（应用数学专业论文）关于某些单叶调和函数族.pdf

设u ( z ) 和”( z ) 是单位圆盘a = z ： 1 内的调和函数，我 们也称，( z ) = u ( z ) + i v ( z ) 是内的调和函数这种函数也可以写成 ，( 。) = ( z ) + 9 ( z ) 的形式，其中 ( z ) 和g ( z ) 在a 内是解析的设 ( z ) = o 。扩，9 ( 。) = b 。扩，z a ， 其中a 1 = 1 ，1 b l l 1 这种函数所成之族记为h 本文考虑h 中的子族 晰，= ”诅风( 掣) 独。) 和哳，= f ：f eh , r e ( 挈) 独一) 以及它们的线性组合r 日( 。，a ) = ”叫( ”a ，掣+ a ( 警) ) 狐) 其中0s 乜 1 ，a 0 对于这三类函数族中的每一族，我们得到函数，属于此族的一个充 要条件，其中只含有解析函数从这些新定义出发，证得一些系数不等 式，模和幅角的估计当 ( z ) 一z 具有负系数、g ( z ) 具有正系数时，这 个日的子族记为百本文对咯( 口) ，小礅o ) 和局f ( o ，a ) 作了较详细的 研究，得到了这几类函数族之间的包含关系、偏差性质、极值点和卷积 情况等 关键词：调和星象函数 凸象函数 英文摘要 a b s t r a c t af u n c t i o nf ( z ) = n ( z ) + i v ( z ) i sh a r m o n i ci na = z ： 1 ) i f u ( z ) a n dv ( z ) a r er e a lh a r m o n i ci na w ec a na l s ow r i t e ，( z ) = h ( z ) + 9 ( 。) ，w h e r e 危( z ) a n dg ( z ) a r ea n a l y t i ci na l e t ( z ) = 扩，g ( z ) = b 。扩，。， w h e r ea l = 1 ，i b ll 1 t h ef a m i l yo fh a r m o n i cf u n c t i o n si na w i l lb e d e n o t e db yh i nt h i sp a p e rw ec o n s i d e rt h es u b c l a s s e so fh 晰) = 拈蛐e ( 掣) 狐) 哳，= ：f el l , r e ( 擎) 独) a n dt h e i rl i n e a rc o m b i n a t i o nr s ( a ，舢= 皿鼬( ”a ，掣+ a ( 挈) ) 独e 眭) ， w h e r e0 a 1 ， 0 as u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nt h a tt h e f u n c t i o n b e l o n g st o o n eo ft h e s ec l a s s e si ss h o w n f r o mt h e s en e wd e f i n i t i o n sw eo b t a i ns o m e c o e f f i c i e n ti n e q u a l i t i e sa n dt h ee s t i m a t e so fm o d u l ea n da r g u m e n t ，l e t 日d e n o t e st h es u b c l a s so f 日c o n s i s t i n go ff u n c t i o n st h a th ( z 1 一zh a s n e g a t i v ea n d 口( 。) h a sp o s i t i v ec o e f f i c i e n t s f u r t h e r m o r e ，s e v e r a li n c l u s i o n r e l a t i o n s ，d i s t o r t i o nt h e o r e m ，e x t r e m ep o i n t sa n dc o n v o l u t i o nc o n d i t i o n f o rt h e s ec l a s s e s 咯( ) ，n n ( a ) a n dr - 可( a ，a ) a r eo b t a i n e d k e y w o r d s ：h a r m o n i cs t a r l i k ef u n c t i o n sc o n v e xf u n c t i o n s i i 第1 章绪论 第1 章绪论 经典的共形映射和单叶解析函数理论已有相当长的历史，并取得了 丰硕的成果近二十年来，这一理论更向纵深发展，不仅取得了一些突 出的成果，例如著名的b i e b e r b a c h 猜想被证实。