（应用数学专业论文）关于几类全纯函数空间之间的复合算子性质的讨论.pdf

摘要 摘要 本文从两方面讨论了复合算子在不同全纯函数空间之间的性质。 一、单位圆盎d 上h a r d y 空闻到期投h a r d y 空闻的复合算子乞的性质。 吴树宏在【3 】中讨论了复合算子q 从h a r d y 空间到加权h a r d y 空间的有界性， 并给出了c 的一个范数估计表达式同时褥到了c 成为紧算子的充分条件，但未给 出c 成为紧算子的必要条件。本文第二章在此基础上引入加权h a r d y 空间h ：( t 0 的一个等价范数，利用其等价范数从另一角度对复合算子c 从h a r d y 空间日2 到 加权h a r d y 空闯嚣2 够) 之瓣的有界性和紧性进行讨论，得到了复合算予e 成为有 界算子和紧算子的充分必要条件。 二、单位多隧柱上加权b e r g m a n 空闽到q b l o c h 空间的复合算子c 的性质。 2 0 0 6 年，唐笑敏、胡璋剑在文献 1 0 1 中研究了单位圆盘d 上加权b e r g m a n 空 闻和q b l o c h 空闻之间复含算子的特性。作为复合算予研究在域上的一种推广，本 文第三章将文献【1 0 】中单位圆盘d 推广到单位多圆柱上讨论复合算子c 由从加 权b e r g m a n 空间到q b l o c h 空间上的有界性和紧性问题，得到了判定复合算子c 成 为有界算子和紧算子的充分条件。 关键词：复合算予，加权b e r g m a n 空间，q - b l o c h 空间，有界算子，紧算子 ht h ep a p e r , w ew i l ls t u d yt h ep r o p e r t yo ft h ec o m p o s i t i o no p e r a t o ra c t i n gd i f f e r e n t h o l o m o r p h i cf u n c t i o ns p a c e sa sf o l l o w 1 t h ep r o p e r t yo ft h ec o m p o s i t i o no p e r a t o rqf r o mh a r d ys p a c et ow e i g h t e d h a r d ys p a c eo i lt h eu n i td i s c w us h u h o n g l 3 ig o tt h ec o n d i t i o nf o rqf r o mh a r d ys p a c et ow e i g h t e dh a r d y s p a c et ob eb o u n d e da n do b t a i n e dt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rq t ob ec o m p a c t e d , b u th ed i dn o tg i v et h e 小焰c s 轺r yc o n d i t i o n so ft h ec o m p a c tc o m p o s i t i o no p e r a t o r i nt h e p a p e r , c h a p t e rt w od e s c r i b e st h ee q u i v a l e n tn o r mo fw e i g h t e dh a r d ys p a c e b yu s i n g i t , w eo b t a i nt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rqt ob eb o u n d e do rc o m p a c t e d o p e r a t o r sf r o mh a r d ys p a c et ow e i g h t e dh a r d ys p a c e 2 t h ep r o p e r t yo ft h ec o m p o s i t i o no p e r a t o rqf r o mw e i g h t e db e r g m a ns p a c et o q b l o c hs p a c eo nt h eu n i tp o l y d i s