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青岛科技人学研究生学位论文 广义循环矩阵的性质及循环矩阵 在m i z a r 系统中的实现 摘要 循环矩阵属于t e o p l i t z 矩阵类。一般”阶t e o p l i t z 矩阵的特殊性在于它仅有 2 n 一1 个元素并且位于每一条平行于主对角线的直线上的元素都相同，而循环矩 阵除了具有t e o p l i t z 矩阵的一般性质外，还具有更加特殊的性质，如：一般的”阶 循环矩阵只含有摊个元素、它的任意行可以通过对矩阵的第一行进行置换得到等。 基于循环矩阵类的良好性质和结构，对它进行研究将会得到很多有意义的结果。 m i z a r 系统是1 5 个著名的数学定理证明系统之一，它在波兰p l o c k 科学协会 的a n d r z e jt r y b u l e c 教授的领导下己经发展了近3 0 年，目前m i z a r 系统已经形 成了较完备的数学知识处理的形式化系统，它所包含的数学知识几乎涵盖了数学 的每一个分支，但是相对于庞大的数学知识库，很多领域仍然需要我们进一步的 开发和研究。 文中首先利用广义范德蒙矩阵讨论了广义循环矩阵的准对角化问题，并由所 得到的结果，获得了广义循环矩阵的一些相关性质，进而讨论了几种广义循环矩 阵求逆的算法。最后，利用有限序列在m i z a r 系统中给出了关于一般循环矩阵的 几个定义，从而在m i z a r 系统中给出了关于一般循环矩阵的一些基本性质的证明。 本文共分三章： 第一章：给出相关的预备知识，主要是循环矩阵研究的国内外进展、文中用到的 循环矩阵的基本概念、性质以及对m i z a r 系统的介绍。 第二章：利用广义范德蒙矩阵对广义循环矩阵进行对角化，并对几种广义循环矩 阵求逆的方法进行比较。 第三章：利用有限序列将一般循环矩阵在m i z a r 系统进行实现，丰富m i z a r 数据库 的内容。 关键词：循环矩阵对角化逆矩阵m i z a r 系统数学机械化 广义循环矩阵的性质及循环矩阵在m i z a r 系统中的实现 t h ep r o p e r t i e so fg e n e r a l i z e dc i r c u l a n tm a t r l x a n dt h er e a l i z a t l 0 no fc i r c u l a n tm a t r i x n z a rs y s t e m a b s t r a c t t h ec i r c u l a n tm a t r i xb e l o n g st ot h et e o p li t zm a t r i xc l a s s f o r 门x 力 t e o p l i t zm a t r i x ，i th a s2 n 一1e l e m e n t s ，t h ee l e m e n t so nt h ei i n ep a r a l l e l i n g t h em a i nd i a g o n a ll i n ea r et h es a m e t h ec i r c u l a n tm a t r i xh a sm o r es p e c i a l p r o p e r t i e s ：f o r 7 刀c i r c u l a n tm a t r i x 。i to n l yh a s ne l e m e n t s ：i t s a r b i t r a r y1 i n ec o m e sf r o mt h ep e r m u t a t i o no ft h ef i r s t1 i n e ，a n ds oo i b e c a u s eo fi t ss p e c i a ls t r u c t u r ea n dg o o dp r o p e r t i e s ，t h er e s e a r c ho fi t w i l lb r i n go u tal o to fm e a n i n g f u lr e s u l t s t h em iz a rs y s t e miso n eo ft h ef if t e e nf a m o u sa u t o m a t e dm a t h e m a tic a l t h e o r e mp r o v i n gs y s t e m s i th a sd e v e l o p e df o rt h i r t yy e a r sb yt h el e a d i n g o fp r o a n d r z e jt r u b l y co fp l o c ks c i e n c ea s s o c i a t i o n i th a sf o r m e ds e l f c o n t a i n e df o r m a l i z a t i o ns y s t e mo fm a t h e m a t i c a lk n o w l e d g ew h i c ha l m o s t c o v e r sa 1 1t h eb r a n c h e so fm a t h e m a