基本不等式柯西不等式知识点复习.doc

基本不等式及应用一、考纲要求：1.了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题3了解证明不等式的基本方法综合法二、基本不等式基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件a0，b0ab三、常用的几个重要不等式(1)a2b22ab(a，bR) (2)ab()2(a，bR)(3)()2(a，bR) (4)2(a，b同号且不为零)上述四个不等式等号成立的条件都是ab.四、算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数四个“平均数”的大小关系；a，bR+：当且仅当ab时取等号.五、利用基本不等式求最值：设x，y都是正数(1)如果积xy是定值P，那么当xy时和xy有最小值2.(2)如果和xy是定值S，那么当xy时积xy有最大值S2.强调：1、 “积定和最小，和定积最大”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件. 正：两项必须都是正数； 定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。等：等号成立的条件必须存在.2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性）想一想:错在哪里？3、已知两正数x，y满足xy1，则z(x)(y)的最小值为_解一：因为对a0，恒有a2，从而z(x)(y)4，所以z的最小值是4.解二：z(xy)2222(1)，所以z的最小值是2(1)【错因分析】错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的【正确解答】z(x)(y)xyxyxy2，令txy，则0txy()2，由f(t)t在(0，上单调递减，故当t时， f(t)t有最小值，所以当xy时z有最小值.误区警示：(1)在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件的满足，这是造成解题失误的重要原因如函数y12x(x0)有最大值12而不是有最小值12.(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错课堂纠错补练：若00，b0，ab1，求证：4.练习：已知a、b、c为正实数，且abc1，求证：(1)(1)(1)8.考点2利用基本不等式求最值 (1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法例4： (1)设0x2，求函数的最大值【分析】由和或积为定值从而利用基本不等式求最值，然后确定取得最值的条件【解】(1)0x0， (2) x0，求f(x)3x的最小值；（3）已知:x0,y0.且2x+5y=20,求 xy的最大值.4）已知a，求的取值范围(5)已知x0，y0，且xy1，求的最小值练习：求下列各题的最值(1)已知x0，y0，lgxlgy1，求z的最小值； (2)x0，求f(x)3x的最大值； (3)x0，且aR)，当且仅当a1时“”成立(2)2(a0，b0，a，bR)，当且仅当ab时“”成立柯西不等式一、二维形式的柯西不等式二、二维形式的柯西不等式的变式三、二维形式的柯西不等式的向量形式借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如说吧，对a2 + b2 + c2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (12 + 12 + 12) * (a2 + b2 + c2)就可以用柯西不等式了。例题【5】. 设x，y，z R，且满足x2 + y2 + z2 = 5，则x + 2y + 3z之最大值为解(x + 2y + 3z)2 (x2 + y2 + z2)(12 + 22 + 32) = 514 = 70x + 2y + 3z最大值为【6】 设x，y，z R，若x2 + y2 + z2 = 4，则x - 2y + 2z之最小值为时，(x，y，z) = 解(x - 2y + 2z)2 (x2 + y2 + z2)12 + ( - 2) 2