（应用数学专业论文）关于任意随机变量序列的强极限定理.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 概率论是研究随税现象统计瓶律性盼- - i 数学学科，其理论和方 法在金融、保险、经济管理、工农池、医学、灾害骠摄甚至社会科学 领域中有着广泛的应用运用概率论的理论和方法还形成了许多边缘 学科，如信息论、决策理论、生物统计、金融数学以及精算理论等。 黧中，焱极限定理是概率论研究的中心问题之一，也是概率论其他分 支酶重要基磺，著在诲多穗关领壤有着极为广阔麓应用鹜景。嚣鞍论 和停时则是现代金融学，破产理论，风险投资，保险学的理论基础。 利用鞅论方法和停时技术研究强极限定理，讨论随机变量序列的强收 敛性有着重大的科学研究意义。 本文基酶憝要磅究任意糍机逶应序列在一定条件下麴强收敛牲， 并讨论了关于任意随机序列郝分和增长阶的估计。首先，研究了任意 随机适应序列的局部强收敛性。主要通过构造随机变量的截尾，定义 适当的停时和合适的鞍差序猁，利搿鞅差序歹收敛定理和k r o n e c k e r 弓| 理得鳃了没有葶调憷条件下麓任意蘧极适应廖裂鳃强极限定淫。另 外，通过构造随机变篮的截照并在此基础上应用条件三级数定理，本 文得到了在更高阶条件下的任意随机适应序列的强极限定理。作为推 论，得到了相应的关于独立随机交遗序列的强收敛定理以及一些关于 任意蘧掇逶应序列戆已有酶结果。蒸次，本文在磷究随枫适应序剜强 极限定理的基础上，接广了f r e e d m a n 的一个定理以及任意随机适应序 列部分和增长阶估计定理。 t 江苏大学硕士学位论文 关键调：熬祝适应序列，捧对，鞍差穿剐，强辍琵定遴，k r o n e c k e r 引毽，条件三级数定瑷，部分和，增长阶 h 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t p r o b a b i l i t yt h e o r yi s ab r a n c ho fm a t h e m a t i c s d e a l i n gw i t h t h e s t a t i s t i c a ll a wo fc h a n c ep h e n o m e n a i t st h e o r e m sa n dm e t h o d sh a v eb e e n w i d e l yu s e di nf i n a n c e ，i n s u r a n c e ，e c o n o m ya n da d m i n i s t r a t i o n ，i n d u s t r y a n da g r i c u l t u r e ，m e d i c a ls c i e n c e ，d i s a s t e rf o r c a s t ，e v e ni nt h es o c i a l s c i e n c e m a n yb o r d e r l i n ec o u r s e sh a se m e r g e db yu s i n gt h et h e o r e m sa n d m e t h o d so fp r o b a b i l i t yt h e o r y , s u c ha si n f o r m a t i o nt h e o r y , p o l i c y m a k i n g t h e o r y , b i o l o g ys t a t i s t i c s ，f i n a n c i a lm a t h e m a t i c sa n da c t u a r i e se t c t h e s t r o n gl i m i tt h e o r e m sf o rr a n d o mv a r i a b l e si s o n eo ft h ec e n t r a lq u e s t i o n f o rs t u d y i n gp r o b a b i l i t ya n di ta l s oi st h ef o u n d a t i o no fo t h e rb r a n c h e so f p r o b a b i l i t y p r o b a b i l i t yh a sb e e nw i d e l yu s e d i