（应用数学专业论文）用标准的和推广的tanh函数展开法求解非线性发展方程.pdf

中文摘要 随着非线性科学的不断发展，人们对非线性现象的研究越来越深入，研究的领域也 越来越广泛，比如：非线性发展方程解的求法以及解的存在性、唯一性、稳定性等其中 对精确解的研究始终是一个重要课题，虽然现在已经形成了许多求解非线性发展方程的 方法，但这些方法都仅适用于某些类型方程，对所有的非线性发展方程，没有普遍适用 的方法 本文利用标准的和推广的t a n h 函数展开法对一些非线性发展方程进行求解，得到了 大量的解，充分展示了t a n h 函数展开法的有效性和实用性 本文的内容和结构安排如下： 第一章介绍非线性发展方程精确解的几种常见解法，并简单地回顾了精确解研究的 发展概况 第二章用标准的t a n h 函数展开法对一些非线性发展方程进行求解，包括( 3 + 1 ) 维的 k p 方程、s i n e g o r d o n 方程、h i g h e r - o r d e rk d v - l i k e 方程和k l e i n - g o r d o n t y p e 方程 第三章利用推广的t a n h 函数展开法求解b o u s s i n e s q - t y p e 方程和b r e a k i n g 方程 最后，对本文的工作进行总结与展望，并且提出了一些自己有待研究的问题 关键词 标准的t a n h 函数展开法，推广的t a n h 函数展开法，非线性发展方程，精确解 i a b s t r a c t w i t l lt h ed e v e l o p m e n to fn o n l i n e a rs c i e n c e ，t h es t u d yo fn o n l i n e a rp h e n o m e n ai s b e c o m i n gm o r ea n dm o r ec l e a r , a n dt h ef i e l do ft h es t u d yb e c o m e sv e r yw i d e ，s u c ha st h e m e t h o dt os o l v ee v o l u t i o ne q u a t i o n sa n dt h em e t h o dt od i s c u s st h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ， s t a b i l i t yo fe x a c ts o l u t i o n s t h es t u d yo fe x a c ts o l u t i o n si s a l li m p o r t a n tt o p i c t h e r ea r ea n u m b e ro fm e t h o d st os o l v ee v o l u t i o ne q u a t i o n s ，b u tt h e ya r eo n l ya p p l i c a b l et oc e r t a i nt y p e s o fe q u a t i o n s i nf a c t ，t h e r ei sn om e t h o dc a nb ew o r k e do na l ln o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s t m sp a p e r , w eu s eas t a n d a r dt a n h f u n c t i o nm e t h o da n dt h ee x t e n d e dt a n h f u n c t i o n m e t h o dt os o l v es o m en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ，a n do b t a i nal a r g en u m b e ro fe x a c t s o l u t i o n s i ts h o w st h ee f f e c t i v e n e s so ft a n h f u n c t i o nm e t h o d 1 1 1 es t r u c t u r eo ft h i sp a p e ri sa sf o l l o w s ： c h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c es e v e r a lc o m m o nm e t h o d st os o l v en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ， a n db r i e f l yr e v i e wt h ep r e s e n tc o