（应用数学专业论文）偏微分方程的孤立子解与群不变解及边值问题解.pdf

篱k鼍 学位论文独创性声明 i丫llllllllfl8llj119llljioill111lllllllll6ll f丫18 9 0116 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注 和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本 人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名：一一差暨 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：差篮 指导教师签名： 签名日期： 年乡影d 日 辽宁师范大学硕士学位论文 摘要 本文取得的主要结果属于理论性的，可概括如下： 首先利用推广的t a n h - 函数法以及在此基础上的拓展和形变映射法，获得了b b m 方 程的许多显式精确行波解，包括孤子解、复线孤子解、周期波解、j a c o b i 椭圆函数解、 维尔斯特拉斯椭圆函数解等。 其次介绍如何利用l i e 变换群作用下偏微分方程的不变性来构造它的解。与常微分 方程的情形相似，我们将看到，确定一个给定p d e 所拥有的l i e 点变换群的无穷小生成 元，其算法可由它的不变性无穷小准则直接导出。利用l i e 对称群的不变曲面可得到相 似解，这样的解是通过求解约化方程得到的。约化方程所含未知变量个数比原方程少。 本节就是用古典无穷小算法导出了由轴对称波方程的任意元和无穷小生成子的系数构 成的超定线性偏微分方程组，即确定方程d e 。其次借助符号计算机软件m a p l e 解方程组， 求出了轴对称波方程的一些无穷小生成元，然后根据l i e 第一基本定理求出了相对应的 单参数l i e 变换群。最后将所求得的无穷小生成元代入不变曲面条件，分别利用不变形 式法和直接代入法求出轴对称波方程的群不变解。 最后讨论如何利用l i e 点变换群作用下的不变性求解p d e s 的边值问题。如果p d e 所拥有的单参数l i e 点对称群同时也使边值问题的边界条件和领域不变，那么此边值问 题的解也是不变解。因此，边值问题也可被构造性地约化为含更少的自变量的p d e s 的 边值问题。对于线性p d e ，限制条件可放宽，不必要求边界条件不变。对应于同一特征 函数展开的不变解进行叠加。可得边值问题的解，其中特征值是利用一个齐次线性p d e 在其自变量的标度下的不变性得到的。另外，也将讨论多参数l i e 点变换群作用下边值 问题的不变性。我们利用上面给出的方法求出了g r e e n 函数的边值问题的不变解。 关键词：偏微分方程；孤立子解；l i e 变换群 辽宁师范大学硕士学位论文 n es o l i t o ns o l u t i o n sa n di n v a r i a n c es o l u t i o n sa n db o u n d a r yv a l u e p r o b o l e m s s o l u t i o n so fp a r t i a ld i f f e r r e n t i a le q u a t i o n s a b s t r a c t f i r s tt a n h - f u n c t i o nm e t h o di se x t e n d e dt h e nu s e dt os o l v eb b me q u a t i o n w ea l s ou s e d d e f o r m a t i o nm a p p i n gm e t h o dt oo b t a i ns o l u t i o n so fb b me q u a t i o n w i t hb o t hm e t h o d sw e c a no b t a i na b u n d a n te x p l i c i ta n de x a c tt r a v i n gw a v es o l u t i o n s m i c hc o a t i o ns o l i t o n s o l u t i o n s ，p l u r a ll i n es o l i t o ns o l u t i o n s ，p e r i o d i cw a v es o l u t i o n s ，j a c o b ie l l i p t i cf u e t i o n s o l u t i o n s ，w e i e r s t r a s se l l i p t i cf u n c t i o ns o l u t i o n sa n do t h e re x a c ts o l u t i o n s s e c o n dw ea p p l yi n f i n i t e s i m a lt r a n s f o r m a t i o n st ot h ec o n s t r u c t i o no fs o l u t i o n so fp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a