t i c a l c o m p a r e dw i t ht h eh u g er e p o s i t o r y o fm a t h e m a t i c s ，t h e r ea r em a n ya r e a sn e e d e dt oe x p l o r ea n ds t u d y i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h ed i a g o n a l i z a t i o no fg e n e r a l i z e dc i r c u l a n t m a t r i xb yu s i n gg e n e r a l i z e dv a n d e r m o n d em a t r i x t h e ng e ts o m er e l a t e d p r o p e r t i e so fg e n e r a l i z e dc i r c u l a n tm a t r i x a f t e rt h a td i s c u s ss o m e a l g o r i t h m so fr e v e r s i n go fg e n e r a l i z e dc i r c u l a t i o nm a t r i c e s a tl a s tw e g i v et h ed e f i n i t i o no fc i r c u l a n tm a t r i xi nm i z a rs y s t e mb yu s i n gf i n i t e s e q u e n c ea n dg i v et h ed e t e r m i n a t i o no fs o m eb a s i ep r o p e r t i e so fc i r c u l a n t m a t r i xi nm i z a rs y s t e m t h i sa r t i c l ec o n t a i n st h r e ec h a p t e r s ： 青岛科技大学研究生学位论文 c h a p t e r1 ：g i v er e l a t i v ek n o w l e d g ea b o u tt h i sa r t i c l e m a i n l y i n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n to ft h es t u d y i n go fc i r c u l a n t m a t r i x ，t h eb a s i cc o n c e p t i o na n dp r o p e r t i e so fc i r c u l a n t m a t r i xa n dt h ei n t r o d u c t i o no fm i z a rs y s t e m c h a p t e r2 ：d i s c u s st h ed i a g o n a l i z a t i o no fg e n e r a l i z e dc i r c u l a n t m a t r i xb yu s i n gg e n e r a li z e dv a n d e r m o n d em a t r i x ，a n dt h e n d i s c u s ss o m e a l g o r i t h m s o fr e v e r s i n go fg e n e r a l i z e d c i r c u l a r i o nm a t r i x e s c h a p t e r3 ：g i v et h ed e f i n i t i o no fc i r c u l a n tm a t r i xi nm i z a rs y s t e m b yu s i n gf i n i t es e q u e n c ea n de n r i c ht h ec o n t e n to fm i z a r m a t h e m a t i c a ll i b r a r y 。 k e yw o r d s ：c i r c u l a n tm a t r i x ，d i a g o n a l i z a t i o n ，i n v e r s em a t r i x ，m i z a r s y s t e m ，m a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o n 青岛科技大学研究生学位论文 声明 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申请 的论文或成果。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了 明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：瑶菠i ：i 诌 日期： ) 一7 年6 月乙日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解青岛科技大学有关保留、使用学位论文的规定，有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。