nm a n yr e l a t e dr e a l m s m a r t i n g a l e sa n ds t o p p i n gt i m e sa r et h eb a s i so f f i n a n c et h e o r y , r u i nt h e o r y , r i s kt h e o r ya n di n s u r a n c et h e o r y i ti si m p o r t a n tm e a n i n g f u lt os t u d yt h e s t r o n g l i m i tt h e o r e m sf o rt h es e q u e n c e so fr a n d o mv a r i a b l e sb yu s i n g m a r t i n g a l ea n ds t o p p i n gt i m e s 1 1 1t h i sp a p e r w ee s t a b l i s ht h es t r o n gl i m i tt h e o r e m sf o ra na r b i t r a r y a d a p t e ds t o c h a s t i cs e q u e n c eo nac e r t a i np a r t i a ls e ta n dt h et h e o r e mo ft h e e s t i m a t e so ft h eg r o w t hr a t ef o ra r b i t r a r ys t o c h a s t i cs e q u e n c e i nt h ef i r s t ， w ee s t a b l i s ht h es t r o n gl i m i tt h e o r e m s w eu s et h et r u n c a t i o nm e t h o d so f s t o c h a s t i cv a r i a b l e s ，d e f i n et h es t o p p i n gt i m e sa n dm a r t i n g a l ed i f f e r e n c e i i i 江苏大学硕士学位论文 s e q u e n c e si nt h ep a p e r t h e n ，t h es t r o n gl i m i tt h e o r e mo nt h i ss e q u e n c e i s p r o v e db yu s i n gt h ec o n v e r g e n c et h e o r e mo fm a r t i n g a l ed i f f e r e n c ea n dt h e k r o n e c k e rl e m m a a n o t h e rs t r o n gl i m i tt h e o r e mo ft h es t o c h a s t i cs e q u e n c e i sp r o v e db yd e f i n i n gt h et r u n c a t i o no fv a r i a b l e sa n du s i n gt h ec o n d i t i o n a l t h r e es e r i e st h e o r e m s o m es t r o n g l i m i tt h e o r e m sf o r s e q u e n c e s o f i n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e sa r et h ep a r t i c u l a rc a s e so ft h er e s u l t i nt h e b a s i so f t h es t r o n gl i m i tt h e o r e m s ，w eg e n e r a l i z ef r e e d m a n st h e o r e ma n da t h e o r e mo ft h ee s t i m a t e so ft h es t r o n gg r o w t hr a t ef o ra r b i t r a r ys t o