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摘要 关于平面构形特征多项式的研究 摘要 本文主要应用代数与几何的方法，在d g a r b e r 等研究的三维向 量空间中中心构形分类基础之上，根据超平面构形的特征多项式这一 重要的组合不变量，对三维向量空间中平面个数为5 的平面构形进行 了分类，得到以下结论。 三维向量空间中，若用特征多项式分类，则由5 个平面构成的平 面构形可分为2 2 类。其中中心构形有5 类，非中心构形有1 7 类。 对平面个数不多于4 的构形有类似的结论。 本文深入研究了几类平面构形，主要利用解锥的方法，将平面中 心构形的图形转换为射影图，方便快速地求得构形的特征多项式。通 过计算分析构形的特征多项式，得到一类简单平面构形的特征多项式 通向公式，以及几个棱锥、棱柱的特征多项式公式，方便了以后对此 类构形进一步的研究分析。 对于图构形( 包含一般图构形和符号图构形) ，本文主要应用删 除一限制定理得到图构形的着色多项式，通过计算归纳总结图形规律 的图构形的特征多项式，得到结论：k 个n 边形( k ：4 ，n = 6 时如图 4 1 ( 3 ) 所示) 依次相连构成的图构形的特征多项式为 同时将图构形的删除一限制定理推广到符号图构形，得到了类似的结 北京化1 = 人学颂j 学位论文 论： k 个，z 边形依次相连组成符号图构形( 其中每一条边均为双边， 每一点上均有一半边) 的特征多项式为 n - ! ( t - 1 ) ( t - 3 ) e ( 一1 ) 7 2 7 2 0 一3 ) ”一+ ( 一1 ) “2 ”一2 】。 关键词：平面构形，特征多项式，图构形，着色多项式，分类 摘要 t h ec h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a l so fp l a n e a r r a n g e m e n t s a b s t r a c t i nt h i s t h e s i s ，u s i n g t h ea l g e b r a i c g e o m e t r i cm e t h o d ，w es t u d y c h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a lo fp l a n ea r r a n g e m e n t si nt h r e ed i m e n s i o n a l v e c t o rs p a c e f i r s t l y , w ec o m p u t e t h ec h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l s o f p l a n e a r r a n g e m e n t sb yt h ed e c o n i n gc o n s t r u c t i o no ft h ea r r a n g e m e n t s w e o b t a i nt h eg e n e r a lf o r m u l ao ft h ec h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a l so fac l a s s p l a n ea r r a n g e m e n t ，a n dt h eg e n e r a lt e r mf o r m u l a so fs i m p l ep y r a m i da n d p r i s m s e c o n d l y , w e t h ec l a s s i f yp l a n ea r r a n g e m e n t sw i t ha tm o s t5p l a n e s b yt h ec h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a l w eg e t5c l a s s e so fc e n t r a lp l a n e a r r a n g e m e n t sa n d l7c l a s s e so fn o n c e n t r a lp l a n ea r r a n g e m e n t s t h i r d l y , u s i n gt h ed e l e t i o n c o n t r a c t i o nt h e o r e ma n dg e n e r a l i z e dt h e d e l e t i o n - c o n t r a c t i o nt h e o r e mt ot h es i g n e dg r a p h i ca r r a n g e m e n t s ，w e c a l c u l a t et h ec h r o m a t i cp o l y n o m i a l so fg r a p h