（应用数学专业论文）亚纯函数的几个唯一性定理(1).pdf

重庆大学硕士学位论文中文摘要 摘要 本论文运用n e v a n l i n n a 值分布论，对亚纯函数的唯一性问题从四个方面作了 些研究和探讨，得到了几个唯一性定理。主要研究了加权分担一个值的整函数 的唯一性，涉及微分多项式的整函数的唯一性，分担两个公共值集的亚纯函数的 唯一性，以及分担一个公共值集的亚纯函数的唯一性等问题，所得结果完善和推 广了现有的些结论。 关键词：亚纯函数，整函数，唯一性，公共值，公共值集 重庆人学硕十学位论文 英文摘要 a b s t r a c t b yu s i n gt h en e v a n l i n n a sv a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r y , t h i sd i s s e r t a t i o ns t u d i e s t h e p r o b l e m so ft h eu n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s i nf o u ra s p e c t s ，a n ds e v e r a l u n i c i t yt h e o r e m sa leo b t a i n e d i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w es m a yt h eu n i q u e n e s so fe n t i r e f i m c t i o n ss h a r i n go n ev a l u ew i t hi t sw e i g h t ，a n dt h eu n i q u e n e s so fe n t i r ef u n c t i o n s c o n c e r n i n gd i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a l s ，a n d t h eu n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s s h a r i n gt w oc o m m o nr a n g es e t s ，a n dt h eu n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n ss h a r i n g o n ec o m m o n r a n g es e t t h er e s u l t so b t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o np e r f e c ta n dg e n e r a l i z e t h ep r e s e n tc o n c l u s i o n s k e y w o r d s ：m e r o m o r p h i cf u n c t i o n ，e n t i r ef u n c t i o n ，u n i q u e n e s s ，s h a r e dv a l u e ，s h a r e d r a n g e s e t i i 重庆人学硕士学位论文 引言及主要结果 l 引言及主要结果 1 1n e v a n l i n n a 值分布理论简介 弧纯函数的唯一性问题是值分布理论的一个重要研究方向，它研究的是在什么 情况下满足所给条件的函数是唯一的。我们知道，在各种类型的函数中，以单变 量的多项式函数最为简单，而这样的函数除可能相差一个常数因子而外，是由它 所有的零点所唯一确定的。但对于超越整函数和亚纯函数而言，情况就要复杂得 多了。比如，芬兰数学家r n e v a n l i n n a 曾第一个建立了五值定理，即一个非常数 的业纯函数，是由其取五个相互判别的值的点集所唯一确定的，这个条件就要严 格和复杂得多了。那么，五值定理中的条件可否减弱，减弱后是否需要附加什么 条件以及附加什么样的条件，甚至考虑是否还有其它形式的唯一性条件，对这些问 题的研究就显得既有趣又复杂。为此，人们曾做了大量的工作，建立了各种各样 的唯一性定理，并同时提出了一些新的问题，使得这方面的研究充满了活力。 