（应用数学专业论文）信号分解与瞬时频率估计算法研究.pdf

中文摘要 捅斐 信号分析的主要目的是研究信号的基本性质和表示方法，而信号的表示方 法直接影响到信号分析的结果和效率，凶此人们期望寻找最有效和最能揭示信 号本质的信号表示形式。 信号通常是一个随时间变化的函数，这个也叫做信号的时间域表示。傅里 叶变换给出了信号在频率域的等价表示。但是，在傅里叶分析中，任意一个信 号被认为是一些频率恒定信号的叠加。因为一些瞬态信号的频率是随着时间变 化的，所以这个观点对于非线性非平稳信号并不合适。生活中经常接触到的调 频广播，变化的色彩等都是瞬态信号。 基于以上原因，工程学家和数学家们一直寻求把信号在时间域和频率域同 时表示出来，这导致了时频分析的发展。它包括加窗傅里叶分析、小波分析、 魏格纳分布、希尔伯特黄变换理论、科恩类等。时频分析的目的是分析信号频 率随时问变化的规律。瞬时频率正是反映频率成分随时问变化规律的量，因此 对瞬时频率的研究也就成为时频分析的重点。 一个复杂信号( 多分量信号) 往往由多个频率成分( 单分量信号) 相加而 成，直接分析这样的多分量信号是凼难的。因此，在对信号进行分析之前先将 这些多分量信号分解成一些单分量信号的形式也是一项重要工作。 本文介绍了信号分解的相关背景知识；给出了基于三角波形的非带限信号 采样定理；并给出了解析信号的数学刻画和物理描述。介绍了几种重要的瞬时 频率估计方法，重点讨论了e m d 算法的相关内容。 论文结构如下： 第1 章介绍信号分解的背景、意义和主要研究方法。 第2 章给出了信号分解的一些理论结果。介绍了信号的时频分析、小波分 析，g a b o r 展开等方法。 第3 章主要讨论基于三角波形的非带限信号采样定理。 第4 章讨论解析信号的相关问题以及几种重要的瞬时频率估计方法。 第5 章是对本文工作的总结和展望。 关键词：瞬时频率；时频分析；解析信号；经验模式分解；采样定理 湖北大学硕士学位论文 a bs t r a c t t h em a i na i mo fs i g n a la n a l y s i si st os t u d yr e p r e s e n t a t i o na n d p r o p e r t i e so fs i g n a l s u n d e ri n v e s t i g a t i o n o n eh a sb e e nh o p i n gt of i n da ni d e a lr e p r e s e n t a t i o no fs i g n a l s w h i c hc a ne x p o s ee f f i c i e n t l yt h ei n t r i n s i cc o m p o n e n t so fs i g n a l su n d e r s t u d ys i n c et h e r e p r e s e n t a t i v ef o r mo fs i g n a li sc u r i a lt ot h er e s u l t so ft h es i g n a la n a l y s i s u s u a l l y , o n er e g a r d sa n ys i g n a la saf u n c t i o nw i t ht i m ev a r i a b l ew h i c hi sc a l l e d ar e p r e s e n t a t i o ni nt i m ed o m a i no fs i g n a l s f o u r i e rt r a n s f o r mo f f e r su sa ne q u i v a l e n t r e p r e s e n t a t i o ni nf r e q u e n c yd o m a i n b u ti nf o u r i e ra n a l y s i s ，a n ys i g n a li sc o n s i d e r e d a ss u p e r p o s i t i o no fs i g n a l sw i t hc o n s t a n tf r e q u e n c y t h ep o i n t v i e wi sn o ts og o o df o r n o n l i n e a ra n dn o n s t a t i o n a r ys i g n a l ss i n c et h ef r e q u e n c yo fat r a n s i e n ts i g n a lv a r i e s w i t ht i m e t h ee x a m p l e so ft r a n s i e n ts i g n a l sa r ef mr a d i os i g n a la n dv a r y i n gc o l o r s d u et ot h i sr e a s o n ，e n g i n e e r sa n dm a t h e m a t i c i a n sh a sb e e nl o o k i n