i ca r r a n g e m e n t si n c l u d i n g s i m p l yg r a p h i ca r r a n g e m e n t sa n ds i g n e dg r a p h i ca r r a n g e m e n t s s o m e g e n e r a lf o r m u l a so fg r a p h i ca r r a n g e m e n t sa r ef o u n d 北京化丁人学硕 ：学位论文 k e yw o r d s ：h y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t s ，c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l ， g r a p h i c a la r r a n g e m e n t s ，c h r o m a t i cp o l y n o m i a l ， d e l e t i o n - c o n t r a c t i o n ，c l a s s i f i c a t i o n 1 v 北京化工大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：垒王全日期： 兰聋：兰：三! 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京化工大学有关保留和使用学位论文 的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北 京化工大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 保密论文注释：本学位论文属于保密范围，在土年解密后适用 本授权书。非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授 权书。 作者签名： 导师签名： 套了令 日期： 日期： 第一章绪论 第一章绪论 本章介绍了问题的引入、超平面构形的基础知识、已有结果以及本文的主 要结论。下面我们详细了解一些超平面构形的基本概念结论以及一些习惯术语。 1 1 问题的引入 超平面构形是近几十年来受到国际数学晃广泛关注的研究领域之，其研 究涉及到代数、组合、拓扑、分析等方面的知识，并对这些学科的发展提供了 很好的范例。 超平面构形【1 2 7 1 有许多组合不变量，其中主要有余集区域的个数，_ ( 彳) ，余 集有界相对区域的个数6 ( 彳) ，庞加莱多项式z r ( 4 ，t ) ，特征多项式z ( - 4 ，t ) 等，它 们之间存在一定的关系，r i c h a r dps t a n l e y 给出 厂( 彳) = j r ( 彳，1 ) = ( 一1 ) “z ( 彳，- 1 ) ，6 ( 彳) = 万( 彳，- 1 ) = ( - 1 ) “卅z ( 彳，1 ) 。 如果构形是实构形，我们知道厂( 彳) 和6 ( 彳) 由交偏序集【2 8 】所决定。众所周之， 特征多项式是超平面构形的一个重要的组合不变量，对其研究有助于进一步的 理论探讨。计算一个超平面构形的特征多项式，有许多方法可以得到，p e t e ro r l i k 和h i r o a k it e r a o 在文献 1 】中给出一定义，r i c h a r dp s t a n l e y 在文献【2 】中给出另 一表达式。k m f a n 7 墙】研究了平面中7 直线构形以及余集基本群问题，g a r b e r d 、t e i c h e rm 和v i s h n eu 【3 】共同研究了实构形中不多于8 直线的构形的分类问 题。鉴于此，我们提出问题：三维向量空间中平面构形是否也可进行分类? 因 此对于三维向量空间中的平面构形，首先对平面系数矩阵的秩进行分类，然后 对中心构形通过解锥方法将其转化为二维平面中线构形，非中心构形则需要画 出平面构形的位置关系，根据特征多项式定义可以求得平面构形的特征多项式。 我们尝试了求从1 个平面到5 个平面构形的特征多项式，且成功地根据其特征 多项式进行分类。 r i c h a r des t a n l e y 1 3 】对c o x e t e r ( 考克斯特) 构形及其变形做了深刻研究， z a s l a v s k y 和s a g a n 4 卅等对w e y 构形、图构形、符号图构以及构形的自由性等 进行也有人研究了一些特殊的超平面构形，例如a l e x a n d e rp o s t n i k o v 和了研究。 本文也将对图形【2 9 】有规律的图构形的着色多项式进行了研究，同时将删除一限 制f l 】定理扩展到符号图构形中，从而得到类似图构形的结论。 北京化丁人学硕l ：论文 1 2 超平面构形的基础知识 设n 维向量空l 可矿中余维数为1 的仿射子空间称为v 中的一个超平面 ( h y p e r p l a n e ) ，记为，y 中有限个超平面的集合称为y 中的超平面构形 ( a r r a n g e m e n to f h y p e r p l a n e s ) ，记为彳= q ，皿，以) ，简称构形。