（应用数学专业论文）二阶非线性奇摄动方程脉冲状空间对照结构.pdf

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s p o n d 8t oh e t e m c l i n i co r b i ti np h a s ep l a n eo rp h a s e8 p a c e ) a n d8 p i k e _ t y p e c o n t r a s ts t r u c t u r e ( w h i c hc o r r e 8 p o i l d 8t oh o m o c l i i l i co r b i ti np h a s ep l a n eo r p h a 8 es p a c e ) s of a r ，t 】舱s t u d yo fs p i k e - t y p ec o n t r a s t8 t r u c t u r ei so n l yc o n n n e di n8 e m i l i n e a re q u a t i o n t h ep r o b l e mw i ub ec h a n g e di n t om o r ea n dm o r ec o m p l e x i ft h er i g h t8 i d eo ft h ee q u a t i o ni i l v o l v e st h et e r m 8o f 掣i nt h i 8p a p e r ，w e w i hs t u d yak i n d 。f s e c o n do r d e re q u a t 0 n ( w h i c hi n v o l v e s 塞) ： p 2 象= 脚塞m “一t 。 t ， ( 一1 ，p ) = 可( 1 ，p ) = o ，0 p 1 a n dp o i n to u tt h a tt h i se q u a t i o nw i l lh 8 sac o t r a s ts t r u c t u r es o l u t i o nu n d e o c e r t a i nc o n d i t i o n s u s i n gt h em e t h o do fb o u n d a r yf u n c t i o nw ec o n s t r u c tt h e f o r m u l aa s y m p t o t i c8 0 1 u t i o n a tt h e8 跗l et i m e ，t h ee ) ( i s t e n c eo ft h es o l u t i o n i 8 p r o v e da n dt h ee r r o re v a l u a t i o no ft h ea 8 y m p t o t i c8 0 l u t i o ni so b t 越n e d k e y w b r d s ： s i n g u l a rp e r t u r b a t i o n ；s p i k e b p es o l u t i o n ；s m a l 王p a - r a m e t e r ； b o u n d a r yf u n c t i o n ； a s y m p t o t i ca n a 蚵8 i s 2 1 1 背景 第一节引言和主要结果 解决工程技术和科学领域中的各种理论和实际课题，就问题的数学方 面而言主要是求解析解和数值解两大类方法但由于问题的非线性性，不 均匀性和一般的边界条件，精确解是罕见的，一般只能求近似分析解因 此，随着社会经济与科学技术的的日益发展，摄动方法作为最重要的一种 求解非线性问题的近似方法，受到国内外学者普遍的重视 摄动方法是一种半数值半解析的近似方法，它依赖于一个无量纲的参 数其基本思想是将非线性的高阶的或变系数的定解问题的解用所含的某 个参数的渐近展开式的前几项来表示，由于渐近展开式的系数可以由线 