（应用数学专业论文）二维风险模型.pdf

ab s t r a c t t h i s p a p e r c o n s i d e r sr i a t e r i s k m o d e l s . f i r s t l y , t h e r i s k mo d e l w i t h t w o k i n d s o f b u s i n e s s i s p r e s e n t e d a n d t h r e e k i n d s o f r u i n p r o b a b i l i t i e s a r e d e fi n e d . t w o s p e c i a l b i v a r i a t e r i s k m o d e l s a r e s t u d i e d . a l s o , t h eo f t h e rui n p r o b a b i l i t y a n d i t s l u n d b e r g b o u n d i s g i v e n . i n c a s eo f e x p o n e n t i a l c l a i m s i z e s a n d c o mmo n c l a i m n u m b e r p r o c e s s , s u r v i v a l p r o b a b i l i t y i s s t u d i e d a n d t h e r e c u r s i v e f o r m u l a t o g e t t h e n u m e r i c a l v a l u e o f r u i n p r o b a b i l i t y i s o b t a i n e d . d e p e n d e n c e ;c o m p o u n d p o i s s o n p r o c e s s ; c o m p o u n d b i n o mi a l r i s k p r o c e s s ; r u i n p r o b a b i l i t y , s u r v i v a l p r o b a b i l i t y . 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本;学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 学校有权提供目 录检索以 及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务; 学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版; 在不以赢利为目的的前 提下，学校可以 适当复制论文的部分或全部内 容用于学术活动。 学 位 论 文 储 签 “ : j v f 寿 ，歹 年/ 1 月 移日 经指导教师同意， 本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名: 公 傅澎 学位论文作者签名: m t,- 4 解密时间:年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: 浦耀倾; 内部 5 年 ( 最长5 年，可少于5 年) 秘密t o 年 ( 最长t o 年，可少于t o 年) 机密 2 0 年 ( 最长2 0 ; 年， 可少于2 o 年) 狱、 厂 。淤华 。灿 、 一、 、 _气 宝 “ 续 一 “ 么 . 司 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明: 所呈交的学位论文， 是本人在导师指导下， 进行 研究工作所取得的成果。 除文中己 经注明引用的内容外， 本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、 已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体， 均己 在文中以明 确方式标明。 本学位论文原创性声明的 法 律责任 由本人承担。 学 位 论 文 作 者 签 名 : 间 釜 跨 2 4 4年/月乃 日 第一章引言 最近几年， 关于带相依关系的风险模型得到了广泛的关注. 在相依模 型中， 最常见的 一种就是c o m m o n s h o c k 模 型. 如今， c o m m o n s h o c k 风险 模 型已 被经常用来解决现实生活中的许多间 题. 这类风险模型主要是通过一 个共同的c o m m o n s h o c k 来影响所所有种类索赔的次数从而进一步影响到 保险 公司 所承担的风险. 另 外， 由 一个共同 的c o m m o n s h o c k 来影响其中 一 部分索赔种类的索赔次数， 也有相当一部分学者做了不少研究. 在此框架 下， 许多文章研究了相依索赔加和这类问 题， 也就是说， 将所有种类的索 赔加在一块， 考虑一个公司的总的损失. 