n d i t i o nf o rt h es t u d yo fe x a c ts o l u t i o n s c h a p t e r2 ，w eu s et h es t a n d a r dt a n h f u n c t i o nm e t h o d t os o l v es e v e r a ln o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n s ，w h i c hi n c l u d e ( 3 + 1 ) - d i m e n s i o n a lk p , s i n e - g o r d o n ，h i g h e r - o r d e rk d v - l i k ea n d k l e i n g o r d o n - t y p ee q u a t i o n s c h a p t e r3 ，e x a c ts o l u t i o n so fb o u s s i n e s q t y p ee q u a t i o n a n db r e a k i n ge q u a t i o na r e o b t a i n e db yu s i n ge x t e n d e dt a n h f u n c t i o nm e t h o d i nt h ee n d ，w es u m m a r i z et h ew o r ko ft h i sp a p e r , a n db r i n gu pan u m b e ro fp r o b l e m st o b es o l v e di nt h ef u t u r e k e yw o r d s s t a n d a r dt a n h - f u n c t i o nm e t h o d ，e x t e n d e dt a n h f u n c t i o nm e t h o d ，e x a c ts o l u t i o n ， n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版本人允许论 文被查阅和借阅本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或部分内容 编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文同时授权中国科学技术信息研究所等机构将本学位论文收 录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库 保密论文待解密后适用本声明 学位论文作者签名：查星鱼指导教师签名：学位论文作者签名： 丝垒丝 指导教师签名： 加卜年石月z ，日 加卢年多月忽日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西 北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的一 同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 学位论文作者签名：耋军红 矽a 年多月2 日 两北大学硕上学位论文 第一章绪论 1 1 引言 随着科技和实践的飞速发展，非线性现象已经渗透到自然科学与工程技术的各个领 域对这些非线性现象进行定量与定性描述所建立起来的数学物理模型，往往就是非线 性发展方程( n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ) ，其一般形式如下： 丑( x ，r ，u ，u x ，坼，u x x ，) = o ，k = o ，1 ，2 ，m 其中f 表示时间变量，x = ( ，屯，恐，吒) 表示空间变量，甜= ( ，材：，“，“) ，u j ( 而f ) 是未知函数，最是已知的函数关系，u x ，吩，表示对变量分别求导，z ，m 表示自然数 非线性发展方程类型很多，包括非线性常微分方程或方程组、非线性偏微分方程或方程 组、函数方程和差分方程等研究的领域也很广泛，比如：非线性发展方程解的求法以 及解的存在性、唯一性、稳定性等其中对其精确解的研究始终是一个重要课题，虽然 现在已经形成了许多求解非线性发展方程的方法，但由于非线性的复杂性，这些方法都 仅适用于某些类型方程对所有的非线性发展方程，没有普遍适用的方法因此寻找更 加行之有效的解法成为人们关注的热点问题 1 2 非线性发展方程的几种常见解法 1 2 1j a c o b i 椭圆函数展开法1 1 考虑非线性发展方程 ，p ( u ，畋，珥，u n ，) = 0 ， ( 1 1 ) 我们寻求( 1 1 ) 以下形式的行波解： 材= “( 善) ，f = k ( x - c t ) ， ( 1 2 ) 其中k 为波数，c 为波速 为了利用j