（应用数学专业论文）偏微分方程曲面造型方法及其中的反问题.pdf

摘要 、f 同传统的曲面造型方法如：b e z i e r 方法、c o o n s 曲面片理论以及随后的b 样 条挣法、n u r b s 方法等相比，用偏微分方程构造曲面是一种新兴的曲面造型方法。 本文主要介绍和讨论了用偏微分方程构造曲面这曲面造型方法的基本思想和其 在实际应用中的一些问题。、 ? 本文主要分为两部分。第一部分主要阐述了该法的基本原理并介绍其在国 内、外的进展状况，并分别用实例来说明如何用偏微分方程曲面造型方法来构造 过渡曲面和自由曲面以及在该曲面造型方法中如何通过调节偏微分方程的边界条 件和引进的物理参数形状控制因子来修改曲面的形状。 第二部分针对实际应用中提出的交互曲面造型的要求，建立适当的微分方程 反问题的数学模型，从而将交互曲面造型问题转化为微分方程反问题中的参数识 别问题和边界控制的反问题。然后从数学的角度来讨论和解决这些问题，并给出 了用拟牛顿法求解该问题的数值方法，并且用若干个计算实例来验证了这一算法 的有效性。 在用拟牛顿法求解反问题时，目标函数梯度的计算和维搜索的选取是两个 难点。本文对目标函数梯度的计算采用了灵敏函数法，一维搜索采用的是a r m i j o 非精确一维搜索。 关键词：偏微分方程，p d e 方法，过渡曲面，自由曲面 p d e 曲面，形状控制因子 a b s t r a c t c o m p a r e dw i t ht h ec o n v e n t i o n a lm e t h o d si n s u r f a c em o d e l i n gs u c ha sb e z i e r m e t h o d c o o n sp a t c h e st h e o r ya n dbs p l i n e sm e t h o da n dn o n - u n i f o r mr a t i o n a lb s p l i n e sm e t h o di n t h el a t e r , i ti san e wm e t h o dt og e n e r a t es u t f a c e si np a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o nf p d e ) i nt h i sp a p e r , w ei n t r o d u c ea n dd i s c u s st h eb a s i ct h o u g h t s f o rt h i sn e wm e t h o di ns u r f a c em o d e l i n ga n ds o m ep r o b l e m si ni t sa p p l i c a t i o n t h i sp a p e ri sm a d eu po ft w op a r t s t h ef i r s tp a r tm a i n l yd i s c u s s e st h eb a s i c p r i n c i p l eo ft h ep d em e t h o da n di n t r o d u c e si t sd e v e l o p i n gs t a t u si nh o m ea n d o v e r s e a f o l l o w i n gw i t hi t w es e tf o r t hw i t hs e v e r a le x a m p l e sh o w t og e n e r n eb l e n da n df r e e f o r i l ls u r f a c e si np d em e t h o da n dh o wt om o d i f yt h es h a p eo ft h es u r f a c e sb ya d j u s t i n g t h eb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o na n dt h ei n t r o d u c e dp h y s i c a l p h y s i c a lp a r a m e t e r s s h a p ec o n t r o lp a r a m e t e r s i nt h es e c o n dp a r t w es e tu ps u i t a b l em a t h e m a t i c a lm o d e l sf o ri n v e r s ep r o b l e mi n p d ei no r d e rt om e e tw i t ht h er e q u i r e m e n t so fi n t e r a c t i v es u r f a c em o d e l i n g t h u s ，i t t r a i l s f o r m st h es u r f a c em o d e l