若构形彳 中所有超平面的交非空，则称彳为中心构形，否则称为非中心构形。中心构形 与非中心构形统称为仿射构形1 翻。设构形彳= h 。，峨，耳 为空间v 上的- - 个构形，包含p 个超平面。记m = 科一uh 为超平面构形的余集，且令 e 彳 r ( a ) = 栉r ( 彳) ，其中r ( 彳) 表示空间矿被超平面所分的区域( 记为房) ，# r ( - 4 ) 表示空间v 被超平面所分的区域的个数；6 ( 彳) 表示空间v 被超平面所分的相对 有界区域的个数。 设尸为偏序集，若对任意五y p ，子偏序集弘尸：z 瘌z y ) 恒有最小 y b x vy p ( 称为石和y 的并0 0 i n t ) ) ，并且子偏序集 z p ：z 瘌z y ) 恒有最 大元石ay p ( 称为石和y 的交( m e e t ) ) ，则( ( p v ， ) ) 称为一个格( 1 a t t i c e ) t 2 8 1 。半 交格是任意两个元素都有交的偏序集，对偶地，并半格是任意两个元素都有并 的偏序集。如果一个有限交半格p 有唯一的最大元i ，则p 为格；对偶地，如 果一个有限并半格p 有唯一的最小元6 ，则p 为格。记集合 n 也n n 以io k p ，n i ln 心f q n 圾f 2 j ，1 之 p ) 为( 彳) ，其中k = on ，表示空间y ，即( 彳) 为彳的所有子集之非空交的集 合。在三上定义一个偏序关系：x y 铮x2 2 ) y ，则( 彳) 为构形彳的交偏序 集。设彳为超平面构形，则三( 彳) 是交半格，特别地，交偏序集三( 彳) 的每一 个区问i x ，y 】都是格。如果构形为中心构形，则三( 彳) 为格。 设构形彳的交偏序集为( 彳) ，定义m o b i u s 函数m 1 = l xl 专z 为 2 第一章绪论 当彳三， 当x ，y ，z l 且x 】， 其它情况。 m o b i u s 函数的一个重要应用是m o b i u s 函数反演公式。设集合p 为偏序集，其 中偏序为。若p 有唯一的极小元，记为6 = 6 p ；若有极大元，记为i = i 尸。设，( p ) 为向量空间所有的函数f ：i n t ( p ) 一q 。记f ( x ，y ) 为厂( 【五纠) ，对，g ，( 印， 定义乘积詹，( p ) ：f g ( x ，少) = f ( x ，z ) g ( z ，y ) 。易见乘积使得，( 尸) 为结合q 一 代数，其中单位元为万( 五j ，) = 苫二三二。定义尸的髭妞函数f ，( 一：对p 中 所有的x y ，q ( x , y ) = 1 。显然m o b i u s 函数是，( p ) 中的元素。的定义是 等价与，( 尸) 中f = 万，因此在，( p ) 中= f 。下面看一下m o b i u s 函数反演定 理。 设p 为有限偏序集，m o b i u s 函数为，设f ，g ：p 专k 。则对所有x p 厂( 工) = g ( y ) 营g ( 力= ( z ，y ) 厂( y ) ， 厂( x ) = g ( y ) g ( x ) = ( 五y ) 厂( j ，) 。 若设f 为变量，定义庞加莱多项式为万( 彳，f ) = ( x ) ( 一f ) 州，从而我们可以定 义构形彳的特征多项式为x ( a ，f ) = f 万( 彳，一f 一) = 2 ( x ) t 8 叫x 设彳为，z 维向 量空间的一个超平面构形，则构形的另一定义为z a ( t ) = ( 一1 ) 糟t ”枞肋，其 中取遍彳中所有的中心子构形h 1 。若设彳为三维向量空间的构形，i 彳i = ，z ， 此构形的特征多项式表示为肠( f ) = f 3 - n t 2 + 垅。f 一，则有 r n 。=( - - 1 ) 8 ，m o = 一 ( 一1 ) 8 。 器c 4 r a n k ( h ) = 2墨c 一4 。r a n k l 2 ) ) = 3 若6 ( 彳) 表示余集相对有界区域的个数，则n 16 ( 彳) = ( 一1 ) ”州彳z ( 彳，1 ) 。若彳为 中心构形，则有1 - n + m l - m o = 0 。 4 却 卸 ) ) 柳 动 ” 以 丘 置 比 从 从 y丛胜 厂，、l 北京化t 人学硕l 论义 1 3 已有的重要结果 在三维向量空间中，l ( f t ) 为平面构形彳的相交格n 一3 。设x ( 彳) 且 心( x ) = 2 。若l 忍l = f ，则称x 为f 重线。设x ( 彳) 且以( x ) = 3 。若l 屏l = f ， 则称x 为i 重点。显然有m l = l x2 重线个数+ 2 x3 重线个数+ + ( 后一1 ) xk 重线 个数+ 。若m 重点个数为n ，记为m ”。 