性( 或基本上是线性) 的，较低阶的或常系数的定解问题来确定，所以一般 比原问题要简单而容易求解并且得到的近似解常能用来进行问题的定性 的且近似定量的讨论，容易看出实际问题中各个物理参数对解的影响，有 助于弄清解的解析结构，这些都是数值解所不能比拟的摄动方法已被公 认为数学，物理学，化学，生物学以及各种工程技术科学中研究非线性问 题的基本工具之一 摄动方法的产生可以追溯到1 9 世纪末期天文学家l i n d s t e d t f l 8 8 2 1 ， b o h l i n ( 1 8 8 9 ) ，c y l d e n ( 1 8 9 3 ) 等人的工作，他们利用小参数e 的幂级数来 研究行星的运行问题，这些幂级数虽然是发散的，却正确的描述了客观现 象，引起人们很大的惊异1 8 9 2 年，庞加莱证明了这些发散级数是一种 渐近级数，即当e 充分小时，它的前几项之和可以充分接近原来问题的 解，从而为摄动方法建立了理论基础。2 0 世纪2 0 年代，在量子力学的研 究中创立了w k b 方法；4 0 年代在流体力学的研究中创立了p l k 方法，即 p o i n c a r e - l i g h t h i u 一郭永怀方法；5 0 年代在非线性振动理论的研究中创立 3 了k b m 方法，亦称平均法；近年来，多重尺度法以及微分不等式理论与 对角化技巧得到了迅速得发展 本文采用的边界函数法是俄罗斯伟大的数学家瓦西里耶娃创造的随 着该方法的出现，摄动理论及其应用得到了很大的发展【1 4 一【17 该方法从 数学的角度来看是解决奇摄动问题的一种比较有效的方法，不仅有严格的 理论基础而且适用性较广 1 2 主要结果 关于脉冲状空间对照结构的研究，早在1 9 8 7 年v f b u t u z o v 和a b ， v a s i l e 、，a 发表了一篇文章，题为具有空间对照结构的渐近解 6 】，讨论 了二阶半线性d i r i c h l e t 边值问题 e 2 塞= 脚，碱。 z ， u ( o ，e ) = “( 1 ，e ) = 0 ，o e 1 产生脉冲状空间对照结构时渐近解的构造及其余项估计 在此基础上倪明康教授于1 9 9 3 年发表了具有空间对照结构渐近解 的构造( i ) 1 8 卜文，把慢变量考虑在内，讨论了半线性方程组 塞刊刚m ”) p 塞= 脚 叫) 筹= ，叩) u ( o ，肛) = ( 0 ，p ) = ( 1 ，肛) = o 产生脉冲状空间对照结构时渐近解的构造，并给出渐近解的余项估计 接着，a b v a s i l e v a ，v f b u t u z o v 和l k a l a c l l e v 于1 9 9 5 在t h e b o u n d a r yf u n c t i o nm e t h o df o rs i n g u l a rp e r t u r b a t i o np m b l e m 8 【1 9 】中给出 4 了具有快慢变量的半线性r d b i n 边值问题 肛2 = ，( u ，u ) ，= 9 ( u ， ) 产生脉冲状空间对照结构时渐近解的构造及其余项估计 到目前为止，对脉冲状空间对照结构的研究仅局限于对半线性方程的 研究，如果方程的右端包含孕问题会相当复杂 p 2 象= m 塞，蝴t z ， ( 1 2 1 ) 可( 一1 ，卢) = ( 1 ，p ) = o ，o o ，巴( o ，x ，z ) o - ， ( 31 3 ) 1 z 1 ，川 m ) 上二 币( z ) ，暑，= ) ( ( z ) ，庐( z ) o ， = 霹( o ，x ，z ) + 4 日( o ，) ( ，z ) 如果e ( o ，x ( z ) ，。) o ，a 。