（应用数学专业论文）二阶非线性微分方程的区间振动准则.pdf

独创性声明 本人声明所星交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果据我所知，除了 文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡 献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留使用学位论文的规定，即：东北师范大学有权保留 并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、 汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位 通讯地址 期 姚 纠o ，汁 指导教师始鍪壶笪 日 帑厂，p_ 1 ， 摘要 本文利用p h i l o s 2 】提出的h 方法和广义的r i c c a t i 代换技巧，给出了某个二阶非线性微 分方程的一些区间振动准则，并推广了一些著名的方程最后，通过几个例子说明了我们所得 结果的正确性 关键词：区间振动准则；非线性微分方程；r i c c a t i 技巧 为 a b s t r a c t t h i sp a p e ri st o 西、r es e v e r a li n t e r 谢o s c i l l a t i o nc r i t e r i ab yu s i n gh m e t h o di n t r o d u c e db yp h i l o s 2 】 a n dag e n e r a l i z e dr i c c a t is u b s t i t u t et e c h n i q u ef o rc e r t a i ns e c o n d o r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s o u rr e s u l t se x t e n ds o m ek n o w ne q u a t i o n s f i n a l l y , s e v e r a le x a m p l e si l l u s t r a t et h ec o r r e c t n e s so fo u r k r e s u l t s k e y w o r d s ：i n t e r v a lo s c i l l a t i o nc r i t e r i a ；n o n l i n e a rd i f f b r e n t i a le q u a t i o n s ；r i e c a t it e c h n i q u e i i 1 - ， 目录 中文摘要 i 英文摘要i i 目录i i i 引言 1 正文3 1 单调函数f ( y ) 的振动结果 3 2 非单调函数f ( y ) 的振动结果8 3 应用举例1 1 结 吾1 3 参考文献1 4 致谢1 5 i i i l l ； - ， 东北师范大学硕士学位论文 引言 本文，我们主要研究下列形式的二阶非线性微分方程解的振动性 ( r ( t ) 妒( ( t ) ) 耖7 ( t ) ) 7 + q ( f ) ，( ( t ) ) 夕( 可7 ( t ) ) = 0 ：t t o ，( o 1 ) 且假设 ( 风) 7 - 是 t o ，。o ) 一( 0 ，o 。) 的连续可微函数； ( 凰) 口是 t o ，。) 一【0 ，) 的连续函数，且当t m0 0 ) 时q ( t ) 0 ，其中t t o ； ( 凰) 妒是r _ 月! 的连续可微函数，7 r 是r _ 曰的连续函数，当y 0 时，妒( y ) 0 ，y f ( y ) o ； ( 凰) g 是r r 的连续函数，当0 时，g ( y ) 之k 0 ，k 为常数 若函数y ：f t o t 1 ) 一( 一。o ，+ 。