（应用数学专业论文）伪辛几何中子空间排列与dz析取矩阵的构作.pdf

摘要 分组测试起源于1 9 4 3 年分组测试可以粗略地分为两类：组合分组测试( c g t ) 和随机分组测试( p g t ) 在礼个被测对象中找出不超过d 个的有缺陷对象的分组测 试称为组合分组测试( c g t ) ，在有缺陷对象的概率为p 的情况下进行的分组测试称 为随机分组测试( p g t ) 组合分组测试在很多方面有着广泛的应用，诸如血样检测、 编码、多重信道通讯、艾滋病筛选等等近一个时期来，它在分子生物学领域特别是 筛选试验方面的应用有了巨大的发展分组测试在这个领域经常被称为p o o l i n g 设 计 分组测试按算法可以分为有序的和非适应性的一个有序的分组测试算法是所 要求的试验一个接着一个地进行，允许后面的试验使用前面试验的结果来设计一个 非适应性分组测试算法是所有试验同时进行，禁止用已有的试验结果来设计下面的 试验 过去，由于一个项目试验的次数比较少，人们主要关注有序算法，现在由于在生 物学领域需要筛选的对象的数目巨大，每一个试验都是非常耗时的，所以人们开始大 量地关注非适应性算法 另一方面，生物学中的试验精确性无法与电子试验相比，有时会发生错误所以 能够f 吏分组测试算法检查出错误，并且改正错误是十分必要的 现在人们十分关注的非适应性组合测试试验设计方案的数学模型就是一个所谓 的舻一析取矩阵，z 代表了它的检查错误，改正错误的能力，d 代表了筛选阳性对象的 能力 舻一析取矩阵是一个( o ，1 ) 矩阵，许多数学工具都能设计出有用的试验方案设 计出能够检查、改正错误的扩一析取矩阵是非适应性分组组合测试的中心任务本文 中我们利用伪辛空间l ；卧6 中的( ? ，2 ( s 1 ) + 7 i ，s 一1 ，1 ) 型子空间标定行，f 尹十6 伪 辛空间中的( m ，2 s + 6 7s 1 ) 型子空间标定列得到( o ，1 ) 矩阵蜴( m ，2 s + 丁，1 ；7 ，2 ( s 一 1 ) + 丁，l ；2 u + 6 ) ，为了讨论它的俨一析取性，首先我们讨论了f ：舛6 伪辛空间上的 ( m ，2 s + 7 i s 1 ) 型子空间中( m 一1 ；2 ( s 一1 ) + ns 一1 ，1 ) 型子空间的排列问题，得到 i i i 了以下结论： 假设2sd 冬菩羞( s 芝2 ) ，考虑f 尹6 伪辛空间上( m ，2 s 年ts 1 ) 型子空间 的任意d 个( m 一1 ；2 ( s 一1 ) + 7 ，1 ) 型子空间凰，玩，那么l 厨u 面u 面ls d n ( r ，2 ( s 1 ) + 。r l ；m 一1 ，2 ( s 一1 ) + 7 ，l ，m 一 ( 7 + 2 ) 2 j 一2 s ；m = 2 s 十7 - 、1 ；2 + 艿) ， 并且当2 d q + l 或q + 1 d q 2 + q + 1 ，s 2 时，这个不等式是紧的 然后，我们依据以上讨论，给出了矩阵的析取性的结论： ( 1 ) 当( d ，7 ) = ( 1 ，1 ) ，( 2 ，0 ) ，2 d m i n m m 一3 i 并且不是舻析取在这里 r 一2i 一 ( 7 - + 2 ) 2 】一2 ，r 一【( 7 _ + 2 ) 2 】 ( 2 ) 若( 艿7 - ) = ( 1 ，1 ) ：( 2 ，o ) ，2 d q 丽2 5 _ 1 ，或( d ，下) = ( 2 ，2 ) ，2 dsq 毒兰鑫 时，那么蚴( m ，2 s + t ，1 ；r ，2 ( s 一1 ) + r ，1 ；2 u + 5 ) 是d 。一析取矩阵在这里z = n ( r ，s 一 1 ；m ，8 ) 一d n ( r ，s 一1 ；m 1 ，s l ；m ，s ) ，r 3 ；8 2 ，m a x 0 ，r 一 ( r + 2 ) 2 】- 2 s 一1 ) m i n m 一【( 丁+ 2 ) 2 】一2 s ，r 一【( 丁+ 2 ) 2 】一2 ( s 一1 ) 而且，当2 dsg + 1 或 q + 1 d 9 2 + g + 1 ，蝎( m ：2 s + l1 ；7 ，2 ( s 1 ) + 丁，1 ；2 7 + 6 ) 不是舻+ 1 一析取的 关键词：分组试验伪辛空间舻一析取矩阵填充排列 a bs t r a c t t h e t h e o r y o fg r o u pt e s t i n gh a s b e e nw e l ld e v e l o p e ds i n c e19 4 3 g r o u pt e s t i n gc a l l r o u 曲l yb ed i v i d e di n t ot w oc a t e g o r i e s ：c o m b i n a t o r i a lg r o u pt e s t i n g ( c g t ) a n dp r o b a b i l i s t i cg r o u pt e s t i n g ( p g t ) i nc g t , i