c h a s t i c s e q u e n c e k e yw o r d s ： a d a p t e d s t o c h a s t i c s e q u e n c e ；s t o p p i n gt i m e s ； m a r t i n g a l ed i f f e r e n c es e q u e n c e ；s t r o n gl i m i tt h e o r e m ；k r o n e c k e rl e m m a ； c o n d i t i o n a lt h r e es e r i e st h e o r e m ；p a r t i a ls u m so fr a n d o mv a r i a b l e s ；g r o w t h r a t e 学位论文版权使用授权书 y9 3 8 0 3 2 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容或 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密口。 学位论文作者签名：韧6 气 驯年厂月舻日 指导教师签名： 加6 年月他日扬训 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：物i 乞 日期：玉们g 年6 月f 日 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 本课题研究的闼的和任务 概率论是研究大量随机现象统计规律的- i - j 学科，而且，这种规律性是在对 随机现象的观测次数趋于无穷时其“极限”所呈现出来的+ 因此，强极限定理一点 以来都在概率论中有藿极其黧要的地位，并且也是概率论其他分支的重要基戳兹 苏联篓名撅搴论学者辩尔莫戈罗夫秘揍遗坚科在评论概率论极限理论瓣赞说；“概 攀论豹认谈论器份徨只鸯透过极限理论才能被揭示，没有极限定理魏不可髓去溪 解概率论游綦本概念翡冀正含义”( 文 1 】) 概率论的真正历史被公认为从十七落 纪中叶开始，从那时至今，慈更斯、贝努里、高斯、马尔可夫、柯尔夫葵哥洛夫 等数学家将概率论不断向前掖进，而极限理论也同时得到了发展十九世纪二十年 代之前，中心极限定理是概率论研究的中心课题随蓿其他理论的不断健全，科学 家们对近代极限理论的研究至今方兴未艾，他们的研究不仅深化了经典理论灼许 多基本结果，也极大的拓展了今崴的研究领域，关于隧机变量豹强摄黢定理出予在 理论毒珏实跤中有豢广泛懿应茂爨燕要塞义，毽扰一煮是概率论极限繇论中研究鹩 主要涤题之一 对于隧梳交羹序掰，有多种意义下的收敛研究较多的脊几乎处处彼敛( a s - 收敛) ，也邵强收敛、依概率收敛、按分布收敛、平方平均收敛等对于任意随机变 量序歹u ，上述各种收敛恒有以下关系： a ，s 收敛 一依概率收敛 一 按分布收敛 拿 平方平均收敛 通常情况下，上述关系是不可逆的 本文首先研究了任意随机适应序列局部强收敛性，证明褥到了关于任意瞧褪 适应序列的局部强收敛定理在讨论过程中主要通过槐造| l 蠹枧变量黪截尾，定义逶 当的停时秘恰当的鞅蓦序列，裂题鞅差序列牧敛定理积k r o n e c k e r 弓 淫褥毯了关 于任意夔热适应廖列款强极限迩理另辩，逶过梅造随祝交量静截滗并在诧基础上 江苏大学硕士学位论文 应用条件三级数定理，本文得到了关于任意随机适应序列的强极限定理作为推 论，得到了相应的关于独立随机变量序列的强收敛定理以及一些关于任意随机适 应序列的已有的结果其次，本文在研究随机适应序列强极限定理的基础上，推广 了f r e e d m a n 的一个定理以及任意随机适应序列部分和增长阶估计定理 1 2 本课题的研究现状和趋势 在概率论极限理论发展的历史过程中，十九世纪二十年代前，中心极限定理 是概率论研究的中心课题在二十世纪二十年代至六十年代，以柯尔夫莫哥洛夫等 为代表的概率论学者对独立随机变量序列的强收敛性和强大数定律进行了细致的 研究，借助于截尾法、对称法、中心化法等手段，得到了较为完备的结论之后， 各种混合随机变量序列的极限理论又有了很大发展其中，我国的学者如陈希孺、 林正炎、苏淳等都做了大量的工作二十世纪三十年代末到五十年代初，著名数学 家j l d o o b 和p l e v y 创立了鞅论这个理论不仅是随机过程中最富于成果的分支 之一，而且还广泛地用于马氏过程、点过程、估计理论、随机控制等理论分支及 