（应用数学专业论文）关于幻方与半幻方的若干结果.pdf

南开大学学位论文使用授权书 根据南开大学关于研究生学位论文收藏和利用管理办法，我校的博士、硕士学位获 得者均须向南开大学提交本人的学位论文纸质本及相应电子版。 本人完全了解南开大学有关研究生学位论文收藏和利用的管理规定。南开大学拥有在 著作权法规定范围内的学位论文使用权，即：( 1 ) 学位获得者必须按规定提交学位论文( 包 括纸质印刷本及电子版) ，学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存研究生学位论文， 并编入南开大学博硕士学位论文全文数据库；( 2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开 的学位论文作为资料在图书馆等场所提供校内师生阅读，在校园网上提供论文目录检索、文 摘以及论文全文浏览、下载等免费信息服务；( 3 ) 根据教育部有关规定，南开大学向教育部 指定单位提交公开的学位论文；( 4 ) 学位论文作者授权学校向中国科技信息研究所和中国学 术期刊( 光盘) 电子出版社提交规定范围的学位论文及其电子版并收入相应学位论文数据库， 通过其相关网站对外进行信息服务。同时本人保留在其他媒体发表论文的权利。 非公开学位论文，保密期限内不向外提交和提供服务，解密后提交和服务同公开论文。 论文电子版提交至校图书馆网站：h t t p ：2 0 2 1 1 3 2 0 1 6 1 ：8 0 0 1 i n d e x h t m 。 本人承诺：本人的学位论文是在南开大学学习期间创作完成的作品，并已通过论文答辩； 提交的学位论文电子版与纸质本论文的内容一致，如因不同造成不良后果由本人自负。 本人同意遵守上述规定。本授权书签署一式两份，由研究生院和图书馆留存。 作者暨授权人签字：置细芝 2 0 1 0 年5 月2 6 日 南开大学研究生学位论文作者信息 论文题目关于幻方与半幻方的若干结果 姓名雷细芝学号 21 2 0 0 7 0 0 0 2 答辩u 期2 0 l o 年5 月2 8 日 论文类别博士口学历硕士团 硕士专业学位口 高校教师口 同等学力硕士口 院系所组合数学中心 专业 应用数学 联系电话 l3 6 2 2 0 5 6 3 3 4e m a i ll e i x i z h ilo ! y a h o o c o m c n 通信地址( 邮编) ：天津市南开大学西区公寓5 号楼l 单元4 0 5 室 备注：是否批准为非公开论文 注：本授权书适用我校授予的所有博士、硕士的学位论文。由作者填写( 一式两份) 签字后交校图书 馆，非公开学位论文须附南开大学研究生申请非公开学位论文审批表。 。擎1 j 审萃孤珥毒拦妤非戥申鬲箪地毒￥妊掣删渗革歌科孝妊抒非氍 锋囤辫蕈兽专露( 粉鲤摹一) 藓罢勘甲。茸礤科毒明干班、千斟晕埘明士斟辫鞋出娶锆戤薹 宰：裂 之 石砚：t f 影q l - k 撇研彤两 ：取嘭 幕! ；0 t 7 翟诤1 瓣已s 坶影纠划囊，y “掣小4 5 y ：( 嘴洲) 1 耳孵翳甄 u 。t t l o ：) 。o o q e , ( oi ! q z ! x ! a l i ! b i l l ap c c 9 s o 乙乙9 ei 些印坐油 冀，臻f t f 纠 邓牟叼，七b 共r 骠号斯蛔显别 口+ 渤华共，乱刨口蛳磷辫掣口斟兵环牟+ 啦园+ 、衄幽共；口+ 鲥 0 f f 椠茸砚 目8 乙日s 出0 10 乙m ，目撕琨 乙0 0 0 l o o e i z 鲁：知孑畴晕矽秘 凿彩士凳明华岛来与华伤士*日蜀茸识 冒哥晕勒萃孤珥孝鬲革搬毒￥妊掣 目o 【日9 由o i o 乙 砑：专弼y 碑群晶某勤 r r 一 。拙禺鼬s i 同i 睦划鬲琶蚋甲彤雎擎一是弼5 i 斟群章。犁耐娶丁皋莉霉刨y 牢 。粤口y 章甲凿当砑业私臻创业幽晦礁一站m 叫茸观章骝撕斤酬乒币茸砚舛杀鲫莓哥 ：毒鳝& 茸砚裂矸翟其料必叫搿车坳旧刨f f f 乜杀杀y 岳掣矽并笨砚甜丢叫y 章：密辔y 卓 。w l q 。x a p u ! 1 0 0 8 ：1 9 l 0 z e l l z o z ：d u l l ：水回勘5 j 网料要罩蕾狲乒- 即茸砚 。茸砚士f 好刨钐砷i l 圭蓬静当墨堋钐砷希瞥i 睡覃鬻q 每叫业即削哺墨哥覃现斟兵拦移0 i 二 。唑砰驯茸礤擎髯勒新耐并觋囝哿y 卓轴刨。暂砷冒署出幂蟛牲鼻回￥群首骚觐 射辫臻茸砚珥杀纠胖y 砌撕狲乒砷鹭谣茸砚甜奈明幽建犁群革挚琳狲f 1 1 乒印( 掣采) 肚晦半 杀国串哇鲴誓砸冒罂轩性国亡b 掣料杀砰群岩助茸砚珥杀( 争) o 茸砚斟杀脚妊影覃誓珥责羊鼾 勰晕磁掣冻；y 妊单罩群￥雎螺望辚辫戳( ) ：暂邵冒哥箍丐盐骥一、砾0 蜒茸弓革识w 厢嘶 茸、澎弭善日茸刁： 治暂丁幽吲料可帮座| 【l 罩蛳即料希暂蛔鲡乱勘引网可懈疆k 劬茸砚斟杀驯 妊好琳雨血珊丢鲫日柳性咄共，磁k ( z ) ：捌群琢茸弓茸砚甜杀：4 - 班到杀y 妊单y 嘴撕 茸砚斟杀甭始m 拙龄材圭僻酉珊首秆由赐、【j j 绍m 滥相血科奈( 列即谣章0 4 y 由驾狮群 回) 茸观珥冀，甄静犁醉珥啦乃县勘醺斟杀( i ) 。佣斟f f 鲫茸识斟共叫叫幽露罩醉裂母勘锛 可曼瞰 共，y 蛊掣。犁群酝岛明f - f f 胖岵姑狮茸砚斟共，鬲琶螂￥肚杀，y 圭掣堋弓晋y 章 。