共形映射境界性质取得 的新进展，而且还不断延拓研究领域，单叶调和映射便是这种延拓 单叶调和映射理论的研究方法和工具，除了继承传统的共形映射和 单叶解析函数理论的以外，还与日p 空间、拟共形映射、微分几何等有 着密切联系，同时在极小曲面理论中有重要应用见文献 1 2 1 1 9 8 4 年英国数学家c l u n i e 和s h e i l - s m a l l 3 将解析单叶函数的经典理论和思 想应用于调和单叶映射他们的工作引起人们对调和单叶映射的浓厚兴 趣近十年来，美国、英国等国的数学家，如d u r e n 4 、s c h o b e r 5 、 h e n g a r t n e r 剐、a b u - m u h a n n a 6 等人有一批工作相继出现，取得一些重 要研究成果 1 1 单叶调和函数的数值估计和覆盖半径 设“( z ) 和”( z ) 是区域dcg ( 有限复平面) 内的实值调和函数 称( z ) = u ( 。) + i v ( z ) 为d 内的调和函数在单连通区域内的调和函数 ，( z ) 具有形式( z ) = h ( z ) + 9 ( z ) ，其中h ( z ) 和g ( z ) 都是解析函数 设单位圆盘= z ：例 1 ) 内单叶、调和、保向函数( z ) = h ( z ) + 9 ( 。) ，其中h 和g 具有下列形式的展开式 0 0 ( 。) = z + 扩， n = 2 f ( z ) = b 。少 ( 1 1 ) t l = l 这种函数的全体形成一族记为日记h o = ，：，h ，b l = o 显然sch och ，其中s 是标准化的解析单叶函数族当9 ( z ) = 0 时函数族日化为s 对于函数族s ，b i e b e r b a c h 于1 9 1 6 年提出了族s 的系数估计l a n i n 的猜想为证明这个猜想，许多数学家付出了辛勤地努力，直到1 9 8 5 黑龙江大学硕士学位论文 年才由法国数学家d e b r a n g e s t i 所证实在单叶调和函数理论中，系 数o 。和k 的估计问题也是人们要关注的，但迄今进展甚微c l u n i e 和 s h e i l - s m a l l 于1 9 8 4 年证明了若，h ，则1 8 2 l 1 2 1 7 3 这显然是一个 很不精确的估值其他系数尚无估计后来s h e i l s m a l l i s 已经把1 0 2 i 的 上界减少到5 7 他们在文【3 】中提出一个相当于s 族b i e b e r b a c h 猜想的 类似猜测，即若，h o ，则有 l l i 一陋。| | n ；i b 。i 言( 礼一1 ) ( 2 n 一1 ) ( 礼= 2 ，3 ，- ) 他们证明了这一猜测对典型实照族1 赠，星形子族和沿一个方向凸的予 族是正确的1 9 9 8 年，侯明书在文献【9 】中证明了若，h o ，如果 ( 1 + 3 睁3 1 ) ( 4 1 6 2 ) i 3 ，则1 6 3 i 4 1 b 2 | - i ，这显然就要求i 如 去，在此 种条件下，可获得i a 2 i 3 虽然估值比较小，但它对i b 2 i 和1 6 3 i 附j n t 很大的限制条件， 关于覆盖半径，在单叶函数论【4 】中，如果f s ，那么k o e b e 定理 表明 删： 甜i c ，( ) 如果，h o ，c l u n i e 和s h e i l s m a l l 在1 3 】中 证得了t 叫：i w i 0 ，使得妒( ) = d 由此我们想到，在d 中是否存在单叶调和函数，使得f ( a ) = d ，在仟么条件下，是唯一 的呢? 一2 一 第1 章绪论 由于在上的复值函数，是开的、调和、保向映射的充要条件是： 存在a ( z ) 日( ) ( h ( ) 为上全体解析函数构成的集合) ，l 。 1 使 得，是方程 _ = a 丘，( 1 , 2 ) 的非常数解于是上述问题可转换为：对给定的a 日( ) 和单连通区域 d ，是否存在满足( 1 2 ) 式的单叶调和解，使得，( ) = d ? 在什么条件 下，是唯一的? 