（应用数学专业论文）关于一类非线性反应扩散系统解的性质的研究.pdf

一 摘要 在本文中我们主要是利用了上下解的方法考虑了一类退化的拟线性抛物方 程组及其带有非局部源的情形下其解的性质。本文内容主要分为三部分： 在第二章中，我们主要考虑了下面退化的反应扩散系统： i “f = 乱_ + v a e “w i v t = a v 2 + w 见e 脚 ) c q f 0 1w f = a w + m 功8 p lu ( x ，o ) = “o ( x ) v ( x ，0 ) = v o ( x ) x q 1 w ( x ，o ) = w o ( x ) ( 2 ) “( ) c ，f ) = 0 v ( x ，t ) = 0 0 a q ( 3 ) 1 w ( x ，t ) = 0 其中q r ”具有光滑的边界a q ，m ，1 ，p i 0 ，u o ( x ) ，v 。( x ) ，w o ( x ) 是q 上的非负 连续函数。 我们主要是考虑了在n p ：p s 啊或p 。p 2 p 3 0 ，u 0 ( x ) ，v 0 ( x ) ，w o ( x ) 是q 上的非 负连续函数。 我们也是通过构造上下解的方法给出了关于其解整体存在和有限爆破的两 个定理。 在第五章中，我们考虑了当( 1 ) 一( 3 ) 中p l = 0 ( f _ l ，2 ，3 ) 时两个方程的情况， 所在区域推广到整个空问r “，也即下面系统： f ：u m + p v , 4 = a v m ：+ e p u z q ， o5 1 “( x ，竺2 “。 皇 x q ( 5 2 ) 【v ( x ，o ) = v 0 ( z ) 我们从一个新的角度考虑了其整体弱解的不存在性，给出了初值“。( x ) ，v o ( z ) 在无 穷远处的值对于整体弱解的存在性的影响。 关键词：退化抛物方程组、上下解、整体存在、有限爆破、局部存在、非局部源 a b s 仃a c t a b s t r a c t b y t h em e t h o do f u p p e r a n dl o w e rs o l u t i o n s ，i nt h i sp a p e r , w ed e a lw i t hak i n do f q u a s i l i n e a re q u a t i o n sa n de q u a t i o n sw i t hn o n l o c a ls o u r c e s w eo b t a i ns o m es u f f i c i e n t c o n d i t i o n so f g l o b a le x i s t e n c ea n d f i n i t et i m eb l o w u p f o rt 1 1 es o l u t i o n s t h em a i nc o n t e n to f t h i s p a p e ri sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s ： i nc h a p t e rt w o ，w ed i s c u s st h ef o l l o w i n gd e g e n e r a t ep a r a b o l i cs y s t e m ： h = a u 码+ v a 8 v f = a v 恍+ w n 扩x e f 2 ，t 0( 1 ) 1w f = a w + 甜a p i “( x ，o ) = 甜o ( x ) v ( x ，o ) = v o ( x ) x q( 2 ) 1 w ( x ，o ) = w o ( x ) a n db o u n d a r yc o n d i t i o n s f “( x ，t ) = 0 v ( x ，t ) = 0 o ha q ( 3 ) 1 w ( x ，f ) = 0 w h e r eqi sb o u n d e dd o m a i ni nr ”w i t hs m o o t hb o u n d a r y 触，y n ，1 ，n 0 ， “o ( x ) ，v o ( x ) ，w a x ) a r en o n n e g a t i v e f u n c t i o n si nq u n d e rt h ec