（应用数学专业论文）二阶差分方程系统的振动性及相关问题.pdf

博士学位论文 摘要 本篇博士学位论文主要应用黎卡提变换和不等式技巧研究二阶差分方程( 系 统) 的振动性及相关问题，全文由如下九部分组成 第一章简述了问题产生的历史背景及其研究意义二阶( 半) 线性差分方程的 定性理论问题一直受到广大学者和专家的关注，尤其振动性问题更是吸引着国内 外许多著名学者的注意力本章我们首先对二阶( 半) 线性差分方程的研究现状 进行了回顾，同时归纳总结关于研究二阶( 半) 线性差分方程振动性几种方法然 后，对本文的主要工作做简要介绍 第二章采用黎卡提变换研究了二阶线性差分方程在不满足一些特定条件时解 的振动性，并且得到了一系列新的结果 第三章利用s c h a u d e r 不动点定理建立了一类二阶差分系统存在某种渐近行 为的非振动解的充分必要条件 第四章考虑了一类二阶差分系统得到了系统解振动的一些充分必要条件， 改进了现有的一些结论 第五章讨论了一类二阶差分系统解的振动性问题，它是第二章结果的深化与 推广 第六章建立了一类半线性差分方程解的振动性的若干充分条件它是从另一 方面推广了第二章的结论 第七、八章进一步推广了第六章的结论，解决了一些猜想问题 最后，在第九章中介绍了我们的结论在一阶差分方程振动理论中的应用本 博士学位论文主要是研究二阶差分方程( 系统) 的振动性及相关问题，所得结论将 对差分方程定性理论的发展与完善起到一定的作用 关键词：二阶( 半) 线性差分方程；二阶线性差分系统；黎卡提变换；振动性；非 振动性；正解 n 二阶差分方程( 系统) 的振动性及相关问题 a b s t r a c t t h i sd o c t o r a ld i s s e r t a t i o nm a i n l yd e a l sw i t ht h eo s c i l l a t i o na n dr e l a t e dp r o b - l e m so ft h es e c o n do r d e rl i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n s ( s y s t e m s ) m a i n l yu s i n gr i c c a t i t r a n s f o r m a t i o n sa n di n e q u a l i t yt e c h n i q u e s t h i st h e s i si sm a d eu pb yn i n es e c t i o n s c h a p t e r1c o n c e n t r a t e so nt h eb r i e fi n t r o d u c t i o no ft h eh i s t o r i cb a c k g r o u n d a n ds i g n i f i c a n c ef o ra l lt h ei n v e s t i g a t e dp r o b l e m s t h eq u a l i t a t i v et h e o r yo fs e e - o n do r d e rl i n e a r ( s e m i l i n e a r ) d i f f e r e n c ee q u a t i o n si sa ni s s u et h a th a sb e e np a i d c l o s ea t t e n t i o nt oa th o m ea n da b r o a da c a d e m i cc k c l e sa l la l o n g ，e s p e c i a l l yi t s o s c i l l a t o r yp r o b l e m i nt h i ss e c t i o n ，t h er e s e a r c hs t a t u so fs e c o n d o r d e rl i n e a r ( s e m i l i n e a r ) d i f f e r e n c ee q u a t i o n si sr e v i e w e da n dt h ec l a s s i f i c a t i o na n ds u m m a r y o fs e v e r a lm e t h o d sf o rs t u d y i n gt h eo s c i l l a t i o no fd i f f e r e n c ee q u a t i