（应用数学专业论文）一类下降非线性共轭梯度法.pdf

ac l a s so fd e s c e n tn o n l i n e a rc o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o d s t a o y i n g b s ( x i a n gt a nu n i v e r s i t y ) 2 0 0 3 at h e s i ss u b m i u e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o r t h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e a p p l i e dm a t h e m a t i c s i n t h e g r a d u a t es c h o o l o f h u n a nu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rl id o n g h m m a r , 2 0 1 1 咖9洲3叫4洲609-舢y 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：阂盟蒯盟 日期：仍j 1 年乡月；6 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 作者签名： 导师签名 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“4 ) 阈见 日期：沙lj 年f 月7 0 日 日期：p i f 年岁月3 o 日 一类下降非线性共轭梯度法 摘要 非线性共轭梯度法是求解最优化问题的一类有效算法，该算法的显著优点是 存储量小，且具有较好的收敛性，因此被广泛应用于求解大规模的最优化问题但 是，有些传统的共轭梯度法不能保证产生的方向是下降的，而有些虽具有下降方 向但其下降性较强依赖于算法所采用的线性搜索 最近几年，求解最优化问题的具有下降性的共轭梯度法引起了学者们地广泛 关注，已提出了许多具有良好收敛性质和数值效果的下降共轭梯度法本文进一 步研究了由z h a n g 等提出的修正的f r ( m f r ) 算法和修正的p r p ( m p r p ) 算法与 提出新算法不同，本文研究由m f r 算法和m p r p 算法的凸组合形成的一类下降 共轭梯度法这类算法包含m f r 算法和m p r p 算法而又作为特殊情形 第二章提出这类算法并研究该类算法的性质我们证明这类算法保持了m f r 算法和m p r p 算法的共同优点：( 1 ) 算法产生的搜索方向满足充分下降性，这种性 质不依赖于算法所采用的线性搜索；( 2 ) 当采取精确线性搜索时，算法具有二次终 止性 第三章研究当采用两种不同非精确线性搜索时这类算法的收敛性我们首先 证明，这类共轭梯度法当采用a r m i j o 型线性搜索，用于求解非凸函数极小化问题 时具有全局收敛性然后，我们证明当采用w o l f e 型线性搜索时，该类算法用于 一致凸函数极小值问题求解的全局收敛性 最后，通过大量的数值试验对该类算法进行数值检验我们检验当采用 a r m i j o 型线性搜索，算法类中取不同参数时相应算法的数值结果，同时将数值效 果较好的算法与m f r 算法、m p r p 算法进行数值比较 关键词：无约束最优化问题；非线性共轭梯度法；全局收敛性 硕上学位论文 a b s t r a c t n o n l i n e a rc o n ju g a t eg r a d i e n tm e t h o d sa r ev e r ye f f i c i e n tf o rs o l v i n go p t i m i z a t i o n p r o b l e m s a na t t r a c t i v ea d v a n t a g eo ft h ec o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o d si s t h e i rl o w e r s t o r a g ea n dg o o dc o n v e r g e n c ep r o p e r t y c o n s e q u e n t l y ，t h e ya r ep a r t i c u l a r l yw e l c o m e i nt h es o l u t i o no fl a r g es c a l eo p t i m i z a t i o np r o b l e m s h o w e v e r ，m o s ts t a n d a r d c o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o d s a r en o td e s c e n tm e t h o d s s o m eo ft h e ma