c d “ i n2 0 0 6 ，t a n gx i a o m i na n dh uz h a n g j i a ns t u d i e dt h ec h a r a c t e r i z a t i o no ft h e c o m p o s i t i o no p e r a t o rb e t w e e nw e i g h t e db e r g m a ns p a c ea n dq - b l o c hs p a c e o nt h eu n i t d i s c a st h eg e n e r a l i z a t i o no fc o m p o s i t i o no p e r a t o ri nt h ed o m a i n , i nt h ep a p e rc h a p t e r t h r e ed i s c u s s e st h eb o u n d e d n e s sa n dc o m p a c t n e s so ft h ec o m p o s i t i o no p e r a t o rq ， w h i c ha c t sb e t w e e nw e i g h t e db e r g m a ns p a c ea n dq b l o c hs p a c eo nt h eu n i tp o l y d i s c d 4 w eg i v et h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ret ob eb o u n d e do rc o m p a c t e do p e r a t o r s f r o mw e i g h t e db e r g m a ns p a c et oq - b l o c hs p a c e k e y w o r d ：c o m p o s i t i o no p e r a t o r , w e i g h t e db e r g m a ns p a c e ，q - b l o c hs p a c e ，b o u n d e d o p e r a t o r , c o m p a c to p e r a t o r 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他入已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 虢一吼懈年f 月7 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守 签名：么妞导师 日期 第一章前言 第一章前言 1 1 复合算子的出现和发展 复合算子的研究是解析函数论和算子理论结合的产物；是利用经典解析函数 论中的结论探讨线性算子理论中的一些基本阆题，同时也利用算子理论侔为工具 研究函数论中的经典问题。复合运算是函数间的一种基本运算，将一个固定的函 数与某个具体的函数空间上的函数复合作为该空间上的一线性算子进行研究，始 予二十世纪6 0 年代e n o r d g r c n 的工作。 自算子理论的建立艨，慰复合算子的研究就弓l 起了许多数学家的兴趣，大量 非常深刻的结果不断涌现，常出现多篇文章从各种角度研究复合算子的同一个问 题，随着研究的深入，许多新的问题也不断出现。复合算子涉及许多领域且在各 种问题中自然出现，在乘法算子和更一般算子的交换子的研究中，以及在动力系 统的理论研究中，复合算子的相关理论都发挥着重要作用。 复合算子在全纯函数空间上的研究是由h a r d y 空间开始的，许多问题已经被 广泛研究在文献【2 9 1 已有大量总结，但近年来还是有许多作者从不间角度讨论了 h a r d y 空间上复合算予e 的有界性和紧性。1 9 9 6 年，s m i t hl l 】利用广义的 n c v a n l i n n a 计数函数刻域了复合算子c 由是单位圆盘d 上的h a r d y 空间和b e r g m a n 空间之间的有界的或紧的复合算子，并获得的如下结论： 定理王l l l 设0 psq ，则 4 国c 妒：嚣，一是有界的当且仅当，2 一o o o g o 1 w 1 ) l ；) ( | w | 呻d ； 4 嘞c 0 ：嚣，呻为紧算子当且仅当心，2 ( 叻- - o ( 1 l 0 9 0 h ) l b ( i 叫一1 ) ； 2 口 ( c ) q ：彳尹呻是有界的当且仅当心，2 ( 们- 0 0 0 9 0 1 w ) 芎) ( f 叫_ 1 ) ； 2 t ( d ) q ：彳，呻4 窖是有界的当且仅当j v 9 , 2 ( 叻- o ( i l 0 9 0 h ) i 彳) ( | 叫一1 ) ， 。