o n d i t i o n so f p 1 p 2 p 3 聊j 卅2 m 3 o r a p 2 岛 0 ，h 0 ( x ) ，v o ( x ) ，w o ( x ) a r e n o n n e g a f i v e f i m c t i o n s i nq w ea l s og i v et w ot h e o r e m so nt h eg l o b a le x i s t e n c ea n df i n i t e b l o wu po ft h e s o l u t i o n sa b o u t ( 4 ) - ( 6 ) i nc h a p t e r f i v e ，w ed i s c u s st h ec a s eo f ( 1 ) - ( 3 ) w h e n p i = 0 ( 扣1 ，2 ，3 ) ，a n dt h e s y s t e mi sm a d eu po ft w oe q u a t i o n s ： i u t = a u 叶+ e ” j v ：v + e , a n x e q , t 如( 5 t 1 ) “。黧2 ：! ! ? x q ( 5 2 ) i v ( x ，o ) = v o ( x ) 一 一 w h e r en = r ” f r o man e wa n g l e ，w ei n v e s t i g a t et h e e f f e c to fb e h a v i o ro fi n i t i a l d a t e 甜o ( x ) ，v o ( x ) a ti n f i n i t yo nt h en o n g l o b a le x i s t e n c e o fw e a ks o 】u t i o n s t o ( 5 1 ) 一( 5 2 ) k e y w o r d s ：d e g e n e r a t ep a r a b o l i c e q u a t i o n s ，u p d o w ns o l u t i o n s ，g l o b a le x i s t e n c e f i n i t eb l o w u p ，n o n l o c a i s o u r c e s 第一牵绪论 第一章绪论 1 1 背景知识 近几十年来，伴随看物理学、化学、生物学及工程科学的迅猛发展，反应 扩散系统的研究正越来越受到人们的重视，一个重要原因是其具有强烈的实际 背景。 考虑一个理想气体在多孔介质里沿某一方向的运动，遵循下面三个运动规 律： 状态方程：p = p o p 。其中p = p 慨，) 表示气体密度，口 1 ，+ o 。) 和p o r + 是常数。 物质守恒：( 雩磊) + d i v ( p i ) = o 其中；表示速度向量，r t 为介质孔隙率。 达西定理：r v = 跏，其中p r + 是粘性系数，芦r + 是介质渗透系数。 综合上述三个方程，消掉p ，v 并不考虑常数则得到下面齐次多孔介质方程： “= a “ 其中m = l + 口，“与气体密度相差一个常数。事实上，许多的实际问题都可用 此方程来描述，像高温下电离气体理论和热传导理论。 众多的学者在此方程的基础一e 考虑带有反应项的方程( 组) 文【9 中作者考 虑了 p + ? ( 1 1 ) iv ，= a v “+ v 9 。 的初边值问题。 1 0 】中作者考虑了下面反应扩散系统： “，一a u = 五8 。”( 工，r ) b r ( o ，t ) ( 1 2 ) 一一a v = u e 肚 ( x ，f ) 昧( o ，r ) ( 1 3 ) u ( x ，o ) = u o ( x ) ，v ( x ，0 ) = v o ( x ) x 绵 ( 1 4 ) u ( x ，) 2v ( x ，0 = 0o h 勰 ( 】5 ) 一 笙= 兰丝堡 此系统描述了两种彳i 可变形物质在有限空间内进行单步发热反应的一个点火模 型。 本文中我们考虑了下面反应扩散系统： | 甜f = a u + v p 。