于压电型或电动型换能器其发射响应曲线起伏很大。在低于其 最低的谐振频率以下，发送电流响应近似与随频率或频率的平方成比例地减小； 在最低谐振频率以上，有表现出多个谐振峰。因此在瞬态信号校准信号的选择将 很大地影响到校准的准确性。对于冲激信号，虽然具有平坦的频谱，但由于其发 射的能量太小而无法使用，斜坡信号与阶越信号分别具有i ，厂和“厂2 的频谱， 适合与工作频率低于换能器谐振频率，发射响应随频率增加而线性增加的换能器 校准。而对于具有谐振特性的换能器，具有较大的误差。因此对于高q 值换能 器如何更好地进行校准是当今国际水声计量测试研究中的难题。 瞬态建模的原理是将采样时间域信号表示成衰减指数或衰减正弦波的形式， 这与一般的具有衰减过渡过程的换能器传递特性相适应。通过对模型参数的优化 估计，由短时间采样数据推算整个信号波形和估计信号的各参数，因而具有很高 的频率分辨力，有利于扩展在自由场校准中由水域有限尺寸所限定的低频限。 多路径参数模型的原理是把每一路径的接收信号按瞬态参数模型表示成一 5 东南大学硕1 ：研究生学位论文 系列指数函数的和，再按瞬序将各路径的指数函数和叠加起来来表示多路径信 号。把瞬态建模估计作为多路径信号模型参数的初始值，利用n l 2 s 0 l 算法最小 化平方误差函数，再把初始极点带入进行迭代运算得出复极点的估计值，进而估 计直达信号和各反射信号的的各种参数，包括到达时间、频率、幅度、初相等特 性参数。多路径建模技术有可能更好的扩展由水域有限尺寸所限定的低频限。 本文首先介绍建模的基本原理，比较、选择和阐述参数建模方法和模型参数 的优化算法。然后，通过仿真、模拟和水池实验，尤其是低频、窄带换能器的校 准实验，较系统地研究由模型参数重建信号和估计信号参数的实现方法、性能， 以及多路径建模技术的适用条件等问题，探讨提高估计精度的途径和方法，并达 到较高的精度。最后对多路径信号模型的结构、参数和模型参数的最优化方法等 建模理论，作了较详细地分析，讨论给出了信号极点初始值的估计方法，并进行 了部分实验研究。 6 东南大学硕士研究生学位论文 第一章参数建模技术的理论分析 1 1 信号建模概述 信号的参数模型应用很广，形式多种多样，但其思想是共同的，即将具有许 多变量的复杂过程用只包含少量参数的简单模型来表示。如用集中参数等效电路 来分析半导体器件，用冲激序列或白噪声激励的线性时变系统模拟语音的产生过 程等。如果模型参数具有物理意义，就可研究模型参数产生的影响，从而更深入 地认识原来的过程。 离散时间信号可以看成是由某种固定输入( 如单位取样信号或白噪声序列) 激励线性时不变系统产生的输出。在输入激励是单位取样序列的情况下，信号被 模型化为线性时不变系统的单位抽样响应。这时，由于线性时不变系统的传输函 数是有理函数，因此，称这时的模型为“有理”模型，也可称为“极点一零点” 模型。系统函数的系数( 或它的极点和零点) 构成模型的参数集，用它来表示信 号。在输入激励是白噪声的情况下，线性时不变系统的输出信号具有有理功率谱。 实际上，参数模型谱分析方法已得到广泛应用，并取代了传统的傅立叶分析方法。 有理模型一般都要规定用具体的能够准确表示的时间函数来表示信号。如瞬 态参数模型，是将采样时间域信号表示成衰减指数或衰减正弦波的形式。虽然在 形式上类似于傅立叶逆变换，都是复指数求和，但实际上有着深刻的区别。傅立 叶表示的基础是一组固定的基函数复正弦函数，其数目与被变换数据的频率 分量的点数相等。而有理模型的指数函数是可调整的。一个好的有理模型能够用 较少量指数函数来表示信号。 当采用一个固定阶的有理模型来作为一个信号的模型时，不可避免地要作某种 近似，近似就会带来误差。