ti so f t e na s s u m e dt h a tt h en u m b e ro fp o s i t i v e s a m o n g 礼i t e m si se q u a lt oo ra tm o s tdf o rs o m eg i v e np o s i t i v ei n t e g e rd i np g t , w e f i xs o m ep r o b a b i l i t y po fh a v i n gap o s i t i v e ( d e f e c t i v e ) t h ec o m b i n a t o r i a lg r o u pt e s t i n g h a sb e e nf l o u r i s h i n gd u et oi t sm a n ya p p l i c a t i o n st ob i o o dt e s t i n g ，c o d i n g ，m u l t i a c c e s s c h a n n e lc o m m u n i c a t i o na n da i d ss c r e e n i n g r e c e n t l y , i th a sa l s ob e e nf o n dt ob eu s e f u l i nm o l e c u l a rb i o l o g y ag r o u pt e s t i n ga l g o r i t h mf o rt h i sa p p l i c a t i o ni so f t e nr e f e r r e dt oa s p o o l i n gd e s i g n t h e r ea r et w og e n e r a lt y p e so fg r o u p t e s t i n ga l g o r i t h m ss e q u e n t i a la n dn o n a d a p t i v e a s e q u e n t i a la l g o r i t h mc o n d u c t st h et e s t so n eb yo n ea l l o wal a t e rt e s tt ou s et h eo u t c o m e o fa l lp r e v i o u st e s t s an o n a d a p t i v ea l g o r i t h ms p e c i f i e sa l lt e s t ss i m u l t a n e o u s l y , t h u s f o r b i d d i n gu s i n gt h eo u t c o m ei n f o r m a t i o no fo n e t e s tt od e s i g na n o t h e rt e s t t r a d i t i o n a l l y , t h et h e o r yh a sb e e nf o c u s e do ns e q u e n t i a lt e s t i n g ，d u et oi t sr e q u i r e m e n to ff e w e rn u m b e ro ft e s t i s n o wt oa c h i e v eag i v e ns c r e e n i n go b j e c t i v e ，t h en u m b e r o fb i o l o g i c a le x p e r i m e n t sr e q u i r e di sh u g ea n de a c hs u c he x p e r i m e n ti st i m e c o n s u m i n g t h u si ti so fu t m o s ti m p o r t a n c et ou s ep a r a l l e l e d s ot h ef o c u so fp o o l i n gd e s i g ni sn o w s h i f t e dt on o n a d a p t n ek i n d o nt h eo t h e rh a n d ，ab i o l o g i c a le x p e r i m e n ti sk n o w nf o ri t su n r e l i a b i l i t y , a sv e t = s u se l e c t r o n i ct e s t i n gw h i c hc a r r i e sh i g ha c c u r a c y t h e r e f o r ee r r o r - d e t e c t i o na n de r r o r - c o r r e c t i n gh a v et ob ed e a l