g 洲 v l = a v + w p 2 p 脚x q 、f o( 1 6 ) l w = a w 卅3 + u n e ” fu ( x ，0 ) = “o ( x ) v ( t 0 ) = v d ( x ) 【w ( x ，o ) = w o ( x ) ( 1 7 ) “( x ，t ) = 0 v ( x ，t ) = 0 x a q( 1 8 ) 1 w ( x ，f ) = 0 其中q c r ”( n 1 ) 具有光滑边界a q ，u o ( x ) ，v 。( x ) ，w o ( x ) 为非负光滑函数，参数 川。1 ，p 。 0 ( f = 1 , 2 ，3 ) ，口，r 。 此系统在化学上可以表示三种物质之间的化学反应，其中“，v ，w 分别表示 浓度，t 表示反应时间。 1 2 预备知识和主要方法 本文中我们主要是利用上下解的方法考虑来考虑上述系统( 1 6 ) - - ( 1 8 1 ，我 们在后面一部分中也用此方法考虑了系统( 1 6 ) - ( 1 8 ) 的带有非局部源的情况。 上下解的方法最早是由口在文【】中提出，上下解方法实际上是一种单调方法，事 实证明，上下解方法在研究一些具体的反应扩散方程整体解及平衡解的存在性， 以及平衡解的稳定性时，是一种既有效又简单的方法。此后，众多的学者对这 方法进行了大量的推广， 【5 1 1 5 作者引进了不正规上下解：为了研究弱解， 【5 2 】中引进了弱上下解的概念。上下解方法的关键之处在于上下解的构造，也 是这种方法的难点之处。常见的方法有：求常数上下解；利用线性问题的解构 造上下解：利用第一特征函数构造上下解；利用相应的常微分方程构造上下解； 第一蕈绪论 利用变分方法求下解等等。 下面给出后面要用到的个重要不等式： y o u n g 不等式：对于v d ，b 0 ，s o ，1 j i ，q + o 。日土+ 三：l ，有 p q 一里 a p 9 b q 臼b + 。 pq 第一章一类非线性反应扩散系统解的整体存在及有限爆破 第二章一类非线性反应扩散系统解的整体存在及有限爆破 2 1 引言 自从f u j i t a 在 1 中研究了最初的反应扩散方程： =“+ 村p 以来，随着科学地发展，反应扩散方程地研究日益受到数学家、化学家。物理 学家及工程师的重视。尤其是近二十年来，为了更好的满足科学发展的快速化 和复杂化，国内外众多的学者在最初的f u j i t a 型的基础上做了各种推广，从单 一的方程推广到了方程组的形式，如 1 3 和 1 0 2 9 等；从非退化的形式推 广到各种复杂的退化形式如 3 0 - - 3 4 等近些年来，也有许多的学者研究了带有 非局部源的反应扩散方程( 组) 系统以解决更为复杂的现实问题，如 3 5 4 8 等。 2 ，3 中作者分别研究了下面反应扩散系统的初边值问题： f 甜，= “1 + 4 + v 9 iv ，= v 1 + + “9 i 材( z ，0 ) = 材o ( x ) l v ( x ，0 ) = v o ( x ) l 甜( x ，t ) = 0 0( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 其中， q r ”a q 光滑，( x ) ，v o ( x ) 为光滑函数。并得到下面结果： ( i ) 如果p q ( 1 + 盯) ( 1 + ) ，那么( 2 1 ) 一( 2 3 ) 既有整体非负解又有非整体 解。 ( i i i ) 如果p q = ( 1 + 盯) ( 1 + ) 则当区域充分小的时候，( 2 1 ) 一( 2 3 ) 的所以解 是整体存在的。 笙三皇二耋! ! 些生星皇芝墼墨丝些塑壁堡童垄墨塑：堡堡型一 特别的对于临界情况 3 巾作者又给出了下面结论： ( i v )女口果p q = ( 1 + 盯) ( 1 + ) ，对于p f l ( 1 + a ) , 7 ，记口= ( ( 1 + ) ( 1 + 盯) ) 1 7 。， b ：m i n 1 ，( q ( 1 + ) ) 玎一( 1 + 9 1 ，丑+ = m i n b a q , q 0 + 仃) ，如果凡 o ( 可充分小) 使得对所有x 五有“0 4 矗印o ( x ) ，v o “即o ( x ) ，那么 ( 2 1 ) 一( 2 3 ) 的所有解有限爆破。 ( v ) 如果p q = ( 1 + a ) ( 1 + 2 ) ，对于p f l ( 1 + a ) c r ，记m = ( 1 + 盯) 2 ( 1 + 盯+ r ：r p ) ，= ( ( 1 + 仃+ c r p ) p q ) 1 “，= m i n q ( 1 + 口) ，( ( 1 + 盯) p ) m ”。