列- 币纠群谣卑驷撕茸砚斟夹，渊y 卓辽鬻县y 妊掣叫蟛目巢勘 醺甜杀+ 弛、+ 刘鲫科艟承哗酿是阿唑岵辫砷茸砚斟杀币始搬￥杀y 妊掣辫谶 站斟群甘翦萃孤斟毒毒￥妊掣 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取 得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任 何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉及的 研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文 原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：置细芝2 0 1 0 年5 月2 6 日 非公开学位论文标注说明 根据南开大学有关规定，非公开学位论文须经指导教师同意、作者本人申请 和相关部门批准方能标注。未经批准的均为公开学位论文，公开学位论文本说明 为空白。 论文题目 申请密级 口限制( 2 年)口秘密( 1 0 年)口机密( 2 0 年) 保密期限 2 0 年月日至2 0年月 日 审批表编号批准日期 2 0 年月日 限制2 年( 最长2 年，可少于2 年) 秘密1 0 年( 最长5 年，可少于5 年) 机密2 0 年( 最长1 0 年，可少于l o 年) 硕士学位论文 关于幻方与半幻方的若干结果 培养院系： 一级学科： 二级学科： 论文作者： 指导教9 i l i 学号： 组合数学中心 数学 应用数学 雷细芝 辛国策副教授 2 1 2 0 0 7 0 0 0 2 南开大学研究生院 2 0 1 0 年5 月 s o m er e s u l t so nm a g i ca n d ，弋 ，弋 3 e m i - m a g i c3 q u a r e s x i z h il e i s u p e r v i s o r ：g u o c ex i n at h e s i ss u b m i t t e dt ot h eg r a d u a t es c h o o lo fn a n k a iu n i v e r s i t y i np a r t i a lf u l f i l l m e n to ft h er e q u i r e m e n tf o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c e n t e rf o rc o m b i n a t o r i c s n a n k a iu n i v e r s i t y t i a n j i n ，p e o p l e sr e p u b l i co fc h i n a m a y2 0 1 0 c o p y r i g h t2 0 1 0 摘要 摘要 幻方的研究有着悠久的历史，也出现了多种版本的定义，在本论文中，半 幻方定义为满足行和，列和等于同一个数，即幻和，且元素互不相等的非负整 数方阵。幻方则还进一步要求两对角线之和也等于幻和。 我们注重的是计算( 半) 幻方的生成函数。利用m a c m a h o np a r t i t i o na n a l y s i s 技术，我们获得了三阶半幻方的完全生成函数及其个数，并且给出了代数 和组合证明，_ j 时我们还研究了四阶( 半) 幻方，3 4 和2 m ，m 2 阶半 幻矩阵并得出与之相关的结论。 关键字：半幻矩阵，半幻方，幻方，分拆分析，l p s o l v e 算法 i a b s t r a c t a b s t r a c t m a g i cs q u a r e sh a v eal o n gh i s t o r yo fs t u d ya n dm a n yv e r s i o no fd e f i n i t i o n i nt h i st h e s i sas e m i - m a g i cs q u a r ei sas q u a r em a t r i xw i t hd i s t i n c tn o n n e g a t i v e i n t e g e re n t r i e sw h o s er o ws u m sa n dc o l u m ns u m sa r ee q u a lt ot h es a m en u m b e r ， c a l l e dm a g i cs u m am a g i cs q u a r er e q u i r e sa d d i t i o n a l l yt h et w od i a g o n a l ss u m u pt ot h em a g i cs u m w ea r em a i n l yi n t e r e s t e di nc o m p u t i n gt h eg e n e r a t i n gf u n c t i o n so f ( s e m i ) 一 m a g i cs q u a r e s b yu s i n gt h et e c h n i q u eo fm a c m a h o n sp a r t i t i o na n a l y s i s ，w e o b t a i nt h en u m b e ra n dg e n e r a t i n gf u n c t i o n so fs e m i - m a g i cs q u a r e so fo r d e r3 ， a l g e b r a i c a l l ya n dc o m b i n a t o r i a l l y ( s e m i ) - m a g i cs q u a r e so fo r d e r4a r ea l s oi n v e s - t i g a t e d ，a sw e l la ss e m i - m a g i cm a t r i c e so fo r d e r3x4a n d2xm ，m 2a n dw e a l s og e tt h