tw i t hs q u a r e l y am a t h e m a t i c a lm o d e lo f t h en o n a d a p t n ec o m b i n a t o r i a lg r o u pt e s t i n gs c h e m ec a l lb e r e p r e s e n t e da sas o c a l l e dd z - d i s j u n c tm a t r i c e s ，i t sc a p a b i l i t yo fe r r o r - t o l e r a n ta n de r r o r - c o r r e c t i o ni sd e t e r m i n e db yz ，a n di t sd e t e c ta b i l i t yt op o s i t i v ei n t e g e ri sd e t e r m i n e db y d v t h e 舻d i s j u n c tm a t r i xi sab i n a r ym a t r i x ，m a n ym a t h e m a t i c a lt o o l s c a r ln o wb e b r o u g h t t og r o u pt e s t i n gf o rj u d i c i o u su s e d e s i g n i n gg o o d e r r o r - t o l e r a n tp o o l i n gd e s l g n i sac e n 廿a 1p r o b l e mi nt h ea r e ao fn o n - a d a p t i v eg r o u pt e s t i n g i nt h i sp a p e r ，w ec o n s 贴t a ( 0 ，1 ) m a t r i x 鸠( m ，2 s + 7 - ，1 ；r ，2 ( s 一1 ) + r ! i ：2 v + 6 ) w h o s er o w sa r e 试d e x e db y 呻e ( 7 2 ( s 一1 ) + ls 一1 ，1 ：2 u + 6 ) s u b s p a c e so f f ；”+ 6a i l d 、v h o s ec o l u m n s a r ei n d e x e db y 呻e9 2 ：2 s + 6 ，s ，1 ；2 十6 ) s u b s p a c e so f 畔卅 t od i s c l 塔s 也a tm a r e ，2 s + 下，1 ；r ，2 ( s 一1 ) + 丁：1 ；2 u + 6 ) i sd z - d i s j u n c t ，w e d i s c u s s t h e 觚a i l g e m e n t p r o b l e mo f w p e ( m 一1 ，2 ( s - 1 ) + 丁，s 一1 ，1 ) s u b s p a c e s o f t y p e ( m ，2 s + 下，s ，1 ) s u b s p a c e so f 砭工，十60 1 1f i n i t ef i e l d sa n d o b t a i nt h ec o n e l u s l o na s 士0 1 1 0 、v s ： l e t2 冬d 誊兰矗( s 2 ) f o rdt y p e ( m 一1 ，2 ( s 一1 ) + f ，1 ) m b s p a c e s 月1 ，爿d o f at y p e ( 7 7 2 ，2 s + 丁，s 1 ) s u b s p a c e s 。f 酵+ 6 ，t h e ni h 1u h 2 u 瓦l d n ( r , 2 ( s 1 ) + 7 - ，1 ；m 一1 ：2 ( s 一1 ) + f ，1 ，m 一【( 丁+ 2 ) 2 一2 s ；m ，2 s + 下，1 ；2 v + 6 ) ，a n d f o r 2 d 口+ 1 o rg + 1 d 9 2 + g + 1 ，s 2 ，t h ei n e q u a l i t yi st i g h t _ s u b s e q u e n t l y , w eo b t a i nt h er e s u l t sb y a b o v ec o n c l u s i o na sf o i l o w s ： 仔) f o r ( = ( 圳，( 2 ，o ) ，2 晕 口弋l ，坞( m ，2 + 7 - ，1 ；2 ，o + 丁，1 ；2 + 驴 舻毪s j u n c t ，w h e r ez = 矿，- ( 口一d + 1 ) l m 一：l ，a n d i sn o t 扩1 d i s j u n c t ，w h e r er 2 ， m 姜 o ，r i ( 丁+ 2 ) 2 一1 ) 幽( m 2f ( 