o n sa r eg i v e n f i n a l l y , t h em a i nw o r ki nt h i sd i s s e r t a t i o na r eb r i e f l yi n t r o d u c e d i nc h a p t e r2 ，t h er e a s c ho ft h eo s c i l l a t i o no ft h es e c o n do r d e rl i n e a rd i f f e r e n c e e q u a t i o nw h i c hd o e sn o ts a t i s f ys o m es p e c i f i cc o n d i t i o n si sp r e s e n t e d ，a n da s e r i e s o fn e wr e s u l t sa r eo b t a i n e d i nc h a p t e r3 ，b yu s i n gt h ef i x e d - p o i n ts c h a u d e rt h e o r e m ，s o m en e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o re x i s t e n c eo fn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n sw i t hs o m ea s y m p t o t i c b e h a v i o r sf o rac l a s so fs e c o n eo r d e rd i f f e r e n c es y s t e m sa r ed e r i v e d ac l a s so fs e c o n eo r d e rd i f f e r e n c es y s t e m sa r ec o n s i d e r e di nt h ef o u r t hc h a p - t e r ，s o m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw h i c hh a v ei m p r o v e ds o m ek n o w n c o n c l u s i o n 8a r eo b t a i n e df o rt h es o l u t i o n so ft h es y s t e m st ob eo s c i l l a t o r y t h eo s c i l l a t i o np r o b l e mf o rt h es o h i t i o n so fac l a s so fs e c o n eo r d e rd i f f e r e n c e s y s t e m si sd i s c u s s e di nt h ef i f t hc h a p t e r a n dt h ec o n c l u s i o ni 8d r a w nf r o mt h e r e s u l t si nt h es e c o n dc h a p t e r ，w h i c ha l ed e - v e l o p e di nt h i ss e c t i o n s e v e r a ls u 伍c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eo s c i l l a t i o no ft h es o l u t i o n so fac l a s so f s e m i l i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n sa r ee s t a b l i s h e di nt h es i x t hc h a p t e r ，w h i c hi sa e x t e n s i o no ft h er e s u l t so ft h es e c o n dc h a p t e ro nt h eo t h e ra s p e c t s o m ec o n j e c t u r ep r o b l e m sa r er e s o l v e di nt h es e v e n t ha n de i g h t hc h a p t e r ， w h i c ha