由于模型不可能完全准确地表示信号，这就必须规定 一个“拟合好坏程度”的度量标准，以便用系统的方法求解模型对信号进行最佳 逼近的问题。估计逼近误差的度量标准有好几种，但最小二乘方准则最流行，它 度量的是误差的能量。在数学上也便于处理。 用模型拟合或逼近信号，称为信号的建模问题。建模方法有两大类型：直接( 或 7 东南大学硕士研究生学位论文 正向) 建模和间接( 或逆向) 建模。直接建模法是使因果信号x ( n ) 与一有理系统 的单位抽样响应h ( n ) 问的误差平方和达到最小。由于该方法需要解非线性方程， 因此实际上很少使用。 间接建模仍然使用最小二乘方准则，使误差总能量最小，但误差信号是用一 个有限冲激响应f 取滤波器对信号x ( n ) 滤波产生的。该f 取的设计着眼点是力 图去掉x ( n ) 的极点，通过求解线性方程组就可求得模型参数，因此，f i r 的传 输函数应当是信号的全极点模型的分母多项式的最优估计p l 。而且通过求解线 性方程组就可求得模型参数，因此得到了广泛应用。其中，p a d c 聊逼近方法，是 通过强制模型在一个有限的固定区间 o ，p + q ( p 、q 分别是模型的极点数和零点 数) 内是精确的，而使问题转化为求解一个线性方程组。该方法的严重缺陷是对 区间 0 ，p + q 之外的建模精度没有保证，性能较差。也不能保证模型稳定。这在 依赖模型对信号进行综合或外推的应用中是个严重的问题。p m n y 法放宽了模型 在区间 0 ，p + q 内精度匹配要求，以产生对所有点的信号的更好逼近。但对分子 多项式系数的求解与p a d c 逼近法完全相同，使得模型在区间 0 ，q 内是精确的， 而没有考虑n q 时的数据。s h a i l l 【s “1 给出了一个更好的办法，可使模型误差的平 方和对整个记录的数据达到最小化，也只需求解一个线性方程组。 1 2 瞬态参数模型 瞬态参数模型是把短时间的采样数据样本表示为一系列衰减复指数函数 ( 或衰减正弦波) 级数的形式。这与一般具有衰减过渡过程的信号是相适应的。 复指数函数表达式定义如下0 5 1 嗍： x ( 船) = 4 p 毋”r：o ，1 ，1 ) ( 1 2 1 ) 其中： 彳。为复数振幅，s 。为复数频率，即信号极点，其实部为衰减因子，虚 部除以2 万即为信号频率，p 为瞬态参数模型的阶数，丁为抽样间隔。模型把采 样数据点x ( 玎) 表达成p 个复指数函数的级数形式，复数振幅4 。和复数频率 8 东南大学硕上研究生学位论文 s 。将由采样数据点确定。 对( 1 2 1 ) 式作z 变换得： 交换求和符号并计算几何级数的n 项和有： 冲，= 静崔笨 = 1 一#么 ( 1 2 2 ) 圭【彳。( 1 一p 以z 一) ( n ( 1 一e 甲z 一- ) ) 】 七= 1 ( ，= l ，七) b ( z ) 彳( z ) ( 1 2 - 3 ) 式中：么( z ) ：血( 1 一7 r 1 ) = 1 + 窆哝z 是z 的p 次多项式，而且其 零点在p s 丁，p ，p 昂丁处。 系数6 p = 6 p + l = = 钆_ 1 = 0 。若舍去z 的高次项，b ( z ) 则成为z 的 l p 1 次多项式。 由( 1 2 3 ) 式可知，。h z ) 同线性时不变系统的系统函数一样，都是z 的有 理函数。因此，x ( 甩) 可以表示为一个线性时不变系统的单位抽样响应。即建模 为极一零点参数模型，直接在频域上估计该瞬态采样信号的频域特性。 虽然，极一零点参数模型可由合适的全极点参数模型来近似，但近似就会带 9 叫 z 盯 最 f 4 ，蹦脚 = 、，0 y 、， 一 z r & p一 ，l ，兀纠 巳 式项多次 一 p + 的 z 是 “一 z 咕 一脚 + “ z 吃 一脚 l | 、j z ， b 东南大学硕士研究生学位论文 来误差。