应用领域其间，由美国的概率论学者d o o b 在1 9 5 3 年详细介绍了他对鞅论的研究 后，由于鞅论在理论与应用上的广阔前景，使得近几十年来鞅论得到了突飞猛进 的发展 刘文在二十世纪七十年代末提出了一种不同于传统的研究强极限理论的纯分 析方法，后被杨卫国和刘文合作使其不断发展，得到了一种新的研究概率论强极 限定理的方法该方法主要是通过构造含参数的似然比或鞅，利用似然比几乎处处 收敛或鞅收敛定理来证明某些极限几乎处处存在( 文 8 、 1 3 、 1 8 ) 利用该方 法杨卫国和刘文对任意随机适应序列的局部强极限定理、非齐次马氏链强大数定 律、马尔可夫随机场的强大数定律及信息论中的熵定理进行了深入的研究，推广 了钟开莱的关于独立随机变量序列的强大数定律，c h o w ，y s 的鞅的强大数定律， b l u m 等关于混合随机变量序列的强大数定律及i s a a c 关于公平比的一类强极限定 理，并在上述工作的基础上，通过任意随机场与马氏链场的比较，得到了任意随机 场用不等式表示的强极限定理，即小偏差定理 由于在信息论、计算机、随机决策、金融、投资、精算等诸多方面具有广阔 的应用前景， 深化x t n 机变量序列的强极限定理的研究具有深远的实际意义，同 江苏大学硕士学位论文 时，将鞅论用于数学风险和精算还是一个有待发展的课题 1 3 本课题研究的主要内容和方法 本文主要通过构造随机变量的截尾，利用停时技术和鞅收敛定理研究任意随 机适应序列的局部强收敛定理，并在此基础上推广了关于任意随机变量序列的强 极限定理和关于随机变量序列的部分和增长阶的估计定理其中，主要方法如下所 述： 1 在讨论随机适应序列 只，力0 的局部强极限定理时，首先定义其截尾序 列 z ，n o ，其中对于任意的n 设z = 鼻州以i q ) 之后，通过定义适当的停 时并利用b o r e l c a n t e l l i 引理得到了( 瓦一霹) a n 在菜子集a 上a - s 收敛然后 定义鞅差序列 e ，五，一o ，其中k = ( 墨一e zi 五一。 ) 蠢，利用鞅差序列的收 敛定理得到了乏( e - e zl 五一。 ) 蠢在上述子集a 上a s 收敛，再由定理条件 可得最后结论，即乏( 五一e 五f 五一。 ) 在a 中a s 收敛从而，得到了关于任 意随机适应序列的强极限定理本定理推广了已有的关于任意随机适应序列的强 极限定理( 文 8 和 9 ) 2 在条件品( x ) i x l 2 个和毋( x ) i x r 山( p 2 ) 下，定义类似上述的截尾序 列，并利用条件三级数定理( 文【9 ) ，得到了瓦在某子集a 上a s - 收敛然 n ：l 后，利用条件彤胁r 不等式( 文 1 ) ，得到了乏( e i x 1 五一。卜e 墨 五一， ) 肛在 a 上a s t 收敛，而在上述的证明中已经得到了z e e x - | 石一， i t 2 n 在a 中a s 收敛， 因此，最后得到了e x ol 五一，】在a 中a s 收敛从而得到了在更高阶条件下 江苏大学硕士学位论文 的任意随机适应序列的强收敛定理本定理推广了相应的关于独立随机变量序列 的强收敛定理和一些关于任意随机序列的已有结果( 文 1 2 ) 3 通过研究任意随机适应序列的强极限定理和随机适应序列部分和的增长阶 估计定理，推广了f r e e d m a n 的一个定理( 文 7 ) 以及任意随机适应序列部分和增 长阶估计定理( 文 8 ) 4 江苏大学硕士学位论文 第二章预备知识 2 1 基本定义及相关命题 本文主要讨论概率空间上任意随机变量序列的强收敛定理，f 面给出了概率 空间和随机变量序列的概念，以及一些相关的定义和命题又由于对独立随机变量 序列的强极限定理的研究已经比较完备，因此在下面给出了独立随机变量序列的 概念 定义2 1 1 设( q ，f ) 是一个可测空间，尸是定义在，上的测度，则称 ( q ，芦，p ) 为测度空间 若p ( q ) = 1 ，即p 是定义在，上的概率测度，则称( q ，p ) 为概率空间 若p 为盯有限测度，则称( q ，p ) 为仃有限测度空间 若p 为完备测度，则称( q ，户，p ) 为完备测度空间 定义2 1 2 设置，x 2 ，瓦是随机变量，若对r 1 中任意n 个b o r e l 集 h月 置，马，b ，有户 n ( 五置) = 兀p ( 置e 尽) ，即事件 国：五e 尽 ( 1 f 珂) 是 l i = 1j ，- 1 相互独立的，则称五，置，五是相互独立的随机变量 定义2 1 3 设_ ，瓦，n 1 是概率空间( q ，p ) 上的随机变量如果存在集合 一，尸( 彳) = o ，使当e 爿时，有! 