定理【3 1 二维向量空间中中心构形直线的条数小于等于8 时，根据射影图中重点 的个数可分类依次为 ( 1 ) 2 】( 两个平面) ； ( 2 ) 3 1 】，【2 3 】( 三个平面) ； ( 3 ) 4 1 】， 2 3 3 1 】， 2 6 】( 四个平面) ； ( 4 ) 5 1 】， 2 4 4 1 】， 2 4 3 2 】， 2 7 3 1 】， 2 帕】( 五个平面) ； ( 5 ) 【6 1 】， 2 5 5 1 】， 2 3 3 4 】，【2 6 3 4 】，【2 6 3 3 】，【2 94 l 】，【2 9 3 2 】，【2 1 2 3 1 】， 2 ”】( 六 个平面) ； ( 6 ) 【7 1 】，【2 6 6 1 】， 2 3 3 6 】， 2 8 3 1 5 1 】， 2 6 3 3 4 1 】，【2 9 4 2 】，【2 6 3 5 】，【2 9 3 2 4 1 】， 2 1 1 5 1 】， 【2 9 3 4 】， 2 1 2 3 1 4 1 】， 2 1 2 3 3 】， 2 ”4 1 】，【2 ”3 2 】，【2 1 8 3 1 】，【2 2 1 】( 七个平面) ； ( 7 ) 【8 1 】，【2 7 7 1 】，【2 4 3 6 4 1 】，【2 m 3 6 】，【2 7 3 4 】，【2 9 3 3 5 1 】，【2 7 3 5 4 1 】， 2 1 2 4 1 5 1 】， 2 1 s 6 1 】， 2 7 7 1 】， 2 4 3 6 4 1 】， 2 1 0 3 6 】， 2 7 3 3 4 2 】， 2 9 3 5 】， 2 7 3 5 彳】，【2 1 2 4 1 5 1 】， 2 1 s 6 1 】， 2 7 3 7 】，【2 1 0 3 2 4 2 】，【2 1 2 3 2 5 1 】，【2 1 0 3 4 4 1 】，【2 1 0 3 6 】，【2 ”3 4 】，【2 1 5 3 1 5 1 】，【2 1 3 3 3 4 1 】， 2 1 3 3 5 】， 2 6 4 2 】， 2 8 5 1 】，【2 1 6 3 2 4 1 】， 2 1 6 3 4 】， 2 1 9 3 1 4 1 】，【2 1 9 3 3 】， 2 2 2 3 2 】， 2 2 5 3 1 】， 2 2 8 】( 八个平面) 。 4 第一章绪论 1 4 本文的主要结果 本文主要研究了三维向量空间中平面个数不多于5 的构形的分类问题，同 时研究了三维向量空间中中心构形的特征多项式以及图构形的着色多项式。得 到了以下结论 1 、中心构形彳有两部分组成( 如图2 4 所示) 。一部分由m 个平面组成，记为 a ；一部分由，1 个平面组成，记为b 。构形的两部分满足以下条件 ( 1 _ ) a 部分中的m 个平面交于一条直线； ( 2 ) b 部分中的九个平面两两有交线，且交线不重合； ( 3 ) a 部分中的m 个平面与b 部分中的n 个平面两两有交线，且交线不重合。 则此构形的特征多项式为t 3 _ ( m + n ) t 2 + ( m + m n4 n _ ( n - 1 ) 一1 弦一，l 2 m + - n - 3 。 zz 2 、三维向量空间中，若用特征多项式分类，则由3 个平面组成的平面构形可 分为5 类。其中中心构形有2 类，非中心构形有3 类。 3 、三维向量空间中，若用特征多项式分类，则由4 个平面组成的平面构形可 分为1 1 类。其中中心构形有3 类，非中心构形有8 类。 4 、三维向量空问中，若用特征多项式分类，则由5 个平面构成的平面构形可 分为2 2 类。其中中心构形有5 类，非中心构形有1 7 类。 5 、k 个咒边形( k = 4 ，n = 6 时如图4 1 ( 3 ) 所示) 依次相连构成的图构形的特征 多项式为f o 1 ) ( 一1 ) ( t - 1 ) 川+ ( 一1 ) “】七 ( 咒3 ) 。 i = 2 5 北京化t 人学硕i ：论义 第二章平面中心构形的特征多项式算法 由第一章绪论知识可知，令构形彳为三维向量空间中的平面构形，取遍 彳中所有的中心子构形，设平面构形彳的特征多项式为 z 彳( f ) = 广一刀，2 + m i t m o ， 则=( 一1 ) 怊，m o = 一( 一1 ) 艚。若构形为中心构形，则 b c 4 ，r a n k ( m ) = 2 b c 4 ，r a n k ( z 岁) = 3 卜刀+ 7 ，z l m o = 0 。本章将应用此知识计算几类构形的特征多项式。 2 1 几类图形有规律的构形的特征多项式 本节主要根据三维向量空间中的中心构形的射影图的特征来计算构形的特 征多项式，即根据射影图形中交点( 重线) 的数目可计算得到m ，再根据公式 l - n + m ，一= o 可求得m o ，从而得到构形的特征多项式。对给出射影图有规 律的构形的特征多项式进行归纳总结，得到结论。 2 1 1 一类平面中心构形的特征多项式算法 本节研究了一类图形有规律的中心平面构形的特征多项式算法。所研究的 构形由两部分组成，首先第一部分固定，第二部分平面个数从1 依次增加至m ； 然后第一部分平面个数从1 依次增加至n ，与此同时，第二部分平面个数依然 是从1 依次增加至m ；最后得到两部分分别为第一部分是一个两两相交的平面 簇，第二部分是所有平面相交予一条直线的平面束，且两部分平面两两相交。 