（应用数学专业论文）作用在h∞bn空间上的复合算子的线性组合.pdf

作用在h ”( b ) 空间上的复合算子的线性组合 l i n e a rc o m b i n a t i o no fc o m p o s i t i o no p e r a t o r s o i lh 。( b ) 学科专业：廑旦錾堂 研究生：堕 垦 指导教师：旦竖堡墼量 天津大学理学院 二零零八年四月 中文摘要 本文主要研究了单位球上有界全纯函数空间上的复合算子的线性组合的紧性 与复合算子的线形组合的系数之和之间的关系 全文共分为三部分： 第一部分，简要介绍了近些年在这个领域内的一些主要工作，相当于是一个 前言同时，还在本部分给出了主要的结果 第二部分，给出了本文所需要的一些概念及引理 第三部分，给出了本文的主要定理和推论的证明 关键词：日o 。空间；复合算子；线性组合；紧性 a b s tr a c t w ei n v e s t i g a t et h ea s s o c i a t i o no fc o m p a c t n e s sa n dc o e f f i c i e n t so fl i n e a rc o m b i n a - t i o n so fc o m p o s i t i o no p e r a t o r sa c t i n go nb o u n d e dh o l o m o r p h i cf u n c t i o ns p a c eh 。( b l v ) i nt h eu n i tb a l lo fc n t h ep a p e ri sm a i n l yd i v i d e di n t ot h e r ec h a p t e r s t h ef i r s ts e c t i o ni st h ei n t r o d u c t i o no ft h ew h o l ep a p e r w h i c hi n c l u d e st h eb a c k g r o u n d ，a n dt h em a i nr e s u l t sa r eg i v e nh e r et o o n e x ts e c t i o no ft h ep a p e r ，s o m ei m p o r t a n td e f i n i t i o n sa n dl e m m a s ，w h i c ha r e r e l a t e dt ot h em a i nt h e o r e m s t h et h i r dp a r ta r et h ep r o o f so ft h em a i nt h e o r e m sa n dc o r o l l a r i e s k e yw o r d s ：h 伐s p a c e ；c o m p o s i t i o no p e r a t o r ；l i n e a rc o m b i n a t i o n ；c o m p a c t n e s s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得天津大学或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名丙、圈 签字日期- 口喀年月z 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津大学有关保留、使用学位论文的规定特授 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ - - _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ 一 权天津大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文往解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 醑、园 签字日期：劢唿5 年加2 日 导师签名： 隅嘶 签字日期：矽扩年多月沙日 第一章背景知识简介 第一章背景知识简介 复合算子的研究是解析函数论和算子理论结合的产物复合算子的研 究是利用经典解析函数论中的结论探讨线性算子理论中的一些最基本的问 题，同时也利用算子理论作为工具研究函数论中的经典问题，复合算子的 