a c o b i 椭圆函数展开法，我们设 “= 口，s ，z 7 善， ( 1 3 ) j = o 即“( 孝) 可以展开成有限项j a c o b i 椭圆正弦函数s ，l 孝的级数 它的最高阶数为 d ( “( 孝) ) = 刀， ( 1 4 ) 第一章绪论 注意到 考= 丢n 脚矿1 磁坛 ( 1 5 ) 其中c n 孝和砌孝分别为j a c o b i 椭圆余弦函数和第三种j a c o b i 椭圆函数，且有 c n 2 善= 1 - - s n 2 孝，d n 2 孝= 1 ，竹2 s ，z 2 孝，( 1 6 ) 面d 册孝= c n c a n f ，丢册乡= 一册乡咖乡，d d 乡d n ( = - m 2 s n 乡硎乡，( 1 7 ) m ( o 0 ，a = 0 时， 伊( 孝) = 一h ( 三蜀i 南 ， 其中q 为任意常数； 3 ) 当名2 4 , a = 0 ，0 ，五o 时， 伊c 孝，= h ( 一锗) ， 其中q 为任意常数； 4 ) 当力2 4 , a = 0 ，= 0 ，五= 0 时， 矽( 善) = h 1 ( 善+ q ) ， 其中q 为任意常数； 5 ) 当允2 4 , a o ，0 时， “( 孝) = + 词掣卜 8 + 西北大学硕十学位论文 其中c l 为任意常数； 2 ) 当名2 4 , u 0 ，= o 时， z ，( 孝) = ( 可蒜 + 其中c 1 为任意常数； 3 ) 当名2 4 u = 0 ，0 ，名0 时， 比卜压若端+ 压， 其中q 为任意常数； 4 ) 当五2 一和= 0 ，= 0 ，五= 0 时， 叱) = 压南+ 压， 其中q 为任意常数； 5 ) 当五2 4 2 2 朋 所 一4 1 4 一 一 3 3 网网怀 ， 、-、， 第三章用推广的t a n h 函数展开法求解非线性发展方程 3 1 引言 随着人们对t a 】 1 l l 函数展开法研究的深入，f a n 在里卡蒂方程= 尼+ 矽2 的基础上，提 出了推广的t 锄h 函数展开法其基本思想和标准的t a n b 函数展开法是类似的，这里介绍 一下推广的t a n h 函数展法的基本步骤为了简单起见，我们考虑只含有两个自变量的非 线性发展方程( 2 1 ) 第一步：考虑行波变换 善= j r 一甜，u ( x ，) = u ( f ) ， 则方程( 2 1 ) 可以化为常微分方程( 2 2 ) 第二步：假设方程具有如下形式的解 u ( x ，f ) = u ( f ) = + q 矽( f ) + 匆矽( 矿， ( 3 1 ) m 的值可以通过平衡方程( 2 2 ) 中的最高阶导数项和最高阶非线性项来确定，如果朋的 值为整数，直接代入即可；如果m 的值为分数，可以通过变换来处理 上式中( 善) 满足里卡蒂方程 = 后+ 矽2 ，( 3 2 ) 里卡蒂方程有如下的形式解： 当k 0 时， 矽( 孝) = 厄叫厩i ， 蚓= 压c o t i 掂i 第三步：把方程( 3 1 ) 和( 3 2 ) 代入方程( 2 2 ) 中，展开成关于( 孝) 的多项式，然后令 ( f ) 的所有次幂的系数都为零，得到一个关于a ，岛，k ，c 的代数决定方程组，解所得方 2 2 西北大学硕士学位论文 程组，求得这些待定系数的值 第四步：把a ，6 ：f ，k ，c 和里卡蒂方程的解代入方程( 3 1 ) 中，即可得到方程( 2 1 ) 的解 3 2 用推广的t a n h 函数展开法求解非线性发展方程 3 2 1b o u s s i n e s q t y p e 方程 一一( 州麒七( 甜”) 搿 澍= o 令f = x - - c t ，u ( x ，r ) = u ( f ) ，则有如下的导数变换： = c 2 ， u 露= ， ( + 1 ) 嚣= ( 旷1 ) 劈， “( “”) 。 。= 【厂( u ”) 劈 劈， 把式子( 3 4 ) 代入方程( 3 3 ) ，司化为如f 的常微分万程 c 2 一一( 瑟一 u ( 扩) 嚣 嚣一- 把方程( 3 5 ) 两边关于善进行两次积分，且令积分常数为零，则得到如下式子 ( c 2 1 ) w u ”“一u ( u ”) 馨= o ， 平衡方程( 3 6 ) q a 的u ( u “) 嚣项和u 项，求得m = 一二 以 为了得到封闭的解析解，m 需要取整数，因此在这里做一个变换，即： 令u ：y i i ，那么得到如下导数变换 ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) n + l u = v 一， u 厅= v ，( 3 7 ) ( u ”) 劈= 2 v 句曙一y 。