然而，文献【1 0 中有例子表明，对于实数a ，翔a ， m = 1 ，2 方程 - - ，；e l c z ( 慧) ”丘 没有使得f ( a ) = a 的解特别地，没有单叶解，使得，( ) = a 但 是，当d 是有界单连通区域时，h e n g a r t n e r 和s c h o b e r 1 0 】给出了一个 映射定理如下： 设d 是有界单连通区域， d 的边界是局部连通的对于固定的 w 0 d 和a h ( a ) 满足i a i o ； ( b ) f 是方程f ；= 口正的解； ( c ) 对于几乎一切良，l i _ + r a l ，( r e 曲) 属于a d - 定理中只说明f ( a ) cd ，如果，( ) 互d ，我们称映射，是塌陷 的若i i 口j | = s u p ：i 。i 1 ，则存在映射，使f ( a ) = d ，也就是说这个 时候不会出现塌陷塌陷只可能出现在1 1 口| | = 1 的时候，而且文献【1 0 】 中有例子表明塌陷出现的情况后来，a b u - m u h a n n a 和s c h o b e r 2 1 证得 了d 是凸区域( 包括无界的情况) 时的映射定理：设d 是凸区域，对于 固定的w 0 d 和a 日( ) 满足。( ) c 则存在一个单叶、调和、 保向映射，满足上面的( a ) ( b ) ( c ) 三条性质一般来说，映射，的唯一 性是不能确定的然而，当d 是带域或半平面时，和a 之间是一对一 的 一3 一 黑龙江大学硕士学位论文 对于给定的单连通区域d ( c ) 和n 日( ) ，应有怎样的条件才能 使方程( 1 2 ) 的解，单叶、调和、保向地将映射为d ，这个问题到目 前为止还没有定论 1 3 调和函数的从属性质 关于解析函数的从属性质，文献【4 】的第六章中有好些介绍对于 调和函数的从属性质，文献【1 1 ，1 2 也进行了研究，但其理论并没有解析 函数从属性质的完整 设，( z ) 和f ( z ) 是定义在上的调和函数，如果，( z ) = f ( 砂( z ) ) ， 其中妒( z ) 是上的解析函数且i 妒( z ) l 1 ，妒( o ) = 0 ，则称，是从属于 f 的，并记为， f 在文献【1 l 】中作者得出了关于系数关系、积分平 均值和雅可比行列式的优化等一系列结果设 o o1 r 一 1 f 一 m ) = 。t + 靠，f ( z ) = 屯+ 鼠，z 七= 1k = l电= lk = l 结论( 1 ) 如果， f ，那么下列不等式成立 结论( 2 ) 如果， f d 1 啦0 ，风芦2 0 ，那么 下列不等式成立 上述两个结论同解析函数的情况相类似 记积分平均值 蜥： 去 忡勺阳a ) 1 p ， 。 结论( 3 ) 如果，- 4f ，那么a 岛( r ，) 墨a 勺( r ，f ) ，( p 1 ) 当f 是 常数或者币( z ) = e i o z 时等号成立 一4 2l = n 2 。眦 一 2 k 。脚 2 钆 。腻 一 2 毗 。脯 巩风 腻 一 k风 脯 钆蚍 脚 一 2 鲰 脚 箱1 章绪论 在文献【1 l 】中，s c h a u b r o e c k 将调和函数的从属性质与他们的雅克 比行列式的优化之间建立了联系 记a u t ( a ) 为单位圆盘的解析自同构对于局部单叶调和函数 ，( z ) = 九( z ) + g ( z ) ，f 的k o e b e 变换和仿射变换分别记为 ( ，( z ) ) = 丑秀簧黼，妒a 让t ( ) ， 训瑚= 糌“l 1 1 十5 口【uj 设单位圆盘内局部单叶调和函数f ( z ) = h ( z ) + 口( z ) ，满足f ( o ) = o ， ( o ) = 1 ，这种函数的全体记为l 我们用下述方法定义族l 是仿射线 性不变族：对于任意的f l ，如果对于所有的妒a u t ( a ) 和h 1 ， 函数耳( ，) 和a ( ，) 都属于l ，则称族l 是仿射线性不变族( a l i f ) 用 s u p y l l a 2 ( f ) i 表示此族的阶，记l o = ，：，l ，g l ( o ) = o ) 利用调 和函数的仿射线性不变族，【1 1 中得到了调和函数的雅可比行列式的优 化半径调和函数f ( z ) = ( z ) + g ( z ) 的雅可比行列式记为乃( 2 ) ，即 乃z ) = z ) 1 2 一1 9 协) | 2 结论( 4 ) 设f 属于阶为o l 的仿射线性不变族l 或者f 属于 p ，1 6 5 so 0 0 如果， f ，那么 以0 ) 如0 ) ，i z l r = a + l 一、，石芦而 这个结果是令人惊讶的，因为调和函数雅可比行列式的优化半径正好与 解析函数导数的优化半径相同 1 4 变分方法 变分方法就是把极值函数和扰动之后的函数进行比较，从而获得极 