全极点参数模型，用如下的a r 模型对信号建模： 以加去。壶 其分子固定为1 ( 或一个常数) ，口，( 后) 仅是分母多项式系数用这样的形式去近 似一个信号的频域表达式就难免出现误差。所以，本文将采用a i m a 模型对信 号建模，并使用s h a i l l 【s 给出的方法对模型参数进行优化。 一筹= 器一一删觥锄渡建 模为该滤波器的单位采样响应。不失一般性，假设x ( n ) 是复值( 实值信号的分 析是相同的，只是没有复数共轭) 。又假定n 卸时的x ( 九) 都 为已知，下面要求出滤波器系数口七) 和6 。( ) 使得滤波器单位采样响应办( 圩) 在使如下 误差最小的意义下尽可能接近x ( 稽) ： 1 3 1 求解a r 系数 ( 盯) = x ( 一) 一办0 ) 对( 1 3 1 ) 式两边取z 变换，误差( 功的z 变换表达式为： 1 0 ( 1 3 1 ) 东南大学硕士研究生学位论文 删堋沪筹 ( 1 3 2 ) b q ( n ) x ( n ) a p ( n ) 木x ( n ) 七一、 e ( 一 a p ( z ) 一y 一 图卜一l 求a r 系数的系统解释 借用p a d e 逼近的做法将( 1 3 2 ) 式两边乘以4 。( z ) 就得到一个新误差测度： e ( z ) = 彳，( = ) e 7 ( z ) = 彳，( z ) x ( z ) 一b 。( z ) ( 1 3 3 ) 它和滤波器系数成线性关系。如图1 一l 所示，该误差在时域是6 。( 力与滤波后 的信号6 。( 功= 口，( 疗) x ( 力) 的差值，即 p ( 疗) = 口，( 功x ( 行) 一玩( 力) = 占。( 甩) 一6 。( 力 ( 1 3 4 ) 由于玎 g 时色( 功= o ，因此可将p ( ”) 按不同的疗值表达为； p ( 行) = x ( 珂) + 善口，( 慨( 行一z ) 一玩( 力， k l x 伽) + 艺口。u ) x ( 拧一，) ， ，- l 。 聆= 0 ，1 ，g ( 1 3 5 ) 疗 口 彳，( ；) 是1 月一化的，即诉( 0 ) 2 l 。p r o n y 方法不是像p a d e 逼近那样设 n - 0 ，l ，p + q 时的p ( 帕= o ，而是首先使下列平方误差最小以求解口。( 七) ： 善矿卦c 以1 2 = 卦+ 知慨”d m s 回 可以看出，极一零点参数模型关心的是第g + l 点以后的平方误差。善，。只与系 数d ，( 七) 有关，与玩( 七) 无关，因此取善，。对口，( 七) 的偏导数为零就可以求出使 平方误差最小的系数口。( 七) ，即： 东南大学硕上研究生学位论文 淼：砉蜊嘻器一o ，2 川n 乃 由( 1 3 5 ) 式可知 a e ( h ) 丽2 z ( 竹一七) ， 因此，( 1 3 7 ) 式可写为： p ( ) x ( 聆一t ) = o ， 七= 1 ，2 ，p( 1 3 8 ) 七= 1 ，2 ，p( 1 3 9 ) 这也称为正交性原理l “。将( 1 3 5 ) 式的e ( n ) 带入( 1 3 9 ) ，得： 羔。 巾) + 善硝慨( h _ f ) ) 巾：。 ( 1 s 加) x ( h ) + 绵( ，) x ( h 一，) x ( 珂一七) = o ( 1 3 1 0 ) n ，口+ 】l z l 。 