（应用数学专业论文）关于算子值函数的若干性质.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 算子函数论是函数论学科中的一个新方向。从这一方向的产生到现在，它已经发 展的比较成熟并逐步渗透到数学的其它分支。基于该方向的首倡者f a nk y 教授关于该 理论的奠基性工作，论文引入了一类星形算子值函数的定义以及解析算子值函数辐角 的定义，将经典的复变函数几何理论中的一些问题推广到了解析算子值函数的情况， 并分别进行了讨论。论文所做的工作主要有两方面： 一、将一类复亚纯单叶星形函数的集合推广到了算子值函数的情况，得到了 h i l b e r t 空间中一类亚纯单叶算子值函数的集合k ，卢 。讨论了集合k ，明的一些 性质，得到了，( z ) k ，p 的充要条件及算子系数估计，并证明了在算术均值及凸线 性组合条件下，集合k ，别是闭的。 二、将一类被积函数为复值函数的积分算子推广到被积函数为解析算子值函数的 情况，利用泛函分析中的基本原理和算子的基本性质，对这类积分算子的辐角进行了 估计。并对特殊的情况进行了分析，得到了些重要的推论。 此外，还提出了一些有待进一步讨论的问题。 关键词：算子值函数积分算子算子系数估计凸线性组合辐角 一 i 华中科技大学硕士学位论文 = ；= = ；= = ；j = = = $ = = = t= a b s t r a c t t h et h e o r yo fo p e r a t o rf u n c t i o n si san e wd i r e c t i o ni nt h et h e o r yo ff u n c t i o n s t h i s d i r e c t i o nh a sb e e nd e v e l o p e dq u i t ew e l ls i n c ei tw a sf o u n d e da n di th a sb e e ni n f i l t r a t e di n o t h e rb r a n c h e so fm a t h e m a t i c sp r o g r e s s i v e l y b a s e do nt h ef u n d a m e n t a lw o r k sd o n eb y p r o f e s s o r f a nk y , w h ow a st h ef o u n d e ro ft h i s d i r e c t i o n ，t h ed e f i n i t i o n so ft h ec l a s s 函，1 o fm e r o m o r p h i cu n i v a l e n t o p e r a t o r - v a l u e d f u n c t i o n sw i t h p o s i t i v eo p e r a t o r c o e f f i c i e n t so nh i l b e r t s p a c e a n dt h e a r g u m e n t o ft h e o p e r a t o r v a l u e d f u n c t i o n sa r e i n t r o d u c e d ，s o m ep r o b l e m si nc l a s s i c a lg e o m e t r yt h e o r yo fc o m p l e xf u n c t i o n st ot h ec a s eo f o p e r a t o r - v a l u e d f u n c t i o n sa r e i m p r o v e d a n de x t e n d e d ，a n dt h e s e p r o b l e m a r es t u d i e d r e s p e c t i v e l y t h e r ea r et w oa s p e c t si nt h ew o r k f i r s t l y , w ei n t r o d u c et h ec l a s s k ，p o f m e r o m o r p h i cu n i v a l e n to p e r a t o r - v a l u e df u n c t i o n sw i t hp