值函数的信息利用变分方法可以证得函数展开式中关于系数的一些不 等式，还可以解决各种各样的极值问题在共形映照理论中产生了很多 种变分法，如m a r t y 、s c h i f f e r 、g o l u z i u 、s c h o b e r 和j u l i a 等人发展 一5 黑龙江大学硕士学位论文 了各自不同的变分法d u r e n 和s c h o b e r 1 3 】发展了g o l u z i n 的一种变 分方法，将它应用于凸单叶调和映射，研究线性泛函的极值问题，得到 了一些系数不等式和偏差结果 设d 是凸域，0 d ，f = o d 是j o r d a n 曲线，假设妒是由0 a 到r 的同胚，则由到d 的1 - 1 调和映射，可以表示为 化) = 去f 磷妒脚e u ) ，z ea ( 1 。) 若r 的方程为 训= 冗( 口) e 诏，口s 口a + 2 7 r ，则 妒( e 社) = r ( 日( t ) ) e 坩( “，( 1 4 ) 其中口( t ) 是非减函数如果i p ( e n ) 是由o a 到r 的一单调边界函数，且 妒至少取三个不共线的值，那么由( 1 3 ) 所定义的，是单叶调和保向映 射由( 1 3 ) 所定义的映射，的全体记为，其中妒由( 1 4 ) 所定义则 ，包含一切由到d 的单叶调和映射，且，是一紧的正规族因此凸 单叶调和映射的线性极值问题可归结为在f 上求解即可 设l 是定义在，上的线性泛函，且设由( 1 3 ) 和( 1 4 ) 所定义的 ，( z ) 是极值函数，即r e l ( f ) = m a x g e ，- r e l ( g ) ，的变分是基于目( t ) 的 变分，它分为跳跃变分和常变分，详见 1 3 】令 g = 去“游 e i e ( 0 脚醐) ) 】 那么极值函数，满足t ( a ) o ( t ) 在任何r e ( a 保持不变号的区间上是常数； ( b ) 在任何以目的不连续点为端点的区间上r e g 的平均值为零 有时，这些性质可以用来辨别极值函数，从而得到一些不等式 特别，当d = 时，垆( t ) = e i o ( “，c ( t ) 的形式简化，从而得到满 意的结论设到的单叶调和保向映射f ( z ) 有展开式 ( r e 胡) = f r 咐”，o r 1 ) 上的单叶调和映射，在适当标准化条件下是紧 的文献f 5 】中建立了该族的面积原理研究了他们的表示形式、系数 等问题，对于系数问题，只对前两项系数进行估计，其它均没有得到界 限另外，与解析函数族s 和不同，该族的支撑点不一定是割线映 一8 一 第1 章绪论 1 6 调和映射的幅角原理 对于定义在平面区域上的亚纯函数来说，幅角原理是一个重要并且 有用的结论它为定积分的计算提供了一个极为有效的工具因此我们 想到把幅角原理推广到调和函数中来，是否还会有类似的结论成立呢? 1 9 9 6 年，d u r e n ，h e n g a r t n e r 和l a u g e s e n 2 5 获得了定义在j o r d a n 区域上的调和映射的幅角原理：设，是j o r d a n 区域d 上的调和函数，d 的边界为g 假设，在d 上连续，在e 上( z ) 0 若，在d 内没有奇 异零点( 若，在z o 点不是保向的，在z o 点也不是保向的，则称z o 为， 的奇异点) ，并记为，在d 内零点的阶数和，那么a 。a r g f ( z ) = 2 7 r 注意上述定理中，是定义在无孔区域上，并且，在d 内没有奇异 零点，没有极点那么，是否可以扩展到带有极点的调和映射上来呢? 2 0 0 0 年，s u f f r i d g e 和t h o m p s o n 2 6 】进一步把幅角原理推广到带有 极点的调和映射上来：设，在单连通区域d 内除有限个极点外是调和 的e 是d 内的j o r d a n 曲线，在g 上没有零点和极点，n 是由c 所围 成的开的有界区域假设，在d 内没有奇异零点，记为，在q 内零点 的阶数和，m 为，在n 内极点的阶数和，则a 。a r g ( z ) = 2 7 r 一2 7 r m 在文献 2 6 】中我们可以看到延拓的幅角原理能被用来确定一个映射 的单叶性，其它方面的应用详见文献【2 6 】 1 7 本章小结 本章主要介绍了单叶调和函数的一些基本性质，以及到目前为止所 取得的一些主要成果，并指出了一些尚未解决的问题重点介绍了单叶 调和函数的数值估计、覆盖半径、从属性质、变分方法以及一些特殊的 调和映射等其它方面的介绍见文献【27 黑龙江大学硕士学位论文 第2 章调和函数旗中的栗些特殊函数族 设h 为形如( 1 1 ) 式中的调和函数，( z ) = ( z ) + ；两的全体，设 0 q _ _ z - - - - r 6 i 6 ea ， r u ( a ，a ) = ”鼢( ” 掣+ a ( 挈) ) c z , z = r e i o ea ) 特别，当，h ，h ( z ) 一。