（应用数学专业论文）依赖于状态的脉冲微分系统的稳定性.pdf

摘要 脉冲微分系统的理论已经渗透到许多领域，例如动力学，生物学， 信息科学等。本文主要利用l y a p u n o v 函数和比较原则来研究依赖于状 态的脉冲微分系统的稳定性问题。 全文共分为五部分，具体内容如下： 第一章，主要介绍了依赖于状态的脉冲微分系统的稳定性的国内 外研究现状及发展，并给出了以下几部分经常用到的符号和概念。 第二章，利用比较方法分析了依赖于状态的脉冲微分系统的一个 非平凡解的稳定性，并给出了一个例子来说明结论的有效性。 第三章，给出了依赖于状态的脉冲微分系统的关于两个测度的实 用稳定性的定义，利用依赖于状态的脉冲微分系统的一个新的比较原 则，结合比较方法研究了依赖于状态的脉冲微分系统的关于两个测度 的( 一致) 实用( 渐近) 稳定性，最后给出一个具体例子来说明该结果的 有效性。 第四章，给出了依赖于状态的脉冲时滞微分系统关于两个测度的 最终实用稳定性的定义，利用l y a p u n o v 函数和比较原则，得到了系统 关于两个测度的最终实用稳定性，一致最终实用稳定性，最终实用拟 稳定性以及一致最终实用拟稳定性的判定定理，并用直接方法研究了 依赖于状态脉冲时滞微分系统的一致实用稳定性。 第五章，总结，对以上几部分的内容作了简要的概述，并对本文 研究课题以后的工作进行了展望。 关键词状态依赖，稳定性，实用稳定性，最终实用稳定性，脉冲时滞 微分系统 a b s t r a c t t h et h e o r yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m sh a sb e e nl n v o l v e dm a n y f i e l d s ，f o re x a m p l e ：d y n a m i c s ，b i o l o g y ，i n f o r m a t i o ns c i e n c e s ，a n ds oo n i n t h i s d i s s e r t a t i o n ，l y a p u n o v f u n c t i o n sa n dc o m p a r i s o np r i n c i p l e a r e e m p l o y e dt os t u d yt h es t a b i l i t yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m s t h ed i s s e r t a t i o ni n c l u d e sf i v ec h a p t e r s ，w h i c hi s s u m m a r i z e da s f o l l o w s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h ec u r r e n tr e s e a r c hs i t u a t i o n sa n dd e v e l o p m e n t s o fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hv a r i a b l ei m p u l s i v ep e r t u r b a t i o n sa t h o m ea n da b r o a da r ei n t r o d u c e d ，a n ds o m ef u n d a m e n t a ls y m b o l sa n d c o n c e p t sa r ea l s og i v e n i nt h es e c o n dc h a p t e r ，b yt h ec o m p a r i s o nm e t h o d ，t h es t a b i l i t yo f i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hv a r i a b l ei m p u l s e si ss t u d i e d ，a n do n e e x a m p l ei sg i v e nt oi l l u s t r a t et h ee f f i c i e n c