鳃瓦( 甜) = j ( m ) ，则称 置，n 1 ) 几乎必 然收敛于随机变量x ，简称为 瓦，n 1 a s 收敛于x ，记为舰瓦= x ，a s 命题2 1 1 ( 文 1 4 ) 五斗xa s 等价于下列的任何一项命题： 1 ) p ( j j 一j ff d ) = o ，v s o ； ，、 2 ) p fu0 瓦一j 占 f 斗0 ，v e o ； 、m 4 月 江苏大学硕士学位论文 s ，尸f s u p i 爿j 一爿l 占 寸。，v s o o 本文讨论的是强收敛问题，即几乎处处收敛，除了这种收敛，对于随机变量 的收敛问题研究较多的还有下述的依概率收敛，依分布收敛等 定义2 1 4 设，瓦，肝1 是概率空间( q ，f - ，尸) 上的随机变量。如果对于任 意的正数g ，都有熙尸( ：l 以( ) 一( 国) 卜s ”= o 成立，则称 也，一 - 1 1 依概率 收敛于j 定义2 1 5 设爿，五，”1 是概率空间( q ，芦，尸) 上的随机变量，只，f 分别是 瓦和z 的分布函数。如果在f 的每一个连续点x 上t 有憋c 0 ) = f ) ，即分 布函数列e ，n = 1 ，2 ，弱收敛于一个分布函数f ，则称五依分布收敛于x 定义2 1 6 设( q ，厂，p ) 为测度空间， z 是定义在( q ，p ) 上的可测实函 数列，是定义在上面的可测实函数若对于任意给定的正数f ，恒有 艘p h z ( x ) 一厂( 刮占 = o 则称 z ) 依测度收敛于， 在讨论任意随机变量序列部分和增长阶的估计时，通常给出的是关于随机变 量序列的矩的条件，关于随机变量的矩定义如下： 定义2 1 7 设k 为正数，如果随机变量盖。的数学期望存在，就称e x 为随 机变量z 的七阶原点矩 类似的，可以定义随机变量x 的阶中心矩为e ( x 一麟) 4 ；随机变量的女阶 绝对中心矩为五防一时卜 本文讨论的都是随机适应序列的强收敛问题，而且，得到的强收敛性都是在 一定条件下的局部收敛，其中的条件多是在随机变量的条件期望基础上得到的， 下面给出了一些相关的定义 定义2 1 8 设( q ，尸) 为所讨论的概率空间，”= o ，1 ，2 ，是f 的子 6 江苏大学磺士学位论文 口域，且五中 五，n - 0 ) 是定义在( q 歹，p ) 上的随机变壤序硎，如暴对于每个 捧，鼍是五哥溅翡，剃豫 毛，五，n - 0 楚蕤撬遮藏洚麓。 定义2 。i 9设只怒，的子盯一代数，男为( 准) 可积的随机变鬃，若y 是 瀵足磐下条锌黪憨极交爨 1 ) y 漫可浏熬 2 ) v b 毯有量聊= d p ； 刘穆为善笑予五戆条件麓塑，记为舌【茁i 巧】= r 特别的，如果z 是某零件c 芒，的示憔邈数，删拣y 毙c 关予躲祭彳牛概 率。 鑫爨2 ， ，2 ( 文 1 9 j ) 1 ) 设x ，r 怒可积的随机变疆，理，为常数，则 e , 岩x + p y t 尹l = g 要【黑 芦】+ 芦莒f y 芦j ； 2 ) e 1 s v = l a s ： 3 ) 蓍髫y ，瘸露l 菇l 芦l 嚣 r ，】拄。s ，。 龠瑟2 3 ( 3 c 【i 9 ) 1 ) 装y 为，可测的随移t 变量，且x ，艘7 是阿积魄，则 e x y l 翻= 臻汪 翻a 。8 ； 2 ) 设五是尸的予拶一代数，爿是可积髓戡变璧，赆 互 嚣( 并| 五) ；芦 = g 【x | 五j = e e ( x i 一；点 ； 3 ) 设点是芦豹子拶一代数，蓉 匿并i 再) * e ( x ) ； 4 ) 设黑是可积随机序列，o ( x 1 与，独立，则 e 【茁 罗】= 莒f z ) 。 江苏大学硕士学位论文 命题2 1 4 ( 文1 1 9 ) 1 ) p ( n j ，) = e e s ( q ) i 厂 = 1 a s - ； 2 ) p ( a f ，) = e ，( 爿) l ， 0 a s ； 3 ) 设 4 ) 是互不相交的事件列，则有 p l 45 vl = p ( 4i 刁 a s hn 在讨论任意随机变量序列的强极限定理的过程中，通过定义合适的鞅或鞅差 序列，利用鞅或鞅差的收敛定理得到我们需要的结论是讨论这类问题的一种重要 的方法因此，在下文中给出关于鞅以及鞅差的定义和一些常用的性质 定义2 1 1 0 m x o ，n 0 为随机适应序列，如果 1 ) 对每个n ，瓦是可积的； 2 ) 对于每个”0 ，叫五+ 。