o s i t i v eo p e r a t o rc o e f f i c i e n t so n h i l b e r ts p a c e ，o b t a i nas u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o na n do p e r a t o rc o e f t i c i e n t se s t i m a t e s f o r m ) k ，纠，a n ds h o w t h a tt h ec l a s s k ，纠i sc l o s e du n d e ra r i t h m e t i cm e a n s a n dc o n v e xl i n e a r c o m b i n a t i o n s s e c o n d l y , w ei n t r o d u c et h ei n t e g r a l o p e r a t o r 也。( ，) ， w h e r e fi sa no p e r a t o r - v a l u e df u n c t i o n s 。b yu s i n gt h et h e o r yo f f u n c t i o n a la n a l y s i sa n dt h e p r o p e r t i e so ft h eo p e r a t o r s ，w ed e r i v es o m ea r g u m e n tp r o p e r t i e so ft h ei n t e g r a lo p e r a t o r ，w ( f ) a n d s o m e i n t e r e s t i n gc o r o l l a r i e sa st h es p e c i a lc a s e s m o r e o v e r , s o m eo p e nq u e s t i o n sa r ep o i n t e do u t k e yw o r d s ：o p e r a t o r - v a l u e df u n c t i o n i n t e g r a lo p e r a t o r o p e r a t o rc o e f f i c i e n t e s t i m a t e sc o n v e xl i n e a rc o m b i n a t i o n a r g u m e n t i l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他 个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：而幺托纽 日期： o 牛年牛月弓口日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本论文属于 不保密口。 ( 请在以上方框内打“”) 学位论文作者签名：弓列急红 日期：知蚪年牛月；口日 指导教嘉签名：j 劾， 日期：厶一牛年中月p 尹月 华中科技大学硕士学位论文 1 1 引言 1 绪论 经典的函数论体系经历了从实变数函数到复变数函数的转变与过渡，如今己得到 了完善的发展与广泛的应用。关于函数论专著可参考文献 1 2 】。自1 6 世纪引入复数 及1 7 、1 8 世纪微积分学的建立与发展以来，复变函数论得到了很大的发展，并且随着 它的领域的不断扩大而发展成为一门庞大的数学分支。但是这并不能解决所有的问题， 这就意味着经典的函数论还存在着不足与缺陷。算子函数论的产生与发展正弥补了经 典的函数论之不足，它解决了经典的函数论所不能解决的一些问题。算子函数论是函 数论学科中的一个新方向。若从该方向的首倡者f a n k y 教授在这一领域最有代表的论 文【3 1 算起，这一方向的产生和发展还不到三十年的历史。它是以无穷维空间的算子为研 究对象，以解析函数论与泛函分析为工具，定性地和定量地研究算子函数的各种性质， 从而把经典函数论提升到一个新的层次。由于研究对象为算子函数，因此它比经典函 数论有着更高的概括性。又由于在这种抽象的形式下，仍然得到数量丰富、表达精密 的结果，这就是它受到人们瞩目的原因。此外，从有限维走向无穷维是当代数学的一 个重要课题，这不仅是数学本身发展的需要，同时还联系着如天体物理，量子力学等 物理背景以及数学的其它分支，如b a n a c h 代数，赋范环论，广义函数与偏微分方程， 算子谱理论等等。