r ed e s c e n t m e t h o d s h o w e v e r ，t h ed e s c e n tp r o p e r t ys t r o n g l yd e p e n d s o nt h el i n es e a r c hu s e d i nr e c e n ty e a r s ，t h es t u d yi nt h ed e s c e n tc o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o d sh a sr e c e i v e d m u c ha t t e n t i o n t h e r eh a v ed e v e l o p e dv a r i o u sd e s c e n tc o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o d s t h a tp o s s e s sg o o dc o n v e r g e n c ep r o p e r t i e sa n dn u m e r i c a lp e r f o r m a n c e i nt h i st h e s i s ， w ef u r t h e r s t u d yd e s c e n tc o n j u g a t eg r a d i e n t m e t h o d sb a s e do nt h em o d i f i e d f r e t c h e r r e e v e s ( m f r ) m e t h o da n dt h em o d i f i e dp o l a k - r i b i e r e p o l y a r k ( m p r p ) m e t h o d w ed on o tp r o p o s en e wm e t h o db u ts t u d yt h ec l a s so fc o n ju g a t eg r a d i e n t m e t h o d sf o r m e db yt h ec o n v e xc o m b i n a t i o n o ft h em f rm e t h o da n dt h e m p r p m e t h o d t h i sc l a s so fc o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o d si n c l u d e st h em f rm e t h o da n dt h e m p r pm e t h o da ss p e c i a lc a s e s i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h ep r o p e r t i e so ft h ec l a s so ft h ec o n j u g a t em e t h o d s w e w i l ls h o wt h a tt h i sc l a s so fm e t h o d se n j o y st h es a m en i c ep r o p e r t i e sa st h o s eo ft h e m f rm e t h o da n dt h em p r pm e t h o d ( 1 ) t h em e t h o d sg e n e r a t es u f f i c i e n t d e s c e n t d i r e c t i o n sf o rt h eo b j e c t i v ef u n c t i o n t h i sp r o p e r t yi si n d e p e n d e n to ft h el i n es e a r c h u s e d ( 2 ) i fe x a c tl i n es e a r c hi su s e d ，t h em e t h o d sp o s s e s sq u a d r a t i ct e r m i n a t i o n p r o p e r t y i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h ec o n v e r g e n c eo ft h ec l a s so fm e t h o d su n d e rd i f f e r e n t l i n es e a r c h e s w ef i r s ts h o wt h a ti fa r m i j ot y p el i n es e a r c hi su s e d ，t h e nt h em e t h o d s a r eg l o b a l l yc o n v e r g e n tw h e nu s e dt om i n