研究给解析函数论中古老课题以新的研究方法，给泛函分析增添了一类十 分有趣的具体算子 过去一些年来，人们致力于研究一系列全纯b a n a c h 函数空间上复合 算子的有界性，紧性以及谱理论等与表征函数的关系我们可以参阅 j h s h a p i r o 1 1 和c o w e nm a c c l u e r 2 ，书中详细的介绍了这些年来复合算子理论 的发展和重大成果至于不同空间之间的复合算子的有界、性紧性，国内外 很多学者都已经得出了很好的结论 近些年来，人们又开始研究两个复合算子差分t = 一瓯的映射性 质，其中妒和妒都是d 上的解析自映射，其主要目的是为了研究空间上整个 复合算子集合的拓扑性质在 3 】中，m a c c l u e r ，o h n o 和z h a o 利用p o i n c a r d 测 度描述了日。上复合算子差分的紧性h o s o k a w a ，o h n o 4 】又研究了b l o c h 空间 和小b l o c h 空间上复合算子差分的拓扑结构随后，h o s o k a w a ，o h n o 5 】继续 研究了b l o c h 空间和小b l o c h 空间上复合算子差分的有界性和紧性在 6 】中 c a r lt o e w s 进一步把【3 】中单位圆盘上的结果用c a r a t h $ o d o r yp s e u d o 测度成功 的推广到了单位球上去l i n d s t r s m 和w o l f 在 7 】中继续估计了加权b a n a c h 空间上加权复合算子差分的本性范数 最近i z u c h i 和o h n o 研究了作用在单位圆盘上的有界全纯函数空间上的 复合算子的线形组合的紧性问题：他们得出了如下结论； 已知妒1 ，妒2 ，妒n 是s ( b n ) 上彼此不同的函数，满足i 慨= l ，这里对 每个i 久c 且丸0 那么以下条件等价： ( 1 ) 磐1 九o 。在日o o 上是紧的 ( 2 ) 对每个 纨) 七z = z ( 妒1 ，妒2 ，) 和t i ( z k ) ， 丸：i 0 ( z k ，t ) ) = 在这篇文章中，我们把它在单位球上的情形进行了推广 1 第二章基本概念和定理 第二章基本概念和定理 为了证明这篇文章所得出的几个结论，我们需要给出下面几个定义、 性质及引理在这篇文章里，我们用c 表示复数域，c n 表示复数域上线形空 间， c = ( 施，z 2 ，z n ) ：勺c ，歹= 1 ，2 ，) 设z = 名1 ，z 2 ，z n ，w = 伽1 ，w 2 ，w n ) 是c 中的两个点，定义它们 的内积为 n ( 名，叫) = 勺巧 j = l 由此产生的模为 h 却一k 睁2 ) 5 这样c 就是一个n 维的h i l b e r t 空间 b n 表示复空间c 上的以原点为球心的单位开球， 鼬= 卜一川渤) 用h ( b n ) 表示b ；v 上解析函数的全体用日一表示有界全纯函数空间 我们已经了解了在单位秋上定义的全纯自同构： 州= 型警盖幽 其中 驰) = 管口 q n ( z ) = z 只( z ) s 。：订i 2 第二章基本概念和定理 慨卜一峰篓芦 t 妒口c ，妒dc c ，：- 一丢三三嬲 定义2 1( 有界线性算子) 设x ，y 是赋范线性空间，称线性算子t ： x y 是有界的，如果存在常数m 0 ，使得 i | t xl i y mi | zl i x ( v z x ) 紧算子可以如下定义： 定义2 2( 紧算子) 设x ，y 是b a n a c h 空间称线性算子t ：x y 是 紧的，如果对于x 中的任意有界集b ，亍( 可在y 中是紧集 在单位圆中我们学过重要的s c h w a r z - p i c k 引理： 引理2 1( s c h w a r z - p i c k ) 引理：若妒是d 上的全纯自映射，则： l 黼 i 罴1 il i l 一妒( 叫) 妒( 彳) i i 一面z 这个引理在单位球上仍然成立，即妒是b j r 上的全纯自映射，则： 1 1 一( 妒( z ) ，妒( 加) ) 1 2 ( 1 一i 妒( z ) j 2 ) ( 1 一i 妒( 叫) 1 2 ) 3 s 砖赘鞠 第三章本文的主要定理及推论 第三章本文的主要定理及推论 定义h o 。