它们在整个数学学科发展中都有着举足轻重的地位，而其作用的发 挥都或多或少借助于抽象值解析函数。应该说，它们与算子函数论的产生和发展有着 内在的联系。反过来，算子函数论的产生和发展必将有助于相关学科的进一步发展 4 1 。 f a nk y 教授做了许多关于该理论的奠基性的工作 3 1 5 。1 ”，这些工作首先将在经典 函数论中占有重要地位的一系列定理算子化，如s c h w a r z 引理【3 l j u l i a 引理【5 1 ， p i c k - j u l i a 定理【6 j ，v o nn e u m a u n 不等式 7 h a r n a c h 不等式 8 ，解析函数的优势原理， 均值定理，端点性质，角导数【9 l 等等。基于f a nk y 教授的奠基性工作，算子函数理论 有了很大的发展。在2 0 世纪8 0 年代，陶志光先生在算子方程方面做了奠基性工作1 2 1 ， 华中科技大学硕士学位论文 随后对算子方程做了大量的研究 1 3 _ ”】。到2 0 世纪9 0 年代，我的导师蹇明教授及杨长 森、喻小培等人在这一领域做了大量的工作，如优势原理 1 9 】，均值定理【2 饥，端点性 质2 ”，变形定理( 2 2 j 等。特别是他们集中研究了经典函数论中某些不等式的算子化 【2 3 2 “，多元压缩算子解析函数以及一类特殊的p 一叶算子解析函数的特殊性质 2 7 - 3 3 。从2 1 世纪初至今，算子函数论已逐步渗透到数学的其它分支。国内外许多学者 与数学工作者开始进行算子值函数方面的研究，将经典的函数论的许多基本理论推广 到算子值函数的情况，如算子值函数空间 3 4 - 3 8 】，算子值函数的b o c h n e r 积分o9 1 ，算子 值f o u r i e r 变换【4 0 4 ”，算子值p o i s s o n 核 4 2 - 4 3 、p o i s s o n 变换删及多变量p o i s s o n 核f 4 5 】， 算子值函数的鞅变换4 6 1 ，算予值函数的卷积，算子值方程的特征值，以及多变 量算子值函数 4 9 】等。 复变函数几何理论是数学的一个巨大的论题，所以一直以来备受人们的关注。虽 有一个多世纪的历史，但至今仍然生气勃勃，富有生命力。近三十年来，复变函数几 何理论有了很大的发展。特别在单叶函数的系数、极值点理论和具有拟共性扩张的单 叶函数族方面，进展尤为突出，而且正在迅速发展中。在2 0 世纪7 0 8 0 年代，出现了 大量关于单叶函数系数的文彰5 ”。从2 0 世纪末至今，亚纯单叶函数的星形与凸性的 关系【6 2 7 i 】正在被广泛的研究。 作者在本文中讨论了一类亚纯单叶算子值函数的性质及其算子系数不等式与一类 被积函数为解析算子值函数的积分算子的辐角估计。 1 2 本文的主要安排 设何为h i l b e r t 空间，b ( h ) 为所有日上的有界线性算子构成的复b a n a c h 空间， b ( ) 为口( 日) 的共轭空间。上的算子a 的实部和虚部分别为r e _ 和i m a ，即 r e 爿= 生专尘，i m 爿= 丛丢。 a h ( 。) 表示从开单位圆盘。： 引：i 1 ) 到b ( h ) 上 的所有形如： k 一一 华中科技大学硕士学位论文 厂( ：) = 0 + n = 2 的解柝算子值函数的集合。其中以属于b ( 日) ，4 ，o ， 如= 如4 ，v n ，m 2 2 。 本文仅在交换算子的情况下进行讨论。主要内容按以下方式组织： 第一章：论述了本文的背景，介绍了目前的发展状况以及发展趋势及本文的主要 工作，并对本文的章节做了安排。 第二章：主要讨论了h i l b e r t 空间中一类具有正算子系数的亚纯单叶算子值函数的 集合 口，】。第一节给出了引言；第二节讨论了h i l b e r t 空间中这类具有正算子系数 的亚纯单叶算子值函数的系数不等式；第三节讨论了h i l b e r t 空间中这类具有正算子系 数的亚纯单叶算子值函数集合的闭性质；第四节讨论了h i l b e r t 空间中这类具有正算子 系数的亚纯单叶算子值函数集合的一个子集【口，p ；8 】。 第三章：主要讨论了一类被积函数为解析算子值函数的积分算子的辐角估计。第 一节给出了引言；第二节讨论了关于解析算子值函数的几个引理：第三节给出了主要 定理即一类被积函数为解析算予值函数的积分算子的辐角估计式及其证明；第四节给 出了主要定理的一些推论。 