i m i z eag e n e r a ln o n c o n v e xf u n c t i o n w e t h e ns h o wt h a tw h e na p p l i e dt os o l v ea nu n c o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o np r o b l e mw i t h u n i f o r m l yc o n v e xo b j e c t i v ef u n c t i o n ，i fw o l f el i n es e a r c hi su s e d ，t h e nt h es e q u e n c e g e n e r a t e db ye a c ho f t h em e t h o d sc o n v e r g e st ot h eu n i q u es o l u t i o no ft h ep r o b l e m f i n a l l y ，w ed oe x t e n s i v en u m e r i c a le x p e r i m e n t st ot e s tt h ec l a s so fm e t h o d s w e f i r s tt e s tt h em e t h o d sw i t ha r m i jol i n es e a r c h w et e s tt h ep e r f o r m a n c e o ft h e m e m b e r si nt h ec l a s sw i t hd i f f e r e n tp a r a m e t e r s w et h e nc o m p a r et h ep e r f o r m a n c eo f o n eo ft h em e t h o di nt h ec l a s sw i t ht h em f rm e t h o da n dt h em p r pm e t h o d 1 1 1 一类下降非线性共轭梯度法 k e yw o r d s ：u n c o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o n ；n o n l i n e a rc o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o d s ；g l o b a l c o n v e r g e n c e i v 硕：l ：学位论文 目录 学位论文原创性声明和学位论文版权使用授权书i 摘要：i l a b s t r a e t i i i 第1 章绪论1 1 1 无约束最优化问题及线性搜索方法1 1 2 共轭梯度法及其相关研究进展4 1 3 本文的主要工作及以后各章节安排8 1 3 1 本文的主要工作8 1 3 2 本文的章节安排9 1 4 本文的基本引理和假设9 第2 章一类非线性下降共轭梯度法及其性质1 1 2 1m f r 算法和m p r p 算法介绍1 1 2 2m f r m p r p 算法类的建立和步骤1 4 2 3m f r m p r p 算法类的性质1 5 2 3 1 算法类的下降性1 5 2 3 2 算法类的二次终止性一1 6 第3 章m f r m p r p 算法类的全局收敛性1 8 3 1 采用a r m i j o 型线性搜索时算法类的全局收敛性1 8 3 2 采用w o l f e 型线性搜索时算法类的全局收敛性2 3 第4 章m f r m p r p 算法类的数值试验2 6 4 1 测试问题、参数、终止说明2 6 4 2 采用a r m i j o 型线性搜索的数值结果及分析一2 7 结论3 7 参考文献3 8 致谢4 l 附录a 参数取0 1 o 4 时m f r m p r p 方法的数值结果4 2 附录b 参数取o 5 - 0 9 时m f r m p r p 方法的数值结果5 l 附录cm f r m p r p 方法与m f r 方法、m r p 方法的数值比较6 0 v 硕士学位论文 第1 章绪论 最优化问题在许多领域都有着广泛的应用，如在生产中如何最大限度的降低 成本，在运输过程中如何设计运输费用最省的运输方案，在经济运营中如何使效 益最大化等最优化问题成为人们在生产、生活、学习过程中经常面临的最值问 题或极值问题数值方法是最优化领域的一个重要研究内容随着科学技术革新 的迅速发展，大规模问题的求解已变得越来越重要本文主要研究求解无约束最 优化问题的一类下降共轭梯度法该类算法由于其存储量小、收敛速度快的特点 【l 】，特别适合求解大规模的最优化问题，在石油勘探、大气模拟、航天航空等领 域取得了广泛的应用与发展但共轭梯度法的算法和理论方面的研究还不完善， 有待于进一步研究近年来，有关共轭梯度法，尤其是下降型共轭梯度法的研究 已引起了越来越多学者的广泛关注本文的主要研究内容也是求解无约束最优化 问题的下降非线性共轭梯度算法 1 1 无约束最优化问题及线性搜索方法 设f ：r ”- - r 是连续可微函数，考察如下无约束优化问题： m i n 厂( x ) ，x r ”( 1 1 1 ) 记町( x ) 为f ( x ) 在x 处的梯度，若点x r ”满足 v f ( x ) = 0 我们称之为函数厂的驻点，或稳定点由最优解的条件可知，问题( 1 1 ) 的解都是 稳定点 求解问题( 1 1 ) 常用迭代法，迭代法的基本思想如下：给定一个初始点x o r ”， 一般地，在坼处，按照如下迭代公式计算下一个迭代点： 磁+ l - x k + 哝， ( 1 1 2 ) 其中以是厂在x 处的一个下降方向，满足夥( x ) r 也 0 令七= 0 步l 若8 町g 。