i n gi n t ot h ei n v e r s ep r o b l e mi np d ea b o u tt h ep a r a m e t e r i d e n t i f i c a t i o na n dt h eb o u n d a r yc o n t r 0 1 t h e nw ed i s c u s sa n ds o l v es u c hp r o b l e m si n v i e wo fm a t h e m a t i c sa n du s eq u a s i n e w t o nm e t h o da san u m e r i c a lm e t h o df o rt h e s o l v i n go ft h e s ep r o b l e m s l a s t l y , w ee x a m i n et h ev a l i d i t yo fs u c ha l g o r i t h m w i t h s e v e r a ln u m e r i c a le x a m p l e s t h ec a l c u l a t i o no ft h eg r a d i e n to ft l l eo b j e c tf u n c t i o na n dt h el i n e a rs e a r c ha r et w o d i f f i c u l tp r o b l e m si nt h ep r o c e s so fs o l v i n gt h ei n v e r s ep r o b l e mb yq u a s i - n e w t o n m e t h o d w ed e a lw t ht h ec a l c u l a t i o no ft h eg r a d i e n to ft h eo b j e c tf i m c f i o nb yu s i n g s e n s i t i v ef u n c t i o nm e t h o da n du s et 1 1 ea r m i j oi n e x a c t1 i n e a rs e a r c hi np l a c eo ft h e i i n e a rs e a r c h k e y w o r d s ：p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，p d em e t h o d ，b l e n d ，f r e e f o r ms u r f a c e s h a p ec o n t r o lp a r a m e t e r 第一部分p d e 曲面造型方法在构造过渡曲面、自由曲面中的应用 第一章引言 随着航空、汽车等现代化工业的发展和计算机的出现，一门新兴的学科c a g d ( c o m p u t e ra i d e dg e o r m e t r i cd e s i g n ，计算机辅助几何设计) 产生和发展起来了。其主 要研究对象是工业产品的几何形状。工业产品的形状大致可分为两类或由这两类组 成：一类是仅由初等解析曲面例如平面、圆柱面、球面等组成；另一类是不能由初等 解析曲面组成，而以复杂方式自由地变化的曲线曲面即自由曲线曲面组成1 2 。 曲线曲面的数学描述是c a g d 中的基本问题。1 9 6 3 年，美国b o e i n g 公司的f e r g u s o n 首先提出了曲线曲面的参数化表示法，从此参数形式成为曲线曲面形状数学描述的 标准形式。1 9 6 4 年m i t 的c o o n s 提出了c o o n s 曲面片理论。1 9 7 1 年法国优秀的工 程师b z i e r 发表了一种由控制多边形定义曲面的方法。1 9 7 2 年d eb l o o r 给出了b 样条的一套标准算法。随后出现的有理b 样条、非均匀有理b 样条方法等都已成为 c a g d 中的主要工具。用上述传统的方法生成的曲面都是用含两个参数的简单多项 式来表示的，它们在工业产品的几何造型应用中取得了可观的效果。 随着c a d 技术应用的日益普及，对几何造型方法也提出了越来越高的要求。基于 b 样条方法的传统的几何造型技术越来越不能满足人们的需要。为了探索c a d c a m 技术中新的更有效的造型方法，2 0 世纪8 0 年代末，英国l e e d s 大学的b l o o r 和w i l s o n 等将p d e 曲面造型方法引入c a g d 领域。他们探索了p d e 方法在构造过渡曲面、 自由曲面及n 边域曲面中的应用。他们用这种方法在船体外形、螺旋桨外形、飞机 外形等设计上取得了一定的进展。1 9 9 2 年至1 9 9 3 年间m i t 完成了用p d e 构造自由 曲面的研究。类似的工作亦在m i c h i g a n 大学进行并已加入i m a g e w a r e 的“s u r f a c e r ” 模块中。