2 ， 把式子( 3 7 ) 代入方程( 3 6 ) 得 l n + l l ( c 2 - o v - i - v 百一矿百( 2 y 曙- v 五) = o 化简式子( 3 8 ) 得 ( c 2 - 1 ) v 3 一y 2 2 曙+ = o ， 平衡方程( 3 9 ) 中的项和矿3 项，求得肌= 2 2 3 ( 3 8 ) ( 3 9 ) 第三章用推广的t a n h 函数展开法求解非线性发展方程 故 v = a o + 口1 矽( 乡) + 呸矽【f ) + 岛1 【善) + 6 2 矽叫( 善) ， ( 3 1 0 ) 又由7 = 后+ 2 可得 = ( 概一岛) + 2 克吃矽( 孝) + q 2 ( f ) + 2 吒痧3 ( 乡) 翼2 1 a 2 k 2 ：鬻；器嘲以咖6 删w ， 矗=2 + 2 也+ 2 七q 矽( 孝) + 8 七吒矽2 ( f ) + 2 q 矽3 ( 孝) + 6 口2 痧4 ( 孝) 、7 + 2 k b d k _ ( 孝) + 8 地2 ( f ) + 2 6 l 后2 。( 乒) + 6 也后2 矽一( 孝) ， 把方程( 3 1 0 ) 7 阳( 3 1 1 ) 代, k j y 程( 3 9 ) 得 ( c 2 1 ) ( 口o + q ( 孝) + 呸痧2 ( f ) + 6 l 一够) + 6 2 之( f ) ) 3 一( + q ( 孝) + 口2 矽2 ( 孝) + 6 l 一1 ( 孝) + 6 2 。2 ( 孝) ) 2 之( 蛔一岛) + 2 圾( 孝) + 口l 矽2 ( f ) + 2 吃3 ( 孝) 一弛痧。1 ( 善) 一肠l ( ) 一2 k b ：旬( f ) 2 + ( 三+ q ( 孝) + 矽z ( 孝) + 6 1 矽一( 孝) + 6 2 - 2 ( 孝) ) 。 3 1 2 + 2 k 2 a 2 + 2 b 2 + 2 七嚷矽( 孝) + 8 勋：妒2 ( 善) + 2 q 3 ( 善) + 6 锡矽4 ( f ) + 2 碣。1 ( 孝) + 8 七色矽五( 乎) + 2 包后2 。3 ( 善) + 6 如后2 。4 ( f ) 把式子( 3 1 2 ) 展开成关于( 孝) 的多项式，令侈) 的各次幂的系数都为零，得到一个关于 a o ，a l ，a 2 ，岛，6 2 ，k 的代数决定方程组 4 8 慨6 2 6 a o 吃6 2 - 3 b 2 a ? + 2 a o 口2 k 2 + 12 a l b , k - 3 a 2 6 f o ( 孝) ：+ 3 c 2 口2 6 f - 2 a 1 6 1 - 2 a 2 + 2 a 。6 2 - 2 a ；k 2 一口；+ c 2 口； + 6 c 2 a o a , b , + 3 c 2 口i ! 如一6 a o q 岛+ 6 c 2 a o a 2 6 2 2 砰一露= 0 ， 纵分荔：冤二篡麓：麓乏善乏瓣 _ 3 咖l 幽岛6 2 以分篡0 篡乏罄鬟善：端& 铲。， 州分嚣：蒜鞣2 口。口l 嘞飘“4 吒”彳 矽4 ( f ) ：3 c 2 一3 彳- 3 a o a ；+ 6 a o a 2 + 3 c 2 口? 口2 - 8 a ；k - a ；= o ， 矽5 ( 孝) ：3 c 2 口1 口；- 3 a 。口；= o ， 矽6 ( 孝) ：一2 a ；一a ：+ c 2 a ；= 0 ， 2 4 西北大学硕上学位论文 ：蒜芸兰篇麓鞯兹三篓黧攀七 - 2 ( f ) ： 矽- 3 ( 孝) ： 6 c 2 a l b a + 3 c 2 口0 2 吃一6 a l b a - 3 a 0 6 f + 3 c 2 a 2 磅+ 2 4 a 2 6 2 七2 - 2 a o 如- 3 a 2 0 b z - 6 9 + 8 a o b 2 k - b ? - 2 b f k + 6 a 1 6 l 七2 + 3 c 2 a 0 6 f - 3 a 2 霹= o ， - 6 a 0 2 j 1 6 2 2 2 5 1 6 2 + 6 c 2 6 1 6 2 + 1 4 a l b 2 k 2 + 2 a 0 6 1 七2 一日 + c 2 砰- 3 a l 霹+ 3 c 2 q 霹一6 b l b 2 k = 0 ， 9 i q 【f ) ：一8 b ；k + 3 c 2 砰6 2 3 b ? b 2 + 6 a o a 2 k 2 6 j + 3 c 2 a o 醛一3 a o 巧= 0 ， 矿( 手) ：- 3 b , b ；+ 3 c 2 岛噬2 = o ， 。( 孝) ：c 2 呸3 - g - 2 b 2 k 2 = o ： 解以上的方程组得到三组各参数的值 ) = 茄五，q = 岛= o ，吃= 西2 ，6 2 = 丽b 扣去舻c ， 1 ) 口o2 砸与，q 2 岛划，吃2 西，6 2 。南 2 素夕c ， 2 驴赤k , 胪岛2 如一。批南 = 扣c ， 3 ) = 南胪6 l = 6 2 _ o ，呸= 西2 扣丢舻c 把各参数的解和对应的矽( 善) 的解代入式子( 3 1 0 ) 得到方程( 3 9 ) 的解如下所示： 对应于1 ) 的解为 v = v = 对应于2 v = v = = 第三章用推广的t a n h 函数展开法求解1 f 线件发展方程 对应于3 ) 的解为 y = v = 2 ( c 2 1 ) 把以上y 的解代入式子u = 矿 中，得到方程( 3 3 ) 的解如下所示： 归 肛 2 ( c 2 1 ) 2 ( c 2 1 ) 2 6 鬻 l 一席 _。