s ，则终止算法，得解否则，转步2 步2 确定下降方向以，使得 v f ( x ) 7 破 0 步3 确定步长a k ( a k 0 ) ，使得 k + 吒以) 0 精确线性搜索在确定步长嘶时需要求一元函数厂的最小值，计算量较大，比 如黄金分割法；而非精确线性搜索只要求步长唧使得k + 以) 较( x 。) 有一定 的下降量，大大减少了计算量，因而更受到人们的青睐 我们下面介绍几种常用的非精确线性搜索： ( 1 ) a r m i j o 线性搜索1 1 】：给定万( o ，1 ) ，p ( o ，1 ) ，求吼= m a x ，j = o ，1 ，2 ，) ，满足 条件： f ( x k + 嘶以) 一f ( x k ) 钯k g r d k ( 1 1 4 ) 在a r m i j o 型线性搜索中，参数占可以取( 0 ，1 ) 内的任何实数，在某些算法如 n e w t o n 法和拟n e w t o n 算法中，为了保证算法的超线性收敛性，一般取 1 、 万fo ，i 11 在a r m i j o 线性搜索中，若取p ( 0 ，1 ) 接近于1 ，则相邻两次试探步的改 z 变相对较小，此时可获得较大步长，但需要经过多次搜索才能得到步长诉若 p ( 0 ，1 ) 接近于o ，则可经过相对较少的试探步获得，但获得的步长可能很小 ( 2 ) w o l f e p o w e l l 型线性搜索l 1 ：给定常数0 万o r 0 满足条件： f ( x k + a k d k ) 一f ( x k ) o g r d k ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 不难看出，a r m i j o 型线性搜索的条件是w o l f e p o w e l l 型线性搜索中的第一个 条件w o l f e p o w e l l 型线性搜索条件中第一个不等式保证充分下降，第二个不等 硕十学位论文 式防止步长过小，从而克服了a r m i j o 型线性搜索的缺陷 ( 3 ) 强w o l f e 线性搜索1 l ：给定参数o 万仃 l ，求满足条件： f ( x k + 喀) 一f ( x k ) _ s a k g r d k ， ( 1 1 7 ) i d g ( x 七+ 吼以) i 仃i 靠d ki ( 1 1 8 ) ( 4 ) 推广的w o l f e 线性搜索：给定参数q ( 0 ，1 ) ，0 2 0 ，求g t k 满足条件： f ( x k + 吼畋) 一厂( 磁) 融t g ：吨，( 1 1 9 ) q 西d k _ d r g ( x k + 鲰以) 一吮矗畋 ( 1 1 0 ) 当q = 0 2 时，推广的w o l f e 线性搜索就是强w o l f e 线性搜索 ( 5 ) g o l d s t e i n 线性搜索2 1 ：给定参数0 8 2 i i 磊 l ，求满足条件： 磊鲰以f ( x k + 畋) 一f ( x k ) _ ，相应的算法称 为p r p + 方法g i l b e r t 和n o c e d a l 2 8 】证明了在适当的线性搜索下这种p r p + 方法求解 非凸函数极小化问题时的全局收敛性 1 9 9 7 年，g r i p p o 和l u c i d 2 8 1 基于p l 冲公式，设计了一种新的a r m i j o 线性搜 索方法，使得p r p 方法产生下降方向即给定常数 o ，万 o , p ( o ，1 ) ，令 仁一p 剖, j = 0 , 1 , 2 , - - - ， 2 m ， 使其满足 y ( x 。+ 。) ! ；s ( x 。) - 斫l l d 。1 2 ， ( 1 2 1 4 ) 硕十学位论文 一c 。恬g ) 1 1 2 g g 川) r d k + 。 - c ：恬g 2 ， ( 1 2 1 5 ) 其中0 c ， l c 是常数g r i p p o 和l u c i d ! 2 8 】证明了原始的p r p 方法在该线性搜 索下求解一般的非凸函数极小化问题全局收敛性但g r i p p o 和l u c i d ! 