通过研究分析它们的特征多项式，从而得知此类构形的特征多项式呈现了有规 律的通项公式。 l 、第一部分为1 个平面，第二部分从1 个平面增加至m 个平面。首先我们先得 到此类构形前4 个构形的射影图，如图2 1 所示。 ( 1 )( 2 )( 3 ) 图2 1 第一类平面构形射影图 f i g2 1t h ea f f i n eg r a p ho ff i r s tc l a s sp l a n ea r r a n g e m e n t 6 第二章平面中心构形的特 正多项式算法 从射影图中易知，图( 1 ) 、( 2 ) 、( 3 ) 、( 4 ) 对应的构形分别有l 条2 重线、3 条 2 重线、3 条2 重线和1 条3 重线、4 条2 重线和1 条4 重线，则对应的m 。， 分别为 m i ( 1 ) = l x l = lm o o ) = 1 2 + 1 = 0 ， m i ( 2 ) = l x 2 + l x l = 3m o ( 2 ) = 1 3 + 3 = l ， m t ( 3 ) = l x 3 + 2 x l = 5 m o ( 3 ) = l 一4 + 5 = 2 ， m a ( 4 ) = l x 4 + 3 x l = 7m o ( 4 ) = 1 - 5 + 7 = 3 。 从而可得对应的中心构形的特征多项式分别为 t 3 2 t 2 + f 。t 3 3 t 2 + 3 t 一1 ，t 3 4 t 2 + 5 t 一2 ，t 3 5 t 2 + 7 t 3 。 由此我们可以得到 结论1 三维空间中，射影图如图2 1 所示，m + 1 个平面形成的构形的特征多 项式为 t 3 一( ，以+ 1 ) f 2 + ( 2 m 一1 ) t 一( 研一1 ) 2 、第一部分为2 个平面，第二部分从1 个平面增加至m 个平面。首先我们先 得到此类构形前4 个构形的射影图，如下图所示。 ( 1 )( 2 )( 3 ) 图2 2 第二类平面构形射影图 f i g2 2t h ea f f i n eg r a p ho fs e c o n dc l a s sp l a n ea r r a n g e m e n t 从射影图中易知，图( 1 ) 、( 2 ) 、( 3 ) 、( 4 ) 对应的构形分别有3 条2 重线、6 条 2 重线、7 条2 重线和l 条3 重线、9 条2 重线和1 条4 重线，则对应的码， 分别为 m i ( 1 ) = 1 x 3 = 3m o o ) = 1 7 北京化一j 人学硕 ：论文 m l ( 2 ) = l x 5 + l x l = 6 m l ( 3 ) = 1 7 + 2 x 1 = 9 m o ( 2 ) = 3 m o ( 3 ) = 5 m l ( 4 ) = 1 9 + 3 x 1 = 1 2 m o ( 4 ) = 7 从而可得对应的中心构形的特征多项式分别为 t 3 3 t 2 + 3 t 一1 、t 3 3 t 2 + 6 t 一3 ，t 3 4 t 2 + 9 t 一5 ，t 3 5 t 2 + 1 2 t 一7 。 由此我们可以得到结论 结论2 三维空间中，射影图如图2 2 所示，m + 2 个平面形成的构形的特征多 项式为 t 3 一( m + 2 ) t 2 + 3 r o t - ( 2 m 一1 ) 3 、第一部分为3 个平面，第二部分从1 个平面增加至m 个平面。首先我们先 得到此类构形前4 个构形的射影图，如下图所示。 ( 1 )( 2 )( 3 ) 图2 3 第三类平面构形射影图 f i g2 3t h ea f f i n eg r a p ho ft h i r dc l a s sp l a n ea r r a n g e m e n t 从射影图中易知，图( 1 ) 、( 2 ) 、( 3 ) 、( 4 ) 对应的构形分别有6 条2 重线、1 0 条 2 重线、1 2 条2 重线和1 条3 重线、1 5 条2 重线和1 条4 重线，则对应的m 。， 分别为 ( 1 ) = l x6 = 6m o o ) = 3 ， m l ( 2 ) = l x 9 + l 1 = 1 0m o ( 2 ) = 6 ， m l ( 3 ) = l x 1 2 + 2 xl = 1 4 t o o ( 3 ) = 9 ， m l ( 4 ) = 1 1 5 + 3 l = 1 8m o ( 4 ) = 1 2 ， 从而可得对应的中心构形的特征多项式分别为 8 第二章 i f 面中心构彤的特征多项式算法 t 3 - 3 t 2 + 6 t 一3 、t 3 3 t 2 + l o t 一6 ，t 3 - 4 t 2 + 1 4 t 一9 ，t 3 5 t 2 + 1 8 t 一1 2 。 由此我们可以得到 结论3 三维空间中，射影图如图2 3 所示，m + 3 个平面形成的构形的特征多 项式为 t 3 - ( m + 3 ) f 2 + ( 4 m + 2 ) t - 3 m 。 定理2 1中心构形彳有两部分组成( 如图2 4 所示) 。一部分由m 个平面组成， 记为a ；一部分由，1 个平面组成，记为b 。