第四章：对全文的工作的总结及对今后工作的展望。 1 3 预备知识 下面给出算子函数论的基本定理 4 1 ，在此文中将不加证明的引用下面的定理。 以n h ( d ) 表示所有f a n ( d ) 使得对z ，g o d 都有f ( z ) f ( c o ) = 厂) 厂( z ) ( z ) 厂( z ) = ，( z ) f ( z ) 的解析算子值函数构成的集合。 定理1 3 1 设日是复h i l b e r t 空间：厂n 。( d ) ，并且对于z d ，j 厂( ：) 8 1 。如果 r 口( 日) 是一真压缩算子，并且对于z d ，t f ( z ) = f ( z ) t ，则| f ( 7 1 ) l 0 且d = z ；h 1 1 1 。如果丁b ( ) 是压缩算子( 例j 1 ) ，并且与可交换，则i l 厂( r ) 忙1 。 定理1 3 3 设a ，b 为h i l b e r t 空阃日上的有界线性算子，并且b 可逆。如果子是一 正实数，则 ( i ) 怕日“ d 当且仅当a a 占b b 。 ( i i ) j 忡“忙占当且仅当a a 0 。 ( i i ) 设丁分别与舟和g 可交换，并且 与g 可交换。则我们也有 g ( r ) + g ( 丁) ，( r ) ( 7 1 ) ( 1 3 3 ) 以及( 1 3 1 ) 、( 1 - 3 2 ) 成立。( 1 3 3 ) 的严格不等式成立当且仅当g ( 丁) + 占( r ) 0 并且 h ( z ) n ，其中是某一范数为1 的f 常算子。 ( i i i ) 如果( 1 3 2 ) 的等式成立，则g ( 丁) = o 或a ( z ) = - t f i n i f 1 ：如果g ( r ) = 0 或 h ( z ) = u ，其中u 是酉算子，则( 1 3 2 ) 的等式成立。 定理1 3 5 ( 最大模原理) 设厂。( d ) 。对于0 r i ，令 m ( r ) = m a x l l f ( z ) t l ；i z i = r 一 正 华中科技大学硕士学位论文 则 m ( o = m a x l l f ( t ) l l ；l l r l l r 其中r 与，可交换。 定理1 3 6 ( 1 ) a h ( d ) 是线性空间。 ( 2 ) 若厂，g a ( d ) ，贝0 h = f g a h ( d ) ( 3 ) 设f 如( d ) 且对每一z d ，( z ) 可逆，则厂( z ) a h ( d ) ，其 中“( z ) = 厂( = ) ，v z d 。 定理1 3 7 设d = f = 淞l o ) 。假设厂，g a h ( d ) ，且其t a y l o r 展式分别为 厂( z ) = e ， 2 d n = o g ( = ) = e ， z d 其中 最) ， g 均为b ( h ) 中的算子序列，则 ( 1 ) 对于z ，d ，f ( z ) g ( o ) = g ) 厂( z ) 当且仅当对所有 ，m = o ，1 ，2 b # 。= c m b n l ( 2 ) 厂n m ( d ) 当且仅当 最) 是两两可换的f 常算子序列 ( 3 ) 假设对每个z d ，( z ) “存在，贝, l j f n 。( d ) 当且仅当一1 ( d ) 。 。一 5 华中科技大学硕士学位论文 2h i l b e r t 空间中具有正算子系数的亚纯单叶算子值函数 2 1 引言 设日为复h i l b e r t 空间，b ( ) 为所有h 上的有界线性算予构成的复b a n a c h 空间 并且b ( ) + 为b ( h ) 的共轭空间，上的算子4 的实部和虚部分别为r e a 和i m a ，即 r e 月= 生专，i n l 一= 生丢。日上的两个h e m i t i a l l 算子月、b ，如果对于所有的x h 有( ( 丑一a ) x ，x ) 0 ，则称b a 是一正算子，记a b 。用a b 表示b a 是正算子 并且可逆。我们说f 在单位圆d = z l o i z l 1 1 上是亚纯单叶算予值函数，如果 厂b ( h ) ，并且对每个o b ( h ) ，在经典意义下，中( 厂( z ) ) 在口内是亚纯单叶函数。 对于形如 你) ：；+ 艺4 ， ( 2 1 1 ) 的算子值函数，其中4 b ( 何) ，4 0 ，且对所有的h ，m 1 ，4 。a 。