国内，北京航空航天大学制造工程系的朱心雄教授等人对p d e 造型方法在 飞机外形设计及其他复杂蓝面的设计中的应用进行过一定程度的研究 7 j 8 】 9 f l o 】。 复旦大学数学所的吴海龙等对将p d e 造型方法用于过渡曲面和自由曲面的构造尤其 是p d e 曲面的b 样条表示进行了一定程度的研究 1 4 】。 总之，由于某些偏微分方程解的光滑性，可以用p d e 方法构造出较传统造型方法 有着更良好光顺性的曲面，而且用p d e 方法构造曲面方法简单，引进的参数少，便 于形状控制，所以p d e 方法在几何造型上有着极为广阔的应用前景。 2 第二章p d e 曲面造型方法的基本原理 b e l t 一个包含未知函数及其偏导数的方程式称为偏微分方程；如果方程式不止 一个，就称为偏微分方程组；偏微分方程( 组) 中的未知函数的最高阶偏导数的阶数 称为偏微分方程( 组) 的阶。 d & 2 设函数f 在区域n 内具有偏微分方程中所出现的各阶连续偏导数，如果将f 代入此偏微分方程后能使它在区域n 内成为恒等式，就称f 为此偏微分方程在区域 n 中的解。f = f ( x l ，x 2 ，x n ) 在n + l 维空间( f , x l ，x 2 ，x n ) 中是一曲面，称为此偏微分 方程的积分曲面( 简称为p d e 曲面) 。 实际应用中，通常是在三维欧几里德空间构造一张曲面。x = c x ( u ，v ) ，y ( u v ) 卢( u ，v ) ) 表示曲面上的点，x = x ( u ，v ) 是参数u 、v 的函数。参数( u ，v ) 可以视作平面区域n 中的点。x 可以视作由f 2 到三维空间r 3 中的映射x ：n r 3 ，当u 、v 为常数时 的曲线就定义了曲面上的坐标系。 p d e 曲面造型方法的基本思想就是：假设所求参数曲面x = ( x ( u ，v ) ，y ( u ，v ) ，z ( u ，v ) ) 满足偏微分方程 三品( x ) = f ( “，口) 其中l 淼表示以u 、v 为自变量的i d 阶偏微分算子，f ( u , v ) 表示以u 、v 为自变 量的向量函数，然后给定一定的边界条件通过解偏微分方程来构造曲面。 偏微分方程主要分为三类：1 ) 双曲型；2 ) 抛物型；3 ) 椭圆型。偏微分方程 需要加上定解条件才能求解，求偏微分方程在定解条件下解的问题称为定解问题。 偏微分的定解问题分为三类：1 ) 初值问题；2 ) 边值问题；3 ) 混合问题。由于构 造曲面只关心边值条件，所以在构造p d e 曲面时采用具有边值条件的椭圆型偏微分 方程。 对偏微分方程的选取没有特殊的限制，但就已公开发表了的文章来看，目前主要 采用的是如下形式的类重调和方程 丽g - + 口2 券) 2 x ( ”) = 0 3 其中( “，”) n 。为了确定曲面x ，必须指定x 及其法向导数鬻沿a q 的值。x 的 边界条件确定了曲面片边界曲线的形状及其参数化过程。筹的边界条件确定了曲 面离开边界曲线的方向和速度。 研究者们通过研究得出结论：上述方程中的偏微分算子表示了一种光滑化过程， 用此方法生成所得曲面是边界曲线之间的光滑过渡。参数a 控制着1 1 、v 两个参数 方向的相对光顺率。 在此基础上，b j o o r 等人探索了该方法在过渡面 勾造、n 边域曲面构造、自由曲 面设计及功能曲面设计中的应用，研究了p d e 曲面的b 样条表示【1 9 2 0 2 1 。与其 他方法相比，p d e 曲面造型方法简单且生成的曲面光顺。b l o o r 等人通过实例探讨 了一些设计参数( 如边界法向导数值、参数a 等) 对p d e 曲面的影响，并指出利用 这些参数可调整曲面的形状。朱心雄、吴海龙等人对这些也作过一定程度的讨论。 假设p d e 曲面为管状的。那么我们可以考虑如下的具有一类周期边界条件的类 重调和方程的边值问题： a 2目2 ( 办+ 2 知) 2 x ( 叩) = o ， n = 地u ) l o u 1 ，o 口 2 ”) _ 周期边界条件为： fx ( o ，口)= g 。( u ) ，x ( 1 ，口)= g l ( v ) x 。( o ，口) = s o ( 1 ， ) ，x 。( 1 ，口) = s l ( v ) ( 1 ) lx ( t ，o )= x ( “，2 r ) 式中x ( u ，”) 为所求曲面，g 。( ”) 和g l ( v ) 为给定的边界曲线，s o ( v ) 和s l ( v ) 为 对应边界曲线处的法向量值，a 为光滑参数。 运用分离变量法，我们可以得到上述方程组的形式解如下： 。 x ( u ，”) = a o ( “) + ( a 。( “) c o s ( n v ) 十b 。( u ) s i n ( m ) ) n = 1 其中 fa 。( 珏) = a o o 十a 0 1 “+ a 0 2 乱2 + a 0 3 u 3 a n ( t 上)= ( a 。l 十a t t 2 u ) e x p ( a n u ) + ( a n 3 十a n 4 u ) e 印( 一口n ) ( 2 ) ib n ( u )= ( b 。l 十b 。