( b n ) 为c 中单位球b n 上的有界全纯函数空间，范数定义为 l i i i l = s u pi f ( z ) 1 q 0 1 ，q 0 2 ，妒n 为一些彼此不同的单位球上的非常数的全纯 自映射 用球日o o 定义日o 。上的闭单位球对名，t ，b n ，z 与w 之间的伪双曲度 量为 p ( z ，伽) = i 妒：( 叫) i = l 三二羔 兰萨i 定义u q ( b n ) 为b n 上的自映射的集合这里主要研究b n 上的全纯自映射所 导出的复合算子确切地说，对妒s ( b n ) ，作用在日o 。( 毋) 上由妒标记的复 合算子劬通过c 0 ( ，) = fo q o 来定义显然在h o 。( b n ) 上是有界的且有 范数1 郇a n dq 在c ( h o o ) 的同一个解析分支里当且仅当s u pp ( 妒( z ) ，妒( 叫) ) 1 和一c 移在h 。o 上是紧的，这个条件的充要条件是l i m i t s i 妒( 名) 1 1 p ( 妒( z ) ，妒( 伽) ) = l i m i t s j 妒( z ) i 。l p ( q a ( z ) ，妒( 伽) ) = 0 妒1 ，q 0 2 ，q o n 是s ( b n ) 上彼此不同的函数，而且对每一个i = l ，2 ，竹，九 c 满足沁0 墨1 九q ；作用在日o 。上是紧的当且仅当以下条件成立： 对任意日o 。上的有界在b n 上内闭一致收敛于0 的函数列 ，仇) m ，都有随着 n _ 0 0 ，j i 九c 幺l l 收敛于0 3 1定理 妒1 ，妒2 ，是s ( b n ) 上彼此不同的函数，而且礼2 ，定义z = z ( 妒l ，妒2 ，妒n ) 是由b n 上满足以下三个条件的 魂 k 的集合： ( a ) 存在某个i ，使得i q o t ( 张) i l 随着k 一； ( b ) 仇( 1 】七对任意i 都收敛； (c)旦堕兰坠堕坐坐坐未关碧当止掣对任意i,j1- 7 oi l 。函 。h p l 。趴 ( c ) p ( 忱( 张) ，( ) ) 七对任意i ，j 都收敛 注意到如果随着k _ 。，l 忱( 张) i _ 1 。对某个i 成立，那么显然，存在 魂) f z 4 第三章本文的主要定理及推论 对 ) 七z ，我们记 j ( ) = i ：1 i 礼，慨( ) l 一1 随着_ co 由条件( a ) ，i ( z k ) d 由条件( b ) ，这儿存在6 满足0 6 1 使得i ( 张) i 6 ) ，( 1 一l 竹( z 膏) 1 2 ) ( 1 - - 妒t ( ) 1 2 ) i 。( 1 一 ) ( 1 一 ) l 1 i l 一 1 2 由上文给出的等价性， ( 1 - 吲驯2 ) ( 1 - i 忱( z k ) 1 2 ) if 面乏一f 丽之瓣1 2 = ( 1 - 吲酬2 ) ( 咄俐2 ) l f 鬲器黑焉等糍富赢两1 2 s ( 1 - - 吲砌1 2 ) ( 1 - - 慨( z k ) 1 2 ) f 而翥丽i 鼍等卷黠辫1 2 4l 三丝! 丝2 二丝! 塑21 丝! 丝! 三三丝! 塑2 二丝! 丝21 堕! 丝2 二丝f 丝! 三1 2 一i ( 1 一 )f r ! ! 丝( 塑2 二丝( 丝! ! 丝( 丝必：! ! 堕! 塑2 二丝( 丝21 堕( 丝! 二丝! 塑型： 2 ” i l 一( 恍( 魂) ，场( 魂) ) 1 2 随着k 一， i 哗掰z k 黼z k1 21 一 s i 业峰谶帮业卜 一i1 一i 妒t ( 魂) 1 2 亚牛等韶鼎z k 芳坐1 2 i 1 一 j 妒t ( 旅) 一妒t ( 钆) 1 2 i m 3 ( z 七) 一妒t ( 钆) 1 2 币_ 二弋；i i 巾忧( 讯) 1 2 一( 帆( 镪) ，忱( 钆) ) l + l i 帆( 钰) 1 2 一( 协( ) ，忱( 魂) ) 1 7 第三章本文的主要定理及推论 ( d ) l l 仍( z k ) 1 2 一( 恍( 钆) ，( ) ) l + l l 眈( 纨) 1 2 一( 眈( 觎) ，仇( ) ) l 上三l 艿一 1 1 一( 蛾( 魂) ，眈( 强) ) 1 2 由( c ) ，可以得到 ( c p 妒j ( 张) ( p t ( z k ) ) ，( 张) ) l 仍( 觎) 1 2 一( 恍( z k ) ，( 镪) ) ：- - - 二：- - - - - - - - - - - - - - 。