（应用数学专业论文）关于延期型实物期权的定价模型分析.pdf

耻硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 梓武乏豁投华牟师久 主席 赫钆垂油暖拳剩和久 磅皂屯蠡0 衩暾华尔卿久 截谴晖 抖，伟辱刺伊久 缸，岔 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果据莸所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已 经发袭或撰写过的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已 在文中作了明确说明并表示谢意 4 作者签名：基叠日期 学位论文授权使用声明 蓄篓，鬻赛痧企日期；一f - b 、f 一s 。b 导师签名：欺 日期：撕c 、击， 躲稚贿躲 一一一一一一一 一一一一 雠麟艚橼靛嘲靛删觥硼 一一一一 一一一一一 一一一一舱姘娴敝船 本一一一 摘要 摘要 企业的经营者在进行项目投资的决策分析时候，往往面临许多不确定的因 素，如产品的价格，政策等，这些对其作出一个项目投资的决策有很大影响， 传统的净现值方法在这个情况下对于投资的决策显得力不从心，尤其在市场 变化迅速的今天，进行风险投资的时候更需要采取灵活的经营策略，在获得更 多的信息之后再决定投资 本文主要将期权思想引入到项目投资决策分析中来。讨论一类很重要的项 目投资类型：延期型实物期权文章首先在决策无时间限制的情况下对单阶段 项目投资建立实物期权分析的框架，讨论了市场上的几点因素对于项目决策 的影响然后很自然地扩展到多阶段的情形，在这里本文考虑项目投资分为许 多阶段进行，分析了每个阶段上的投资决策情况，并且得到项目的完全投资 是否完成取决于前一阶段的投资决策情况结合市场的特性，本文讨论了项目 投资的资产遵循特定的随机过程的情况时的决策分析情况，如在一个假设石 油价格遵循均值回复的随机过程下的石油投资开发项目；还有就是在未来发 生突变的情况对投资的影响，如来知的政府行为( 税收政策的变化) 对于项目 投资的影响，这时考虑的是跳扩散模型塌外在扩展部分还建立了未来多现金 流对于项目投资决策分析的框架对于项目投资分析决策有时间限制的情况文 章在第四章得到讨论，思路同前面一样，首先建立了单阶段上面的决策框架， 由于引入了时间的因素，所以项目的投资决策变为不确定，也就是最优投资边 界问题，这个类似与金融期权中的自由边界问题，我们讨论了最优投资边界的 一些性质，对于这样一个延期型实物期权，最优投资边界f + ( ) 是一个单调非 增的函数，并且推导出其满足的非线性第二类v o l t e r r a 积分方程，在文章的最 后，尝试着用隐式差分法描绘出最优投资边界的图形 关键词：实物期权，项目投资，最优投资边界，n p v 方法 第】章绪论 1 1 1 实物期权的起源 第1 章绪论 第1 1 节实物期权综述 期权( o p t i o n ) 是指一种选择权，持有者通过付出一定成本而拥有一项在到期 日或到期目之前根据具体情况作出具体选择的权利期权的实质是赋予其持有 者一项权利而不是义务期权作为种选择权，不仪广泛存在于金融领域，在现实 生活中也普遍存在实物期权( r e a lo p t i o n ) 的概念最早可追溯到亚里斯多德的著 作中亚里斯多德讲述了这样一个故事一位大智的哲学家t h a l e s 在橄榄收获的 前半年，用很少的钱与一些拥有橄榄榨油机的老板做交易，他以普通的利率购买 租用这些榨油机的权利当橄榄创纪录丰收到来时，种植者们对榨油机的需求剧 增，他就以高于市场利率的价格将榨油机租给种植者们，而他给榨油机的主人只 付原来约定价格的钱，t h a l e s 从中获得利差大皴钱在这个故事中，t h a l e s 购买了 租用榨油机的权利，但不是责任与义务( 他购买了一个买权，买或租的权利) 如 果橄榄收成很差，他损失的仅是原来很小的投资，明期权的费用这是一个古老而 典型的实物期权的例子现在可以发现期权的概念已经引入到了项目投资决策 当中， 企业的经营者在进行投资决策时往往面i 瓶着许多不确定性因素，例如产品 供求的变化、原材料的价格变化以及利率、汇率等的波动，因此在进行风险投 资时往往采取灵活的有弹性的经营策略，即在获得更多的市场信息之后再选择 是否进行投资或改变投资规模这些针对经营风险采取的灵活性经营策略与金 融期权有着相似的性质，因此将其称为企业所拥有的实物期权，实物期权的基 础资产是非金融资产( 如投资项目、自然资源或者未来的收益) 传统的投资理论 往往忽略对实物期权的研究，与其对应的资本预算方法( 如净现值法) 也就忽略 实物期权的价值，可能导致投资失误 1 1 2 实物期权的分类 t o m c o p e l a n d 和l e n o st