r et h ef u r t h e rr e s e a c ho ft h es e c o n dc h a p t e r f i n a l l y , i nt h en i n t hc h a p t e r ，t h e r ea r es o m ee x a m p l e st oi h n s t r a t et h ea p - p l i c a t i o no ft h ec o n c l u s i o n so b t a i n e di nt h eo s c i l l a t i o no ft h ef i r s to r d e rd i f f e r e n c e e q u a t i o n t h er e s u l t sg i v e ni nt h i sd o c t o r a ld i s s e r t a t i o np l a yac e r t a i nf u n c t i o nf o r t h ed e v e l o p m e n ta n dp e r f e c t i o no ft h eq u a l i t a t i v et h e o r yo ft h ed i f f e r e n c ee q u a t i o n h 1 博士学位论文 k e yw o r d s ：t h es e c o n do r d e rl i n e a r ( s e m i l i n e a r ) d i f f e r e n c ee q u a t i o n ；t h es e c o n d o r d e rl i n e a rd i f f e r e n c es y s t e m ；p d c c a t it r a n s f o r m a t i o n ；o s c i l l a t i o n ；n o n - o s c i l l a t i o n ； p o s i t i v es o l u t i o n 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获 得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料与我共同工作的 同志对本研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说明 作者签名： 关于学位论文使用授权说明 日 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的 全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文；学校 可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密口 作者签 导师签 应方框内打“，) 日期：莎1 年y 月矽日 醐3 夕啪7 日|1 博士学位论文 第1 章绪论 1 1 问题的产生与意义 离散与连续是现实世界中物质运动对立统一的两个方面离散数学与连续数 学是描述、刻划和表达现实世界物质运动的两种有力的工具描述离散时间系统 的差分方程已成为一个重要且有用的离散数学模型早在公元前2 0 0 0 年巴比伦人 就开始用递归数列求根值，大约公元前4 5 0 年，毕达哥拉斯人开始用差分方程组 来生成p e l l 方程的解，在1 5 6 0 - 1 6 2 1 年间，s i rt h o m a sh a r r i e t 发明差分演算1 8 世纪初期差分方程理论得到了较大发展( 1 1 到十九世纪4 0 年代，差分方程的系 统理论已开始形成，见文献【2 1 差分方程已经成为计算机科学、信息系统、生态 平衡、工程控制和经济管理科学的重要理论基础之一随着科学技术，特别是计 算机科学的突飞猛进，以及医学，生物数学、化学科学、现代物理、现代生命科学 等自然科学和边缘科学的进一步发展和相互渗透，也提出了许多由差分方程所描 述的数学模型因此，自二十世纪七十年代以来，差分方程一直是一个活跃的研 究领域，其系统理论不断地得到发展与完善特别是在过去十年中，差分方程理 论的研究得到了长足的发展，研究内容已涉及到稳定性、振动性、吸引性、边值 问题、周期解等方面，许多学者，如a g a r w a l ，g y o r y , p e r t e r s o n ，d o s l y , e l b e r t 以 及陈绍著、张炳根、庾建设、唐先华教授等在此领域均作出了贡献 