yo f t h er e s u l t s i nt h et h i r dc h a p t e r t h ed e f i n i t i o n so fp r a c t i c a ls t a b i l i t yi nt e r m so f t w om e a s u r e m e n t sf o ri m p u l s i v e d i f f e r e n t i a l s y s t e m s w i t hv a r i a b l e i m p u l s i v ep e r t u r b a t i o n sa r eg i v e n b yu s i n gan e wc o m p a r i s o np r i n c i p l e a b o u ti m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hv a r i a b l ei m p u l s i v ep e r t u r b a t i o n s ， t h ep r a c t i c a l s t a b i l i t yp r o p e r t i e s i nt e r m so ft w om e a s u r e m e n t s f o r i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hv a r i a b l ei m p u l s i v ep e r t u r b a t i o n s a le i n v e s t i g a t e d ，a n do n ee x a m p l ei sg i v e nt o i l l u s t r a t et h ee f f i c i e n c yo ft h e r e s u l t s i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，t h ed e f i n i t i o n so fe v e n t u a lp r a c t i c a ls t a b i l i t yf o r i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hv a r i a b l ei m p u l s i v ep e r t u r b a t i o n s a l e g i v e n b yu s i n gl y a p u n o vf u n c t i o n sa n dc o m p a r i s o np r i n c i p l e ，t h ee v e n t u a l p r a c t i c a ls t a b i l i t yp r o p e r t i e si nt e r m so ft w om e a s u r e m e n t sf o ri m p u l s i v e d e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e m s w i t hv a r i a b l ei m p u l s i v ep e r t u r b a t i o n s a r e i n v e s t i g a t e d ，a n db yu s i n gd i r e c tm e t h o d ，t h ep r a c t i c a ls t a b i l i t yp r o p e r t i e s i nt e r m so ft w om e a s u r e m e n t sf o ri m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t h v a r i a b l ei m p u l s i v ep e r t u r b a t i o n sa r eg i v e n i nt h ef i f t hc h a p t e r ，c o n c l u s i o n ，t h eb r i e fs u m m a r i z e sf o rt h ea b o v