r i g e o r g i s 等将企业拥有的实物期权概括为五大类 延期型、扩展型、收缩型、放弃型和开关型这五类实物期权的主要特征如下： 延期型期权( o p t i o nt od e f e rd e v e l o p m e n t l 3 第1 章绪论 延期型期权是实物期权中最重要的一类，它相当于一个看涨期权企业投 资的大部分为沉积成本( s u n kc o s t ) ，难以收回如果企业可以延期投资，就 可以等到获得更多价格、成本及其他信息之后，再决定是否投资所以企 业如果能够延期投资，就等于拥有了一个买权，其执行价格为投资费用 放弃型期权( a b a n d o n m e n to p t i o n ) 放弃型期权相当于一个看跌期权项目经营一段时间后，如果经营效果不 佳，企业可以放弃投资并且获得清算价值请算价值就相当于执行价格当 项目的净现值低于清算价值时，放弃或转卖这一资产，相当于企业执行了 这一看跌期权，可以避免更大的损失， 扩展型期权( o p t i o nt oe x p a n d ) 扩展型期权柑当于一个看涨期权项目投资后，如果市场条件好，企业可以 通过扩大投资规模获得更大的收益 收缩型期权( o p t i o nt oc o n t r a c t ) 收缩型期权相当于一个看跌期权大多数项目都考虑到市场需求减小时或 在其他情况下收缩投赘规模 开关型实物期权( s w i t c h i n go p t i o n ) 开关型期权是一个看涨期权和一个看跌期权的组合企业经营过程中如果 出现不利情况，可以暂时停工停工柑当于一个看跌期权，停工的成本是执 行价格暂时停工的项目重新开工相当于一个看涨期权 第1 2 节本文的一些约定、结构及主要结果 1 2 1 本文的些约定记号和解释 f ：实物期权的价格 y ：项目投资决策分析的标的资产：项目未来的现金流价值，这是折现后的值 ，：项目的投资费用，本文中为定值 p ：项目投资决策分析的标的资产：如石油价格 丁：项目投资决策分析的截止日期 口：项目的标的资产的波动率，如石油价格的波动率 4 第1 章绪论 6 ：项目投资的支出率，类似于金融期权中的红利 r ：无风险利率 1 2 2 本文的结构安排和主要结果 本文主要讨论的是延期型期权，这类期权可以看作是一个看涨期权。文章 首先在第二章的前半部分建立无时间限制下的单阶段项目投资决策分析的框 架基础，并在此基础上面讨论各个因素( 项目投资的波动率盯、支出率j 、无 风险利率r 和投资费用f ) 对项目投资决策的影响。第二章的后半部分是本文 的一个重要内容：建立了无时间限制下的多阶段项目投资决策分析的框架，得 出了在多阶段的情形下，项目投资的决策是否全部完成只与第一阶段的投资 决策相关：如果第一阶段的投资决策分析的结果是进行投资，则该项目余下来 的几个阶段也满足投资条件；否则在第一阶段要继续等待。文章在第三章讨论 了y 遵循均值回复过程和跳扩散过程情形下的项目投资决策分析，并建立了 多现金流的项目投资决镱分析框架。第四章是项目投资决策分析有时问限制 情形下的分析。由于时间的引入，实物期权的价格与p 和时问t 相关，并给出 其解的分解公式，讨论了最优投资边晃的问题，最后借助隐式差分法，尝试着 描绘出最优自由边界的图形。 5 第2 章无时问限制下瞧塞塑塑壑堡墨煎蕉皇 第2 章无时间限制下的实物期权框架的建立 项目投资机会的选择，也就是决定何时执行项目的投资传统的n p v 方法从 静态的角度考虑投资，为了降低风险，通过选择一个高的折现率计算出当前时 刻净现值是否大于0 ：如果大于0 ，立即执行投资；反之，放弃投资该项目n p v 方 法并且认为项目投资是不可延缓的，现在如果不投资，以后就没有机会了，而期 权思想应用到项目投资中，从动态角度考虑投资，主要一点它认为投资可以延 缓，并且认为风险的价值不可忽略口 s l s l ，因为期权思想认为，不确定性也是有价 值的，并且不确定性越高，投资价值就越高 我们考虑这样的问题：在t 时刻，投资某个项目需花费j = 1 0 ，未来项目收益 的现值v = 1 2 ，问题是：该项目是否现在立即投资? 