（应用数学专业论文）关于αm凸函数的hermite—hadamard型不等式的研究.pdf

摘要 凸函数是数学学科中重要的一类函数，凸函数具有良好的几何性质，且在众多领 域中具有广泛的应用，同时也在证明一些比较复杂的不等式方面起着重要的作用目 前，世界上有许多数学家探讨和研究凸函数与不等式之间内在的关系问题，并利用凸 函数的一些性质来研究不等式，这种研究方法比传统方法更简洁，明了故凸函数在 不等式研究中所发挥的作用是无可取代的 1 8 8 1 年，h e r m i t e 首先提出了凸函数的一个积分不等式( 见 1 】，或 2 ，p 1 3 7 】) ： 设f ( x ) 是区间 口，b 】上的凸函数，则 ( 6 - 口) 丌字) 胁) d x ( 6 刊掣 1 8 9 3 年，h a d a m a r d i 正明了( 【3 ，p 4 4 1 】) ： 设f ( x ) 是区间【口，b 】上的凸函数，则 厂( 半) 0 ，口+ = 1 ，有 f ( x 口y ，) f 口( x ) f p ( y ) ， 则称f ( x ) 为，上的几何凸函数 定义1 1 6 ”5 1 设厂( x ) 为区间ice 上的正值函数，若对任意的工，y ， 力 o ，1 】，有 f ( m ，( x ，y ，五) ) m ，( ( x ) ，厂( j ，) ，兄) ， 其中 r三 m ( 工y ，a ) ： ( 五z 7 + ( 1 _ 五) 少) 7 ，厂o ， lx t y 卜z ， ，= 0 ， 则称f ( x ) 为，上的，一凸函数 特别的，当，= 0 时称为几何凸函数 定义1 1 71 1 6 , 1 7 1 设，关于刀为不变凸集，厂：，寸尺，若对任意的工，y ，兄 o ，1 ， 有 厂( y + 2 r 1 ( x ，y ) ) 2 f c x ) + ( 1 2 ) f ( y ) ， 则称f ( x ) 是关于，7 的预不变凸函数 显然当q ( x ，y ) = x - y 时，就退化为凸集，上的凸函数 定义1 1 8 设，关于7 7 为不变凸集，f ：，一足，若对任意的五y ，五 o ，l 】， 有 f ( y + 2 r ( x ，j ，) ) 5a i ( 厂( x ) ，f ( y ) ，五) ， 则称f ( x ) 是关于7 7 的，一预不变凸函数 定义1 1 9 8 2 9 珈l 设厂：【0 ，b 】_ 尼b o ，册( o ，1 】，若对任意的x ，y “o ，b 】，t 【o ，1 】， 有 f ( t x + m ( 1 - 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- h a d a m a r d 型不等式： 定理1 2 5 设厂( x ) 为 口，6 】上的对数凸函数，p , q o 。彳：p a + q b ，则对于 o y 丝m i n p ，g ) ，有 厂( 等) i a 一+ ，y 、j i f ( x ) f ( 2 a - x ) d t 历丽 2 0 0 4 年，张小明在文 2 4 】给出了几何凸函数的h e r m i t e - - h a d a m a r d 型不等式： 定理1 2 6 设函数厂：【口，b 】_ ( o ，4 - 0 0 ) 为几何凸函数，则 也6 乞击 击出i n bl - l n a 一击 ，( 4 ) 内蒙吉民族大学硕士学位论文 5 + ( 志一志) m ， 2 0 0 7 年，m a s l a m n o o r 在文【2 1 】给出了预不变凸函数和对数一预不变凸函数 h e r m i t e - - h a d a m a r d 型不等式： 定理1 2 7 设口，b k 。，a a + r l ( b ，口) ，f ：k = 【口，a + r l ( b ，口) 】专r 为k 。上的预不变 凸函数，则 ( 半) 丽1 r 凼 2 设口，b k 。，a 口+ 7 7 ( 6 ，口) ，f ：k = 【口，a + r l ( b ，口) 】_ 疋为k 。上的对数一预不变凸 函数，则 志r m ) d x 顽f ( 丽a ) - f 而( b ) 叫m 小) ) 疗一， 其中l ( a ，b ) = - 兰；，_ 表示对数平均 1 r l 口一i n d 2 0 0 9 年，毕燕丽在文 1 7 中给出了厂一预不变凸函数的h e r m i t e - - h a d a m a r d 型不 等式： 定理1 2 8 设口，b k 。，a a + r l ( b ，口) ，厂：k = 【口，a + q ( b ，口) 】一足为k 。上的，一预不 变凸函数，则 志r 似) d x 洲m 抛) ) 其中 ( 工，y ) = i r x r + 7 l - - y _ r + l ，r 0 ，一l ，工y ， j e - 一ir 1 ， ，十l x 7 一y 7 - 。 l ，“_ ， 二! 上， ，= 0 ，x y ，i n x i n y 一“。， 砂l n x - i n y ，：1 ，= 0 r - 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