er e s u l t s k e yw o r d s ：s e m i m a g i cm a t r i x ，s e m i m a g i cs q u a r e ，m a g i cs q u a r e ，m a c m a h o n s p a r t i t i o na n a l y s i s ，l p s o l v ea l g o r i t h m i i a b s t r a c t ( i nc h i n e s e ) a b s t r a c t 1i n t r o d u c t i o n c o n t e n t s i i i 1 1 1m a i nc o n c e p t sa n dd e f i n i t i o n s 1 1 2e f f i c i e n ta l g o r i t h mf o rm a c m a h o n sp a r t i t i o na n a l y s i s 3 2m a g i cs q u a r eo fo r d e r3 2 1 s e m i m a g i cs q u a r eo fo r d e r3 9 1 0 2 2 m a g i cs q u a r eo fo r d e r3 2 0 2 3t h eg e n e r a t i n gf u n c t i o n sa b o u t2xma n d3x4s e m i - m a g i cm a t r i x 2 2 3 m a g i cs q u a r e so fo r d e r4 2 5 3 1t h em e t h o dt oo b t a i nt h eg o o dp e r m u t a t i o n s 。2 5 3 2 s e m i m a g i cs q u a r eo fo r d e r 4 2 6 3 3 m a g i cs q u a mo fo r d e r4 2 7 3 4 l p s o l v ea l g o r i t h m 2 8 b i b l i o g r a p h y a c k n o w l e d g e m e n t r e f l u m e i i l 3 0 3 3 3 4 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 1m a i nc o n c e p t sa n dd e f i n i t i o n s m a g i cs q u a r e sh a sal o n gh i s t o r yo fs t u d y t h e yw e r ek n o w nt oc h i n e s e m a t h e m a t i c i a n sa se a r l ya s6 5 0b ca n da r a bm a t h e m a t i c i a n sa se a r l ya st h e7 t h c e n t u r y t h ef i r s tm a g i cs q u a r ei nt h el i t e r a t u r ei sc a l l e dl os h us q u a r e ，a3 3 m a g i cs q u a r e ，w h i c hw a sd i s c o v e r e db yt h eg r e a tk i n gy uo fc h i n ai n6 5 0b c t h ec o n s t r u c t i o no fm a g i cs q u a r e so fa n yo r d e rh a sb e e nw e l ls t u d i e di n 1 4 _ 1 6 | i nt h el a s tc e n t u r ym a t h e m a t i c i a n sb e g i nt os t u d ym a g i cs q u a r e sb y u s i n gt h et h e o r yo fp o l y t o p e s s i n c et h ed e f i n i t i o no fm a g i cs q u a r e sv a r i e dw i t h t i m ea n dw r i t e rf o rc o n v e n i e n c eo fs t u d y i nt h i st h e s i s w ed e f i n ea nm n s e m i m a g i cm a t f i xt ob eam a t r i xw h o s ee n t r i e sa r ed i s t i n c tn o n n e g a t i v ei n t e g e r s a n dw h o s er o ws u m sa r ee q u a lt or o w - m a g i cs u ms l ，a n dw h o s ec o l u m ns h i l l sa r e e q u a lt oc o l u m n - m a g i cs u ms 2 i tf o l l o w st h a t 尝2 票as e m i - m a g i cs q u a r e o fo r d e rni sa nn ns e m i m a g i cm a t r i x ，a n dt 矗冬r o 办m a g i cs u ms 1 ( e q u a lt o t h ec o l u m n - m a g i cs u m8 2 ) i sc