如果用n p v 方法，应该选 择立即投资但是从期权角度考虑，可能经过a t 时段，即在t + a t 时刻进行投资， 未来收益的现值为v = 1 4 ，也就是说在t + a t 时刻获得的净收益( 0 4 ) 大于在t 时 刻获得的净收益( 0 2 ) 这就是在t 时刻保留执行项目投资权利的价值，或者说是 延缓执行项目的价值这类问题的讨论我们归结为实物期权问题，其标的资产是 某个项目，不存在交易市场而与之相对应的金融期权是处理金融市场上交易的 金融资产的一类金融衍生工具，其标的资产是期权期货债券等可以上市交易的 金融工具可以参考文献 5 】和【6 】，其中有详细的两者之间的比较 第2 1 节在单投资阶段情况下建立基本的框架 单投资阶段是指项目投资只进行一个阶段，投资结束立即获得收益我们假 设项目的初始投资仅有一次，花费为j ，并且假设，是个常量；另外项目投资机 会没有时问的限制，这隐含了项目投瓷机会的价值与时闻无关；y 是项目投资 获得的收益，为了简化讨论，我们假设矿是项目收益折现到初始投资时刻t 时的 值，p 是y 上的期望回报率，后文将会选取p 等于无风险利率，6 是项目的支出率， 在无风险的情况下： 罟= 一d ) t v 在有风险的情况下，假设v 遵循如下几何b r o w n i a n 运动： 等= 一出q - a d z( 2 1 ) 6 第2 章无时间限制下的实物期权框架的建立 其中如是w i n n e r 过程设该类型的项目的投资的决策机会的价值为f ( v ) ( 因为 不考虑项目时间限制，故该项目应为无限期项目视f 为变量y 的函数) 。目的： 选择临界值 ，使得f ( p ) = m a x f ( v ) ，v 0 ，+ 。) ，也就是使得项目的投资 机会价值最大下面建立关于f ( y ) 满足的方程和条件 第一种方法：动态规划方法【2 2 j f ( y ) 必须满足b e l l m a n 方程： p f d t = e ( d f )( 2 2 ) 7 式( 2 2 ) 的解释：经过d t 时段，投资机会的期望回报p f d t 等于资本的期望增值e ( d f ) 其中p 是某个比例系数，下文将会给出具体解释 o = p 一6 ，对f ( y ) 使用i t 引理得到： d f = a y f ，( y ) + 互1 押2 州y ) d t + a f ( 州z ( 2 3 ) 将式( 2 3 ) 代入到式( 2 2 ) 中得到： p f d t = n y f ( y ) + j 1 2 y 2 f ”( y ) 如 ( 2 4 ) 整理后得到： i j 口2 y 2 f ”( y ) + 。y f ，( y ) 一p v ( v ) = 0( 2 5 ) 当v = 0 ，显然 f ( 0 ) = 0( 2 6 ) 选取的p 要使得项目投资机会的价值f ) 为最大，则要满足： f ( v + ) = v + 一i( 2 7 ) 另外： f ( 矿) = l( 2 8 ) 以上问题的解很容易就可以得到，但是还有一点：怎样选择合适的p ? 下面用期权 的方法将会发现p 的一个合适选择 第二种方法：应用期权的思想，构建一个投资组合 首先构建一个投资组合i i ，其价值为： i i = f ( v ) 一n v ( 2 9 ) 第2 章无时间限制下的实物期权捱奎的建皇 其中n = f 7 ( v ) ，考虑到项目的支出率：n y - d ，这样此投资组合在班时段上的 价值变化为： d i i = d f n d v n v g d tf 2 1 0 】 由无套利理论可以得到： d i i = r i i d t ( 2 1 1 ) 其中：r 为无风险利率这样把式( 2 1 ) 和( 2 3 ) 代入到上式，整理后可得到： ；盯2 矿2 f ”( y ) + ( r j ) y f 7 ( y ) 一r f ( v ) = o ( 21 2 ) 对比式( 2 5 ) 和( 2 1 2 ) 就可以发现，我们只要选取p = r ；同样f ( y ) 需要满足条件 ( 2 6 ) ( 2 7 ) 和( 2 8 ) ，此问题的最终的解如下： 卢= ；一万r - 5 +( 雩一沪。 v ：生 口一1 a ：v * - i ( v + ) 口 第2 2 节分析各个因素的影响 类似于金融期权，我们对延期型实物期权价值影响的因素吼5 ，r ，作个分 析这里我们分析的时候假设其中一个因素变化，而其他的因素保持不变， 2 2 1 项目标的资产波动率口对项目投资价值的影响 在金融期权中，不管对于看涨期权还是看跌期权，我们知道，对于不同的标 的资产，波动率口越大，期权的价格越高类似的对于实物期权也有类似的性质， 8 3l 十 矿矿矿矿芦，矿一 a 矿 ，j【l = l j 矿 ，【 p 中其 第2 章无时间限制下的实物期权框架的建立 项目投资的标的资产( 如石油价格) 波动率越大，项目投资决策机会的价值葛c | c 越 大下面具体说明一下在上面一节中，当v v + 时，f ( v ) = v ，与口无关；所 以我们仪分析vsv + 时的情况 由上一节可知p = ( 互1 + 等) +厄亭再扎胁 数f c y ，= a 伊= 两v * - i = c y + 一q ( 茜) 4 = 南( 茜) 4 因为长， 所以f ( y ) 是口的减函数，这样可知f ( y ) 是j 的增函数这就解释了波动率仃越 大，期权的价格越高下面两个图f i g u r e l 和f i g u r e 2 分别是当r 6 情况下 分别取不同的一值时的实物期权价格从两图中都可以看：出，o - = 0 4 的i i i 线在 口= o 2 的曲线_ 1 = 7 ，并且，口越是接近o ，实物期权价格l f i 线越是向m a x ( v i ，o ) 靠 近 f i g u r e1 ：r 6 两个不同波动率下的实物期权的价格比较 类似的结论：项目投资的支出率上升，则实物勰权的价格下降，也就是项目投 资的决策机会的价值下降，具体说来：在v v 时，由于p 是6 的增函数，而 f ( v ) = 万乌( 长) 口，其中万v 1 ，所咀f ( y ) 是6 的减函数f i g u r e 3 是这样一 个实例， 2 2 3 无风硷利率r 对项目投资份值的影晌 从上面的分析f ( 是p 的减函数，而是r 的减函数，所以在本章所讨论 的f ) 是r 的增函数这就意味着：随着无风险利率r 的增加，实物期权的价格 f ( 矿) 上升，执行边界p 也上升f i g u r e4 是不同无风险利率下的实物期权l 怿l 线 图 2 2 4 投资费用，对项目投资决策的影响 项目投资费用j 类似于金融期权中的执行价格，其的大小直接影响着项目投 资的决策- 彳硅显然，由于此类延期型实物期权类似看涨期权，投资费用的增加 使得p 变大，无疑会降低实物期权的价值并且我们注意到，一0 ，则v 一0 f v f i g u r e5 是投资费用分别取1 ，1 5 ，2 的时候的价值比较 1 0 第2 章无时间限制下的实物期权框架的建立 f i g u r e3 ：不同支出率6 下的实物期权的价格比较 f i g u r e4 ：不同无风险利率下的实物期权的价格比较 1 1 第2 章无时间限制下的实物期权框架的建立 f i g u r e5 ：不同投资费用下的实物期权的价格比较 第2 3 节 多阶段投资情况下面的实物期权分析 1 2 在本节中我们把项目投资的阶段扩展到投资分多阶段的情况下这里先以 项目投资分为前后两个阶段进行讨论 某个项目需要分为两个阶段进行，只有完成阶段1 的投资，才能进行阶段2 的 投资，并且当阶段l 投资完成就立即进入阶段2 的投资决策分析中阶段1 和阶 段2 的投资花费分别为z 1 和是；这里我们假定五和乃都是固定的整个项目一旦完 成投资，就立即获得收益，单位时间内生产一单位产品的成本为g ，产品的价格 为p ，受外部市场条件的影响，我们假定p 遵循如下的几何b r o w n i a n 运动： d p = a p d t + a p d z ( 2 1 4 ) 其中：o l = r 一6 如果p 跌落到g 以下，我们可以先延缓生产，收益为0 ；如果肚 升到高于e ，则恢复生产，收益为p g 。综合以上分析得到单位时间上获得的收 益为- ( p ) = m a x p c ，o ) 对于这样的两阶段投资问题，我们需要用回溯的方法来解决，具体思路如 下： 首先，需要找到项目完成投资时的价值( p ) ：也就是说，我们把项目看成一个 “商品”，当这样一个“商品”生产好了之后，我们将它出售，问这样一个“商品” 的价值是多少，这样一个价值包含两个部分，其中一个部分是厶+ 如，另一个部 分是该产品潜在的收益部分，即该项目的产品带来的收益 第2 章无时间限制下的实物期权框架的建宴 其次，找出在第二个投资阶段上的项目投资机会价值f 2 ( p ) 和l 临界价格巧，这 里临界价格是指对应投资决策阶段的最优投资价格，如果把这一阶段看多单 独的一个投资阶段也就是这个阶段上的投资临界值( 和前面第2 ，1 节中的含义一 样) 。 最后，找出在第一个投资阶段上的项目投资机会价值f l ( p ) 和临界价格矸 从上面的分析中，不难发现一点，由于假设没有时间的限制，这样总要等待 第一阶段投资的结束才能进入第二阶段；并且，一旦第一阶段投资结柬就立即 自动进入投资的第二阶段这尽管有助于我们的分折，但是实际情况中是有时间 限制的以下我们具体讨论每一个部分 2 3 1 项目完成投资时价值彤( p ) 项目完成投资时，单位时间上立即获得收益7 r ( p ) = m a x p c ，0 ) ，价格p 遵 循式( 2 1 4 ) 在项目完成投资时，经过出时段，项目的价值变化由两部分组成： r w d t = e ( d w ) + r ( p ) d t( 2 1 5 ) 式( 2 1 5 ) 中t r ( p ) d t 是由于出售产品而获得的额外收益，属于潜在收益部分r 是无 风险利率 对( p ) 应用i t 引理： d w = 卜p w ( p ) + 豆1 仃2 p 2 w ”( p ) 出+ a p w ( p ) 出 把式( 2 1 4 ) 和式( 2 ，1 6 ) 代入式( 1 5 ) 中得到： r 出= d p 7 ( p ) + 互1 盯2 p 2 ”( p ) 疵+ 7 r ( p ) 疵 整理后得到： ；a 2 p ”( p ) + p 一6 ) p w ( p ) 一r w ( p ) + 7 r ( p ) ：o ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 约束条件：w ( o ) = o ；并且，在尸= e 处，( p ) 和阿( p ) 保持连续性比较方 程( 2 1 7 ) 和( 2 1 2 ) ，发现一点不同就是( 2 1 7 ) 多出7 ( p ) 这一项，这是由于项目完成 获得的潜在收益造成的方程( 2 1 7 ) 的解如下： c 尸，= 竺竺+ 了p 譬 p g ( 2 1 8 ) 1 3 第2 章无时间限制下的实物期权框架的建立 其中 岛= j 1 一型o - 2 + 角= ；一雩一 v 一势薯 厄夏再 ( 譬一字) ( 譬一竽) o c 下 面分析露 c 的情况 由式( 2 1 8 ) 得到： w ( p ) = b 2 p 岛+ ；一二( 2 2 6 ) 0 t 把上式和式( 2 2 3 ) 代入式( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) 中得到： 三篇麓荔纛二挚 d 2 _ 警( 驴呐+ 去( 尉柏 lb ：( 历一伤) ( g ) 虎+ ；( 卢- 一1 ) 芝一( 鲁+ 屯) 岛= 。 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 方程m ( 2 2 8 ) “f l 的第二个方程需要数值方法解出昂虽终我们得到这一阶段投资 的分析； id2pp-p c 1 7 ( 2 4 1 ) f 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) 从式( 2 4 3 ) 可以发现在第一个投资阶段，一旦p 达到日，则立即选择执行投资，因 为前面我们已经假设没有时间的限制，这将会使得投资立即进入第二阶段，由 于j y 忍，所以进入第二阶段也是立即执行投资，这样依次类推，直到投资全 部完成，也就是说在多阶段投资中，只要第一阶段达到投资执行的条件，则该项 目投资即可完成 2 3 5 本章结束语 在本章主要从期权角度考虑项耳投资的选择，在假设没有时问限制的基础 上进行讨论，得出了式( 2 4 1 ) 和( 24 3 ) 的结论，其中( 2 4 3 ) 对我们投资分析有很大 的帮助，上面已经说明了它的含义实际的项目投资情况还要复杂的多，因为不 可能一个项目没有时间限制的，不仪投资的决镶有时间限制，而且投资的执行， 获得收益的过程都有时闻因素；另外对于多阶段投资项目可能很多阶段是可以 同时进行，可能很多阶段分配在不同区域进行；对于投资的花费，可能由于市 场原因是变动的 第3 章遵循特定随机过程的实物资产 第3 章遵循特定随机过程的实物资产 在本章中，我们将要对项目的标的资产或未来的收益y 作三个扩展：v 遵 循均值回复过程和跳扩散过程以及多现金流下定价 第3 1 节y 遵循均值回复过程 假设y 遵循如下的均值回复过程： d v = q ( 矿一v ) v a t 十a v d z( 3 1 ) 上式中y 为一常数，式( 3 1 ) 表示的意义为v 围绕着矿上下波动 为了得到最优的投资策略，我们将上式和式( 2 1 ) 作个比较，式( 3 1 ) 中的 y 的期望增长率不是一个常数，而是y 的一个函数( p 是风险中性下的收益率， 是一个常数) ，具体来说：一y = 叩( 矿一v ) v ，即： 6 ( 矿) = 卢一q ( v v )( 3 2 ) 利用期权思想，或者更简单地把( 3 2 ) 代a ( 2 ，1 2 ) 中便可以得到此情况下f ( y ) 满 足的方程： ；盯2 y 2 f ”( y ) + 【r p + 叩( 矿一y ) 】v f ，( y ) 一r f ( v ) ；0( 3 3 ) 同样地f ( 矿) 也要满足边界条件； ff ( o ) = 0 嬲曹。 4 对于这个问题的解，我们先定义一个未知函数 ( y ) ，解的形式： f ( v ) = a v 。h ( v )( 3 5 ) 其中a ，9 ， ( y ) 均未知将式( 3 5 ) 代入方程( 3 ，3 ) 中整理得到： - c y ， v 9 + 2 + ( 一2 e + r 一卢+ 卵矿) 一”一危e 矿， y 目+ l 1 8 第3 章遵循特定随机过程的实物资产 + ；a 2 a c 一一，+ ( r - u + v g ) 。一r y 9 = 。 