考虑二阶线性微分方程 ( r ( t ) ( 亡) ) ) + p ( t ) x ( t ) = 0 ， ( 1 1 ) 这里7 ( t ) ，p ( t ) 是定义在r 上的实值连续函数它是数学与物理科学中经常遇到 的类微分方程一般来说，这类方程是不能将其解显式地表达出来的因此完 全有必要从定性的角度去研究它自s t u r m 3 】于1 8 3 6 年建立方程( 1 1 ) 解的重点 分布的比较理论和分离理论后，许多文献研究了方程( 1 1 ) 解的振动性，参见【4 9 】根据s t u r m 分离定理，( 1 1 ) 的解要么都振动，要么都不振动方程( 1 1 ) 的 离散形式是差分方程 ( ) + p n x n + l = 0 ，佗= 0 ，1 ，2 ，( 1 2 ) 这里和陬是实值序列且0 研究表明：( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的许多定性性质是 十分相似的，关于( 1 2 ) 的振动性研究的第一部专著是【2 1 ，研究( 1 2 ) 的振动性及 相关主题的其他专著和论文可参阅【1 0 2 2 1 自1 9 7 6 年以来，文献【2 3 1 ， 2 4 1 表 明，二阶半线性微分方程 ( r ( t ) 1 秒7 l 口一1 s g n y ) + p ( t ) f 可i 口一1 s g n y = o ， ( 1 3 ) 二阶差分方程( 系统) 的振动性及相关问题 与( 1 1 ) 具有十分相似的定性性质，这里r ( t ) 0 ，口 1 关于( 1 1 ) 的振动性方 面的许多结论可以推广到( 1 3 ) 上，参见【2 5 3 6 】。由于( 1 1 ) 与( 1 2 ) 及( 1 1 ) 与 ( 1 3 ) 的定性性质的相似性，关于( 1 3 ) 的离散形式 h l 鼽l 口_ 1 s g n a y n ) 4 - 陬 鲰+ i i a - 1 s g n y , , + 1 = 0 ( 1 4 ) 的定性理论被广泛研究，这里h 和是实值序列且口 1 比如，2 0 世纪末关 于方程 h ( 鲰) 一) + ( + 1 ) 矿= 0( 1 5 ) 的正解的存在性及比较定理被研究，这里 0 ，p n 0 ，口是两个正奇数之商， 参见 3 7 4 1 ，其它关于( 1 4 ) 的振动性研究及相关主题请参阅 4 2 4 7 】关于 ( 1 4 ) 的振动性( ( 1 2 ) 是( 1 4 ) 的特殊情形) 研究主要有以下几种方法： 1 r i c c a t i 技巧假设( 1 4 ) 是非振动的，因而存在一个解满足锹q - 峨 0 使 r 伽七十p 奄十伽知l 1 一研而k 碉) 2 o ； ( 1 6 ) 反之若存在个序列犰满足- - 姚 0 使( 1 6 ) 成立，则( 1 4 ) 是非振动的 2 。变分原理方程( 1 4 ) 非振动的充分必要条件是：存在m n ，使f ( ，m ，o 。) = 墨m k i a & i a m l + 1 1 。1 0 对每个非平凡序列u ( m ) 成立这里 u ( m ) = 引：【m ，n + 2 j r ，锄= 厶+ 1 = o ，清楚地，要证明( 1 4 ) 是振动的， 只需对任何m n 找个序列u ( m ) ，使f ( ，m ，o o ) 0 就行了 3 相互原理 设飞 0 ，p k 0 ，记 u k = r k 圣( a y k ) ，如果y 是( 1 4 ) 的个 解，则t l 七满足方程 碱一p 圣口( t 上七) - - + l 垂卢( 钧卧1 ) = 0 ，( 1 7 ) 这里嘞( z ) = 川p _ 2 z ，p 是口的共轭数( 盖14 - 丢= 1 ) 反之，如果u 七是( 1 7 ) 的 解，则弧是( 1 4 ) 的一个解，于是( 1 4 ) 振动的充分必要条件为( 1 7 ) 振动 4 应用与微分方程( 1 1 ) 或( 1 3 ) 对应的“主解”概念，引进。