gf o ras i m u l - t a n e o u sr e p r e s e n t a t i o ni nt i m e f r e q u e n c yd o m a i n ，w h i c hl e a d st ot h ed e v e l o p m e n to f t h ef i e l do ft i m e f r e q u e n c yi n c l u d i n gw i n d o w e df o u r i e ra n a l y s i s ，w a v e l e ta n a l y s i s ， w i g n e rd i s t r i b u t i o n ，h i l b e r t h u a n gt h e o r y , c o h e nc l a s sa n de t c t h ep u r p o s eo ft h e t i m e f r e q u e n c ya n a l y s i si st oa n a l y z eh o wt h ef r e q u e n c yo fs i g n a l sv a r i e sw i t ht i m e t h en o t i o no fi n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c yi st h eq u a n t i t yw h i c hs h o w st h ev a r y i n gr u l e so f d i f f e r e n tf r e q u e n c yc o m p o n e n t sw h i c hi sa ni m p o r t a n tt o p i ci nt i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i s a c o m p l i c a t e ds i g n a l ( a l s oc a l l e dm u l t i c o m p o n e n t ) c o n s i s t so fm a n yd i f f e r e n t f r e q u e n c yc o m p o n e n t s ，w h i c ha r ec a l l e dm o n o - c o m p o n e n t s i ti sd i f f i c u l tt oa n a l y z ed i - r e c t l yam u l t i - c o m p o n e n ts i g n a l t h ed e c o m p o s i t i o na l g o r i t h mf r o mm u l t i - c o m p o n e n t t om o n o - c o m p o n e n t si sa k e ys t e pb e f o r ew ea n a l y z et h eo r i g i n a ls i g n a l t h i sp a p e rf o c u so ns o m et o p i c si ns i g n a la n a l y s i si n c l u d i n gd e c o m p o s i t i o n ，s a m p i i n gt h e o r e mf o rn o n - b a n d l i m i t e ds i g n a l sb a s e do nt r i a n g l ef i l t e r , m a t h e m a t i c a lc h a r - a c t e r i z a t i o na n dp h y s i c a ld e s c r i p t i o no fa n a l y t i cs i g n a la n ds o m ei m p o r t a n tm e t h o d so f e s t i m a t i o no fi n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c y t h ee m dm e t h o di so u re m p h a s i s w eo r g a n i z et h et h e s i sa sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，w ep r e s e n taq u i c ko v e r v i e wo f b a c k g r o u n d ，s i g n i f i c a n c ea n da i mo f o u rr e s e a r c h i nc h a p t e r2 ，w eg i v es o m er e s u l t so fs i g n a ld e c o m p o s i t i o n ，i n t r o d u c et i m e f r e q u e n c ya n a