（应用数学专业论文）关于动态ewma控制图的若干研究.pdf

摘要 动态质量控制图较静态质量控制图能够更有效的提高生产效率，减少废品的 出现，本文对指数加权滑动平均e w m a 控制图进行了动态方面的若干研究，所 做的工作主耍有： l 、将动态e w m a 均值控制图推广到e w m a 方差控制图，对正态分布下 的e w m a 方差控制图进行了可变抽样区间设计； 2 、将非正态分布下的动态s h e w h a r t 均值控制图推广到e w m a 均值控制图 的情形，在总体服从非正态分布的条件下，对e w m a 均值控制图进行了可变抽 样设计； 3 、将一维动态e w m a 均值控制图推广到二维情形，在总体服从正态分布 的条件下列二维e w m a 均值控制图进行了可变抽样区间设计。 对以上所设计的三种控制图，分别用m a r k o vc h a i n 方法汁算出了过程的平 均报警时间，并将它与才日应的e w m a 固定抽样区f 司控制图进行比较，数据结果 显示，所设训的控制图较常规的固定抽样区间控制图能够很大程度地缩短过程失 控时的平均报警时间，从而降低产品的不合格率t 更有效地提高生产效率。 关键词：e w m a 控$ j i n ，可变抽样区问，m a r k o vc h a i n ，平均报警时间( a t s ) a b s t r a c t t h ed y n a m i cq u a l i t yc o n t r o lc h a ni sm o r ee f f i c i e n tt h a nt h es t a t i cq u a l i t yc o n t r o l c h a r t i nt h i sp a p e r , s o m er e s e a r c ha b o u td y n a m i ce x p o n e n t i a l l yw e i g h t e dm o v i n g a v e r a g ec o n t r o lc h a r ti sg i v e n t h em a i nt a s k sa r eb e l o w ： 1 、t h ed y n a m i ce w m am e a nc o n t r o lc h a ni se x t e n d e dt oe w m av a r i a n c ec o n t r o l c h a r t t h ee w m av a r i a n c ec o n t r o lc h a r tw i t hv a r i a b l es a m p l i n gi n t e r v a l su n d e r n o r m a l i t yi sp r o p o s e d 2 、t h es h e w h a r tm e a nc o n t r o lc h a r tu n d e rn o n - n o r m a l i t yi se x t e n d e dt oe w m a m e a nc o n t r o lc h a a t h ee w m am e a nc o n t r o lc h a aw i t hv a r i a b l es a p l i n gi n t e r v a l s u n d e rn o n n o r m a l i t yi sp r o p o s e d 3 、t h eo n e d i m e n s i o n a le w m am e a nc o n t r o lc h a r ti se x t e n d e dt ot w o d i m e n s i o n a l e w m am e a nc o n t r o ic h a r t t h et w o - d i m e n s i o n a le w m am e a nc o n t r o ic h a r tw i t h v a r i a b l es a m p l i n gi n t e r v a lc o n t r o lc h a r tu n d e rn o r m a l i t yi sp r o p o s e d t h em a r k o vc h a i nm e t h o di su s e dt oc a l c u l a t et h ea v e r a g et i m et os i g n a lf o rt h e t h r e ek i n d so fp r o p o s e dc o n t r o lc h a r t s t h ep r o p o s e dc h a r t sa r ea l s oc o m p a r e dw i t h t h ec o r r e s p o n d i n gf i x e ds a m p l i n gi n t e r v a lc o n t r o lc