2 u ) e x p ( a n u ) + ( b 柏+ a n 4 u ) e 】屯( q n t 上) 具有上述形式的解般称为周期解( 或闭带解) 。通过这种形式的解可知：用p d e 方法生成的曲面由曲面参数的超越函数表示，而不是简单的多项式，因此所得到的 曲面是光滑的。上述形式解具有一定的理论意义。在某些特殊的条件下( 如边界条件 4 仅含有有限项f o u i i e r 级数) ，可以求出形式较为简单的解。对于较为复杂的边界条 件，用上述形式解去计算将会遇到一些困难，此时需要用数值方法求解。 显然，若要用上述方法作为一种设计工具，那么我们就很有必要了解边界条件及 方程中的有关参数是如何影响曲面的几何性质的。边界曲线的选取虽然是任意的， 但却很直观。我们主要来分析一下边界法向量和形状因子a 是如何影响曲面的形状 的。 若边界条件中的g o ( ”) ，g 。( ”) ，s o ( ”) 和s ( ”) 为常向量，那么形式解中将只含有 a o ( u ) ，它表示位于g o ( ”) 和g - ( ”) 之间的一条参数u 的三次多项式，一般称为曲面 的脊线。 对于一般的边界条件，f o u r i e r 系数a 。( u ) 和b 。( “) 通常将不再为零。若边界条件 和边界法向量只含有第一频率项，则解也只含有第一频率项，即解具有如下形式： x ( “，v ) = a o ( u ) + ( a l ( u ) c o s 口+ b i ( u ) s i n ) 此时边界曲线是广义圆锥曲线，两圆锥曲线的中心分别位于a 。( o ) 和a o ( 1 ) 。则 此时的解曲面在两边界曲线之间形成一个光滑的过渡面。由前面的解释可知，a o ( u ) 表示位于a o ( o ) 和a o ( 1 ) 之间的三次多项式脊线。x ( u ，”) 可以看作圆锥曲线在空间 中的扫成面，这些圆锥曲线的中心位于a o ( ”) 。我们知道，圆锥曲线的形状是其在 空间的位置函数，过脊线上任一点的圆锥面可由其法向量( a 1 ( u ) b z ( u ) ) 来定义。 因此曲面上一点的位置向量x ( u ，v ) 可以看作由脊向量a o ( u ) 和一个“半径”向量 ( a 1 ( u ) c o s ”+ b 1 ( u ) s i n ”) 的和，其中脊向量a o ( u ) 确定了瞌面的三次多项式脊线的 位置，“半径”向量( a t ( u ) c o s ”+ b l ( u ) s i n u ) 确定了x ( u ，v ) 相对于脊线的位置。 假定我们进一步修改边界条件，使其含有第二频率项，则解将具有如下形式： 0 x ( “，口) = a o ( u ) + ( a n ( t ) c o s ( 7 ”) ) + b n ( “) s i n ( n v ) ) n = 1 此时向量x ( u ，v ) 可描述为由脊向量a o ( u ) ，主半径向量( a ( “) c o s ”+ b l ( u ) s i n ”) ， 和第二半径向量( a 2 ( u ) c o s2 v + b ：( “) s i n2 v ) 组成。 依此类推，当边界条件中出现更高的频率项时，解的表达式中也出现同样高的频 率项，由此可知，曲面的形状依赖于边界条件。 我们知道，重调和方程 。z ( z ，g ) = ，( 2 ，g ) 5 是有其物理背景的。它反映了平面弹性薄膜在法向压力作用下发生位移时，薄膜位移 和法向压力之间的关系。上式中z 表示位移，自变量x ，y 为笛卡尔坐标，f ( x ，y ) 为 法向压力。利用“x ，y ) 可以直观地改变薄膜的形状。在此基础上，我们不难理解形状 因子a 是如何影响曲面的几何形状的。我们在构造曲面时之所以引进曲面参数u 、 v ，是为了能够构造多值曲面，我们可以通过引进形状因子来对各个坐标分量进行调 整。 6 第三章用p d e 方法构造过渡曲面 在工程设计中，根据某些给定的条件来生成一个曲面是一个基本的任务。在具体 的问题中，这些条件可以是下面三类中的一类或几类f 2 9 1 ： 功能上的限制 实际生产上的限制 美学的角度 我们可以称构造出来的满足既定条件的曲面为过渡曲面，当然这种对过渡曲面的 定义是很粗糙的。数学上，过渡曲面的构造可以视为对如下问题的求解：给定边界为 o n 的有界区域n ，求解在该区域上满足给定边界条件的函数( 曲面) x 。典型的边界 条件是以x 及其偏导数在a n 上的值的形式给出的。给定的偏导数的阶数取决于过 渡面和被连接曲面间连续阶的要求。此外，在某些指定的意义下，对过渡面还可能有 更进一步的要求，如：光滑、不振荡以及与原实体不相交等。 过渡曲面的设计在c a d c a m 中具有重要的地位，其目的是在相关曲面之间生成 光滑的过渡面。r o s s i g n a c 和r e q u i c h a 把过渡面分为四类：由强函数约束支配的过渡 面、艺术过渡面、光顺过渡面和圆钢与圆角过渡面 2 4 。过渡面的设计有许多方法， 如：t i l l e r 提出用有理b 样条来表示曲面 2 5 】，w o o d w a r d 用b 样条及截面线技术 来生成自由曲面等 2 6 1 2 7 。