l y s i s ，w a v e l e ta n a l y s i s ，g a b o rd e c o m p o s i t i o na n ds oo n i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s st h es a m p l i n gt h e o r e mf o rn o n b a n d l i m i t e ds i g n a l sb a s e d o nt r i a n g l ef i l t e r i nc h a p t e r4 ，w ed i s c u s st h ea n a l y t i cs i g n a la n ds o m ei m p o r t a n tm e t h o d so fe s t i m a t i o no fi n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c y 英文摘要 f i n a l l y , i nc h a p t e r 5 ，w es u m m a r i z et h ep a p e ra n do f f e rs o m et h o u g h t sf o rf u t u r e r e s e a r c h k e yw o r d s ： i n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c y ；t i m e f r e q u e n c ya n a l y s i s ；a n a l y t i cs i g n a l ； e m d ；s a m p l i n gt h e o r e m 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得 的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承 担。 作者签名： 吟a 磅 鹕醐川p 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电了版本；学校有权保存并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学 校可以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢 利为目的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在 解密后遵守此规定) 作者签名： 乇 免 名：渺首 嗍吵年( 、月朋 日期：7 年明垆日 第1 章引言 1 1 研究的目的和意义 第1 章引言 我们现实中遇到的一些信号大多都是一些非平稳信号，其共同特征是存在 着变化的频率，对这些非平稳信号的特征频率进行实时跟踪，对电力系统分 析、控制与保护技术、高压电气设备的状态监测与故障诊断技术等都具有主要 理论意义和实用价值。传统的傅里叶变换( f r ) 针对的是周期性平稳信号， 它依赖于信号的全局信息，并不能反映信号的局部特征，因此，对分析非平稳 信号不具有有效性。而瞬时频率i f ( i n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c y ) 在描绘非平稳信号的 特征时具有它独特的瞬时有效性。目前，瞬时频率的概念和估计算法已经成 功的应用与雷达探测、声纳地震监测以及电子通讯技术中。关于瞬时频率定 义及估计算法的研究论文浩如烟海，一方面，近来出现了各种新型的估计算 法，如基于时变a r 模型的p r o n y 算法以及基于经验模式分解的希尔伯特黄变换 ( h h t ) 等；另一方面，估计算法的研究也遇到了一些困难和新的课题。为理 清瞬时频率定义与估计算法的研究历程和发展脉络，本文对各种估计算法进行 了系统的分类，介绍了算法的估计原理及其优缺点，并展望了瞬时频率研究的 热点问题，为进一步完善瞬时频率的定义方法与估计算法提供了参考。传统的 频率概念源于针对周期性信号的经典物理定义，其实质是表示信号在一定时 间内的总体特征，一般由傅里叶变换求得。瞬时频率与传统的频率概念截然 不同，但可以兼容后者。自1 9 3 7 年由c a s o n 等人首次提出瞬时频率以来，随着 其逐步得到认可并广泛应片j ，瞬时频率的定义也经历了一个漫长的过程。其 中，v i l l e 于1 9 4 8 年提出的瞬时频率定义式，目前在学术界得到普遍认可。他将 瞬时频率义为一个解析信号的相位的导数。同时，v i l l e 还将魏格纳分布引入到 频率的一阶矩中，这样得到了瞬时频率的另一种等价形式。与瞬时频率紧密相 关的解析信号定义又依赖于h i l b e r t 变换，尽管h i l b e r t 变换需要一定的前提条件 ( 它只能近似适用于窄带信号) ，具有一定的局限性，但是基于该变换的瞬时 频率经典定义式具有明确的物理意义，能够满足人民在很多情况下的直观感 知，且解析信与原实信号的频谱完全相同；对于负频率，解析信号的频谱为 零，从而可以解决实信号所产生的许多困难。