构形的两部分满足以下条件 ( 1 ) a 部分中的m 个平面交于一条直线； ( 2 ) b 部分中的咒个平面两两有交线，且交线不重合； ( 3 ) a 部分中的m 个平面与b 部分中的甩个平面两两有交线，且交线不重合。 则此构形的特征多项式为t 3 _ ( 坍+ 挖) t 2 + ( m + m n + n ( f n - 1 ) 一l y 一，l 2 r e + f n - 3 。 证明：由构形彳的两部分的特点，易知此构形有一个m 重线，有m n + a 个2 重点，所以构形的特征多项式为 f 3 一( 朋+ ，z ) t 2 + ( m + m n + n ( n i - 1 ) 一1 ) f 一刀2 m + i n 一- 3 。 母昔誉 多 ( 2 ) 图2 4 平面构形射影图 f i g2 4t h ea f t i n eg r a p ho fp l a n ea r r a n g e m e n t ( 3 ) 推论2 1中心构形彳有两部分组成。一部分由m 个平面组成，记为a ；一部 分由n 个平面组成，记为b 。构形的两部分满足以下条件 ( 1 ) a 部分中的m 个平面交于一条直线； ( 2 ) b 部分中的，z 个平面交与一条直线； ( 3 ) a 部分中的m 个平面与b 部分中的n 个平面两两有交线，且交线不重合。 则此构形的特征多项式为t 3 一( 聊+ n ) t 2 + ( m + n + m r 一2 ) t 一( m n 1 ) 。 9 北京化t 人学硕i ：论文 ( 1 )( 2 ) 图2 5 平面构形射影图 f i g2 5t h ea f f i n eg r a p ho fp l a n ea r r a n g e m e n t 推论2 2 中心构形彳有三部分组成。一部分由_ ，1 个平面组成，记为a ；一部分 由，1 个平面组成，记为b ；一部分为1 个平面，记为c 。构形的三部分满足以 下条件 ( 1 ) a 部分中的m 个平面交于一条直线； ( 2 ) b 部分中的，1 个平面交与一条直线； ( 3 ) c 部分中的平面经过a 部分中的平面的交线，同时c 部分中的平面经过b 部分中的平面的交线； ( 4 ) a 部分中的m 个平面与b 部分中的n 个平面两两相交，交线不重和。 则此构形的特征多项式为t 3 一( 脚+ ，l + 1 ) f 2 + ( 朋+ ，l + m n ) t m ? l 。 推论2 3 中心构形彳有三部分组成。一部分由m 个平面组成，记为a ；一部分 由n 个平面组成，记为b ；一部分由，个平面组成，记为c ；一部分为1 个平面， 记为d 。构形的三部分满足以下条件 ( 1 ) a 部分中的m 个平面交于一条直线； ( 2 ) b 部分中的n 个平面交与一条直线； ( 3 ) c 部分中的z 个平面交与一条直线； ( 4 ) d 部分中的平面经过a 部分中的平面的交线，同时d 部分中的平面经过b 、 c 部分中的平面的交线； ( 5 ) a 部分中的m 个平面、b 部分中的疗个平面以及c 部分中的，个平面两两相 交，交线不重和。 则此构形的特征多项式为 t 3 一( ，竹+ 刀+ + ，+ 1 ) t 2 + ( 历+ ，l + ，+ r a n + m l + n 1 ) t - ( m n + m l + n 1 ) l o 第二章，f 面中心构形的特征多项j i = 算法 图2 6 平面构形射影图 f i g2 6t h ea f t m eg r a p ho f p l a n ea r r a n g e m e n t 推论2 4 中心构形彳有四部分组成。一部分由m 个平面组成，记为a ；一部分 由，1 个平面组成，记为b ；一部分由，个平面组成，记为c ；一部分为3 个平面， 记为d 。构形的三部分满足以下条件 ( 1 ) a 部分中的m 个平面交于一条直线； ( 2 ) b 部分中的行个平面交与一条直线； ( 3 ) c 部分中的，个平面交与一条直线； ( 4 ) d 部分中的3 个平面分别经过a 、b 部分中的平面的交线，a 、c 部分中 的平面的交线，b 、c 部分中的平面的交线； ( 5 ) a 部分中的m 个平面、b 部分中的以个平面以及c 部分中的，个平面两两相 交，交线不重和。 则此构形的特征多项式为 t 3 一( 所+ n + + z + 3 ) f 2 + 聊玎+ 聊，+ 疗z + 2 ( 研+ ，l + ，) + 3 ) f 一( 聊，z + ，竹，+ 刀，+ ，咒+ ”+ ，+ 1 ) 图2 7 平面构形射影图 f i g2 7t h ea f t m eg r a p ho fp l a n ea r r a n g e m e n t 2 1 2 几个应用例子 本节给出几个应用例子，即几类图形有规律的非中心构形的特征多项式。 