（应用数学专业论文）光学晶格中的一类schrodinger型方程解的存在性研究.pdf

河南大学硕士学位论文 摘要 本文，我们给出了光线在光折变晶体模型中传播的一类非线性s c h r 6 d i n g e r 型方 程以及方程组解的存在性证明第一章，我们简要介绍了模型的物理背景、预备知 识及主要结论第二章，我们运用临界点理论证明方程稳态解的存在性第三章，我 们研究了一类s c h r 6 d i n g e r 型方程组的初值问题，分别运用压缩映射原理、g a l e r k i n 方 法，我们得到方程组局部解、整体解的存在性 关键词：s c h r 6 d i n g e r 型方程；临界点理论；压缩映射原理；g a l e r k i n 方法 河南大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es h o wt h ee x i s t e n c et h e o r yf o rt h es o l u t i o no fn o n l i n e a rs c h r s d i n g e r w i t hn o n l i n e a r i t y 皿【o d e h n gl i g h tb e a mp r o p a g a t i n gi nap h o t o r e f r a c t i v ec r y s t a l i nf i r s t c h a p t e r ，w ei n t r o d u c eb r i e f l yt h em o d e lo ft h ep h y s i c a lb a c k g r o u n d ，p r e r e q u i s i t e sa n d m a i nc o n c l u s i o n s i ns e c o n dc h a p t e r ，w eu s et h em e t h o do fc a l c u l u so fv a r i a t m n st op r o v e t h ee x i s t e n c eo ft h es t e a d ys t a t es o l u t i o n s i nt h i r dc h a p t e r ，w es t u d yi n i t i a lv a l u ep r o b l e m f o rac l a s so fs c h r s d i n g e re q u a t i o n s ，a n dp r o v et h ee x i s t e n c eo ft h el o c a ls o l u t i o na n dt h e g l o b a ls o l u t i o nb yu s i n go fc o n t r a c t i n gm a p p i n gp r i n c i p l ea n dg a l e r k i nm e t h e ds e p a r a t e l y k e y w o r d s ：s c h r s d i n g e re q u a t i o n ；c r i t i c a lp o i n tt h e o r y ；c o n t r a c t i n gm a p p i n g p r i n c i p l e ；g a l e r k i nm e t h o d i i 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 本人向河南大学提出硕士学位中请。本人郑重声明：所呈交的学位论文是 本人在导师的指导下独立完成奇勺，对所研究的课题有新的见解。据我所知，除 文中特别加以说明：标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包括其4 也k 为获得任何教育、科研机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同事对本研究所儆的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 ， 学位申请 ，( 学位论文作者) 釜名： 兰j r 二遘： 2 0 ，o ，年月目 关于学位论文著作权使用授权书 本人经河南大学审核批准授予硕士学位。