丁；墨) 2 】一2 ，r _ 【( 丁+ 2 ) 2 】) 一( 2 ) f o r ( 民丁) = ( 1 ，1 ) ，( 2 ，o ) ，2 d 黠o r ( j ，丁) = ( 2 ，2 ) ，2 d g 声0 8 硒- - 1 ， 也e nm 口( m ，2 s + 丁，1 ；r ，2 ( s 一1 ) + r ，1 ；2 v + 5 ) i s 酽- d i s j t m c t ，w h e r e 名2 ( r ，s 一1 ；m ，s ) 一 d n ( r ，s 一1 ；m 一1 ，s 一1 ；m ，s ) ，r 3 ，s 2 ，m a x o ，r 一【( 7 - + 2 ) 2 一2 s 一1 ) 墨 n n n m 一【( f + 2 ) 2 一2 s ，r 一【( 丁+ 2 ) 2 一2 ( s 一1 ) ) ，a n d f o r2 dsg + l o r g + 1 d q 2 + g + 1 ，坞( m ，2 s + 一1 ；n 2 ( s 一1 ) + 1 - ，1 ；2 y + 6 ) i s n o d ：+ 1 d i s j u n c t k e vw o r d s ：g r o u pt e s t i n g ；p s e u d o s y m p l e c t i cs p a c e ；d z - d i s j u n c t ；p k m ga r r a n g e m e m v i 学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文伪辛几何中子空间排列与d ：一析取矩阵的构作，是在导师 的指导下，独立进行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要 贡献的个人和集体，均己在文中标明。 本声明的法律后果由本人承担。 论文作者( 签名) ：匆 堡 、 口留年1 月1 5e t 指导教师确认( 签名) ： 嘿年l 乙月lf 日 学位论文版权使用授权书 哮坼 v 本学位论文怍者完全了解河北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 立论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河北师范大学可以：痔学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行睑索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保 存、正编学位论文。 ( 保密的学位论文在年解密后适用本授权书) 论文作者( 签名) ：勃l 鸟 一， 口留年11 月lf 日 指导教师( 签名) c 映彰 dg 年i 、，月1 时一 n 引言 分组测试( g t ) 起源于上个世纪的第二次世界大战期间的美国我们用验血来说 明它的方法冗个人的血样被采集后每k 个人分成一组( 没死足够大，且是k 的倍数) ， 每组的血样混合在一起去接受化学分析如果这分组中都不含病原，则全部血样也不 会含有，实验就会呈阴性，这样这k 个人只需做一次试验但是，如果这个分组中有一 个，或更多个包含病原，则对应分组的测试会显示出病原的存在，当然全部血样中也 就含有了，这个分组里的每个个体必须被重新检测以确定是哪一个感染了病原，这样 这k 个人就需做k + 1 次试验这并不需要重新采集血样，因为两次检测所需要的血 可以一次被抽取出来这样只要分组适当，就有可能减少试验次数r o b e r td o r f m a n 在华盛顿统计学会的一次会议上首次讨论了这种方法，他提交的4 页手稿被出版在 数学统计学学会的年刊上 到了1 9 5 7 年，s t e r r e t t 发表了以他在p i t t s b u r g h 大学的 博士论文为基础的一篇很短的手稿【2 】，在这篇手稿中涉及到了分组测试后来，两个 贝尔实验室的科学家s o b e l 和g r o l l ，在19 5 9 年发表论文f 3 1 ，对分组测试这个词给出 了非常精确的论述，赋予它新的含义，为以后的研究奠定了基础d o r f m a n ，s o b e l 和 g r o l l 借助概率模型来研究分组测试，而且它们的方法是所谓的一个概率分布和一个 次品集相对应，目标是用最少次数的试验检测出次品集这个方法称之为随机分组 测试 分组测试可以粗略的分为两类：组合分组测试( c g t ) 和随机分组测试( p g t ) 它们的区别是：组合分组测试中是在7 , 个被测对象中找出不超过d 个的有缺陷对象 随机分组测试则是在有缺陷对象的概率为p 的情况下进行的c h l i 4 】是首先研究 组合分组测试c g t 的人当时人们需要傲很多工业的和科学的实验来确定哪一个变 量是重要的，在参加测试的众多变量中，通常只有很少变量是重要的，这些重要的变 量被认为是有相当大的影响以致不能发生试验错误或者被其它不重要变量的联合影 