r e c e s s i v es o l u t i o n 概念等方法 如前所述，近3 0 年来，人们运用各种不同方法研究了二阶( 半) 线性差分方 程的振动性，取得了令人满意的结果然而由于差分运算中缺乏与微分运算中对 应的工具和手段( 如微分运算中的链法则及变换方法) ，要建立关于差分方程的振 动性的一些更精细结果显得十分困难尽管利用r i c c a t i 技巧和变分原理对二阶 ( 半) 线性差分方程存在非振动解的充分条件解决得比较完美，但要利用他们得到 振动性方面的精细的结果却是比较困难的，其它方法也无用武之地；另外对应于 4 s l 、f 4 9 】等一系列文献在振动性方面的更精细的离散结果没有被建立；【4 7 1 中 一2 一 博士学位论文 提出的一些猜想也没有解决；文【5 0 】中建立振动性结果仅对r ( t ) 三1 时的情形进 行了探讨( 而r ( t ) 1 时建立振动性结果时要复杂得多) ；二阶时滞线性差分方程 一切解振动与滞量之间的关系，仅有很少文献如f 5 1 ，5 2 ，尚需进一步研究探索 象二阶( 半) 线性微分方程的振动理论能够在偏微分方程理论中找到其应用一样， 二阶( 半) 线性差分方程的振动性理论也有着广泛的应用背景和前景，对它的研究 具有很强的理论意义与现实意义，并将极大地促进和丰富差分方程的定性理论 1 2 本文的主要工作 本文的主要目的是利用r i c c a t i 变换和不等式技巧来研究二阶( 半) 线性差分 方程的振动性问题，利用s c h a u d e r 不动点定理，建立一些二阶差分系统存在具有 某种渐近行为的非振动解的充分必要条件，得到了二阶( 半) 线性差分方程的振动 性方面的精细的结果本文中我们用n ，z ，r 分别表示自然数集、整数集、实数 集，d 表示空集是向前差分算子，定义a x n = x n + l 一，2 = a ( a z n ) ， 扎z 方程的个解 ) 称为振动的，指的是序列 z n ) 的每一项既不最终为 正，也不最终为负，否则称为非振动的 在第二章，我们利用 以及 p 。( q ) = h m i n f t l ( q ) ，p 。( 口) = l i m s u p u n ( a ) ， n _ o 。 n _ o o 考虑了二阶线性差分方程 口= 蚴f 元1 七2 p 知 ”_ + r l o k = l a 2 z 。一l + = 0 ，扎= 0 ，l ，2 ， ( 1 8 ) 的振动性问题，得到了二阶线性差分方程的振动性方面的精细的结果， 【5 3 】的一些结果的离散模拟 在第三章中，我们利用s c h a u d e r 不动点定理来考虑二阶差分系统 ：涮h 一3 一 它是文献 ( 1 9 ) l 0 ，u 0 f ( n ，u ) ：n ( n o ) r _ r 关于u 连续， t r ；u f ( n ，“) 0 对竹n ( n o ) ，让0 成立 第四章讨论如t - 阶非线性差分系统 缸沪岫) ( 1 1 0 ) l 一l = - a n f ( x n ) ， 其中竹n ( n o ) = n o ，n o + 1 ，) ，( 珏) ，g ( u ) 是r 上连续的实值函数并具有以 下符号特征 u f ( u ) 0及u g ( u ) 0 ，对所有钍0 我们建立了系统( 1 1 0 ) 振动的充分必要条件，改进 5 4 】的结果并将h o o k e r 和 p a t u l a 的一些结果推广到系统( 1 1 0 ) 上去并在条件高以 ，协 ， 锄) 是实序 列加0 ，0 在第六章中，我们从另一个方向对第二章的问题进行推广，考察了二阶半线 性差分方程 h ( h z 一1 ) o + p 。x n “= 0 ，n = 0 ，1 ，2 ，( 1 1 2 ) 的振动性问题这里 陬) 是一个非负实数序列，n 0 是正奇数之商 第七、八章中，我们进一步推广了第六章的结论，研究了二阶半线性差分方 程 ( i 1 8 2 ) + 孙l + 1 i 口吨z n + l = 0 ， n = 0 ，1 ，2 ( 1 1 3 ) 的振动性问题，解决了文【4 7 】中的几个猜想这里 ) 是正的序列，协) 是非 负实数序列，口 1 最后，在第九章中介绍了我们的结论在一阶差分方程振动理论中的应用本 博士学位论文主要是研究二阶差分方程( 系统) 的振动性及相关问题，所得的结果 将对差分方程定性理论的发展与完善起到一定的作用 博士学位论文 第2 章二阶线性差分方程的振动性 2 1 引言 考虑二阶线性差分方程 2 一l + p n x n = 0 ，n = 0 ，1 ，2 ， ( 2 1 ) 这里是向前的差分算子，= x n + l 一， ) 为非负实数序列 方程( 2 1 ) 的振动与非振动行为已被些作者研究过，比如文献【1 0 ，1 5 ，1 8 ，5 6 ，5 7 】 在文献【5 6 】中，作者证明了如下定理t 定理a ( f 5 6 】) 如果 l i n r a i n fn p k ：1 t 1 ， ( 2 2 ) ，l + o 七= = n + l 则方程( 2 1 ) 的每个解是振动的 利用黎卡提技巧，我们不难得到 定理b ( 见第3 节定理3 1 ) 如果 _ n 1 l i m i n f = 1f 七 去， ( 2 3 ) n _ n ，o 一 4 则方程( 2 1 ) 的每个解是振动的 但是如果( 2 2 ) 和( 2 3 ) 不成立，那么方程( 2 1 ) 的振动性如何呢? 