（应用数学专业论文）伪紧吉洪诺夫空间的重合点定理.pdf

c o i n c i d e n c ep o i n tt h e o r e m sp s e u d o c o m p a c tt i c h o n o vs p a c e s u o l n e l d e n e ep o i n tt h e o r e m si n p s e u d o c o m p a c t 。l 。i c h o n o vs p a c e s p o s t g r a d u a t e ：x uz h e n g k u s u p e r v i s o r ：l i uz e q i n g m a r c h1 5 2 0 0 6 a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r ，s o m ec o i n c i d e n c ep o i n tt h e o r e m sf o rap a i ro f c o n t r a c t i v et y p em a p p i n g sa n dt w op a i r so fe x p a n s i v et y p em a p p i n g si n p s e u d o c o m p a c tt i c h o n o vs p a c e sa r ee s t a b l i s h e d t h er e s u l t sp r e s e n t e di n t h i sp a p e rg e n e r a l i z et h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t so fh a r i n a t h 1 j a i na n d d i x i t l 2 a n dl i u l 6 】 a m ss u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ：5 4 h 2 5 k e yw o r d s ：c o i n c i d e n c ep o i n t ，f i x e dp o i n t ，c o n t r a c t i v et y p em a p - p i n g s ，e x p a n s i v et y p em a p p i n g s ，p s e u d o c o m p a c tt i e h o n o vs p a c e 1i n t r o d u c t i o n a t o p o l o g i c a ls p a c ex i ss a i dt ob ep s e u d o c o m p a c ti fa n do n l yi f e a c hr e a lv a l u e dc o n t i n u o u sf u n c t i o no nxi sb o u n d e d b yt i c h o n o vs p a c e w em e a nac o m p l e t e l yr e g u l a rh a u s d o r f fs p a c e i tm a yb en o t e dt h a t e v e r yc o m p a c ts p a c ei sp s e u d o c o m p a c t 。i fx 遮a na r b i t r a r yt i c h o n o v s p a c e ，t h e nx i sp s e u d o c o m p a c ti fa n do n l yi fe a c hr c a lv a l u e dc o n t i n u o u s f u n c t i o no v e rxi sb o u n da n da r t a l n si t sb o u n d s t h ef i x e dp o i n tt h e o r e m s f o rc o n t r a c t i v em a p p i n g si np s e u d o c o m p a c tt i c h o n o vs p a c e sw e r ef i r s t e s t a b h s h e db yh a r i n a t h ”a f t e r w a r d sj a i na n dd i x i t 2 ) 3 】l i u 4 | j 6 a n dr a o1 9 ia n do t h e r se s t a b l i s h e daf e wf i x e dp o i n tt h e o r e m sf o rs e v e r a l c l a s s e so fc o n t r a c t i v et y p em a p p i n g si np s e u d o c o m p a c tt i e h o n o vs p a c e s 1 c o i n c i d e n c ep o i n tt h e o r e m sp s e u d o c o m p a c tt i c h o n o vs p a c e s l i u 【5 】a n dl i ua n dz h a n g 9 】s t u d i e dt h ee x i s t e n c eo fc o i n c i d e n c ep o i n t s f o rs o m ep m r so fc o n t r a c t i v et y p em a p p i n g si np s e u d o c o m p a c tt i c h o n o v s p a c e s t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st oe s t a b l i s ht