当不同种类的索赔次数的联合分 布服从一类特定的 形式时， a m b a g a s p it i y a ( 1 9 9 8 ) 讨论了累积损失的 分布间 题. c o s s e t t e 和m a r c e a u ( 2 0 0 0 ) 考虑t 相依 关系 对具有c o m m o n s h o c k 的 离散 泊松模型 有限时间 破产 概 率以 及调 节系 数 的 影响。 y u e n , g u o 和w u ( 2 0 0 2 ) 给出了连续时间下e l a n g c o m m o n s h o c k 风险模型关于加和相依累积索赔 的破产概率， 除了考虑加和相依累积索赔， 另处一个自 然的想法就是考虑多维风险 过程模型.尽管多维风险过程破产概率的研究对于处理相依类型的保险 业务保险公司有很大的参考作用， 但是到现在为止关于多维风险过程的 应用却很少有人注意. 在多维风险间 题中， j u r i ( 2 0 0 2 ) 通过s u p e r m o d u la r 序 关系来刻画相依结构并得到了风险过程关于加和相依累积索赔的一些结 论. d e n u i t , g e n e s t 和m a r c e a u ( 2 0 0 2 ) 给出 了 两 个由 正值随 机变量的 随 机和 所构成的向量的随机序间题. 第一章 引言 本篇文章的结构如下， 在第二章中我们将给出二维风险过程模型， 并 给出 三种不同的破产概率的定义. 在第三章中我们相应的讨论一下关于二 维风险过程加和累积索赔的破产间题. 在第四章中我们着重考虑一 类特殊 的二维风险过程， 并研究了关于指数索赔情况下生存概率问题， 并给出了 生存概率的一个近似表达式. 第二章模型与破产定义 在本篇文章中， 我们考虑下面二维复合泊松过程， 域 ( e ) + 材( 亡 ) 艺 材2 ( t ) + m( ) ( 2 . 1 ) 、.声声 瓜k i- i 其中m l ( t ) , m 2 ( t ) 和m ( t ) 是三个独立的泊松过程， 其强度分别为a i , a 2 和a . c l , c 2 是保险 公司两类业务所收取的 保费 率. u 1 , u 2 为两类业务的初 始准备金， x a , y为独立同分布的非负随机变量， 并且其数学期望分别为 a x , w r . 假设x = 和y是独立的， 并且与三个泊松过程独立. 为了保证保 险 公司 有 净 收 益， 我们 进 一 步 假 设， c l ( a , + a ) u x , c2 ( a 2 + a ) p r . 在 模型( 2 . 1 ) 中， 破产有好几种 定义方式. 例如我们 在前面引言中 提到 的加和破产， 其具体定义如下. 定义加和破产时， t a a m =i n f t ; s 1 ( t ) +s 2 ( t ) 0 , 则加和破产概率可定义为 y a u m ( u 1 , u 2 ) =p ( t . m00is i ( 0 ) =u l , 5 2 ( 0 ) = u 2 )( 2 . 2 ) 很容易验证两个相依的风险过程加和可以转化为一个单一的具有强度 丫二凡十抽+a 的复合泊松过程， 不过其索赔大小的分布不再是原来分布， 而是由 原来的 分 布 经 过变换得到. 具体的 转 换 方法可以 参考y u e n 和w a n g ( 2 0 0 2 ) . 因 此经 典破产概率方面的结论都可以应用于此类加和风险过程. 在第三章中， 我 们将着重考虑一类特殊的二维风险过程的加和累积破产问 题. 3 第二章 模型与定义 下面我们给出另外两种破产概率的定义. 定义 兀=i n f t ; 凡 ( t ) 0 , j =1 , 2 则我们可以定义如下一种破产概率， o a n d ( u l ) u 2 ) =p ( t 1 o o , a n d t 2 o o i s l ( 0 ) =u 1 , s 2 ( 0 ) =u 2 ) ( 2 .3 ) 在本篇文章第四章中我们将着重考虑由以下所定义的另外一种破产概率. 在此破产是指至少有一个资产余额为负， 令 t“i n f t ; s 1 ( t ) 0 , o r s 2 ( t ) 0 则二维无穷时间破产概率为 5 ( u 1 , u 2 ) 二p ( t 刃的复合泊 松 过程. 第 三章 加和累积破产间 题 证明: 考虑e e x (t ) ， 我们有， e e x (t)=e e f- 岔) x ;+ e 瞥气 =e e f 黔x i e e e m i (t) y . = e a l t( ! o e , z d f x ( = ) - l ) e a z t ( f o e = d f y (= ) - 1 ) = e a t ( f o e d f (z ) - 1 ) ( 3 .4 ) ( 3 . 5 ) ( 3 .6 ) ( 3 . 7 ) 因 此 x ( t ) 为具有特征( a , f ) 的复合泊松过程. 从命题3 .1 我们可知， x ( t ) 为复合泊松 过程， 故过程3 .3 可以看做初 值 为。 : 十 。 ， ， 保 费 率 为c ; 十 c2 ， 索 赔 分 布 为f = 赘 f x 十 誉 f y 的 经 典 风 险 模 型， 进而我们有以下结论. 命题3 . 2 . 