l 】- 瓦a s ； 则称 五，n 0 为鞅 若上述定义中的2 ) 改为叫五+ 。i 五 曩a s ，则称 五，无，”0 ) 为下鞅； 若上述定义中的2 ) 改为e 瓦+ ，l z 瓦a s ，则称 置，厅o 为上鞅 由上述定义易得，对于任意的疗，有下述结论成立： 1 ) 若 瓦，n 0 ) 为鞅，则有瓯= e x o ； 2 ) 若 五，n 0 ) 为上鞅，则有瓯瓯； 3 ) 若 瓦，h 0 ) 为下鞅，则有e x 2 e x o 命题2 - 1 5 ( 文 1 9 ) 若肖与y ( z = 五，肝o ，y = ，n o ) 为 鞅，口，为常数，则口+ y 也为鞅 命题2 - 1 6 ( 文 1 9 ) 设x 为鞅，厂为下凸函数，设s ( x 0 1 可积，则 厂( 五) , i t o ) 为下鞅；设x 为下鞅，f 为非降的凸函数，( 置) 可积，则 三羔坐堡 圭堂堡垒查 厂( 五) ，n o 也为下鞅 定义2 t 如果j ，= j ：i ， o 为可积适应序列，且对每一个，z ，有 e e 。i 五】= 0a s ，则称y 为鞅差序列 命题2 _ 1 7 ( 文 1 9 ) 若一= 五，肝) 为鞅，令k = 五，e ：五一瓦，( ”1 ) ， 则y 2 k ，n 为鞅差序列反之，若y = ，疗e ) 为鞅差序列，令瓦：童， j = u m , j x o ， 为鞅 注：将上述命题中的“鞅”改为“下鞅”，命题依然成立 除了上文中的鞅和鞅差，借助于定义适当的停时也是研究中应用的一种重要 方法，下面给出停时的定义： 定义2 - 1 1 2 设( q ，p ) 是概率空间，月：o ，1 ，2 ，是厂的予盯一域， 且个r ( 国) 只取非负整数值，如果对于每个珂( = o ，1 ，2 ，) ) 有 ：，如) ”je 五，则称r ) = t 为一个停时 易知 ：丁( 出) ” 五等价于 国：丁( 印) = 胛 巧；且若，为停时，则 甜：丁( 。) 胛 e 正 2 2 基本定理 有 定理2 2 1 ( 文 1 9 ) 设】，为可积随机变量， 五，以1 为随机变量序列，则 1 ) ( 条件期望的l e v i 引理) 若瓦y ，且五c x ，则l i m e x f = e x i ，o 若也y ，且五s x ，则舰e 瓦i 巧 = e z f 】 2 ) ( 条件期望的l e b e s g u e 控制收敛定理) 9 江苏走学硕士学位论文 蓉i x o l - o 为下鞅，羞 s u p e x ： 0 0 ，或等价的s u p 露i 瓦l 。，则 ! 受五= 瓦a - s 且嚣阮| l# 定理2 2 4 ( c h o w ，文 3 ) 设 瓯= 五，五，弹1 是鞅，且1 p - 2 ，则瓯 l 女= 1 j a s 收敛于集 宝e i x i 9j 五一。 - i 是独立随机变量序列，翔果层| 量r o o 1 ) 若对每个群l ，蛰蠢o 赣黑| 或立，烈鼍a 。s 。收敛； n = l 2 ) 若对每令撵 ，都蠢l o 上非增，且有甄：0 ； l o 江苏大学硕士学位论文 3 ) g 。( z ) x 2 在区l n x o 上非增，且瓦具有对称分布 又设 a 。 为正数序列，如果 则级数瓦 2 3 关于任意随机变量序列强极限定理的研究背景 学者们对随机变量序列强极限定理的研究由来己久二十世纪二十年代至六 十年代，以柯尔夫莫哥洛夫等为代表的概率论学者着重对独立随机变量序列的强 收敛性和强大数定律进行了细致的研究，借助于截尾法、对称法、中心化法等手 段，得到了许多较完备的结论。关于随机变量的强收敛性，有多种意义下的收敛， 各种收敛之间有着密切的关系对于随机变量序列加以限制的情形下，如独立、相 依、混合、马氏条件下等大多已有深入的研究尤其是对独立随机变量序列，由于 其有良好的极限性质，许多学者对其进行了深入的研究，得到了较为完善的结论 刘文在二十世纪七十年代末提出了一种不同于传统的研究强极限理论的纯分 析方法，后被杨卫国和刘文合作使其不断发展，得到了一种新的研究概率论强极 限定理的方法该方法主要是通过构造含参数的似然比或鞅，利用似然比几乎处处 收敛或鞅收敛定理来证明某些极限几乎处处存在利用该方法杨卫国和刘文对任 意随机适应序列的局部强极限定理进行了深入的研究，从而推广了许多经典的结 论而这些方法也为众多学者对任意随机变量序列强极限定理的研究提供了许多 新的思路，使随机序列的强收敛性研究得到了新的发展 下面给出了近几年关于任意随机序列强极限定理研究的一些结果，其中也包 含了关于随机变量泛函的强极限定理的研究： 定理2 3 1 ( 文 1 3 ) 设 瓦，忍0 ) 是任意随机变量序列， z ( x ) ，n 0 ) 是 一列可测函数记z “= x o ，x o ) ，设 ， 0 是递增的正数序列设纯( x ) 是一 列r 上的非负偶函数，使当圳增加时 锄 亟 翳憾 江苏大学硕士学位论文 设 则有 纸( x ) i x f 个，纯( x ) x 2j ， 爿2 ：e ( 工( 置) ) | z ”1 ( 吼) o ) 是任意随机变量序列，记 “。 