对亚纯函数的唯一性的研究，其主要工具就是r n e v a n l i r m a 所创立的值分布 理论。因此，有必要对r n e v a r d i r m a 的值分布理论傲一简要的介绍。 1 1 1 基本记号 我们先简要介绍一下n e v a n l i n n a 值分布理论中的基本记号及定义。 定义1 1对于x 0 ，定义正对数如下： l o g + x = m a x ( 1 0 9 x ，0 ) ， 由这个定义易看出对任意的非负实数z 有： l o g x = l o g + x1 。g + - x 设f ( z ) 为定义在圆h r ( o r c o ) 上的非常数亚纯函数，n 为任一有穷复 裂，盯于0 ， r ，n e v a n l i n n a d , z l 引进以f 儿个函数： 定义1 2 m ( ，) = 。去e 4 1 。g + i ，( 增”) l d o ，这里m ( ，) 也可记为m ( 。) ， 称作，( z ) 对无穷远点的接近函数。同样也可定义，( z ) 对坐标原点和对日点的接近 函数如下： m ( 棚2 芴1j p 。2 4 - 。g + 而1 习姐 吣，万1 ) _ 1 。2 , , l o g * 而南舱 重庆大学硕士学位论文1 引言及主要结果 定义1 3 力= c 型奠掣出+ 押( o ，门i o g r , 这里n ( t ) 表示厂( z ) 在圆l z i t ( o s t r ) 上的极点个数( 重数极点按其重数计算) ，n ( o ，厂) 表示厂( z ) 在 z = 0 处的极点重数。显然，( r ，厂) 是随r 增加的连续函数，厂( z ) 的极点愈密， n ( r ，f ) 的增长就愈快，所以把n ( r ，f ) 称作f ( z ) 的极点的计数函数或密指量。 n ( r ，) 也常记作n ( r ，o 。) 。同样，也可分别定义，( z ) 的零点和a 点的计数函数如 。，多，：r掣h一。，专，。g， 刮1 ：r 型掣选剖1 。咿 定义1 4 贾( r 厂) = ：虽生掣击+ 万( 0 厂) i 。g 这里矗( f ，厂) 表示 ，( z ) 在圆h f ( o f ，) 上的极点个数，每个极点仅记一次。丙( ，厂) 称作厂( z ) 的 精简计数函数或精简密指量。万( 力也常记作( m ) ，( ，土) 也常记作 丙( r ，d ) 。 定义1 5 t ( r ，) = ( ，厂) + ( ，厂) ，t ( r ，) 称为f ( z ) i 芋jn e v a n l i n n a 特征 函数。 1 1 2n e v a n l i n n a 第一，第二基本定理 在本文中，我们始终用表示( o ，。) 中具有有限线性测度的一个子集，但在 每次出现时不一定相同。用s ( r ，) 表示一切满足下列条件的量： s ( r ，) 2 。( ，( ，厂) ) ( r 寸。) ，为正实数且可能在某个e z 步i ，e 的定义如上所述。 1 j e n s e n 公式 r ( r ，厂) = r ( r ，j 1 ) + l o g l 其中f 在零点附近的t a y l o r 展开式为 2 重庆大学硕士学1 1 i 7 = 论文l 引言及主要结果 ( z ) = c s z 5 + c s + i z ”1 + - 一，( 巳0 ) 。 2 对数导数引理 ，( ) m ( r ，上_ ) = s ( r ，) ，k 为e 整数。 3 n e v a n l i n n a 第一基本定理 设( z ) 为在区域h r ( o r 。) 上的一个非常数豫纯函数，口为任一有穷复 数，则对于0 r r ，有 r ( r ，) = ，( r ，) + ( q r ) 其中h ( a , r ) 为一有界函数，l h ( a ，) 1 - l o g c 。l l + l o g + l a l + l 0 9 2 ，( z ) 一。在z = o 点的邻 域内的t a y l o r 展开式为 ，( z ) 一a = c s z 5 + c s + l z 5 “+ 一，( 吱0 ) 。 4 n e v a n l i r m a 第二基本定理的般形式 设厂( z ) 为在区域 r ( o r o 。) 