h ee x i s t e n c eo fc o i n c i d e n c e p o i n tf o rs o r t i ep a i r so fn o n l i n e a rm a p p i n g si np s e u d o c o m p a c tt i c h o n o v s p a c e s i ns e c t i o n2 ，w ep r o v ec o i n c i d e n c ep o i n tt h e o r e m sf o rap a l ro f c o n t r a c t i v et y p em a p p i n g s i ns e c t i o n3 ，w eo b t a i nc o i n c i d e n c ep o i n t t h e o r e m sf o rt w op a i r so fe x p a n s i v et y p em a p p i n g s t h er e s u l t sp r e s e n t e d i nt h i sp a p e rg e n e r a l i z et h ec o r r e s p o n d i n g r e s u l t so fh a r i n a t h 1 1 ，j a l na n d d i x i t 2 1a n dl i u 6 1 2c o i n c i d e n c ep o i n tt h e o r e m so fap a i ro fc o n t r a c t i v e t y p e ( 2 1 ) f ( f x , f y ) m a x f ( f z ，g z ) ，f ( f y ，g v ) ，f ( g x , g v ) ， f ( f x , g x ) f ( f y , g y ) ! ( 垒趔! 娅! 塑 f ( g x ，g y ) f ( g x ，g y ) f ( f x ，g x ) 1 2 【f ( f y ，9 口) 2 f ( f x ，f y ) f ( f x ，f y ) f ( g x ，9 ) 2 f ( f x ，f y ) f(fx,gy)if(gx广,fy)f(fxf y ，m i n ( f ( ，。，9 ) ，f ( 9 z ，g ) ，、1l 、。“。9 、3 “。9 f 。( f x , g x ) f ( f x , g y ) f ( f x , g x ) f ( g x , f y ) l f ( g x ，g y ) f ( g x ，g y ) jj f o ra l l 。，y xw i t hf x f ya n dg x g y ，t h e nfa n dgh a v ea c o i n c i d e n c ep o i n ti nx m o r e o v e r ，i ffa n dgc o m m u t ea tc o i n c i d e n c e p o i n t s ，t h e nfa n dgh a v eau n i q u ec o m m o nf i x e dp o i n ti nx 2 锄= h m e i u a并嚣 印v x l 甄一 n 姒ho 姐哐c黜訾t ，一巾眦 t n s 麓一 p o 丑“霉篮盏舞 a d ，g慧 x h 叭f出辨暴 ，、coincidencep o i n tt h e o r e m sp s e u d o c o m p a c tt i c h o n o vs p a c e s p r o o f n o t et h a txi sap s e u d o c o m p a c tt i c h o n o vs p a c ea n da ( x ) i sc o n t i n u o u so nx c o n s e q u e n t l yt h e r ee x i s t sap o i n tv xs u c ht h a t a ( v ) = i n f a ( x ) ：。x ) s i n c ef ( x ) 9 ( x ) ，i tf o l l o wt h a tt h e r ee x i s t s “xs a t i s f y i n gf v = g u s u p p o s et h a tfa n dgh a v en oc o i n c i d e n c e p o i n t i tf o l l o w st h a tf u f va n dg u g v u s i n g ( 2 1 ) ，w ed e d u c et h a t f ( f u ，加) m a x f ( f “，9 u ) ，f ( f ，g ) ，f ( g u ，9 ) ! ! 出型! ! 生：型 f ( g u ，g v ) ! f 垒! 型! 迦! 丝! f ( g u ，g v ) f ( f u ，g u ) 1 2 f ( f v ，9 ) 2 f ( u ，如) f ( f u ，f v ) f ( f u ，g v ) f ( g u ，”) f ( f u ，f v ) f ( f u ，g u ) f ( f u ，g v ) f ( g u ，g v ) = m a x f ( f u ，g u ) ，f ( f v ，g v ) = 一，筹) ， f ( g u ，9 ) 】2 f ( f u ，f v ) m i n f i t ”，9 ”) ，f ( g “，如) f ( f u , g u ) f ，( g ) u , f v ) j 、f ( g ug v ，) j j f ( f v ，9 ) 1 2 f ( f u ，f v ) w h i c hm e a l l $ t h a ta ( v ) o ( u ) o ( ) t h i si sac o n t r a d i c t i o n h e n c ef a n dgh a v eac o i n c i d e n c ep o i n t c o n s e q u e n t l y , 口( ) = 0 ，t h a ti s ，f v = g v m o r e o v e r ，i ffa n dgc o m m u t ea tc o i n c i d e n c ep o i n t s ，t h e n f f v = f g v = g f v = g g v p u tz = f v ，n o ww es h o wt h a ti sac o m m o nf i x e dp o i n to f fa n dg 3 鱼! i 坚! ! 