将p d e 方法引入曲面造型领域的思想主要源于几何造 型中过渡面的构造问题。数学上，构造过渡面可以通过求解椭圆偏微分方程的边值 问题来实现。以构造一阶连续的过渡面为例，只要给定边界曲线及其上的法向导向 量，就可构造出一张光滑的过渡面。与其它方法比较，p d e 方法简单易行且生成的 曲面光顺。 用求解椭圆偏微分方程边值问题的方法来构造过渡曲面，具体步骤如下： 1 根据过渡曲面与原曲面之间连接的光滑阶数来确定合适的椭圆型偏微分方程。 例如：若要两曲面之间进行g c l 拼接，可采用四阶椭圆方程 ( 斋+ 嘉) 2 x ( 刚) = 0 ( 万+ 石r x 【“，”) = 7 若要两曲面之间进行g c 2 拼接，可采用六阶椭圆方程 ( 蒜+ 罴) 。x ( 。川：0【丽+ 丽) 。x ( “，”j ： 2 确定所需的过渡线，把过渡线作为过渡曲面的边界，然后根据偏微分方程的阶 数以及原曲面来确定应采用什么样的边界条件以及相应的边界条件值。 例如：对于四阶椭圆型方程，可以采用未知函数在边界线的值和一阶偏导数值 来作为边界条件；而对于六阶椭圆型方程，再加上未知函数在边界线上的二阶 导数值作为边界条件。 3 通过用解析方法或数值方法求解该偏微分方程来产生此过渡曲面。 下面用实例来说明如何通过求解偏微分方程以构造所需的过渡曲面。 构造c c 。连续的过渡曲面 1 半圆间过渡面的构造 虽然b l o o r 和w i l s o n 等人对边界曲线为封闭曲线的情形作过很深入的探讨，但是 实际应用中，有很多情形并非如此。我们不妨先看一种比较简单的模型：假定参数 u 、v 分别为欧几里德空间中的x 、y 坐标，待生成的过渡面以( x , y ) 平面上的高度 z 来表示，即：z = z ( x ，y ) 。我们的目标是想在区域 n = ( ，百) o z 4 ，0 y 4 上求得z ，使其满足如下边值条件 ? 0 ，0 ) = 0 ， z ( z ，0 ) = ( 1 一( z z ( z ，0 ) = ( 1 4 一( z 。( z ，4 ) = ( 1 4 一( z ：( z ，4 ) = ( 9 4 一( 。 4 0 ，) = o ， 4 4 ，y ) = 0 ， 0 岔 1 2 ) 2 ) ， 1 3 7 2 ) 2 ) ，3 b 1 。 函数的边界条件以如下的形式给出， 函数边界值确定如下： jz ( o ，w ) = d 1c o s 口，v ( o ，口) = 6 1s i n 口，z ( o ， ) = 目， 1z ( 1 ，口) = 2c o s u ，y ( 1 ，口) = b 2s i n 口，z ( 1 ，口) = o 。1 ” 1 3 边界导数条件确定如下： 渊三芝c o s 。，凇誉芝s i n 。，箍采0 3 1 ， i 。( 1 ，u ) = s 2口，札( 1 ，口) = 5 2口，气( 1 ， ) = l “j 若对向量函数x ( u ，v ) 的每一个分量均采用四阶椭圆方程，则上述条件都可满足。 然而若对某些分量采用二阶椭圆方程，我们便不得不通过调整某些参数来实现，这 里是通过调整形状因子的值来实现的。 取混合阶方程如下： f ( 器+ a 。器) z ( “，”) = 0 噍：雾渊品 由原曲面的轴对称性可知，所求的过渡面亦是轴对称的。用分离变量法可求得满足 边值条件的上述方程组的解析解形式如下： = ( d 2c o s h a 。u c o s h a 。) c o su y2 ( b 2c o s h a u c o s h a g ) s i n 口 z = ( 8 1 + 3 日) ( u 一1 ) 2 + ( s 1 + 2 日) ( u 1 ) 3 若选择口。、嘶使其分别满足等式：b l = 0 2 c o s h n 。、以= b 2 c o s h a ，则当u = 0 时的边界导数条件便可以满足。但是当u - - 1 时的边界切矢条件却是强加的，即s 。并 非自由参数，。的大小完全由上述解来决定，因此其使用有一定的局限性。图5 便 是用上述方法生成的一个过渡曲面( 这里取n 1 = 2 ，6 l = 1 ，a 2 = 8 ，6 2 = 7 ， 日= 1 0 ，s 1 = 一5 ) ： 1 0 瀛攀 一 ， “ _ ，0 、1t，1，1，1 0 b 6 4 2 0 0 0 5 图 h 第四章用p d e 方法设计自由曲面 自由曲面一个明显的特征便是它对于设计者来说应该是可变化的，而且其变化应 该易于为设计者所控制。也就是说，自由曲面有着极强的可塑性。般说来，自由曲 面多半用于这样的一个领域中，其一端是形状设计，另端是形状表示。自由曲面设 计的一个极端情形是：如设计者坐在终端前完全凭空设计一个概念上的雕塑曲面； 另一个极端情形是：如在c a d 中用来表示一个现存的对象。实际上，经常发生的是 介予以上两个极端之间的一个过程 2 1 。 用偏微分方程设计自由曲面和用偏微分方程构造过渡曲面的基本原理是一样的。 不同的是：构造过渡面时边界条件要求是既定的，设计者只能生成满足既定条件的 曲面j 而设计自由曲面时就没有这些约束条件，设计者可以根据设计的需要通过迸 择合适的边界条件来生成曲面。