o ) ，t l t o ，对所有的t 【t o ，t 1 ) ，y ( t ) 总满足方程( o 1 ) ，则它 是方程( 0 1 ) 的解下面总假定对任意的t o 0 ，方程( 0 1 ) 的解总是存在的如果它有任意大的 零点，方程( 0 1 ) 的解y ( t ) 称为振动的；反之，称为非振动的在过去的几十年，人们已经获得 不同种类的二阶微分方程 1 1 0 解的振动或非振动的充分条件，并对此越来越感兴趣，有大量 的论文研究了方程( 0 1 ) 的特殊情况，如线性方程 y l 印) + q ( o y ( t ) = 0 ，( 0 2 ) 更广义的线性方程 ( r ( ) 可7 ( ) ) 7 + q ( t ) y ( t ) = 0 ， ( 0 3 ) 非线性方程 ( r ( t ) 可，( t ) ) 7 + q c t ) f ( y c t ) ) = 0( 0 4 ) 更广义的菲线性方程 ( t _ ( t ) ( t ) ) + 口( t ) ，( 矽( ) ) 9 ( ( ) ) = 0 ( 0 5 ) 其中，方程( 0 5 ) 被g r a c e 和l a l l if 8 】所研究他们提出，虽然w o n g 和b u r t o n 【6 】和g r i m m e r 【9 1 ，g r a c f 和s p i k e s 【3 4 】，l a u if 1 】对当r ( t ) 三1 时方程( o 5 ) 的解的稳定性，有界性和零解的收敛 性进行了研究，但除了w o n g 和b u r t o n 【6 】6 研究了当r ( t ) 兰1 方程( 0 5 ) 与相应的线性方程( 0 2 ) 的振动结果之外，对当r ( t ) 兰1 时方程( o 5 ) 振动性的研究还不够深入 近年来，振动的“区间准则”已在有了很大的发展一种方法是k o n g 【7 】应用r i c c a t i 技巧 和p h i l o s 型的核函数对方程( 0 3 ) 进行了研充另一种方法是从s t u r m 分离定理，我们可以看 到，振动只是一个区间性质。即如果存在一系列l t o ，o 。) 的子区间【a t ，b 4 。当口t 一，时，使得对 l 东北师范大学硕士学位论文 于每个i 存在方程( o 2 ) 的一个解，该解至少有两个零点在【a ，b i 】中，那么，方程( 0 2 ) 的每个解 都是振动的毫无疑问，r i c c a t i 的代换技巧和他广义形式在二阶方程的振动理论中起着非常重 要的作用在这项研究中，加之由p h i l o s 【2 j 引进的h 一方法，我们还可以利用下列广义r i c c a t i 代替技巧 u 心m 啪 褊州f ) “t ) = e x - p ( 却r 啪油) 为方程( o 1 ) 推导出几个区间振动准则事实上，l i 和a g a r w a l 【1 0 已经研究了当r ( f ) 三 1 ，移( 可( t ) ) 三1 时方程( o 1 ) 相关的区间振动准则，但我们论文中的代换与他们不同因此，我们 获得了一些新的区间振动准则 可以看到许多振动结果都涉及函数类x 设d = ( t ，s ) ：f s t o ) 如果函数h c ( d ，r ) 满足下面两个条件：我们称函数h c ( d r ) 属于函数类x ( ) ：当f t o 时h ( t ，t ) = 0 ，当t s 时h ( t ，s ) o ： ) ：日( z ，s ) 在d 上具有偏导数 其中h l ：h 2 l o c ( d 月) 等“1 ( s ) 侮丽， 2 丽o h = 一呲，s ) 厕 i 0 、 东北师范大学硕士学位论文 1 单调函数，( 耖) 的振动结果 在这节我们假定下面条件成立 ( 日5 ) 当y r 时，当，( 可) 存在，当y 0 时，7 ( ) 2p 0 为了证明我们的结果先给出下面两个引理 。 引理2 1 假设( 日1 ) 一( 风) 成立，设y 是方程( 0 1 ) 的一个解，且当t 【c ，b ) 时。y ( t ) 0 。则对 于任意的h x ，6 c 1 ( ，：r + ) ，有 6 即川卅) d s 0 ，则 对于任意日y ，6 c 1 ( ，r + ) 有 c h ( 叩) ) d s - h ( c ，n ) 嘶) + 瓦1z 。咚) 蜘( s ) ) 小) 九：n ) d s ， ( 1 9 ) 式中 ( f ) ，v ( t ) 和咖( t ) 由引理2 1 所定义 证明与引理2 1 证明类似。用日( s ，z ) 乘以( 1 8 ) 两端。对s 从t 到c 积分，这里t ( 口，c 】，并由 ( i ) 和i i ) 可得 厂。h ( s j t ) 西( - ，s ) d s 一，。日( s f ) u 7 ( s l d s 一。日( s jt ) ；i 淼d s 。 一球妣) + 以州叫) 厕小) 圳s 烈需) d s = 圳“川一。