e s e c t i o n sa r ep r e s e n t e d ，a n dt h eo u t l o o k sa b o u tt h ei s s u ei nt h i sd i s s e r t a t i o n a l ed e v e l o p e d k e yw o r d sv a r i a b l e i m p u l s i v ep e r t u r b a t i o n s ，s t a b i l i t y ，p r a c t i c a l s t a b i l i t y ，e v e n t u a lp r a c t i c a ls t a b i l i t y ，i m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e m s i i i 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共 同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：互盔整日期：2 丝年月盈日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文，允 许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容， 可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科学技 术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并 通过网络向社会公众提供信息服务。 硕士学位论文第一章绪论 1 1 问题产生的背景 第一章绪论 脉冲微分系统的理论研究始于2 0 世纪6 0 年代m i l m a i lvd 和m y s h k i sad 的 工作，近年来，脉冲微分系统的理论研究得到了较大的发展。到8 0 年代，已经有 很多优秀的成果，例如，关于依赖于状态的脉冲微分方程解的基本定理的建立； 关于脉冲微分不等式的一些结果的出现；关于脉冲微分方程稳定性的基本理论的 得到等。但是这些研究的对象都是不含时滞的脉冲微分方程，由l a k s h m i k a n t h a mv ， b a i n o vdd 与s i m e n o vps 三人所著的t h c o r yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ) ) 一书 1 对这一阶段的成果进行了系统的总结，标志着脉冲微分方程的理论已经基 本形成。到9 0 年代，广大学者在脉冲微分理论的基础上对该方面的理论进行完善， 在这期间，大多数文献都是关于固定时刻的脉冲微分系统。在固定时刻脉冲微分 系统的稳定性方面，研究的范围主要从两个方面向外进行扩展：一是系统方面的拓 广，例如：脉冲摄动微分系统( 见文 2 ，3 】) ，脉冲混合系统( 见文【4 ，5 】) ，脉冲泛函微 分系统( 见文【6 2 3 ) 等等，其中以脉冲泛函微分系统的研究比较热门；二是稳定性 概念方面的推广，因为一般的稳定性的吸引域太小，有的时候在实际应用中并不 实用，所以有了实用稳定性的概念，实用稳定性的吸引域可以是一个区域，在实 际应用中比较重要( 见文 2 4 2 8 ) ，还有指数稳定性( 见文 2 9 3 3 ) ，全局稳定性( 见 文【3 4 】) ，严格稳定性( 见文 6 ，2 4 ，2 5 ，2 7 ，3 5 ) 等等。另外在脉冲微分系统的研究方面， 已经推广到了二阶脉冲微分系统的研究( 见文 3 7 4 4 】) 。 对于脉冲微分系统来说，依赖于状态的脉冲微分系统比固定时刻的脉冲微分 系统更具一般化，与现实生活中的系统更接近，但是因为系统与脉冲面的碰撞时 刻与碰撞次数的不确定，所以研究起来具有一定的难度，因此这一方面的研究结 果不是很多。在文 4 5 ，4 6 中，作者对依赖于状态的脉冲微分系统解的存在性问题进 行了研究；文【2 6 ，4 7 t i 开究t 依赖于状态的脉冲时滞微分系统的实用稳定性以及一致 李普希兹拟稳定性；文 4 8 5 1 在假设系统与脉冲面的碰撞次数为一次的前提下对 脉冲微分系统的稳定性问题进行了研究；文 5 2 1 在系统与脉冲面碰撞次数为多次的 前提下建立了依赖于状态的脉冲微分系统的一个新的比较原理，并对其稳定性问 题进行了讨论。