= a m a 。称厂( ：) 是口阶和口型亚纯星形的，如果f ( z ) 满足 j | 矿( z ) + ( z ) l | 卢l l 矿( z ) + ( 2 口一1 ) f ( z ) i ，z d ( 2 1 2 ) 其中0 a 1 ，o 1 。以p ，】表示d 中满足( 2 1 2 ) 式的所有口阶和卢型亚纯星 形算子值函数的集合。在此章中，我们主要讨论集合p ， 的一些性质，得到了 厂( z ) 陋，】的个充要条件以及算子系数估计，并证明了在算术均值及凸线性组合 的条件下，集合k ，剀是闭的。 2 7 ，2 8 中，我的导师蹇明已得到了在= ：叫 l 中解析的p 一叶函数的一些性质，在 5 8 中，m o g r a ，r e d 和j u n e j e 讨论了d 中复 亚纯星形函数集p ，】i b - - 此：性质。c h o 和k w o n 在1 7 2 中将 5 8 中的一些结果推 一， 华中科技大学硕士学位论文 广到了， 口，芦】。 2 2 系数不等式 定理2 2 1 设算子值函数( z ) 如( 2 1 1 ) 式所定义，它在d 中是亚纯单叶的。那么 f ( z ) e 【口，】当且仅当 ( 1 + 卢) n + ( 2 口一1 ) + l 扣。2 p 0 - 0 0 i ( 2 2 1 ) h = i 证明：若不等式( 2 2 1 ) 成立，则有 ( 片+ 1 ) 彳。 2 f l ( 1 一口) ，一卢( n + 2 a 1 ) 以 ( 2 2 2 ) 月= ln - 】 由于不等式( 2 2 2 ) 两边的算子是正的，且以= 4 ，= l ，2 ，3 ，) ，则有 亦即 或者 ( 扣，4 烙川，4 f 2 即刊j 一卢芝( 。+ 2 口棚a 7 f 2 刖刊，一艺( 肘2 口_ 1 ) 4 7 l h = i jl z ij ( 疗+ 1 ) + 1 ) 以4 s 4 卢2 ( 卜口) 2 j 一2 卢2 ( 1 一口) ( 门+ 2 甜一1 ) 以- 2 , 0 2 ( 1 一口) ( 聆+ 2 甜一1 ) 4 + 2 ( n + 2 a r 一1 ) ( 研+ 2 口一1 ) 4 ，a ： ( 月+ 1 ) 咖+ 1 ) a 爿：+ 4 p 2 ( 1 一口) ( n + 2 口一1 ) a 。 一一一 7 华中科技大学硕士学位论文 和 另一方面，由于 一2 ( ”+ 2 口一1 ) ( m + 2 0 s 一1 ) 4 以 4 f 1 2 ( 1 一口) 2 z f ( z ) + ，( ：) 】 矿( z ) + 厂( = ) 】+ = 喜c n + ，4 。：” ( 喜c n + ，爿。z ” +n = l”= l = z ( m + 1 ) ( n + 1 ) 4 。4 ：”三“ nm = 1 2 z f ( ：) + ( 2 d 一1 ) ，( z ) 】【矿( z ) + ( 2 口一1 ) ( ：) 】 降n + 2 a - 1 ) 字，鲁棚川叫+ 竿“掣扣z 胁掣扣2 川彤 + 艺( ) ( m 厶：刊 n m = l n + 2 0 r - i m + 2 c r - i i i 那么由( 2 2 3 ) 、( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) 得 z f ( = ) + 厂( z ) 】【矿( z ) + 厂( z ) r 一2 矿( z ) + ( 2 口一1 ) 厂0 ) 【矿( z ) + ( 2 口一1 ) ，( z ) 】+ 。磊时l 肋+ 1 ) 一2 ( 州川勋砌_ 1 ) m 正z 甲 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) + 掣芝( 州川) 驴+ 掣主( 棚川) 一掣， 。 ，t = l h = li z 一。 - 8 华中科技大学硕士学位论文 芝 ( ”十1 ) + 1 ) 一2 ( 一+ 2 c e 一1 ) 沏+ 2 口一1 ) 4 正 m = 1 + 4 p 2 ( 1 一口) ( 玎+ 2 d 1 ) 4 4 卢2 ( 1 一口) 2 ，0 n = 1 ( 2 2 6 ) 反之，设厂p ，卢】，则有 眵( z ) + 心) 】 矾z ) + ( 2 a 1 ) 几) 川 镑川叫 竽n 妻, ( n + 2 c t - 1 ) a z 川 卢 由于对于w e b ( ) ，有忙e 刎i ，则 h 防叫， 掣，+ 一+ 2 a - 1 ) a j 删 扭： 若在不等式( 2 2 + 7 ) 中令z = ，0 ， 1 ，则有 驰， 竿，+ n + 2 0 t - 1 ) ar 川 卢 眨z 彤 且对充分小的r ，( 2 2 8 ) 中的逆算子是非负的。