令 f 一 a 1 f x + 人 入 ，_ 于 r y , 人 则由( 2 .2 ) 定义的破产概率为， v i. . ( u l , u 2 ) 二 ( 1 一 p ) e p f . . (u l + u 2 ) ( 3 .$ ) 其中p = a l p x + a 2 a r , f o ( x ) = f , f ( y ) d y l a f , a f = a l l t x / a 十 a 2 n ur / a . 证明: 只需将a s m u s s e n ( 2 0 0 0 ) 书中 第三章中的定理2 .1 将相应的参数替 换为复合泊松过程s ( t ) 相应的参数即可证. 命题3 . 3 . 令 fx 凡一久 a =入 1 +耘， f= 设随机变量z的分布为f ， 如果存在。 ， 。 0 0 使得 l i m e e z =0 0 . - 今1 o ( 3 .s ) 第三章 加和累积破产间题 则方程 a e e z = a +( c 1 + c 2 ) s ( 3 . 1 0 ) 有唯一正解7 . 证明: 令 0 ( s ) =a e e z 一 ( c l + c 2 ) ， 一 a 则易有， 0 ( 0 ) =0 0 ( 0 ) =a p f 一 ( c l + c 2 ) =a 1 kl x + a 2 # 二 一( c 1 + c 2 ) 0 故要证方程( 3 .1 0 ) 有唯一正解， ， 只 需证lim , , o 0 ( s ) 一 0 0 即可. 若s o 0 0 ， 则由( 3 . 9 ) 式易有l i m , _ 0 0 ( s ) = 0 0 若s o = 0 0 ， 则选取x 使得f ( x ) c (2 ) ( u l , u 2 ) =端， + : 含 。 ; + 谧， 。 ， + y i1 ， u i u 2 7 _ ( 2入 a x入 c l 肛( 1 a二 一一十一 一 只 一 =a 丫 , a a x +c l ( c 1 +a p x ， ， 、久 a有二a六尹 。 c 1 +人 拼 x - - 。 2 、久 ( l y.久 c 2 1 z y。 ( 1 口 n ， 二一+一二 一 -， , a p y 十c2 ( c2十a u y” , . 1 9 1人_ 。 、 c2+ 人 /2 y 尸 ” _ ( 2 ) a c t川久 勿. ( 1 ) 1 0 0 =于 一 7 丁下_ 1 . .一， 尸 _ 1 丁 n9 - 6 十于 一, .下 吮 ， 了 ， 一 叮 ， 犷下 - 9 p o w x k 宁- 1 / w x 宁 l 2 / / 2 y 厂尹 y l n十 1 / p x宁 1 2 / i l y 厂 2 a c j c 2t 1 、 .、 a + 二 一 ， 一 六 ， ， 二 二 二一 ， 尸 丁 ， 厂7 0 0+二 二 一 ， 下 ， 一 - ， 份 二 尸 ， f 1 x j , y ( a +c 1 / w x+cg2 / n y ) 3 a + c 1 / w x+c 2 / a y 第四章指数索赔破产概率问题 a u x ( a 十c i / u x +c 2 / u y ) 人 c a61)+， ， ， .二， 井 : 2a o ( 1 ) + , 一 一 下( 1 )i 1 7 0 0 拜 x u y k a 十 c l / ax 十 1 2/ 1- l y) 久_ ( ， 、a c t ( 1 1 了 , , .一 _ , . . 一 下 _ i 丁 p o 十叮 尸 甲 甲 a . _ 叫 , . . 一 下 _ , . . n 2 a , wy1 宁 l 1 / 户x 宁 叱 / 补y)f l x补yk 宁 l l /ax 宁 e 2/ py/ - 入 人 拌 x w y+c l a y+勿a x 1y o a ) 一一一一- 谓淤谓 重复上面的 过程， 我们可以 得到0 . ( u l , u 2 ) , n 3 的明确表达式. 为了 书写 记录的方便， 我们令 a (3 ) ( u 1 ) = 心) ，b ( 3 ) ( u 2 ) = 风 ) ，c (1 ) ( u 1 , u 2 ) = 钻 y . 经过复杂的 计算， 我们可以 得到o n (u 1 , u 2 ) 的 一般表达式如下， “ 一 ， 一 + a (n)一 ，exv 一 u1(-p - fix + b (n)(一 )exp 一 u2 ll(lay j + (; (n)一)exp 一 ( u l + _u 2 1lty x a y / ，(4 .4) 其中， 注 (” ) ( 。 ， ) b (n ) ( u z ) c (n ) ( u l , u 2 ) 对i , j , k 二 1 , cy ,(,n ) a (kn ) =a (n )0+ 。 (n )a l u l + 二+(n )， 。 n - 1a n - l u l , =才) + 砂) . 2 + . 一 十 理1 n - 1fn - l u 2 , =谧) + 7 1a ) u 1 + y o )u 2 + 7 ii )u l u 2 + + 识1 ，卜 ; n - 1 。 n - 1i , - 1 u 1 u 2 r ， 几一1 , 久 a x 入 a x+c l 几-1 人 ( 。