这就是本 章所讨论的问题 容易证明如果存在a 1 使得 f 七印沪o o ， ( 2 4 ) k = l 则方程( 2 1 ) 的每个解是振动的因此，我们总可以假定 k 1 p k ， q 1 ( 2 5 ) k = l 为方便起见，在本节中，我们使用下列记号： ( q ) = n l _ 口k 1 p k a 1 ， k - - - - - n + 1 a ( q ) = l i mi n f ( q ) ，矿( q ) = l i r as u p ) ， n q = l i m _ _ i n f1 _ k 2 p k - 一 一5 一 二阶差分方程( 系统) 的振动性及相关问题 2 2 一些引理 引理2 1 假设a o ，1 ) ，则有 旦矿一， 一1 一n 。 7 砦 知塾吨 篙 证明由中值定理，存在缸( k ，k + 1 ) ，玑( k 一1 ，k ) 使得 由( 2 8 ) 、( 2 9 ) ，可得 现定义 譬= 譬竿， 一：= 一、一 妒后口 一 七口 a ( k 下- - 1 ) 1 - a = 砺口击1 一a 一 尼u 妻警 k = n + l r ( t ) = ( k 一1 ) 1 一口+ 一k + 1 ) ( 七一1 ) 1 一口 k 一1 tsk 容易推出 ，( t ) = ( 屉一1 ) 1 一口，( k 一1 ) 1 一口r ( t ) k 1 8 ，k 一1 t k ， 这样我们有 1 a ( k - - f 1 ) 1 - * = 。仁噤k 出 一：= ： l 一，：7 舻_ 2 0 一l 2 2 口 一一 再考虑到( 2 1 0 ) 成立，因此 又 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) e 。器出= d 岳一击 上n 。i c o 三。两1 0 ，故 t + l ，n n o ， 且 堕讫i，k ( 一1 ) 七 ” + 砩+ l + 陬0 ，n n 1 在( 2 2 5 ) 两边同时乘以舻，并从n 1 到佗求和，可得 尼s 一 七= n l 于是 n w n + l 札 = 0 ，且k w k + l ( 2 一k w k + 1 ) 1 ， r 1 9 ( 0 ) ，且冗1 一g ( 2 2 6 ) 容易看到对任何v c ：0 砌时，有 与 7 一 q 一 一8 一 吼 眦桔 竹慨 1 一死 一 慨 博士学位论文 联立( 2 2 4 ) 和( 2 2 6 ) ，当n n , 2 时，有 礼+ 1 n ( o ) 一e + ( r f ) 2 ， n w n + l 0 对佗n o 成立令r = l i m s u p n w n + 1 由引理2 2 ，得到 口r r 2 一 南q 1 l + v 佰- - 4 q ) ，( 2 2 8 ) 则方程( 2 1 ) 的每个解是振动的 证明反设定理结论不成立假设 ) 是方程( 2 1 ) 的个非振动解且一1 0 对他n o 成立由引理2 2 ，得到 与 这里 + 2 + l + 陬0 ，他n o ，( 2 2 9 ) q r 一评， = 一l 一1 ，冗= l i ms u pn w n + 1 n - - - 0 0 9 一 ( 2 3 0 ) 二阶差分方程( 系统) 的振动性及相关问题 ( 2 3 0 ) 式意味着 r m = 壶( 1 十万面) 在( 2 2 9 ) 两边同乘以n a ，并从佗4 - 1 到求和，得到 进而有 k a p k 一胪a w k 一胪叫备t k = n + lk = n + lk = n + l = ( n 4 - 1 ) 。+ l + 桃+ l a k 口一妒嚷l k = n + l k = n + l 却+ 1 ) + 互1 。妻警 一( k 塞w k + l 一吉忌一考七。) 2 k=n+l。 坚掣， 。( 口) 瓮+ 三( 万再丽+ 万巧) ， 则方程( 2 1 ) 的每个解是振动的 一1 0 一 ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 博士学位论文 证明反设定理结论不成立假设 ) 是方程( 2 1 ) 的个非振动解且一1 0 对n n o 成立由引理2 2 ，得到 和 + 2 + l + 0n n o p 。