上的一个非常数亚纯函数，a j ( ，= 1 ，2 ，g ) 为q ( q 3 ) 个互相判别的复数( 有穷或无穷) ，则于0 r r 时有不等式 国q f p j ) 蔷( 7 三卜1 ( 一“p ，) ，j 2 jj一 其中 l ( r ) = 2 n ( r , 厂) 一( ，厂) + j v ( r ，去) 。 5 n e v a n l i n n a 第二基本定理的精简形式 设，( z ) 为在区域h r ( o r s 。) 上的个非常数亚纯函数，并设 a j ( j = l ，2 ，g ) 为q ( q 3 ) 个互相判别的复数( 有穷或无穷) ，则与o r k ) 重零点，这里m 不一定等于”。 我们把和g 以权值七分担疗计作，g 分担( 辞，后) 。显然，若厂，g 分担( ，哥) ， 那么对一切整数p ，o ! p 七，定有工占分担( 口，力。并且，若六占分担f 口，o ) 或 ( o ，。) ，则必然是f ，g i m 或c m 分担日。 以上有关“加权”的概念可参阅文献 7 ， 8 。 定义1 1 5 设，( z ) 是非常数的亚纯函数，s cc u m ) ，七为一个非负整数或 无穷大，我们定义乓( s ，厂) 为b ( s ，) = l j 。乓( n ，厂) 。 定义1 1 6 设( z ) 是非常数的亚纯函数，口为任意复数( 或，的小函数) ，k 为正整数。我们用仇) ( 土j 表示在圆h ，上一口的重数不超过七的零点个数 r a 。 ( 计重数) ，相应的计数函数计为m ，7 笔) 。用瓦，7 三) 表示在圆f z - 寺，则f ( z ) 兰g 乜) 。 一个自然的问题是：若岛，( 足，) = 岛，( 是，g ) ，或e ，( 是，) = e 7 ，( & ，g ) ，在考 虑极点分布的情况下，上述定理会有什么结果? 本文研究了这一问题，分别得到 了以下几个定理： 定理4 ：设s ，足如定理f 所设，且在马中n 7 。如果厂( z ) 与g ( z ) 是两个非 常数亚纯函数，且满足局1 ( 蔓，) = e 2 、( 毛，g ) ，( s ，) = e ( 墨，g ) ，o ，厂) ；， o ，g ) ，则f ( z ) ；g ( z ) 。 ) 定理5 ： 设s ，马如定理f 所设，且在足中n 9 。如果f ( z ) 与g ( z ) 是两个 非常数亚纯函数，且满足e 1 ) ( 最，) = e i ) ( 是，g ) ，( ，厂) = e ( s ，g ) ， ( 。，) 三a ， o ( m ，g ) ，则f ( z ) s g ( z ) 。 1 3 4 分担一个公共值集的亚纯函数的唯一性 对1 9 7 6 年f g r o s s 在文 1 3 】中提出的问题1 ，仪洪勋分别在文献 1 4 ， 1 5 ， 2 4 q u z e 明了这样的集合是存在的。对于问题2 ，目前最好的结果是仪洪勋在文 z s ， 2 6 中作出的，他证明了若一个有限集合s ，使得对任意两个非常数整函数 与g ，只要e ( s ，f ) = e ( s ，g ) ，就必有f z g ，则集合s 的基数大于等于7 。 那么对亚纯函数面言情况又会怎么样昵? 对此，人们做了大量的研究，“r 和y a n gc c 在文 2 0 ， 18 中，m u e s 和r e i n d e r s 在文【2 7 中，f r a n k 和r e i n d e r s 在文 2 8 中均研究了问题1 和问题2 关于亚纯函数的情况。到目前为止，对问题2 关于亚纯函数的最好结果是f r a n k 和r a i n d e r s 在文 2 8 中作出的，他们证明了 定理g ：设集合 州国c l 掣c o - n ( n 叼c o n - i + 掣c o 一- ：- a = 0 ) ， 其中n 1 1 是一个整数，口( o ，1 ) 是一个有穷复数。如果与g 为两个非常数亚纯 函数，满足e ( s ，) = e ( s ，g ) ，则厂= g 。 1 0 垩；鉴盔堂堕主堂垡堡窒 ! ! l 童墨圭坚笙墨 在同年，仪 ! 共勋在文 2 9 中采用了另一种集合也得到了类似的一些结果， 他证明了 定理h ：设s = 甜c l a r a ”一 ( n 1 ) 2 + 2 n ( n 一2 ) b o o ( n o ( n 一2 ) b 2 = o ，其 中2 1 1 ，口和b 是两个非零有穷复数，且满足a b ”2 2 。如果，与g 是两个非常 数亚纯函数，满足e ( s ，) = e ( s ，g ) ，则厂；g 。 