要使式( 3 6 ) 对于任何v o 都成立，所以： f ：九”( y ) 一叼 ( y ) = o 【；一2 0 ( o 一1 ) + ( r p + 町矿) 目一r = o 一= ：+ 等产+ v ( 号掣一沪蓦 ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) 相加万程组( 3 7 j 的第和第二个万程我们司以得到： ；仃2 y ( y ) + ( 口2 口+ r - - 肛+ 叩矿一叩v ) ( y ) 一7 7 0 h ( v ) = o ( 3 9 ) 曹了磐方程( 3 9 ) ，我们令z = 警， ( 矿) = 9 ( z ) ，则： 7 ( y ) = 等9 7 ( z ) ， ”( 矿) ： ( 碧) ，( 。) 代入方程( 3 9 ) ，整理后得到： x g ”( 。) + ( b z ) 9 7 ( 。) 一日9 ( z ) = 0( 3 1 0 ) 其中：6 ：2 0 + ! ! ! 二譬! ! ! 方程( 3 1 0 ) 是个k u m 品；叻程，其解的形式是具有如下形式的一个合流超几何函 数h ( z ；0 ，6 ) ： m 汜6 ) = 1 + 缸黼- 著+ 鬻扩x 8 ( 3 1 1 ) 这样将( 3 1 1 ) 代入( 3 5 ) 中得到方程的解为： 刑) = 危( 警汜6 ) 其中：目由式( 3 8 ) 确定，a 和y + 边界条件( 3 4 ) 确定，即a 和y + 满足下列方程组： 即卜印甲愚 2 r i v * 口) 6 ) = v * - i( 3 1 2 ) 【f ( y + ) = 1 方程组( 3 1 2 ) 可以通过数值的方法求出a 和矿4 下图是一个实例：取”= 0 0 5 ，矿 分别取0 5 1 0 1 5 第3 章遵循特定随机过程的实物资产 f i g u r e6 ：当野= o 0 5 时，矿分别取0 5 ，1 0 ，1 5 的时候价格曲线 f i g u r e7 ：当卵= o 1 0 时，1 p 分别取0 5 ，1 0 ，1 5 的时候价格曲线 第3 章遵循特定随机过程的实物资产 v f i g u r e8 ：当矿分别取0 5 ，1 0 ，1 5 时，v + 作为”的函数图像 第3 2 节y 遵循跳扩散过程 有时候不确定是离散的比如说：在一个研究中意外发现个成功的产品； 税收政策的变化：严重的有战争，金融危机，自然灾害等：这些都属于不确定 性，只要这些离散的事件都是非系统性的，就比较容易处理。 我们在式( 21 ) 的基础上引入如下的p o s s i o n 过程：定义幽： d q = 0 咖簇奏龚：d 以t 出 江，。， 这里西是指跳跃的幅度，参数a 称为p o s s i o n 过程的强度系数 假设本节模型中y 遵循的跳扩散过程为： d v = ( 灿一a ) v d t 十a v d z v d q( 3 1 4 ) 其6 p e ( d z d g ) = 0 - 解释：对于上式，如果不发生跳跃，则y 将遵循式( 2 1 ) 变化：如 果发生跳跃，q 按照一个固定的比例妒( 0s 曲1 ) 跳跃，则d 之后，y 将会跳跃至 ( 1 一庐) 矿，然后继续遵循按照式( 2 1 ) ，直至下个跳跃的来临 关于矿的模型已经建立好，下面我们将要找出实物期权的价值f ( v ) 和执 行边界p 正如前面所看到的，出可以被复制，用无风险利率，收益方程为： r f d t = e ( d f ) ( 3 1 5 ) 2 1 第3 章遵循特定随机过程的实物资产 根据i t 8 公式，可以得到e ( d f ) ： s i a f ) = ( p 一5 ) v f ，f y ) 出+ ：c z 2 v 。f ”( v ) d t f f ( y ) 一f ( 1 一庐) y l a 出( 3 ，a 6 ) o lj 代入式( 31 5 ) 整理后可以得到； ；盯2 y 2 f ”( y ) + p 一5 ) v f ( y ) 一( r + a ) f ( v ) + a f ( 1 一) y = 0 ( 3 1 7 ) 同样的满足边界条件： if ( o ) = 0 f ( v ) = v 一t( 3 1 8 ) if 7 ( y + ) = 1 这样我们完成了关于这类跳扩散模型的问题的建立，这类问题的解有个基本的 形式：f ( v ) = a v p ，代入到式( 3 1 7 ) 后整理可以得到： ；口2 卢( 卢一1 ) + p 一6 ) 卢一( r + ) + a ( i 一) 4 = 0( 3 1 9 ) 通过上式我们可以得到p ，由条件( 3 1 8 ) 可以得到a $ i iv + 妒= 1 的情形 由式( 3 1 9 ) ，这里我们讨论一下妒= 1 的特殊情形，这样式( 3 1 9 ) 简化为一个 二次方程，很容易就可以得到卢的解： 卢= ；一雩+ v胥r-5礴12 2 ( r + a ) 。 