a l l e dt h em a g i cs u md e n o t e db ys am a g i cs q u a r e r e q u i r e sa d d i t i o n a l l yt h et w od i a g o n a l ss u mu pt ot h em a g i cs u m n o t et h a ts o m e w r i t e r sd on o tr e q u i r et h ee n t r i e st ob ed i s t i n c t i nt h i st h e s i s w ea c c o u n tf o rt h ec o n s t r a i n tt h a ta l lt h ee n t r i e sa r ed i s t i n c t n o n n e g a t i v ei n t e g e r sb yc o n f i n i n gt h eb i ga n ds m a l lo r d e r so fa l lt h ee n t r i e si n s e m i m a g i cm a t r i xu pt or o t a t i o na n dr e f l e c t i v e am a g i cl a b e l i n go fas e ts y s t e m i sal a b e l i n go fi t sp o i n t sb yd i s t i n c tp o s i t i v ei n t e g e r ss ot h a te a c he l e m e n t so f a n yg i v e ns e to ft h es y s t e mh a st h ee q u a ls u m e x a m p l e sa r es e m i m a g i cm a t r i x ( t h es e t sa r et h er o w s ，c o l u m n s ) ，a n dm a g i cs q u a r eo fo r d e rni snb y 礼m a g i c m a t r i x ( t h es a m e ，b u tw i t ha d d i t i o n a lt w od i a g o n a l s ) w bd e f i n et h ef o l l o w i n g r e l a t i o nl a b c l i n go fag i v e np e r m u t a t i o na sf o l l o w s ： d e f i n i t i o n1 1 l e t 盯= ( o 1 ，a 2 ，) b e 口p e r m u t a t i o n ，a n dl e ta = ( a l ，a 2 ，a n ) b e 口v e c t o ro fd i s t i n c tn o n n e g a t i v ei n t e g e r s i f0 a 口i a 口2 o h ，t h e n c h a p t c r1 i n t r o d u c t i o n w es a yt h a taa n d 盯a r ec o m p a t i b l e f o r 盯= ( 8 ，5 ，1 2 ，4 ，2 ) ，i faa n d o ra r ec o m p a t i b l e ，t h e nw ec a nc o n c l u d et h a t 6 8 a 5 a 1 2 a 4 a 2 m o r ek n o w l e d g ew i l lb en e e d e di n t h i st h e s i sa n dw e w o u l dl i k et oi n t r o d u c et h e ms u b s e q u e n t l y aw e l lk n o w nf o r m u l a ：l e t 盯= ( 1 ，2 ，3 ，n ) ，a s s u m eaa n d 盯a r ec o m - p a t i b l e ，i e ，0 a l a 2 a 3 a n ，t h e nw ec a no b t a i nt h eg e n e r a t i n g f u n c t i o n ： 矿a l 挈= f 而忑襻2 篆3 蠹n 丽 p r o o d e f i n et h ew e i g h to f 盯t ob ex m lz ；2 z 挈，t h eg e n e r a t i n gf u n c t i o nc a r lb e c o u n t e da sf o l l o w si n 1 6 】： 1 z ；2 z 挈 0 a l a 2 口n ( z 1 z 住) d 1 ( x 2 z n ) d 2 一口1 ( z 3 z n ) 幻一幻( z n ) 一一1 0 a l 口2 口n 。