2 0 0 5 年，傅希林等所研究的脉冲微分系统引论 5 3 】一书对这方 面的工作进行了较详细的总结。 脉冲微分系统这一研究领域极具吸引力和挑战性。在理论上，它综合了连续 和离散系统的特征，但又超出了连续和离散系统的范围。近3 0 年来，尽管取得了 硕士学位论文 第一章绪论 大量的研究成果，但亟待解决的问题还有很多，尤其是依赖于状态的脉冲微分系 统，因其问题之复杂，研究难度之大，目前所得的结果甚少，因此极具广阔的研 究前景。 脉冲微分系统最突出的特点是能够充分考虑到瞬间突发现象对状态的影响， 能够更深刻、更精确的反应事物的变化规律。因此，随着科学技术的突飞猛进， 人们越来越认识到脉冲微分系统的重要性以及在实践中的应用价值。脉冲微分系 统不但深入到自然科学当中，如航天技术、信息科学、控制系统、通讯、网络、 生态平衡、遗传、流行病等；也涉及到社会科学，如利率控制问题、商业销量问 题、工业生产管理等。总之，科学和技术的许多领域的变化规律都可通过脉冲微 分系统来刻画和描述。 此外，与一般无脉冲的微分系统相比较，脉冲微分系统理论研究的内容极为 丰富。例如，即使给定的方程是充分光滑的，如果加上脉冲后，它的初值问题的 解也可能是不存在的；对于微分方程成立的解的一些基本性质如解对初值的连续 依赖性等也可能不再成立；解的稳定性的性质也需要重新建立等等。所以无论是 脉冲微分系统理论研究，还是脉冲微分系统在各个领域中应用，都将有极为广阔 的前景。 下面介绍文章中的模型及历史背景： 一、依赖于状态的脉冲微分系统的非平凡解的稳定性 对于固定时刻的脉冲微分系统的非平凡解，它可以通过平移变为系统的平凡 解，所以研究固定时刻的非平凡解的稳定性的问题可以转化为平凡解的稳定性问 题。固定时刻的脉冲微分系统的平凡解的稳定性问题已经有许多好的结果。在文 1 】 和文 5 3 1 中都对以下系统 r i x = f ( t ，x ) ，t t k ， a x = 厶【x ) ，t = t k ， i，、 ix i j - 峋， 用直接分析的方法和比较原理对其稳定性进行了研究。其中 ( 1 ) 0 乞 缸 ，且当k 寸0 0 时，& 一0 0 ， ( 2 ) f ：r + x s ( p ) - - , r , 厶：s ( p ) 一彤，厂在( t k - l , t , j s ( p ) 上是连续的， s ( p ) = p r n , i x l p ) 但是对于依赖于状态的脉冲微分系统的非平凡解而( f ) 不能通过平移变为平凡 解，这是因为而( f ) 的脉冲影响和它邻域中的一个解x ( f ) 的脉冲影响不一定相同， 所以研究依赖于状态的脉冲微分系统的非平凡解的稳定性有重要的意义。在【l 】中 2 硕士学位论文 第一章绪论 作者给出了依赖于状态的脉冲微分系统的一个非平凡解的稳定性的定义，并户日直 接分析的方法给出了系统 i x = ，( f ，x ) ，f 靠( x ) ， a x - - ! k ( x ) ，f 2 靠( 工) ， ( 1 1 ) 【x ( 牙) = 而， 的非平凡解稳定的充分条件。同时，在文f 1 1 中作者还利用系统( 1 1 ) 的比较系统 卜g ( m ，吐盘，乏 ， 怍+ ) = ( “( 垒) ) ， ( 1 2 ) 【“( 牙) = o ， 建立了系统( 1 1 ) 和系统( 1 2 ) 的一个比较定理一个很自然的想法是：能否利用文 1 】 给出的比较定理( 见第二章的引理2 2 1 ) 来建立系统( 1 1 ) 与系统( 1 2 ) 之间的稳定性 关系? 也就是说，有别于文【1 】所使用的直接方法，能否通过比较方法，重新建立 系统( 1 1 ) 的非平凡解稳定性的判定条件? 二、依赖于状态的脉冲微分系统的实用稳定性 1 9 8 8 年，m a r t y n y u k 对一类混合系统给出了它的实用稳定性的条件；1 9 9 0 年， l a k s h m i k a n t h a m ，l e e l a 和m a r t y n y u k 在他们的著作( p r a c t i c a ls t a b i l i t yo fn o n l i n e a r s y s t e m ) ) 中首次系统的研究了实用稳定性的理论。