下面这个实例研究了当a 变化时候，p ，v 4 和a 的变化情况( ，= 1 0 ，曲= 1 0 ，r 6 = o 0 4 ，盯= 0 2 ) 从上表中我们可以发现，当 增大时，p 和a 都变小 第3 章遵循特定随机过程的实物资产 第3 3 节多现金流 在这一节中我们讨论这样的情形，未来收益有很多期，项目投资只是在初 期进行我们在2 1 节的基础上拓展一下即可以得到这种模型 假设未来的现金流有n 个：，k ，k ，对于第i 个现金流k ，其遵循式 ( 3 2 0 ) ： d r , = ( 胁一以) k 出+ a i v i d z i( 3 2 0 ) 其中咄是、i n n e r 过程，e d z i 】= 0 ，e d z ? = d t ，峨和4 勺是柑关的：e d z d 勺 = p 。j d t 由i t 艿公式得到： 州飓，k ，= 喜篙溅+ ；耋喜吼。k 嘉南彤嘶 c s 。- ， 所以： e 眇c u ，k ，k ，2 喜c 地一最，k 瓦o f + ；壹i = l 妻j = 1 1 仉k k 差匆j 1 出。i = ； 一。i 。j ( 3 2 2 ) 这样根据r f d t = e d e 就可以得到如下对于多现金流的方程： 娄c 脚一最，k 孤o f + ；娄骞以。肪k k 蕞笔一r f = 。 c 。捌 第4 章有时间限制下的实物期权定俭坌堂 第4 章有时间限制下的实物期权定价分析 在本章中，我们将要对项目在有时问限制的情况下做讨论，即引入时问的 因素因为实际情况是对于个项目投资，往往是错过了某个时间的限制，就完 全丧失了投资的价值，也就是说在这段时间之后投资完全获不到利益，或者利 益完全被竞争者夺走更多的情况是项目的投资可能受到政府政策的干扰，如政 府的税收政策在未来某个时间发生变化，如果这段时间不作出投资决策，在政 策发生变化之后可艟就没有机会进入市场本牵就是讨论在有时闯限制的情况 下，项目投资的价值的确定我们假设的截止时间为t 第4 1 节单阶段下建立框架 我们首先在单阶段的情况下面讨论项目投资的决策分析考虑这样一个例 子，对某个石油项目的开采，该项目的投资机会价值f 会受到市场上的石油价 格尸的影响，另外引入了时间因素t ，显然我们的项目投资的价值f 是t 和p 的 函数，即f ( p t ) 颂目投资的费用为j 对于市场上的石油价格p 我们假设其遵 循g b m ：( 为了与下文出现的d i r a c 函数记号区分，我们将支出率的符号换为 u ) d p = p w ) p d t 十a p d z( 4 1 ) 对于这样一个有时问限制的投资项目的分析，它存在两个区域，一个是继续保 持作出投资的状态区域e 1 ，也就是说在这个区域内 f ( p ，t ) ( p 一) + 另夕卜一个是执行投资状态区域2 ，在这个区域： f ( p t ) = ( p 一，) + 这两个区域的交界就是最佳投资边界r ：p + ( t ) 我们可以认为 1 = ( 只) i o p ( t ) p o ) ，0 曼t 丁) 2 = ( p t ) l e + ( ) 尸扛) 0 ( 5 ，0s st 2 4 第4 章有时间限帝j _ 丁的塞塑塑丛塞坌坌堑 在。中我们利用无套利理论和i t 公式，可以推出f ( p 1 t ) 满足血玎下的方程： 筹+ 2 豢竹刊尸万o f 卅= o 在最佳投资边界1 1 上： f ( p ，t ) = p 8 ( t ) i 而o f ( p t ) 一1 当p _ o 。时： f fp l t ) 一o 。 ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) 当p 一0 时： f ( 只t ) 一0( 4 6 ) 在t = t 时： f ( p j t ) = ( p 一) +( 4 7 ) 这种延期型实物期权类似于带有红利的美式看涨期权，就是要在1 中寻求函 数对 f ( p ，t ) ，p + ( t ) ) ，使得它适合定解问题( 4 2 ) 一( 4 6 ) 这是一个抛物型的自由 边界问题戒们从这个问题出发，将它转化为变分不等式模型1 4 】： 在区域： o 茎p ( p j ) + ( 2 ) 在执行投资的区域2 上， f ( p j t ) = p 一， 百o f + ；盯2 p 2 豢竹刊p 筹卅刊一u p o ( 3 ) 在到期时间t = t ， f ( 只t ) = ( p 一，) + ( 4 ) 当p o 。时： f ( p j t ) 一o 。 当p _ 0 时： f ( p 】t ) 一0 第4 章有时间限制下的实塑塑壑塞笪坌堑 综合上述( 1 ) 一( 4 ) ，因此有时f h 限制下的实物期权的变分不等式模型是： 求f ( p ，t ) e 曝，使得 fr a i n 一l f , f 一( p 一，) + ) = 0 f ( p t ) = ( p 一) + ( 4 8 ) 【f ( o o ，t ) = 。