定理l ：设集合s 如定理i - i 中所述，且 1 7 。如果，与g 是两个非常数业 纯函数，满足r ( s ，f ) = r ( s ，g ) ，则厂；g 。 后来，仪澳勋在文 3 0 中又结合重数证明了如下三个定理： 定理j ：设集合s 如定理h 中所述，且n 1 1 。如果，与g 是两个非常数亚 纯函数，满足乓) ( s ，) = e 3 ) ( s ，g ) ，则f ；g 。 定理k ：设集合s 如定理h 中所述，且 1 2 。如果与g 是两个非常数亚 纯函数，满足易、( s ，f ) = 岛、( s ，g ) ，则s g 。 定理l ：设集合s 如定理h 中所述，且n 1 5 。如果与g 是两个非常数亚 纯函数，满足e 。，( s ，f ) = e 、( s ，g ) ，则f ；g 。 现在自然可提出下述问题： 问题3 ：如果亚纯函数与g 的极点“比较少”，则集合s 中的元素可减少到 什么程度? 也就是说，在考虑极点分布的情况下，问题2 关于亚纯函数的结果会 有什么变化? 为此，方明亮和华歆厚在文 3 1 】中证明了下述结果： 定理m ：设，和g 是两个非常数亚纯函数，如果o ，厂) 砭l l ， ( 吧g ) 西1 1 ， 那么存在个含7 个元素的集合s ，当占( s ，厂) = g ( s ，g ) ，则f ；g 最近，x u 在文 3 2 】中又改进了定理n ，证明了 定理n ：设厂和g 是两个非常数亚纯函数，满, 黾0 0 0 ，f ) + e ( o o ，g ) 昙，那么 存在一个含有7 个元素的集合s ，只要( s ，f ) = e ( s ，g ) ，就有f ；g 。 推论 设和占是两个非常数亚纯函数，若 ( 0 。，) i ，。( 鸭占) i ，那 重庆大学硕j 二学位论文引言及j 二耍结果 么存在一个含有7 个兀索的集合s ，只要e ( s ，f ) = e ( s ，g ) ，就有；g 。 结合问题3 ，并考虑重数，本文在这方面作了一些探讨，得到了以下一些结果： 定理6 ：设蚓砌l 芈z l 竿z 十n ( n 4 - 1 ) z , , _ 2 = 1 ，其中 h 1 0 是一整数。如果f 与g 是两个非常数亚纯函数，满足五( s ，力= 雷( s ，g ) ， 。( ，) ；， ( ，g ) ；，贝。厂兰g 。 定理7 ： 设s 如定理6 所设，且n 1 7 ，并设和g 是两个非常数亚纯函数。 如果亏) ( s ，) = 豆) ( s ，g ) ，贝l lf ；g 。若再有。( 咤，) ；， ( m ，g ) ；，则仅须 h 1 0 ，就有f ；g 。 定理8 ： 设s 如定理6 所设，且n 1 8 ，并设厂和g 是两个非常数亚纯函数。 如果巨) ( s ，厂) = 巨) ( s ，g ) ，则；g 。若再有。( m ，厂) 西1 4 ，。 ，g ) - 西1 4 ，则仅须 n i o ，就有f ；g 。 定理9 ： 设s 如定理6 所设，且n 1 5 ，并设厂和g 是两个非常数弧纯函数。 如果丘) ( 只厂) = 互) ( 只g ) ，则= g 。若再有 ，厂) ；，。 ，g ) ；，则仅须”9 ， 就有厂；g 。 1 2 重庆大学硕士学位论文2 加权分担个位的整函数的唯一 2 加权分担一个值的整函数的唯一性 本章对加权分担个值的整函数的唯一性结果进行比较详细的证明。 2 1 有关记号和引理 2 1 1 有关记号的定义 设厂和g 是开平面上的两个非常数亚纯函数，“是一一个有穷复数，k 是一个 正整数，我们用记号m ，( r ，了l ) 表示f 和g 的公共简单日值点的计数函数：用 j 一“ ( t ( 7 ，了三) 表示厂的那些重数大于等于七的“值点的计数函数，且每个d 值点仅 计一次；若，和占j m 分担口，则用厩以去) 表示厂的那些重数与g 的相应的d 值点的重数不相同的口值点的计数函数，其中每个a 值点仅计一次。由以上定义 可知1 ，( ，去) ：l 。( ，上) ，见( ，士) ：藏( 上) 。 ，一口g 一口 ，一a g 一8 2 1 2 几个引理 由m i l l o u x 不等式( 见文【3 3 ) ，可得如下引理： 引理1 ：设f 是一个非线性整函数，口o 是一个有穷复数，则有： m ，哪2 鼬，歹1 ) + 肌，与卜0 专) 馘r 功 其中0 ( _ 去) 表示使f ”( z ) = 0 但f ( f 一口) 0 的那些点的计数函数。 