皎( z ) ，z ) 可以是焦点，经过鞍点a ，有 两条轨线进出，其中条可以进入( 或走出) 焦点，刁i 能形成绳索套( 见 图3 ，图4 ) 本文将不讨论连接鞍焦点的轨线 1 0 乙磊 、 1 、1 矗k v 图3 ) 护) i 俩 、 1 1r “百、h 、 j ， 图4 因为a l a 2 = 一日( o ，庐，z ) 0 ，故a l ，a 2 异号，这属于条件稳定的情 形 5 】，所以问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 在t = 一l ，t = l 处均有边界层 条件3 假设在点a 。存在一条不稳定流形( 记为( 丁- ，z ) ，矿( r ，z ) ) ， 当r = 一时进入点a 1 ，并且该流形与z = o 相交，交点时刻对应于 r = o 同时在点a 存在一条稳定流形( 记为尹( r ，z ) ，矿( r ，z ) ) 当r = + 。 时进入点a 1 ，并且也与z = 0 相交，交点时刻对应于r = 0 ( 见图5 ) 托* 坡g ，x ) ) a 越妒，u ) 呻丽矿( r ，x ) ) 图5 f 鍪黧，弘叩 饵， f 鲁名 鲁_ f ( 珂，乩 ( 3 1 5 ) 【矿( + 。，z ) = ( $ ) ，妒( + o o ，z ) = o 条件4 假设存在。( 一1 ，1 ) ，有。) h ( 。) = o ， 6 ) 筹i 。：。o 黔萨 怒，一锄童：锄引， 融冀。川。 邶， 1 2 ：茎三；：。，。， 。， l 矿( ，p ) = o ，圹( 1 ，p ) = o 3 2 形式渐近解的构造 根据边界函数法1 5 以及引理1 ，引理2 0 ，p ) = o ( t _ 1 ) + q o ( r ) + 0 ( 卢) 。( z ，p ) = ( 嚣) + o 可4 ( f 一1 ) + q o 可2 ( 下) + 0 ( 1 工) ， ，0 ，肛) = q o ，( 丁) + 岛( 丁1 ) + o ( p ) ， 其中7 l = ( + 1 ) 一1 ，7 - 拳( 茹一。+ ) p 一1 ，n = ( 。一1 ) 肛一1 i o ( p ) l c p ，c 不依赖于矿对两端点边界层的研究在【5 】中已经详细给出，在此不作赘述 往下只写出仉，( 7 ) ，臼。矿7 ( r ) 的方程，因为它们刻画了脉冲状结构 抄1 7 r 卜( r ) 7 ( 3 2 2 ) l 知一( r ) = f ( 啦协庐( 茹+ ) 协) ， _ q 。( o ) = o ，q o ( 一o 。) = o ，q o ( 一o 。) = o ： 导q 。叭r ) = 仉州r ) ， 昙啦v ) = f ( v ) 州+ q 0 矿( 咄， q o ，( o ) = o ，q o 圹( + o o ) = o ，0 0 ，( + o 。) = 0 为方便起见，作变量替换： = q o ( r ) ，扩= ( 矿) + 0 0 ( 叮- ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 矿= q o ，( r ) ，矿= ( 矿) + q o 矿( r ) ， 由此可得： 导铲= ，鲁= f ( 斌， ( 3 删 ( o ) = o ，铲( 一o 。，) = 西( ) ，( 一o 。，。) = o ( 3 2 7 ) 导矿= ，导矿= f ( 丁，矿，) ， ( 3 2 8 ) 矿( o ) = o ，矿( + o 。，z + ) = ( z + ) ，( + o 。，。+ ) = o ( 3 ，2 g ) ( 3 2 6 ) ，( 3 2 7 ) 同( 3 1 4 ) 一样，( 3 2 8 ) ，( 3 2 9 ) 同( 3 1 5 ) 一样 记g ( z + ，弘) = ( z + ，p ) 一( z ，p ) ，贝0 ( 3 1 8 ) 为 g ( ，上) = o 事实上，若把( 3 2 1 ) 中的矿( ，p ) ，( z + ，肛) 代入，并在z = 矿取 值，则有 g ( z + ，肛) = 0 0 圹( o ，z + ) 一q o ( o ，茁+ ) + o ( 卢) = = 【q o 旷( o ，) + 曲( 矿) 】一 q o ( o ，矿) + 咖( 矿) + o ( p ) = = 日( ) + 0 ( p ) 1 4 考察 攀慧淼浆 g ( 黝一p ，p ) = 筹( z 。