o o ( ( ”叫n ) 口1 ) ( ( 结w n0 , 2 - - 0 , 1 ) ( ( z n ) 一) a 1 2 la 2 - - a 1 2 l z l z ；z ；z ： ( 1 一x l x 2 z n ) ( 1 一x 2 x 3 ) ( 1 一z 。) c o r l l a r yi i l e t 盯= ( 0 1 ，0 2 ，) t h a ti s ：0 a 盯l a a 2 a a 3 n oc r i 妒，w h e r en 0i sa n i n t e g e r ，p o s s i b l yn e g a t i v e ，a n da n k w ed e f i n ek z 1 ) ) t ob et h ef i e l do f l a u r e n ts e r i e sk ( ( z 1 ) ) ，a n dt h e nw ed e f i n et h ef i l e do fi t e r a t e dl a u r e n ts e r i e s k ( ( x l ，z n i n d u c t i v e l yt ob ek ( ( x l ，x n - 1 ) ) ( ( z n ) ) ，w h i c hi st h ef i e l do f l a u r c n ts e r i e s i nz nw i t hc o e f l i c i e n t si nk ( ( x l ，z n 一1 s oa ne l e m e n ti n k ( ( x l ，x 2 ，z n i sf i r s tt r e a t e da sal a u r e n t s e r i e si nz n ，t h e nal a u r e n ts e r i e si n 4 x n 一1 ，a n ds oo n a ni t e r a t e dl a u r e n ts e r i e so b v i o u s l yh a sau n i q u ef o r m a ll a u r e n t s e r i e se x p a n s i o n ，b u ti ti sn o to b v i o u sw h i c hf o r m a ls e r i e sa r ei nk “z 】，z n ) ) w em u s tg u a r a n t e et h a tt h ee x p a n s i o ni sc o n v e r g e n ta n ds i g n i f i c a n t t h e r e - f o r ew eb r i n gi n t oat o t a lo r d e r i n g ，w h i c hm e a n si n f i n i t e l yl a r g e r ，a n dw i t h o u ts p e c i a lr e f e r r e d ，k ( ( x l ，z n c o n t a i n st h ef a c t t h a t1 z 1 z 2 z n s p e c i f i c a l l ys p e a k i n g ，f o ra n yp o s i t i v ei n t e g e r si ) ，w h e r e 盯i sap e r m u t a - t i o no n 【1 ，2 ，几 i tm e a n s ：z 以z w h e n e v e ri j f o ri n s t a n c e ，i n k ( ( x l ，z 3 ，w eh a v e 羽1 = 呦南h o w e v e ri nk ( x 3 ，z 1 ) ) ，w e h a v e 而1 = 一黼x i 。2 k g i v em o r es t e p sa n dw ed e f i n et h es u p p o r to f af o r m a ll a u r e n ts e r i e sb y s u p p ( i a ，i n ) z n a i ”。，i n x s l 1 z 蓼：= ( z 1 ，i n ) i o 饥。i 。o aw e l l o r d e rr e l a t i o n ( o rw e l l - o r d e r i n g ) o nas e ts i sat o t a lo r d e ro i lsw i t ht h e p r o p e r t yt h a te v e r yn o n e m p t ys u b s e to fsh a sal e a s te l e m e n ti nt h i so r d e r i n g t h ef o l l o w i n gr e s u l to f 2 0 ，p r o p o s i t i o n2 1 2 】i sf u n d a m e n t a l t h e o r e m1 2 p s , t h e o r e m2 2 jl e t ，= z 卜前， ( l ，i n ) e z i t h e n i s 口i t e r a t e dl a u r e n ts e r i e s 矿a n do n t u 矿i th a saw e l l - o r d e r e ds u p p o r t t h er e s u l tg i v e su sa no v e r v i e wa b o u tw h e naf o r m a ll a u r e n ts e r i e si sa n i t e r a t e dl a u r e n ts e r i e s n o wl e tu si n t r o d u c et h ee f f i c i e n ta l g o r i t h mf o rm a c m a h o n s p a r t i t i o na n a l - y s i s w em a i n l ya p p l yt h et h e o r yo fi t e r a t e dl a u r e n ts e r i e sa n dp a r t i a lf r a c t i o n d e c o m p o s i t i o