引理2 ：设，和g 是两个非线性整函数，满足 ( o ，f ) 了5 ，0 ( 0 ，g ) 了5 ，如 果和g 分担( 1 ，2 ) ，则要么f g7 = 1 ，要么f ；g 。 觋令州；一雨2 f ) - ( 可c m 一篙) ， ( 2 1 1 ) 假设h 0 。因为f 和g 分担( 1 ，2 ) ，所以f 的简单1 值点也是g 的简单1 值点， 反之亦然。设是f 和g 的简单1 值点，经简单计算可知，在晶点的某一邻域， 有等式 重庆火_ ：圭硕士学位论文2 加权分担一个值的整函数的唯一| 生 h ( z ) = ( z 一毛) ( z ) 其中( z ) 在z o 点解 i r 。 于是由n e v a n l i r m a 第一基本定理可得 l 。( r ，j 巧1 ) = m 一，虿1 _ ) ( _ 万1 ) s ( r ，a t ) + s ( r ，f ) + s ( ，g ) ( 2 1 2 ) 经简单计算可知，日的极点只能是f ”和g ”的零点，以及f 和g7 的重数不相 同的公共1 值点，并且h 的所有的极点都是简单极点。于是可得到 ( ，日) s 刃( ，万1 ) + 贾( _ 否1 ) + 藏( 西1 ) + n o ( t 可1 ) + o ( 夺1 ) ( 2 1 3 ) 其中o ( r ，可1 ) 表示使f 。= o n f ( f 一1 ) o 的那些点的计数函数，n o ( r ，万1 ) 类似 定义。 因为，口分担( 1 ，2 ) ，所以风( _ 西t ) 曩，( 可j ) ，于是有 n d r ，孑1 ) + 藏( _ 虿1 j ) + 曩，( r ，万1 j ) + ( _ 可1 ) 一刃( h i l ) 0 ( 击) + 母，虿与) + 曩：( 厂万l j ) + ( - 万t ) 一霄( _ 专) 蔓( r ，去) ( 2 1 4 ) 由n e v a n l i n n a 第一基本定理得 ( r ，西1 ) 驯_ 争 驯， m ，专) + 2 v ( 虿1 ) 一矾万1 ) ( 石1 ) 一职。吉) 十s ( ，g ) ( r ，吉) 一肌，孑1 ) 州叩) = n r ，击) + s ( g )( 2 1 5 ) 结合( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) g 得 l 一 1 11 0 ( ，吉) + m ( 石与) ( 7 ，孛) 一( z ( 7 ，云南) 十s ( ，g ) ( 2 1 6 ) 由( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) 弄1 1 ( 2 i 6 ) 可知 l - ( 击) 霄( _ i 1 ) + 霄( _ 否1 ) + ( 虿1 ) 一曩。( r 孑与) + o ( 可1 ) + s ( r ，g ) ( 2 1 7 ) 1 4 重庆大学顿j ：学位论文2 加权分担一个值的枢函数的唯一性 由引理1 可知 m ，f ) - = 5 ，故由上式可得矛盾： o o r ( r ，f ) + ，( r ，g ) s ( r ，f ) + s ( r ，g ) 。 所以h = 0 。于是由( 2 1 1 ) 我们可以推出 去=1bg；+丁a-b(2114f ) 一ig 一1 其中口和b 是两个有穷复数，并且b 和。一b 不同时为零。 下面我们证明要么f g = 1 ，要么f = g 。我们考虑三种情况： 情况l ：b 0 且a = b 。 由( 2 1 1 4 ) 知g 0 。于是存在一个整函数尸( z ) ，使得g = e 肌1 ，从而 ，：1 + ! 一三口州， bb 如果b = 一i ，那么f g = 1 ，这是我们所想得到的一个结果。 如果6 一l ，那么 ，一( 1 + ；) = 一i 1 e 一州砷o ， 由引理1 ，我们有 t ( r ，f ) 2 1 4 ( r ，) + s ( r ，f ) 玉( 2 2 0 ( 0 , ，) ) ，( ，尸) 十s ( r ，) ， 也就是 ( 2 0 ( 0 ，f ) 一i ) r ( r ，f ) s ( r ，f ) ， 因为o ( r ，f ) ；，故可得到矛盾。 o 情况2 ：b 0 且d b 。 由( 2 1 1 4 ) 可知g q - a - _ 兰b o 。于是，由引理l ，我们得到 d 1 r ( r ，g ) s 2 ( r ，去) + s ( r ，g ) ， 类似于情况1 ，我们可以得到一个矛盾。 