，。j ， l 一斥 t。j ， 一矗 下。，。，j ， 一糟 1j _。，。l-。，。l_。，。l-。，。，。l = = l i = 甜 “ 甜 材 l 一库 _。j l 一靠 _。j 网北大学坝士学位论文 3 2 2 ( 2 + 1 ) 维的b r e a k i n g 方程 肛? 一4 伽”4 伽一卸 ( 3 1 3 ) 【吩2 屹 、。 令孝= z + y c t ，u ( x ，y ，) = u ( 善) ，v ( x ，y ，r ) = y ( f ) ， 利用导数变换方程组( 3 1 3 ) 可化为如下形式： - r ，_ l = c u e + ，口“硼“口叱肚0 ( 3 1 4 ) k 2 r 7 把= 两边进行一次积分可得 u = v ， ( 3 1 5 ) 把式子( 3 1 5 ) 代入方程组( 3 1 4 ) ，则方程组( 3 1 4 ) 等价于下边的方程 一c + 口+ 8 a u u f = 0 ，( 3 1 6 ) 把方程( 3 1 6 ) 两边进行一次积分得到 - c u + a u 劈+ 缸c ，2 = o ， ( 3 1 7 ) 平衡方程( 3 1 7 ) 中的项和u 2 项，得到m = 2 故 u = a o + 口l 矽( 孝) + 呸2 ( 孝) + 6 l 妒。1 ( 善) + 6 2 2 ( 孝) ， ( 3 1 8 ) 嚣高二端曼黝甚誉舻矿皓 q 柳 + 2 肋l - 1 ( f ) + 8 霓。2 ( 孝) + 2 4 后2 。3 ( 善) + 6 岛后2 矽。( 善) r 7 把式子( 3 1 8 ) 和( 3 1 9 ) 代入方程( 3 1 7 ) ，展开成关于( f ) 的多项式，并令矽( 孝) 的所有 次幂的系数都为零，得到一个关于a o ，a ，a ：，岛，6 2 ，k 的代数决定方程组 o ( f ) ：8 口q 包+ 4 a a 0 2 + 8 a a 2 6 2 + 2 a a 2 k 2 一c + 2 a b z = 0 ， ( 孝) ：2 a a l 七一c q + 8 t z a o a l + 8 a a 2 岛= o ， 矽2 ( 善) ：4 口彳+ 8 a ! a o a 2 一c 吒+ 8 口吃七= 0 ， 3 ( 善) ：2 口q + 8 a 口l a 2 = o ， 矽4 ( 善) ：6 口口2 + 缸口；= 0 ， 痧一1 ( 孝) ：一面+ 8 口口0 6 l + 8 口口1 6 2 + 2 0 t b l k = o ， 之( 孝) ：4 口6 f + 8 a a 。2 j 2 + 8 口吃七一c 6 2 = o ， - 3 ( 4 ) ：2 a b l k 2 + 8 a b a - - 0 ， 2 7 第三章用推广的t a n h 函数展开法求解1 线性发展方程 q ( f ) ：6 口如后2 + 4 口嘭= 0 解以上的方程组得到以下四组各参数的解 1 ) a o = 素即6 l = 2 j 2 0 啦= 一吾扣三4 a ， 2 ) a o = 西3 c ，q = 6 l = 6 2 = o ，口2 = 一詈，忌= 一三4 a ， 3 ，= 去舻岛= o , a 2 = - 吾，如= 一壶吾扣去， = 志，q = 岛= o , a 2 - - - 兰，如= 一壶事扣一击 故方程( 3 1 7 ) 的解为： 当三 0 时，得到的解和以上的解是完全等价的，这里不再重复 口 根据式子( 3 1 5 ) ，得到原方程组( 3 1 3 ) 的解为： ( x + y - c t ，1 、几 吖吖”l j 忙怿再再 h h 柚 柚 饥 幻一配 幻一缸 + + 三融 旦她 一 一 l i = d d y y x x u v ；戛 贼 心 c 幻一断 幻一她 + + 孙配 鲐一她 = = 、- ，、 y y x x ll u u 陌昂 j 两北大学硕t 学位论文 m li|e e ei i 心，y 力一去 v ( x ，y ，) u ( x ，y ，f ) v ( w 力一云 u ( x ，y ，) v ( x ，y ，r ) u ( x ，y ， v ( x ，y ， u ( x ，y ， v ( x ，y ， 3 c = + 8 a 毫鼬2 i 再( x + y - c t ) i 秀锄2 f 再c x + y - c t ) i + 8 3 口c c o t h 2 f 斥c x + y - c t ) i + 8 3 口c c o t h 2 i 压c x + y - c t ，l i 污c x + y - c t ，l 8 3 口c t a n 2i 压 x y - c l 驯压c x + y - c t ，l i 再”烨，l ( x + y - c t ) + c o m2 l 压 肛小。