具有负系数、9 峰) 具有正系数时，用西 袅示玟个子族过时 9 ( z ) = m 扩，i b l i 1 ( 2 1 ) n = 1 当耳时，相应的三类函数分别记为咯( ) ，且暗( 。) 和r y ( a ，a ) 显然r h ( a ，0 ) 兰尸h ( n ) ， r 日( o ，1 ) 三日( 口) 对于单位圆外的这几类函数族，在文献 2 8 】中已经讨论过本文针 对上述几类函数族得到了一些系数估计和偏差定理，并且还讨论了函数 族局 ( 口，a ) 的极值点、卷积和凸组合等 2 1 与系数有关的一些结果 首先给出函数，r 日( 0 f ，a ) 的一个充分必要条件 定理1 设函数，( z ) = h ( z ) + g ( z ) h ，其中h ( z ) 和9 ( z ) 由( 1 1 ) 式给出如果0 o t 1 ，a 0 ，那么，e r h ( a ，a ) 的充要条件是不等式 r e ( 1 叫( 掣均) 州矾沪粕弘) ) ) 狐 ( 2 。) - 1 0 第2 章调和函数族中的某些特殊函数族 证明先证必要性若f r 仃( 乜，a ) ，对任意的p ( 0 ，1 ) ，我们记 厶( z ) = ；，( 舻) ，其中 ，( z ) = ； ( 舻) ，酆( z ) = ；1 9 ( 舻) 因为 咔叫掣+ a 掣 地卜，+ 平) 心一罕) ) = m ( 1 - ”+ 雩) 叶卜孕) ) 娟e - - , ：- - i f - 掣卜 所以厶( z ) r 日( o ，a ) 又厶( z ) 在闭单位圆盘一a = z ：l z ls1 ) 上是调 和函数，从而对于所有的2 五，不等式 卟叫掣+ a 擎 = 黜卜，+ 挈) + a ( 炒孕) 卜 如 ( 1 _ a ) ( 半+ 剥州姒圹丽) ) 独( 2 s ) 由调和函数的最小值原理，对于所有的z 五，不等式( 2 , 3 ) 都是成立 的令p 一1 ，( 2 3 ) 式化为 & ( 1 一( 警+ 碉) 州脚) _ 丽) ) 独z ea 故( 2 2 ) 式成立 再证充分性若，( z ) 满足( 2 2 ) 式，对任意的p ( 0 ，1 ) ，z 五，有 下式成立 & ( 1 - a ) ( 警+ 丽) 州m 圹研丽) 独 黑龙江大学硕士学位论文 在单位圆刷= 1 上，此不等式化为 鼬卜，( 訾+ 孕) 叶卜罕) 卜 ( 2 4 ) 由调和函数的最小值原理，对于所有的z 五，( 2 4 ) 式成立令p - 1 ， ( 2 4 ) 式化为 & ( 1 - ”( 半+ 孕) 小一孕) ) 地卜，掣+ a 学卜 故，r u ( a ，a ) 推论1 设函数f ( z ) = ( z ) + 丽h ，其中h ( z ) 和g ( z ) 由( 1 1 ) 式给出若0 口 1 ，则 ( i ) ，b f ( a ) 的充要条件是不等式 掣均) 狐z ea , 成立； ( i i ) ，n h ) 的充要条件是不等式 r 启 ( z ) 一z 2 9 7 ( z ) ) o ，。a ， 成立 其次给出函数，r t t ( a ，a ) 有关系数的一个必要条件 定理2 设函数f ( z ) = h ( z ) + 丽h ，其中h ( z ) 和g ( z ) 由( 1 1 ) 式给出如果0sa 1 ，a 0 ，r u ( a ，a ) ，记b o = 0 ，则有不等式 i ( 礼a + 1 ) 西什l 一( n a 一1 ) 6 。一1 l 2 ( 1 一口) ，( 忆= 1 ，2 ，) ( 2 5 ) 特别当儿= 1 时， j 啦is 掣i 当n = 2 】6 l = 嘁l a 3 1 鼎 第2 章调和函数族中的某些特殊函数族 展开式( 1 1 ) 代入到( 2 2 ) 式得 r e ( 1 - 妁( 掣忉) 刊矾z ) - z 2 9 ( 圳) = n ( 1 - 柚( - + e 薹：a n z n - 1 _ - 妻n = l ) + a ( ，+ 妻n a n z n - 1 _ n = 2n = l 呶1 ) ) + a 1 + 哟。尹“) j = r e c 一a ，( - + 薹e 。+ + a 。一t ，z “) + a ( + 妻n = lc e n + ，+ 一e n 一，。