情况3 ：b = 0 且d b 。 由( 2 i 1 4 ) 可得 ，：l o + l ( z ) ，( 2 1 1 5 ) 其中l ( z ) = ( 1 一1 ) z + 。，c 是一个有穷复数。 口 如果l ( z ) ；0 ，那么口= 1 ，于是，由( 2 1 1 5 ) 可失w f = g ，这正是我们想要的另 个结果。 1 6 重庆大学硕士学位论文2 加权分担一个值的整函数的唯一性 如果l ( z ) 0 ，那么由关于小函数的第二基本定理，得 7 1 ( r ，f ) 霄( r ，去) + 霄( 了：高) + s ( f ) = 取r ，嘉) + ( r ，吉) + s ( r ，) s ( 1 一o ( o ，f ) ) r ( r ，f ) 十( 1 一o ( o ，g ) ) 7 1 ( ，g ) + s ( r ，f ) ，( 2 11 6 ) 注意到，和g 是非线性的，由( 2 1 1 5 ) 可得 r ( g ) = 7 1 ( ，f ) + s ( r ，一， 将( 2 1 1 6 ) 与上式结合起来，可得 ( e ( o ，f ) + o ( o ，g ) 一1 ) r ( r ，f ) s ( r ，f ) 既然o ( o ，f ) 导，o ( o ，g ) 丢，所以我们可得到个矛盾。 o0 引理2 证毕。 引理3 ( 3 4 1 ) ：设厂和g 是两个非常数整函数， 是一个正整数。如果 ，”营”g = l ，那么f = c 1 8 ，g = c 2 矿，其中c ，c 1 和c 2 是三个有穷复常数，并满 足( c i c 2 ) ”1 c 2 。1 。 2 2 定理1 的证明 令f = 看三，及g = 羔。既然厂“，7 和g “g j 分担( n ，2 ) ，那么，和g ，必 然分担( 1 ，2 ) 。显然，f 和g 都是非线性的，并且有 0 ( 0 ，f ) ：，一际盟 t ( r ，f ) 一面旦 t ( r ，) 1 一j 一 1 7 重庆大学硕士学位论文2 加权分担一个值的躺函数的唯一性 类似地，有o ( r ，g ) ；。既然 6 ，所以 ( o ，f ) ；，o ( o ，g ) ；。于是，由定 、 o00 理2 ，我们得到f g ，：1 或f ：g 。 如果f g = 1 ，也就是a - 2 厂“，鲁”g = 1 ，置= a + i f ，g 。= 口丽g ，那么有 z ”_ 量? g 净la 运用引理3 ，我们得到( z ) = c i e 一及g ( z ) = c 2 酽，其中c ，c 。和巳为 三个复常数，并且满足( q c 2 ) ”1 c 2 = 一口2 。 如果f = g ，也就是f ”1 = g ”1 ，那么我们可得到f = 辔，其中t 为一复常数， 并满足t “1 = l 。 至此，定理1 证完。 重庆人学硕士学位论文3 涉及微分多项式的整函数的唯一性 3 涉及微分多项式的整函数的唯一性 本章对涉及微分多项式的整函数的两个唯一性结果进行较详细地证明。 3 1 定理2 的相关引理 引理1 ( 3 ， 3 3 ) ：设( z ) 是个非线性整函数，k 是一个正整数，c 是一个 非零有穷复数，则有 附 厂) 州) + 7 是) _ 南) 城 ( 3 1 、1 ) 轴+ 1 ) 肌，7 1 朋走) 一啪，南) 坝) ( 3 l - 2 ) 这里o ( i b ) 是使，( k + x l = 0 但- - f ( f 一c ) 。的那些零点的计数函数。 引理2 ( 3 ， 3 3 ) ：设，是一个非常数亚纯函数，a i ( z ) ( f = l ，2 ) 是f 的两个小函 数，则有 m ，胚砸，) + 矾，击m 击( r ，n 引理3 ( 3 4 】) ：设尸( z ) = a n g n + a n _ l z n - i + + 口。z + d 。，其中。( o ) ，。，口。是 一些有穷复常数。若( z ) 是一个非常数亚纯函数，那么 r ( r ，尸( 力) = n t ( r ，) + s ( r ，厂) 引理4 ：设与g 是两个超越整函数，后是一个正整数。如果厂与g ( ”i m 分担1 ，并且 ( 。，力 而5 k + 6 ， ( 。，g ) 丽5 k + 6 ，那么有1 1 9 ( ”= l ，或者厂；g 。 证明：令 地，= 翎一z 错一端+ z 错 ， 设 ( z ) 0 。