本人离校后发表或 使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署名单位仍然为青岛科 技大学。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 本学位论文属于： 保密口，在年解密后适用于本声明。 不保密耐。 ( 请在以上方框内打“”) 本人签名：毹蚺考 刷磁轹赵己乞 日期：如6 7 年厂月l 沙日 日期：2 7 年易月t i - h 5 1 青岛科技人学研究生学位论文 1 、绪论及预备知识 1 1 循环矩阵的发展和基本性质 自从t m u i r 于1 8 8 5 年提出循环矩阵的定义 1 以后直到1 9 5 0 年，对于循环 矩阵的研究并没有引起数学工作者的足够重视。1 9 5 0 年至1 9 5 5 年，i j g o o d 等 才分别对循环矩阵的逆、行列式以及特征值进行了研究 2 4 。 循环矩阵属于t e o p l i t z 矩阵类，t e o p l i t z 矩阵类的特殊性在于它有2 n - i 个 元素并且每一条平行于主对角线的元素都相同，而循环矩阵更加特殊除了具有 t e o p l i t z 矩阵类的一般性质之外，还具有比t e o p l i t z 矩阵类更加特殊的性质， 它只含有n 个元素，它的任意行可以通过对矩阵的第一行进行置换得到，这种特 殊的结构使得它具有更加良好的性质，对它进行研究可以得到很多很有意义的结 果。 近年来，循环矩阵类已成为矩阵理论和应用数学领域中一个非常活跃和重要 的研究方向。它之所以引起数学工作者如此大的兴趣主要是基于下面两个方面的 原因：第一，循环矩阵类是一类非常重要的特殊矩阵，在现代科技工程领域中被广 泛地应用，特别是在分子振动、纠错码理论、图象处理、结构计算、计算机时序 分析等领域常常要用到这类特殊矩阵 5 9 。第二，由于循环矩阵类有许多特殊而 良好的性质和结构，已被广泛应用在应用数学和计算数学的许多领域，如控制理 论、矩阵分解、多目标决策等 1 0 1 2 。 由于循环矩阵类在应用方面的广泛性，自从1 9 5 0 年以后，对它的研究引起了 人们的高度重视。它不仅受到代数学界人士的重视，而且受到了计算数学界、应 用数学界等许多领域的研究人员的重视。另外，关于它的理论研究也得到了飞速 发展。迄今为止，仅对于经典循环矩阵的研究文献已有很多。同时，各种新的循环 矩阵被相继提出。至今已有几十种，如：向后( 对称) 循环矩阵，循环布尔矩阵，g 一( 块) 循环矩阵，r 一循环矩阵，向后( 对称) r 一循环矩阵，块循环矩阵，块对称循 环矩阵，块r 一循环矩阵和块对称r 一循环矩阵，二重( r l ，r 2 ) 循环矩阵，块因子 循环分块矩阵，块因子对称循环分块矩阵，多重循环矩阵，鳞状因子循环矩阵，置 换因子循环矩阵，循环模糊矩阵，有限群( 域) 上的广义循环矩阵，循环随机矩 阵，b o t t l e n e c k 代数中的循环矩阵，非方循环矩阵。一矩阵，( 0 ，n ) 一矩阵以及 其它广义循环矩阵等 1 3 2 8 。我国的学者在这方面也做了很多卓有成效的工作 2 9 3 2 。但是作为矩阵理论的重要分支，循环矩阵的性质以及应用等很多方面 广义循环矩阵的性质及循环矩阵在m i z a r 系统中的实现 仍然值得继续研究。 下边给出循环矩阵的基本定义及性质： 定义1 1 1 设口，r ( 或c ) ，i = 1 ，2 ，n ，称矩阵 a = q吒口3 a 4 la 2 一 a - 1a nq 一 口2口34 4 。 吒 a - 1 a 月一2 ： q 为 阶循环矩阵，显然循环矩阵a 的每一行，每一列都是q ，a ：，a 的一个循环 排列。更一般的表示方法是，存在个序列p = a i ，4 ：，a 。) ，使得对于矩阵a 的 每一个元素a 口，有一a “，一f ) o d ) + 1 成立( 当一n m a t r i xo fl e np ，km e a n s ：d e f 6 ： i ti s c o l c i r c u l a n t _ a b o u tp ： e x i s t e n c eb ya 1 ，d e f 5 ： u n i q u e n e s s p r o o f l e tm i ，m 2b em a t r i xo fl e np ，k ： a s s u m et h a tb 1 ：m 1i s c o l c i r c u l a n ta b o u tp a n db 2 ：m 2i s c o l c i r c u l a n t _ a b o u tp ： b 5 ：i n d i c e sm l = i n d i c e sm 2b ym a t r i x 一1 ：2 7 ： f o ri ，jb en a ts t i ，j i ni n d i c e sm 1h o l d sm l * ( i ，j ) = m 2 ( i ，j ) p r o o f l e ti ，jb en a t ； a s s u m e i ，j i ni n d i c e sm 1 ：t h e n m i * ( i ，j ) = p ( ( i jm o dl e np ) + 1 ) m 2 牢( i ，j ) = p ( ( i jm o dl e np ) + 1 ) b yb 5 ，b 1 ，b 2 ，d e f 4 ； h e n c et h e s i s ： e n d ； h e n c et h e s i sb ym a t r i x j ：2 8 ： e n d ： e n d ： 事实上，行循环矩阵和列循环矩阵在本质上都是一样的，只是在表达形式上 有些不同。