在研究非线性系统的稳定时， 常常会遇到样的情形，由于实际条件的限制，一个具体的系统在严格意义上来说 是不稳定的。但当初值有界时，该系统的解从初始时刻开始在一定范围内变化， 比如，飞机、卫星、宇宙飞船等航天设备的运行轨道，虽然从数学角度来分析可 能是不稳定的，但它们却能够沿着预先设计的轨道飞行。此时从实际角度来看， 我们可以认为这些系统是稳定的，这便是实用稳定性的由来。另外，关于两个测 度的稳定性的研究，它统一了许多不同类的稳定性的概念。 对于固定时刻的脉冲微分系统的关于两个测度的实用稳定性的文献已有一些 结果( 见文 5 3 】) ，在 5 3 】中作者系统的介绍了以下固定时刻的脉冲微分系统 l x 。= 厂( f ，石) ，t t k ， a x = 厶( f ，x ) ，t = t k ，( 1 3 ) k ) 哳 一 的关于两个测度的实用稳定性的一些定理，作者主要用直接分析的方法证明了该 系统的一致稳定性和一致实用稳定性。 3 硕士学位论文 第一章绪论 在文 5 6 中作者利用变异l y a p u n o v 方法，讨论了系统( 1 3 ) 的关于两个测度的 稳定性的判定定理，且得到了关于用常微分系统的稳定性来判定系统( 1 3 ) 的稳定性 的若干结果。 对于依赖于状态的脉冲微分系统的实用稳定性的研究还不是很多，在文 5 2 】 中作者研究了下列依赖于状态的脉冲微分系统 p = 厂( “) ，f 靠( x ) ， 缸2 厶( x ) , t = r k ( x ) ， ( 1 4 ) l x ( 牙) = x o ， 其中厂：矿r 玎_ 彤，厶c 矿r nr 押 ，r k c r n , r + ，靠( x ) t o , f ， 缸= 厶( x ) , t = t k ， ( 1 6 ) lj ( + f ) = 缈( f ) ，f 卜盯，o 】， 其中t o ，o r = c o n s t ，厂c r + xq q ，r 甩 ，q c 是包含原点的一个域， 4 硕士学位论文第一章绪论 x t = l i r a ，专f + 石( s ) ，戈t 一) = l i m 。斗，一x ( j ) o = t o 如 t o ，f 靠( x ) ， a x = 厶( 工) ，f2 靠( z ) ，岛o ，k = 1 ，2 ，3 ， ( 1 8 ) x ( t ) = q o o ( t ) ，f 【t o 一盯，岛】， 其中t o r ，f ：( t o , o o ) x f l x d _ r 刀， c r n 是包含原点的一个域， 厶：q c 7 r 开， ：q 专( 岛，o o ) ，k = l ，2 ，c t o 一仃，】，q ，缸o ) = z o + o ) 一石( f o ) ，o - 0 以及( 1 8 ) 的比较系统 “= g ( f ，“) ，t t o ，t ， “( 气) = 以( “( 气) ) ， ( 1 9 ) u ( t o + o ) = ， 得到了由系统( 1 9 ) 的实用稳定性来判定系统( 1 8 ) 的实用稳定性的相关结果。其中 g ：( t o , o o ) g 专r m ，以：g 寸r my k = 1 ，2 ，g 是中含原点的一个域。 受到文 8 和 2 6 】的启发，我们能不能利用比较原理来得到由系统( 1 9 ) 的最终实 用稳定性来判定系统( 1 8 ) 的最终实用稳定性的相关结果，或者我们能不能用直接分 析的方法得到系统( 1 8 ) 的实用稳定性的一些判定定理? 1 2 本文的主要工作 本文针对脉冲微分系统的研究现状，以及上面提出的若干问题展开分析讨论， 主要工作如下： 5 硕士学位论文 第一章绪论 f 工；( 厶曲，f 靠( z ) ， a x = i k ( x ) = r k ( x ) ， 【工( 引= 知， 的一个非平凡解的稳定性。其中厂c r + r ”，r “ ，致c 1r 席，( o ，) ， 厶c r n , r 一 ，且靠满足靠( x ) t o , t = 靠( x ( z ) ) ， i 工( f ) = ( f ) ， 其中f ：( f o ，o o ) x f l x f 2 专r 露，qc 戤是包含原点的一个域， ：a - ( t o ，o o ) ， k = l ，2 ，厶：q j r 库，缸( f ) = 工( f + o ) 一z ( f o ) ，盯 o ，c 【f o 一盯，岛】，q ，且 l i 擘, o l l = s u p 愀吼 在研究过程中，利用比较定理得出了由系统( 1 9 ) 的最终实用稳定性推得系统 ( 1 8 ) 的关于两个测度的最终实用稳定性的相关结果，且用直接分析的方法得出了系 6 硕士学位论文 第一章绪论 统( 1 8 ) 的关于两个测度的一致实用稳定性的定理。