丽赤丽 0 由引理2 1 和2 2 ，可以看到( 1 6 ) 和( 1 9 ) 成立，( 1 6 ) 和( 1 9 ) 式分别除以h ( b ，c ) 和 日( c ，n ) ，然后相加得 志伽叫蛐+ h ( 1 b , c - - 丽产h ( 6 彬f s ) d s 南上r ( s ) 地( s ) ) t ，( 啪 ( s ，n ) d s + 南上r ( s ) 蜘( s ) ) t ，( s ) 忍弛s ) d s 与假设( 1 1 0 ) 式矛盾证毕 定理2 2 假设( 日1 ) 一【风) 成立如果对每一个t t o 存在h x ，6 c 1 ( j ：j 矿) ，且存在递增 的发散正数列 口竹) ，( k ) 和 c n ) ，并使得t o a n n ，l 之t o ，扎n ，可以得出每个解有任意大的零点，因此，方程( o 1 ) 的解是振动的 定理2 3 假设( 日1 ) 一( 地) 成立如果 恕8 u p 。 ( 1 1 1 ) 和 l i r as u p 即，咖( s ) 一石1 小) 灿) 巾) 啪 s ) 卜 。 ( 1 1 2 ) 其中日x ，6 c 1 ( ，r + ) ，对任意的f t o ，t ，( t ) 和( ) 由引理2 1 所定义，那么方程( o 1 ) 的 每个解是振动的j 证明对任意的t t o ，令n = t 在( 1 1 1 ) 中，取z = a 存在c a 使得 z 。 耶，a ) 如7 一矿1 喇圳t ，( s ) 昧舭) 卜 。 ( 1 1 3 ) 东北师范大学硕士学位论文 在( 1 1 2 ) 中取扛。存在b c 有 z 6 即如) 一雨1r ( s ) 州s ) ) 小) 磙岫) 如 。 ( 1 1 4 ) 结合( 1 1 3 ) 和( 1 1 4 ) ，得到( 1 1 0 ) 重复以上的选取，我们得到三个递增的发散数列 a n ) 0 。) 和 ) 满足定理2 2 的条件则我们得到结论，证毕 对于h ：= h ( t s ) x 的情形j 有h a ( t s ) = h 2 ( t _ s ) 成立并用h ( t s ) 表示x 的子函 数类包含的h ( t s ) 由x o 表示对x o 应用定理2 2 ，得到以下定理 定理2 4 假设( h 1 ) 一( h 5 ) 成立如果对于每个t2t o 存在h x o ，6 c 1 ( t o ，。) r + ) ? 并且 n ，c r t a 1 为常数可得如下推论 推论2 1 假设( h 1 ) 一( 凰) 成立若对于每一个f 之t o 和某一a 1 存在函数6 c 1 ( ，r + ) 有 以下两个不等式成立，则方程( o 1 ) 的每个解都是振动的 恕s u p 击( s - 1 ) ah 一瓦1 小m 删小) ( 刍) 2 d s 。 ( 1 1 6 ) 6 ， q 东北师范大学硕士学位论文 和 恕8 u p 击2 ( 叫a 一瓦1r ( s ) 她) 巾) ( 高) 2 d s 。，( 1 1 7 ) 其中v ( t ) 和咖( ) 由引理2 1 中所定义 证明与定理2 3 证明类似 7 东北师范大学硕士学位论文 2 非单调函数，( y ) 的振动结果 在本节，我们假定函数f ( y ) 满足以f 条件： ( 风) 掣p o o ，p o 为常数 f 引理3 1 假设( h i ) 一( 日4 ) 和( 凰) 成立，设y 是方程( o 1 ) 的一个解，并使得在【f ：6 ) 上耖( f ) 0 ， 则对任意h x 和6 c 1 ( ，r + ) ，在t 【c b ) 时有下式成立 z 6h ( b ：s ) 西( s ) d s h ( b ，c ) u ( c ) + 三1 6 r ( s ) 谚( 可( s ) ) u ( s ) 碹f 6 ：s ) d s ，( 2 1 8 ) ：s ) 西( s ) d s ，c ) u ( c ) + 了7 ( s ) 谚( 可( s ) ) u ( s ) 碹f 6 ： ， ( 2 ) 一cj c 其中t ，( t ) = 唧( 一2 。5 ( s ) d s ) 和 乱( t ) 刮啡m 删 暑州t ) ) ， ( 2 1 9 ) e f t ) = v ( t ) k l t o q ( t ) + r ( ) 砂( 耖( ) ) 6 2 “) 一( r ( ) 移( y ( ) ) 6 ( ) ) ( t ，2 二2 ；：i ：c ? 二 ? - 2 ：2 ，嘉j ；黧；! ) _ ：；：警：翥。) ) + ( t ， 垒型尘塑考等芋芝坐 删蝴m “型攀榉 。 