m2 l 压 川卅，l + c o t2 i 压c x 梆卅，卜i 压c x 2 9 旦缸 三她 一 一 = = 旦配 + + 孙一配 孙一配 = = d d 弘 弦 “ v ， r_j 1，j 、_、llv“川j 甜 甜 一 一 少 少 + + x x 1j 1，j 九l ij1 甜 甜 一 一 y y + + 总结与展望 总结与展望 本文通过对一些非线性发展方程的求解，充分展示了t a n h 函数展开法的实用性、有 效性，另外可以用此方法求解的方程还有很多，比如：s c h r 6 d i n g e r 方程、广义的2 维的 k o r t e w e g - d e v r i e s b u r g e r s 方程、h i r o t a - s a t s u m a - k d v 方程、可积耦合的势k d v 方程组等 对非线性发展方程精确解的研究始终是大家所关注的热点问题，在这一方面还有很 多问题有待于我们进一步去研究 ( 1 ) 我们是否可以把本文中求解非线性发展方程的方法，应用到更多的非线性方程 中去 ( 2 ) 我们能不能对本文中所采用的方法做进一步的推广，以期得到更好，更有价值的 解 ( 3 ) 是否可以把本文中的方法和其它方法结合起来，以得到新的方法 两北大学硕十学位论文 参考文献 【1 付遵涛，刘式适，刘式达非线性波方程求解的新方法 j 】物理学报，2 0 0 4 ，5 3 ( 2 ) ：3 4 3 3 4 8 【2 】l i us k ，f uz t ，“us d j a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o ne x p a n s i o nm e t h o da n dp e r i o d i cw a v es o l u t i o n so fn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s j p h y s i c sl e t t e r sa ，2 0 0 1 ，v 2 8 ( 9 ) ：6 9 7 4 3 】f i l i zt ，a h r n e tb ，m u r a tk t r a v e l l i n gw a v es o l u t i o no fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o nb yu s i n gt h ef i r s ti n t e g r a lm e t h o d j c o m m u nn o n l i n e a rs e in u m b e rs i m u l a r , 2 0 0 9 ，v 1 4 ：1 8 1 0 1 8 1 5 4 f e n gz s t h ef i r s ti n t e r g r a lm e t h o dt os t u d yt h eb u r g e r s k o r t e w e g - d e v r i e s e q u a t i o n j j p h y s a ，2 0 0 2 ，v 3 5 ：3 4 3 3 4 9 【5 】f e n gz s e x a c ts o l u t i o nt oa l la p p r o x i m a t es i n e g o r d o ne q u a t i o ni n ( n + 1 ) d i r n e n s i o n a ls p a c e j p h y s l e t t a ，2 0 0 2 ，v 3 0 2 ：6 4 7 6 6 】f e n gz s ，w a n gx h t h ef i r s ti n t e r g r a lm e t h o dt ot h et w o - d i m e n s i o n a lb u r g e r s k o r t e w e g d e v r i e s e q u a t i o n j p h y s l e t t a ，2 0 0 3 ，v 3 0 8 ：1 7 3 1 7 8 7 】n a r a n m a n d u l am ，w a n gk x n e we x p l i c i te x a c ts o l u t i o n st oan o n l i n e a rd i s p e r s i v e d i s s i p a t i v ee q u a t i o n j c h i n e s ep h y s i c s ，2 0 0 4 ，v 1 3 ( 2 ) ：1 3 9 1 4 3 8 】i n cm n e we x a c ts o l u t i o n sf o rt h ez k - m e we q u a t i o nb yu s i n gs y m b o l i cc o r n - p u t a t i o n j a p p l m a t h c o m p u t , 2 