响所掩盖，把每个变量看作是一个测试对象，把每个重要变量看作是一个次品，把每 次试验看作足一个分组测试如果一次试验能产生较大影响( 效果) ，就说明参与这 次试验的变量中包含着重要变量，c h l i 假定这些变量中恰好有d 个是重要的，并 尽量使检测出这d 个重要变量所需要的试验次数最少从c h l i 开始，人们研究组 合分组测试以满足在医学、工业和统计领域的重要应用 按照试验步骤的不同，分组测试的算法可以分成有序算法( s e q u e n t i a la l g o r i t h m ) 和非适应性算法( n o n a d a p t i v ea l g o r i t h m ) 两类有序算法指对被测对象一个挨一个地 进行试验允许后面试验使用前面所有试验的输出结果非适应性算法是指所有试 验同时进行，禁止用一个试验的输出结果来设计其它的试验过去，由于一个项目试 验的次数比较少，人们主要关注有序算法，现在人们大量的关注非适应性算法，非适 应性组合测试在d n a 筛选【5 1 ；多重接口控制 6 7 1 ；纠错超级码【8 9 ，1 0 , 1 1 】等方面有着 广泛的应用这是由于在这些领域需要筛选的对象的数目是巨大的，每一个试验都足 非常耗时的非适应性算法可以节约很多时间 非适应算法的组合分组测试可以用一个( 0 ，1 ) 矩阵来表示，矩阵的列表示扎个 被测对象，行表示所分的t 个组，矩阵元素9 t , i f = 1 净第i 个分组包含被测对象j 这个矩阵被称为d 一析取矩阵，试验的结果形成一个t 维列向量 j 例0 1 有7 d 个被测对象其中有不超过j 个阳性个体下面的矩阵表示出这个 试验设计，在这个例子中，d 个被测对象分为5 组每组4 个这样5 次试验的结果就 得至 一个f o i ) 向量 ( 0 1 2 3 ) ( 0 4 5 6 ) ( 1 4 7 8 ) ( 2 5 7 9 ) ( 3 6 8 9 ) 用这个得到的向量通过适当的算法找出阳性个体，本例中的试验结果决定了3 是阳性的 非适应性组合分组测试的最后结果依赖于每一个分组( p 0 0 1 ) 的试验输出结果， 但由于多方面的原因，在试验的输出结果中出现错误是在所难免的，因此设计能够发 现和纠正错误的l = f 一析取矩阵是非常必要的 现在，一个非适应性组合测试试验设计方案的数学模型就是一个所谓的d ：一析 2 9 0 0 o 1 1 8 o o l o 1 7 0 0 l l 0 6 o 1 0 o 1 5 0 1 o l 0 4 o 1 1 0 0 3 1 0 o 0 1 2 1 o o l o l 1 0 1 0 o o 1 l 0 o 0 取矩阵：d 。一析取矩阵是一个( 0 ，1 ) 矩阵，如果对于它的任意d + 1 个不同的列 g ：c l ，q 中任意指定一列，不妨指定g 列，则至少存在z 行，使得g 列元素是 1 ，而在其它g ( 1 k d ) 列元素都是0 和这样的矩阵对应的一个非适应性组合测 试试验设计方案具有从n 个被检测对象中筛选出不超过d 个阳性对象，而且能够检 查出z 一1 个错误并且纠正其中 ( ：一i ) 2 j 个错误的能力构造舻一析取矩阵是非适 应性分组组合测试的中心任务 屹】 近年来，有较多的人专注于能纠错的扩析取矩阵的设计和分析【1 3 1 4 , 1 5 , 1 6 1 7 】 n g o a n dd u 在【1 7 】中，利用有限向量空间的子空间的包含关系构造了一类d ：- 析取矩 阵，后来d y a c h k o v 等人在【豫】中对这类矩阵进行了分析，发现它有很高的容错和纠 错能力主要结果如下： 厂1 设g 以g ) 表示仇- 维线性空| 可，这里慢一爪素数的方幂用lt 尾n | 表示野中 的k 维子空间的个数于是有 lmj ( q m 一1 ) ( g m 一1 1 ) ( g m 一南+ 1 一1 ) i 尼l ( q 七一1 ) ( g 知一1 一i ) ( g i ) 而县 旧： l j 口 ljq 对于如下构作的( 0 ，1 ) 矩阵三( 嘎勋；r ) ：它的行和列分别用f 中的r 一维子空间和k 一 维子空间标定，m ( m ；忌；r ) 的i 行j 列元素为l ，当且仅当代表i 行的7 一维子空问包 含子代表j 列的七一维子空间，这里1 r 忌 m 则有如下结论：假设k r 2 ， i ep = 绪，则 ( 1 ) 对于1 d p 以及 z = g 盎一7 ：二： 口一c d 一1 ，q 后一r 一1 ：二； 口， l ( 7 ，凡；惫；7 ) 是扩一析取的 ( 2 ) 对于1 d g + l ，有l ( m ；r ) 是扩一析取的但不是扩十1 一析取的，亦即此时z n g o 在 1 9 】中对线性空间中的子空间的排列作了更精确地刻画，讨论了在q + 1 d p 时：的取值情况，得到了比 1 8 】更进一步的结果 我们知道，一般线性空间在典型群( 仿射群、射影群、辛群、伪辛群、酉群、正交 群) 的作用下形成各自的几何学，上个世纪6 0 年代万哲先院士开创了有限域上典型 群的几何学的研究，给出了线性空间在典型群作用下的轨道个数的计数定理、轨道 