譬 其中心，2 ( w ) 是关于妒的广义计数函数，以，2 ( w ) 黼d ( | l o g ( 1 1 w | ) f ) 表示有界变 幻 量，虬2 ( 叻一o o o u o 1 w 1 ) l 彳) 表示无穷小量a 2 0 0 1 年，罗罗、史济怀【2 】引入，7 c a r l e s o n 测度和消没r c a r l e s o n 测度的概念， 瞧予科技大学硕士学位论文 并以此为工具讨论了c “中单位球上的不同h a r d y 空间之间的复合算子q ，并得 到了如下结论： 定理2 t 2 1 设妒是域到自身的全纯映射，p 一拶和宰- - 1 是由驴在域上所定义的 b o m l 测度，剡当o p 0 0 ，1 cr l 时，q ：日尹假) _ 黯”尹溉) 是有界算子当且 仅当j e l 是一个垮c a r l e s o n 测度，并且q 为紧算予当且仅当是z 是一个消没 r l - c a r l e s o n 测度。 2 0 0 6 年，吴树宏 3 1 对h a r d y 空间好2 到加权h a r d y 空间日2 拶) 上的复合算子 c 的性质进行了研究，得到了如下结采： 定理3 1 3 1 若妒是d 上解析自映射龋数， 舢s 棚u p s , ，扣r 旌者 划g 势嚣2 到嚣2 拶) 上的紧算予且 文皇嘶汇鬲砰艿】 、 _ l y 、v，l ， 复合算子在b l o c h 空间土的有界性和紧性闻题为许多数学家所关注。1 9 9 5 年 k m a d i g a n 、丸m a t h c s o n 4 1 首次讨论了复合算子q 在单位圆盘d 上的b l o c h 空闻 及小b l o c h 空阀的有界性及紧性阕题，并得到两个深刻结果： 定理4 4 设驴：d 呻d 为解析自映射函数，嚣( d ) ，则巴在小b l o c h 空间 磊上是紧的当且仅当 器研1 - 1 2 1 2 牌重一o ) r 5 定理5 1 设c p ：d - - * d 为解析自映射函数，茸p ) ，剃乞在b l o c h 空闻声 上是紧的充要条件是对v 葶 o , r r o ， ，1 ) ，当眵0 ) | r 时，有 嵩矽( z ) 卜l 一眵( z ) r 。 第一章前言 对c 。中相关内容的讨论，史济怀和罗罗1 5 l 对复合算子在c 。中有界齐性域q 上b l o c h 空间p ( f j ) 的性质进行了研究，他们证臻了乞在多( 筠上总是有界算子， 并给出q 在多( q ) 上是紧的充分条件，同时 ! 导到了当q 只时，q 在( 只) 上是 紧的充要条件： 设妒是e 到自身的全纯映照，则q 在夕假) 上是紧的当且仅当对任意的 g o ，存在6 0 ，使得对所有ue c 一 o ，当擞细( z ) 喊) 6 时，有 墨盟坚丛三兰：兰! 垒兰! f 日：0 ，材) 魁其中洲l ( 警l 表烈z 脚删黼脯酢) l l 表翮豇 批弦一馐华一嵩半t 卜晰b e r g m a n 度m ： 2 0 0 1 年，周泽华、史济怀6 1 讨论了乞在单位多圆柱d “上b l o c h 空间夕( ) 的 紧性问题，并得出了：若妒是扩到自身的一个全纯映射，则q 在声( 扩) 上是紧 的充要条件是：对任意暑 锈存在6 o ，使得对娩扩，f f 当l d i s t ( f a ( z ) , # d 8 ) 6 时， 有 毫融l 尝g 成立。 2 0 0 1 年，o h n o 。s 和z h a o 在文翻中把复合算子的研究推广到加权复合算子的 研究，刻厕了加权复合算子在单位圆盘d 上的b l o c h 空间和小b l o c h 空间有界性 和紧性问题。2 0 0 3 年，张学军 8 1 对b l o c h 空间上加权复合算予的有界性和紧性 以及小b l o e h 空阅群上的复合算子的有界性进行了研究，使褥复合算子在单位圆 盘上b l o c h 空间韵性质更加系统化。