如果是，( z ) 和g ( z ) 的公共简单1 值点，经简单计算可知， 2 n 是 乜) 的个零点。于是，有 1 9 重庆大学硕士学位论文3 涉及微分多项式的整函数的唯一陆 州- 志) = w - 南) 蚋番m ，卅d ( 1 ) 兰n ( r ，h ) + s ( r ，) + s ( r ，占)( 3 1 4 ) 其中l 。( ，了 j ) 是关于啦和g 仆的公共简单1 值点的计数函数，类似地可定义 州r ，志) 。 经估计可看出 ( z ) 的极点只能产生于，“1 和g “的零点，以及f 和g ( 的 重数不相同的公共1 值点e 我们用厩( l 了砉i ) 表示汁和g 似的公共l 值点中 f 的重数大于g 的重数的那些点的精简计数函数，类似地，可定义 或( r ，孑b ) 。于是，由( 3 1 3 ) 可推出 ( 3 1 5 ) 其中n o ( - 7 b ) 表示使厂叶“) = 。但厂( ，n ) 一1 ) 。的那些点的计数函 数，o p ，孑) 类似定义。 由引理1 得 m 邓+ 1 ) 眠7 1m ( r ，志卜0 ( r ，高m ，) ( 3 1 6 ) 毗郎( 七+ 晒( ，扣肌，志) 一啪，嘉m 朗 ( 3 1 7 ) 因为r 伸1 和2 ( 女i m 分挡1 ，曲有 2 0 赤 p m + i 鼍、 pm 十 与g m ， 嘶靖 ，而 一 p + 。而 一， p + 重庆人学硕士学位论文3 涉及微分多项式的整函数的唯一性 而 m - 两1 ) 坝r ，南) 辄南) 鹕南) + m ，击) 故有 ( _ 南琏h _ ”) + 0 ( 1 d i k ) m ( r ，g ) + m ( r ，鱼) + o o ) g = ，( ，g ) + s ( ，g ) ( r - ，再1 问赤) 兰1 1 ( r ，志) + 矾志) 州) 删r ，g ) 结合( 3 1 4 ) 一( 3 1 8 ) 可得 t ( r ，厂) 鳓+ 2 ) 鼬，芦1 郴+ 2 ) 肌，三g ) + 2 跏，南) + 帆( 7 南+ j ( 力+ s ( 吣) ， 而 嘶- ，7 1 椰( ，f f - - - 酉) 佩，7 1 ( r 孚朋抄d ( 1 ) = ( r ，- 7 忙- ) + ( _ 多) + s ( 厂) ( t + i ) ( ，7 1 ) + s ( 厂) r 亿南) 驯 志闸( r ，南) ( 丢而 ，、 丽5 k + 6 ， ( 。，g ) 丽5 k + 6 ，故由( 3 1 1 4 ) 可得到矛盾。 所以 ；0 。于是由( 3 1 3 ) 可得 1 酉= _ b g ( 玎* ) + a - b ( 3 1 1 5 )一1占“一1 其中a 和b 是两个有穷复数，并满足6 与口一6 不同时为零。下面我们考虑如下三 种情况： 情况1 ：b 0 且口：b 。 n ( 3 - 1 5 ) n 务n g 0 ，于是存在一个整函数p ( = ) 使得g ( ”( z ) ：e 雎) ，从而 厂f ”：i + ! 一一1e - p ( z ) 。 b 6 如果6 = 一1 ，那么厂1 ( z ) g ( z ) = l ，这j 下是我们想要的一个结果。 如果6 - i r 那么，壮) 一( i + = 一去e 。，由弓；理1 ，知 重庆大学硕士学位论文3 涉及微分多项式的整函数的唯一性 ，( 厂) ( 女十1 ) ( r ，) + j ( 厂) 进一步可得 ( + 1 ) o ( o ，) 一k t c r ，f ) s ( r ，) ， 因为。( 。，厂) 姜菩，故得一矛盾。 情况2 ：b 0 且a b 。 此时由( 3 1 1 5 ) 可知g ( t ) + = 兰o ，再由引理l 可推出 r ( r ，g ) s f + 1 ) ( ，! ) + s ( ，g ) 于是与情况1 类似，可得一矛盾。 情况3 ：b = 0 且口b 。 此时由( 3 1 1 5 ) 可得 ( = ) ：! g ( z ) + 0 ) ( 3 1 1 6 ) 其中工( z ) 是一个次数不超过k 的多项式。 若( z ) 0 ，那么注意到，是超越整函数，由引理2 可得 丁( ，) 翊( r ，抄肌，7 南m 力 帮( r ，_ 1 ) + 霄( 三) + s ( ) )g ( 1 一o ( o ，厂) ) r ( r ，厂) + ( 1 一o ( o ，g ) ) r ( r ，g ) + s ( r ，f )( 3 1 1 7 ) 因为