同传统的用参数多项式来表示自由曲线和自由曲面 的方法相比，用p d e 方法设计自由曲面具有“总体设计，局部修改”的能力：确定 总体边界及跨界导矢，构造整张曲面；确定待修改区域的边界及跨界导矢，进行局部 修改。整个过程可以交替地在终端上进行，直到设计者满意为止。同构造过渡曲面一 样，我们可以在偏微分算子中引进一个参数一形状因子，通过调节形状因子来修改 自由曲面的形状。所有这些都说明用p d e 方法设计自由曲面具有潜在的发展前景， 值得我们迸一步深入探索。 下面我们用实例来说明如何用偏微分方程进行自由曲面设计以及边界条件和形状 因子是如何影响曲面的形状的。 设想在空间中的圆 z 2 士y 2 = r 2 z = 和另一圆 之间构造一个光滑的曲面，则边界线的参数化方程为： z ( o ，q ) = rc o s ，口( o ，u ) = rs 血u ，z ( o ， ) = h 2 ( 1 ， ) = rc o s 口，u ( 1 ，u ) = rs i n ，z ( o ，u ) = 0 1 5 设导数边界条件为 z u ( 0 ， ) = sc o s ， $ 。( 1 ，”) = tc o s ， 批( o ，u ) = 占s i n u ， 弧( 1 ，“) = ts i n ， z u ( o ，u ) = s z 。( 1 ， 】= s b 。t 我们采用如下的四阶椭圆形偏微分方程组： 豁懿稽 易知此曲面是关于z 轴对称的，且是封闭的，故由前所述可知其有如下的解析形式 解： fz ( t ，u )= ( c 1 + c 2 u ) e x p d t + ( c 3 + c 4 t t ) e x p n 钍 c o s u 鲈( 牡， )= 【( c l + c 2 u ) e x p 卢“十( c 3 + c 4 u ) e x p 卢u s m iz ( ，口) = ( 口+ 风。p ) “( 3 h + 2 s t 叩+ “) “2 + ( 2 h + 最印+ s b 。) u 3 其中系数c ，、c 。、c 。、c t 待定，可由边界条件确定。 这里我们仍然用前面介绍的有限单元法( 非协调的矩形元) 来求解，取r = 3 ， r = 2 ，h = 1 0 ，& 。= 一5 ，s b o = 0 ，s = 0 ，t = - 5 ，n = l ，卢= 1 ，所得p d e 1 0 b 6 螯 4 2 0 5 图6 1 6 4 下面我们分别给出边界条件不同、形状控制因子相同和边界条件相同、形状控制 因子不同这两种情况下生成的曲面图形。 1 边界条件对p d e 曲面形状的影响 取r ：3 ，r ：2 ，h = i o ，产。，s = 。，a = 1 ，卢= 1 ，对s 抑、t 取不同的 值可得不同的p d e 曲面( 如图7 所示) 。 1 0 藉 5 0 5 ( s 。= 一5 ，t = 1 0 ) 图7 ( s ，。= 一2 0 ，t = 一2 0 ) 1 0 2 形状控制因子对曲面形状的影响 取r ：3 ，r ：2 ，h ：1 。，s b “：。，s = 。，t = - 5 , r 。p = 一5 ，对、卢取不同 1 7 的值可得不同的p d e 曲面( 如图8 、9 、1 0 所示) 。 o 5 0 5 陋= 4 ，= 4 ) 图 8 ri 留摹 喽醪。主 o o 5 x a x i s 。55 y - a x i $ 陋= 8 ，= 8 ) 图 9 位= 6 ，= 6 ) 1 8 y - a x l s ( d = l o ，声= 1 0 ) 营一 癣萝 1 萱 千 = 0 5 ，= 0 5 ) 图1 0 位= 1 2 ，= 1 2 ) 5 由上述图形的生成过程可知，边界条件和形状控制因- y - x 寸曲面图形形状影响都很 大。但决定图形形状的主要因素还是边界处的切矢条件，形状因子只是在一定的取 值范围内对曲面形状的影响比较明显，因此只能用做局部调整。由上述结果可知，曲 面图形对形状控制因子a 的敏感范围大致为( 1 ，l o 】，当a 1 0 时，曲面中间虽然变得越来越。细”，但变化也很微弱。 小结 这部分主要介绍了偏微分方程曲面造型方法的基本原理，并用若干实例说明了 p d e 方法在构造过渡曲面、自由曲面中的应用。同传统的曲面造型方法相比，p d e 方法构造曲面具有如下特点： 1 构造曲面简单易行，给定曲面的边界及其上的跨界导矢时，便可生成一张光滑 1 9 婶笺一 需搴 的曲面。 2 曲面由其参数的超越函数表示而非简单的多项式，因此所生成的曲面自然光顺。 3 除曲面边界和跨界导矢外，还可以通过在偏微分算子中引进一个物理参数一形 状因子来调整曲面的形状。 正因为用p d e 方法构造曲面有着上述特点，所以p d e 方法在曲面几何造型，功 能曲面设计方面有着很大的潜力。 然而这一部分主要介绍的是偏微分方程曲面造型方法中的正问题，即给定所要构 造曲面的边界条件、跨界导矢和形状控制因子，然后根据给定的条件选择适当的偏 微分方程即可生成我们所需的曲面。然而在实际的瞄面造型过程中，我们并不能获 知如此多的信息，往往只能知道边界曲线的形状并提出边界线处连续阶的要求，并 在此基础上对曲面在功能上和外形美观与否上作一些要求，其他的并不多知。