的长度的计数定理以及轨道中包含在给定的子空间中的子空间个数的计数定理等 这些空间具有良好的代数结构和丰富的计数定理，利用它们构作的d 一析取矩阵往 往具有良好的性质，这样不仅丰富了d 析取矩阵的种类，而且也扩大了有限域上典型 群的几何学的应用领域，是一个有着理论和实际意义的工作 本文利用伪辛空间赡舛6 中的( r ，2 ( s 1 ) + 7 ，s 一1 ，1 ) 型子空间标定行，( m ，2 s + r ，s ，1 ) 型子空间标定列，构做了( 0 ，1 ) 矩阵地( m ，2 s + 丁，l ；? ，2 ( s 1 ) + 丁，1 ；2 + j ) ， 讨论了f ：舛6 伪辛空间上的( m ，2 s + - s ，1 ) 型子空间中( m 一1 ，2 ( s 一1 ) + 7 - ，s l ，1 ) 型子空间的排列问题，进而给出了矩阵的析取性的结论 本文共分四章，第一章为预备知识，主要介绍了特征为2 的有限域f q 上的f ；舛6 伪辛空间的一些基本概念、计数定理以及d 一析取矩阵和d 。- 析取矩阵的概念帮性 质阐述了d 析取矩阵发展概况以及本文的主要结论第二章利用f ：外6 伪辛空间 中子空间构作( 0 ，1 ) 一阵，并且说明了讨论子空间排列的原因。第三章讨论了f 蜘伪 辛空间上的( m ，2 s + 7 - ，s ，1 ) 型子空间中( - y l r z 一1 ，2 ( s 一1 ) + 7 - ? s 一1 ，1 ) 型子空间的排 列问题第四章讨论了所构造的舻析取矩阵的识别阳性目标和纠错能力 4 1 预备知识 1 1 f 辛空间与f ；p j 伪辛空闽的基本概念和计数定理 本节给出辛空间与f ；舛6 伪辛空间的一些基本概念和计数定理关于它们 更为详尽的内容看 2 0 1 在本文中我们用f 口表示碍个元素的有限域，q 是2 的方幂 设扎= 2 v 十2 而1 1 是正整数，2 是非负整数 设 显然当z = 0 日寸，硒= r。 ， f d 上满足丁k 2 叮= k 的全体2 + f 级非奇异矩阵丁对矩阵乘法作成一个群， 称为f 口上的指数为1 2 的2 + f 级奇异辛群，记作勖2 外l ，( ) 特别的，当2 = 0 时， 却2 叫( f g ) 称为辛群，简记为5 z 扩( f 口) 令f “是f q 上的2 - 4 - f 维行向量空间，s p 2 “( k ) 以下面通常的方式作用在 f 妒。上： f ；v + 2 却2 v 十z ，p ( 耍 q ) f ；+ 2 ， ( ( z l ，z 2 ：，z 2 工，+ f ) ，t ) 一( z l ，x 2 ，x 2 工，+ c ) 丁 向量空间f 尹+ 连同却2 舛f ，( 玛) 在它上面的如上的作用称为上的2 v + f 维奇异 辛空间特别的，当l = 0 时，向量空间f ：p 连同s p e ，( f 。) 在它上面的如上的作用称 为f q 上的2 维辛空间 设p 是辛空间f ：”中的一个m 维子空间，我们用同样的字母p 来表示这个子 空间的矩阵表示，若r a n k ( p k p t ) = 2 s ，则称p 是一个( m ，8 ) 型子空间 我们分别用n ( m t ，8 1 , m 2 ，s 2 ；2 v ) 和7 ( m l ，s 1 ；m 2 ，8 2 ；2 v ) 来乡f n 表示, - - 个固定的 ( 7 7 1 2 ，8 2 ) 型子空间中的( m l ，8 1 ) 型子空间的个数以及包含一个给定的( m l ，8 1 ) 型子 空间的( 7 7 7 , 2 ，8 2 ) 型子空间的个数，则 6 n ( r n l ，s l ；t , 2 ；s 2 ；2 v ) = r a i n m 1 - - 2 a l ，m 2 2 s 2 ) k = m a x o ，m 1 一s l 一8 2 ， s 2 n q 2 s l ( 8 l + s 2 一m l + 七) + ( 仇1 一岛) ( m 2 2 s 2 知) ( g 瓤1 ) m 2 - - 2 a 2 n 讧= s 1 s 2 一m l 十七+ l i = r n 2 - - 2 , s 2 一七+ 1 ( g i 1 ) ( 1 - 2 ) 3 1 l - i ( 口2 一 i = i 1 、 ，l一 口 七n m l q 如一 如n 斟 n 进一步，一个固定的( m 2 ：s 2 ) 型子空间中包含有( m ，s - ) 型子空间及存在( m 2 ，8 2 ) 型子空间使其包含一个固定的( m 1 ，s ) 型子空间的充要条件均为 2 s 2 m 2 + s 2 k m s - x o ：m l 一8 1 s 2 m i n m l 一2 s l ，竹t 2 2 s 2 我们分别用( m 1 ：8 1 ：m 2 7s 2 ；2 v ) 和7 ( m l13 1 ；m 2 ：s 2 ；2 v ) 来分别表示一个固定的 ( t n 2 ，8 2 ) 型子空间中的( m t ：s t ) 型子空间的个数以及包含一个给定的( 7 1 1 ，8 i ) 型子 空间的( t 1 2 ，s 2 ) 型子空问的个数，则 ( m 1 ，s i ；7 7 t 2 ：s 2 ；2 v ) = m i n r n l 一2 s 1 ：7 n 2 2 3 2 ) k = m a x 9 2 5 l ( s t + a 2 - r n i + k ) + ( m l 一七j ( m 2 2 。