9 ) 。 如果 0 ( 可充分小) 使得对于所有z q 有 ”o 。九印j ( x ) ，“9 s ( x ) 则问题( 1 1 ) ( 1 3 ) 的所有解必有限爆破。 4 - 9 中作者考虑了下面方程的d i r i c h l e t 问题： “，= a u + e ”( x ，t ) q ( 0 ，t ) 1 0 ，1 1 中作者研究了下面的系统解的有限爆破问题： i 甜f = a u + 2 e “ h = a v + p e h f “( x ，0 ) = “o ( x ) 【v ( x ，0 ) = v 。( 工) 舱篙 ( x ，f ) 昧( o ，t ) ( 2 4 ) x b r ( 2 5 ) ( x ，) b r ( 0 ，t ) ( 2 6 ) 定理假定u o ( x ) ，v o ( x ) c 2 ( q ) ，且为非负、径向对称的递减函数，并且在边界 为零，a u o + 2 e “。0 ，a v o + 2 e “。0 ，那么对于( 2 4 ) 一( 2 6 ) 的解 ( u ，v ) 必存在常数c 和c 使得： 一l n b a ( t r ) 】+ i n c b u ( o ，t ) 一l n b 2 ( t f ) + i n c 0 f ， l n a , u ( t f ) 】+ i n c a v ( o ，t ) s l n a l ( t f ) 】+ i n c 0 f 丁 塑三里二鲞苎垡生星些芝墼墨竺坚塑鳖竺堡垄墨塑里堡壁 或者 c b 2 f t t ) e 6 “o ，7 c c a l l f t t ) e “”o 。c 0 ， ， 0 t m 】聊2 m 3 和p l p 2 p 3 b 2 n 2 n 口2 2 ” 岛3 n l 吼n 3 码 b l n l 儿 吐= ( 譬) i ( ) 而， 岛如 则由p 1 p 2 p 3 吃鹄鬲 对于这样的n ：，必定存在正数，n 3 ，使得： d ，：( 生) 孟 口， d j 2 一p 2 p 3 d 2 3 i l 呜2 盏 忱呐地n 则由上式的第一部分将d ，d 2 代入可知， 也即 因此有 c 和夸去2 参c 分瞎 譬) 盖2 等 3 詈 詈鹄他 3 见 7 第二章一类非线性反应扩散系统解的整体存在及有限爆破 也即引理中第一个不等式得证，同理可证明其余两个不等式。 引理2 2 ：如果存在i 个数 0 ，b o ，c 0 ，使得下面不等式成立 崩 a - b p - ( 1 + 妒) 几p “( 1 + 们 n b m 2 c p z ( 1 + 妒) 州，p 卢( 。+ p ) ” 功t c a 几( 1 + 妒) 啊p 7 1 + 9 ) 蛳 a q , 1 “o ( x ) 6 妒恍v o ( ) c p w o ( x ) 则( 2 1 ) 一( 2 3 ) 存在上解。其中p 为下面问题的解 证明： 则 j 妒= 一1 妒= 0 l 妒 0 我们在下面的证明中构造下列形式的上解 玎( x ，f ) = a ( 1 + 妒) v ( x ，f ) = b ( 1 + 妒) “ 面( x ，f ) = c ( 1 + 妒) ” x q x a q x q 一 旦 玎m 。+ p j e 删= a a “1 ( 1 + 妒) + b o + p ) ”ze 。( 1 + p ) 帅 旦 = 一a + b n ( 1 + 妒) m 3 e a ( 1 + 妒) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 由于甄2 0 显然，则根据后面2 3 中上下解的定义知，要证明( 玎，订，_ ) 为上解 只需证明下式成立： 旦 三 0 一口+ 6 崩( 1 + 谚卅3 e a ( 1 + 妒) 卅3 第二章一类非线性反应扩散系统解的整体存在及有限爆破 也即： 功 a ”，b r i ( 1 + 缈) e 。1 + 9 产 这恰为( 2 4 ) 中第一个不等式，同理可汪明 巧断岣+ 诼比e 历，可访卅3 + 磊乃e 一 则由上解定义知( 玎，可，面) 为( 1 6 ) 一( 1 8 ) 的一个上解。 2 3 整体存在性 在这一节中我们将讨论问题( 1 6 ) 一( 1 8 ) 解的整体存在性与有限爆破性，给出 整体存在及有限爆破的充分条件。我们的方法是构造上下解，利用比较原理进行 证明。 