sf o r0 d e sw ew i l ls h o wt h a tt h ei n f i n i t e s i m a l c r i t e r i o nf o r i n v a r i a n c eo fp d e sl e a d sd i r e c t l yt oa na l g o r i t h mt od e t e r m i n ei n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o r sx a d m i t t e db yg i v e np d e s i n v a r i a n ts u r f a c e so ft h ec o r r e s p o n d i n gl i eg r o u po fp o i m t r a n s f o r m a t i o n sl e a dt os i m i l 撕t ys o l u t i o n s t h e s es o l u t i o n sa r eo b t a i n e db ys o l v i n gp d e s w i t hf e w e ri n d e p e n d e n tv a r i a b l e st h a nt h eg i v e np d e s n o ww eo b t a i nt h es e to f d e t e r m i n i n ge q u a t i o n si sa no v e r d e r m i n e ds y s t e mo fp d e sw h i c hi se o m p o s e do ft h e a r b i t r a r ye l e m e n to fa x i s y m m e t r i cw a v ee q u a t i o na n dt h e c o e f f i c i e n to fi n f i n i t e s i m a l g e n e r a t o r s ，t h a td e r i v e db yc l a s s i c a li n f i n i t e s i m a l l i em e t h o d s e c o n dw eg i v es o m e i n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o r so fa x i s y m m e t r i cw a v ee q u a t i o nw i t ht h eh e l po fs y m b o l sc o m p u t e r s o r f t w a r e ，a f t e rw ef i n do u tt h ep d e so n e p a r a m e t e rl i eg r o u po ft r a i l s f o r m a t i o n sb yf i r s t f u n d a m e n t a lt h e o r e mo fl i e l a s tt a k et h ei n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o r st h a tw ef i n do u ti n t o i n v a r i a n ts u r f a c ec o n d i t i o nt h e nw ec a ng e tg r o u pi n v a r i a n ts o l u t i o n so fa x i s y m m e t r i cw a v e e q u a t i o nb yu s ei n v a r i a n tf o r mm e t h o do rd i r e c ts u b s t i t u t i o n l a s tw ed i s c u s sh o wo n ec a nu s ei n f i n i t e s i m a lt r a n s f o r m a t i o n st os o l v eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sf o rp d e s i fao n e p a r a m e t e rl i eg r o u po ft r a n s f o r m a t i o na d m i t t e db yap d e l e a v e st h ed o m a i na n db o u n d a r yc o n d i t i o n so fab v pi n v a r i a n t ，t h e nt h es o l u t i o no ft h eb v p i sa ni n v a r i a n ts o l u t i o n a n dh e n c et h eg i v e nb v pi sr e d u c e dt oab v pw i t ho n