因此对所有的，0 ， l ，它是非负 的。 由于对v z ，0 j z i 1 ，算子值函数 【z f ( ：) + 厂( = ) 】【矿( z ) + ( 2 口一1 ) ，( ：) 】_ 1 是解析的。因此，由不等式( 2 2 8 ) ，有 州 ” 竿，曹m 州m ，”卜 或者 扣，脚kd 掣卜妻= ( n + 2 a - 1 叫 令r 斗l ：则得 9 华中科技大学硕士学位论文 ( n + 1 ) 以2 f l ( 1 一，一卢( n + 2 a 1 ) 4 ， 月= 1 ，扭】 此，寺贰给出j 必要条仟。 定理2 2 1 证毕。 推论2 2 1 设算子值函数，( z ) 如( 2 1 1 ) 式所定义，如果厂( z ) e 陋， ，则有 4 s 而嚣器而蒯) 推论2 2 2 设算子值函数厂( = ) 如( 2 1 1 ) 式所定义，如果( z ) e 口，】，则有 喜4 筹，月2 i o l * ， 2 3 集合【a ，卢】的闭性质 在这一节，将证明在算术均值和凸线性组合下，集合p ，】是闭的。 定理2 3 1 设 ，( ：) = = 1 + 4 ，r t i = 1 2 棚 如果，( z ) p ，纠，i = 1 2 ，肌，那么算子值函数 g ( z ) = + 妻e z n ， 也是p ，】中的元素，其中最= 去善以广 1 证明：由于，( z ) 口，】，i = l 2 ，朋，则由定理2 2 1 ，有 4 ， ( 1 + f 1 ) n + ( 2 a 一1 ) + 1 】2 3 ( 1 一d ) ， h = f 因此 一 1 0 华中科技大学硕士学位论文 占。 ( 1 + f 1 ) n + ( 2 t z 一1 ) f l + l 】 = 艺n = lf k , 上m 芝j = i 4 m 峒州：川) 川 = 去喜喜4 ， ( 1 + ) ”+ ( 2 口一1 ) + 1 去善2 卯叫) ， = 2 f l ( 1 一口、， 定理2 3 1 证毕。 定理2 3 2 设五( z ) ：一l ，以及 三 工( z ) = 吉+ i i _ 万i i ；z ”，c 订- ) 那么算子值函数f ( z ) 可以表示成 ，( z ) = b z ( z ) ，z e d 其中对于任意的月，卅1 ，最吃= 以e ，e o ，且最= ，。 n ；0 证明：假设 由于 m ) = 芝n = o 辅加i 1 + 喜t l = 西- i f - 器等而 ll 1 一，”“一1 ，7 1 尹b 型! = 竺2 ( 1 + f 1 ) n + , 0 ( 2 0 ! - 1 ) + 1 智”( 1 + ) 月+ f l ( 2 c t 一1 ) 十12 f l ( 1 一t 2 ) = e ，j = l 一_ 华中科技大学硕士学位论文 亦即 = i b o 墨i 妻石羔生忑最(1十)肘3(2川)+111 智( 十卢) 月+ ( 2 d 一1 ) 十”。7 1 s 2 f l ( 1 一口1 ， 由定理2 2 1 可知，( z ) p ，p 】。 反之，假设 属于集合k ，1 ，由于 则由推论2 2 1 ，设 弛) = = 1 + 主以z ” 4 而嚣器而川捌)4 一( 1 + ) n + ( 2 a 1 ) + 1 1 v 色= 面丽2 面f l ( 1 - 丽o t ) 以，( 一1 ) “ ( 1 + 声) 胛+ p ( 2 口一1 ) + l ” 、 。 及风= ，一e o ，则有 定理2 3 2 证毕。 ，( z ) = e ，( 2 ) ，= d 2 4 z a ，】的子集p ，p ；g 】 由推论2 2 1 ，知形如( 2 1 1 ) 式的函数在k ，】中满足系数不等式 郇篱， i 一一 】2 华中科技大学硕士学位论文 因此，可取 爿1 ：旦掣，b b ( ) ，o b ，。 14 - 础 、 设p ，；b 】是k ，p 】的子集，它由如下形式的函数所组成的集合 f ( z ，= + 等z + 薹 zl + 础，5 ( 2 4 1 ) 其中b ，4 b ( 日) ，o b ，4 0 ，4 厶= a m a , ，肌，h 2 。易得到类似于集合 k ，】的一些性质。 定理2 4 1 设算子值函数f ( z ) 如( 2 4 1 ) 式所定义，它在d 中是亚纯单叶的。