2 0 0 5 年，周泽华、魏中齐【9 】讨论了多缀柱上 的b l o c h 空间上的加权复合算子的有界性和紧性问题。 此外，还有许多学者研究了不同解析黼数空间之间的复合算子的有界性和紧 性闯题。如s m i t h 研究了b e r g m a n 空闻和h a r d y 空间之间复合算子的有界性和紧 性问题其得出的主要结论见定理l 。 2 0 0 6 年，唐笑敏、胡璋剑b o 研究了单位圆盘d 上加权b e r g m a n 空间群( d ) 和 3 电子科技大学硕士学位论文 q - b l o c h 空间b q ) 之间复合算子的特性，并得到了如下结论： 定理6 设e p e h ( d ) ，且妒是d 到自身的全纯映照，驴( d ) cd 对于 o p z 0 0 ，一l - 1 ，为【o ，l 上的正规函数，驴是芝上的全纯囱映 射，则下列条件是等价的： ( 1 ) q ：群_ 或是有界的； ( 2 ) s 蜷u 。p _ 坐k 胁绺，啡) z ) 产 0 ，则对一切f e h p ，有 f | ，矽) ) | p d o 爿新l ，矽) l ，如 毒上述定理的证明中可知，在复合算予的有界性研究中，l i t t l e w o o d 从属定 理起了关键作用，其完整叙述如下： l i t t l e w o o d 从属定理【瑚设妒：勋一d 解橇，且妒( - 0 ，对于h a r d y 空间茸2 中的函数，有，。妒日2 ，且i l ，。妒0 2 墨l l ，0 2 。 研究了复合算子的有界性的特征后，最自然的问题是：哪些复合算子是紧算 子? 所谓紧算予r 就是将线性空间x 中每一个有界集都变成列紧集( 即对于任意 有界盼 吒匕c x ， 玩 二恒有收敛的子序列) 。于是对于复合算子q 如何将 h a r d y 空间日2 中的有界集压缩成列紧集引起了许多数学家的兴趣，复合算子紧性 的研究是由h 。1 s c h w a r t z 开始的。1 h 。s h a p i r o 和ed t a y l o r 1 棚对复合算子的紧 性研究驻深入一步，他们利用紧性与角导数的关系证明了如下结论： 定理9 1 1 4 i 设妒：d d 为单叶解析函数，则为紧算子的充要条件是 扛n m l - - r 帮一 l l z | 由j u l i a - c a r a t h 6 0 d o r y 定剐2 9 l 知，上述定理9 中的条件等价于：妒在a d 上不存在 焦导数由此得出了c 在髫2 中紧性的危导数判别法：设妒：d - * d 力单时解橇 函数，则q 为紧算子的充要条件是妒在a d 上不存在角导数。b d m a r c c l u e r 5 电子科技大学硕士学位论文 j h s h a p i r o 1 5 l 进一步研究了b e r g m a n 空间上角导数与复合算子的紧性关系，提 出了虽然在日2 p ) 中，q 的紧性蕴含着9 无有限角导数，但妒无有限角导数对于 日2 ( d ) 上的q 的紧性不是充分条件。而在加权b e r g m a n 空间鬈( d ) ( a 一1 ) 上， c 为紧算子的充要条件是妒无有限角导数。 由于在日2 ( d ) 上的解析函数妒：d - d 一般来说驴的角导数的不存在性不 足以完全表经e 的紧性，为了寻找更合适的关于妒的分析或直观描述e 的紧性 问题。s h a p i r o 1 6 l 利用n e v a n l i n n a 计数函数给出了日2 ( d ) 上的复合算子c 由的本性 范数公式： o 刮c i 忡l i m 叩筹 从而证得g 为日2 ( d ) 上得紧算子的充要条件是 i 罂等1 - o m 、g 两 使得表述q 的紧性特征问题得到较为理想的结果。 在研究复合算子的有界性与紧性时，常用到的另一个工具是c a r w s o n 测度。 1 9 5 8 年c a r l c s o n 在研究有界解析函数插值问题时提出了c a r l c s o n 测度的概念： 对o 6 1 ， e o d ，设s ( 宇，6 ) - z d ：k 一纠 6 ) ，并设j c l 是d 上的正b o r c l 澳 度，如果存在常数k ，使得对任意的# e a d 和o 6 0 使得l ，( z ) l 墨m 对所有z q ，fc f 都成立，则f 中任_ 序列 五 一定有子 序列在q 中任一紧致子集上一致收敛，即f 为一正规族。 利用引理2 2 ，引理2 3 。