北京化t 人学硕i ：论文 ( 1 )( 2 )( 3 )( 4 ) 图2 8 非中心构形图 f i g2 8t h eg r a p ho fp l a n e sc e n t e r l e s sa r r a n g e m e n t s 易知m l ( 1 ) = l x6 = 6 m o ( 1 ) = ( 1x1 ) 4 = 4 ； m l ( 2 ) = 1 x7 + 2x1 = 9 m o ( 2 ) = ( 1x1 ) x3 + ( 2 x1 ) x2 = 7 ； m l ( 3 ) = 1 x9 + 3x1 = 1 2 m o ( 2 ) = ( 1x1 ) x4 + ( 3 x1 ) x2 = 1 0 ； m 1 ( 4 ) = 1 x11 + 4 x1 = 1 5 m o ( 4 ) = ( 1 x1 ) x5 + ( 4 x 1 ) x2 = 1 3 。 对应的特征多项式为t 3 4 t 2 + 6 t 一4 ；t 3 5 t 2 + 9 t 一7 ；t 3 6 t 2 + 1 2 t 一1 0 ； t 3 7 t 2 + 1 5 t 一1 3 。 由此可以推得有k 个平面时m l ( 尼) = lx ( 2 七+ 5 ) + ( 后+ 1 ) 1 = 3 k + 6 ， m o ( 尼) = ( 1 x1 ) x ( 七+ 2 ) + ( 后+ 1 ) 1 x2 = 3 k + 4 。 因此对应的特征多项式为t 3 一( 后+ 4 ) f 2 + ( 3 k + 6 ) t 一( 3 尼+ 4 )k = 1 , 2 ，3 ( 1 )( 2 )( 3 ) 图2 9 非中心构形图 f i g2 9t h eg r a p ho fp l a n e sc e n t e r l e s sa r r a n g e m e n t s 易知m l ( 1 ) = l x9 + 2 + 2 = 1 3 m o ( 1 ) = ( 1 x1 ) x4 + 2x1 + 2 l + 2x2 = 1 2 ， m l ( 2 ) = 1 x1 2 + 2 + 3 = 1 7 m o ( 2 ) = ( 1 1 ) x6 + 2 xl + 3 l + 3x2 = 1 7 ， m i ( 3 ) = 1 x1 5 + 2 + 4 = 2 1 ，z o ( 2 ) = ( 1x1 ) 8 + 2 xl + 4 1 + 4 x 2 = 2 2 ， 对应的特征多项式为：f 3 6 f 2 + 1 3 t 一1 2 ，t 3 7 t 2 + 1 7 t 一1 7 ，t 3 8 t 2 + 2 1 t 一2 2 。 由此可以推得有尼个平面时m 。( 后) = 1 ( 3 k + 6 ) + 2 + ( k + 1 ) = 4 尼+ 9 ， l ， 第二章3 f 面中心构形的特征多项式算法 m o ( 后) = ( 1 1 ) ( 2 k + 2 ) + 2 1 + ( 七+ 1 ) 1 + ( 七+ 1 ) 2 = 5 k + 7 。 因此对应的特征多项式为t 3 一( 尼+ 5 ) t 2 + ( 4 尼+ 9 ) f 一( 5 k + 7 )k = 1 , 2 ，3 综上两种情形，可以将此结论推广得到以下定理。 定理2 3 三维向量空间中，非中心构形彳图形如图2 1 0 ( 1 ) 所示，构形中的平 面若满足以下条件： ( 1 ) 经过线段o a 、与线段b c 相交的平面( 去掉平面o a b 、o a c ) 个数为m ； ( 2 ) 经过线段o b 、与线段a c 相交的平面( 去掉平面o a b 、o b c ) 个数为，l ； ( 3 ) 经过线段o c 、与线段a b 相交的平面( 去掉平面o a c 、o b c ) 个数为； ( 4 ) ( 1 ) 中朋个平面与( 2 ) 、( 3 ) 中刀+ ，个平面两两有交线且交线不重合，( 2 ) 中刀 个平面与( 1 ) 、( 3 ) 中m + 1 个平面两两有交线且交线不重合，( 3 ) 中，个平面与 ( 1 ) 、( 2 ) 中m t - ，1 个平面两两有交线且交线不重合。 若设构形的特征多项式为鼽( f ) = f 3 - ( m + n + ，+ 4 ) f 2 + 聊i t m o ，则 ，”l = m n + n l + m + 3 ( m + 甩+ z ) + 6 ，m o = 2 ( r a n + n l + m ) + 3 ( m + ，l + ，) + 4 。 证明此非中心构形在推论4 中心构形基础上加一个平面构成，即所加平面是 三棱锥的下底平面。由推4 可知无底中心构形的特征多项式为 t 3 一( 朋+ n + + ，+ 3 ) f 2 + m ，l + m l + n l + 2 ( ，l + 甩+ ，) + 3 】) f 一( ，”刀+ m l + n l + ，竹+ 万+ ，+ 1 ) 若设此构形的特征多项式为t 3 一( m + 刀+ ，+ 4 ) f 2 + 所l t m o ，则此时 = m r i + m l + n l + 2 ( 朋+ 刀+ ，) + 3 】+ ( m + 腮+ ，+ 3 ) = m n + n l + 砌+ 3 ( m + ，l + ，) + 6 m o = ( m n + 历，+ n l + m + ，z + ，+ 1 ) + m ，z + m l + n l + 2 ( m + 栉+ ，) + 3 = 2 ( m n + n l + l m ) + 3 ( 所+ ，l + j ) + 4 。 