但是从物理学的角度讲，v i u e 的 定义又有歧义：根据信号的物理本质，我们可以将信号分为单分量信号与多分 量信号，单分量信号在任意一个时刻都只有一个频率，而多分量信号可以有多 个频率，我们从v i l l e 的定义中看到，对任意信号得到的只有一个频率值，因此 该定义仅适用于单分量信号，而对多分量信号讨论单一频率是没有物理意义 湖北大学硕士学位论文 的。关于多分量信号的研究涉及到了信号处理中的核心问题一信号分解。对于该 问题的研究一直是许多数学家和工程学家所关心的。 传统的瞬时频率概念源于针对周期性信号的经典物理学定义，其实质是表 征信号在一定时间内的总体特征，一般由f o u r i e r 变换求得。瞬时频率和传统的 频率截然不同，但可以兼容后者。自1 9 3 7 年由c a s o n 等人首次提出以来，随着其 逐步得到认可并获得广泛应用，其瞬时频率的定义方法也经历了一个漫长的发 展过程。其中v i l l e 于1 9 4 8 年提出的瞬时频率定义方法，目前在学术界最为常用 且得到广泛认可。 信号的时频分析技术和信号的自适应表示也是相互融合的两个课题。通过 时频分析，我们可以得到信号最基本的时间和频率特征，利用特征可以更好地 分析信号。因此，从某种意义上说，寻求信号的自适应分解问题也就是寻求合 适的时频分析模型的问题。 1 2 研究的方法 信号的时频分析是信号处理的重点和难点，其目的是分析信号的各种频率 成分在时问上的变化规律，最终建立一种统一的时问、频率、能量的联合表示 形式，即时频分布。比较早期的时频分析工具有短时傅里叶变换( s t f i - s h o r t t i m ef o u r i e rt r a n s f o i t n ) 、魏格纳分布( w i g n e r - v i l l ed i s t r i b u t i o n ) 、小波变换 ( w a v e l e tt r a n s f o r m ) 等。这些方法比较依赖传统的傅里叶分析，并假定信号 是平稳的，所以在实际的应用中遇到了一定的挑战。另外，即使信号是平稳 的，我们也无法保证所采用的分析尺度与信号的平稳时间尺度相适应。 经验模式分解( e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ) 由h u a n g 【l 】于1 9 9 8 年提出， 是近年来新出现的时频分析工具。e m d 分解完全由数据驱动，可以白适应 的通过筛过程( s i f tp r o c e s s ) 将信号的各个频率成分分解成内蕴模式函数 ( i m f ：i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n ) ，这种方法对于非平稳信号的分析有独特的优 势。 时频分析要得到信号成分的瞬时频率与瞬时幅度值以建立信号的时频联合 分布。实际中的信号大多是实的，为了得到有意义的瞬时频率，我们需要将实 信号变换成相应的解析信号。经验模式分解的理论指出，只有通过i m f 才能求 得有意义的瞬时频率。 将连续信号转换成离散信号方便计算机实时处理也是一个热点问题，以前 有关于带限信号的采样定理，但是对于非带限信号的采样却不多见，本文试图 通过构造三角波形滤波器束实现对非带限信号的采样。 2 第l 章引言 1 3 研究的内容 本文主要研究内容包括： 信号表示与分解方法。对一维信号，从解析信号出发，研究瞬时频率和瞬 时幅度。对由解析信号定义的瞬时频率做了一些讨论，总结了瞬时频率的 几个悖论。对这些悖论的研究一方面加深了对瞬时频率及其物理意义的理 解，另一方面也为改进e m d 算法提供了新的思路。 基于三角波形的非带限信号采样定理。 给出解析信号的数学定义，相应的物理描述。 总结瞬时频率的估计算法。 从瞬时频率出发，重点对信号的e m d 分解方法深入研究。 1 4 论文安排 本论文的章节安排如下： 本文介绍了信号分解的相关背景知识；综述了信号分解的各种方法，并对 各种方法的优缺点给出了评述。论证了基于三角波形的的非带限信号采样定 理。同时给出了解析信号的数学刻画和物理意义。介绍了几种重要的瞬时频率 估计算法。重点讨论了e m d 信号分解方法，指出其存在的问题，并通过修改 的e m d 算法论证其收敛性。 论文结构如下： 第1 章介绍信号分解的背景、意义和主要研究方法。 第2 章给出了信号分解的一些理论结果。介绍了信号的时频分析、小波分 析，g a b o r 展开等方法。 第3 章主要讨论基于三角波形的非带限信号采样定理。 第4 章讨论解析信号的相关问题以及几种重要的瞬时频率估计方法。 第5 章是对本文工作的总结和展望。 3 湖北大学硕士学位论文 第2 章信号表示和分解方法 本章对信号表示和分解方法进行综述，介绍已有的信号分解方法，总结各 种方法的特点。 2 1 信号的表示方法 信号处理的方法依据对原始信号的处理领域不同可以分为两人类：空问域 方法和变换域方法。空间域方法直接对信号各个时刻的值进行运算处理。变换 域方法则是应用各种频率变换技术将原始信号分解成各个频率成分，然后对这 些成分进行处理，这个也是频率域分析信号的基本方法。 信号的时间变化是基本的。