凰，蜀) ，设 吒，聆o 是递增的正数序列设( 上) 是一列r 上的非负偶 函数，使当h 增加时 设 则有 特别的，当 时，有 吼( x ) l j 厂。 爿2 功：e ( 以) f p i 肋( ) 时 纸( x ) c x 则( 五一e 五i 瓦一。 ) 在4 中a s 收敛 n 1 定理z s s ( 文 z s ) 定理：3 4 中的条件爿= ：喜e e 纯( i x 4 ) 1 5 一。 - 2 ， 疵( x ) x 9 单调不减，设 爿2 ：磐2 抛) 以( 哪 。 ， b = 国：喜吒2 。) ， 则 x x o e ( 五j 五一。) 在爿n b 中a s 收敛 定理2 3 7 ( 文 5 ) 设 以，n o 是任意随机变量序列，尼是固定正整数， 工( 确，_ ，) 是r “1 上的b 。，p ，可测函数，五= o - ( x 0 ，五，瓦) ，已是关于五一， 可测的非零的随机变量序列，如果c a 满足下面条件： 1 4 江苏大学硕士学位论文 1 ) ( x ) 是丑斗丘上的b d ，p ，可测函数 2 ) 存在常数1 ，见2 ，e2 1 ，峨1 使得对v ，如皿，t 2 有 并且有 则 t见t成 茄舛赫t 2( ) 一一( ) 至k 班体( j 六( 瓦。瓦。， 芝鸩e ( | 五( 瓦。以+ 。， ，蜀) i ) l 一i 屈( 。 a s 正一， 肛( 。 艺n = k 士n ( e 一，五) 一层e 五( z o 一，五) j 一。 a s 收敛 特别地，当0 0 ，使得 。l i + m 。s 叩瓦南砉e 五2 ( x o ，五，五) e x p ( a f t ( x o ，五，x d ) l x h = 庐( 国) 1 5 也铲 葭 一 “迎 堕 江苏大学硕士学位论文 o o 其中x “1 = 盯( 蜀，五，五) ，t 0 ， 则 熙i b 喜 五( 函，五，以) 一e e 五( x o ，五，x t ) l x “1 ) = 。 1 6 江苏大学硕士学位论文 第三章任意随机适应序列的强收敛定理 关于任意随机适应序列的强极限定理近年来已有一些研究文献 8 中通过研 究任意随机适应序列的强极限定理，得到了一类鞅差序列的强大数定律文献 1 2 1 中通过研究任意随机适应序列的性质，得到了矩条件下任意随机变量序列的一类 强极限定理文献 1 6 1 中建立了随机变量序列的稳定收敛定理 本章主要研究任意随机适应序列的强收敛性，即随机适应序列的几乎处处收 敛。主要通过利用随机变量的截尾方法和定义适当的停时，以及定义适当的鞅差 序列，并利用鞅差序列的收敛法则等，本章第一部分得到了关于任意随机适应序 列的强收敛定理。另外，通过利用截尾方法、条件三级数定理和条件h 6 l d e r 不等 式，本章第二部分还得到了在更高阶条件下的任意随机适应序列的强收敛定理。 作为推论，得到了相应的关于独立随机变量序列的强收敛定理以及一些关于任意 随机序列的已有的结果。 3 1 基本定理 引理3 1 1 ( 文【1 5 ，p 2 9 4 ) 设 瓦，五，咒0 是平方可积鞅差序列，则 瓯= 善五在集合 e 霹i 五一。 。o 上a s 收敛 女= 】lk = lj 引理3 1 2 设 凡，n 1 ) 和 o ，n 1 ) 是二非负数列，且晶，v n 1 则无穷 级数 l u i “ 佃j l u l l 佃 ( 3 1 1 ) 引理3 1 3 ( b o r e l c a n t e l l i 引理，文【3 、 1 9 1 ) 设鸠，n = 1 ，2 ，则有 1 ) 若萎尸( 坛) 悃，舢( 酗。) = o 2 ) 若m ，鸠，坂，相互独立，且喜p ( 坂) = 佃，则p ( 酗) = l ( 3 1 2 ) 江苏天学硕士学位论文 ( 3 ，l t 3 ) 引理3 1 ，4 ( k r o n e c k e r 引理，文 1 9 】) 如果瓯个m ，而级数收敛，则有 主嚷寸o “hn 越 ( 3 1 4 ) 引理3 1 5 ( 文 1 7 】，p 1 7 7 ) 设 ，只，丹o 鼹可积适应序列，c 是正常数， 则也在由下列三条件确寇的集合a 上a - s 收敛 n # t 1 ) p ( ( c ) 瓦一。) 