下文中我们将主要对行循环矩阵的性质进行讨论。同时，为了表达的 更简洁，我们用循环矩阵( c i r c u l a n t ) 来替换行循环矩阵( 1 i n e c i r c u l a n t ) ： d e f i n i t i o n l e tkb es e t ：l e tm 1b em a t r i x o fk ： a t t rm 1 i sc i r c u l a n tm e a n s ：d e f 7 ： m 1i s1 i n ec i r c u l a n t ： e n d ： 青岛科技大学研究生学位论文 另外，还有两种特殊循环矩阵也比较常见：反循环矩阵( a n t i c i r c u l a n t ) 和 循环薄巷矩阵( c i r c u l a m s y m m e t r i c ) ，这旱我们一并给出它们的定义 d e f i n i t i o n l e tkb ef i e l d ：l e tm 1b em a t r i xo fk ：l e tpb ef i n s e q u e n c eo fk ： p r e dm 1i s a n t i c i r c u l a n t a b o u tpm e a n s ：1 ) e f 8 ： l e np = w i d t hm 1 ( f o ri ，jb en a ts t i ，j i ni n d i c e sm 1 i jh o l d sm i * ( i ，j ) = ( 一p ) ( ( j - im o dl e np ) + 1 ) ： e n d ： 爷 d e f i n i t i o n l e tkb ef i e l d ：l e tm 1b em a t r i xo fk ： a t t rm i i sa n t i c i r c u l a n tm e a n s ：d e f 9 ： e xpb e i n gf i n s e q u e n c eo fks t l e np = w i d t hm 1 m 1i s _ a n t i c i r c u l a n t _ a b o u tp e n d ： d e f l n l t i o n l e tkb ef i e l d ；l e tpb ef i n s e q u e n c eo fk ： a s s u m ea 1 ：pi sf i r s t 一1 i n e o f a n t i c i r c u l a n t ： f u n ca c i r c ( p ) 一 m a t r i xo fl e np ，km e a n s ：o e f l o ： i t i s _ a n t i e i r c u l a n t _ a b o u tp ： e x i s t e n c eb ya 1 ，d e f l 0 ： u n i q u e n e s s p r o o f l e tm 1 ，m 2b em a t r i xo fl e np ，k ： a s s u m et h a tb 1 ：m 1i sa n t ic i r c u l a n ta b o u tp a n db 2 ：m 2i s a n t i _ c i r c u l a n t a b o u tp ： b 5 ：i n d i c e sm 1 = i n d i c e sm 2b ym a t r i x - 1 ：2 7 ： f o ri ，jb en a ts t i ，j i ni n d i c e sm 1h o l d sm i * ( i ，j ) = m 2 ( i 。j ) p r o o f l e ti ，jb en a t ： a s s u m ec 1 ： i ，j i ni n d i c e sm l ： p e re a s e s ： 3 1 广义循环矩阵的性质及循环矩阵在m i z a r 系统中的实现 s u p p o s ei ( = j ： t h e nm l * ( i ，j ) = p ( ( j - im o dl e np ) + 1 ) m 2 ( i ，j ) = p ( ( j - im o dl e np ) + 1 ) b yb 5 ，b 1 ，d e f 8 ，b 2 ，c 1 ： h e n c et h e s i s ： e n d ： s u p p o s ei j ： t h e nm i * ( i ，j ) = ( 一p ) ( ( j - im o df e np ) + 1 ) m 2 ( i ，j ) = ( 一p ) ( ( j - im o df e np ) + 1 ) b yb 5 ，b 1 ，d e f 8 ，b 2 ，c 1 ： h e n c et h e s i s ： e n d ： e n d ： h e n c et h e s i sb ym a t r i x _ i ：2 8 ： e n d ： e n d ： 这里d e f 8 1 0 的表示方法与d e l l 一3 是类似的，使用的是“谓词( p r e d ) ”、“属 性( a t t r ) ”和“函数( f u n c ) ”的定义方式。 