我们首先讨论解的整体存在性，在解的整体存在性的部分中我们主要讨论 p 】p 2 p 3 m l m 2 m 3 和p i p 2 p 3 l m 2 m 3 的情况。在第三章中我们将专门讨论 p 】p 2 p 3 = m l m ，条件下，( 1 6 ) 一( i 8 ) 解的相关性质。 首先给出上( 下) 解的定义： 定义2 1 ： 如果( 1 6 ) - ( 1 _ 8 ) 的解( “，v ，呐满足下面条件： 蚋 a“ 撕( ) “+ v e 。” a 吨 岛 n v f ( ) v + w p 肌 ( 2 1 3 ) 他 nn w t ( 匀a w + 甜e 7 ” u ( x ，0 ) ( ) “o ( 工) v ( x ，o ) ( 一 一 一 + + + 看_ m 。 、j)、j“西南 + + + 4 4 爿 ，l，l( k 瓦k ，、【 兰= 兰二耋i ! 垡些垦生芝墼至竺塑堕些堡童垄丝鱼堕墼 同理可得： 嚣鲁”若黔 赤一赤) 码卵一i 鬲了丽一瓦鬲了圳码m 矿2 i 面扫 士两)w：如k(a十g ) “。2 ” 缈一赤一赤，豫嵋3 九 根据( 2 2 0 ) 中z 个不等式知，有： 儿揣高a 兰c 两c 斋2 一而k ( a 扫慨m( 爿+ 中) n (+ c 1 ) 。( 爿+) “1 十| + f 1 ) 1 卅 1 1” 一揣蒜a 蔓c 杀c 斋2 一而k ( a 扣c l 慨纵z ，( 爿+ 中) n( + c 1 ) n、( 爿+) ”2 “ + ) 啦2 ” 驴= 番s 南c 熹一一而k ( a 扫地碱 ( 爿+ 巾) n( 爿+ c 1 ) m、( 爿+ c 2 ) 扎+ 1 + q ) 讹“。 。” 那么由上面所得各式及a ，y 0 知，必有下面不等式成立： i 巧= 0 玎肌+ 可凡酉m + 矿n e a , w e = 0 可”z + 面9 z 矿“2 + 订p 2 e 。新( 2 2 2 ) i 甚= o 万吨+ 订见万鸭+ 玎n e 声 由于l ，| v ：，m 可适当大，因此总可以有下面不等式成立： f 玎= 玎( 工，o ) b 0 ( x ) 矿= 可( x ，0 ) v 0 ( x ) x q ( 2 2 3 ) i 订= w ( x ，o ) w o ( x ) 此外，显然有： f 玎o 矿0 o r a q ( 2 2 4 ) b 0 成立。 则由上式证明过程及上解定义知，我们所构造的解( 酉，f ，面) 为( 1 6 ) 一( 1 8 ) 的 一个上解，且与f 无关，也即( 盯，可，面) 为( 1 6 ) 一( 1 8 ) 的整体上解，而( o ，0 ，0 ) 显然是 个下解。根据文【4 8 【4 9 中上下解的单调性理论知，( 1 6 ) 一( 1 8 ) 有整体解存在。 第二章类非线性反应扩散系统解的整体存存及有限爆破 注：这里我们对于( 1 6 ) 一( 1 8 ) 的初值没有适当小的要求，更具有一般性。 存卜面一部分中，我们将考虑在pj p ：p ， 埘。：m ，条件下，( 1 6 ) 一( 】8 ) 解的 整体存在性。 定理2 2 ：如果p l p 2 p 3 m l m 2 m 3 ，则当初值( x ) ，v o ( x ) ，w o ( x ) 适当小时，问题 ( 1 6 ) 一( 1 8 ) 有整体解存在。 证明： 我们构造下面形式的上解 订= a ( 1 + 妒) “ 可= b ( 1 + 妒) ”2 面= c ( 1 + 们” ( 2 2 5 ) 其。 j 参数日，b ，c 0 待定。由于( o ，0 ，o ) 显然为( 1 6 ) 一( 1 8 ) 的一个下解，根据引理 2 2 ，我需证明( 玎，矿，诼) 为i b i s ( 1 6 ) 一( 1 8 ) 的一个上解，而( 玎，矿，面) 显然与f 无关 又根据引理2 2 ，我们只需证明存在三个正数d ，b ，c 使得( 2 ，l o ) 和( 2 1 1 ) 两式成立 即可，我们不妨令 k o = s u _ p 1 + 妒( x ) ) x n 下面分情况讨论： ( i ) 当0 5 ，y 0 时，我们需证明下式成立： 不妨取 p l上 口“1 b p l k 0 2 e 础尹 尸2 l b m 2 c p 2 k ：3 e 雕； 0 ，上 ( 2 2 6 ) c 所3 a p 3 x 0 1 p 拍w 2 第一章一类非线件反应扩散系统解的整体存秆一及有限爆破 则 则 b 9 口用 上卫l p a c k ，3k 。