j 或等效地， 艺口，( f j x 一，) xo 一i ) i - 一x ( 疗) xo 一七) ( 1 3 1 1 ) ，- l l 月= 4 + i j h = 目+ l 为简化上式的表示，我们定义x ( n ) 的确定性自相关为： ，( t ，) = x ( ”一，) z ( 刀一七) ( 1 3 1 2 ) 它是一个对称函数，即 ( 七，) = n ( ，七) 根据( 1 3 1 2 ) 式，( 1 3 1 1 ) 式可写为： 喜刚仉吲卜鹏，o ) ， 矧，2 ，p3 1 3 ) 上式称为p r o n y 正则方程，共有p 个未知量口，( 1 ) ，口，( p ) ，也有p 个线性方程。 写成矩阵形式，为； 或： ，( 1 ，1 )r ，( 1 ，2 ) ，( 1 ，3 )，( 1 ，p ) ，( 2 ，1 )，。( 2 ，2 ) ，( 2 ，3 ) ，( 2 ，p ) 厂，( 3 ，1 )，( 3 ，2 )，( 3 ，3 ) 以( 3 ，p ) ! ；j ，( p ，1 )，( p ，2 )，( p ，3 ) ，( p ，p ) r ，万。= 一厂， 1 2 仉( 1 ) 矾( 2 ) 纯( 3 ) 口。( p ) 1 3 1 4 ) ( 1 3 1 5 ) 东南大学硕士研究生学位论文 式中r ，是p p 的自相关对称矩阵， 是如下矢量： ，：k ，( 1 ，o ) ，r ，( 2 ，o ) ，( p ，o ) f ( 1 3 1 6 ) 也可以用稍不同的形式来表达p m n y 正则方程设k 是包括p 个无限维列矢量 的数据矩阵： x q = x ( g )x ( g 1 ) x ( g p + 1 ) x ( g + 1 ) x ( 留)x ( g p + 2 ) x ( g + 2 ) x ( g + 1 ) x ( g p + 3 ) ； 自相关阵尺，可以由z 写为： 自相关矢量n 也可以由兄表达为： ( 1 3 1 7 ) ( 1 3 1 8 ) 一2 彳：靠l ( 1 3 1 9 ) 其中x 。“= 【x ( g + 1 ) ，z ( g + 2 ) ，x ( g + 3 ) ，r 。因此p r o n y 正则方程可以等效地写 为： 置j 万，= 一x ；毛。 ( 1 3 2 0 ) 若r ，是非奇异的，则使孝，。最小的系数口，( 七) 为： 瓦：一尺：1 几= 一k ：x ，1 x ；赫。 ( 1 3 2 1 ) 下面讨论一下误差f 。的最小值由于： 善矿磐c 胛1 2 ：毒。咖枷，+ 善删巾棚 = p ( 疗) x ( 一) + e ( 打) l 口，( 后) xo 一七) 1 月呵+ 1月；目+ lii i 。 i = e ( h ) x o ) + 口，( 七) i p ( 胛) x 铆一七) j ( 1 3 2 2 ) pl h - 口“ i z l 1 月= 4 “i 由正交性原理可知： 鼬的隆加卅 - o m s ， t 。1j 月t 口+ ll 所以善，。的最小值g 。应为： = 喜咖川加喜 巾) + 缸加以) j x ( 帕( 1 3 2 4 ) 由( 1 3 1 2 ) 式自相关序列n ( j ，) 的定义，上式可写为： ，。；，。( o ，o ) + 艺口，( 七) r ，( o ，七) ( 1 3 2 5 ) p = 一( o ，o ) + 乙嘶( 七) r ，( o ，七) 【l 3 z ，) 该式只对满足正则方程的那些口。( 七) 系数成立。如果要计算其他任意系数的建模 误差，则需要用( i 3 2 2 ) 式，它对a 。( 七) 没有约束。 导出了最小误差表达式后，可用一个稍不同的形式来重写正则方程，这种形式在 后面有用。若将式1 3 1 4 右式的矢量移到左边，并通过在系数口，( 七) 的矢量上加 一个头系数l 而将右边的矢量结合到自相关阵的表达中，则有： r ，( 1 ，0 ) 厂，( 2 ，o ) ，( 3 ，1 ) ，。