一如肛) ( 一p ) + d ( 肛) ，o 如 1 由条件4 对充分小的肛，筹( z 。旭，筹( z 。氇与等b 。有相 同的符号，取足够犬，例如大于余项中的c ，由此可得g ( 。o + 缸，p ) 和 g ( z o 一p ，肛) 异号，所以存在z + ( 芦) 【z o 一七p ，z o + 膏埘使得g ( 茁+ ( 肛) ，p ) = 矿( 肛) = 。o + 0 ( 肛)( 3 2 1 0 ) 回到表达式( 3 2 1 ) 定理1 证明完毕 注2 ：显然被得到的结论比定理1 更强，因为在证明( 1 2 1 ) ，( 1 2 2 ) 解的存在性时用的渐近表达式是( 3 2 1 ) ，其中矿是由( 3 2 1 0 ) 确定 注3 ：表达式( 3 2 1 ) 不能认为是最终的，因为它含有r = 0 一 矿) p ，而z + 的量阶是0 ( p ) 如果在该渐近式中对r 用。o 替换矿，那 么( 3 2 1 ) 就不再是0 ( p ) 量阶了，所以为了最终找出精度为0 ( p ) 量阶的 渐近表达式必须要求出。+ 的一次近似z 1 ，即。+ = z o + p z l + 0 ( p 2 ) 事实上，若令( 。，) = ( 。，p ) 一庐( 茁) 一n o ( t - ) 一q o ( r ) y ( 矿，p ) = ( z ，_ f 上) 一( 矿) 一q o 【( z + 一石o ) _ u 一1 1 一e s t = = q o 2 ( o ) 一q o 【( z + 一。o ) p 一1 】一e s t = 】5 = 一 q ：掣2 p 扛+ 一茁o ) 肛一1 】( 。+ 一。o ) 肛一1 ) 一e s t ， y 2 ( z + ，p ) = 一 鲁( q 。( p c ) ) c ) 一e s t = o ( 1 ) 若z + = z o + p z l + c 矿，丁= z 一( z o + 肛石1 ) 】“一1 ，贝0 y 2 ( 矿，肛) = 一 导 q 。( p c p ) 】掣) 一e s r 3 3 渐近解的精确化 其中z i 是未知的参数为了求出扩需要渐近表达式( 3 3 1 ) 到一次近似 川。，卢) = 涮( t ) + 膀7 ( z ) + 加1 州r ) + 。( 以 2 1 ( 。，卢) = ) + q o ，( 7 ) + 萌( z ) + p q 可”( r ) + o ( 卢2 ) ， 萌( z ) = 一f ：( o ，咖( 。) ，) ( 训r ( o ，曲( 。) ，。) - 1 q o r ，q o 矿满足的方程和边值类似于( 3 2 2 ) 一( 3 2 5 ) ，只要把矿换成 f 鲁扣= 啦 i 昙啦扣= f ( 如埽州+ 咖 ，嘲 1 6 q o 7 ( o ) = o ，q o ( 。) = q o ( 一。) = o ，q o 圹( + 。) = q o ，( + o 。) ：o 作变量替换扩7 = ( 知) + q 0 ，( ，一) ，奢i = q 孔r ( 丁) 可得 霉身r ，譬：删，黟r 打 “ 打一1 、4 f ” ，r ( o ) = o ，矿( 一o 。) = o ) ，矿( + o 。) = ( z o ) 孑( 一o 。) = o ，矿( + o 。) = o ， 由定理1 可知和矿，铲和矿在r = o 连接 f ( 夏玩z o ) = 卢( 3 3 3 ) 可以写成 ( 3 3 3 ) 往下只记乏妒，而记 箬：乏等：f ( 乏玩。) ， ( 3 删 d 丁 “ d r 一1 、“9 山”， l 。o 吐j 飘o ) = o ，敢一o 。) = 甄+ o o ) = 毋( z o ) ，双土o 。) = o ， 由边界函数法可知q 1 ，0 1 z 满足下列方程： 季q 1 2 ：，。豆1 ，+ 元q 矿7 + ”， ( 3 。) 昙吖= 耐， 彬7 = 或( 。) + 羁f ( 跏) ( z i + r ) + 萌7 ( 。) 