2 一聊 ( g 瓤一1 ) i t s , 2 - - 2 s 2 兀 i = 8 i + s 2 一m l + 詹+ 1i = m 2 - - 2 s 2 一庇l i = l ( q i 一1 ) ( 1 3 ) i = 1i = 1 ( m l ：8 1 ；m 2 ：8 2 ；2 v ) = n ( 2 v m 2 ，+ s 2 - m 2 ；2 v m l ，l ，+ s 1 一m 1 ；2 ) ( 1 4 ) 设r 是峦 ；蚪。奇异辛空间的一个( m ，s ：忌) 型子空间，用n ( m ，s ：殆；2 v + z ：) 表 示此时p l 的个数，则当m a x o ，m 一矿一s 】七m i n l ，m 一2 s 时，有 ( m ，s ，庇；2 v + 1 ) = 9 2 5 ( + 5 一m 十詹) + ( m - - k 肛七) ， r i ( g ： i = v + s m + 凫+ 1 f 一1 )兀( 矿 z = f 一七一l s1 7 l 一2 s 一岛岛 n ( q 2 i = l 一1 ) i - i ( 矿一1 ) n ( 驴一1 ) i = 1t = 1 ( 1 5 ) 设p 2 是f 尹+ 。奇异辛空间的一个( m ，s ) 型子空间，用u ( m ，s ；2 v + z ：) 表示此 时岛的个数，则当m a x o ，m 一一s m i n l ，m 一2 s ) 时，有 ( m ，s ；2 v - 4 - f ：j ) = r a i n m - 2 s k = m a x o ，t r i - - t - - 8 ( m ，s ：忌；2 v + 1 ) ：( 1 ，6 ) 设p 是f ：”叫奇异辛空间的一个( m ，s ：惫) 型子空间，则包含在p 中的( m 1 ，8 1 ，k i ) 7 矗 l一 七n 1 一 七 一 m n m l 一 孔 q 乱n d 型子空间集非空的充要条件是 其个数为 七l 七f 2 s 饥一庇+ 8 1 m a x 0 ，g _ 2 , 1 一_ | ；：l s b 1 m i n m 一是一2 s ，m i 一一2 s l ( 1 7 ) ( 仇l ，s l ，七1 ；m ，s ，七；2 + z ，) ( 1 8 ) = ( m l 一七1 ，s l ；2 s + ( m 一七一2 s ) ，s ) ( 血1 ，宠) g ( m l 一七1 ) ( 七一忌1 j ， 这里c k 尼，是七维线性空间中鼠维线性空间的个支c k 尼，= 三 g ， k 凳1 口为 高斯系数 以上是f ；辛空间的简要介绍，下面给出f + 6 伪辛空间的一些基本概念和计 数定理 岛l ，+ 6 = 删) ， a ：0 1 l1 若万= 17 那么我们称f q 上的所有满足丁是，+ 或丁r = 蚪j ，的( 2 + 6 ) ( 2 + 6 ) 级矩阵t 关于矩阵的乘法构成的群称做上的伪辛群，记做p s = 外占( f q ，是。+ 6 ) 令f 尹十声是i f q 上的2 v + 6 维行向量空间，p s ：p 十占( f g ，是+ 6 ) 通常以下面的方式 作用在f 尹+ d 上： f f ；外d p s o ，十占( f q ，岛p + d ) 一f ：p + 6 ， 8 ( ( 。1 ，z 2 ，? z 2 扩1 - 6 ) ：t ) _ ( z i ：z 2 ，z 2 暑，+ d ) t o r 向量空间砸 + 6 连同p s 2 。6 ( f g ：是外6 ) 在它上面的如上的作用称为虬上的2 u + 6 维伪辛空间记 i 已i = ( 0 ，0 ：1 ，0 ，0 )( 1 i 2 v - i - ) 则e 1 ，e , 2 ，e 2 ，d 构成f 再的一组基 令m ( m ，2 s + 下s ) 表示下面三种形式的任何一种，在这里下= 0 ：l ，2 m ( m ，2 s 十1 js ) m ( m ，2 s + 2 ，s ) = 1 0 ( m 一2 s l 、 设p 是瞬外6 上的一个m 维的向量子空间如果它满足下列条件 ( i ) p s 2 v + 6 p t 合同于( m ：2 s + 丁，s ) ， ( 2 ) 当e 2 。+ 1 隹p 时，= 0 ；当e 2 v + 1 p 时，g = 1 那么，我们称p 是一个阳，2 s + - s ，) 型子空间，在这里7 _ = 0 ，1 或2 ，= 0 ，1 特别 地，砭外6 上的( 仇，0 ，0 ，0 ) 型和( m ，o ，o ，1 ) 型子空问被称作m 维的全迷向子空间 我们知道，伪辛空间f 尹+ 6 的同型子空间组成它在伪辛群p s 2 蚪艿( ，岛舛d ) 作 用下的一个轨道 对于2 + d 维伪辛空间霹卅。