没有给出 这种算法的数值例子 2 0 0 0 年，d a i l l 5 1 讨论了p r p 方法的一个新性质，即取常数步长因子的p r p 方 法在每次迭代都产生一个下降方向且全局收敛但这种常数步长因子的选取依赖 于l i p s c h i t z 常数，而三往往不能预先估计，因此在实际计算中不容易操作 ( 3 ) h s 方法、c d 方法、d y 方法和l s 方法 h s i 2 9 1 方法与p r p 方法的收敛性和数值表现都差不多，但是h s 方法拥有p r p 方法不具有的共轭性质，即h s 方法满足碰一l y k l - 0 ，且h s 的共轭性不依赖于搜 索是否精确总成立当采取线性搜索精确时酽= 反肾，则此时的h s 方法求解 一般的非凸极小化问题时不一定收敛类似于p l 冲+ 方法，g i l b e r t 和n o c e d a l ! 邛j 讨论了h s + 方法，即胪+ = m a x 胪，o ) ，并证明如果搜索方向满足充分下降条件并 且目标函数的导数满足l i p s h c t i z 条件，h s + 方法在强w o l f e 线性搜索下全局收 敛基于拟牛顿方程和h s 方法的共轭性质，d a i 和l i a o l 3 0 】提出了d l + 公式，y a b e “ 和t a k a n o 3 】提出了一种新的共轭梯度法汀+ ，并证明了在采取w o l f e 线性搜索下 求解非凸极小化问题的全局收敛性但这几种方法都不能保证产生下降方 向h a g e r 和z h a n 9 1 3 2 l 提出了h z + 方法满足充分下降条件，并给出了表现非常好 的大量的数值结果 c d 算法1 1 3 j 具有一个重要特性，即在采用强w o l f e 线性搜索( 1 6 ) 和( 1 7 ) 时， 只要满足其中的参数o r 0 使得： i i g ( x ) l i m ，v x q ( 1 4 2 ) 下面的引理来e 1 1 1 的第二章 一类下降非线性共轭梯度法 引理1 4 1 设假设条件a 成立考虑迭代格式x k + l = x k + 以，其中畋满足 酊畋 o ，步长因子满足w o l f e 线性搜索( 1 1 5 ) 和( 1 1 6 ) ，或满足a r m i j o 线性 搜索( 1 1 4 ) ，且存在常数c 使得： 0 可( x ) 0 e l l 咴 ( 1 4 3 ) 成立，则有： 妻篮丝 0 ，选取初始点x o r ”，令k - 0 步l 按公式( 2 2 1 ) 计算畋，如果恬。 0 时改进初始步长， 吒= m a x p j t t ，j = 0 ，1 2 ( 2 2 3 ) 使它满足某种线性搜索这种方式选取初始步长，有效性将在数值部分得到充分 表现 2 3m f r m p r p 算法类的性质 本节，我们研究由上节提出的m f r m p r p 算法类的性质我们将证明该类 算法具有如下优点：( 1 ) 无论采用何种线性搜索，算法都产生充分下降方向；( 2 ) 当 用于求解严格凸二次函数极小值时，若采用精确线性搜索，则算法类中的任何一 个算法产生的方向都关于目标函数的h e s s i a n 矩阵相互共轭特别地，算法具有 二次终止性 2 3 1 算法类的下降性 下面的定理表明，m f r m p r p 算法具有充分下降性 定理2 3 1 设厂连续可微，则由( 2 2 1 ) 确定的d 一脚是厂在以处的充分下 降方向，即d 一御即满足： g 。t “i m f r 一一= 一i l g 。0 2 并且，这个性质不依赖于搜索方法 证明：由于刃舰和钟脚分别满足 矿= 一i i 1 1 2 ， ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 一类下降非线性共轭梯度法 最d 警蝌= - i i g k 婿 ( 2 3 3 ) 因此，由( 2 2 1 ) ，我们有 或d 警硼岫p 孵= q 一硒g r d 警弼+ 丸吱d 褂= - i i g k 婿 这表明以舰一一是在坼点的充分下降方向 证毕 2 3 2 算法类的二次终止性 本小节，我们证明当m f r m p r p 算法类用于求解严格凸二次函数极小化问 题 m i n f ( x ) = z x7 q x + q r x ， ( 2 3 4 ) 时具有有限步终止性，其中q r “”对称正定，q r ”事实上，下面的定理表明， 当用于严格凸二次函数极小化问题( 2 3 4 ) 的求解时，m f r m p r p 算法产生的方向 关于目标函数的h e s s i a n 矩阵相互共轭特别地，该算法能有限步终止 定理2 3 2 对于严格凸二次函数极小化问题( 2 3 4 ) ，若从任意初始点出发，若 采用精确线性搜索，则 ( 1 ) 对任何k 下面的关系式成立： 7 d ，= 0 ，颤7 9 j = 0 ，v i k ( 2 3 5 ) ( 2 ) 对任何k 垠m f r m p r p 算法类中的任意一个算法产生的方向 d o ，碣，d 2 ，反一。关于矩阵q 相互共轭，即 4 1 q d = 0 ，v i 七 ( 2 3 6 ) 特别，算法具有二次终止性 证明：首先注意到当采用精确线性搜索时，矿和刃册分别还原为和 d ：r p ，贝j j ( 2 2 1 ) 中的d 。