】+ 豆( 。i + r ) ) 一 f 。( 。) + 瓦f 7 ( 。o ) ( 嚣：+ r ) + 武7 ( 。o ) 】+ 瓦( z + r ) ) 而b ，乃，b 在点( q o 。( o ) ，( 茁o ) + q o y ( o ) ，。o ) 取值，元，瓦，瓦在点 q l ( 一0 0 ) = q l 矿( + o 。) = o ，q 1 ( 一o 。) = q 1 ，( + 。) = o 、 ( 3 3 6 ) 把表达式( 3 3 2 ) 代入( 3 1 8 ) 有 g 0 + ，卢) = q o 矿( o ) 一q o 矿( o ) + 卢 q l 圹( o ) 一q 1 ( o ) 】+ o ( p 2 ) = o 1 7 化简后 q l 旷( o ) 一q l ( o ) + o ( p ) = o ( 3 3 ，7 ) 因为q 1 矿( o ) 和q l ( o ) 含有z ：，所以( 3 3 7 ) 是确定。i 的方程 下面化简( 3 3 7 ) 由( 3 ，3 5 ) 得 嘉q 。矿r 一丘导q 。矿r 一再q ，萨r = 砂r ， 即形如 u ”一元“7 一元牡= ， 的方程，由引理3 ，化为自共轭系统，令p ( r ) ：e 印( 一，最( ，) 打) ，有 j 0 ”一p 豆“7 一p 磊n = 嘶， 即 昙( p 塞) 一p 豆“= p h 令l u = 导( p 考) 一p 磊u 有 l q 】一，r ：p f r ， l q ，扩= p 嘉唧矿7 一p 最导q 。矿一p 元q 。矿7 = 昙( p 昙q t 门一p e q 对( 3 3 4 ) 中的第二式对r 微分有 嘉z = 丘雾+ 磊要， 即 杀( = ) = 豆( 鲁吼。) + 豆q 。z 1 8 p 杀( ) 一p 豆( 导) 一p 毛- o j 从而 l ( 0 0 ：) = 0 由引理4 ( 确，一湘捌) a r = 。z 鲁锄一劬导) l 即 p 0 劫( r ) 彬( 7 - ) d r = p ( o ) 【q o z ( o ) q 1 ( o ) 一q ( o ) 萝( o ) 卜 j o o p ( 一o 。) 【q o z ( 一o 。) q - ( 一o 。) 一q - ( 一o 。) ( 一。) 】 条件5 1 i mp ( r ) 有界 r 土 显然p ( o ) = 1 由此可得 ，0 双r ) p ( r ) 。( r ) d r = 一q 1 ( o ) ( o ) ， j o 。 因为轨线在r = 0 时刻与可轴相交，所以可( 0 ) o ，于是 q 1 ( o ) = 一( ( o ) ) 一1 可r ) p ( r ) 九一) d r ( 3 3 8 ) r 0 j 一 同理可证 o 矿( o ) = 一( 7 ( o ) ) 一1 甄r 扫( r ) ( r ) d r ，0 j + o 。 代入( 3 3 7 ) 得 ，0r 0 ( 亨( o ) ) 一1 【劫d t 一 p 圹d r l + o ( p ) = o ， j 一j + 1 9 即 ( ? ( o ) ) 一1 劫 最币7 ( 。o ) + 毛【( 印) ( z ：+ 7 - ) + 霸( 黝) 】+ 豆( 。i + r ) ) 打 p 0 j 一 一动 瓦( z o ) + f ，【( z o ) 0 ：+ 7 - ) + 讲( 茁o ) j + 瓦( z ：+ r ) ) d r + ，十o 。 + 劫 只咖( z o ) + 日 ( 。o ) ( 。：+ r ) + 研( z o ) + b ( z ：+ 7 - ) ) d r j 2 + 一劫 瓦( 。o ) + 瓦( ) ( z ；+ r ) + 玩( z o ) 】+ 瓦( z ：+ 7 - ) ) 打 + j 0 + 0 ( 肛) = o ( 3 3 9 ) 而 有 p 豆毋7 ( z o ) + 劫羁【( z o ) ( z ：+ r ) + 科( 铷) 】+ 劫元( 。