h a r t s t h ed a t u ms h o wt h a tt h e p r o p o s e dc o n t r o lc h a r t sc a ns h a r p l ys h o r t e nt h eo u to fc o n t r o lt i m ea n da r em o r e e f f i c i e n ti nd e t e c t i n gt h er e j e c t s k e yw o r d s ：e w m ac o n t r o lc h a r t ，v a r i a b l es a m p l i n gi n t e r v a l s ，m a r k o vc h a i n ， t h ea v e r a g et i m et os i g n a l ( a t s ) 西北工业大学业 学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间沧文工作 的知识产权单位属于西北工业大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复 印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阙。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 同时本人保证，毕业后结合学位论文研宄课题再撰写的文章一律注明作者单位为西北工业 大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名 匀鲤 呻弓月1 日 指导教师签名；0 芷边f 肆) 扣7 年多月7 日 ? 西北工业大学 学位论文原创性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本 人在导卿的指导下进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容 和致谢的地方外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公丌发表或撰写过的研究成 果，不包含本人或其他已申请学位或其他用途使用过的成果。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均己在文中以明确方式表明。 本人学位论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。 学位沦文作者箍名西碰 嘲年弓月f 7 同 西北工q p 大学硕上学位沧文 第一章 第一章绪论 1 1 质量控制图的基本理论 1 1 i 质量的统计观点 质量的统计观点是现代质量管理的基本观点之f 捌，若推行这样的观点就 是现代的质量管理，否则即传统的质量管理。质量的统计观点即休哈特博士提出 的观点包括下列内容【4 5 】： i ) 质量只有变异性。产品加工的目的是生产符合技术要求的产品，但是， 在生产过程中，无论什么种类产品，无论是大批量争产，还是小批量生产，无论 是机械化生产，还是手工操作，产品质量总是在波动。一个石化生产装置，同样 的原料，同样的工艺参数，同一批操作人员，装置馏出口的产品质量特性不会完 全一样，存在着羞异，这种现象反映出产品质量具有变异的特点。造成这种差异 的原因主要来自六个质量因素：人、机、料，法、环、测，而这些质量囚索在不 停的变化，故产品质量特征值也是波动的。此外，根据i s 0 9 0 0 0 ，另外还补充了 三类质量因素，即软件，辅助材料和水，电、汽等公用设施。 2 ) 质量变异具有统计规律性。质量特征值是波动的，具有规律性，但它不 是通常的确定性现象的确定性规律，而是随机现象的统计规律。所谓统计规律性 指产品质量特征值的变异幅度有多大，出现这么大变异幅度的可能性有多大，用 数学语言来讲，就是服从什么分布。如果出现异常波动，就必然使波动偏离原来 的分布，利用统计技术就可以发现偏离。 从哲学观点来看，上述质量的统计观点的两项内容也是符合历史辩证唯物主 义的。首先，了解到质量特征值是波动的，这就是认识世界；其次，质量特征值 的变异具有统计规律性，这就是掌握了事物的规律进一步去改造世界。 戴明在休哈特理论基础上将产生波动的原因分成两类：一般性原因和特殊性 原因。一般性原因指存在于过程中的属于系统本质的偶然原因，通常是慢性的， 西北工q k 大学硕上学位论文第一章 多起因于多个相对次要的质量特性变量的交互作用，由于技术原因而难于诊断和 纠正或从经济角度考虑是不经济的而暂时不考虑采取质量改进措施。与其相对 应，特殊性原因反映的是偶发性的局部干扰对过程的改变，多起因于某一单个的 重要质量特性变量的显著性变化，这种情况相对较易诊断和纠正。 这种对变异的区分是必要的，因为特殊性原因属于质量控制范畴，而一般性 原因则属于质量改进范畴。但是两种变异的划分又是主观的、相对的，随着质量 改进的不断完成和科学技术的进步，今天的一般性原因可能成为明天的特殊原 因。 