引理2 4 可得： 孳l 理2 5 设妒是d 到鼠身的全纯映照，剩复合算予e ：嚣2 呻嚣2 够) 是紧 1 0 第二苹h a r d y 空间到加权h a r d y 空同的复合算予 的当且仅当对h 2 中任一内翩一致收敛于零的有界溺数列 五 ，当七一时有 粉五艮一o 证明我们首先证明条件是充分的。设 五 在d 上内闭一致收敛于零，且存 在膨 o ，使得五l l ：掰，由此知 五 在p 上内闭一致有界由m o n t e l 定理 知 五) 必有一子序列 厶 1 1 ，2 ) 在d 上也内闭一致收敛于零。而已知当 七- 时有l q 五吐呻。成立，从而有l o 五f l 一一哗坤) 亦成立由紧算子定义 可知g ：h 2 - 2 舻) 为紧算子。 反之，设乞：嚣2 - 嚣2 够) 为紧算子， 磊 为h 2 中内闭一致收敛予零的有界 函数列，即存在m o ，使得0 l l ：写m o o ，且 五 在d 中的任意紧子集致收敛 于零，凌孳| 理2 2 和弓l 理2 。3 知| 限五l 参_ 瞰) 成立 定理2 6 设妒是d 到自身的全纯映照，则复合算子g ：2 _ h 2 ( ) 成为有 界算子充分必要条件是： 二并1 如一| 酢麓2 证明先证充分性 令掰- 五考挚蜘，对夥耐，蚓舭l 知： l g 州；- ：ol c ：。妒治) 1 0 司：| 唾国 一厶等邮卜 所以q 为有界算子。 再证必要性 。 设复合算子q ：日2 呻嚣2 ( 芦) 成为有界算子。对于，冒：， b 刘声2 sc l l 电子辩技大学硕士学位论文 取检验函数厶( z ) 。正一- 1 w 1 2 ，其中w 。妒( z ) d 毗罂。厮扣薹厢融刷删粼幂级 数系数定义的范数知 蜊：- 酣 7 喇7 苫t - 叫1 2 啦嘶) 驴- 崭- l 于是有 l i c j i i ：- $ oi ( l 。妒) 1 2 g ( i 批 一l 舞小 成立。 综合，知定理得证。 由引理2 5 可以得到如下定理。 定理2 7 设驴是到d 自身的全纯映照，则q ：日2 一日2 ( 芦) 是紧算子的充分 必要条件是 知黔量者鲫 协。 证昵( 量) 先证充分性 设扣犟r 正辫= o 眦即帆地参( 0 1 ) ，酬矧r 有 五舞帅 ( 2 - 2 ) 成立。由弓| 理2 5 知，设嚣2 中任意的函数列 磊) ，满足l 磊i ：s c ( 其中c 表示正 常数) 且 五】在d 中的任一紧子集上一致收敛于零，则只须证l k 氕8 矗一。 抟一) ，即可得爨q 弗紧算子。下面我们证l q 五乳一o 8 呻) 令k - w ：w d ，1 w i - r ，o o 和 点列 气) cd ，当l 妒( 乙) i 帅破- ) 时，使得 厶著吩 协3 ) 由条件( 2 - 3 ) 式，我们如果能构造一个函数列 五 满足下列条件： ( 1 ) 五) 在日2 中有界 ( 2 ) f t 聋e d 孛内翔一致收敛予零 c 3 ，当七一时，露磐匕8 c 丘9 骞- 。 则由引理2 5 知此假设与q 为紧算子矛盾。为此，取 g ) 尘二丝丛，其中z d 1 -ym、-,1-t i z 且尹瓴) cd ，由嚣2 函数的幂级数系数定义的范数知l 五| | ：= l 量五( 磅在p 的任意 紧子集 ! 县一致妇敛于零的。侣 8 q 眩一j = ) | ( 。妒地) 1 2 g q 1 ) 烈瓴) q 、， 0 腆 搀 z 一4 对 一z g 啦一比 一2 ，一h轩器 五一陟r肠 忱不 z 一1 d l 慨 电子科技大学颈学位论文 - 厶等吩岛 e p 当k - - 时熙0 q k _ 0 ，这与q 为紧算予相矛盾故当q 为紧算予时，有 成立。 综合( i ) ，( i i ) 知定理得证。 1 4 第三章多圆柱上加权及唧刀空问到鼋- b l o c h 空问的复合算子 第三章多圆柱上t j n 权b e r g m a n 空间到q b l o c h 空间的复合算子 3 1 问题引进和基本定义 设c 。一 z 一瓴，乙) , z j c ，一1 ，甩) c 。中的连通开集q 称为域，当q 有 界时，就称q 为有界域。本文主要考虑特殊的有界域单位多圆柱d - ，即 d - z 一瓴，乞) ：p 小1 ，j 一l ，露 # 1 9 4 表示其拓扑边界。当以- 1 时，d 是复平面c 上的单位圆盘。记h ( d 4 ) 表示d 。 上所有全纯函数全体集合。 本章主要讨论扩上的全纯函数空间之间复合算子c 的性质。 