作为学位论文的作者，本人完全 了解并同意河南大学有关保留、使用学位论文的要求，即河南大学有权向国家 图书馆、科研信息机构、数据收集机构和本校图书馆等提供学位论文( 纸质文 本和电子文本) 以供公众检索、查阐。本人授权河南大学出于宣扬、展览学校 学术发展乖进行学术交流等目的，可以采取影印、缩印、扫描和拷贝等复制手 段保存、汇编学位论文( 甄质文本和电子文本) 。 ( 涉及保密内容的学位论文在解密后适用本授权书) 学位获得者( 学住论文作者) 釜名： 肚曹i 一 2 0 ，口年月l 目 学位论文指导教师签名：登益壁 2 0 d 年6 月目 第一章前言 1 1 物理背景 光学晶格是由干涉两个或多个激光束而产生的光移势阵列组成的光子晶格即 波导阵列，是光学中种横向折射率成周期性变化的结构，与光子晶体有很多类似 的性质，比如带隙结构和布里渊区等1 1 1 】光波在光子晶格中的传播与在连续介质中 有很大不同在连续介质中，光波是空间的连续函数，而在光子晶格中是空间的离散 函数，所以在光子晶格中表现出很多异于连续介质的行为，我们可以利用这些行为 来控制光的传播【9 1 自然界中，不同领域都广泛存在线性和非线性周期结构，它们在 我们描述自然现象和许多科学技术分支中起着非常重要的作用例如流体，等离子 体 4 1 ，生态生物学【1 6 】，液晶【堋，波色爱因斯坦凝聚 9 1 它们的模型在数学上有很强的 相似性，因而光子晶格中的光波传播引起了人们极大的关注 光波在非线性晶格中传输时的有很多独特的特征，对于相邻的电势阱和非线性 之间的相互作用，可以产生一种自局部状态，于是产生出晶格孤子【1 0 1 目前，研究晶 格孤子的非线性形式，通常分为k e r r 非线性和可饱和非线性【1 7 1 光束在k e r r 介质中 传播时，折射率的变化与光强成正比但k e r r 效应的产生需要较高强度的激光源，而 高强度的激光在射入到k 锄? 非线性介质中，容易产生“灾害性的自聚焦效应 1 1 】光 束在饱和型光折变非线性介质中传播时，不需要高度的激光源但是光束在饱和非 线性介质中传播时，却在计算过程中遇到很大困难对于这两种非线性的波导晶格 和孤子波的演化理论模型，一般用s c h r s d i n g e r 型方程来模拟 当光束在光折变光学介质中传播时，非线性介质的控制方程可以用如下的非线 性s c h r s d i n g e r 型方程表示 i 瓦0 q - d ( 磊+ 私州g ) ( 1 1 ) 其中，7 和( 分别表示用来刻画光束宽度和衍射长度的横向和纵向坐标，常数d 0 ， 表示光束衍射系数，a = 器+ 筹二维拉普拉斯算子q 是一个复值函数，表示无量 纲光场振幅g ( 口) 是一个实值函数，代表非线性介质形式 1 河南大学硕士学位论文 文献 t 2 e o ，若非线性项为 g ( q ) = 一( 1 一仃r ) 2 q p 肋 其中p 盯分别表示折射率调制深度和非线性折射率，r 描述线性晶格轮廓函数，方 程( 1 1 ) n 描述了光束在光学晶格中传播，且光学晶格带有线性折射率和对场振幅q 来说的非线性s c h r s d i n g e r 方程的异相调制文献 1 2 研究了方程( 1 1 ) 物质和几何体中 的晶格孤子新的性质，而物质和几何体二者线性折射率和非线性是空间调制的并 得到线性和异相非线性折射率调制相互作用的结果产生孤子新的性质，包括孤子稳 定性和横向活动性的改变，也包括随光强变化而改变的孤子形状当激光输入波导 阵列时，非线性系数7 = 1 一a r 在折射率最大时达到最小 文献 1 3 】中，若非线性项为 g ( q ) = 一i q l 2 q p 勘 方程( 1 1 ) 则可以描述连续波沿着调制波导阵列的轴传播，且波导阵列可以用无量纲 场振幅q 的非线性s c h r s d i n g e r 方程表示在二维蜂巢结构波导阵列的特殊结构中，有 可能实现在整个阵列中相邻波导的异相调制折射率抑制光线隧道效应选择合适的 异相或同相调制波导，我们可以控制光线的衍射 文献【1 5 】中，若非线性项为 如) = - 硒揣 其中k 代表静态直流电场方程( 1 1 ) 则描述了光束沿着晶格中带有聚焦非线性的光 折变介质的f 轴传播，晶格被非衍射光束诱导文献【1 5 研究了该模型非衍射抛物光 束诱导的光学晶格中的多极孤子复合，得到了非对称的高阶状态的稳定性独特的 抛物线形晶格拓扑得到许多新型的孤子运动：比如单个孤子进入晶格中，沿着抛物线 形路径非零横向动量做周期震荡 文献 1 