那么 ，( 三) 属于子集合 口，p ；b 】当且仅当 ( 1 + 卢) + ( 2 d 一1 ) f l + 1 a 2 f l ( 1 - a ) ( 1 一b ) ( 2 4 2 ) 证明：由定理2 2 1 ，在不等式( 2 2 1 ) 中耿 a：型i 1 + 仪8 则得( 2 4 2 ) 。 推论2 4 1 若 f ( z 卜1 z + 哿1 外砉 + 口：； 属于集合 f l ；b 】，则 4 i f _ 万i ；( ，一日) ，( 行z ) 。 推论2 4 2 若o 蜀垦s ，那么 口，卢；b 口，；且 。 1 3 华中科技大学硕士学位论文 3 一类被积函数为解析算子值函数的积分算子的辐角估计 3 1 引言 设日为复h i l b e r t 空间，口( ) 为所有h 上的有界线性算子构成的复b a n a c h 空间 b ( 日) 为曰( h ) 的共轭空间。h 上的算子a 的实部和虚部分别为r e a 和i m a ，即 r e _ = 生专，l n l a = 丛丢。 a h ( 。) 表示从开单位圆盘。= 纠z 1 ) 到b ( h ) 上 的所有形如： 厂( z ) = z l + a 。z ”，z d ( 3 ，1 1 ) 的解析算子值函数的集合。其中以b ( 日) ，4 0 ，且对v h ，脚2 ，4 以= 厶4 。 对于v f ，g e a 。( d ) ，如果存在一个算子值函数珊( z ) a 。( d ) ，其中c o ( o ) = 0 归( = ) 4 1 ，使得，( z ) = g 洄( z ) ) ，则称，从属于g ，记， g 。 若，如( d ) ，称e s l e ，f 】，如果 z f ( z ) ，1 ( z ) _ ( i + e z ) ( 1 + f z ) ，z d ，：0 当：= o 时，规定z f ( z ) ，一1 ( z ) ，其中一，蔓f o ，i m f ( z ) 0 ) ( r e f ( z ) = o ，i m f ( z ) 0 ) ( k e f ( z ) o ，i m f ( z ) 0 ) ( r e f ( z ) o ，i m f ( z ) 0 ) ( r e f ( z ) = o ，i m f ( z ) o ，i m f ( z ) 0 ，f a n ( d ) ，定义积分算子以。( 厂) ： 正，( ，) = ( ( c + 加”r ，1 广( f ) 破) i 易验证，。( ，) 在d 上是解析算子值函数。当，为复值的情况时，n a k e n n c h o ，i n h w a k i m 和j i a k i m 在 7 6 中讨论了积分算子，。( ) 的些辐角的性质，b e r n a r d i 在 5 1 中介绍了当c n = 1 ，2 ) 时的以j 的一些性质。另外l i b e r a 在 7 7 中，l i v i n g s t o n 在 一- ： 1 5 华中科技大学硕士学位论文 5 6 中也研究了算子。在此章中，我们主要研究了当厂为解析算子值函数的情况对 由式( 3 1 4 ) 所定义的积分算子j 。( 厂) 的一些辐角性质r 并推广了 7 6 中的一些结论。 3 2 主要引理 引理3 , 2 1 若算子值函数甜( 。) a 。( d ) ，( o ) = 0 ，且对任意的r ( o r 1 ) ，存在 2 。d ，| z o l = r ，使得 i i n , ( z o ) l l = m a x i o ( z ) 1 1 则2 0 ( 毛) = k ( o ( z o ) ，其中k 为实数，k 1 。 证明：由题意，不妨设 缈( z ) = 力+ 4 = “，z d 则对任意的线性泛函中：占( 片) 斗c ，f j o 忙1 ，有 心( m ( z ) ) = = o ( ，) + 中( 以) z “ = 2 且m ( z ) ) 是复值函数。 因为舾( ) 护喁警陋( z ) 8 ，则对娩d ： z t - r ，有 揪z ) h p ) 所以对上述的线性泛函o ，对地d ：h ，有 o ( 甜( = ) ) i 兰l p ( 。) i i s i i 缈( 知) ( 3 2 1 ) 由存在定理m 一7 9 1 ，则存在可逆线性泛函巾。：b ( h ) - - + c ，| l ；0 = 1 ，使得 f 审j ( 甜( 气) ) 卜f p ( 白川 ( 32 2 ) 由于( 3 2 1 ) 式对任意的中都成立，故 1 6 华中科技大学硕士学位论文 i 。