翌堡! ! 坐! 皇塑翌翌! 塑! ! ! ! 竺里e 竺! ! ! 生竺竺! p 竺竺 s u p p o s et h a tf z g a c c o r d i n gt o ( 2 1 ) a n d ( 2 2 ) ，w eh a v e f ( f z ，。) = f ( f f v ，f v ) m a x f ( f f ，g f ) ，f ( f ，g ) ，f ( g f ，g ”) ， f ( f f v ，f v ) f ( f f v ，f v ) f ( f f v ，f v ) 盟业塑票盟，mi。f(，哪。)，f(9，咖)，f(ffv ，f v ) l “”1 ”“ f ( f f v ，g f v ) f ( f f v ，g v ) f ( f f v ，g f v ) f ( g f v ，f v ) 1 、 f ( g f v ，g v ) f ( g f v ，g v ) jj = f ( g f v ，9 v ) = f ( f z ，o ) ， w h i c hi sac o n t r a d i c t i o n h e n c e 。= f z = g z t h a ti s zi sac o m m o n f i x e dp o i n to f fa n dg t op r o v eu n i q u e n e s s ，i fp o s s i b l es u p p o s et h a twi sa n o t h e rc o m m o n f i x e dp o i n to ffa n dgw i t h # i tf o l l o w sf r o m ( 2 1 ) t h a t f ( w ，。) = f ( f w ，f z ) m a x f ( f w ，g ) ，f ( ，z ，9 2 ) ，f ( g w ，g z ) f f ( f w ，g w ) 2 f ( f z ，9 z ) 2 【f ( g w ，g 。) 】2 f ( f w ，弘) f ( f w ，f z ) f ( f w f z ) f(fw,gz)f(g广w,fz)rainf(，w,gz)，f(fw ，f z ) l 。 m 纠，堂警， f ( f w ，g w ) f ( g w ，f z ) 11 f ( g w ，g z ) j j f 油，o ) 4 里! ! ! ! ! ! ! ! ! ! p ! ! 苎! ! 塑翌里! p ! ! 些竺翌p ! 苎! ! ! ! ! ! 坚! p 竺望 w h i c hi sac o n t r a d i c t i o n h e n c eoi st h eo n l yc o m m o nf i x e dp o i n to ffa n d g t h i sc o m p l e t e st h ep r o o f i nc a s egi st h ei d e n t i t ym a p p i n go nx t h e nt h e o r e m2 1r e d u c e st o t h ef o l l o w i n g c o r o l l a r y2 ，1 l e txb eap s e u d o c o m p a c tt i c h o n o vs p a c ea n df d e n o t ean o n n e g a t i v er e a lv a l u e df u n c t i o no nx xa n df ( x ，y ) = 0i f a n do n l yi f = g a s s u m et h a tf ：x _ xi sam a p p i n gs u c ht h a t a ( x ) = f ( f x ，z ) i sc o n t i n u o u sa te a c hz xa n d f ( ，z ，) m a x f ( 豇，z ) ，f ( ，删) ，f ( 删) ，f ( f 可x , x 矿) f ( f y , y ) f ( f x ，y ) f ( x ，f y ) f ( f x ，z ) 】2 f ( f y ，) 2 f ( x ，)f ( f x ，f y ) f ( f x ，f y ) f ( x ，) 2f ( f x ，y ) f ( x ，f y ) f ( f x ，f y ) f ( f x ，f y ) m i n f ( 知，口) 即加，譬群掣，警篇掣) ) f o ra l lz ，y x w i t h f x f y t h e n fh a sau n i q u e f i x e dp o i n t i n x r e m a r k2 1 t h e o r e m1o fh a r i n a t h l l ，t h e o r e m2o fj a i na n d d i x i t | 2 1 2a n dt h e o r e m1o fl i u | 6 1a r es p e c i a lc a s e so ft h e o r e m2 1a n d c o r o l l a r y2 1 t h ef o l l o w i n gs i m p l ee x a m p l es h o w st h a tt h e o r e m2 1 e x t e n d sp r o p e r l yt h er e s u l t so fh a r i n a t h 1 】，j a i na n dd i x i t 2 a n dl i u 6 1 e x a m p l e2 1 l e tx = o ，1 ，2 ) a n dd e f i n ef ：x x _ o ，+ o 。) a n df ，9 ：x 。