一1 ) 1 互cl + a/ix c l a x m ( n - 1 ) 、 不a 石 ) 。 。 一 : ， a ( 二 一 1 ) ! ( c l a x 1 m - k (n - 1 ) ， - - - 一 - ， - - - ， 六， .q高 1 k c l +a a x ) k ! k c l +a 1 4 x j 一 叫艺 人 m y a p y十c 2. 留* ( 。 一 1 ) ! 。 “ 二 ， 。 。 一 ， 、 念 c ;-+- a a y c ; -+ a p y 少 p-1 ， a ( ”一1 ) ! ( c 2 +a a y ) k t r - c2 1ly 1 “ 一 七 (n= 1) 勿+a a y / 曰艺间 才玲 第四章指数索赔破产概率向题 、 、 留a c ln ( 。 一 1 ) ! y o 。 二夕 丁 一= , 勺 一 _ t .一丫 _ t . 石 二p x k a- r t ; l / i-l x t( 2 / / a y / 一 - 嫌 11 ) a c t。一1 ) ! w y ( a +c l / fu x + c 2 / u y ) n + 1 r (n - 1i m - 1 问艺 十 m -1 n-1 n-1 十 艺e a , , c t ( l + m ) ! 1 =1 m=1l m , x p y ( a + c l / w x + c2 / p y ) t + m + i( n - 1)7 1- 1 ,m - i 入 + a + c i i a x + c 2 / u y 。 、 粼* ( 二 一 1 ) !。 ，、 m - k(n - 1 ) 7 k 。 一 =7 丁 宁 气 尸- we 兮 es es 下 ， 一 甲 尸 下 下 -了;吸 尸 写- ， 尸 一 7 - - - ， 二 .a ; , - , , 奈 二 玉 ( c 1 / / i x十c 2 / / - y+a / / 1 x 1 8 ! c j ( p x一c 2 / u y+a / 、.les.12 矛k /了.飞、 n-1 n-1 + 冗艺 a c 1 k c,m ( l + m一 k ) ! i =k m=1 l m / 1 x / i y ( a + c l / u x + c2 / “ 二 ) i + m - k + l 7 1- 1,m - i l 1 o k )_n - 1 r一一a (m - 1 ) !一 一 一 c 2 一 一、 “ 一 “ 怠 (cl/ax+c 2 / a y + a ) p y k ! k c l / f i x + c 2 / a y + a j 碟 之 n几 + 艺艺 入 古k , i ( d + 二一 k ) ! (n - 1 )7 l- t,m - 1 , l =k n 1 =1 l m a x p y ( a + c i l t x + c2 i p y ) l + m - k + 1 n-1 n-1 人 才i c 2m - 1 ( t + 。一 一 j ) ! 1 7 i l a x iy ( a + c t i a x + c 2 i a y ) ( + m - i - 1 + 1n - l )7 l- t ,m - 1 , .口.口乙 j/.龟、 艺 艺l=i - 古 从公式住4 ) ， 我们可以知道， 如果当。 _ + 0 0 时， a (n ) ( ti l ) , b (n ) ( 二 : ) ，c (n ) 扣 1 , u 2 ) 有简单的形式， 那我们就可以很容易的计算o ( u 1 , 1i2 ) 命题4 . 1 . 当。 、0 0 时， 我们有， 溉 a (n ) ( u 1 ) = lim b (n ) ( u 2 )n o m- 一 誓 ex p f a u 1 lc1 一 誓 exp l i 第四章指数索赔破产概率间题 证明: 我们很容易验证如下式子 w (1 ( v l ) = l i m w n ( u l , u 2 )一 1 + a i0 1(u l) ex p s 一 u 1 . t拜xj 如果我们 记w l ( u l ) 为风险余额过程s 1 ( t ) 的 无穷时间生存概率 然有以下等式成立， ( 4 . 7 ) 则显 lim n l l ( u l ) 一 w 1 (u l ) , 根据指数索赔情况下经典风险余额过程破产理论方面的结论， 我们可以 得 到如下结论， l im心1 ( u l )一 1 一 l x e x p 5 - ( 1 一 - ) u l . (4 .8 ) c lc l / l a x) 从( 4 .7 ) 和( 4 . 8 ) 我们 可以 得到， 命题4 . 1 中 的 第一 个极限 结论成立. 利用相似的方法， 我们很容易证明命题封 中的第二个极限结论也成 立.口 不幸的是， 当。 *0 0 时， c (n ) ( u 1 , 4 62 ) 的 极限并不能写成一个简单的 表 达形式， 但是不管怎么样， 二元生存概率 u 1 , u 2 ) 可以通过选取充分大的 。 近似. 由此我们可以得到以下命题. 命题 4 .2 . 具有相同的索赔计数过程m ( t ) 的 二维风险 模型的生 存概率 w ( u l , 46 2 ) 可由以下公式来近似， o ( u l , u 2 ) 1 _ a /u x _ _ ( l a 1、 _ 、 a a y _f / a 1 、 、 e x p、1 - 一 1 u l l一 u x p、!