对于0 p 一1 ，d 4 上的加权b c r g m a n 空间群( d 4 ) 是h ( d “) 中所有满 足： i l y l l ，p l l ，l ，也o ) 的函数全体，这里 妣- 蝗瓴) 以( z 。) = + 1 ) “取( 1 一f 气| 2 ) “么乙) 姒瓴) 其中必瓴) 一 + 1 x 1 一k | 2 ) 4 姒瓴) ( 七- 1 , ，刀) 是d 上的加权面积测度，d a 是d 上规范化的l e b e s g u e 面积测度。 当1 s p 时，在范数0 ，l | ：，- l ，f p 妣( z ) 意义下群( d “) 构成b 锄a c h 空间。 特别，当口- 0 时，a ，是经典的未加权的b e r g ；m a n 空间。 对于0 q ，记d 4 上的g b l o c h 空间为： 儿卜吲b 一等抖咖酬 0 电子科技大学硕士学使论文 规定其范数 8 ，乳对- f o ) + l l l l 矿 予是在此范数意义下q b l o e h 空闻构成b a n a c h 空闻。当g , - i 时，艿为经典的b l o c h 的空间。 设x 和y 失上甄个全纯函数空闻，空闻x 到y 的复合算子乞定义为 乞( 厂) 一，o 妒( ，x ) 1 9 9 5 年m a d i g a n 和久m a t h e s o n 在文1 4 l 中首次讨论7 乞在单位潮盘d 上 的b l o c h 空间及小b l o c h 空间的有界性及紧性问题，并得到了两个重要定理( 见 定理4 ，定理5 ) 。1 9 9 6 年，s m i t h w 在文【l 】中利用n e v a n l i n n a 计数爱数讨论了 对于0 p 炼q ，q ：a ，呻是有界算子和紧算子的问题，其主要结论见定理1 。 2 0 0 0 年，史济怀和罗罗在文f 5 】中将复合算子在p 上b l o c h 空间的有界性及紧性 推广到多复变数的有界齐性域q 上，同时他们在文f 2 明中引入了1 7 - c a r l e s o n 测度 的概念讨论了c 。中有晃对称域上的不同加权b e r g m a n 空间之间的复合算子的性 质。2 0 0 1 年，属泽华和史济怀网讨论了乞在单位多匮柱d 上的岁( ) 紧性闯题， 并得到如下结论： 定理网若驴是扩到自身的全纯映射，羽q 在芦( 扩) 上是紧的充要条件是 对任意o 存在6 0 ，使得对v z e d ，当d i s t ( c p ( z ) ，o d “) 6 时， 毫酗1 - 。1 z , r f 成立。 上述结果都是在同类型滋数空闻之间讨论的，近来对于不同类型的溺数空闻 之间的复合算子和加权复合算子的性质的研究引起了很多数学工作者的兴趣。如 s m i t h 在文【熏】研究了b e 辔纛勰空阔和h a r d y 空闻之闻复合算予的有界性和紧性， z h a o 在文1 2 1 1 q b 讨论了b l o c h 空间到h a r d y 空间之间的复合算子的性质。2 0 0 6 年， 唐笑敏，胡璋剑在文 1 0 l q b 讨论了在单位圆盘移上加权b e r g m a n 空间和q b l o c h 空间之间的复合算予的特性，并得到了定理6 。在多复变情形下，2 0 0 7 年张学军， 刘竟成在文 1 1 1 中研究了在单位球上b e r g m a n 空间到雄b l o c h 空间之间的复合算 1 6 第三章 多圆柱主嬲权蜀咣册箨空褥鬟窖一躺空闻的复合算子 子的特性。 本章尝试将单位圆盘d 推广到单位多圆柱上讨论复合算子q 从加权 b e r g m a n 空间到q b l o c h 空间上的有界性和紧性问题。 3 2 主要结果和证明 首先弓| 入多复变数上有界对称域的基本翔识。对予有界域q ，若满足对任意 的z q ，都存在双全纯映射妒满足；( 1 ) 驴( z ) s z ，g z 是妒的唯一不动点( 2 ) 驴- i ，但9 2 一i ，其中i 表示恒等映射，则称q 为有界对称域。 