yb yf ( x ，o ) = 0a n df ( x ，y ) = f ( y ，x ) f o ra l lz ，y x a n d r ( o ，1 ) = l ，f ( 0 ，2 ) = f ( 1 ，2 ) = 2 ， f 0 = 0 ，1 = f 2 = 1 ，g o = 2 ，g l = 0 ，9 2 = 1 n o t et h a tf x 乃a n dg x 9 ym e a nt h a t ( z ，y ) ( o ，1 ) ，( 1 。o ) ，( 0 ，2 ) ， ( 2 ，0 ) a n d f ( f x ，y ) = f ( o ，1 ) = 1 m i n f ( t x 。, s x l ) ，f ( ，。，s z ，) ，f ( t 。2 ，。2 ) ， 兰! 兰! ! ! 兰! ! ! ( t x 2 ，g x 。) f f ( f ( f x l ，g x 2 ) f ( x l , g x 2 ) t x 2 ，s x d j 2 f x l ，g x 2 ) ：、 j 划n 驰删，f ( f x t , g x 2 ) ，糕) 划n ( f ( ，x l ，8 a 2 1 ) ，糕) s ot h a tb ( x 2 ) f ( f x l ，s x l ) u s i n g ( 3 1 ) ，w ei n f e rt h a t f ( x l ，8 x 1 ) = f ( f x l ，g x o ) m i n f ( t x o , s x l ) ，f ( f x l , s x l ) ，f ( t z 。，弘。) ， ! 也! ! 型! 堕! 麴2 f ( t x o , s x l ) 2 f ( t x o ，8 x 1 ) f ( ，瓦j ；了 墨也! 塑蟹殴墅! ! 剑：l f ( f x l ，g x o ) f ( f x l ，g z o ) ， = m i n f ( i x o ：9 3 2 0 ) ，f ( f x l , g x 0 ) ，糕) = 蛐 f ( t x o ，8 x o ) ，糕) ) w h i c hm e a n st h a t b ( x 2 ) f ( f x l ，8 a ：1 ) f ( t x o ，g x o ) = 6 ( z o ) ， w 世1 。hi s a c o n t r a d i e t i o n - h e n c ee i t h e rfa n d so rga n dth a v eac o m c i d e n c e p o i n t 5 1 “i l a r l yw ec a np r o v et h a tt h et h e o r e mw h e n ( b ) h o l d s t h i s c o m p l e t e st h ep r o o f 一r e m a r k3 1 t h ee x a m p l eb e l o ws h o w st h a tt h ec o i n c i d e r l c ed o i n t 8 o f fa n d8o r9a n d t i n t h e o r e m3 1 m a yn o tb e u n i q u e ， 1 7 c o i n c i d e n c ep o i n tt h e o r e m sp s e u d o c o m p a c tt i c h o n o vs p a c e s e x a m p l e3 1 l e tx = 1 ，2 ，3 ，4 ) w i t hfd e f i n e db yf ( x ，x ) 一0 a n df ( x ，y ) = f ( y ，x ) f o ra l lz ，y xa n d f ( 1 ，2 ) = f ( 1 ，4 ) = f ( 3 ，4 ) = 1 ， f ( 2 ，3 ) = 2 ，f ( 1 ，3 ) = 1 2 ，f ( 2 ，4 ) = 1 5 t h e nxi sap s e u d o c o m p a c tt i c h o n o vs p a c e d e f i n e ，g ，sa n dt ：x _ x b y f l = f 2 = f 4 = 1 ，f a = 4 ，g l = 9 2 = 4 ，9 3 = 9 4 = 1 ， s l = 3 s 2 = 1 ，s 3 = 4 ，s 4 = 2 、t l = 4 、t 2 = t 4 = 2 t 3 = 1 i ti se a s yt os e et h a tt h ec o n d i t i o n so ft h e o r e m3 1a r es a t i s f i e d h o w e v e r 2a n d3a r ec o i n c i d e n c ep o i n t so ffa n ds a n d1a n d3a r ec o i n c i d e n c e p o i n t so f9a n dt t h e o r e m3 2 l e txb eap s e u d o c o m p a c tt i c h o n o vs p a c ea n df d e n o t ean o n n e g a t i v er e a lv a l u e df u n c t i o no nx xa n df ( x y 1 = 0 i fa n do n l yi fz = y a s s u m et h a tfi sas e l fm a p p i n go nxs u c ht h a t a ( z ) = f f f x ，x ) i sc o n t i n u o u sa te a c ho xa n d ( 3 2 ) f(，z，”)m；nf(。