nt om a c m a h o n sp a r t i t i o na n a l y s i s f i r s to fa l l ，f i xaw o r k i n gf i e l d k 人，x ) ) ：= k ( ( a 1 ，x l ，z n ) ) ，w h i c hm e a n s1 a 1 x l z n ，t h e nw ed e f i n ean e wo p e r a t o rc tt or e p l a c eq s ；2f ( a ，x ) = c a t f ( a ，) f o ra n yg i v e nf ( a ，x ) ，h o wt os o l v ec t ( f ( a ，z ) ) i so u rm a i np o i n t w ec a n e l i m i n a t et h ev a r i a b l e sao n eb yo n eu n t i lw eo b t a i na nz s e r i e s s ow ef o c u s o nh o wt oe l i m i n a t eo n ev a r i a b l ea n dt h eo t h e r sa r es i m i l a r n o wl e tu ss e et h e a l g o r i t h mt oe v a l u a t ec t x f ( a ) w i t h f ( a ) = p ( a ) 兀心 。( m 一忍) 5 w h e r ep ( a ) i sap o l y n o m i a li n 入，蟊a r en o n n e g a t i v ei n t e g e r s ，a n dz ia r ei n d e p e n - d e i l to f 入a n dz ic a na l s ob e0 t h ea p p r o a c hi sb a s e do nt h ef a c tt h a to n c et h e p a x t i a lf r a c t i o nd e c o m p o s i t i o no ff i sg i v e n ，c tfc a ! lb er e a do f fi m m e d i a t e l y t h ep a r t i t i o nf a c t o r i a ld e c o m p o s i t i o nc a nd i v i d ef ( a ，x ) i n t ot w op a r t s ，o n ei s c o n t r i b u t i n ga n dt h eo t h e rn o n - c o n t r i b u t i n g ，s ot h ec o n t r i b u t i n gp a r ti se n o u g h s e et h ef o l l o w i n gt h e o r e m t h e o r e m1 3 p 8 t h e o r e m4 1 1s u p p o s et h a tt h ef a c t o r si nt h ed e n o m i n a t o ro l f ( 入) a r ep a i r u r i s er e l a t i v e l yp r i m e ，a n dt h a tt h ep a r t i a lf r a c t i o nd e c o m p o s i t i o no i 删妇 m 、 删 f ( 入) 2 瓜未舞习2 w h e r ef ( a ) ，( 入) + 1 o ，l j 0 ，1 j f n j = li = 1 i = 1 t h i sc o m p l e t e st h ep r o o f ( 抄 i c o r l l a r y1 7 i | w er e s t r i c tt h eo r d e ro s o m ee n t r i e so xb yp e r m u t a t i o no = ( d r l ，o 2 ，c r r ) c o m p a t i b l e “纨z ，t e ，0 z 口1 z 眈 z “，h e r e1 r n ， t h e nt h ec o r r e s p o n d i n gg e n e r a t i n gf u n c t i o nc a nb ew r i t t e n0 , 8 ，、个 珥：。( t i t _ - 。胪。jy a j ) ( 1 一r i ；：。l - i , 2 1 九以勺鼽) ( 1 一兀；：2 兀竺。九纵4 ，鼽) ( 1 一l r - 1 , 墨- 九。协7 蜘，) 、，兀触七隹口兀2 。玎协兀銎l 百“ “兀j ：七球口( 1 一i - i , m _ _ l 舻协) i ti sd i r e c t l yd e d u c e df r o ml e m m a1 6a n dc o r o l l a r y1 1 ，_ 8 。厂夥型瞻刍一0牿 a c h a p t e r 2 m a g i csq u a r e o fo r d e r3 ， n 0口1 口f i _ 1 、 w bl e tm = i “o 加- 1 i b ea nm ns e m i m a g i c i n 二mn o o ：oo 。