设q 是r 中的有界对称域，v 是其上的正规的欧氏体积测度， v ( q ) u 1 ， 用k ( z ，z ) 表示q 上在z 点处的b e r g m a n 核函数，q 上的b e r g m a n 度量如下定义： g 一瓴j ( z ) ) 一j 1 【面8 2 l o g x ( z ，z ) ) ，1 兰f ，s 撑 若，：【0 1 】呻q 是一逐段光滑的c 1 曲线，当z 一，( f ) 一( ( f ) ， ( f ”qo 【o 1 1 ) ， ，关于b e r g m a n 度量的长度是 s - j ：( 敲o ) ) ( 慨o ”i 出 q 中关鼍：b e r g ：m a n 度量的距离丞数是 a ( z o ，毛) - i 矗f p ：y ：【o ，l 】_ q ，y ( o ) - 毛，r ( 1 ) - z 。) 由此距离函数导出了q 上的普通欧氏拓扑和闭度量球d ( z ，) 一 z q ：夕 ，z ) 譬r 】 用屹( d q ，r ) ) 表示其体积，当q - 时， 2 + a 屹( d 亿，) ) 。珥( 1 一 此结论可参见文 2 2 1 。 下面介绍本节中要用到的一些重要引理。 引理3 1 设o p ，一l a ，则v ，钟p “) ，有 1 7 电子科技大学硕士学位论文 i ，( z ) l s 匙( z ；d ，殳。1 ，嚣) 珥( 1 一k , 1 2 ) ， 成立。 证明- 设p ( z ，w ) 为d 上的b e r g m a n 度量下的距离，对v z e d 。，用o ( z ，叻= w e d 。：声( z ，w ) r ) 表示b c 卿锄度量球，由上述结论可知 ( d ( v ) ) 。i = 【( 1 制2 ) 对任意的，彤p “) ，则有厂日( d 4 ) 和l 厂j ，是次调和的。由次调和函数平均值 性质- f 得： 俐p s 丽蒜k i p 妣( w ) s 厕c 厶i，(，)fpave(1 w )s i ，l ，肌w ， 吃( d ( z ，r ) ) j p 、1 7 。丽陟( w ) c l l ：l l 口， 2 + a i = l ( 1 一 由m o n t e l 定理和紧算子定义可以得到如下结论。 引理3 2 设0 p ，一1 ca ，o q 0 ，使得0 l f 口，s m ， 则知兀)”在d“内闭一致有界。由monteli-1定理知 兀) 二必有一子序列 l 。jj i jjj l 】( f 一1 ，2 ) 在d “内闭一致收敛于0 f , l l , 癌呻o ，所以 第三苹多圆柱上加权b e r g m a n 空同到q b l o c h 空间的复合算子 8 q 厶f l 力_ o 亦成立由紧算子定义可知q 是紧的。 反之，设复合算子q ：钟( d ) _ 矿p 4 ) 为紧算子，并设 乃j - - 1 为群( d 。) 中 任一内闭一致收敛于。的有界函数列。则由紧算子定义可知， c 无 有收敛子序 列，不妨设0 q 一g l 【f 刀- o ( j 一) 。 由q b l o c h 空间b 一( d 。) 所规定的范数可知 c ：兀l | 寥一- i ( 妒( ) i + 0 兀( 妒o ) ) 0 矿 因为妒为d “上的解析自映射，并且 六) 二在内闭一致收敛于o ，所以 无如( 0 ”- o ( j - ) 成立和半( z ) 在d “内闭一致收敛于o 。 以i 设e 为d “中的有界闭子集，见一 z d 1 ：k l 6 , 0 6 1 七一1 ，刀 对任意 的e 总存在6 使得e cd ，所以下面是成立的： 所以 8 撇小s u p 砉0 材ii 叫删 s 晋耕刮刮翌謦) j 圳叫 姆帜巩力0 成立，再由e 的任意性，知g - 0 。 下面讨论单位多圆柱上复合算子c 从加权b e r g n a n 空间到口b l o c h 空间 上的有界性和紧性问题。 利用引理3 1 ，我们可以得出如下定理： 定理3 3 设0 p ，一1 口 ，0 q ，妒为上的解析自映射，则复 合算子q ：钟( d “) _ 矿p “) 成为有界算子的条件是： 1 9 电子科技大学硕士学位论文 翌船i 带 证明由条件知，存在正常数m ，令 肌酬l o z k ) i 带 设v f 群( d “) ，驴为d 。上的解析自映射，由引理3 i 得 m(0)i墨丽cllfll,1一k ( 0 ) 1 2 ) p 对，群p 4 ) ，q ：群( d 。) _ 伊( d “) 可得 而 m h 厂i + 晋斟乙1 2 刊掣l 翌扣i 1 2 ，gl 掣l s 浮扣i 1 2 刈等c 刊融) l 。翌毫五誊言务i 善l a ( f ) 。 