我们还用“属性( a t t r ) ”的方式给出了循环对称矩阵( c i r c u l a n t s y m m e t r i c ) 的定义，如下： d e f i n i t i o n l e tkb es e t ：l e tm 】b em a t r i xo fk ： a t t rmi sc i r e u l a n t s y m m e t r i cm e a n s ：d e f l1 ： m 1i ss y m m e t r i c m 1i sc i r c u l a n t ： e n d ： 以上就是文章的定义部分。 3 2 4 几类特殊的循环矩阵 给出循环矩阵的定义之后，我们下面介绍几个特殊的循环矩阵，特殊循环矩 阵有很多种，我们以全零矩阵0 ( k ，n ) 、全a 矩阵( n ，n ) 一 a 和单位矩阵1 ( k ， n ) 为例来介绍它们的证明过程。 显然，所有元素都为零的矩阵0 ( k ，n ) 是一个循环矩阵： r e g i s t r a t i o nl e tk ，n ： c l u s t e r0 ( k ，n ) 一 c i r c u l a n t ： c o h e r e n c e 青岛科技大学研究生学位论文 p r o o f a 2 ：i n d i c e s ( 0 ( k ，n ) ) ： ：s e gn ，s e gn ： & l e n ( 0 ( k ，n ) ) = n w i d t h ( 0 ( k 。n ) ) = nb y 姒t r i x _ 1 ：2 5 ： a 3 ：l e n ( n i 一 0 k ) = nb yf i n s e q 一2 ：6 9 ： a 4 ：0 ( k ，n ) = n 一 ( nl 一 0 k ) 0 ( k ，n ，n ) = nl 一 ( nl 一 0 k ) s e tp ：n | 0 k ：s e tm l = o ( k ，n ) ： f o ri ，jb en a ts t i ，j i ni n d i c e sm 1h o l d s m i * ( i ，j ) = p ( ( j - im o dl e np ) + 1 ) p r o o f l e ti ，jb en a t ： a s s u m eb 1 ： i ，j i ni n d i c e sm 1 ： t h e nb 2 ：( j im o dn ) + li ns e gnb y m i * ( i ，j ) = 0 kb y b 1 ，a 4 ，m a t r i x 一3 ：3 = p ( ( j - im o dl e np ) + 1 ) b y h e n c et h e s i s ： e n d ： a 2 ，l m 2 b 2 ，a 3 ，f i n s e q _ 2 ：7 0 t h e na 9 ：m i i s 一1 i n e c i r c u l a n t a b o u tpb y a 2 ，a 3 ，d e f l ： c o n s i d e rpb e i n gf i n s e q u e n c eo fks u c ht h a t a 1 1 ：l e np = w i d t hm 1 m 1i s l i n e c i r c u l a n t a b o u tpb ya 2 ，a 3 ，a 9 t a k ep ： t h u st h e s i sb ya 1 l ： e n d ： e n d ； 实际上所有元素都为同样元素的矩阵( n ，n ) 一- a 也是循环矩阵： r e g i s t r a t i o nl e tk ：l e t n ：l e tab ee l e m e n to fk ： c l u s t e r ( 1 1 ，n ) a 一 c i r c u l a n tm a t r i x o fn ，k ： c o h e r e n c e p r o o f s e tp = n - a ： a 2 ：w i d t h ( ( n ，n ) - - a ) = r l l e n ( ( 1 1 ，n ) - - a ) = n i n d i c e s ( ( n ，n ) a ) = ：s e g1 3 ，s e gn ：lb ym a t r i x j ：2 5 ： a 3 ：l e np = nb yf i n s e q2 ：6 9 ： f o ri ，jb en a ts t i ，j i ni n d i c e s ( ( n ，n ) 一 a ) h o l d s ( ( n ，1 3 ) 一一 