还原成共轭梯度法的标准形式，即 矿= k ：筘“，置 矿= k 漤扎，甚 因此 d ，一= k + 【( 1 一a 赫；赫k 浮一，暑 ( 2 3 7 ) 下面我们对k 用数学归纳法证明定理的结论 当k = 1 时，由f r 算法和p r p 算法产生的方向的共轭性以及精确线性搜索的 硕二卜学位论文 条件，定理显然成立设定理对k r t l 成立，即( 2 3 5 ) 和( 2 3 6 ) 成立下证定理 对k + l 成立，即( 2 3 5 ) 和( 2 3 6 ) 对k + 1 成立 注意到 g i g t l = q ( x i - - x i i ) = 口t l 矽i i ， 由归纳假设，我们有：对任何i k ， d ? q d k = 0 ，v i k 因此，我们只需证明下面二式： + 1 跳= 0 ，v i k ( 2 3 8 ) + 1 7 d ，= 0 ，g k + 1 7 9 j = 0 ，w k + 1 ( 2 3 9 ) 当，= k 时，由精确线性搜索易知( 2 3 9 ) 成立对j - k ，由归纳假设以及精确线性搜 索的条件，我们有 + 1 7 嘭= 【( + l g k ) + ( 反一g k 1 ) + + ( 毋+ 2 一g j + 1 ) 】7t + 毋+ 1 7 乃 = 仅k d ：q d j 七o c k _ 、d ；- 、q d j + + o c j 0 ：。& d j + g j + l r d j = 0 ， 即( 2 3 9 ) 中的第一式对七+ 1 成立又由( 2 3 7 ) 可得 9 0 。g ，= 9 0 。 - 嘭+ 【( 1 一五) 矿+ 丑即k 一， = o 即( 2 3 9 ) 0 0 的第二式对k + l 成立由归纳原理，( 2 3 5 ) 对k + 1 成立 下面证n ( 2 3 8 ) 成立事实上，对汪k ，由于背、d k m p r p f f i 吨关于矩阵q 共 轭，因此，( 2 3 8 ) 对扛k 成立对i k ，由( 2 3 5 ) ，我们有 + 酗= 一q 。1 9 ：+ l ( 岛+ l 一吕) = 0 即( 2 3 8 ) 中的第一式对k + 1 成立由归纳原理，定理成立 证毕 上面的定理2 3 1 和定理2 3 2 表明，m f r m p r p 算法类保留了m f r 算法和 m p r p 算法的共同优点，即算法在每次迭代都能产生充分下降方向，该性质与算 法所采用的线性搜索无关，且该算法具有二次终止性有关采取精确线性搜索的 共轭梯度法用于求解凸二次函数极小化问题时具有的性质，参看文献【3 9 】定理 5 3 2 和文献 2 1 5 4 ，5 5 一类下降非线性共轭梯度法 第3 章m f r m p r p 算法类的全局收敛性 本章，我们将研究m f r m p r p 算法类的全局收敛性我们将先证明 m f r m p r p 算法类在标准a r m i j o 线性搜索下求解非凸函数具有全局收敛性，即 在算法2 2 1 中，我们按如下方式确定步长：取= m a x p ，歹= o ，1 ，2 ， 满足 f ( x t + p 7 d k ) i ( x ) + , s p g ：d i ， ( 3 1 ) 其中( o ，1 ) ，磊( 0 ，1 ) 是常数然后我们将证明m f r m p r p 算法类在w o l f e 线性 搜索下求解一致凸函数时是全局收敛的，即步长吼要求满足 f ( x k + 口i d i ) si ( x t ) + 8 a g ：d k ， ( 3 2 ) g ( x k + 吼反) 7 巩盯颤t 吨， ( 3 3 ) 其中0 万 o r 0 ，使得下面的不等式对所有的充分大的k 都成立： 啦q 等 b ， 证明：由a r m i j o 型搜索条件( 3 1 ) 和假设条件a ，我们有 一融i g k r 矾 o 由此及等式( 2 3 1 ) 可得下式成立： ( 3 1 2 ) 吼恢1 2 = 一吒g k r d k 0 特别，我们有 硕士学位论文 f 面，我们分两种情况来证明( 3 1 3 ) 成立 当= l 时，由等式( 2 3 1 ) ，有恬i l 畛。8 我们令q = 1 ，则 剐虬 即( 3 1 3 ) 式成立 当 融。p g k r d k 由微积分中值定理及l i p s c h i t z 条件，存在r t ( 0 ，1 ) 使得 厂g 。+ p 1 口。喀) 一厂g 。) = p 一口。g g 。+ ，。p 一口。d k f d 。 ( 3 1 4 ) 即下面的不等式 = o q p g k r d 。+ p 。1 口。b g 。+ 户。1 口。d 。) 一g 。) r 畋 0 由( 2 1 2 ) 、( 2 1 5 ) 和( 2 2 1 ) ，我们有 = o 斗 小鼢h + 爵扎一爵肌 叫棚嘲用( ，酱卜+ 4 爵扎一 对上式等号两边取模平方，得： 1 2 = l l g 。1 1 2 + ( 1刊驯卜哥 m 一。卜 g t t 巩一i 慨 y i j 扎一爵儿堋 埘恬川r 诗钆一皆娘，卜坩( ，一静卜 棚”叫铸屯一铸。 ( ，一静卜， l 【，- 静h ，九一爵儿卜( ，一普 i 【，一甜i ( ，一告 钆一爵 式子( 3 1