，”)，!：i铲，!；学： m a x 塑铲 ! ! 垒! 兰! ! ! ! 型 f ( x ，y ) ! ! 塑! 兰2 1 1 丝! 盟 f ( x ，y ) f ( f x ，f y ) f ( f y ，x ) f ( f y ，z ) 】2 、 f ( x ，) 2 f ( x ，y ) rf ( f x ，f y ) f ( x ，y ) f ( f x ，圳2 f ( f x ，f y ) 【f ( f y ，y ) 1 2f ( f x ，z ) f ( z ，y ) f ( f x ，g ) f ( f x ，f y ) f ( f x ，x ) f ( f y ，y ) f ( f y ，y ) f ( x ，y ) f ( f x ，f y ) f ( f x ，f y ) f o ra l lz ，y x w i t h f x f y t h e n fh a sa f i x e dp o i n t i n x p r o o f s i n c exi sap s e u d o e o m p a c tt i c h o n o vs p a c ea n da ( x 1i s c o n t i n u o u sa te a c hz x 、i tf o l l o w st h a tt h e r ee x i s t sap o i n tx 0s u c ht h a t 8 、， 里! ! ! ! ! ! ! ! 望p ! 堕! ! 竺望翌! 塑! ! ! 竺翌2 竺! ! ! 些! ! 竺! p 竺望 a ( x o ) = s u p a ( 。) ：。，x ) s u p p o s et h a t ，2 z o ，茹ot h e nf x o x o i n v i e wo f ( 3 ，2 ) ，w ea a r i v ea t _fl(，2，z。)minf(，跏)，v(f12；to,丽fzo矿)f(fxo,；to)， 瞪f u x 筹ox o ，m a x 竖业f ( f ；t 尝掣 ，) 【o ，z o ) f ( f x o ，f x o ) f ( f 2 x o ，。o ) f ( f 2 z o ，z o ) f ( f x o ，f x o ) f ( f x o ，；t o ) f ( f x 。，x 。) f ( f 2 x o ，f x o ) f ( f x o ，f x o ) f ( f x o ，f x o ) 21 f ( f x o ，x o )f ( f x o ，z o ) j 【f ( f x o ，粕) 】2 【f ( f 2 茁o ，f x o ) 】2 f ( f 2 x o ，扛o ) f ( ，2 x o ，f x o ) f ( f x a ，铷) 】2f ( f 2 x o ，f x o ) f ( ，印，z o ) f ( f 2 x o ，知o ) f ( f 2 z o ，f x o ) f ( f 2 。o ，f x a ) f ( f x o ，x e ) f ( f x o ，x o ) f ( f x o ，o o ) 1 f ( f 2 ，f x o ) 1 f ( f 2 x o ，f x o ) = m i n f ( ，z 。，。) ，f ( ，2 ，如) ， 簧萼：鼍篙) 划n f ( ，糕) ) w h i c hi m p l i e st h a ta ( f x o ) a ( x o ) t h i si sac o n t r a d i c t i o n h e n c ef 2 x o = f x o t h i sc o m p l e t e st h ep r o o f t h e o r e m3 3 l e txb eap s e u d o e o m p a e tt i c h o n o vs p a c ea n df d e n o t ean o n n e g a t i v er e a lv a l u e df u n c t i o no nx xa n df ( x y 1 = 0 i fa n do n l yi fz = y a s s u m et h a tfi sas e l fm a p p i n go nxs u c ht h a t 9 c o i n c i d e n c ep o i n tt h e o r e m sp s e u d o c o m p a c tt i c h o n o vs p a c e s a ( x ) = f ( f x l z ) i sc o n t i n u o u sa te a c hz x a n d ( 3 3 ) m a x f ( f z ，f y ) ，m i n f ( f x ，) ，f ( f y ，z ) ) ) n n n n 警崭掣，獬，黩端 f ( f x ，z ) 2i f ( f y ，) 2f ( f x ，x ) f ( x ，y ) f ( f x ，f y ) f ( f x ，) f ( f x ，f y ) f ( f x ，x ) f ( f y ，y ) f ( f y ，y ) f ( x ，y ) 1 了丽巧石厂可万矿， 州n 堂铲，竽掣 f ( f y ，x ) f ( f x ，y ) f ( f x ，f y ) f ( f y ，。) f ( f y ，z ) 21 _ 】丽l f o ra l lo y x w i t h f x f y t h e n fh a sa f i x e dp o i n t i n x p r o o f n o t et h a txi sap s e u d o c o m p a c tt i c h o n o vs p a c ea n da ( x 1 i sc o n t i n u o u sa te a c hz x t h u st h e r ee 对s t sap o i n tx 0 xs u c ht h a t a ( x o ) = s u p a ( x ) ：x x ) i f f 2 x o f x o ，t h e nf z o x 0 b y ( 3 3 ) ，w e c o n c l u d et h a t 幽砌，竖篙糕产，锩等， 【f ( f x o ，z o ) 】2 【f ( f 2 x o ，f x o ) 2 f ( f x o ，z o ) 2 f ( f 2 x o ，f x o ) f ( f 2 x o ，f x o ) f ( f 2 。