与文 8 】中的定理相比较，我们 的定理将最终实用稳定性的定理推广到了依赖于状态的脉冲时滞微分系统，是文 8 】 中的定理推广，当系统( 1 8 ) 中的脉冲时刻是固定时刻时，我们的定理即变为文【8 】 中的定理：与文 2 6 】中的定理相比较，我们的定理将实用稳定性的概念推广到了最 终实用稳定性，很明显这也是文 2 6 的定理推广。 1 3 通用符号 征本又甲以卜衍亏是遇用的： = 沁x ) r + 尺n ，f = 缸( x ) ) ，k = l 2 一 q = x ) r + r n ：r k _ l ( z ) f 靠( x ) ，o = u o 七 僻= ( f ，x ) r + r 以：靠一( x ) f 靠( 工) ) ，g 。= u 雠 k = d e c 矿，矿 ：口( “) 关于“严格递增，且口( o ) = o ) = y ：r + r 以专尺+ ，在每个q 上连续，关于满足局部，勿s c h i t z 条f 牛， 1 且对v ( 缸，z ) & ( 后= l ，2 ，) ，“y j l l i m j v ( 厶y ) = y ( 砖，x ) 存在 r = h c 尺+ r 露，r + ：i n fh ( t ，石) = o p = h c 矿，矿 ：矿，i n f x h ( t ，z ) = o ) b = h c 硭，矿 ：如，i n f j h ( t ，x ) = o ，易= 【一a , o o ) s ( h ，p ) = ( f ，x ) r + 尺“，h ( t ，工) o ，使得v se ( t ，万) ，一定有5 o ( x ( s ) ) ； 则称工( f ，t o ，动) 是系统( 1 1 0 ) 的解。 定义1 4 2 最大解的定义 考虑系统 卜g ( m r 诺b 弭 怍+ ) = 收( “( 垒) ) ， ( 1 1 1 ) 【“( 右) = u o 0 , 其中g ：0 0 ，) d r 棚，以：d r m , k = 1 ，2 ，dcr 朋是包含原点的一个域， u o d ，t o ( v ) ，“，v d ； 硕士学位论文 第一章绪论 ( 2 ) 当“1 ，时，( ”) 矽( v ) ，”， ，d 则称在d 上是单调递增的。 定义1 4 4 拟单调增的定义 若函数g ：( 岛，) d 寸r 历满足 g yt ，”) g ，( f ，v ) ，当“_ ，= 巧，u i 吩，i = 1 ，2 ，m ，f _ ，( f ，“) ，t ，v ) ( f o ，o o ) o ， j = 1 ，2 ，m 则称函数g 是拟单调增的。 定义1 4 5 考虑下列系统 ( 1 1 2 ) 其中g c r + r ，r ，c r ，r 】，r o t o 鱼i 垒乏 - - 一t k ，牌= 鸭 则系统( 1 1 2 ) 的解是如下定义的 甜( f ，t o ，) = u o ( t ，t o ，“o ) ，t o f 鱼， u l ( t ，i ，对) ，i r 垒， ( r ，乏，砖) ，乏r 虹， 其中( f ，i ，砖) 是“。2 9 ( f ，“) 的解，砖= ( 一。( 盘，一t k _ l ，喀。) ) ，一。 t t k 9 一坼踮 叱咄吨岍计m 硕士学位论文第二章依赖于状态的脉冲微分系统的稳定性 2 1 引言 第二章依赖于状态的脉冲微分系统的稳定l 生 在许多实际问题中，会遇到非常复杂的运动过程，表达运动规律的函数往往 不能直接得到，但是如果根据问题所给的条件，有时可以得到含有自变量与未知 函数及其导数( 微分) 的关系式，这样的关系式就是微分方程。例如：物体做自由 落体运动时，所经过的路程与时间的关系式。很明显，这类问题所涉及的运动过 程是光滑的，然而，自然界及科学技术中的许多过程具有这样的特点：在发展的某 些阶段，由于受到一定的干扰，会出现快速的变化，并且干扰及突变过程同整个 发展过程相比是非常短暂的，可以认为是瞬间发生的。这类问题在数学模拟中， 为了方便，常常忽略快速变化持续的时间而假设这个过程是瞬间完成的，这种现 象通常称为脉冲现象。