m 2 妒：乏 e 胁k i 6 c= o p 1 上竺k i k o m 2 p 1 “ bp 2 上丝k 百 k ，3 已儿。 a p p 2 仁玎i k o 玄+ i e k n 码 k 那么对于( 2 2 6 ) 只需证验证下面不等式成立： 也即验证： 其中 生n k 弦p _ 2 _ 3 a 摧彦 ”1 p ，“o 。 ( 1 + m 3 一“。 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) p l p 2 p 3 - m l r a 2 m 3 堕 口n 9 2 g o m l e 岛 ( 2 2 9 ) k ，：m 2 a c k o + 盟 p i p 2 p 2 m la c k ； 3 k 2 = 7 a “e “ 14 ( 2 3 0 ) 第二章一类非线性反麻扩散系统解的整体存在及青限爆破 我们不妨令a 0 充分小，即a _ 0 + ，则( 2 2 9 ) r p 等价于 l + 堕) m 2 m 3 c t c k f f 3 k n 9 2 e n n 0 ( 2 3 1 ) 则易见( 2 3 1 ) 显然成立的。也即我们能找到这样三个正数日，b ，c ，使得( 2 2 6 ) 成 立，而( x ) ，v 。( x ) ，w 。( z ) 可以适当小，j j ( 2 1 1 ) 显然可以成立，也即引理2 2 满 足。 ( i i ) 当口，卢， 一 一 m w m 口6 c ，、l 第二章一类非线件反应扩散系统解的整体存在及自限爆破 价于 类似地，不妨令a 0 充分小，即a 一0 + ，则由p 1 p 2 儿 m j m 2 m 3 知，上式等 ! o r ，( i + 里) ko p 2 这是显然成立地，也即可以找到这样三个f 数使得引理2 2 成立，证毕。 ( i i i ) 当a f l r 0 时， 不失一般性，我们不妨设口 0 ，则要证明本定理只需证明能存在三个 j f 数a ，b ，c 使得下式成立即可。 这里我们不妨取 则有 口竹 - b n k 。i p l 妒纠i p 2 p 胱了( n 3 5 ) c 均日乃k 。等p 雕万 c 竺l 6 ：竺： ：一 ko “2 i f i i 埘2 a p 】p2 k 。c 去+ 也铷百 0 p 2脚3 p p 2 。 那么对于( 2 3 5 ) 只需要证明下式成立即可 l 以乃k 。等c y b k o 未 o + m 3 ) f l a m 3 k 。百 。 k o n pn 房一 第二章一类非线性反应扩散系统解的整体存在及有限爆破 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ - 。- _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ ( j + 旦) f l a r e 2k 。百 k o 9 2 p 9 2 rp l p 2 p 3 一m i m 2 m 3 、p 3上 a 。 m k o 帆驴 那么与( i ) ( i i ) 同理可知引理2 2 满足，( i i i ) q b 其他情况类似可证。 2 4 解的有限爆破 在讨论问题( 1 6 ) 一( 1 8 ) 解的有限爆破性之前，我们首先给出一些标记： ，= s u p t 0 l ( “，v ，们有界且满足( 1 6 ) 一( 1 8 ) 则如果， 0i n b k 疵( 石) = 0o n 溉 线( 啦砉 x 咏最班q ) 以( x ) f - 1 x x 郇 x ) q ) 其中一i 。赠畦( z ) 。 我们构造下面形式的下解： “( x ，t ) = 9 1 ( f ) 以_ 其中g ( t ) 是下面问题的解： v ( x ，t ) = g 也( r ) 丸卅2 w ( x ，f ) =g 码( f ) 丸 必7 ( f ) = d 9 7 ( f ) f o 【g ( o ) = g o 其中j 可以适当小，r 1 待定，岛足够大使得g o ) 有限爆破。 