】中，若非线性项为 如) = 而蔫丽 河南大学硕士学位论文 方程( 1 1 ) 贝l j 描述了光束在光折变光学介质中的传播文献 1 】研究了方程的稳态解 本文，我们将利用参考文献 1 】 1 6 】中的技巧，研究非线性项为夕( g ) 为 9 ( g p k q 鞯 ( 1 2 ) 时，方程 i 丽o q = 一丢( 嘉+ 缸幽崭 ( 1 3 ) 2 丽= 一互( 历尹+ 石，j g k q 丁；了丽阳 o l 3 j 的稳态解其中s o 表示饱和参数，r 为一个已知的有界函数，不失一般，我们假 设i r ( , 7 ，e ) l o 表示适用于晶体中的无量纲静态偏置场该模型通常用来描述 光折变光学晶格中的孤子发展情况 本文第三章我们主要研究带有横向周期调制折射率的非局部非线性k e r r 型孤 子【1 0 1 具体来说，我们考虑光线沿非局部非线性k e r r 型介质中的z 轴传播，且k e r r 型 介质带有调制线性折射率，系统中对于无量纲复光场振幅矽和非线性校对折射率 口组成的方程： i 饥+ 言也z + 妒p + p 聊= 0 ，忙，) r 矿 ( 1 4 ) 一d 一霉z + 0 = i 妒1 2 ，( z ，t ) r j 5 c + ( 1 5 ) 其中d 0 , p 0 ，妒( z ，) 是未知复值函数，0 ( x ，t ) 是未知实值函数，r = c o s ( 2 ，r x t ) 表 示横向折射率指数曲线，t 表示调制周期文献【l o 中，运用r e l a x a t i o n 数值计算方法， 研究了带有光学晶格的k e r r 型非线性介质中的非局部特征对孤子的影响，揭示出非 线性非局部响应可以深刻影响孤子的活动性以及所有相关的现象本文利用参考文 献f 2 3 f 4 【1 4 】f 1 9 中的技巧，研究问题( 1 4 ) ( 1 5 ) 的的局部解，以及在适当条件下的整体 解的存在性 1 2预备知识和主要结论 爬山引理【1 】假设x 是h i l b e r t 空间，c 1 ( x ，r ) ，且满足：p a l a i s - s m a l e ( p s ) 条件， 此外泛函，还满足山路结构： ( i ) j ( 0 ) = 0 3u 河南大学硕士学位论文 ( i i ) 存在常数口，r o ，使得当l l l l x = r 时，i ( u ) a ； ( i i i ) 存在一个元素u x ，使得当l x r 时，i ( v ) o ； 定义从x 的中心到”的路径为： 则存在正数 是j 的一个临界值 7 - = 【夕( c o ，1 ，x ) i g ( o ) = 0 ，g ( 1 ) = 口) c = i n f o m 啦a xi ( g ( t ) ) g e t1 0 s s g a g l i a r d o - n i r e n b e r g - s o b o l e v 不等式 2 】【3 】假设1 p 0 0 曩k 是整数，0 歹 0 ，贝i j 妒( 警卜紫 卷积y 0 u n g 不等式【4 】 设，妒( 舻) ，g l q ( r n ) ，1 p ，g ，f 1 = ；+ j 一1 0 ， 则 i i ，车g i l l r i i l l l l q i i g l l p 压缩映像原理【2 0 】设( x ，p ) 是一个完备的距离空间，t 是( x ，p ) 到其自身的一个 压缩映射，则t 是x 上存在唯一的不动点 g r o n w a l l 不等式【2 0 】 设c 为非负常数，函数，( t ) ，g ( t ) 在区间 口，6 】上连续非负， 且满足不等式，( t ) c + ，( s ) 夕( s ) d s ，ost b ，则有 ， f ( t ) sc e x p ( g ( s ) d s ) ，口t b 河南大学硕士学位论文 我们习惯上用时间变量t 和空间变量x = x l ，z 2 ) 分别代替 和t 7 ，( ，则方 程( 1 3 ) 可写为 i 瓦a q 一互1 舢一再赢等页两( 跏1 2 + r ( 剐 ( 1 6 ) 第二章，我们考虑方程( 1 6 ) 的稳态解 q ( x ，t ) = u ( x ) e x p ( i ) , t ) 其中u ( x ) 为不依赖时间t 的实值函数，入为实值常数 ( 1 7 ) 代入( 1 6 ) 得 丢也+ r 干习( s 川2 + r ( x ) ) = 入牡( x ) ，x q ，互t 正+ r 干否瓦f 了丽( s u i 。