；+ r ) 】d r 劫最7 ( 黝) + 劫元( 蛳) ( z ：+ r ) + p j ；，玩( z 。) + 劢元( z ；+ r ) 】d r 劫最( 黝) + 劢元( z o ) r + 动毛( 。o ) z i + 劲e 讲( z o ) + + 劫b ( z ；+ 7 _ ) 】打 利用等式 。= l ( q 。z ) = p 嘉( 矿) 一p ( 丘导矿+ 豆矿) = 导昙矿) 一p 届矿 同理 而 ，0，0 矿p 日( z o ) d 丁= ( z o ) 矿p 毛d r = j o 。 j 一 = ( 蜘) 鲁( p 导矿) 打= 坝z 。) 矿( 0 ) r 十 办b ( z o ) 打= 一7 ( z o ) 矿( o ) j 0 。办瓦( 。) ，打：( 如) 厂0 办豆，打： j 一 ，一 2 0 刮) r 著( p 黝打刮) r d ( p 黝打= = 一( z o ) p 矿7 d 下， 所以 【矿p 只( z o ) + 妒寥咒( 。o ) r l d r = ：焉。办髓删训 。办毛，把= 币7 ( z o ) 萝_ 疋打+ ( 蛳) 办日r d r = j 一 j o 。 r 0r o = 协o ) 咖最d r 一( z o ) p 矿打= j o 。j 一 = 毋( z o ) ( 0 疋一p 矿) d f = = 一曲( 。o ) 矿( o ) ， 即 ( z o ) p z ( b + b r ) d r = 一( z o ) 矿( o ) 类似有 ( 。) p 飘豆+ 毛r ) d r = ( z o ) 矿( o ) 所以 一劫 豆( 蛳) + 元【( 跏) ( z ：+ r ) + 矾( 铷) 1 ) d r 一 一动 最( z o ) + 元【( 。o ) ：+ r ) + 讲( z o ) ) d r = o 所以( 3 3 9 ) 就成为： ，十o 。，十 z ：( 劫觅d r 一( 瓦( 如) + 瓦) 劫打) = j o 。 j o 。 ，十o 。r 十0 0 = ( 瓦( 印) + f ”可1 ( 蛳) ) i 硼r + ( 瓦( ) + f 。) r 劢d r j o o j 一 一动b 丁打+ o ( p ) ( 3 3 1 0 ) 2 1 可以证明c 动豆打o ，事实上它不为零是由筹k ：。推出 可以证明动足打o ，事实上它不为零是由兰圭l 。_ 。o 推出 j 一 的，往下就是要证明这个事实 由上面记法 甘( = 矿( 一鼬气筹= 杀矿( 一杀辩+ ) 先回忆在( 3 2 2 ) 一( 3 2 5 ) 中代换 = q o ，铲= 0 + ) + q o ， 矿= q o ，矿= ( 矿) + q o 旷， 在( 3 2 2 ) 中对一进行微分 昙( 警) = 或( ) 警+ 砌掣删 + 砒 d ，d q o 可2 、 d q o 名4 再l 1 f j _ 面- ， 鲁( 警) = 鳓警蝴【警+ ( + 叭 d ，d q 0 9 7 、 d q o z 万【百j - 百。 令杀q 0 矿= 一，杀q 0 = 一r ，则上式即 暑一= 豆( ) 中+ 豆( ) ( 一+ ( z + ) ) + 豆( ) ， 孚一：一， 譬 ( 3 3 1 1 ) 导r = 豆( ) ，y + 毛( - ) ( q r + ( 矿) ) + 元( ) ， 、。 未批7 7 口f ( 一。) = 7 。( 一o 。) = o ，矿( + o 。) = r ( + o 。) = o 存( 3 3 5 ) ，( 3 3 6 ) 中令z i = 1 ，t = o ，甜7 = o 就可得到类似于( 3 3 1 1 ) 的方程 利用( 3 3 8 ) ，有 q r ( o ) 一一( o ) = ( ( o ) ) - 1 劫阮7 ( $ o ) + b 打+ ，十o 。 j 0 p 0 + 耐豆庐( z o ) + 元】打) j o 。 而 r ur 十o 。 劢羁咖( 。o ) 打一 劲毛( 印) 打= ( 黝) 矿，( 0 ) 一曲( 黝) 矿( o ) = o j 一j 0 考虑到这些化简后可得： 矿( o ) 一口l ( o ) = ( ( o ) ) 一1 p 苋d 7 ，十o 。 