a ) ( i ，j ) = p ( ( j - im o dl e np ) + 1 ) 广义循环矩阵的性质及循环矩阵在m iz a r 系统中的实现 p r o o f l e ti ，jb en a t ： a s s u m eb 1 ： i ，j i ni n d i c e s ( ( n ，n ) 一一 a ) ： t h e n ( j - im o dn ) + li ns e gnb ya 2 ，l m 2 ： t h e nb 2 3 ：( j - im o dl e np ) + li ns e gnb yf i n s e q _ 2 ：6 9 ： ( ( n ，n ) 一 a ) ( i ，j ) = ab yb 1 ，m a t r i x 一2 ：1 = p ( ( j - im o dl e np ) + 1 ) b yb 2 3 ，f i n s e q _ 2 ：7 0 ： h e n c et h e s i s ： e n d ： t h e n ( n ，n ) 一 ai s 一1i n e c i r c u l a n t _ a b o u tpb ya 2 ，a 3 ，d e f l ： h e n c et h e s i sb yd e f 2 ，d e f 7 ，a 2 ，a 3 ： e n d ： e n d ： 上面我们并不是以定理的形式给出而是采用的r e g i s t r a t i o n 和c l u s t e r ， 这种表达形式意思是我们把上面的两类矩阵在系统中进行注册，于是今后系 统在遇到这样的矩阵的时候，就会默认为该矩阵为循环矩阵而不需要作者再加以 证明。 当然，单位阵1 ( k ，n ) 也是循环矩阵，我们就是用定理的形式给出它的证明。 t h e o r e mt h l ： n 0i m p l i e s1 ( k ，n ) i sc i r c u l a n t p r o o f s e tm i = i ( k ，n ) ：s e tp = l i n e ( m 1 ，i ) ： a s s u m ea 1 ：n 0 ： a 2 ：i n d i c e s ( 1 ( k ，n ) ) = ：s e gr l ，s e gn ： & l e n ( 1 ( k ，n ) ) = n w i d t h ( 1 - ( k ，n ) ) 一b ym a t r i x - 1 ：2 5 ： a 3 ：l e np =nb ya 2 ，m a t r i x _ l ：d e f8 ： f o ri ，jb en a ts t i ，j i ni n d i c e sm 1 h o l d sm l * ( i ，j ) = p ( ( j - im o dl e np ) + 1 ) b ya 2 ，a 3 ，d e f l ： t h e na 4 ：( j - im o dn ) + l = 0 + 1 ( j - im o dn ) + l a 是循环对称矩阵，我们下边给出它们的定理表达形式( 证明 过程略) ： t h e o r e mt h 2 ： 0 ( k ，n ji sc i r c u l a n t s y m m e t r i c ： t h e o r e mt h 3 ： 1 ( k ，1 3 ) i sc i r c u l a n t s y m m e t r i c ： t h e o r e mt h 4 ： 0 ( k ，n ) i sa n t i _ c i r c u l a n t ： t h e o r e mt h 5 ： 1 ( k ，i 1 ) i sa n t i c i r c u l a n t ： t h e o r e mt h 6 ： ( n ，n ) 一 ai sc i r c u l a n t s y m m e t r i c ： 3 2 5 循环矩阵的一般定理 有了上面的循环矩阵的基本定义，我们可以利用m i z a r 系统完成循环矩阵的 一些基本性质的证明，例如： 性质1 ：如果a 是一个行循环矩阵并且a 的阶数大于零的话，那么a 的转置就是 一个列循环矩阵。 对于性质1 ，我们要求矩阵的定义域为一般的非空集合就可以了，所以我们 在这里重新给出变量的声明，以示区分： r e s e r v edf o rn o ne m p t ys e t ， af o rm a t r i xo fn ，d ： 这条性质写成m i z a r 语言的证明过程如下： t h e o r e mt h 7 ： ai sc i r c u l a n t n 0i m p l i e sa i sc o l c i r c u l a n t p r o o f a s s u m ea 1 ：ai sc i r c u l a n t & n o ： c o n s i d e rpb e i n gf i n s e q u e n c eo fds u c h t h a t a 2 ：l e np = w i d t ha & ai s l i n ec i r c u l a n t _ a b o u tpb ya 1 ，d e f 2 ，d e f 7 ： 广义循环矩阵的性质及循环矩阵在m i z a r 系统中的实现 