1 1 2 质量控制图的基本原理 统计过程控制通过确认并排除工艺系统中存在的异常影响冈素来保证工艺 系统稳定m 】，减少拧制冒= 的偏离；统计过程控制不是在生产进行的同时对被控 量进行控制，而是在加工完成之后通过测量，得到产品的质量数据，以产品的质 量数据为统计量进行统计过程分析( 以统计控制图为工具) ，找到生产过程的稳 态。最后，以该稳态为依据制定控制图，对生产系统的工作情况进行监控。若控 制图显示生产系统不稳定，立即对整个生产系统的工作情况进行检查，排除问题 保证生产系统的稳定运行，在保证生产系统稳定运行的基础上保证产品的被控量 数值稳定在理论值附近。 一般来说，影响产品的质量因素有系统性因素和随机性因素两类，如果生产 过程只有随机性因素影响产品的质量，我们就说这个生产过程是处于控制状态 的，反之，如果有系统性因素起作用，便说生产过程脱离控制状态，这种能够确 保生产过程处于统计控制状态、预防废品出现的统计控制方法的典型工具就是质 量控制图。利用质量控制图能够分离出影响产品质量的系统性因素，从而对很多 生产缺陷做出判断和纠正，这样就可对影响产品质量的主要工序做出改进，减少 许多损坏品和需修品。 根据概率统计原理，在普通的坐标纸上做出两条控制限和一条中心限，然后 把抽样所得的质量特征值按抽样的时间先后以点子的形式描在图上，通过点子的 动态分布情况来探讨工序的质鼠和其质鼍趋势，这种图就是质量控制图，如图 1 - 1 所示： 2 西北工、i p 大学硕上学位论文 第一章 样本组号( 按时间顺序) 图1 1 横坐标为按时间先后排列的样本组号，纵坐标为质量特征值或样本统计量， 最上方的一条称为控制上限( 记为u c l ) ，最下方的一条称为控制下限( 记为 l c l ) ，中间的一条称为中心限( 记为c l ) 。在生产过稃中，定时抽取样本把测 得的点子按时间先后一一描在质量控制图上，如果点子落在两控制限之问，且点 子的排列是随机的，则表明生产过程仅仅有随机因素存在，生产过程基本上是正 常的，处于统汁控制状态，此时对生产过程不必干预：如果点子洛在两控制限之 外，或者点子在两控制限内的排列是非随机的，则表明生产过程中有系统误差原 因存在，工序己处于非统讣状态，此时必须对工序采取措施。用控制图对生产过 程不断地进行监控，就能够对系统因素的出现及时报警，并对工序进行控制。 质量控制图的提出由来已久，世界上第一张控制图是由休哈特于1 9 2 4 年提 出来的，之后得到了，“泛的应用和深入的研究，取得了相当不错的经济效益与社 会效益，为社会的发展尤其是对战后世界经济的发展做出了巨大的贡献。 如在生产过程中，仅有随机或偶然的因素存在，则产品质量特征z 将形成某 种典犁分布，通常为正态分布；当出现系统因素时，x 就会偏离原来的典型分 布，可用统计学- p 的假设检验方法来及时发现这种分布的偏离，从而以此来判断 系统性因素是否存在。 当工序不存在系统因素时，x n ( f l ，盯2 ) ，于是就有 e c , u 一3 0 - x u c l 时，过程停止，表示方差增大；当0 e w m a , u c l 时，过程继续，表示生产处于控制状态；当e w m a , u c l 】 + ( i + 三( o ) ) p 【( 1 一五) 帮+ 2 l n ( s , 2 ) 0 ， k h 0 ， 唧= ( 刍) 砉+ 而2 + 丽4 一淼 - i i = 1 n ( 2 ) 一h ，l n ( 爵) + 以1 1 2 = 1 n ( 蠢) 一k o v ，m ( 爵) 一h 。o v ) u ( i n ( e 2 ) + h o v ，l n ( o 0 2 ) + k a v 则l j 为中心域，厶为警戒域。 1 7 呲 溉 已 僦 姬 西北工业大学硕上学位论文第二章 使用两个抽样区间长度矾和吐，并且4 吐 0 ，检验方案为 若现时样本点的e w m a 统计量落入j 。内，则等待较长时间d 。抽取第二个 样本； 若巧落入l 内，则等待较短时间吐抽取第二个样本； 若k i n ( 2 ) + t 即或k i n ( 砖) 一k 唧，则报警。 2 3v s ie w m a 方差控制图的效率 对于可变抽样区间控制图，一般采用平均报警时间a t s 或报警所需的平均 样本数a n s s 来衡量它的效率，当过程处于控制状态时，a t s 、a n s s 应尽可能 的大，使得过程发生第一类错误的概率很小；当过程处于失控状态时，a t s 、a n s s 应尽可能的小，使得失控过程能及早被发现。 对于具有两个抽样区问吐d 2 的v s i 控制图，用”表示报警前使用抽样区 间一( i = l ，2 ) 的样本个数，巩表示第一个样本之前的抽样区间，在实际应用中， 一般取成= 以使得生产过程开始时第一个样本能及早被抽取，这样就可以及时判 断生产过程是否失控，为计算方便，本章取磊= 吐。 根据a t s ，a n s s ，媚，的定义很容易得到： a n s s = 1 + p i + 矿2 a t s = 如+ d i 矿l + 以 定义 n = + l a n s s ： l a n s s 。 