el e s s i n d e p e n d e n tv a i l a b l e w ea l s oc o n s i d e rt h ei n v a r i a n to fb v p su n d e rm u l t i p a r a m e t e rl i e g r o u p so ft r a n s f o r m a t i o n s w en o wa p p l yt h eg i v e nm e t h o dt o s o l v et h eb o u n d a r yv a l u e p r o b o l e m s s o l u t i o n so f g r e e nf u n c t i o n k e yw o r d s ：p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；s o l i t o ns o l u t i o n s ；l i eg r o u p so f t r a n s f o r m a t i o n s i i i 辽宁师范人学硕士学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t i i i 弓i言1 1非线性偏微分方程的孤立子解4 1 1推广的t a n h 函数法求b b m 方程孤立子解4 1 2b b m 方程的复线孤子解5 1 3b b m 方程的椭圆函数解6 1 4 形变映射法求b b m 方程的显示精确解8 1 5维尔斯特拉斯椭圆函数法求b b m 方程的孤立子解9 2 轴对称波方程的l i e 点变换群及其群不变解1 2 2 1古典无穷小算法寻找轴对称波方程的无穷小生成元1 2 2 2 轴对称波方程的单参数l i e 点变换群一1 5 2 3 轴对称波方程的群不变解一1 6 2 4 本节小结18 3g r e e n 函数的边值问题解1 9 3 1k 阶标量偏微分方程边值问题1 9 3 2g r e e n 函数的边值问题及其不变解1 9 结论2 4 参考文献一2 5 攻读硕士学位期间发表学术论文情况2 7 致谢2 9 v 辽宁师范大学硕士学位论文 引言 孤立子的研究意义。现代自然科学正发生着深刻的变化，非线性科学贯穿着数理科 学、生命科学、空间科学和地球科学，成为当代科学研究重要的前沿领域。孤立波与孤 立子正是推动非线性科学发展的重要对象之一。孤立子起源于孤立波，自从孤立波被发 现以来，孤立子的研究已渗透到许多自然科学领域，在一些领域还相当深入，它已在非 线性光学、磁通量子器件、生物学、等离子体及光纤孤立子通讯等一系列高科技前沿领 域有了令人瞩目的应用，所以孤立波与孤立子的研究有着重大的现实意义。 孤立子的起源。早在1 8 3 4 年8 月，2 6 岁的英国科学家、造船工程师约翰斯各脱罗 素在勘探连接爱丁堡和格拉斯哥的运河河道中偶然发现了一种十分奇妙的自然现象。 1 8 4 4 年，他在英国科学促进协会第1 4 届会议报告上发表了“论波动一文，对这 一现象作了极为生动的描述：“1 8 3 4 年秋，我观 察过一条船被两匹马拉着沿狭窄的运河迅速前 进。突然，船停了下来。然而被船所推动的一大团 水却不停止，他们积聚在船头周围激烈地扰动着， 然后水波中突然涌现出一个滚圆、光滑而又轮廓 分明的巨大孤立波峰，它快速地滚动而离开船头， 在前进中它的形状和速度并无明显的变化。我骑 在马上紧随着进行观察，它保持着长约3 0 英尺、 高约1 - 1 5 英尺的原始形状，以每小时八、九英尺的高速滚滚向前，当我跟踪卜2 英里 后，其高度渐渐下降，最后终于消失在蜿蜒的河道之中。罗素特有的锐利眼光注意到 这绝不是通常的水波，因为它始终全部地位于水面之上。而通常的水波在前进时，总是 一半高于水面，另一面低于水面。又因为它具有圆润光滑的波形，所以也绝不是激波。 他已经意识到这是一种完全新型的水波，并称他为大孤立波( g r e a ts o l i t a r yw a v e ) 。 后来命名为移动波( w a v eo ft r a n s l a t i o n ) 。为了进一步验证这一现象的存在并了解 其性质，罗素在1 8 3 7 年8 月模拟运河设计了一个长2 0 英尺、宽1 英尺的水槽，并在其 中进行了一系列受人工控制的实验，获得了与现场试验相同的结果。同时根据这些实验 结论，他提出了孤立波的传播速度： v = 以丽 其中是g 重力加速度，以是静水初始深度，h 是孤立波的高度。一百四十八年后，世 界各国1 4 0 多位科学家云集在罗素的故乡英国的爱丁堡举行了孤立子科学报告会和 偏微分方程的孤立子解与群不变解及边值问题解 隆重纪念活动。人们还在这条运河边树立了一座罗素纪念碑，以表彰他在这条运河上发 现了奇妙的孤立波，从而导致了后来孤立子的发现这一不朽的贡献。 但是当时科学界的权威们对罗素的这些结果，一开始时就表示了怀疑和反对。甚至 当时对波动研究颇有造诣的英国天文学家g e o r g eb i d d ea i r ( 1 8 0 1 1 8 9 2 ) 爵士，与英国 流体力学家斯托克斯( g e o r g eg a b r i e ls t o k e s1 8 1 9 1 9 0 3 ) 爵士也对此提出了质疑， 怀疑在静止水面上能存在不变形的行波。