然而，如果我们想要深入的分析信号，尤其是 信号的自适应表示是有意义的，从数学的角度看，通过在完备集中展开信号， 就可以实现信号的不同表示，而且有无数种表示形式。但重要的问题是：用哪 种分解形式可以更好的理解和表示信号的性质。 2 1 1 信号的时间域表示 基本的物理量，如电场，气温和电压等，它们都随着时间的推移而变化， 这就是时间波形，即信号。我们用s ( ) 表示。实际情况中信号有任意形式的表 示，而且能够产生非常复杂的信号。我们首先研究和表征那些简单的信号，以 便在处理复杂信号之前建立对信号的基本概念的初步理解。 生活中最简单的时间信号是正弦波。其特点是具有恒定的幅度o t 和频率，0 ， 即： s ( t ) = a c o s ( 2 丌f o t ) ( 2 1 ) 幅度q 表示s ( t ) 的最大值，或者最小值的绝对值。频率 具有清晰的物理意 义，即表示物体单位时问内的震动次数。 我们也可以把一般信号写成 s ( t ) = a ( t ) c o s o ( t ) 】 ( 2 2 这里，幅度0 4 t ) 和相位p ( t ) 是时间的任意函数。但是许多困难也随之产生，因为 自然现象并没有为我们按照幅度和相位划分信号，而且理论上由s ( ) 可以得到无 数对q ( ) 和p ( ) 的满足式( 2 2 ) 。因此，如何选择有意义的a ( t ) 矛l l o ( t ) 使得我们得 到的信号符合实际意义，这成了信号表示方法的关键。 一4 第2 章信号表示和分解方法 能量密度或瞬时功率 信号有多少能量，或者说消耗多少能量可以产生该信号也是很重要的问 题。就电磁场来说，电的能量密度是电场的绝对值的平方。在电路中，能量密 度正比于电压的平方。对声波来说，能量密度是压力的平方。故能量密度或 者信号强度一般等于l s ( ) 1 2 ，也就是说，在一个小的时间段t 内信号的能量等 于i s ( t ) 1 2 a t 。因为l s ( t ) 1 2 是每单位时间内的能量，所以可以近似的将i s ( t ) 1 2 叫做 能量密度或者瞬时功率。功率是每单位时间内做功的数量。因此有： i s ( ) 1 2 = 在时间t ，每单位时间内能量或者强度( 能量密度或者瞬时功率) i s ( 亡) i n a t = 在时间t ，在时间间隔t 的能量 总能量 如果l s ( t ) 1 2 是每单位时间内的能量，那么通过在整个时间范围内求和或者积 分，就可以得到总能量： e = i s ( t ) 1 2 d t ( 2 3 ) ， 对于有限能量信号，在不失普遍性的情况下，可以将能量单位化以便讨论。 时间波形的特征：平均时间和持续时间 如果我们把i s ( 亡) 1 2 看作时间密度( 假设已经将能量单位化) ，那么平均时间 就可以按照通常的方法来定义： ， = t l s ( t ) 2 d t ( 2 4 ) 定义平均值的理由是：它可以给出密度的大致特征并表示密度集中在什么地 方。许多量常常可以用来确定密度是否集中在平均值附近，如标准方差： a r t 2 = ( t 一 2 i s ( 圳2 班 ( 2 5 ) 标准差是信号持续时间的一种表示：在时间2 吼内，信号的大部分能量将会消 失。 同时，义由概率统计知：在任何时间函数夕( t ) 的平均值都可以由下面的方 程得到： = 夕( ) i s ( ) 1 2 d t ( 2 6 ) 2 1 2 信号的频率域表示 除了时间特征外，频率域信息也是信弓最主要的特征。频率表示的数学方 5 一 湖北大学硕士学位论文 法由傅里叶( f o u r i e r ) 发明，他在研究热传导方程时得到结论：不连续函数能 够表示为一些连续函数的和。这个思想是数学中的伟大发现，但是以傅里叶分 析为基础的频谱分析之所以能够应用如此广泛，这要归功于本生( b u n s e n ) 和 基尔霍夫( k i r c h h o f f ) 两人的贡献。光谱可以用来对物质进行识别，检测和分 类，也因为每一种物质的频率都是唯一的。这个导致了自然界基本定律的发 现，下面我们来回顾一下频率的含义。 频率的定义 在机械和物理运动中，机械震动的周期被定义为单位时间内震荡的次数。 一个震荡就是指一个完整的往复运动。物体从平衡位置出发，运动至一个端点 然后回到平衡位置，从而完成一次震荡。以此为模型就可以定义任何机械运动 的频率。 在很多应用中，波通过媒介( 固体，液体，空气等) 进行传播时，质点或 物体的运动可以用简谐振动来描述。此时波动的频率，被定义为单位时间内通过 该点的波的个数。电流的频率则被定义为单位时间内的周期数。 很显然，对于一些简单的周期运动，频率的定义是容易的，也是明确的， 然而对于比较复杂的运动，此时定义的频率就会产生许多矛盾的结果。 频率随时间变化的信号 由于频率通常被定义为物体在单位时间内完成一个完整运动的个数。因此 频率和瞬时看似是矛盾的，而且瞬时频率定义也很不严谨。本节借助频率随时 问变化的信号来说明瞬时频率的概念。 卡尔松( c a r s o n ) 和弗雷( f r y ) 于1 9 3 7 年在电路理论中引入了随时间变化的频 率，并将该概念应用到调频信号中( f r e q u e n c ym o d u l a t e d ：f m ) 。