o ，f z o ) f ( f 2 x o ，f x o ) f ( f x o ，x o ) f ( ，2 x o ，f x o ) f ( f x o ，跏) f ( f 2 x o ，f x o ) f ( f 2 x o ，f x o ) 等舞) _ 血n 塑喘尝掣 f ( f 2 x o ，f x o ) f ( f x o ，f x o ) f ( f x o ，f x o ) f ( f 2 x o ，x o ) f ( f x o ，x o ) f ( f x o ，x o ) f ( f 2 x o ，f x o ) f ( f x o ，f x o ) i f ( f x o ，如o ) 21 f ( f x o ，x o )f ( f x o ，x o ) j m i n f ( ，z 。，z 。) ，f ( ，2 z 。，。) ，f f ( ( ，f 。x 。o 。, ，x ，0 。) 。 2 ) j 1 1 0 c o i n c i d e n c ep o i n tt h e o r e m sp s e u d o c o m p a c tt i c h o n o vs p a c e s a ( x o ) 芝a ( f x o ) ， w h i c hi si m p o s s i b l e c o n s e q u e n t l y ，2 z o = f x o t h i sc o m p l e t e st h ep r o o f l l c o i n c i d e n c ep o i n tt h e o r e m sp s e u d o c o m p a c tt i c h o n o vs p a c e s r e f e r e n c e s 1 】k s h a r i n a t h ，ac h a i no fr e s u l t s0 1 2 f i x e dp o i n t s ，i n d i a n ，p u r e a p p l m a t h ，1 0 ( 1 9 7 9 ) ，4 8 4 - 4 9 0 2 r k j a i n 越l ds p d i x i t ，s o m er e s u l t s0 nf i x e dp o i n t si np s e u - d o c o m p a c tt i c h o n o vs p a c e s ，i n d i a n ，p u r ea p p l m a t h ，1 5 ( 1 9 8 4 ) ， 4 4 5 4 5 8 3 r k j a i na n ds p d i x i t ，s o m ef i x e dp o i n tt h e o r e m sf o rm a p p i n g s i np s e u d o e o m p a c tt i c h o n o vs p a c e s ，p u b l m a t h d e b r e c e n ，3 3 ( 1 9 8 6 ) ， 1 9 5 - 1 9 7 4 1z l i u ，f i x e dp o i n t so np s e u d o c o m p a c tt i c h o n o vs p a c e s ，b u l l c a l m a t h s o c ，8 4 ( 1 9 9 2 ) ，5 7 3 - 5 7 4 5 z l i u ，s o m ec o i n c i d e n c ep o i n t st h e o r e m si np s e u d o c o m p a c tt i c h o n o v s p a c e s ，p u r ea p p lm a t h s c i ，3 9 ( 1 9 9 4 ) ，2 7 - 2 9 【6 】z l i u ，f i x e dp o i n t so np s e u d o c o m p a c tt i c h o n o vs p a c e s ，s o o c h o wj m a t h ，2 0 ( 1 9 9 4 ) ，3 9 3 - 3 9 9 7 】z l i ua a dl z h a j l g ，c o i l l c i d e n c ep o i n tt h e o r e m si np s e u d o c o m p a e t t i c h o n o vs p a c e s ，b u l l m a l a y s i am a t h s c i s o e ，2 3 ( 2 0 0 0 ) ，5 9 6 8 8 z ，l i ua n dl z h a n g ，s o m ec o i n c i d e n c ep o i n tt h e o r e m sf o rm a p p i n g s i np s e u d o c o m p a c tt i c h o n o vs p a c e s ，s o o c h o w ，m a t h ，2 7 ( s ) ( 2 0 0 1 ) ， 2 7 5 2 8 5 9 】k pr r a o ，s o m ec o i n c i d