- - - - - - - - - - - - - - - ：- - - - - - - 一 1 一( 忱( z k ) ，叻( 钆) ) ( 妒恍( 锹) ( 坳( z k ) ) ，卿( 镪) ) i 妒t ( 2 知) 1 2 一( 叻( 2 七) ，妒t ( z k ) ) 1 一( ( ) ，忧( ) ) _ o t ，l o t i e 。找到这样的b 满足 l z k i _ 1 而】且 l 甄厶( ( 张) i e 凡厶( 蛾) ( 张) l e l i = 1 考虑 绦) 知的子列，我们假设对每个i ，随着k 0 0 妒i ( z k ) _ a t 既然在b n 的 任意紧子集上一0 ，对每个i ，h i = 1 假设 镪) 七z 可得到 i h 理i n fl k ( ( 镪) ) l e m - - - - 。o 。i _一“l i j ( 。k ” 存在 t 1 ，亡2 ，白) c “纨】i 使得 而且p g 时， o ( 魂】- ，知) n o ( ) ，) = d 存在t o ( 魂) ，知) ，使得随着k _ ， p ( 仇( 钆) ，妒知( 魂) ) 一o 根据s c h w a r z 引理， 随着k 0 0 ， p ( ( 妒t ( 张) ) ，m ( 妒t p ( ) ) ) p ( 妒( 名耙) ，妒如( z k ) ) 一0 9 易 、l ，七 名 “ 而 ：u 础 = 、i ，七 名 ，l f 第三章本文的主要定理及推论 ( e ) 因为 厶( 协( ) ) m 是有界的，考虑 ) 知，假设对每个i ，随着k 一 。o ，m ( 慨( 钰) ) _ 角根据( e ) ，对每个t 而( 魂) ，知) ，屈= 如 所以 l i m 。乏) ) 九，m ( 忱” = 1 i m 入t 南( 仇( z 鼯) ) k - - - , o vz j z 7 p = li s o c z k ，t p ) = 鬼 p = li e l o ( z k ，知) = 鬼 丸 p = li x o ( z k ，t p ) 以上由条件( 2 ) 可得， 这与假设矛盾 以下推论可以由上面的定理得到 3 2 推论 推论1 ： 已知妒l ，妒2 ，是s ( b n ) 上彼此不同的函数，满足 对每个i ，l l 仍= l 和k c 且丸0 如果对任意了( 1 ，2 ，) ，有 九0 ，那么九i 在日。上不是紧的这就是说对每个恍s ( b ) ， i e jt = 1 仉 在日上不是紧的，这里i 慨忆= 1 ，i = l ，2 ，n i = l 推论2 ： 已知妒1 ，妒2 ，妒n 是s ( 风) 上彼此不同的函数，满足对每个i ， 0 训j o o = 1 且九c 满足九0 假设= 0 而且 i = 1 九0 对【1 ，2 ，礼 的任意非空子集都成立则九o ；在日。上是 紧的当且仅当对每个满足t j 的i ，j ，一郇，在日。上是紧的 证明：假设九在日o 。上是紧的，那么由定理， 1 0 第三章本文的主要定理及推论 对每个 ) 七z 和每一个t ( ) ) ， j ( 钰) ) = l ，2 ，n ) i o ( 魂) ，) = 1 ，2 ，n 】l 所以t i m i 似( ；) i 。1p ( 协( z ) ，叻( z ) ) 叶0 ，根据( 9 】，对任意i j ，郇；一都是紧的 假设对任意i j ，一都是紧的， 凡o ； i - - - - 1 nn = 丸郇。+ 沁( 一郇。) i - - - - 1i - - - - i 竹 = 凡( 一o 。) 于是，我们得到o 。是紧的 由推论2 的假设，通过 9 】中的定理3 我们得到以下结论： 推论3 ： 已知妒1 ，妒2 ，妒竹是s ( b ) 上彼此不同的函数，满足 i | 蚓j o 。= 1 而且对每个i ，c 满足九0 假设九= 0 而且对任意 1 ，2 ，礼) 的非空真子集j ，0 都成立则以下条件等价： t j n ( 1 ) 九q ；：日”_ 日。是紧的； t = 1 n ( 2 ) 九：b 一日o 。是紧的 1 1 第四章结束语 第四章结束语 我在这篇文章中对于若干非紧算子，利用定义的新集合给出了它们的 线形组合紧的充要条件，在进一步条件下得出了 n k q ；：h 。一h 。是紧的； = 1 与 n ( 2 ) a i c 妒i ：b 一日。是紧的， t = 1 这两个结论等价 1 2 参考文献 参考文献 【1 c 。c c o w e na n db 。