( p ，o ) ，_ 。( 1 ，1 ) ，( 2 ，1 ) ，一，( 3 ，1 ) ，( p ，1 ) ，( 1 ，2 ) r ，( 2 ，2 ) ，( 3 ，2 ) r 。( p ，2 ) r ，( 1 ，p ) r ，( 2 ，p ) ，3 ，p ) 厂，( p ，p ) l 口。( 1 ) 口2 ) ； 口。( p )= 睡 由于上式左边的矩阵是p 行，p + 1 列，我们可以用式1 3 2 5 增广矩阵为方阵， 从而有： 厂，( o ，o ) ，( 1 ，0 ) r ，( 2 ，1 ) r ，( p ，o ) ，( o ，1 ) r ，( 1 ，1 ) ，2 ，1 ) r ，( p ，1 ) r o ，2 ) ，( 1 ，2 ) r ，( 2 ，2 ) ，：( p ，2 ) r ，( 0 ，p ) r ，( 1 ，p ) ，。( 2 ，p ) r ，( p ，p ) 写成简单的矩阵的形式，就为：r ，口，2s p l l 口。( 1 ) 口。( 2 ) i 口。( p ) s p ，q o o ： o 其中r ，是( p + 1 ) ( p + 1 ) 的埃米特阵， 是单位矢量， m = 【1 ，o ，o r ，口，= 【l ，口p ( 1 ) ，口p ( p ) 】，是增广的滤波器的系数矢量。 东南大学硕士研究生学位论文 1 3 2 求解m a 系数 一旦求出分母系数后，p r o n y 方法的第二步是求分子系数。可以采用几种不同 的方式。p r o i l y 方法是通过使如下误差在n 卸，l q 时为零而求解分子系数： p ( ”) = 口，( ，z ) x ( ”) 一6 q ( ”) 换言之，求分子系数是采用与p a d e 逼近方法完全相同的方式；本文采用s h a i l k s 给出的方法，使如下模型误差的平方和对整个记录的数据达到最小化： p 7 ( n ) = x ( 刀) 一办( 胛) ( 1 3 2 6 ) 为实现这一目标，首先将对x ( 珂) 建模的滤波器分别看作是b - ( z ) 和：西两个 滤波器的级联，即： 日咀 赤 n s 刀， 如图1 2 所示。一旦确定了彳。( z ) ，根据信号与系统m 的知识可知 图l 一2 求m a 系数的系统解释 万( 甩) = g ( 拧) 口，( ”) = 委口，( 七) g 一七) ( 1 3 2 8 ) 由( 1 3 2 8 ) 式，可以用如下的递归方法计算滤波器j 去石的单位响应g ( 力： g ( 加万( 小砉“馏( 川) ( 1 3 2 9 ) 其中，对于玎 o 的( 疗) 的平方和来求解系数6 。( 七) 。但若只已知x ( 行) 在有限区间l o ，j 中 的值，由于不能获得疗 时的p ( 疗) ，因此不可能最小化包括疗 的区间内的 p ( 刀) 的平方和，只能对区间i o ，j 之外的x ( 刀) 值做一些假设，在水声换能器校 准中可用的只是在无反射时间内的一小段数据，也属于这种情况。这时我们采用 的方法是保持区间i o ，j 内的数据不变，而置i o ，j 之外的数据为零，相当于对 x ( 珂) 加了一个矩形数据窗，然后用前述的方法求加窗信号的模型。 在处理加窗数据时，1 3 1 和1 3 2 两小节所阐述的求a r 系数和m a 系数的 方法依然成立，只是在求a r 系数时，求解( 1 3 1 3 ) 式的p 枷y 正则方程，且用 ( 1 3 1 2 ) 式计算自相关，。