因此像这样存在脉冲现象的发展过程及数学模型往往归结 为脉冲微分系统，即需要用脉冲微分系统来描述和研究。 脉冲微分系统按脉冲时间可以分为具有固定时刻的脉冲微分系统和具有非固 定时刻的脉冲微分系统即依赖于状态的脉冲微分系统。具有固定时刻的脉冲微分 系统的研究已经有许多好的结果，而具有依赖于状态的脉冲微分系统的结果还很 少。 对于固定时刻的脉冲微分系统的非平凡解，它可以通过平移变为系统的平凡 解，所以研究固定时刻的非平凡解的稳定性的问题可以转化为平凡解的稳定性问 题。固定时刻的脉冲微分系统的平凡解的稳定性问题已经有许多好的结果。在文 1 】 和文 5 3 d p 都对以下系统 r i l = ( t ，x ) ，t ， a x = 厶( x ) ，t = k ， i x ( 引= x o ， 用直接分析的方法和比较原理对其稳定性进行了研究，其中 ( 1 ) 0 乞 缸 o t9 且当k 专时，t k _ ( 2 ) f ：r + s ( p ) 一，厶：s ( p ) 斗，f 在( t k - l , 】s ( p ) 上是连续的， s ( p ) = x e nh p 但是对于依赖于状态的脉冲微分系统的非平凡解峋( f ) 不能通过平移变为平凡 1 0 硕士学位论文第二章依赖于状态的脉冲微分系统的稳定性 解，这是因为而( f ) 的脉冲影响和它邻域中的一个解x ( f ) 的脉冲影响不一定相同， 所以研究依赖于状态的脉冲微分系统的非平凡解的稳定性有一定的意义。在 1 中 作者给出了依赖于状态的脉冲微分系统的一个非平凡解的稳定性的定义，并用直 接分析的方法给出了下列系统 p = 厂( f ，x ) ，f 靠( x ) ， 缸= ( 工) ，f = f i r ( x ) ， ( 2 1 ) i x ( 牙) = x o ， 的一个非平凡解的一致稳定性的判定定理。同时，在文【1 中作者还利用系统( 2 1 ) 的比较系统 = g ( 细) ，tt t k ，i ， ( i + ) = ( “( 垒) ) ， ( 2 2 ) ( t o ) = u 0 o ， 建立了系统( 2 1 ) 和系统( 2 2 ) 的一个比较定理。 本章主要研究了依赖于状态的脉冲微分系统 r i 工。= f ( t ，x ) ，t r k ( x ) ， 缸= ( x ) ，t = 靠( x ) ， l x ( 牙) = x o ， 的一个非平凡解嘞( f ) 的稳定性，其中厂c r + xr n ，r ” ，靠c 1r n , ( o ，o o ) ， 厶c r n , r ” ，n r k 满足= r k ( x ) r k + - ( x ) ，且对帆r 刀，2 a m 。f k ( x ) = 在讨论过程 中，利用比较定理得出了由系统( 2 2 ) 的稳定性来判定系统( 2 1 ) 的一个非平凡解的稳 定性的定理。该定理与文 1 】中的用直接方法来证明系统( 2 1 ) 的稳定性定理相比较， 我们的定理可以推得文【1 】的定理，但是文 1 的定理不能推得我们的定理，所以我 们的定理推广了文【1 】中的定理。 2 2 基本知识 考虑依赖于状态的脉冲微分系统 硕士学位论文 第二章依赖于状态的脉冲微分系统的稳定性 x = f ( t ，x ) ，t r k ( x ) ， a x = 厶( 功，t = ( x ) ， x ( 牙) = ， 的解( f ) 的稳定性，其中 厂c r + r 刀，r ” ，靠c 1r 一，( o ，) 以c e r 露, r 露 ，且k 满足靠( x ) o , r o ，t o r + ，存在, 多- - 6 ( 1 0 ，g ，刁) 0 ，满足当 i 嘞- y o i o ，r o ，t o ，存在磊= 万( ) 和r = r ( t o ，s ，刁) o 满足 当j 嘞- y o i 磊时，有 l x ( t ) - x o ( t ) 占，对f 岛+ 丁和卜讣，刁 ( 4 ) 一致吸引，当( 3 ) 中的万和r 与无关。 ( 5 ) 渐近稳定的，如果( 1 ) 和( 3 ) 同时成立。 ( 6 ) 一致渐近稳定的，如果( 2 ) 和( 4 ) 同时成立。 