ac b ( 1 )( 2 ) 图2 1 0 非中心构形图 f i g2 1 0t h eg r a p ho f p l a n e sc e n t e r l e s sa r r a n g e m e n t s 1 3 ( 3 ) 北京化一r 人学硕 j 论文 2 2 几个棱锥棱柱的特征多项式 本节基于一些基本的三维空间图形，对一般的棱锥、棱柱进行了研究。从 简单的三棱锥、三棱柱开始计算特征多项式，得到n 棱锥、n 棱柱的特征多项 式，且n 棱锥、刀棱柱的特征多项式呈现一定的规律。下面我们给出定理以及 部分简单证明。 定理2 4 三维向量空间中，l 棱锥只( 其中n 个平面两两交线与底面有交点) 的所有平面形成的构形的特征多项式为 z c p ，f ) ：f ，一( ，l + 1 v ：+ 竺垦等尘f 一( n 一1 ) z 。 证明 设n 棱锥只的所有平面形成的构形的特征多项式为 z ( ，f ) = t 3 一( ，z + 1 ) t 2 + m l t m o 。 构形中的交线均为2 重线，则：q + 刀：丛掣里。设甩棱锥只的底面上的交 点均为3 重点，且棱锥的顶点为1 个，l 重点，所以 m o ：“l - n + n ( n ，。- 1 ) ：0 1 ) z 。 e 如图2 1 0 ( 2 ) 所示。 定理2 5 三维向量空间中，n 棱柱q ( 其中，1 个平面两两相交且交线不重合) 全部平面形成的构形的特征多项式为 z t o ，) ：f ，一( 刀+ 2 ) f l + 丝尘苌生翌f 一甩( 行一1 ) 。 q 如图2 1 0 ( 3 ) 所示。 定理2 6 三维向量空间中，n 棱柱磊( 其中甩个平面两两相交且交线不重合) 除下平面外其余平面形成的构形的特征多项式为 z ( 磊力：卜( 肘1 ) t 2 + 坐半卜_ n ( n - - 1 ) 。 珐如图2 1 0 ( 3 ) 所示。 1 4 第三章一类i ，曲构形的特缸多项式分类 第三章一类平面构形的特征多项式分类 d g a r b e t i3 】等研究了三维空问中中心构形的分类情形。主要应用方法是对三 维实向量空间中的中心构形进行解锥，从而将中心构形在射影平面上表示出来， 成为射影平面上非中心构形。依据射影图形中重点数对中心构形进行了分类。 本章将在此基础之上对三维空间中平面个数不多于5 的构彤，用特征多项式这 一重要的组合不变量，对其进行了分类。本章中第一步先依据平面方程的系数 矩阵的秩与增广矩阵的秩进行分类讨论，第二步找出第一步分类中的所有情形， 第三步利用构形中的重点数等方法算出平面构形的特征多项式，第四步将平面 构形依据特征多项式进行最终分类。 设三维向量空间构形中平面方程为乃：口f i z + a i 2 y + 口乃z = 岛 i = 1 , 2 ，3 ，4 ，5 。 记平面法向量为呸= ( g 。，哆：，q 3 ) ，其中i = 1 , 2 ，3 ，4 ，5 。记匾= ( q 。，q ：，口包) ，其 吒 中i = 1 , 2 ，3 ，4 ，5 。令a = i 鸭 a 4 鸭= 巨 a 1 2 a 1 3 a 2 2 a 2 3 a 3 z吩3 a 4 2a 4 3 a 5 2呜3 ，a = q 呸 呸 a 4 鸭= 巨 口1 2a 1 3a 口2 2d 2 3b e 吩2巳3岛 q 2吼3么 a 5 2a 5 3 魄 记b = ( 岛，6 2 ，吃，b 4 ，6 5 ) t ，有线性方程组4 x = b ，其中x = ( x ，y ，z ) t 。用a 始表示 矩阵彳的第f ，歹，尼行组成的子矩阵，其中i k 。用j 张表示矩阵j 的第f ，k 行组成的子矩阵，其中f k 。 记，= r ( a ) ，f = r ( a ) 。我们知道当厂= f 时，方程组a x = b 有解，即所有 平面至少有一个公共交点，此时平面构形为中心构形；当厂f 时，方程组 a x = b 无解，此时平面构形为非中心构形。在下文中，约定构形为平面构形。 在三维向量空间中，由1 个平面构成的构形的特征多项式为t 3 。由2 个平 面构成的构形可以分为两类，一类是两平面平行，对应的特征多项式为t 3 2 t ， 一类是两个平面相交，对应的特征多项式为t 3 2 t + f 。下面我们讨论有所含平 面个数大于2 个且不多于5 个的构形的分类。 1s 北京化t 人学硕l ：论文 3 13 个平面的情形 定理3 1 三维向量空间中，若用特征多项式分类，则由3 个平面组成的平面构 形可分为5 类。其中中心构形有2 类，非中心构形有3 类。 证明对构形中平面方程的系数矩阵和增广矩阵的秩进行讨论。 ( 一) 当，= f ，即中心构形的情形。 ( 1 ) ( f ，) = ( 3 ，3 ) 时，3 个平面有且只有1 个公共交点，此时构形为本质构形。 由准备知识可算得对应的特征多项式为t 3 3 t 2 + 3 t 一1 ，记此类构形为i i i 。，射影 图如图3 1 ( 1 ) 所示。 ( 2 ) ( _ ，) = ( 2 ，2 ) 时，易知3 个平面有l 条公共交线，此时构形为非本质中心构 形。对应的特征多