吨= d 吨= d 2 显然岛可以理解整个控制过程取抽样区间4 的概率，1 - 一则为取抽样区间 吐的概率。 西北工业大学硕上学位论文第二章 则控制图的a t s 可以用a n s s 和一表示为：a t s = d a n s s ，其中 d = 吐一+ 破( 1 一目) ，也即d 为过程的平均抽样区间，d 与控制限和警戒限有关。 关于a t s 的计算方法有很多，如m a r k o vc h a i n 方法，积分方程方法以及 m o n t ec a r l o 模拟方法等，本章采用m a r k o vc h a i n 方法计算v s ie w m a 方差控 制图的a t s 。 假定变化在0 时刻发生，即盯2 从时间0 开始发生变化，将控制图的受控区域 【l c l ，u c l 】分成r 个了区间，如图2 - 2 所示，每个子区间对应于m a r k o vc h a i n 的一个状态，分别记为，岛，e ，且各个予区间的长度相等，第r + 1 个状态 为吸收状态，表示失控区域。 ，j ( u c l l c l ) 一 ( j l x u c 一l c l ) 一2 ( u c l l c l ) ，( u c l l c l ) l c z ( 2 1 - 1 x u 。c l - l c ) 2 r z 乳+ 3 ( u c l 。- 一l c l ) z 以+ ( u c l 扫- l c l ) 图2 - 2v s ie w m a 方差控制图受控区域的划分 定义6 = ( 6 。，6 2 ，i y ，其中鱼( 皓l ，2 ，) 表示摔制图的统计变量f 在状 态e 中时所用的抽样区间。显然，若e 位于中心域，则包= 吐，若e 位于警 戒1 2 ，则6 j = 破。 西北工、f k 大学硕上学位论文第二章 其中 记第个子区间为( l j ，) ，其中 三。：l c l + ( j - 1 ) ( u c l - l c l ) u ：l c l ；j ( u c l - l c l ) 。 r 记第个子区间的中间值为f ，则 c ：l c l + ( 2 j - 1 ) ( u c l - l c l ) 。 r 定义转移概率以为过程从状态i 一步转移到状态的概率，则 p g = p ( 1 位于状态，i 一，位于状态f ) = p ( l j 巧 u ji k i = t ) = p ( l j ( 1 一旯) 一l + 五1 n ( 霹) i k i = q ) = j d ( 三， ( 1 一名) q + 五l n ( ) u i ) ：p ( l c l + ( j - i ) ( u c l - l c l ) 1 1 n ( # ) + ( 1 一a ) ( l c l + ( 2 i - i ) ( u c l - l c l ) ) l c l + j ( u c l - l c l ) ) = p ( l c l + ! ：! 兰! ； ；i ；里( 2 ( 一1 ) 一( 1 一五) ( 2 ，一1 ) ) l n ( ) l c l + u c l i - _ l c l ( 2 ，一( 1 1 ) ( 2 i 一1 ) ) ) z r = r o ) d r 口：l c l + u c l ，- l 。c l ( 2 ( j 1 ) 一( 1 一_ ) ( 2 f 1 ) ) ， 6 ：l c l + u c l - l c l ( 2 j 一( 1 1 ) ( 2 i 1 ) ) ( x ) 如式( 2 1 ) 所示。 则控制图在这r 个状态中的转移概率矩阵p 为： j p = 【p , k = a ， 仍， 。： p ， 西北工仲大学硕i 学位论文第二章 定义 m = ( j p ) 一= h l = 啊l 强2 m ， i 鸭2 i t l 2 ， m r im r 2 用， 其中，为，r 阶的单位矩阵。 则是过程从状态互开始，在到达吸收状态之前在状态e 中的平均时间。 记a t s , 为过程从状态f 开始时的平均报警时间则彳碣= 屯。 z i 本章我们取= i n ( 司) ，因此该v s ie w m a 方差控制图的平均报警时间 a t s 即为a t s = 一碱。) 2 ，从该式可以看出，的取值应为奇数。 2 4v s i 与f s ie w m a 方差控制图的比较 为了能对v s ie w m a 方差控制图做一个很好的估计，我们有必要将它与相 应的f s ie w m a 方差控制图进行比较。 v s i 控制图与f s i 控制图应在问一条件下进行比较，换言之，当盯= o - o 时， 它们应有相同的伪警报概率和相同的平均报警时间a t s 。 为方便计算，取k = k ，h = h ，即此v s ie w m a 方差控制图为对称的双边 控制图。只要v s ie w m a 方差控制图与f s i e w m a 方差控制图具有相同的n ， 五，k 和女，它们就具有相同的a n s s ，也就是说改变控制图的抽样区间并不改 变它的a n s s 。 