l e na = n w i d t ha = nb ym a t r i xl ：2 5 ： t h e na 6 ：l e n ( a ) = f e npb ya 2 ，a 1 ，m a t r i x 一2 ：1 2 ： f o ri ，jb en a ts t i ，j i ni n d i c e sa h o l d sa ( i ，j ) = p ( ( i - jm o d l e np ) + 1 ) p r o o f l e ti ，jb en a t ： a s s u m e i ，j i ni n d i c e sa ： t h e nb 2 ： i ，j i ni n d i c e sab ym a t r i x 一1 ：2 7 ： b 3 ：i n d i c e sa = ：s e gf l ，s e gn ：j b ym a t r i x 1 ：2 5 ： t h e nii ns e gn ji ns e gnb y b 2 ，z f m i s c 一1 ：1 0 6 ： t h e nb 5 ： j ，i i ni n d i c e sab yb 3 。z f m i s c _ i ：1 0 6 ： t h e na ( i ，j ) = a ( j ，i ) b ym a t r i x 一1 ：d e f7 ： h e n c et h e s i sb ya 2 ，d e f l ，b 5 ： e n d ： t h e na i o ：a i s c o l c i r c u l a n ta b o u tpb ya 6 ，d e f 4 ： c o n s i d e rpb e i n gf i n s e q u e n c eo fds u c ht h a t a 11 ：l e np = l e n ( a ) i a i s c o l c i r c u l a n t _ a b o u tpb ya 6 ，a i o t a k ep ； t h u st h e s i sb ya 1 1 ； e n d ： 性质2 ：如果a 是一个行循环矩阵，那么a 的平行于主对角线的元素都是相同的。 这里的矩阵a 与性质1 中的矩阵相同。这条性质写成m i z a r 语言的证明过程 如下： t h e o r e mt h 8 ： ai sc i r c u l a n t i ，j i n ：s e gn ，s e gn ： k = i + 1 l = j + l i n j ni m p l i e sa ( i ，j ) = a ( k ，1 ) p r o o f a s s u m ea 1 ：ai sc i r c u l a n t i ，j i n ：s e gn ，s e gn ： k = i + l l = j + l i n j n ； c o n s i d e rpb e i n gf i n s e q u e n c eo fds u c h t h a t a 2 ：l e np 2 w i d t ha & ai s 一1 i n e c i r c u l a n t a b o u tpb ya 1 ，d e f 2 ，d e f t ： a 4 ：i n d i c e sa = ：s e gn ，s e gn ： b ym a t r i x - 1 ：2 5 ： ii ns e gn ji ns e gnb ya 1 ，z f m i s c _ l ：1 0 6 ： 青岛科技大学研究生学侥论文 t h e nb 3 ：1 2i i 2n & l = j j = nb yf i n s e q l ：3 ： b 4 ：i + 1 = n j + l = nb ya 1 ，1 n t 一1 ：2 0 ： 1 + 1 = i + l 1 + 1 = j + lb yb 3 ，x r e a l - 1 ：8 ： t h e n1 = i + l 1 = j + lb yx r e a l - 1 ：2 ： t h e nki ns e gn li ns e gnb ya 1 ，b 4 ： t h e n k ，1 i ni n d i c e sab ya 4 ，z f m i s c1 ：1 0 6 ： t h e na ( k ，1 ) = p ( ( 1 一km o dl e np ) + 1 ) b ya 2 ，d e f l = p ( ( j - im o dl e np ) + 1 ) b ya 1 = a 宰( i ，j ) b ya l ，a 4 ，a 2 ，d e f l ： h e n c et h e s i s ： e n d ： 对于我们在定理1 1 2 中给出的性质我们都可以用m i z a r 语言进行描述和证 明，下面我们就以循环矩阵的线性运算也是循环矩阵这一性质为例进行证明。 循环矩阵的线性运算有很多种，我们以循环矩阵的加法封闭为例： t h e o r e mt h 9 ： m 1 i sc i r c u l a n t m 2i sc i r c u l a n ti m p li e s m i + m 2i sc i r c u l a n t p r o o f a s s u m ea 1 ：m 1 i sc i r c u l a