所必 在实际的曲面造型过程中，我们并不是一蹴而就的。由于对决定曲面形状因素的不 确定，为了构造出来我们所期望的曲面，我们不得不交互式地进行：即根据估计任给 一组初始的跨界导矢值和形状控制因子值，生成一个初始曲面，将初始曲面同我们 所要求得到的目标曲面进行比较，然后通过一定的算法计算出一组跨界导矢值和形 状控制因子值，使得将这组参数代入方程所生成的曲面与目标曲面更接近，如此循 环直到达到我们的目标。事实上，上述交互式地设计过程用数学语言来描述便是微 分方程中的反问题。不难看出，从实际应用的角度来看，用偏微分方程曲面造型方法 构造曲面，研究其反问题是很有必要的。因此，我们在第二部分将重点讨论偏微分方 程曲面造型方法中的反问题。 2 0 第二部分p d e 方法曲面造型中的反问题 第一章引言 在数学物理问题中，通常研究的是数理方程的正问题，也就是给定了微分方程及 其解应满足的某些条件，如：初始条件、边值条件或混合初、边值条件，求满足给定 条件的解及研究解的正则性质。 然而，在实际中常常会遇到与求解正问题相反的情况，作为代表某种物理场的微 分方程的解，我们不仅知道它应取的初、边值，而且还可以观测到解( 场) 的某些其 它附加信息。但是反映场源结构的某些物理参数或几何参数却作为未知量或出现在 微分方程的系数中或出现在微分方程的右端部分或出现在初、边值中，要求我们利 用解的附加信息去反求未知参数，这就是数理方程反问题 1 2 。 在数学性质上，数理方程反问题通常是不适定的，对于方程系数这类问题，它的 另一个特点是非线形。不适定和非线形是数理方程反问题求解的难点所在，这对它 的理论研究和数值方法的设计与实现都带来相当大的困难。 数理方程的反问题通常是由微分方程、初始条件、边界条件，即微分方程定解问 题中的三个组成部分再加上一个附加条件构成，写成一般的形式为： 微分方程：l u ( x ，t ) = “x ，t ) z n ，t ( 0 ，) ， 初始条件：i u ( x ，t ) = 妒( z ) z n ，t = 0 边界条件：b u ( x ，t ) = 霍( z ，) e8 n 附加条件：a u ( x ，t ) = k ( x ，t ) zea n 其中u ( x ，t ) 为微分方程的解，“x ，t ) 为右端项，通常称为源，妒( z ) 、皿( z ，) 、 k ( x ，t ) 分别为初始、边界与附加条件。l 、i 、b 、a 分别为微分算子、初始算子、边 2 l 界算子与附加算子。在上述这些量中有某一个为未知的，就是微分方程的反问题，由 此可以对反问题作一分类： 1 ) 当算子l 为未知时，称为算子识别问题，通常是算予l 的结构已知，算子中 的某些参数未知，所以这类反问题常称为参数识别问题。 2 ) 当右端项“x ，t ) 未知时，称为源的反问题。 3 ) 当初始条件妒( z ) 为未知时，附加条件往往是给出系统在某一时刻的状态，所 以也称为逆时间过程的反问题。 4 ) 当边界条件霍( z ，t ) 未知时，工程上称这种反问题为边界控制反问题。 5 ) 如果区域的边界a n 是未知的，则称这类反问题为几何反问题。 我们这里要讨论的是如何用偏微分方程曲面造型方法来交互式地进行曲面设计。 由于用p d e 方法构造曲面采用的是右端项为零的椭圆型偏微分方程，曲面的生成是 通过求解椭圆边值问题来实现的，所以反演影响曲面形状的参数的反问题可归属于 第一类和第四类反问题。 第二章拟牛顿法求解反问题 给定边界以及边界处的切矢条件，我们可以选择适当的偏微分方程来生成曲面， 并且能够在偏微分算子中引进参数一形状因子，通过调节形状因子的值来修改曲面 的形状。然而在实际应用中，我们通常只能确定边界曲线的形状和提出边界线处连 续阶的要求，或在此基础上对曲面在功能上和外形美观与否上作一些要求，其他的 都一无所知。 设想我们试图开发这样的一个交互式的曲面设计系统，当然对用户的数学要求不 能太高，我们的用户只需选择曲面边界线的形状和边界线处的连续阶，计算机便能生 成一个曲面，若用户对生成的曲面形状不满意，他能够通过鼠标在显示器上允许的 范围内确定几个空间点希望生成的益面能够经过这些点或最大程度的靠近这些点， 系统接受这些数据信息后便能自动生成一个拟合曲面作为反馈，如此交替的进行， 直至用户满意为止。 当然这里有一个前提，那就是我们的曲面设计系统采用的是偏微分方程曲面造型 方法。由前面几章的讨论我们知道这些信息：用p d e 方法构造曲面，一旦边界线的 形状已经确定，影响曲面形状的因素主要是边界导向量，其次形状控制因子也对其 有着一定程度的影响。因此上述应用系统的开发实际上是向我们提出了这样的一个 数学问题：给定边界条件和边界处连续阶的要求，在空间允许的区域内选取几个测 量点作为控制点，根据这些已知信息我们的系统应能做出决策选择哪种类型的偏微 分方程并能确定最优的边界导向量和形状因子值。 下面我们将针对用p d e 方法构造曲面中几种常见的的模型来提出其相应的反问 题并分别给出它的拟牛顿解法。 一、曲面为管状曲面且是轴对称的 考虑如下正问题，我们希望设计出一个外形美观的光滑玻璃杯，杯的上底为半径 为r 的圆、下底为半径为r 的圆，高度为h ，侧面与下底面相切，并且垂直离开上 底面。 