( 0 ) r r 2a n d 口r r 2 ， 这里 r = l i r a i n f n w n + a ，r = l i m s u p n w n + 1 ( 2 3 6 ) 意味着 7 m = 去( 1 一1 - 4 p ( 0 ) ) ， r m = 去( 1 - i - v 伍- 4 q ) 由( 2 3 3 ) 和( 2 3 7 ) ，得到 仇 i 因此对任意e ：0 n o 使得 m - - e n ( 等) 口n1t3n+l q 凫口一1 ， ( 等) 口时矿口 由( 2 3 9 ) ，( 2 4 3 ) 和引理2 1 ，得到 n l n k - - - - n + l k = n + l ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) ( 2 4 0 ) ( 2 4 1 ) 酽伽“( 2 4 2 ) k = n - - 1 忌。一2 k w k + 1 ( a k w k + 1 ) 】 m + + ( m e ) ( d m + e ) n 1 一口 5 _ 、七口- 2 j 【一 七= n + 1 札 上一q 一1 l 一 ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) 二阶差分方程( 系统) 的振动性及相关问题 再考虑到( 2 3 7 ) 和( 2 3 8 ) ，我们有 矿妇)m + 鼍竺型 上一a 罄+ 互1 1 4 p ( o ) + v i - 4 9 ) ， 与( 2 3 4 ) 矛盾证毕 推论2 2 设0 p ( o ) + 去( 万j 丽+ 面) ， ( 2 4 5 ) 则方程( 2 1 ) 的每一个解是振动的 2 4 例子 例2 1 考虑差分方程 2 z 拜一l + 风= 0 ， = 0 ，1 ，2 ， 这里 = 唧n = 8 k 2 一 对8 m 一1 0 成立 差分系统( 3 1 ) 是差分系统 ：兰 2 ， 的自然推广，其中佗n ( n o ) = n o ，n o + 1 ， 同时我们注意到下歹! j - - 阶差分方 程 a ( a n 一1 a x n 一1 ) + p n f ( x n ) = 0 ，( 3 3 ) a 2 z n 一1 + p n x n l a s g l l t 。= 0( 3 4 ) a ( a n 一1 ( a x = 一1 ) 。) + p , j ( x n ) = 0 ( 3 5 ) 都能够表示成( 3 2 ) 的形式关于方程( 3 3 ) 一( 3 5 ) 的振动与非振动性，可参考文 献【1 0 ，6 0 ，6 1 ，6 4 】近年来关于系统( 3 2 ) 的研究工作很多，但是大部分工作都局限 于f ( n ，y ) = k ，( 鲰) ，比如【5 4 ，5 9 ，6 2 ，6 3 ，6 5 】g r a e f 5 4 获得了一些振动性结果， l i 6 5 获得了系统( 3 2 ) 存在非振动解的一些充分必要条件，对于，( n ，y ) 中船和 可不分离的一般情形知之甚少直到现在，已知的结果甚至不能去决定系统 长：兰竺矗 的振动与非振动行为，其中竹n = 1 ，2 ，) 个问题自然被提出：是否可以 建立系统( 3 1 ) 的所有解振动的充分必要条件? 回答是肯定的 博士学位论文 3 2 非振动性结论 在本节，我们将推广【6 5 】中的一些结果到系统( 3 1 ) 上去这些结果将在下 一节用到，为此，我们需要对f ( t ，y ) 和夕( z ) 附加额外的条件 ( c 1 ) 夕( z ) 是不减的 ( c 2 ) 对任何正常数z 和厶z 0 成立 对系统( 3 1 ) 的第二式两边从7 l + 1 到o o 求和，注意到l i r ay n = 0 ，得 1 1 , - - * 0 0 n 一 n 、乃 n，j 一 = 鼽 二阶差分方程( 系统) 的振动性及相关问题 对系统( 3 1 ) 的第一式求和，得 o o t $ l i i i l - - - - * o o 一。= 夕( ) 7 , o 。 2 三咖( r 莓。八) ) ， 、 2 。n 9l f ( r ，f ) ) ， j = 馆l s + l 这意味着( 3 6 ) 对d = h ，c = z 成立 充分性假定( 3 6 ) 对某一c 0 和所有d 0 成立我们可以假定c 0 由 ( c 2 ) ，存在常数h 0 使lsz n c 意味着 选择n o n ( n 0 ) 充分大使 ，( 礼，x n ) sh f ( n ，c ) o o、 n 。9 ( 日，( r ，c ) ) 三 ( 3 8 ) a = ir = 8 + l 一 考虑所有有界序列z = ，组成的巴拿赫空间圣并赋予范数忙0 = s u pf i ， n n ( t l o ) 定义圣中的凸闭子集x 为 y = z 圣，兰c n 甄 ， 定义算子t ：x _ x 为 i t s n = c 一薹。