指数- ，_ ( f = 1 ，2 ，3 ) 满足： o 祁j b 工o (c o o = x x x ；毋西庐 第章一类非线性反应扩散系统解的整体存在及有限爆破 此时我们不妨令 上 n ，1 ( 扣1 ，2 ，3 ) m 1 r m i n m , n 1 ，m 2 也，吗) 那么根据下解的定义，为证明( “，v ，叻为( 1 6 ) 一( 1 8 ) 的下解，需要证明下式 也即要证明 b l “珊1 + v np 口t a w v v 卅2 + w p 2p 卢兰 w t a w m 3 + “儿p ，! ( 2 3 6 ) 门j 万g 玛_ 1 ( f ) 以g 川玛吖o ) + g 凡“z 吖( f ) 吮坍z p 盯g 内以q 上丝上 疗2 6 9 ”2 一( f ) 以2 g ( ”2 n 2 - o ( f ) + g p z n 3 - r 0 ) 砍p 卢5 1 a 1 上a土 ( 2 3 7 ) n 3 6 9 唯一( f ) 破鸭g ( m 3 n 3 - r ) o ) + g p 3 n l0 ) 以确p ，g 也以啦 根据我们前面的题设可知，要证明( 2 3 7 ) x 抛，需要证明下面的f 2 3 8 ) 干n ( 2 3 9 、 两式成立： nsi 咻告( 薯g n , - 1 g ( m w l - ，)以，占( f ) c ，啊 舌 船6 e ：- l ( t ) i 。( 。：妒，) 善c i ，2 2 u 1 2 一妒7 ”k 2 蚴1 玎万 rn，击 q m 声- i 而要证明( 2 3 8 ) 式只需要证明下式： 。占。q 一。，吉， 善 咿酣一r g o ( m r n l r ) 寺 。斤。：，去 。( m 2 。：一，) 孝 妒铲1 r 2 c 1 丸( z ) 可- l 在这里我们令： 1 ，m i n m 1 ，m 2 ，m 3 ) 那么要证明( 3 2 ) 只需证明下式 23 ( 3 2 ) ( 3 3 ) 第三章临界情犹 从( 3 4 ) 中容易看出， 而k 将在后面确定。 c 9c j r n l 0 ，且不失一般性有m a x ：1 。 j e 矗 那么由前面上解的定义知道，要证明( h ，y ，w ) 为上解，需要证明下式 熙鬻荔 i 孟：o 一 口+ d 。 【a 。e a 1 8 即” l 五1 p ” 因为口， 他 则当初值较小时问题( 1 6 ) - 0 8 ) 有整体解存在。 26 第三章临界睛抛 证明： 我们构造下面形式的上解 “( x ，t ) = b 国。 v ( x ，z ) = b 国“2 w ( x ，t ) = b 脚 其中b 0 待定，国为下面问题的解 1x q o f a q 则存在m 0 使得0 o 适当大，则上式总可以成立。 对于( 3 6 ) 中第二式只需证： 丝土 bp 2 - m 2 ”3p 口6 。1 ( 3 7 ) 27 = o 国 | | ， 2 ，只0 ( 扛1 ，2 ，3 ) ，q r ”有光滑边界触。 对于问题( 4 1 ) 一( 4 3 ) 的解的存在性及唯一性参考著作 5 0 可证，在这里我 们省略了其繁琐的证明，更加注重讨论其解的性质。 第四章一类带有非局部源的抛物型方程组解的性质 4 2 解的整体存在性 在这里我们首先给出问题( 4 1 ) 一( 4 3 ) 存在整体解的一个充分条件即卜面 的定理。 定理4 1 ：如果( 啊一1 ) ( 一1 ) ( m z - 1 ) p i p 2 p 3 ，口，卢， 1 p、p!p3 令甲，为下面问题的解 4 0 ： 甲d i v ，( ：iv o y ，r 一2 v 甲j = 一1 o v x ；0 ( ，：，：，3 )l 甲，=a q 、 则甲，0 ，且存在m 0 使得m a x 甲= m i ( i = 1 ，2 ，3 ) 我们构造下面形式的上解： 其中d 0 待定。为证明( h ，v ，w ) 为( 4 1 ) 一( 4 3 ) 的上解，须证明： u t d i v ( i v 甜r 1v “) + iv e a w d x m ；，d 删v i p v ；) + l w e 4 i 出 ( 4 5 ) 试猢v ( i v w l 叩1 v 品) + l 五p ，；出 也即要证明下式成立： x x j n 似 1 2 3 甲 甲 斗 d d d = i i i i ” x x x ( ( 一 一v w ，i、l 第叫章类带有非局部源的抛物型方程组解的性质 也即 o 一扩。1 + d 凡甲：v ”3 d x 0 一d 1 。+ d n 甲3 n 弧d x ( 4 6 ) 0 一d 。+ d n 甲i p 3 e y d w 2 d x 艇 卜9 m 2 n l q 1 - p 2 m 3