了 一 ， u 2 i t ( ; l户 x/j勿l 印拼 丫/j + c i0 1 (u l , u 2 ) e x p 1 一 ( u l + u 2 1 ， t 户 x拜 y /) ( 4 .9 ) 致谢 三年的 在职研究生的学习生活即将结束， 虽然在校时间不长， 但南开 大学的校风， 南开大学教师的治学严谨及敬业精神给我留下了 深刻印象， 使我受益匪浅. 感谢数学学院的各位老师在学业上给予我很大的帮助， 特 别是郭军义教授的不吝赐教， 使我的论文得以顺利完成， 在此表示最衷心 的感谢! 2 0 0 6 年1 1 月 参考文献 references 1 a m b a g a s p i t i y a , r . s . ( 1 9 9 8 ) . o n t h e d is t r i b u t i o n o f a s u m o f c o r r e l a t e d a g g r e - g a t e d c l a i m s . i n s u r a n c e : ma t h e m a t i c s a n d e c o n o m i c s 2 3 , 1 5 - 1 9 . 2 a s m u s s e n , s . ( 2 0 0 0 ) . r u i n p r o b a b i l i t i e s . w o r l d s c i e n t if i c , s i n g a p o r e 3 c o s s e t t e , h . & m a r c e a u , e . ( 2 0 0 0 ) . t h e d is c r e t e - t i m e r i s k m o d e l w it h c o r r e l a t e d c l a s s e s o f b u s i n e s s . i n s u r a n c e : m a t h e m a t i c s a n d e c o n o m i c s 2 6 , 1 3 3 - 1 4 9 4 d e n u i t , m . , g e n e s t , c . &m a r c e a u , e . ( 2 0 0 2 ) . c r i t e r i a f o r t h e s t o c h a s t i c o r d e r i n g o f r a n d o m s u ms , w i t h a c t u a r i a l a p p l i c a t i o n s . s c a n d i n a v i a n a c t u a r i a l j o u r n a l , 3 - 1 6 . 5 d ic k s o n , d . c . m&w a t e r s , h . r . ( 1 9 9 1 ) . r e c u r s iv e c a lc u l a t io n o f s u r v i v a l p r o b a b i li t i e s . a s t i n b u l l e t i n 2 1 , 1 9 9 - 2 2 1 . 6 e s a r y , j . d . , p r o s c h a n , f&w a l k u p , d . w. ( 1 9 6 7 ) . a s s o c i a t i o n o f r a n d o m v a r i a b l e s w i t h a p p l i c a t i o n s . a n n a ls o f m a t h e m a t i c a l s t a t i s t i c s 3 8 , 1 4 6 6 - 1 4 7 4 . 7 g e r b e r , h . u . , s h i n , e . s . w.( 1 9 9 8 ) , o n t h e t im e v a l u e o f r u in . n o r t h a m e r i c a n a c t u a r i a l j o u r n a l 2 ( 1 ) , 4 8 - 7 8 8 j u r i , a . ( 2 0 0 2 ) . s u p e r m o d u l a r o r d e r a n d l u n d b e r g e x p o n e n t s . s c a n d i n a v i a n a c t u a ri a l j o u r n a l , 1 7 - 3 6 . 9 r o ls k i , t . , s c h m i d l i , h . , s c h m i d t , v . , t e u g e l , j . ( 1 9 9 9 ) . s t o c h a s t i c p r o c e s s e s f o r fi n a n c e a n d i n s u r a n c e . wi l e