( | j ，) 时采用加矩形窗的数据，a r 系数的解依然由( 1 3 2 1 ) 1 9 东南大学硕士研究生学位论文 式给出；在求m a 系数时，求解( 1 3 3 9 ) 式且用( 1 3 3 7 ) 式和( 1 3 _ 3 8 ) 式分别求自相 关和互相关时采用加矩形窗的数据，这时( 1 3 3 9 ) 式的系数矩阵不再是1 砘p l 沱矩 阵。 作用于x0 ) 的不一定都是矩形窗，也可以是其他窗。当作用于x ( 一) 的是矩 形窗时，在求解a r 系数的过程中，虽然比较便于处理，但有时会出现较大的边 缘效应1 4 l ，可能在窗的边缘处不正常地出现很大的误差。为了减小这种误差，常 常采用锥形窗作用于x ( 彩来建立瞬态参数模型。 1 4 信号的恢复及参数估计 得到口，( _ | ) 和玩( j | ) 后即可建立线性时不变滤波器的系统函数： 一筹= 嚣 z ， 此时可以把上式近似当作采样信号x ( 帕( ，l = o ，l ，一1 ) 的z 变换形式。此时 便完成了在频域上估计采样信号频域特性的工作。 令a i m 俄模型传递函数的分母多项式为0 ，即： 彳，( z ) = 1 + 芝口，似) z 一= o ( 1 4 2 ) 上式的复根为z 。( 七= l ，2 ，p ) 。结合第一节的讨论可知，x ( h ) 的极点即为 舢m 执模型分母多项式的零点，即 z t = e x p ( s 刀 ( 七= l ，2 ，p )( 1 4 3 ) 从而确定信号极点； s 。= ；l f i ( 力 = i ，2 ，p )( i 4 4 ) 将( 1 4 ，3 ) 式带入( 1 2 1 ) 式得： x ( 一) ：兰彳。z ： ( n - o ，l ，2 ，n 1 )( 1 4 5 ) t = f 东南大学硕士研究生学位论文 将上式写成矩阵形式有 z 1 ： 一i z l x ( o ) z ( 1 ) x ( 一1 ) ( 1 4 6 ) 然后，再将由( 1 4 2 ) 式解出的复根z 。( 七= 1 ，2 ，p ) 以及采样数据点x ( 疗) ( 以= o ，l ，n 1 ) 带入( 1 4 6 ) 式利用最小二乘法解此超定方程组求解系数4 。在 得到模型和信号的参数估计值后，就可以由下式重建信号： 曼( ”) ：圭4 p & 一r ：羔彳。z ： ( n ：o ，1 ，2 ，)( 1 4 7 ) 女= l七= l 可见，只要能对信号极点z 。( 七= l ，2 ，p ) 准确定位，就有可能精确估计信 号参数并恢复信号，即较准确地外推整个瞬态过程。 誓：# 东南大学预i 研究生学位论文 第二章多路径信号建模技术 前一章，我们较详细地研究了瞬态建模技术。它对扩展水声换能器校准中 存在的低频极限，具有一定的有效性和实用价值，但在信号频率很低或可利用 的数据太短时精度不高。为了提高声纳系统的作用距离，需要声纳系统向低频 方向发展。但是在现有的实验室条件下，由于水池的尺寸受到限制，在低频情 况下，特别是对大功率低频声纳发射器来说由于存在着水面反射和池壁的不完 全吸收引起的反射，使得水昕器接收到的信号交为了通过发射器和永听器之间 的各种各样传播通道的多个信号叠加，因此用传统的方法无法全面、精确地评 价此类换能器的声性能。多路径信号建模技术可以利用足够长的多路径数据， 分析估计直达信号和各种反射信号的到达时间、频率、幅度、相位等特性参数， 有可能更好地解决低频信号的分析问题，并提高参数的估计精度。也就是说， 多路径信号建模技术有可能大大降低实验室条件下校准水声换能器的下限频 率，有很大的使用价值。 2 1 多路径信号模型 原理模型：从下图可以看出在水池中接收端接收到的信号有以下3 个分量组 成：a ) 发射器发射信号的瞬态响应，b ) 信号在水面，水池墙壁等的反射信号， c ) 噪声( 包括声学的和电) 。 