在本文中，我们总是假设以下条件成立 1 2 硕士学位论文第二章依赖于状态的脉冲微分系统的稳定性 ( 4 ) i ( f ，x ) i c ，t , x ) r + s ( 而，p ) ，其中s ( 而，p ) = x 尺n ，b - x o l 0 ( 4 ) 当( f ，工) r + s ( 嘞，p ) 时，对所有的七 a r k ( x ) f ( t ，工) o ，且l 吒( 工) 一靠( y ) iml x - y ，m 0 ( 鸣) v ec r + 尺刀，r + ，r ( t ，x ) 关于石是局部l i p s c h i t z 的。 当( f ，x ) 矿s ( x o ，p ) 时， d + r ( t ，x - x o ( t ) ) - g ( t ，r ( t ，x 一( f ) ) ) ，t ：t k ，f ( x ) ， v ( t ，x - y + i i 。( x ) 一 ( j ，) ) 以( v ( t ，x - y ) ) ，f = 靠( z ) ，t ：r k ( y ) ， 其中以k , g c 尺+ 尺+ ，灭 ( 4 ) y ( f ，x ) 关于f 非增，b ( i x l ) v ( t ，x ) 且 y ( f ，x ) - v ( t ，y ) i o ，满足当i “o l o 和r = 丁( ，占) ，当 l u o l 0 ，o e m i n p 3 ，r l 2 n k ，存在万( 岛，s ，刁) = a ( 8 ( t o ，g ，7 ) ) ，当 l u o i 口( 万) 时，有 i “( f ) i t o ( 2 3 ) 我们设x ( f ) = x ( f ，t o ，x o ) 是系统( 2 1 ) 在l x o 一蜘i t o 的一个解，它与脉冲 面瓯在，k = 1 ，2 ，处碰撞。 令垒= m i n ( ，t k ) ，i = m a x ( ，) 由条件( 1 ) 可得 y ( f ，x o 一) 口( i - y 0 1 ) ，令1 1 0 = 口( 1 - y 0 1 ) ， 所以r ( ，x o - y o ) t o ，满足i f + + l ，对某些固定的f 有， ( 2 4 ) i x ( r 。) 一嘞( r 。) i = d g ，且l x ( r ) 一而( r ) i s ，t o , t 、电( 盘，i ，七 ，( 2 5 ) 对卜( 垒+ ) 一确( 盘+ ) l 进行估计， 当t k = t k 时， l 石( 盘+ ) 一( 垒+ ) l = i x ( 礞) 一嘞( 气) i 当气= t k 时，气= ， + ) 一嘞( f ) l 下面我们证明： 对1 k i ，有 采用反证法： = i x ( ) + 厶( x ( k ) ) 一( 缸) i 卜( t k ) - - x o ( t k ) + i i k ( x ( 气) ) l s + p 3 2 p 3 ， ( 2 6 ) 卜( t j ) - - x o ( t k ) + i k ( x ( 气) ) 卜占+ p 3 2 p 3 ( 2 7 x ( f ) 一嘞( f ) i 2 p 3 ，f ( 盘，i 如果上式不成立，则一定存在f 。( 盘，i ，满足 1 5 ( 2 8 ) 硕士学位论文第二章依赖于状态的脉冲微分系统的稳定性 。) 一( t 。) l = 2 p 1 3 ，且) 一而( ，) i 2 p l3 ，z ( 垒) ， 由条件( 4 ) 和( 2 5 ) ( 2 6 ) 及引理2 2 1 得， b ( 2 p 3 ) = b ( i x ( 尸) 一峋( 严) i ) 矿( 以x ( r 。) 一知( r 。) ) ，( 以x ( f o ) 一而( f j d ) ) 6 ( s ) ， 所以2 p 3 占，这与0 占 p 矛盾，所以( 2 8 ) 式成立。 由( 2 ) 和( 2 8 ) 得， x ( i + ) 一峋( i + ) i i x ( i ) 一x o ( 7 , ) l + p 3 p ， 所以工( i + ) s ( 而，p ) f l 了( 2 5 ) 和( 2 9 ) 得，存在t ，i t f + ，满足 s d =抖t ) t ：c ，且i c ( ，) - ，c 。( r ) i ：。- ，re j z 。，； ， 利用引理2 2 1 和条件( 4 ) 及( 2 3 ) 得， 6 c s ，6 ( i 工( ；) 一峋( ；) 1 产生矛盾，所以式( 2 5 ) 不成立。 矿( ；，工( ；) 一两( ； ) ，( ；，岛，“。 6 c s ， 从而i 工( f ) 一( f ) i s ，f 岛，f 萑( 盘，i ，k =