一，z n l ) + a ( 1 + ( ( n + 1 ) 咖一( n 一1 ) k 1 ) 扩l j ：r e ，+ 泓川h 。卟a 一1 ) b 州矽、 独 = 1 + ( ( 礼a + 1 ) 帅一( 礼a 一。一1 ) 扩 a 鼬 ，+ 薹坐等警扩卜 由解析函数的c a r a t h e o d o r y 引理断定 i 坠业竿1 訾b ( n _ 1 i 2 ，) 一0 1l 一7 、7 故( 2 5 ) 式成立证毕 0 0o o ，0 ) = z + ( 1 一口) z 。扩+ e ( 1 一口) 玩尹，z n = 2n = l 其中。2 = 而2 ，( 扎a + 1 x n + - - ( n a 一1 ) 一1 = 2 ，n = 2 ，3 因为 r e ( 1 _ a ，( 掣均) 州- z 2 9 ( 瑚) 哦( 1 - a ) ( - + 墨( ，刊即“+ 量( ，刊彬州) 一1 3 黑龙江大学硕士学位论文 + f 1 + 墨( 1 - a ) n x 。矿t 一曼( 1 一a ) n y + - 1 + ( + ( 1 一 。z “一1 一( 1 一 。z ”+ 1 ) n = 2n = lj 地 ”刊( 。：+ 墨( ( 小啦州卟胁小“) 地 ，州刊争) = m ，删，刊圭) 狐 又由定理1 ，所以，尺日( o ，a ) 而 l a + 1 ) a 。+ l 一( n a 一1 ) h 一1 i = l ( 1 0 f ) ( ( 佗a + 1 ) z 。+ 1 一( n a 一1 ) 弘。一1 ) i = 2 ( 1 一n ) 故这个函数使定理2 中的( 2 5 ) 式成为等式 推论2 设函数，( z ) = h ( z ) + 9 ( 2 ) h ，其中 ( z ) 和9 ( z ) 由( 1 1 ) 式给出记b o = 0 ( i ) 若，p h ) ，则 1 d 。十l + b 。一1 s2 ( 1 一q ) ，( n = 1 ，2 ，) 特另0 当n = 1 时，l a 2 l 2 ( 1 一。) ；当礼= 2 ，b l = 0 时，i a 3s2 ( 1 一) ( i i ) 若，n h ( 0 0 ，则 ( n + 1 ) o 。+ l 一( n 一1 ) 6 。一1 1s2 ( 1 一。) ，( n = 1 ，2 ，- ) 特别当n = 1 时，i 口2 i 1 一口；当n = 2 ，b t = 0 时，i a 3 l 吾( 1 一o ) 定理3 设函数，( z ) = h ( z ) + g ( z ) h ，其中h ( z ) 和9 ( 。) 由( 1 1 ) 式给出如果对于a ，0 o 1 ，不等式 一1 ) a + 1 ) 川+ ( m + 1 ) a 一1 ) 2 一a ，n l = 1 ( 2 6 ) 成立，那么，r h ( o r ，a ) 证明由定理1 只需证明( 2 2 ) 式成立将九( 。) 和9 ( z ) 的展开式 ( 1 1 ) 代入到( 2 2 ) 式的左边得 第2 章调和函数族中的某些特殊函数族 r e ( 1 _ a ，( 掣均) 州，- - z 2 9 ) ) = r e ( 1 一a ) 1 + n 。z “一1 + 6 n z “+ 1j + af + o ot t a n z n - 1 1 一登n b 。) + ai + 一 。z “+ 1 ) 誓2 1 7 三 、 fo oo 。、 = r e 1 + ( ( 礼一1 ) 入+ 1 ) a 。扩一1 一( ( 他+ 1 ) 入一1 ) k z ”+ 1 = 1 + ( ( n 1 ) a + 1 ) a 。p c o s ( n 1 ) 9 一( ( n + 1 ) a 一1 ) 6 。r “+ 1c o s ( n + 1 ) 0 1 一( ( n 1 ) a + 1 ) f o 。i r “一1 一e ( ( 礼+ 1 ) a 一1 ) l b 1 r “+ 1 2 一【( ( 竹一1 ) + 1 ) 口。1 + ( i n + 1 ) 一1 ) 1 k 1 】2 口 由( 2 6 ) 式知最后一个不等式成立，故，r u ( a ，a ) 考虑调和函数 弛一+ 薹尚x n z n - - 三赫识蚝色 其中 z 。l + ei i = 1 。因为 【( ( n 1 ) a + 1 ) j i + ( + 1 ) a 一1 ) 1 6 n 目 n = l o 。o 。 = 1 十( 1 一ef 卫。f 十( 1 一口) l y n l = 2 一， 所以f r n ( a ，a ) 这个函数使( 2 j ) 式变成等式 注1 对于由( 1 1 ) 式所给出的，( z ) = h ( z ) + g ( z ) h ，a h u j 8 和j a h a t t g r i 在文献【2 9 1 中已经证明了若付( 1 a n i + l k 协2 一，则 ，日( ) 实际上，同定理3 的证明方法相同，我们还可以证明若 ( a 。 + l b i ) 2 一。，则，p n ( 口) 在下面这个定理中，我们可以看到对于咯( o ，a ) 这个函数族，由 ( 2 6 ) 式所给的系数条件也是必要的这个定理是本文的中心定理，它为 我们得到这几类函数族的其他性质提供了很大的方便 黑龙江大学硕士学位论文 定理4 设函数，( z ) = ( z ) + 口( z ) h ，其中h ( z ) 和g ( z ) 由( 2 1 ) 式给出记a l = 1 如果对于a j 1 ，0 兰 1 ，那么，r 亓( a ，a ) 的 充分必要条件是不等式 m 一1 ) a + 1 溉i + ( + 1 ) 土一1 ) l b , j 2 一， 成立 证明充分性由r _ f ( o ，a ) cr h ( a ，a ) 及定理3 即得 现在证必要性设，咯( a ，a ) ，当a ；，z = r e 徊时，下式 成立 舶 ( 1 _ 砷( 掣+ 吲z ) ) 俐- z 2 9 ( 砌) = r k c 一a ，( 一薹i 。l z “一1 + 壹n = l i 。l z ”+ 1 ) + a 、1 - - 。o ：o ：n i 。i z ”一1 一薹n l b 1 z ”+ 1 ) ) + a ：n 川广1 _ ”1 ) 、 = 2 n = lj = r e l 一( 一1 ) a + 1 ) 川广1 e 砸。1 一( + 1 ) a 一1 ) r 州e 咖+ 1 ) 8 = 2 一 ( 一1 ) a + 1 ) i 。i t n - ic 0 3 ( f 。一1 ) e + ( ( 礼+ 1 ) a 1 ) 1 6 。i r “+ 1c o s ( n + 1 ) 目 o 令目= 0 ，r _ 1 一，上面的不等式化为 一1 ) 入+ 1 ) 1 1 + ( + 1 ) a 一1 ) i b 。忙2 一口 注2 当a = 1 时，定理4 化为文献【2 9 】中的定理2 ，也就是说， ， 峙( a ) 的充要条件是下列不等式成立 + n l k i ) 2 一a ，a l = 1 第2 章调和函数族中的某些特殊函数族 2 2 包含关系 下面我们将给出r - 虿( o l ，a ) 和a 旨( 口) 这两类函数族之间的包含关 系 定理5 设0 a 1 ，则下列两个包含关系成立 ( i ) 音( ) cr - 耳( a ，a ) ，妄a 1 ； ( i i ) r y ( a ，a ) c 蜥( n ) ，a 1 证明( i ) 当妄a 1 时，注意到 o 。 o 。 一1 ) a + 1 ) l a n l + ( ( n + 1 ) a 一1 ) 刚n ( i a n i + 陋。1 ) 2 一乜， ”= 1 n = l 由定理4 及注2 立即可获得包含关系( i ) ( i i ) 当a i 时，注意到 0 0 n ( i a n i + s ( 一1 ) a + 1 ) l a n i + ( + 1 ) a 一1 ) s2 一d ， n = l n = l 由定理4 及注2 立即可获得包含关系( i i ) 设0 口 i ，我们还要考虑星象函数族 擘( q ) ： ， 以及凸象函数族 翰( a ) = ，： ，e 南蚓m ) ) 狐z = 8 ) ，叫扣g 。 掣卜z 圳) 若，面，则其相应的两类函数族为 s 旨( 。) = ，：i j s _ 日( o ) ，- p ， f e 茸( 8 ) = ，：f k h ( a ) ，豆) a v c i 和z l o t k i e w i c z 硎，s i l v e r m a n ；1 8 j 以及s i l v e r m a n 和s i l v i a a o j 已 经研究过s 日( o ) ，k u ( o ) ，s 膏( o ) ，和k n ( o ) 这几类函数族，j a h a n g i r i 在 文献1 3 1 和【2 3 】中已经证得了下列两个定理 一1 7 黑龙江大学硕士学位论文 定理a 设函数f ( z ) = 7 l ( z ) 十i 两日，其中 ( z ) 和9 ( z ) 由( 1 1 ) 式给出若对于0 d 1 ，不等式 薹拦k l + 薹等 ( 2 7 ) 成立则，s h ( q ) 若h ( z ) 和9 ( z ) 由( 2 1 ) 式给出，则( 2 7 ) 式也是f s 旨( d ) 的必要 条件 定理b 设函数i ( z ) = 危( z ) + 9 ( z ) h ，其中h ( z ) 和9 ( z ) 由( 1 1 ) 式给出若对于0sd 1 ，不等式1 薹掣m + 薹掣， 皿s ， 成立则，k h ( a ) 、 若九( z ) 和g ( z ) 由( 2 1 ) 式给出，则( 2 8 ) 式也是，k - 茸( a ) 的必要 条件 下面我们讨论咯( ，a ) ，s 旨( a ) 以及k y ( a ) 这三类函数族之间的包 含关系 定理6 下列三个包含关系成立 ( i ) s 耳( o ) c 码( o ，u ，妄a 1 ； ( i i ) r - 耳( a ，a ) c ( 卢) ，a 1 ，os 口 1 ，o 卢 1 ，卢击； ( i i i ) 爿- ( 卢) c 五耳( “，a ) ，言茎a 1 ，0 q 卢 1 ，b i = 0 证明( i ) 设，s 音( o ) ，当去a 1 时，由定理a ，不等式 f ( ( 礼一1 ) 天+ l 牖i + ( + 1 ) 天一i ) i b a l 钆( m + 蚓) 2 ， 成立再由定理4 知厂r 虿( o ，a ) ( i i ) 设，r - 耳( a ，a ) ，由a 1 ，卢焘知 薹搿k i + 薹搿i 第2 章调和函数族中的某些特殊函数族 薹南i + 三搿l 剐n = 22 枷i 训+ 耋寄掣i k 萎而n 1 nj + 击怕一 妻岩吲+ 耋咩字， 由定理a ，f s - h ( z ) ( i i i ) 设f k - g ( _ f 3 ) ，我们需要证明f 姊( 口， ) 由去茎as1 o o 卢 1 以及定理b 可得 ( ( n 一1 ) a + 1 ) i a n i4 - ( + 1 ) a 一1 ) n = 2n = l o o o o s n 蚓+ 、圳k i n = 2n = l s n m 一卢) 蚓+ 礼+ f 1 ) t b 。i n = 2n = l 1 一卢l 一口 又由定理4 可知，冗万( a ，a ) 2 3 偏差定理和极值点 定理7 设函数，( z ) = ( z ) + 9 ( z ) h ，其中 ( z ) 和g ( z ) 由( 1 1 ) 式给出记z = 7 e i 8 ，0 r t ( i ) 若f 鼢( ) ，则下列各个不等式成立 警l 掣均卜警1 ；( 2 9 )1 + rlz 。l 一一r 、7 l 鹕 掣均) | a r c s i n 端 删 黑龙江大学硕士学位论文 【i i ) 右，h 【0 f ) ，则r 列各个不等式成豆 警5 ) - z 2 9 ( z ) i 掣； i a r g ) - 2 9 ( z 1 1 o 由h e r g l o t z 表示定理 盥+ f z g ( - z ) - a = f o 孙瓦e i t + z ， l ne “一z 其中p ( t ) 是【0 ，2 7 r 】上的概率测度于是 掣+ 绯，= f 0 2 ”瓮筹竽 由于下列不等式 土世 l e i t + ( 1 - 2 a ) z l ! ! ! 二型! 1 - 4 - r i e n z i 一1 一r f a r g 掣卅祷 成立，故( 2 9 ) 式和( 2 1 0 ) 式成立 ( i i ) 由( i ) 同理可证得 下面我们将给出一个偏差定理 定理8 设f 砖 ，柚，z = r e 硼，当a 1 ，0sa 1 时，下列 不等式成立 i f ( 。) l ( 1 + b l i ) r + 南( 1 一。一( 2 a 一1 ) ； i 化) l ( 1 一i b l l ) r 一南( 1 一。一( 2 a 一1 ) ， 第2 章调和函数族中的某些特殊函数族 证明我们只证明第一个不等式第二个不等式同理司得 设f r 万( d ，a ) ，将f ( z ) 的展开式取模，得到 i f ( z ) i = l z 一蚓扩+ 旧一哥i n = 2n = l ( 1 + i b i f ) r + 芝二( f 。i + f b n f ) r “ 磊2 s ( 1 + i b i i ) r + 芝二“i + | 6 。i ) r 2 磊2 = ( 1 + 1 6 i ) r + l - a 妻一。( a + l 口n l + i x 一+ 。i l b 。1 ) r 2 外制n 等妻( 告学i 叫+ 峙掣吵2 ( 1 邶m r + 罱( 1 _ 2 a 一- 。1 i 州) r 2 = ( t + i b l i ) r + t 三了( 1 一a 一( 2 a 一1 ) i b l l ) 推论3 设a 1 ，0 茎 1 ，若f 咯( ，a ) ，则 训 坐a + i幕1 6 1 i ) c ，( ) 我们用c l c o f 表示函数族f 的闭凸包