+ r ( 义) ) 2 入t 上( 叉) ，义1 2 ， 其中有界区域qcr 2 ( 1 8 ) 可转化为 丢+ k u 一丁干习= 入乱( x ) ，x q 方程( 1 9 ) 对应的泛函 肌) = 上( 壶i v 砰+ 弘k ( 1 + r 删让1 2 ) 一g l 让1 2 d z 其中约束条件为： 歹( 让) = _ f u l 2 出= 1 我们可以得到： 定理1 1 对于约束极小化问题： e ；0 = m f e ( u ) l j ( u ) = 1 ) 极小兀存在，从向万槎( 1 9 ) 有倚竿当a 0 ，问 题( 1 1 5 ) 一( 1 1 7 ) 存在唯一的整体解且满足初值条件：矽l ( o ，正日m ( r ) ) ，0 l ( 0 ，t ；h m ( r ) ) 在正文的估计中，c 表示不同的常数，如有必要，用c ( 宰，木) 表示此常数依赖于 括号中的量对1 g o o ，总记g ，是其共轭数，即三+ 三：1 口 6 第二章s c h r s d i n g e r 型方程稳态解的存在性 2 1 定理1 1 的证明 定义容许集4 = 1 珏i 珏日1 ( q ) ，且心+ 印= 让( x ) ，qc 冗2 为有界区域 定理2 1对于约束极小化问题： 助2 埘! t d ( u ) i j ( t i ) = 1 ， 极小元存在，从而方程( 1 9 ) 有解当入 k 时，方程( 1 9 ) 有非平凡解 证明：假设缸满足j ( u ) = 1 ，那么我们有 e ( 口) f n1 ，l v u l 2 如一箬z ( j r i + s 川2 ) 如一fk i 让 2 出 丢上l v “1 2 d z 一菩i q i 一2 k 因此，e o 在( 2 1 ) 中成立在( 2 1 ) 中选择极小化序列 吻) ，则 i t a 在日1 ( q ) 失般性，我们假设_ 吻) 弱收敛到u r e ( a ) ，因为泛函： 讹) = 上( 菩h ( i + r + s i 砰m u 2 ) 如 在h 1 ( q ) 中关于弱拓扑连续 i l ( 2 1 ) ( 2 2 ) 中有界不 ( 2 3 ) e ( u ) 1 i i ne ( ) = 岛( 2 4 ) j 一 容易看到在l 2 ( q ) 中吻_ u ，因此j ( u ) = 1 故t 是( 1 9 ) 的解，也是( 1 9 ) 对于一些a 的经典解 定理证毕 用西乘( 1 9 ) 两端并在q 上积分，得到： 一三上脚1 2 d x k i u l - 甭如邓一k ) 上2 d x ( 2 5 ) 当a k 0 ，即入 k 时，缸有非零解 从而，方程( 1 9 ) 非平凡解存在 河南大学硕士学位论文 2 2 临界点理论证明定理1 2 。本节我们考虑不加约束条件的泛函 j e 7 ( u ) = 上 0 ，当n 0 0 时有一0 特殊地，在( 2 1 0 ) e p 取 三1 我们有 l 上( 高砌u n ) d x l 啪i 阵 ( 2 1 1 ) 河南大学硕士学位论文 在q 上利用平均函数 i i = i 高厶u , , d z l 耄1上一焉2kun西高2k上unll凳、f 射2 ， 丽2 盯一焉阱高上l 磊j 出u j 纠 s 面雨+ 一2 a 、s 上l 1 2 如2 上一1 2 d x + 2 上u 2 如a 上i v 1 2 如+ q ( 2 1 3 ) 其中q 0 ，0 2 0 把( 2 1 3 ) - f l , ( 2 9 ) 中，假设j ( ) a + 1 ，我们得到 口+ 1 z 三l v u 出一仃a 上i v u l 2 如一伊q 上i v f 2 如 q + 1 + o r q 三一a c l 。 ( 2 1 4 ) 取仃适当小，使得o c l 0 ，存在常数a 0 ， 当1 1 让1 1 - ( n ) = 7 时，有j ( u ) 口；同时存在口h 1 ( q ) 且当l l v l l t c n ) r 时，有 l ( v 1 0 很小时 占2 曲 丢，熹卜 ( 2 2 4 ) 当仃( 0 ，占) 时，对于t h 1 ( q ) 且i , 比l l u z ( n ) = r ，可以得到 i ( u ) h ( r ) = n 0 ( 2 2 5 ) 而由( 2 8 ) 我们容易得到存在t ，日1 ( q ) - r i i t , 1 1 日，( q ) r 使得i ( v ) o k 立 引理证毕 下面证明临界点的存在性 