( ( z ) ) j 陋( 知) 8 i 中。( 脚( 毛) ) l ， f z s ， 即 i m 。( 脚( ) ) i = m a ，x | 中。( ( z ) ) i 由e 8 0 中的引理a ，有 z o “( c o ( = o ) ) = 七m ( c o ( z o ) ) ，k 1 由于中。可逆，则：护7 ( z o ) = k c o ( z 。) ，其中t 为实数，1 。 引理3 2 1 证毕。 引理3 , 2 2 设，幽( d ) ，则厂e s e ，f 】的充要条件是： 】 矿( z ) ，“( z ) 一爿1 竽巾d ，f _ _ d ( 3 2 4 ) 其中一= ( ，一e f ) ( i - f 2 ) ，曰= ( e f ) ( ，一f 2 ) 。 证明：当f 一时，设厂s 【e ，f 】，则存在算子值函数珊( ：) 厶( d ) ，c o ( o ) = 0 ， 慨：) 8 1 ，使得 z f ( = ) 厂1 ( z ) = f ，+ e c o ( z ) ) ( 1 + f c o ( z ) ) ，v z d 那么 z f ( = ) ( z ) - a = ( ，+ e 白( z ) ) ( ，+ f 甜( z ) ) 一a = ，+ e ( = ) 一彳( ，+ f 珊( z ) ) 】( ，+ ，( z ) ) 一 = ( ，一爿) + ( e f a ) c o ( z ) ( i + f c o ( z ) ) 。 由于a = ( ，一e f ) ( i f 2 ) ，b = ( e f ) ( ，一f 2 ) ，故可得 a u f 2 1 = 一e f b f ，一f2 1 = e f 爿十日= ( 1 + e ) ( ，+ f ) _ 1 l 一一 华中科技大学硕士学位论文 所以 故 ，一a = ，一( ，+ e ) ( ，+ f ) 1 + b = ( f e ) ( ，+ f ) “+ b = b f e f a = e 一，( ，+ e ) ( ，+ f ) 一1 + b f = ( e f ) ( + f ) “+ b f = b z f ( 2 ) ，一( z ) a = 陋f + b m ( z ) i ，+ f 由( z ) 一 = b ( f + 卯( z ) ) ( ，+ f c o ( z ) ) 。 = b h ( z ) 其中厅( z ) = ( f + 卯( z ) ) ( ，+ f ( z ) ) 一 因为- i f ， 1 0 9 ( z ) l i o 1 8 华中科技大学硕士学位论文 所以 即 若令 故 l i ( f + c o ( ：) ) ( + f c o ( z ) ) 。1 f 1 1 i h ( z ) l l 1 ，v = d 。 妙( = ) 厂1 ( z ) 一爿1 | f | 占i | 反之，若设( 3 2 3 ) 式成立，则由定理i 3 3 得 妙( z ) 厂1 ( = ) b 一a b 1 1 ，z d q ( z ) = - z f ( ：) 厂“( z ) b “+ a b 一 贝l j l q ( z ) l i 1 ，v z d ，2 0 ；g ( o ) = 一f 。 设 甜( z ) = ( q ( o ) 一窜( z ) ) ( ，一叮( o ) q ( z ) ) 则曲( z ) 在d 中解析且满足。( o ) = o 。类似于l l ( = ) f i 1 的证明，可得 故 忪( z ) i f 竿 华中科技大学硕士学位论文 引理3 2 2 证毕。 引理3 2 3 若c 一卢，r ，厂s ，f 】，则由( 3 1 4 ) 式所定义的积分算子 以。( ，) e s 【e f 】。 证明：定义一个算子值函数珊( z ) ： 彩( z ) = z ，( 厂) 呓( 厂) 一垭e 一蹦，( ，) 吃( 厂) 卜 则 彬，。( 厂) ：( ，) = ( ，+ 珊( z ) ) ( ，+ f ( = ) ) - 1 ( 3 2 1 0 ) 易证( z ) 在d 上解析。 由( 3 1 4 ) 式，得 j ：。t n = 沁叫) z - cp 。f h ( t ) d t 在上式两边对= 求导，整理得 镀。力吃( 厂) - 一云，+ 警f 他) 蟛( ，) 因，( z ) a h ( d ) ，故可知正- 。i t ( 厂) 是一形如( 3 1 1 ) 而首项为= ”j 的算子值函数。 从而，当z