j 一 因为( o ) 0 ，而 州。) _ 以。) 。铮筹l 。= 杀矿( 一杀犯+ ) l 。 ，十。 由此推出动足打o j 一。 r 十。r 十o 。 条件6 假设动瓦( 瓦( 茁o ) + 瓦) i 础r 由条件6 可以从( 3 3 1 0 ) 中解出z i ，有 r 十o 。，十o 。 z ：= 【劫豆一( 瓦( 铷) + f 。) ：砌r 】。 ( f ：7 ( 。o ) + + f 。可1 ( z o ) ) p d r + ( 瓦咖( z o ) + 瓦) r i 砌r j o oj 一。 一c 劫鼬r 】+ d 在( 3 ，3 1 ) 中，如果写z ：= z l + 0 ( p ) ，贝0 p 十p 十o 。 。= 【劫元一( 瓦( 印) + 瓦) 劫打 - 1 ，十o or + o 。 【( 瓦( z o ) + 瓦可1 ( z o ) ) i 硼r + ( 瓦曲( 。o ) + f 。) r 劫d r j 一 j o 。 一 p 豆r 酬 定理2 若满足条件1 6 ，则问题( 1 2 1 ) ，( 1 2 2 ) 具有脉冲状结构的解是 存在的，具有下面的渐近表达式 目( 。川： 烈叫+ 0 “丁_ 1 ) + “7 ) + 岛“m + 0 ( 脚，。 + 肛l ， i 妒扛) + o ( p ) ，z = z o + p 。1 其中下= p 一1 ( z 一。o 一肛z 1 ) 注4 用( z ，p ) 和矿( 。，p ) 的高阶渐近表达式可以找到z + 的更高阶近 似： 。+ = z 0 + p 。l + p 2 2 2 + ， 其中被确定的公式具有与( 3 3 1 0 ) 相同的分母 第四节对文献 8 的修正 文献【8 】在用边界层函数法构造形式渐近解时，对于一次近似边界函数 q 1 甄q 1 孑满足下列方程： 兰q ，z 廿= 豆q 。，+ 昂q 。矿，+ 打 7 _ 昙咖 = ， 其中 = 最( 菇7 ) ( 。o ) + 豆【( 菇7 ) ( z o ) 扛：+ r ) + 毋7 ( 石o ) + + 瓦( z ：+ r ) 注5 这里的，应为 彬，= 最( 菇7 ) ( z o ) + 毛【( 菇7 ) ( 如) ( 。i + r ) + 萌( z o ) + + 豆( 。；+ r ) 一只( 硫) ( z o ) 一日【( 蟊) ( z o ) ( 。i + 7 - ) + 萌7 ( 茹o ) 卜 一b ( z ：+ r ) 其中豆，毛，觅在点( 饥。，蟊( 如) + q 。，。o ) 处取值，e ，日，b 在点 ( o ，蟊( z 。) ，z o ) 或( o ，( z o ) ，z o ) 处取值 从而决定z i 的方程应改为： r + o o 一 ，u，+ 。 【 p 豆打+ 劫( 日科( z o ) + 咒) 打+ 动( 乃( z o ) + b ) d r z ；+ j o 。 j 一 j 0 r 十o 。 一 ，ur 十。 + 劫兑7 - 打+ 劢( 日硝( z o ) + 咒) r 打+ 劫( 日拓( z o ) + b ) r d t 】 j 一j o 。j 0 = d ( p ) r 0，+ 。 其中在积分号内的日，咒在点( o ，碗( z o ) ，跏) 处取值，在积分号 内 j o 。j 0 的日，b 在点( o ，( 茁o ) ，。o ) 处取值 在文【8 】中再补充一个假设： 假设z i 的系数不等于零，即 e 劫觅打+ 讹矧训打+ ，十 + 动( 日( z o ) + b ) 打o ，n r e f 毛r e n c e s 1 1n i e g o l ig ，p l i r o g e n e ，在非均匀系统中自组织化过程，莫斯科和平出版杜， 1 9 7 3 2 p l a k r c ，m i l l r e l o v a c 在非均匀化学物理中的自组织化过程莫斯科科学出 版社1 9 8 3 3 】r o m a n o v 8 h g e u