定理2 2 对于 6 血 三，熹，芸) 其中q = 1 0 ，l 1 】x 【o ，l 2 ，l = m a x l 1 ，如) 当正数矿( 0 ，6 ) 时，泛函( 2 7 ) 在h 1 ( q ) 中 有一非平凡的临界点，即方程( 1 9 ) 对于入= k 一口有一个非零的古典解 证明 如果o 仃 o 充分小时，引理( 2 2 ) 的条件满足； 如果0 0 ，r = c o s ( 2 ，r x t ) ，t 0 ，妒( z ，t ) 是未知复值函数，e ( x ，t ) 是未知实 值函数，妒( z ，t ) 和p ( z ，舌) 以及各阶导数在无穷远点趋于零问题( 3 1 ) ( 3 3 ) 的积分形式 为： ，i t 妒( z ，t ) = s ( t ) 讥( z ) + i s ( t 一7 ) ( 妒g d ( i 妒1 2 ) + p r 妒) 打 ( 3 4 ) ，0 其中s ( 亡) 是线性s c h r s d i n g e r 方程 讹+ 互1 也z = 0 确定的酉群算子记g d ( z ) = f - 1 ( 孤毛了) , f - i 为f o 血e r 逆变换，则e = g d ( f ) 全 g d 率，是方程 一d o x 霉+ 0 = ，( 3 5 ) 的解。 3 1 问题( 3 1 ) 一( 3 3 ) 局部解的存在性 为了证明问题( 3 1 ) 一( 3 3 ) 局部解的存在性与唯一性，先考虑线性s c h r s d i n g e r 方 程解的性质，即初值问题： t 慨+ 妒= g ，( 毛t ) r 矿 妒( z ，0 ) = 讥( z ) ， z r 1 2 ( 3 6 ) ( 3 7 ) 河南大学硕士学位论文 解为 妒( z ，t ) = s ( 2 ) 讥( z ) 一i ! s 一r ) 9 ( 7 ) d r ( 3 8 ) 且具有以下性质： 引理3 1 【6 】【8 】【2 1 1 设2s r ，z + 。，詈= 互1 一i ，暑= 三一石i ，言+ 孑1 = 1 口zr口1zr 1口d i ) 若怕( z ) l 7 7 ( 固，那么对于任意的t 0 存在一正常数c 使得 i i s ( t ) 妒o l l 二恕( 厨c 旷皓- ) 1 1 矽o l l ( 固 成立 i i ) 若( z ) l 2 ( r ) ，那么s ( ) 咖l q ( o ，。；f ) 且存在一正常数c 使得 | j s ( t ) 咖lj 霹以( 固c i l 妒o l l l 。( 兄) 成立 i i i ) 若9 l q 7 ( o ，t ；矿7 ( 冗) ) ，那么存在一正常数c 使得 o f o ts 一r ) 9 ( r ) d 丁l l l ：t 工：1 0 ，则问题( 3 1 ) ( 3 3 ) 存在唯一局部解妒 工o o ( o ，t o ；l 2 ( r ) ) ，0 己( 0 ，蜀；己r z ( r ) ) ，其中i r 1 + o o 证明设r = 2 ， 0 ，则由引理3 i 知g = + o 。令 e = 妒l o 。( o ，t o ；l 2 ( 冗) ) i1 1 妒1 1 l 产工三f f o ) 对于v 妒e ，定义映射m 如下： m 妒= s ( ) + i t 5 ( t 一7 ) ( 矽瓯( i 妒1 2 ) + p 踯) 打( 3 9 ) 1 3 河南大学硕士学位论文 利户甘引理3 1 ，引理3 2 和h s l d e r 小等式司得 i i m 妒i i 舭量i i s ( 亡) 妒o l i 舭至+ 吆s ( t r ) ( 妒g d ( 帕+ p 驯打怯工； c ( 1 1 妒o l l 驴+ i i 妒g d ( i 妒1 2 ) 1 1 工扭至+ i i p 聊i i l l l 至) o ( 1 l 妒o l l 工。+ i i t l 妒1 1 工。