如果当盯= o o 时，f s i 控制图的抽样区间d 与v s i 控制图的平均抽样区间 d = 一目+ 吐( 1 一岛) 相等，那么这两个控制图将具有相一的a t s ，也就是说它们 在同一条件下具有相同的伪警报概率和相同的平均发信号时间，此时就可以将它 们进行比较。 分别计算当盯o o 时两种控制图的a t s ，a t s 越小，控制图的效率就越高。 2 1 西北工业大学硕士学位论文第二章 表2 l 一表2 - 5 分别给出了k 与五取不同值时在盯的情况下v s i 与f s i e w m a 方差控制图的a t s ，其中样本容量n = 9 ，不失一般性，在计算过程中取= l d = l 。 表2 - 1k = 0 7 5 时v s i 与f s i e w m a 方差控制图的a t s 的比较 k = 0 7 5 f 旦 五= 0 0 5名= 0 1五= 0 22 = 0 3旯= 0 4 c ov s j f s i v s i f s iv s l f s i v s if s iv s lf s l 1 i94 79 5 35 | 8 25 8 63 7 8 3 8 0 3 0 43 0 72 6 92 7 l i 26 0 06 1 6 4 1 74 2 52 9 729 924 92 5 l2 2 62 2 6 i 34 0 44 ，2 l30 3 3l l23 32 3 42 0 52 ，0 419 1 1 8 8 l4 30 6 3 2 223 82 4 5l9 2i9 21 7 61 7 116 71 6 i 1 52 4 926 4l9 920 4l6 7l6 5i5 7i5 015 l14 3 表2 - 2k = 1 时v s i 与f s i e w m a 方差控制图的a t s 的比较 k = 1 | 旦i 五= o 0 5五= 0 1五= 0 2a = 0 3五= 0 4 盯0 v s if s iv s if s i v s if s iv s if s iv s lf s i l 11 60 21 6 1 1 96 l97 36 ，0 36 1 l4 7 34 7 94 0 74 l l 1 283 6 87 75 9 46 1 94 2 3 43 535 2 35 9 3 ，1 33 1 7 l3 5 1 655 73 9 44 1 930 43 。1 4 26 526 824 324 3 l43 7 74 ，1 32 9 63 1 7 2 3 824 42 1 32 1 32 0 01 9 7 1 53 0 4 33 52 4 l25 92 0 0 2 0 21 8 31 7 9i 7 4l6 7 西北工、1 p 大学硕上学位论文第二章 表2 - 3k = 1 2 5 时v s i 与f s ie w m a 方差控制图的a t s 的比较 k = 1 2 5 i 旦l 五= 0 0 5五= 0 1兄= o 2旯= o 3兄= 0 4 吒 v s if s iv s lf s iv s if s l v s if s iv s i f s i 1 12 55 32 54 91 5 3 21 54 395 i9 6 47 4 075 i6 3 l6 4 0 i 21 1 0 6 1 16 0 80 984 55 8 66 1 i 4 9 05 0 743 6 4 4 9 i 36 4 5 69 849 75 3 238 44 0 83 3 435 030 631 7 1 446 35 0 736 03 9 l2 8 530 52 5 32 6 523 52 4 3 1 53 6 940 628 83 1 52 3 02 4 62 0 72 1 51 9 519 9 表2 - 4k = 1 5 时v s i 与f s i e w m a 方差控制图的a t s 的比较 k = 1 5 l 旦i 五= 0 0 5 a = 0 1五= 0 2五= o 3五= 0 4 v s if s iv s if s iv s if s i v s lf s iv s if s i 1 13 9 1 9 3 8 8 42 3 8 52 39 81 48 71 5 1 4 1 1 4 61 1 8 79 8 01 0 ，1 7 l21 3 4 9 1 4 6 81 03 31 10 67 7 483 3 65 47 1 i5 9 06 4 2 1 37 4 08 4 5 5 8 765 34 6 05 1 44 0 24 5 l3 7 04 1 5 l 5 2 06 0 5 4 1 446 83 2 63 7 1 2 8 83 2 62 6 73 o i l5 4 1 248 032 6 46 825 72 9 422 825 82 1 32 3 8 西北工q k 大学硕上学位论文第二章 表2 - 5k = 2 0 时v s i 与f s ie w m a 方差控制图的a t s 的比较 k = 2 0 i 旦l 名= 0 0 5五= 0 12 = 0 2五= 0 3五= o 4 c r 0 v s if s lv s if s iv s if s