0 0 7 ，v 18 9 ( 5 0 8 ) 9 】h ej ，w ux e x p f u n c t i o nm e t h o df o rn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n sc h a os o l u t i o n s a n df r a c t a l s j p h y s l e t t a ，2 0 0 6 ，v 3 0 ( 3 ) ：7 0 0 - 7 0 8 10 】z h a om ，l ic t h ee x p a n s i o nm e t h o da p p l i e dt on o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n h t t p ：w w w p a p e r e d u c n p a p e r p h p ? s e r i a ln u m b e r = 2 0 0 8 0 5 7 6 2 1 l 】祁新雷若干非线性演化方程的精确解【d 】西安：西北大学，2 0 0 9 1 2 】史良马变系数非线性方程的求解【d 安徽：安徽大学，2 0 0 6 【13 】a b l o w i t zm ，c l a r k s o np s o l u t i o n sn o n l i n e a re v o l u t i o n sa n di n v e r s es c a a e r i n g t r a n s f o r m m c a m b r i d gu n i v e m i t yp r e s s ，19 9 0 1 4 】v a k h n e n k ov ，p a r k e se ，m o r r i s o na ab a c k i u n dt r a n s f o n n a t i o n sa n dt h ei n v e r s es c a t t e r i n gt r a n s f o r mm e t h o df o rt h eg e n e r a l i z e dv a k h e n k oe q u a t i o nc h a o ss o l u t i o nf r a c t j j p h y s 人2 0 0 3 ，v 17 ( 4 ) ：6 8 3 6 8 5 【15 】g a r d n e rc ，g r e e n ej ，k r u s k a lm ，e t a l m e t h o df o rs o l v i n gt h ek o r t e w e g e d ev r i e se q u a t i o n j p h y s l e t t ，1 9 6 7 ，v 1 9 ：1 0 9 5 - 1 9 0 7 16 】h i r o t ar an e wf o r mo fb a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n sa n di t sr e l a t i o nt ot h ei n v 3 1 参考文献 e l s es c a t t e r i n gp r o b l e m j p r o g t h e o r p h y s ，1 9 7 4 ，v 5 2 ( 5 ) ：1 4 9 8 1 5 1 2 17 】l a m bg b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n sf o rc e r t a i nn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s j m a t h p h ) i s ，1 9 7 4 ，v 1 5 ：2 1 5 7 2 1 6 5 18 w uh o nb a e k l u n dt r a n s f o r m a t i o n sf o rn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j 】j m a t h a n a l a p p l ，1 9 9 5 ，v 1 9 2 ：1 5 1 1 7 9 【1 9 m a t v e e vv d a r b o u st r a n s f c r m a t i o n sa n ds o l i t o ns o l u t i o n s r b e r l i n ，1 9 9 1 2 0 】曹生让几个非线性演化方程的精确解【d 】江苏：江苏大学，2 0 0 7 2 l 】李德生若干非线性演化方程精确求解法的研究 d 】大连：大连理工，2 0 0 4 【2 2 】w e i s sj ，t a b o rm ，c a r n e v a l eg e ta 1 t h ep a i n l e v ep