i i c d ( i 妒1 2 ) 1 1 工* l l l + 1 1 妒1 1 l 扭三) c ( i i 妒o i i 工z + t o l l 妒j 1 工尹工圣) 令f ：2 c l i 讥i i l 2 则当蜀 0 充分小砂e 时m e e 即 m ：e 叫e 卜让朋是压缩映射 设妒1 ，也e ，则 l i m e l 一m 忱l i 工尹工；= i i f o ts ( t r ) 【( 妒1 c d ( 1 妒1 1 2 ) 一妒2 g d ( i 妒2 1 2 ) ) + p 兄( 妒1 一妒2 ) 如汀l i 工尹曩 ，s c ( 1 j 妒1 g d ( j 妒1 1 2 ) - 矽2 g d ( j 妒2 1 2 ) 1 1 工 l ：+ i i 妒z - 妒2 1 1 雠工；) c ( i l ( 妒1 一妒2 ) g d ( 1 妒1 1 2 ) i i 工；工至+ l i ( g d ( i 妒1 1 2 ) - c d ( i 妒2 1 2 ) ) 妒2 i i 雎瑶 + i i 妒1 一妒2 i l 工 l 2 ) c ( 1 l i i 妒1 - 妒2 1 1 l ：i l g d ( 1 妒1 1 2 ) i i 工一i i q + i i i i 妒2 i i l 。i i g d ( | 妒1 1 2 - i 妒2 1 2 ) i i 三* i i 珥+ j i 妒1 一亿j l 工扭堇) o ( 1 i i i 妒1 - 妒2 1 1 驴l l c d ( z ) i i l i i i 妒1 1 2 i i 工- i i 工 + l l l l 忆i i l 。劬o ) i i 工* i i i 矽1 1 2 一2 k + 慨一亿怯工) s c ( 1 i i i 妒1 - 妒2 1 1 l ：( i i 妒1 i i 至。+ i i 妒2 i l 羔。) i i l i + i i 妒，一也i i l 瑶) c ( 2 f 2 + 1 ) t o l l 妒1 一妒2 1 1 l 尹l 至 当t o 0 充分小时，c ( 2 f 2 - t - 1 ) 蜀= ，y 1 ，我们可以得到 i i m 妒1 一m 妒2 i i l 尹工；，y i i 妒1 一忆i i 工产工二0 0 ，令 局= 矽工( o ，t o ；1 ( 冗) ) i j i 妒l i l 尹硪f f o ) 类似地，对于v 砂e 1 ，定义映射尬如下： 尬妒= s ( 亡) 咖+ i t 5 一r ) ( 妒g d ( i 妒f 2 ) + p r e ) d r ( 3 1 2 ) 则 l i m l 妒i i l f h = = i i m p t i l l s l = = + i i o = m 1 妒i i l f l = = i i m 妒i i l 尹l = = + c ( i t 妒j 1 1 l ：+ i l d = ( 妒g d ( i 妒1 2 ) ) l l q l ；+ l i d 茁( p r 妒) i i l i 圣) l i 尬矽 l 尹瑶+ c ( 1 1 矽：1 1 l 。+ 1 1 矽7 g 4 ( t 砂1 2 ) i l 珥工至+ i # - g d ( d = t c t 2 ) l 聪工； + i i p 尉砂i l 三i 犀+ i i p r 矽珥三圣) 1 l m l 妒l l l 尹工+ c ( i l 妒j l l l ：- t - - l i i t 妒，1 1 二：i i g d ( 1 妒1 2 ) | i j l * l l 珥 + i i i i 妒i i l ：i l c d ( d z i 妒1 2 ) l l * l l q + i i 妒i l l 工至+ 1 1 妒，l 工：) i i 舰够i i l 产玛+ c ( 1 l 妒o l l h , + i i 妒i i l h ) so ( i i 咖0 1 1 h ，+ t o i i c l i l 尹h ；) 令f = 2 c i i # - 0 1 1 h ，则当t o 0 充分小，妒蜀时，尬妒局，即 尬：e 1 叫妨 1 5 河南大学硕士学位论文 。f 证尬是压缩映射 设妒1 ，他e 1 ，则 i i m l 矽1 一 j f l 妒2 l i l 尹避= i i m l 妒1 一a j f l 妒2 l i l 严l 2 + i i o x ( m l 妒l 一 j r l 妒2 ) i i 工尹工： i i m l 妒1 一舰妒2 i i 工尹l ；+ c ( i i d z ( 妒i g d ( i 矽1 1 2 ) 一矽2 g d ( 1 妒2 1 2 ) ) i i 珥工2 + i i d x ( r 妒l 一础2 ) 1 1 l l ：) i i m l 妒1 一m i 妒2 i l 尹l $ + c ( 1 1 妒i g d ( 1 妒1 1 2 ) 一g d ( i 妒2 1 2 ) + 妒l a d ( d x l 妒1 1 2 ) 一妒2 a d ( d z 妒2 1 2 ) i i l # l 三+ i i 爿( 妒1 一也) i i 肼l 耋 + i i r ( 妒i 一) f i 雎l ；) i i m l 砂1 一m i 妒2 i l 尹l $ + c ( i l ( 妒；一妒5 ) i i 工 工至 + i i i i 妒5 i i l ：i i g d ( z ) l i l * i i l 妒1 1 2 一i 妒2 1 2 l l l ，i i l i + i i 妒1 一 , , 2 1 1 工江； + 1 1 1 1 妒2 1 1 l 。