他们定义调频 波为： 0 3 ( t ) = e x p _ 【i0 3 0 ( 芒) + 入m ( t ) 班】 ( 2 7 ) ，0 式中，o d 0 = 2 7 r f o 是恒定的载波频率。入是一个实值参数，被称为调制系 数。r e ( t ) 表示需要被传输的低频信号( i r a ( t ) i 1 ) 。他们定义的瞬时角频率 为： q ( ) = 0 3 0 + a m ( t ) ( 2 8 ) 其中m ( t ) 具有角频率的量纲。此时瞬时频率定义为： 、 五( t ) = y o + 杀m ( t ) ( 2 9 ) 他们认为瞬时频率是常值频率的自然扩展，即瞬时频率是t 时刻相角的变化速 6 一 第2 章信号表示和分解方法 率。 在这之后，范德普尔( v a nd e rp 0 1 ) 2 1 通过分析简谐振动的表达式来研究瞬时 频率的定义问题： 8 ( t ) = a c o s ( 2 7 r f t + 0 ) ( 2 1 0 ) 式中，口是幅度，是振动频率，p 是一个实值常数，表示位移。而c 0 8 的参 数2 r r f t + 口被记为相位咿( ) 。他通过引入；变化的幅度定义幅度调制信号 ( a m ) ： q ( t ) = c e o 1 + r e ( t ) 】( 2 11 ) 式中，夕( t ) 是调制信号。相应的，他定义频率调制为： o ( t ) = 0 0 ( t ) 1 + r e ( t ) 】 ( 2 1 2 ) 在寻找频率调制的表达式时，范德普尔注意到：如果简单将( 2 1 0 ) 中的，代 替为： 五( 亡) = 矗【l + p g ( t ) 1 ( 2 1 3 ) 则结果是不正确的，因为这会引起物理上的不一致。即在将式( 2 1 3 ) 带 x ( 2 1 0 ) t 对，得到的相位为 2 a t + 2 7 r f p g ( t ) + 刎，但是它并不符合( 2 1 2 ) q b 的值 2 7 i - a t + 2 7 r f # g ( t ) + 口+ p p 夕( ) 】。基于此，改写( 2 1 2 ) 中的谐波振荡为如下形 式： 记式中c d s 的参数为妒( t ) ， s ( t ) = q s f o 2 7 r f i ( 亡) 班+ 刎 他定义瞬时频率为： ( t ) = 磊1 百d q o ( t ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 最终，范德普尔利用实值表达式得到的结果和卡尔松与弗雷借助复值得到的结 果相似。尽管在对瞬时频率的研究中，对其本质问题还没有弄清楚，但是这一 结果仍然引起了大家的广泛关注，它进一步明确了频率信息在分析复杂信号中 的核心作用。 频谱分析的优点 使用频谱分析信号主要有以下几个方面的考虑： 用频谱分析一个信号，就可以了解到波形源的一些特征。 波通过媒介时的传播情况与频率有关。为了研究波如何通过与频率有关的 媒介，我们需要把信号分解成许多不同频率的分量，再对每一个分量分 7 湖北大学硕士学位论文 析，最后重构信号得到最终的波形。 频谱分析一般可以简化对波形的理解。例如一个常熟频率的正弦波在频率 上就是一个脉冲，而且简单的正弦波事实上也是一些基本方程所共有的， 它们也是可解的。 傅里叶分析为解常微分方程和偏微分方程提供了强有力的工具。 2 2 信号分解方法 为了便于分析信号，常常先把复杂的信号分解为一些基本信号进行分析。 这些基本信号常常具有一些基本或者简单的性质，分析这些简单信号和它们之 间的相互关系可以获取原始信号的特性。信号分解包含基本信号的构造和信号 的分解方法。 2 2 1 奇偶分解 在数学中，通常将函数，( t ) 分解为奇分量，o ( t ) 和偶分量 ( 芒) 的和，i p f ( t ) = f o ( z ) + 五( t ) ( 2 1 6 ) 奇分量关于函数原点反对称，即： f o ( t ) = 一f o ( - t ) 而偶分量关于函数原点对称，即： ( t ) = 厶( - t ) 从原始函数得到奇分量和偶分量的算法如下： 肿) = 掣 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 加) = 华 ( 2 2 0 ) 由式( 2 1 7 ) 知奇分量的时间平均为零，即寺岛f o ( t ) d t = 0 。奇偶分解的另一个 性质是原信号的平均功率等于直流功率与交流功率之和： _ 旦 “ - 产 t t仁 h | 汀旨8h 卜 = p 第2 章信号表示和分解方法 = 妻恐互xf 一【名( t ) + 七( ) + 2 厶( t ) 厶( t ) 】出 = 粤恐互if 一，培( t ) 出+ 挫巴互i f 一鬈( 亡) 出 = 只( 亡) + p o ( t )( 2 2 1 ) 其中，只( t ) 表示偶分量功率，p o ( t ) 表示奇分量的功率。 2 2 2 脉冲分量分解 在数字信号处理中，为了研究线性时不变系统的性质，经常需要将离散时 间信号分解为不同时刻的脉冲信号。脉冲信号定义如下： m ，= 三端 亿2 2 ， 另有单位脉冲信号的延迟： 6 t 礼一n 。，= 三：蓁： c 2 2 3 ， 由此，任何一个离散时间序列都可以用一组幅度加权与延迟的单位冲击信 号的和表示： z = z h 一捌 ( 2 2 4 ) k = - o o 与之类似，还可以将离散时间序列表示为阶跃信号p f n j 的加权和，其中阶 跃信号定义为： 小】= 薹5 卜纠= 。