他们争论的主要观点有：首先是波在传播的过 程中，为什么波幅不会衰减，波的运动速度也与他们的研究结果不符。其次是一个完整 的波动应该是一部分在水面上，一部分在水面下，而不是全部在水面上。由于当时数学 理论和科学水平的限制，罗素无法从理论上给予孤立波以圆满的解释，直到1 8 8 2 年他 去世时也未能使物理学家们信服他的论断。关于孤立波存在与否一直成为学术界广泛争 论而又悬而未决的问题。 1 8 9 5 年，荷兰阿姆斯特丹大学的数学家d j 科尔特弗教授和他的学生g 德弗里 斯解决了上述争论。他们在小振幅与长波的假定下，从流体动力学导出了关于孤立波的 方程( k d v 方程) 。这一方程的行波解，在长波趋于无限的情况下，正是罗素所发现的 孤立波。k d v 方程的提出，从理论上阐述了孤立波的存在，给这场争论一个很好的解释。 由于当时非线性科学应用还没有引起人们重视，对孤立波的研究工作在1 9 世纪末 到2 0 世纪中期一直处在寂静中，没有明显进展。直到1 9 5 5 年，费米、帕斯塔、犹拉姆 发表了“s t u d i e so fn o n l i n e a rp r o b l e m 一文，重新唤起了人们对孤立波的兴趣，使 对孤立波的研究又活跃了起来。他们最初是要研究一维非线性动力系统：一段弦两端固 定，将其分成n 段，每段即一个单元：并将每个单元简化成具有相同质量的质点，它们 之间相互作用力包括线性和非线性部分。当他们在计算机上计算时出乎意料地发现能量 集中在最低的震动模式。后来美国普林斯顿大学的应用数学家m a t i nd k r u s k a l 和 n o r m a nj z a b u s k y 对他们的结果进一步研究发现，用弦的位移表示，它们正好满足k d v 方程。两位数学家发现孤立波在碰撞前后保持高度不变，碰撞时两个孤立波重叠在一起， 其高度低于碰撞前孤立波较高的一个；碰撞后孤立波的轨道与碰撞前有些偏离。他们分 别研究了两个和四个孤立波的碰撞，并首次引入“孤立子( s o l i t o n ) ”这一专业术语， 用于描述具有粒子性质的孤立波。 孤立子的类型。随着时代的进步、科技的发展，人们对孤立子的研究逐渐深入，人 们发现除k d v 方程以外，还有许多具有物理意义的非线性演化方程都具有孤立子解，例 如非线性薛定谔方程、正弦一戈尔登方程( s g ) 、修正k d v 方程( m k d v ) 、伯格斯方程 等并求出了它们的孤子解。不同类型的非线性方程其孤子解的波形与特性也各不相同。 常见的类型有：钟型孤子、涡旋型孤子、扭结型孤子、反扭结型孤子、包络型孤子等等。 2 辽宁师范大学硕士学位论文 孤立子的应用：经过科学家们的努力许多非线性方程的孤波解或孤子解已经被求 出，其中不少结论以应用于很多科学领域，如导电塑料、固体和凝聚态物理、电磁导弹、 激光和光导纤维、生物学等。 光纤通信。1 9 6 8 年孤立子理论被应用于光纤通讯问题中。光纤通讯系统中光脉冲传 输面临着脉冲的能量损失和脉冲的展宽。发送脉冲过密或传输的距离过长都会在接收端 造成脉冲重叠而使信号无法识别。于是在光线中利用振幅、脉宽和形状都保持不变的非 线性光孤子来传输信号引起了人们极大的兴趣。 为了实现光孤子的传播，人们研制出了精确的可控制的拉曼孤子激光器、掺铒光纤 孤子激光器和锁模半导体激光器等。实用化的光纤通信系统的研究也正在形成中。在未 来的信息社会中光孤子通信将会发挥“神经中枢 的作用。 生命过程中的孤立子。1 9 8 6 年以来，新的生物能量与传递的孤立子理论逐步发展起 来。理论研究和实验结果都表明：传递神经冲动的的确是一种孤立子。从分子水平上， 运用传递生物能量和信息的孤立子模型，可较完整的说明横纹肌的收缩问题。由蛋白质 被污染后的孤立子变化( 传递生物能量与信息的孤立子被反射、散射、发射能量、衰减、 陷落消失等) 可以说明生命体发病的微观机理。这些研究工作对发展和揭示生物奥秘都 有至关重要的意义。 电磁方面的应用。磁单极子是1 9 3 1 年由狄拉克首先提出的物理概念，1 9 7 4 年荷兰 的g t h o o f 发现磁单极子也是非线性方程的一种解，是一种孤立子。随着对孤立子的深 入研究，磁单极子这一难题将有希望得到解决。 3 偏微分方程的孤立子解与群不变解及边值问题解 1非线性偏微分方程的孤立子解 非线性偏微分方程的精确解是孤立子理论中重要内容之一对于不同类型的方程， 有不同的求解方法，如：推广的t a n h - 函数法【m 1 1 】【3 1 、形变映射法【4 1 、维尔斯特拉斯椭圆 函数展开法【5 1 、李对称群变换法【6 】【7 】【8 1 【9 i t l0 1 、d a r b o u x 变换法【l l 】【1 2 l 、b a c k l u n d 变换法1 2 1 、 h i r o t a 双线性法【1 3 1 【14 1 、齐次平衡法【1 3 】【14 1 、反散射法【1 3 1 【1 4 l 等等。本节我们就其中的一些 方法以b b m 方程为例子，阐述这些方法的具体步骤，并应用这些方法求出b b m 方程的一 系列不同类型的孤子解。 