i i g d ( x ) i i l = i i d = ( i 妒1 1 2 1 妒2 1 2 ) i l l - 1 1 日+ i i , , 1 一妒2 1 1 目啦) i i m l 妒1 一m i 眵2 i i l r l $ + c ( ( i l 妒1 l i 备，+ 1 1 妒2 1 1 刍，) 1 1 妒1 一妒2 1 1 h i i l , ， + i i 妒1 一妒2 i i 纠1 。1 ) c ( 2 f 2 + 1 ) t 0 1 1 砂1 一妒2 i j l 尹啦 当t o o 充分小时，c ( 2 f 2 + 1 ) t o = 7 1 1 ，我们可以得到 l i m l 妒1 一尬妒2 i i 工尹啦 n 1 1 妒1 一妒2 i i 工尹磁，0 1 1 0 ( 3 1 4 ) 1 6 河南大学硕士学位论文 证明 矽与万程( 3 1 ) 内瑞作内秋 ( 讥，) = ( 遽，劢+ ( i 脚，_ ) + ( i p r o ，劢 ( 3 1 5 ) 因为 ( i 互1 币鼢- ) = 一上t 丢f 忆f 2 如 蛳) = 上冽卯如 ( t p 聊，万) = 上僦忡z 所以，在等式( 3 1 5 ) 中两端取实部 去d l i 妒( t ) l l 至：= o ( 3 1 6 ) 对( 3 1 6 ) 两端在( o ，t ) 上积分，则引理结论成立 引理3 4 在引理3 3 的条件下，设讥h 1 ( r ) ，0 0 日1 ( r ) ，则对于l h - 题( 3 1 ) 一( 3 3 ) 的解妒，0 有 l l 忆1 l 之：+ d i l 9 z i l 之。+ 1 p i l 芝zse l ， t t ( 3 1 7 ) 其中常数e l 依赖l l 妒0 1 1 日，i i 口。怕，以及t 证明用玩乘方程( 3 1 ) 两端，然后在r 上积分 t 上仇- t 出+ 丢上忆z 玩如+ 上口妒_ t d x + p fr 厩d x = 。( 3 a s ) 因为 m z 忆z t 妇= 一i ld r rj r l 忆1 2 d z ， m 上口厩如= 三上口瓦0 川2 如 = 1 ( o y m 如一上州一蛾删如) = 丢甍( 上9 l 矽1 2 出一言( d l l p z l l 羔。+ 口l 笔：) ) & 上矾出= 丢上r 鼢如= 三爰加卯如 河南大学硕士学位论文 ( 3 1 8 ) 两端分别取实部得到 e ( t ) = 到1 靴忆2 ：+ - ( d i i 钆i i 羔。+ 归i i 至。) 一上口i 妒1 2 d x - p 上r i 妒1 2 d x - - e ( 。) ( 3 1 9 ) 其中 e ( o ) = 去l 忆( o ) i i 至。+ 寺( d 如( o ) i l 至：+ i l e ( o ) 1 1 2 , ：) 一口( o ) l 矽( o ) 1 2 d x p n l 妒( o ) 1 2 d x jrjr 利用插值不等式 p 2 d x i i 妒1 1 l 2 1 1 妒1 t l , l l o l l 工t ，r c i i 妒i i l ：l l c x l l t 。l l 妒l l t 。l l e z i l 羔z l l e l l t ： ( c 旧幢1 。) ( 姒加哟 慨2 。， s i l 妒z i i l 。i i o l i l 。+ 丢t i e i l l 。+ 丢c l l e l l l ： l i 妒z i l 羔。年i 口l i 羔。+ g i i 如l l 至。+ 百1j 口i i l 2 ：+ c 由( 3 1 9 ) ，( 3 2 0 ) 得 l l c x l l 羔。+ d l l e 茁i i 至。