d m a c c l u e r ，c o m p o s i t i o no p e r a t o r so ns p a c e so fa n a l y t i c f u n c t i o n s ，c r cp r e s s ，b o c ar a t o n ，f l ，1 9 9 5 2 p g o r k i na n db d m a c c l u e r ，e s s e n t i a ln o r t r t 8o fc o m p o s i t i o no p e r a t o r s ，i n t o - g r a le q u a t i o no p e r a t o rt h e o r y ，4 8 ( 2 0 0 4 ) ，2 7 - 4 0 3 】t h o s o k a w aa n ds o h n o ，t o p o l o g i c i a ls t r u c t u r e so ft h es e to fc o m p o s i t i o n o p e r a t o r so nt h eb l o c hs p a c e ，j m a t h a n a l a p p l 3 4 ( 2 0 0 6 ) ，7 3 6 - 7 4 8 4 】t h o s o k a w aa n ds o h n o d i f f e r e n c e so yc o m p o s i t i o no p e r a t o r so nt h eb l o c h s p a c e ，j o p e r a t o r t h e o r y ，5 7 ( 2 0 0 7 ) ，2 2 9 2 4 2 【5 k j i z u c h ia n ds o h n o ，l i n e a rc o m b i n a t i o n so fc o m p o s i t i o no p e r a t o r so i l 日o 。，j m a t h a n a l a p p l 3 3 8 ( 2 0 0 8 ) ，8 2 0 - 8 3 9 【6 】b m a c c l u e r ，s o h n oa n dr z h a ot o p o l o g i c a ls t r u c t u r e 西t h es p a c e c o m p o s i t i o no p e r a t o r so n 日0 。，i n t e g r e q u o p e r t h e o r y , 4 0 ( 4 ) ( 2 0 0 1 ) ，4 8 1 4 9 4 7 】j e n n i f e rm o o r h o u s e ，c o m p a c td i f f e r e n c eo yc o m p o s i t i o no p e r a t o r s ，j o u r n a lo f f u n c t i o n a la n a l y s i s2 1 9 ( 2 0 0 5 ) ，7 0 9 2 【8 j h s h a p i r o ，c o m p o s i t i o no p e r a t o r sa n dc l a s s i c a lf u n c t i o nt h e o r y ，s p r i g e r - v e r l a g ，1 9 9 3 9 c a r lt o e w s ，t o p o l o g i c a lc o m p o n e n t so ft h es e to fc o m p o s i t i o no p e r a t o r so n h 。( 现) ，i n t e g r e q u o p e r t h e o r y , 4 8 ( 2 0 0 4 ) ，2 6 5 2 8 0 1 0 z h z h o ua n dy a nl i u ，t h ee s s e n t i a ln o r m so fc o m p o s i t i o no p e r a t o r sb e - t w e e ng e n e r a l i z e db l o c hs p a c e si nt h ep o l y d i s ca n d t h e i ra p p l i c a t i o n s ，j o u r n a lo fi n e q u a l i t i e sa n da p p l i c a t i o n s