q ) ) 陋( 1 一纵圳2 ) 1 + 等 s 翌蠢带酗i 翌糖咖柏酬2 卢 s m 磐扣i 劬1 + 孚i 等( 删卜i i 厂i i 口竽 帕 由上述可知 第三苹多圆柱t - 加权b e r g m a n 空同到q b l o c h 空同的复台算于 m l 力丽c l l s l l , , 圳，i i - 字 兀( 1 一k ( 0 ) | 2 ) ， 故复合算子c ，：( d “) 呻伊( d 。) 为有界算子。 下面讨论复合算子q 在这两类全纯函数空间上的紧性问题，由引理3 2 可以 得到如下定理： 定理3 4 设0 p ，一1 口，0 q 0 ，并假设函数列 乃) 二满足： ( a ) i i f f l l 。，墨m ( j 。1 ，n ) ( b ) 无j 在内闭一致收敛于零 现只须证明当j 时，慨。驴k o 即可得到q 为紧算子。 m “( 0 ) ) i + s u p 薹( 1 一i 卅警( z ) l 显然鲤( 妒( 0 ) ) l o 成立，而 晋扣i 气1 2 刊掣叫 s 等扣i 乙1 2 惶( z ) 懈l 对o 6 1 ，令e 一 w d “：d i s t ( w , o d “) 6 ) ，则e 为上的紧子集。下面分两 种情形讨论： 1 ) 当9 ( z ) d 露e 时，即当缸 g ) ，o d 4 ) 6 时，由条件( 2 ) 即可得到，对 2 1 电子科技大学硕士学位论文 成立，所以 晋毫带酬q 等抖l 掣i等著( 1 埘) - | 半i s 翼扣川2 惶。将酢) ) l 。翌毫再：老务i 鲁( z ) i l 毒( 酢”l j ：l ( 1 一l 畅( 刮2 ) l + 等 s 翌蠢再三者务i 玺。) l 翌砉i 詈( z ) ) f j ：i ( 1 一纵刮2 ) l + 等 墨f 翌抖耐，1 + 孚融m 忙f ( 3 1 ) 设函数歹i j 厶) 在舢闭一致收敛于零，从而) ) 和倦( w ) 卜e 上亦内闭一 致收敛到零。又由条件知仍e b 叮( d ”)( f 一1 ，t ) ，则 翌抖“i 掣g ) | s 尝弘彬离叫陪。) l 5 翌毫( 1 - i 计) 9 陲。) l 浮謦 i 1 1 够, 1 1 矗灯等l 鲁g ) ) l 一。( j 一) ( 3 2 ) 第三章多圆柱上加权b e r g m a n 空间到g b 如曲空间的复合算子 因为k ( 畎o ) ) | 一o ( _ ) ，且由( 3 - 1 ) ，( 3 - 2 ) 得 岐乃0 j 坷- 0 兀。9 k - d o ( j - b o o ) 因此，复合算子q ：( d ) - 伊( d 。) 为紧算子。 由于多复变数的特殊性不能单纯的由单复变量推广到多复变量，所以单复变 函数空间与多复变函数空间中复合算子的研究也有许多的差异，不能简单地将其 单位圆盘上的性质直接推广到多圆柱上。因此对于单位多圆柱上复合算子c 从加 权b e r g m a n 空白j 到q b l o c h 空间上的有界性和紧性的必要条件还有待于进一步的 研究和证明，对这两类函数空间上加权复合算子的性质的研究也是下一步研究的 重点。 电子科技大学硕士学位论文 第四章总结 本文主要针对函数空间上的复合算子有界性和紧性的进行研究，现对本文的 主要内容进行总结。 在本文第二章中，我们利雳拥权h a r d y 空闻的等价范数形式对复合算子c 在 h a r d y 空闺与麓权h a r d y 空闻之间的有界性和紧性阀题进行讨论，弱时得到了复会 算子c 成为有界算子和紧算子的充分必要条件，在一定程度上对文献【3 l t 】的结粜 进行了补充。用其等价范数克服了原先用函数幂级数表示其范数给讨论复合葬子 的有界性和紧性问题带来的耀难。 第三章中，我们在多复变数的单位多圆柱d 。上讨论复合算子q 从加权 & 聊粕空问到q b l o c h 空间上的有界性和紧性问题，得到了判定复合算子c 成 为有界算子和紧算子的充分条件，作为复合算子的研究在多复变数上的一种推广。 由于多复交数的特殊性不能单纯的由单复变量推广到多复变量，所以单复交藤数 空间与多复变函数空间中复合算予的研究也有许多的差异，不能简单地将其单位 圆盘上的性质直接推广到多圆柱上。因此对于单位多圆柱上复合算子c 由从加权 b e r g m a n 空间到q b l o c h 空阕上的有界性和紧性的必要条件还有待于进一步的研 究和证骧，对这两类函数空阆上加权复合算子的性质的研究也是下一步研究的重 点。 下面是本文得到的主要结论。 是理2 6 役妒是d 剑目劈围坌纯映照