+ i l o l l 羔：se ( o ) + p i , p , , ( , z ) l l i 妒o l l 2 + c 全e l ( 3 2 1 ) 其中常数e 1 依赖1 1 妒0 1 1 日，i t o o l l 日， 由s o b o l e v 插值不等式： l i 妒i i l 一( r ) c i l 如i l 芝。i l , , l i z 。c ， ( 3 2 2 ) i i e i i l * , ( r ) c l l e x l l l 互。1 1 0 1 1 i z c ( 3 2 3 ) 引理3 5 在引理3 4 的条件下，咖h 2 ( r ) ，0 0 日2 ( r ) ，我们有 i i 如z l l l ：+ i i 妒1 1 h 2 + l i 饥l i l 。玩，t t ( 3 2 4 ) 常数岛依赖i i 妒0 1 1 抒：以及t 证明由方程( 3 2 ) 得 i i o z i i 工：o ( 1 1 1 妒1 2 i i 工：+ 1 1 日i i l 。) c ( 3 2 5 ) 河南大学硕士学位论文 因为 院篡 其中a = 一z 互l 孬d 2 ，却= i 踯+ i p 聊，口= g d ( 衅) 则 妒( z ，t ) = s ( t ) 妒o ( z ) + s ( t - - r ) j g , ( r ) d r i * t j o 1 其中s ( 亡) 是算子一2 互l 孬e t 生成的酉群由( 3 2 6 ) 得 i i 妒 ) i i 备。c i i s ( t ) 妒o ( = ) l l 备：+ c ( t ) i i s ( t - 7 ) j 矽( f ) l i 备：d 下 ，0 c l i 妒o l i 刍：+ c ( t ) il 舢( 下) i i 鸯：d r ，0 i i j 妒i i l ：= m 口妒+ i p r 妒i i l 2 c d j 妒i i 工= c ( f f 妒以4 - 讥口4 - 妒4 - 也i f l 。) c ( i i 矽l i 工一i i o 。l l l 。4 - i i 讥i i l = 1 1 0 t l l 一- i - i i 妒1 1 l 2 + l i 也i l l ：) c ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) d 2 j e l l 工：sc ( 1 l c e = 茹i l l 24 - f f 秽讥z i i 工：4 - i l o = v ：l l l ：+ i i 讥z i l l 2 + f t 矽：i i l 2 + i f 妒 i l z ) s6 1 i i 怯z i l l 。+ q 利用s o b o l e 、，估计 i i 也i i 羔t ( r ) c 忡忆一( 冗) i 1 日。( 冗) 得 i i 妒( t ) l l 备z5c 1 1 啪, 0 1 1 备。4 - c ( t ) i i , , ( , 0 1 1 备。d r ，0 利用g r o n w a l l 不等式得到 l i 砂( 亡) l i 备：c ，t t 由方程( 3 1 ) 得 i l e t ( t ) l i 二。c ( 1 1 妒i i z ；：4 - i i o 咖i i l ：+ i i 妒1 1 l 2 ) sd 综合( 3 2 5 ) ，( 3 2 s ) ，( 3 2 9 ) 我们可以得到引理结论 】9 ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) 河南大学硕士学位论文 引理3 6 在引理3 5 的条件下，我们有 巩( 亡) ij l ：+ r i l l e x t ( t ) l l l ：+ i i o 锄：t ( t ) l l l ：岛，t t ( 3 3 0 ) 其中玩依赖ij 妒0 1 1 日。以及t 证明对于方程( 3 2 ) 两端关于t 求导 一d 曰黝吃+ 0 t = i 妒i 用0 。分别乘等式( 3 3 1 ) 两端并在r 上积分得 上( 一d 如耐巩+ i 巩1 2 ) 出= 上酬翘出 利用y o u n g 不等式和h s l d e r 不等式 d 0 蚓l 羔。+ 慨i l 羔。= 上仇劢t 如+ 上妒- t 以出 s0 1 1 0 , i i l = i i 仇i i 工： ， ! ，l l o , l l 至。+ 詈| i 仇嵫 得到 d l l o z 删i 工：+ 1 1 0 删j 二：训c 耽忡2 c 由( 3 3 1 ) i l 艮疵i i l 。c ( 1 l o t l