o ，f ( o ，t ) = 0 这里上f = 瓦9 f + ；口2 p 2 而o ：f + p u ) p 面o f r f 第4 2 节实物期权解的分解 在上一节有时间限制下的项目投资机会的价值的框架，我们发现这与带有 红刹的美式看涨期权类似项目投资机会的价值可以分为两部分 4 1 ：欧式期权的 价值和在有限时间内执行投资操作需要增加的价值 定义4 1 ：g ( p ，t 汜t ) 称为b l a c k - s c h o l e s 方程的基本解，如果它适合以下定 解问题： l f = 等岬12 p 2 豢+ ( r 刊p 万o f _ r f = o( 4 9 ) lf ( 只t ) ；5 ( p f ) t 这里：0 p o 。，0 f o o ，0 t t ，j ( z ) 为d i r a c 函数， 为了写出g ( p ，；f ，t ) 的表达式，我们记。= i n ，= t t ，在这样的变换 下，定解问题( 4 9 ) 就变为如下的问题： l 务鼙_ ( r 一扩1 ) 筹一 ( 4 1 0 ) if ( x ，o ) = ；6 ( p 一) ”。 这里。冗。 f t 其中f ( $ ，。) = i 1 6 ( p 一) 的推导过程如下： 一f)=d瞎(詈一1)=6瞎(，一1)=；6(e-1)=舌15(p 6 ( z ) 一f ) = d 瞎( ；一1 ) = 6 瞎( ，一1 ) = ；6 (= i 6 ( z v = e 。7 + 船u ( 4 1 1 ) 第4 章有时间限制下的实物期权定价分析 其中卢= ：一万r - o j ，n = 一r 一刍( t - - o ) - - ；口2 ) 2 ，从而定解问题( 4 ，。) 转化为 对于问题( 41 2 ) 的解是 象o u 毒12 雾0 2 u 扣 u ( 茁，丁) = 将式( 4 1 3 ) 代入到式( 4 1 1 ) 中得到 脚，忙；而te 印 一 志唧卜嘉)孺唧i 两， ( 4 1 3 ) 土2 a 2 r 卜+ ( r - - o j - - 扣 2 ) 汪均 d 再将2 = i n ，r = t t 代入上式即得到b l a e k - s c h o l e s ：方 程的基本解： g c 耻篇唧 _ 捌可k p + r - q - 扩1 ( r - - q - - ) ( t - t ， 2 )g ( 即，2 高葡葡唧i 一南【k i + j c r 2 ) f ( 4 1 5 ) 定理4 1 ：基本解g ( 只日f ，叩) 看作，柑函数，它是b l a c k - s c h 0 1 e s 方程的共轭 方程的基本解，即若令 # ( ，? 7 ) = g ( p t ；f ，露) 则u ( 已q ) 适合： f 口忙一鬻岬12 鼢赛) 卟刊掣= 。峋 【 ( ，t ) = j ( 一p ) 这里0 o o ，0 p o o ，t u ： 。= z 。如e 卜只t ) l g 啪- g ( 刚怎椰刊卜 = z 。0 如e f 挈印12 卜等一g 挈 + r - 0 3 ) t o ( x a * a ) 咖 2 z 。出e 1 挈印12 静口筹) 7 12 熹 g 百o x 2 g * + r - - 0 3 ) 挈) 咖 当z _ 0 、o 。对7 z 2 口皇o g x - - * 0 g 掌。o x g g + _ o 所以对r 式 = l ：妇l 等如 2 z ” g ( 茁，目一e ；，q ) g ( e q e ；p 1 一g 。，t + q f ，q ) g + ( z ，t + e ；p ) 如 即： ，o 。 f o o g ( z ，叼一f ，卵) g + ( z ，卵e ；p , t ) d x = a ( x ，t + e ；，卵) g + x ，t + ；p 1 t ) 如0j j q j一 ( 4 1 7 ) 当e o 时，由( 4 9 ) ( 4 1 6 ) ： a ( x ，q e ；，”) ，j ( 。f ) g ( 嚣，t + e ；只) 6 扛p ) 第4 章有时间限制下的实物期权定价分析 所以当e 一0 时，式( 4 1 7 ) 得到： 6 扣一f ) g + ( z ，”；p 1 t ) d x = c ( x ，t ；，q ) 6 扛一p ) d x( 41 8 ) j 0j o 即： g + ( ，卵；p ，t ) = g ( p ；，q ) 定理得证 下面建立实物期权的分解公式， 定理4 2 ：设f ( p j t ) 是实物期权的价格，则 f ( p 1 t ) = f e ( p , f ) + e t )( 4 1 9 ) 这里f e ( p , t ) 是欧式看涨期权的价格删，e e ( p , 药= i e 一( 弘o n ( d i ) 一p e 一。( 丁一。) ( 如) 其中d l 和d 2 的定义分别见下式： d l _ 坐坐品李三幽 d2；log(pi)+-(r而-w-a2)(t-t)：d1一。以_t仃、1 1 4 e ( p if