m ，s j t e g a n o v mb ，c h r o n o v s h g e d c ，数学的生物物理，莫斯 科科学出版社 4 】尼科历斯，普里戈任非均匀系统中的自组织，【m 】莫斯科和平出版社，1 9 7 9 【5 】a b v a s i l e v a ，v f b u t l l z o v a 日y m p t o t i ce 【p a n 8 i o 瑚o fs i n g u l a r l yp e r 七u r b e d d i 舶r e n t i a le q u a t i o n s ，【m 卜n a l l l c a ，m 0 8 c o w ，1 9 7 3 ，( i nr i l 8 8 i a n ) 6 】v f b u t u z o v ，a b l 8 i l e v a 具有夺间对照结构的渐近解1 9 8 7 ，v b l 4 2 ，n o 6 ， 8 3 1 8 4 1 【7 】a bv a 8 i l e v a ，d a v d a v a c 由两个两阶的奇摄动方程组组成的方程组的阶梯 型对照结构，计算数学和数学物理杂志，1 9 9 6 ，v 0 1 3 6 ，n o 5 ，7 5 _ 8 9 【8 】a b v i l e v a ，m a d a v y d o v 某类二阶非线性奇异摄动方程阶梯型空间对照 结构，【j 】计算数学和数学物理杂志1 9 9 8 n o6 ，9 3 8 9 4 7 【9 a b v a 8 i l e v a ，o ne o n t r a s ts t e p l 让【es t r u c t u r ef o ras y 8 t e m0 fs i n 9 1 】l 盯l yp e r - t u r b e de q u a t i o n ，z h v y c l i s l _ m a t m a t f i z 1 9 9 4 ，v 0 1 3 4 ，n o 1 0 ，1 4 0 1 一1 4 儿 【l o 】a b v 拈i l e v a ，c o n t r a s t8 t r u c t u r eo fs t e pt y p ef o ras i n g u l a r l yp e r t l l r b e d q u a s i l i n e a8 e c o n d0 r d e rd i f f e r e n 七烈e q u a t i o nz h v y c h i s l m a t m a t f i z 1 9 9 5 ， v o l _ 3 5 n o 4 ，4 l l 一4 1 8 【1 l 】倪明康，占稀一类变分问题阶梯解的存在性【j 】华东师范大学学报( 自然科 学版) n o 1 ，2 0 0 6 2 6 【1 2 】a b v a 8 i l e v a ，o eo i n e l d l e n k o ，p e r i o d i cc o n t r a s t8 t r u c t u r eo fb t e pt y p ef d r s i n g u l a r l yp e r t u r b e dp 盯a b o l i ce q u a t i o n s ，d i 髓r ，u r a v n ，2 0 0 0 ，v 0 1 3 6 ，n o2 ， 2 3 6 2 4 6 1 3 】a b v a s i l e v a ，o e o m e l c h e i 止o ，c o n t r a s ts t r u c t u r e so fs t e pt y p ef o ra8 i n g u _ l a r l yp e r t l l r b e de l l i p l i ce q u a t i o ni na na 血m d l l sz hv y c h i 8 1 m a t f i z 2 0 0 0 ， v 0 1 4 0 n o1 ，1 1 8 - 1 3 0 1 4 】v e s