r o p e r t yf o rp a r t i c ad i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j m a t h p h y s ，19 8 3 ，v 2 4 ：5 2 2 5 2 6 【2 3 】李金花，郑锋，刘秀玲非线性反应扩散方程的广义条件对称 j 】齐齐哈尔大学学 报，2 0 0 8 ，v 2 4 ( 5 ) , 6 8 6 9 2 4 】z h a n gj f ，d a ic q ，y a n gq v a r i a b l e - c o e f f i c i e n tf e x p a n s i o nm e t h o da n di t s a p p l i c a t i o nt on o n l i n e a rs c h r o d i n g e re q u a t i o n j o p t i c sc o m m u n i c a t i o n s ，2 0 0 5 ， v 5 2 ( 4 6 ) ：4 0 8 4 21 【2 5 】z h a n gs ，x i at c ag e n e r a l i z e df e x p a n s i o nm e t h o dw i t hs y m b o l i cc o m p u t a t - i o ne x a c t l ys o l v i n gb r o e r - k a u pe q u a t i o n s j a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n , 2 0 0 7 ，v 1 8 9 ( 1 ) ：8 3 6 - 8 4 3 2 6 】z h a n gs ，x i at c ag e l i e r a l i z e df - e x p a n s i o nm e t h o da n dn e we x a c ts o l u t i o n so fk o n o p e l c h e n k o d u b r o v s k ye q u a t i o n j a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t m i o n ，2 0 0 6 ，v 18 3 ( 2 ) ：1 9 9 0 - 1 2 0 0 2 7 】张金良，任东锋，王明亮d a v e y - s t r w a r t s o n 的周期波解 j 】数学物理学报，2 0 0 5 ， v 2 5 ( 2 ) ：2 1 3 - 2 1 9 【2 8 z h a n gs l ，l o us y ，q uc z n e wv a r i a b l es e p a r a t i o na p p r o a c h ：a p p l i c a t i o nt on o n l i n e a rd i f f u s i o ne q u a t i o n s j p h y s a ，2 0 0 3 ，v 3 6 ：1 2 2 2 3 1 2 2 4 2 2 9 】a b l o w i t zm m e t h o df o rs o l v i n gt h es i n e g o r d o ne q u a t i o n j p h y s r e v l e t t ， 1 9 7 3 ，v 3 0 ：1 2 6 2 1 2 7 0 3 0 】h i r o t ar e x a c ts o l u t i o n so ft h ek o r t e w e g d ev r i e se q u a t i o nf o rm u l t i p l ec o l l i s i o i l so fs o l i t i o n s j p h y s r e v l e t t ，1 9 7 1 ，v 2 7 ：1 1 9 2 - 1 1 9 6 【31 】w a z w a za t h eh i r o t a sb i l i n e a rm e t h o da n dt h et a n h c o t hm e t h o df o rm u l t i p l e s o l i t o ms o l u t i o n so ft h es a w a d a k o t e r a - k a d o m t s e v - p e t v i a s h v i l ie q u a t i o n j a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n ，2 0 0 8 ，v 2 0 0 ：16 0 16 6 3 2 】w a z w a za m u l t i p l e s o l i t o ms o l u t i o n sf o rt h