1 糍 ( 2 2 5 ) 七= ol o”、” 所以在处理连续信号时，也通常将信号近似表示成一些阶跃信号的加权和。 2 2 3 复数分解方法 通常有两种方法分解复数：分解为幅度和单位复指数的乘积形式；分解为 实部和虚部之和的形式。 复数乘积形式分解 9 一 湖北大学硕士学位论文 复数s 的幅度和单位复指数的乘积形式分解为： 8 = a + i b = a e 4 妒 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 妒= a r g s( 2 2 8 ) 式中要求a 0 。我们称a 为幅度，妒为相位。 实部和虚部分解 另一种常见的分解方法是将复值信号分解为实部和虚部。与分解过程相 比，由信号的实部构成或者重建复值信号更有意义。这是因为复值信号的频谱 和瞬时频率，瞬时相位及瞬时幅度比实值信号更容易求得，也更具有合理的物 理意义。 复值信号的实，虚分解方法如下： f ( t ) = f r ( t ) + i , ( t ) 肿) = 掣 加) = 掣 此处， ( t ) 表示信号的实部，五( ) 表示信号的虚部， 由上式可知： 2 2 4 傅里叶分解 ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 广( t ) 表示，( ) 的复共轭。 f 2 ( t ) = f ( t ) f + ( t ) = 辟( ) + 辟( 亡) ( 2 3 2 ) 傅里叶变换一直是信号分解的主要内容，其重要原因是傅里叶变换是保能 量变换。其基函数e 拟是所有线性时不变算子的特征向量。若信号，( ) 是能量有 限的，则定义厂( t ) 的傅里叶变换( f o u r i e rt r a n s f o r m ) 如下： 相应的逆变换为： 舢) = 而1 f _ + 一o o m ) e 却。出 f c t ) = 去e 舢矿幽 一l o ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 第2 章信号表示和分解方法 我们经常称信号的傅里叶变换，为信号，的频谱。在l e b e s g u e 测度意义下， 信号厂与其傅里叶变换，是一一对应的。所以可以把，看作信号，在频率域意义下 的一种等价。 频谱幅度和相位 为了研究方便通常将频谱，表示为幅度和相位的形式： ，( u ) = a ( w ) e 印( “， ( 2 3 5 ) 相应地称a ) 为频谱幅度，妒0 ) 为频谱相位。 能量密度频谱 与时间波形的能量密度相似，常取i ，) 1 2 为每单位频率内的能量密度，即 用l ，( u ) 1 2 ) 表示在频率u 处，单位频率间隔) 内的能量。由于信号的总能 量与计算方法无关，则对整个频率范围内积分可以求得总能量： e = fi r ( 圳2 出= m ) 1 2 幽 ( 2 3 6 ) 事实上，式( 2 3 6 ) 是p a r e s e v a l 等式或p l a n c h e r e l 等式的一个特列。 平均频率、带宽和频率函数的平均值 如果i ，) 1 2 表示了频率密度，那么就可以用它来计算一些平均值。和时间 域内求平均值相同，它可以给出频率密度主要特征。平均频率 及其标准 偏差( 通常记作均方根带宽，用符号b 表示) ： = u i m ) 1 2 如 ( 2 3 7 ) b 2 = 儿= ( u 一 ) 2 l 舢) 1 2 缸 = 一 2 ( 2 3 8 ) 同样地，任何频率函数夕) 的平均值是 = 咖) i m ) 1 2 咖 ( 2 3 9 ) 傅里叶分析的。眭质 湖北大学硕士学位论文 傅里叶分析具有很多优良的性质：如时域卷积与频率乘积对应、时域乘积 与频率卷积对应、时域平移与频率调制对应、时域调制与频域平移对应以及伸 缩与求导对应等。 2 2 5 广义傅里叶分解 在讨论线性变换的时候，常将它写成被变换函数与变换核函数之间的内积 形式。这样，定义复值函数厂( z ) 和夕( z ) 的内积为： ，+ o o - - - - f ( t ) g ( t ) 出 ( 2 4 0 ) j 一 这样f o u r i e r 变换对可以用内积的形式表示成： ，) = ( 2 4 1 ) f ( t ) = ( 2 4 2 ) 假如我们只是研究线性时不变算子，那么傅里叶变换就可以处理大多数信 号问题。可是对于非平稳信号的分析，傅里叶分析却遇到了巨大的挑战。 事实上，在式( 2 4 1 ) 中，我们为了计算信号，与e 妣的内积时，积分范围是对 应与时间变量的整个实轴。从这个意义上说，f o u r i e r 变换本质上是信号厂( t ) 的 全局变换，这种方式使得用频谱，) 分析信号，( t ) 的局部变化时不方便。为了 解决这个问题，要引入局部时频变换。 2 2 6 短时傅里叶变换 短时傅里叶变换是研究非平稳信号的一种广泛使用方法，其主要应用包 括：时频信号分析、系统辨识与谱估计、信号检测与参数估计、语音编码、信 号延迟与瞬时频率的估计问题等。 