东南丈学硕士研究生学位论文 一藿l 一 i 承一置 一i 一 寰_ 7 一 矗- i t 置_ ： ，一l 一一一一 _ 一一一一一二7 7- z - t 图2 - 1 水池多路径不惹图 多路径信号模型可以同时表示直达波和反射波信号，它是将每一路径上的接 收信号，都表示成瞬态参数模型的形式，再按顺序把它们求和叠加而成的。其叠 加的结果表示多路径信号，即我们所采集的水听器的阶跃正弦响应信号。因此， 多路径信号模型可以写成如下形式曲l ： n fp i _ 1 x ( 如) = 缸e x p ( m 咱) + 丸) 甜m 咱) 叫) i = l 七= o 其中：f 模型中多路径信号数目 p ，第f 路径到达信号的极点数 t 第f 路径信号到达时间z f ( 乙一巧) 巧时刻的单位阶跃函数 f 。= 玎r 第疗个采样数据点的采样时刻( 相对于起始采样时刻) r 测量数据的抽样间隔 s 砖= + 2 万厶指数极点 口t 第f 路径第七个指数函数的衰减因子 厂庙第f 路径第七个指数函数的频率 么强第f 路径第| i 个指数函数的幅度 东南大学硕j ：研究生学位论文 尹掂第f 路径第七个指数函数的初相位 在一个阶跃正弦信号的响应中，受迫响应包含了一对共轭纯虚极点，其频率 为厂：自然响应包含了至少一对共轭复数极点和可能出现的实极点那么，第 f 路径信号分量可以写成如下形式9 i i ”i ： x ，( f ，口，彳，矽；) = 彳巾s i n 【2 石。( f 。一f ，) + 矽，。k ( 于。一f ，) 群 + 彳船e x p k 珐( f 。一f 脚 s i n 【2 万船( f 。一f f ) + 矽珐m ( f 。一f j ) k + 彳船e x p 【口扳( f 。一r j ) 】“q 。一f j ) ( 2 1 2 ) t = f + 1 上式中，k 。f 表示共轭复数极点对的数目，k ，f 表示实极点的数目，且 x f = kc f + k 心。对于实信号而言，所有的复数极点都表现为共轭对的形式，复 指数函数的纯虚或复数极点可写成正弦函数与余弦函数和的形式。因此。( 2 1 2 ) 可写为： 肌 x f ( f f ，秒，) = 厂。( f ，秒，) 口口 ( 2 i 3 ) 式中，厂f ( f f ，p f ) 是指数基向量，a f 是厂口( f i ，臼f ) 的加权系数；矢量曰f 中包 含了未知的极点参数( 即衰减因子和频率) ，总的基向量的数目为 蟛= 2 五+ + 2 ，其中包含了两个额外向量：无衰减的正弦与余弦函数，它 们对应于受迫响应。为了不失一般性，将复数极点排在前面，实极点随后，因此 包含未知极点参数的2 如+ 峨维向量目，可表示为下式： 够= 【口j l ，a f 2 厂j 2 ，晓，如，口翰+ i 口翰+ 2 ，口k 】( 2 1 4 ) 受迫响应频率。没有包含在9 f 中，因为它是一个己知的值，即激励正弦波的频 率。受迫响应对应的基向量是信号模型中固有的部分。一般极点的数目和种类是 未知的，需要使用子集选择算法i l 1 或者z 平面辨别技术旧来估计，现在先假定 k d 和k 一是已知的 对式( 2 1 3 ) 中的基向量做如下定义。对于受迫响应对应的共轭纯虚极点对， 东南大学硕士研究生学位论文 由式( 2 1 2 ) 利用三角函数运算法则可知： 州强厂。魄一乃) + 丸】_ 洲卿。一训c o s 丸+ 酬力吮魄一剀咖丸 因此其基向量可定义为： 厂f o 。( f 。，f f ) = c o s 【2 万厂。( f 。一f f ) 弘( f 。一f f ) ( 2 1 t 5 a ) 厂f o 。( f 。，f f ) = s i n 2 石厂o ( f 。一丁j ) m ( f 。一f f ) ( 2 1