一|：篡然一，爹竹州鲋舻)，6( 一2 t ，( f ) r ( f ) 砂( ( ，) ) 6 ( f ) it ) 苦| _ 2 州t ) r 地) m ) + 鬻 “m ( f ) 叭) _ r ( 帅) t 鬻刊州r ( f m 删即) ) ， 一r()妒(yfz)口(f)ii淼一巧(f)2+(f)(r(，)可，(影(f)6(f)7 = “鲋) _ 而蒜一( f ) 蜘( f ) ) “f ) 铲( f ) 枷妒( 洲m ) = 一而蒜叫于) k 加g ( f ) 州帅( 绯) ) 确旷咖) 即) ) ， = 一丽刊咄 即 痧( t ) s u 7 ( ) 一i 淼 其余证明类似引理2 1 的证明证毕 8 ( 2 2 0 ) ， 东北师范大学硕士学位论文 引理3 2 假设( 风) 一( 日4 ) 和( 玩) 成立，设掣是方程( ( ) 1 ) 的一个解，并使得在t ( 口，c 时，则 对任意的日x ，6 c 1 ( ，月+ ) ，有下式成立， ，c 1，c 日( 8 0 ) ( s ) 如 一( c ，n ) t ( c ) + 云r ( s ) 砂( 影( 8 ) ) t ，( s ) a ) d s ， ( 2 2 1 ) ”u 一。 其中u ( f ) ，t ，( ) 和驴( ) 由引理3 1 中所定义 由引理3 1 ，3 2 ，我们得到以下结论 定理3 1 1 限设( 月1 ) 一( 矾) 和( h 6 ) 成立，且对于某个c ( o ，6 ) ，h x ，6 c 1 ( ，r + ) ，使得下式 成立， 南z 。掣帅) d s + h ( 1 b , c - - - - - ；6 脚m 训s 面矗z r ( s ) 蜘( s ) ) u ( s ) h ；( s a ) d s ( 2 2 2 ) + 西丽1zr ( s ) 妒( ! ，( 8 ) ) 钉( s ) 弛s ) d 豇 其中v ( t ) 和西( t ) 由引理3 1 中所定义则方程( 0 1 ) 的每个解在( q ，b ) 中至少有一个零点 定理3 2 假设( 日1 ) 一( 凰) 和( i - 6 ) 成立如果对每一个t t o 存在h x ，6 c 1 ( i ，冗+ ) 和递 增发散的正数列 n 。) ， k ) ，和 ，使得t oso 。 。，( 2 2 6 ， 和 l i r as u p 由。( t 刊a 一1 啪姒s ) ) 以州击) 2 d s 。( 2 2 7 ) 其中z ，( ) 和咖( f = ) 由引理3 1 定义 1 0 东北师范大学硕士学位论文 3 应用举例 在本节，我们给出两个例子来验证本文的结论 例1 考虑方程 【( 1 + s i n 2t ) y 7 ( ) + 万1 阿 ) + y 3 ( f ) ! l + ( y 7 ( t ) ) 2 = 0 ，t2 1 ( 3 2 s ) 和方程( 0 1 ) 比较，有r ( t ) = 1 + s i n 2 ( z ) ，妒( 可) 暑1 ，q ( t ) = 击，7 ( 耖) = 1 + 3 y 2 1 = 肛，g ( y ) = 1 + y 2 1 = k 现在我们验证当a = 2 和6 ( t ) = 一 不等式( 1 1 6 ) 和( 1 1 7 ) 因为v ( t ) = t 2 ， 咖( f ) = 1 + t s i n 2 t ，可得 。喙s u p 击z ( s _ f ) 卜) 一军1 小) 蛐( 8 ) ) 小) ( 刍) 2 d s = 规s u 畦， ( s - f ) 2 ( 1 + s 8 i i l 2 s ) - ( 1 + s i n 2s ) s 2 ) d s 和 恕唧南。i 小- s ) t 一 f “一1， = 。唆s u p7 1 ( t 5 ) 2 ( 圹石1r ( s ) 地( s ) ) t ，( s ) ( 击) 2 d s + s s i n2 s ) 一( 1 + s i n 28 ) 8 2 ) d s 因此假设( 1 1 6 ) 和( 1 1 7 j 成立，由推论2 1 ，方程( 3 2 8 ) 的所有的解是搌动的 例2 考虑方程 ( 1 + s i n 2t ) y ( 叫+ 麓鲋) 弦南 1 + ) 2 - 0 ，纠( 3 2 9 ) 根据方程( o 1 ) ，r ( ) = 1 + s i n 2 ( t ) ，矽( 暑) 兰1 ，g ( ) = 等等，( 暑) = 暑，( ；+ 寿) ，7 ( ) = 葡与2 甲+ 4 所以我们不能应用推论2 1 但是因为争= + 南去= 伽，现在当a = 2 和6 ( t ) = 一i 1 时， 适用于推论3 1 的情况由于t ，( ) = t 2 ，咖( f ) = t 2i 否1 ( 3 3 ( + 1 + 2 c 。o 。