9 ( ，- - - - 壹e + 。，p ，z ，) ，礼脯 8 = ，iri， ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 容易证验( i ) t 是x 到自身的算子( i i ) t 是连续的( i i i ) t ( x ) 是预紧 的事实上，若z x ，则 c ，n 一一薹n 。9c 薹，m ，) )8 = = t i 、r = 8 + i， o o ， 、 c 一夕( h 讹c ) 掌= = ：nr ：8 + l 博士学位论文 下面，我们证明t 是连续的设z ( 七) x 使得l i m 忪( 詹i i = 0 ，因为x 是闭的， n 则对比x ，有 l ( 乳七) 一( 死) n l = o 。g 粤= = n 0 5 ( 耋。m 州一塾f ，r 妻l - , + 1m 川、r = 。+ l。= n 夕( r - - - - 妻$ + 。，c r ，z 妒，) 一g ( ，壹- - - - s - b 。，c n 孙，) 由g 和，的连续性以及l e b e s g u e 控制收敛定理，有 这说明 l i r an s u o p ( t x 的) 。一( 死) ni = o ， 七l i mi i ( t z 砷) 一( 死) i i = 0 最后，我们证明t x 是预紧的设z x ，m ，竹n o ，对m 佗，得 ( t x ) m 一( 死) n i 竹l 一1 摹= ：他 o o 。夕( ，( ，= 8 + 1 o o 伽lh r = s + l 7 ，) i f ( r ，c ) l 因此，由s c h a u d e r - t ) r c h o n o f f 不动点定理，存在序列z = ) x 使得z = 死， 即 令 那么 另一方面 故 证毕 0 0 = c 一g 8 = i t s l 竹，研) r = 8 + 1 = 价，) ，n n o ， r = n + l l i m = 0 ，一1 = - - f ( n ，) n + = c 一。夕( ) ， 归n l i r az n = c 且 n - - * 0 0 = 夕( 鲰) 一1 7 一 ( 3 1 1 ) 一 1 8 二阶差分方程( 系统) 的振动性及相关问题 从定理3 1 的证明可以看到，如果( c 4 ) 成立，定理3 1 中的常数d 是不必要 的，比如夕( u ) = i u l a s g n ( u ) ，u r ，p 0 ，特别地9 ( u ) = t ，t r 因此，我们有 定理3 2 假设( c 1 ) ，池) 和( c 4 ) 成立，则系统( 3 1 ) 有非振动解( ， ) 使得l i m = q 0 和l i m 骱= 0 成立当且仅当 o o 9 ( i 价，c ) l l o o ( 3 1 2 ) ，l or = n 对某个c 0 成立 定理3 3 假设( c 1 ) ，( c 3 ) 和( c 5 ) 成立，则系统( 3 1 ) 有非振动解( n ， ) 使得熙考2o t o ，规y n = p 0 成立当且仅当 o o i f ( n ，c a , 。神1 0 ，因此 当住n l n 坨i on o o 一o t ” 时，存在正常数z ，上，和n 1 n ( n o ) 使z a 绚一l a 彻一对系统( 3 1 ) 的第 二式两边从n + 1 到求和，得 。o f ( r , x r ) = 鲰。一p 0 使f ( n ，) h f ( n ，z a 伽。) ，n n l ，从而 o o h ，( tz 。r ) 0 使当尧s 2 k 时，有 i ( n ，a 竹0 ，n z n ) 月r ( n ，2 k a , l o 一) ， n n ( n o ) ， 令n o n ( 伽) 足够大，使得 日，( 张，2 ，n ) t o ， n = n o ( 3 1 5 ) 博士学位论文 这里叫= g - 1 ( c ) 2 定义线性空间圣为所有有界序列z = z 。) 组成的空间且满 足n s n u p ) ( 者击) v 0 ( 3 1 6 ) 易知x 是圣的个有界凸闭子集定义算子t ：x _ x 为 刚n = 萎。9 ( 一r 善0 0 n o。m 川、1 ，佗 c 3 肼， 刚n = o 。9 ( 伽+ ，( r ，辨) l ，佗o ( 3 1 7 8 = r = 8 + l 不难证明t 是连续的，将x 映射成x 的紧子集，由s c h a u d e r - t y c h o n o f f 不动点 定理，存在序列z = ) x