惝； 2 ) e ( 瓦硼置l 曼c ) l 五一；) 曩s 。收敛； ( 3 1 5 ) ( 3 。1 6 ) 3 善 e 霹硝五 蔓c ) i 墨) 一三2 ( 瓦? ( i x 。l 。) | 五一t ) 9 主菲簿躯缡函数 序列假定对每个h 有 熊( x ) x 2 在匿阐石 o 上非增， ( 3 2 ，1 ) 设 r、 爿2 ：善e ( 以) 五，d 岛( ) _ 0 ( 以一可以| 五一。 ) 在中a s 收敛 n = l b 2 0 9 ：l i m a = + n 4 l i m l 窆( x t “nf _ 1 e 置i 五，】) 在b 中a - s 收敛 证明：先作如下一些记号： 乙= 岛( 瓦) 岛( a n ) ， v n _ l ， 4 = 。砉e ( z 。i 正一。) 七) ，v 七 n = lj m i n n ：n _ l , 莩比f 五叫 ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) v k 1 ， ( 3 2 1 0 ) 当( 3 2 1 0 ) 式右边的集合为空集时，按通常的做法，令吒= 啪，则有 h 乙 n = i ，【聆】乙由于 ：靠( 埘) n ) ： ：e ( z 1 i 五) 茎七，壹e ( z f l 五) b ，“尝1 e ( z i 五，) 后l ij = l i = l 互 所以r r k 】是z 一。可测的由乙的非负性有 e ( 善z 。 = e ( 喜，c t ”，乙 1 9 ( 3 2 1 1 ) 江苏大学硕士学位论文 = e 喜e ( ， 靠n z 。ir a 一。) )l 月= lj 2 e i 蕃嗽n 】e ( 乙恽，) l = 1j = e 鼬乙i 训 = e e ( 乙五一。) i ”= 1 k 又因为4 = = + 。o ) ，于是由( 3 2 1 2 ) 有 妻n = la f & 乙卯= 至n = le f ，( 4 ) 乙 = e 纠 = e ( ， = + o 。】喜z j = e m 荟r k 五 s e 譬n = 1 k ， 由于当h 增加时，邑( x ) 是非降的，于是由( 3 2 1 3 ) 有 砉p ( 4 ( e 瓦) ) 2 喜l h 帅。，d p ds , 咖酬静 喜l 乏卯 k ， 因此由b o r e l c a n t e l l i 引理知p ( 4 ( 墨五) ，i 0 ) ：0 ，于是有 ( 3 2 1 2 ) ( 3 2 1 3 ) r 3 2 1 4 ) 江苏大学硕士学位论文 ( 瓦一e ) a n 在4 中a s 收敛 n ；1 又由于一= u 4 ，因此有 女 ( 鼻一珥) 在爿中a s 收敛 n = l 设 k2 ( z e 墨1 7 一。 ) ， 则 ，兀，胛1 是一鞅差序列，由于 e 旧毛 一砖) 2 悴。pe j ：d z 一。j o ： 悯k 又由( 3 2 1 ) 得 ( 孙帮 所以由( 3 2 1 8 ) ，( 3 2 1 9 ) 式得 e 坪i 一】 e 乙i n = 1 ”= l 于是由引理3 1 1 得 2 z e e g ( x ) i z 一。 屈( ) n = l 佃 a s 国a ( 3 2 1 5 ) ( 3 ，2 ，1 6 ) ( 3 2 1 7 ) ( 3 2 1 8 ) ( 3 2 1 9 ) r 3 2 2 0 ) 喜e2 砉( 西一e el 互一。 ) 吒在爿中a s 收敛 ( 3 _ 2 2 1 ) 因此由( 3 2 3 ) ，( 3 2 1 6 ) ，( 3 2 2 1 ) 式知( 3 2 5 ) 式成立 由( 3 2 5 ) 式和k r o n e c k e r 引理知( 3 2 7 ) 式成立 定理3 2 1 证毕 推论3 2 1 ( 文【8 ) 设 五，正，”o ) 是随机适应序列，设 吒，n o 是巧一，可 2 l 、，一)限瓦 ， 旦毋 乙 一 | | 江苏叁堂塑主堂堡羔墨 一一 测的菲降的正的随机变量序列设 ( x ) ，”o 是一列定义在r 上的菲负偶函数， 使当吲增加时 吼( x 非l 千，( x ) x 2 毒( 3 2