短时傅里叶变换的定义 短时傅里叶变换的基本思想是：用一个时间宽度很短的窗函数把信号划分 成许多小的时间间隔，然后用f o u r i e r 变换分析每一个间隔，以便确定在每一个 时间间隔内存在的频率成分。这些频谱的总体就表示了频谱在时间上的变化情 况。 时问分辨率( 持续时间) 和频率分辨率( 带宽) 分别是描述信号在两个时 间点和两个频率点之间的区分能力。h e i s e n b e r g 不确定原理1 3 1 表明，时间分辨率 和频率分辨率是一对矛盾的量，我们不能同时得到任意高的时间分辨率和频率 1 2 第2 章信号表示和分解方法 分辨率。一个极端的例子：冲激信号s ( t ) = 巧( t ) 的持续时间为零，而其带宽为无 穷大，因为它的频谱恒等于1 。 窗函数在非平稳信号的处理中起着重要的作用，窗函数是否需要很高的时 间分辨率或者频率分辨率与待分析信号的非平稳性有关。如果使用冲激信号作 为窗函数，则只相当于取非平稳信号在t 时刻的值进行分析，此时时间分辨率最 高，但是却完全丧失了频率分辨率。相反，如果取单位直流信号作为窗函数， 即取无穷长的信号进行分析，则其频率分辨率最高，但是却完全没有了时间分 辨率。这样看来，对于非平稳信号的分析，局部变换的窗函数必须在信号的时 间分辨率和频率分辨率之间折中，特别注意的是，对非平稳信号作加窗的局部 处理，窗函数内部的信号必须是基本平稳的，即窗口宽度必须与非平稳信号的 局部平稳性相适应。因此非平稳信号分析所能获得的频率分辨率与信号的“局 域平稳长度”有关。长度很短的非平稳信号是不可能直接得到高的频率分辨率 的。 为了研究信号在时问t 的特性，人们加强在那个时间的信号，而压缩在其它 时间的信号。这个通过用中心在t 的窗函数危( t ) 乘信号来实现，产生改变的信号 是： a t ( 7 ) = 4 r ) h ( r t ) ( 2 4 3 ) 即改变的信号是两个时间函数的乘积，所关心的固定时间t 和执行时间7 - 。 窗函数决定留下的信号围绕时间t 大体上不变，而离开所关心的时间的信号压缩 了许多倍。即： 以丁) ：l s ( 丁) 一 1 0 、- 下_ t 丁呐t ( 2 4 4 ) 因为改变的信号加强了围绕着时间t 的信号，傅里叶变换将反映围绕着那个 时间的频率分布： & ) 去f e - 价s t c 丁，打 去e - 山r 8 ( r ) m 叫打 ( 2 4 5 ) 因此，在时间t 的能量密度频谱是 p s p ( t ，u ) = i & 0 ) 1 2 =i 去上e 粕叫丁m 丁叫打1 2亿4 6 ， 1 3 湖北大学硕士学位论文 对于每一个不同的时间，都可以得到一个不同的频谱，这些频谱的总体就 是时频分布p s p ( t ，u ) 。它有许多名称，决定使用的领域，我们将使用最通用的 术语“频谱图”。 由于信号s ( t ) 乘以一个相当短的窗函数g ( u t ) 等价于取出信号在分析时间 点t 附近的一个小片，所以& ( u ) 可以理解为信号4 t ) 在分析时间t 附近的f o u r i e r 变 换，即局部频谱。对于每一个不同的时间，都可以得到一个不同的频谱，这些 频谱的总体就是时频分布p s p ( t ，u ) ，即信号的频谱图。可见，短时f o u r i e r 变换 将一维信号s ( ) 表示到了二维时频平面上。 短时傅里叶变换的性质 短时傅里叶变换具有以下性质： 短时傅里叶变换是一种线性时频表示 短时傅里叶变换具有频移不变性，但是它不具有时移不变性 当窗函数夕( t ) 满足条y , fl g ( t ) 1 2 d t = l 时，由短时傅里叶变换可以完全重构 原始信号s ( ) 提出短时傅里叶变换的实际目的主要是为了分析信号的局域频率特性。一 定时n t 的短时傅里叶变换不仅决定于t 时刻附近窗函数内的信号，而且还和窗 函数夕( 亡) 本身有关。我们以频率为 的单频信号为例，基于f o u r i e r 变换的全局频 谱是位于如的冲激函数6 ( 如) 。这样的非时变信号若以时频表示描述，按理说信 号在时频平面的局部频谱应该是在如的一条水平冲激线状函数。然而，实际情 况并不是这样的，信号的局部频谱被窗函数的频谱拓宽了，而且窗口越窄，窗 频谱就越宽，单频信号的局部频谱也就越宽。这说明分析窗口的引入会降低局 部频率的分辨率。为了保持局部频谱的分辨率，分析窗口就应该宽，但是当窗 口宽度超过非平稳信号的局域平稳长度时，窗函数的信号将是非平稳的，这样 就会使相邻的频谱叠加，从而不能正确的表示局部频谱。因此，分析窗口宽度 应该是与信号的局域平稳长度相适应的。 在短时傅里叶变换中，信号的特性受到窗函数选择的干扰，在将信号回复 原状时需要适当的调整，并对原始信号进行估计。因此，在采用短时傅里叶变 换分析信号时，窗函数的选取尤为重要。 2 2 7 时一频分析 时间能量密度和频率能量密度都没有充分的描述实际的物理情况，因为它 们并没有充分的描述止在发生的事情。特别是，根据频谱，可以知道哪些频率 在信号中出现，但是并不知道这些频率在什么时候出现。因此，需要描述频谱 1 4 第2 章信号表示和分解方法 含量怎样随着时间而变化，并去研究物理和数学思想，以便了解时变频谱是什 么。我们希望建立一种分布，能够在时间和频率上表示信号的密度或者强度。 时频分析的一个主要优点就是能够使我们能够确定一个信号是不是多分量 的。因为一个多