中的( m ：2 s + 7 - ，s ) 型子空间有下面的结果 q 、l，i 、j s_一m 0 o ，o 0 ，。一 0 o o 0 ， ，i-l_lliiii_il、 弘 o 0 f 1 上 l o 1 和 在2 u + 6 维伪辛空间f 尹+ 6 中，( m ；2 s + 7 ，s ：) 型子空间存在的充要条件是： 2 s4 - z i & x t j 冬仃l + s + 【r4 - 艿一1 ) 2 】+ ( i 9 ) ( 1 1 0 ) 记2 v + j 维伪辛空间f + 6 中( 仇，2 s + 1 - ，s ，) 型子空间的个数为n ( m ，2 s + 丁，s ：g ；2 u + 巧) ，关于它有如下的计数定理 在条件1 9 ；1 1 0 下 n ( m ，2 s + 7 - ；r 9 三；2 u + j ) =q n o + 2 ( j + ( 2 一 7 2 1 ) ( 工，+ 8 一m 十j 【( r + 1 ) 2 】+ ( 占一1 ) ( 下一1 ) ( r 一2 ) g 2 ) 1 - i ( q 2 一l m - 2 j - m a x r 兀旷一l t = i ( 1 1 1 ) 这里，如果j = 1 ，n o = 1 ；如果j = 2 ，则对于( 7 - ，f ) = ( 0 ，o ) ，( 0 ，1 ) ，( 1 ，o ) ，( 2 ，o ) ，( 2 ，1 ) 等情况，n 0 = m ，0 ，2 ( + 1 ) 一m ，2 ( + 1 ) 一m ，2 ( v + 1 ) 一m 设p 是2 + d 维伪辛空间i 尹+ 6 中的( m ，2 s + t ，s ，) 型子空间，记包含在p 中的 ( m 1 ，2 8 1 + n ，s l ，9 1 ) 型子空间的集合为a , i ( m l ，2 e l + n ，8 1 ，l ；m ：2 s + 丁，s ，g ；2 v + 6 ) ， 个数为n ( m l ，2 a l + 丁l ，8 1 ，e l ；m ，2 s + 7 - ，s ，；2 u + 巧) ，则有 此时 ( 1 ) 。t d ( m 1 ，2 s l + n ，s l ，1 ；m ：2 s + 7 ，s ，1 ；2 u + 1 ) 非空的充要条件是 7 i = n = 1 m a x 0 ，m l 一1 一s s 1 m i n m 一1 2 a ，m l l 一2 s i ( 1 1 2 ) ( m 1 ；2 s 1 十1 ，s 1 ，1 ；m ，2 s + l ，s ，1 ；2 v + 1 ) = ( 饥1 1 ：s 1 ；2 s + ( m 一1 2 s ) ，s ) ( 1 1 3 ) ( 2 ) m ( m 1 ，2 s l + n ，s 1 ，1 ；m ，2 s + 丁，s ，1 ；2 u + 2 ) 非空的充要条件是 ( r ：7 1 1 ) = ( 0 ，o ) ：( 2 ，o ) ，( 2 ：2 ) m 越x o ，m 1 一，( l + 2 ) 2 一s 一8 1 ) m i n m 一( 7 - + 2 ) 2 2 s ，t i 1 一( n4 - 2 ) 2 2 s 1 ) f 】1 4 1 1 上 9 _ = i l ，、nu _ d 当当 、， l2 ，l、，、 0 0 n 么 c 、- ，-l，l、l，、， 1 n u 1 1 ，i、，k、， 0 1 l o ，j，-t、，、i， o 0 o 0 ，fl，、 ，j、i一， = 、， l i -丁 ，、 、j l t2 g 1 _ l + 2 l d ，n 一 中 m 一 ， + p= 此时 n ( m l ，2 s 1 + n ，8 1 ，1 ；m ，2 s + t8 ，1 ；2 u 十2 ) = 口n 1 n ( m l 一( ( 丁1 + 2 ) 2 ，8 1 2 s + m 一【( 7 - + 2 ) 2 】一2 s ) ，s ) 这里，n l = 0 ，0 ：m m l + 2 s 1 分别对应情形( 7 _ 1 ) = ( 0 ，o ) ：( 2 ，o ) ，( 2 ：2 ) 1 2d ：一析取矩阵及性质 考虑t 凡阶( 0 ，1 ) 矩阵m 令r 和g 分别表示m 的第i 行和第j 列( 1 is t ，l j 哟，所谓行( 列) 重为矩阵中一行( 一列) 中l 的个数 对于矩阵m 中的两列g 与0 ， g = ( z 1 一，丑：x t ) ? ，c j = ( y 1 i 一，犰，y d t ， g 与g 的并( 布尔和) 记为gvg ， g vc j = ( z lvy l ：，z iv 玑：z tv 犰) 丁； 其中 z = 0 , 翥铋= o ， 定义1 1 t n 阶( 0 ，1 ) 矩阵m 被称为出析取矩阵，如果它的任意d 列的并都 不包含其他任何一玑 m 为d 一析取矩阵等价于如下定义： 定义1 2 m 被称做( f 一析取矩阵，如果任取m 的d + 1 个不同的列c o ，a ，q ， 对于它们中的任意指定的一列，不妨指定岛列，则至少存在一行，使得c o 列元素是 1 ，而在其它g ( 1 ksd ) 列元素都