根据问题的要求，我们可以采用如下的四阶椭圆型方程组 ( 黑o u + a 2 象肛牡。 其中x ( u ，v ) = ( x ( u ，v ) ，y ( u ，v ) ，z ( u ，v ) ) 为向量函数，a = ( n 。，a ：) 为三维向量。边界条 件为： 。( o ，v ) = rc o s 口，( o ，口) = rs i n ，z ( o ，v ) = 口 。( 1 ， ) = rc o s 口，y ( 1 ，口) = rc o s ，；( 1 ， ) = 0 边界导向量条件为： 2 。( o ，口) = 0 ，弛( o ， ) = 0 ，气( o ， ) = s z 。( 1 ，口) = tc o s 口，y u ( 1 ， ) = ts i n ”，气( 1 ， ) = 0 由前面讨论可知，方程组有如下形式的解析解 z ( ，u ) = ( c 芋+ c 耋钍) e x p ( a 。) + ( c 考+ c 耄“) e x p ( 一a 。u ) c o $ ” g ( u ， ) = ( c + c ；“) e x p ( a v “) + ( c ；+ c ：“) e x p ( - q ”“) js i n z ( “， ) = ( s + 3 h ) ( u 1 ) 2 + ( 2 h + s ) “3 注意到方程组的解中z ( u ，v ) = z ( u ) 是独立于变量v 的，这同曲面是关于z 轴对称的相 吻合，因此参数n ：的取值对曲面的形状没有任何影响。显然给定r 、r 、s 、t 、 n 。、的值，便可得到一个曲面。修改其中的参数便可得到形状不同的曲面。如图 1 1 给出了一些不同参数值时的图形： 1 垃 甲 r s = 一2 0 ，r = 一2 0 ，口，= 6 ，口，= 6 ) ( s ：一5 ，r = i 0 ，口r = 3 , a y = 3 ) 图 1 1 2 4 s 2 1 对形状控制因子的反演 2 1 i 反演问题的数学模型 这类问题的反问题可以如此提出：已知曲面边界线的参数方程为 。( o ，u ) = rc o s 口，v ( o ，口) = rs i n 口，z ( o ，口) = 日 z ( 1 ，口) = rc o s 口，v ( 1 ，u ) = r5 i i l 口，z ( 1 ，口) = 0 曲面所满足的边界切矢条件如下 。( o ，口) = 0 ，札( o ，u ) = 0 ，( o ， ) = s z 。( 1 ，口) = tc o s v ，札( 1 ，”) = ts i n ，z “( 1 ，t ，) = 0 构造曲面所采用的方程为如下形式 ( 杀埘争脚，归。 其中r 、r 、h 、s 、t 为已知数值，现有一组测量数据为空间点的坐标 “z ，印，虿) ) 艇1 ，记口= ( e l ，目2 ) 7 = ( a 。，) 7 ，求口，使得当口= 旷时 j ( o + ) = 画n j ( o ) 其中目标函数，( 8 ) = 苣( 喉一嵋) 2 ，憎5 ( 2 7 ) 2 + ( 孵) 2 十( 零) 2 ， r l = 、厄鬲巧弋函五= _ 雨，。；，城，z 是将a 。、n ，代入方程中求解所得基于 目标函数中度量标准所需的值。 如此一来，曲面的构造问题便转化为数学中的优化问题。优化问题的求解方法有 多种，通过比较这里我们采用拟牛顿法来反演曲面造型中的曲面拟台问题。 2 、1 ，2拟牛顿方法及目标函数梯度的计算 拟牛顿法是利用了目标函数v ( o ) 的二阶偏导数的信息( h e s s e 矩阵h ) ，但不直 接计算h ，而是用b f g s 或d f p 等迭代公式来逼近h ，其算法如下： ( a ) 初始化：k ：= 0 ，目= 口o ，凰= i ，计算j ( 8 ) ，v ，( 口) ( b ) 搜索方向的计算：计算搜索方向向量驴：= 一日f l v j ( 8 ) 。 ( c ) 利用a r m i j o 规则 4 】确定步长沁，使得j ( o ) j ( 驴+ 1 ) ，其中口+ 1 = 8 + a 驴。 2 5 ( d ) 验证给定的停止法则：结束或至( e ) 。 ( e ) 矩阵胪的更新：取k ：= k + 1 ，计算j ( e ) ，v j ( e ) ，并利用b f g s 公式计算 m ，转至( b ) b 。 易知上述计算中每一步迭代都需要计算目标函数值j 及其梯度v ，梯度的计算 最常用的方法是使用差分法，但使用差分法有着明显的缺点：( i ) 计算量大；( 2 ) 微 扰量a 0 较难确定，而且误差也比较大。这里我们使用灵敏函数法 1 3 】，即首先计算 所谓的灵敏函数舞、象，然后对目标函数求偏导： 菇= 耋c 唯一剐罄鬻+ 鬟篝， 由于我们在用数值解法求解正问题生成积分曲面时引进了参数曲面的概念，所以对于 每一组给定的参数p ，我们实际上进行了如下的工作：首先，对参数区域n = 1 。所以我们有这样的结论，如果 s ( 女) ) 2 ：，中只 有一个等于1 ，则我们认为控制点在曲面上的投影落在该三角形内；如果有两个