b e n j a m i n ，b o n a 和m a h o n y 表明了k d v 方程作为流体中长波单向传播的模型方程的缺 点，进而提出了另一个更合适的非线性色散介质中长波单向传播模型方程即b b m 方程： “f + 甜工+ “耐+ 仪扰删= 0 取代了k d v 方程，这类方程还出现在其它许多数学物理问题中。下面我们分别用推广的 t a n h - 函数法、形变映射法、维尔斯特拉斯椭圆函数法求b b m 方程的孤立子。 1 1 推广的i a n h - 函数法求b b m 方程孤立子解 对给定的非线性方程 p ( u ，u 工，u t ，甜搿，) = 0 ， ( 1 1 1 ) 根据推广的t a n h - 函数法方程( 1 1 1 ) 的解可表示为 u ( x ，f ) = u ( 亏) = 口，9 ， ( 1 1 2 ) f = 0 其中q t ) = t a n h 芎) ，亏= x + c t 。刀为一正整数，通过平衡方程( 1 1 1 ) 的非线性 项和最高阶导数项得到，k ，c ，口o ，口玎为参数。由文献 1 、 2 知，q 满足r i c c a t i 方 程 q = b + q 2 ( 1 1 3 ) 此方程有如下解 q = 一it a n h 雁， q = 一- ，b = 0 ， ( 1 1 5 ) 弓 q ：万t a n 厩，一万c o t 厩， b 0 。( 1 1 6 ) 对于b b m 方程我们作行波约化u ( x ，f ) = u ( 号) ，号= x + c t 。将b b m 方程化为下面的常微分 方程 cu7 + u + uu + 0 cu 小= 0 ， ( 1 1 7 ) 4 辽宁师范大学硕士学位论文 u _ 与唧7 平衡可得n = 2 ，因此我们选 u=a o+al p + a2 ( pz ， ( 1 1 8 ) 将( 1 1 8 ) 带入( 1 1 7 ) 并反复利用( 1 1 3 ) 式，得到一个关于币的多项式方程。 令q ( f = o ，l ，2 ，3 ，4 ，5 ) 的系数为零得到关于a o ，a 1 ，a 2 ，b 和c 的一代数方程组 ( 口o + 1 + c ) a l b + 2 i x c a1 b2 = 0 ， 2 a 2 b ( a o + 1 + c ) + 口? 6 + 1 6 c t c a 2 b 2 = 0 ， ( a o + 1 + c ) a l + 3 a 1a 2 b + 8 u c a l b = 0 ， 口? + 2 a 2 ( a o + 1 + c ) + 2 口；6 + 4 0 t x c a2 b = 0 ， 3a l a 2 + 6 0 r c al 20 ， 2 口；+ 2 4 t xc a2 = 0 ， 解方程组得 a o = 一8 c zc b c l ，a1 = 0 ，a2 = 一1 2 ac ，( 1 1 9 ) 其中0 【，b ，c 为任意常数。由( 1 1 8 ) ， ( 1 1 9 ) ，( 1 1 4 ) ，( 1 1 5 ) 和( 1 1 6 ) 得到b b m 方程的行波解 u 1 = 一8 c t ，c b c 一1 1 2 a c b t a n 2 6 鼍，b 0 ； 甜，= 一8 c z c b c 一1 1 2 c t c bc o t2 6 鼍，b 0 ； 1 “3 = - - c l 一1 2 x t c 者，b = 0 ； 弓 扰4 = 一8 a c b c 一1 + 1 2 a c bt a n h2 一6 亏，b 0 ； 材s = 一8 a c b c 一1 + 1 2 a c be o t h 2 4 6 专，b 0 ：一。2 京荔e 矿 咱= 蔫 为因变量空间。 根据引理2 1 2 【6 】可知 ( 2 1 1 0 a ) 则点对称的尢穷小生成兀( 2 1 9 ) 式具硐彤式 x = 号( 蹦) 岳机( 刈) 导+ 叭蹦) g ( 蹦) 】暑。 ( 2 1 1 1 ) 计算对称算子( 2 1 1 1 ) 的二阶延拓为 ：) = x + r l j - “甜) ；+ t 1 似地锄) 兰+ 1 1 婴+ t 1 p + n 字。 ( 2 1 1 2 ) o u t 跚x咖毯咖ho h 味 这里 q ，n = dr ( 1 一号“工一t 材r ) + 亏甜盯+ t “盯， ( 2 1 1 3 a ) t 17 = d 毒n 一号甜善一t “，) + 亏甜搿十t “射， ( z 1 1 3 b ) q 打”= d 产n 一号甜工一t 甜f ) + 亏“蹦+ t 甜f f f ， ( 2 1 1 3 c ) q 。2 = d ；( v l 一号甜j 一百“，) + 亏甜蕊+ t 甜棚。 ( 2 1 1 3 d ) 算子皿和皿是关于f 和x 的全导数： 口= 寻鸲言帆去坞击+ ，( 2 1 1 4 a ， 皿： + u x 导+ 甜盯+ u t x 要+ 。 ( 2 1 1 4 b ) 由引理2 1 1 【副，为了求解对称算子的系数，需要把延拓对称算子( 2 1 1 2 ) 作用在轴 对称、波方释的解流形e 即 1 3 =i i = 鲁堕掰 偏微分方程的孤立子解与群不变解及边值问题解 p r 2 x ( ) i a - o = 0 ， ：“仃一“搿一土“工。 x ( 2 1 1 5 a ) 整理得确定方程，即d e ： t 1 ：孙一1 1 一三i t l 7 + 三r “，= 0 ， ( 2 1 1 6 ) 当“仃= 甜搿+ 甜