s 2 ：t t ) t + 半i 和9 ( ! ，) = 1 + 妙2 1 = k ，我 们可以逐彬椎出 三翦1 一t a 1 爰薄a 2 r渺0 o 东北师范大学硕士学位论文 和 则( 2 2 6 ) 和( 2 2 7 ) 成立，所以，由推论3 1 可得方程( 3 2 9 ) 的每个解是振动的 注4 1 在例2 中若，l ( t ) 兰l ，则可应用于文献 1 0 】中的例2 因此。本文中的方程( o 1 ) 是更广义 的它包括更多的著名方程 注4 2 在方程( 0 1 ) 中，当r ( t ) 三1 世( 剪( ) ) 兰1 时，这一结果已被l i 和a g a r w a l 在文献【1 0 中 所研究但是我们论文中的代换不同于文献【1 0 】中的代换因此，我们推广了他们的结果 1 2 0 1j s一1j 塑警 m 孙一 。筌s 咄，一q舟1生铲 一一。 小兰口小 卜坐怕 a旷一 矿“甜一 一 矿2 3 t _ _ j，、 _ - t 一 ， 一 卜州阿上一m m l i i 眦 眦 叭 妇 一 旦一姒熙星i恕弧 o 东北师范大学硕士学位论文 结语 对于二阶非线性方程的振动性问题，已被许多学者利用不同方法进行了研究，并建立了振 动的区间准则我们在第一节引言部分简单介绍了二阶微分方程的区间振动准则和本文将要用 的方法，同时在第二节和第三节中，利用r i c c a t i 技巧对单调函数和非单调函数建立了新的振动 准则，并完善了证明在第四节中，通过两个例子详述了我们所得结果的有效性 1 3 东北师范大学硕士学位论文 参考文献 【1 】l a l l ibs o nb o u n d e d n e s so fs o l u t i o n so fc e r t a i ns e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j m a t h a n a l a p p l 1 9 6 9 ，2 5 ：1 8 2 1 8 8 f 2 j p h i l o sc hg o s c i l l a t i o nt h e o r e m sf o rf i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fs e c o n do r d e r a r c h m a t h ( b a s e l ) 1 9 8 9 。 5 3 ：4 8 2 4 9 2 f 3 】g r a e fjra n ds p i k e spw a s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n so fas e c o n do r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n j d i f f c r e n t i a le q u a t i o n s 1 9 7 5 1 7 ：4 5 1 4 7 6 【4 】g 1 a e fjra n ds p i k e spw b o u n d e d n e s sa n dc o n v e r g e n c et oz e r o so fs o l u t i o n so faf o r c e ds e c o n do r d e r n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n j m a t h a n a l a p p l 1 9 7 8 ，6 2 ：2 9 5 - 3 0 9 【5 】、r a l ijr o s c i l l a t i o nt h e o r e m sf 0 1 s e c o n d0 1 d e rl i n e a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd a m p i n gt e r m p r o c a m e r m a t h s o c 1 9 9 6 ，9 8 ：2 7 6 2 8 3 f 6 、) v o n gjswa n db u r t o nta s o m ep r o p e r t i e so fs o l u t i o no fl 工，+ n ( f ) ，( “) ( t 上7 ) = 0 m o n a t s h m a t h 1 9 6 5 ， 6 9 ：3 6 4 3 7 4 【7 k o n gq i n t e l w a lc r i t e r i af o ro s c i l l a t i o no fs e c o n do r