一， m a t 呶w i t hr o w - m a 、g i js - u - m i - - s 1a n dc o l u m n - m a g i cs u l t is 2 i ti sc l e a rt h a tp e r m u t i n gr o w s c o l u m n ss t i l lg i v e sas e m i - m a g i cm a t r i x t h e s et r a n s f o r m a t i o n sf o r m ag r o u pt h a ti si s o m o r p h i ct os k t h eo r b i tr e p r e s e n t a t i v e sc a n b ec h o s e n s u c ht h a ti ) a oi st h el e a s te l e m e n t ；i i ) t h ef i r s tr o wa n d f i r s tc o l u m na r es t r i c t l y i n c r e a s i n g ，i e ，a o a 1 a n 一1a n da o a n a n l t h e r e f o r e ，w eb r i n gi n t oad e f i n i t i o n ： d e f i n i t i o n2 1 ar e d u c e ds e m i m a g i cm a t r i xm i sd e f i n e dt os a t i s f yt h ef o l l o w i n gi o u rc o n d i t i o n s ： ( 1 ) ：a l le n t r i e so fm a r ed i s t i n c tn o n n e g a t i v ei n t e g e r s ( 2 ) ：e a c hr o ws u mi se q u a lt ot h es a m en u m b e rs l ，w h i l ee v e r yc o l u m ns 姗i s s 2 ，a n di t se a s yt ov e r i f yt h a t 嚣= 景o ra n 仃l ns e m i m a g i cm d 哟 9 c h a p t e r2 m a g i cs q u a r eo fo r d e r3 ( 3 ) ：t h ef i s te n t r yi s z e r o ( 4 1 ：t h ef i r s tr o wa n dt h ef i r s tc o l u m na r es t r i c t l yi n c r e a s i n g i fm = nt h e nr o t a t i n ga n dr e f l e c t i n gi nt h ed i a g o n a lw i l lg i v eu sd i f f e r e n t s q u a r e s i nt h i sc h a p t e r ，w i t h o u tl o s so fg e n e r a l i t y , w ec a nj u s tc o n s i d e rr e d u c e d s e m i m a g i cm a t r i c e s ( s q u a r e s ) i nw h a tf o l l o w s ，s e m i - m a g i cm a t r i c e sa r ea l w a y s r e d u c e ds e m i - m a g i cm a t r i c e su n l e s ss p e c i a l l yi n t e r p r e t e d f o rc l a r i t y , t h ee x - p o n e n t si n2 ：1 ，z nr e p r e s e n ta l ，a n ，w h i c ha r et h ee n t r i e so fs e m i m a g i c m a t r i xi nt h eg e n e r a t i n gf u n c t i o n s n o wl e tu sd i s c u s st h es e m i m a g i ca n dm a g i c s q u a r e so fo r d e r3 2 1 s e m i - m a g i cs q u a r eo fo r d e r3 i n 1 7 1 x i nc o n s t r u c t e da l lm a g i cs q u a r e so fo r d e r3 i nt h i ss e c t i o n ，w e w i l lg i v ea na n a l o g o u sc o n s t r u c t i o nf o rs e m i m a g i cs q u a r e so fo r d e r3 t h eb a s i c i d e ai ss i m i l a r ：w eu s em a c m a h o n sp a r t i t i o na n a l y s i sa n de l l 2 m p lt oo b t a i n t h ec o m p l e t eg e n e r a t i n gf u n c t i o na n dt h e ni n t e r p r e ti tc o m b i n a t o r i a l l y i nt h e m a g i cs q u a r ec a s e ，t h e r ea r eo n l y2 8s i m p l eg e n e r a t i n gf u n c t i o n s ，w h e r e8i s t h