（应用数学专业论文）具有限时滞liénard方程的周期扰动hopf分支.pdf

摘要 本文详细研究了具有限时滞l i d n a r d 方程的周期扰动h o p f 分支， 即在该系统经历h o p f 分支时，研究小周期扰动对系统的影响，特别是讨 论了扰动频率与日印，分支鼹期解的鞭寿频率在共振、次调和共振、超调 耱共振、怒次潢纛共振戆精彩。表瑟了在某些参数酝城中，系绕存在调稚 解分支、次调和解分支、趱调和解分支、超次调和解分支以及拟周期解，并 且讨论了分支解的稳定做 关键调乎鼋誊髟中心耄澎，规范罗，谖纛箩，次调彝梦，趣调l 箩， 超次调帮褡，攒周耨解。 。 、一， a b s t r a c t i nt h i s p a p e rp e r i o d i c a i 季p e r t u r b e dh o p f b i f u r c a t i o nt ol d n a r d e q u a - t i o nw i t hi i m i t e dt i m e d e l a y i ss d u d i e di nd e t a i i + t h a ti s ，t h ei n f l u e n c eo f s m a l l p e r i o d i cp e r t u r b a t i o n so ns y s t e me x h i b i t i n gh 0 p fb i f u r c a t i o ni ss d u d i e d ， l np a r t i c u l a r t h ee x c i t a t i o n e q u e n c ya n dt h ec r i t i c a ln a t u r a lf r e q u e n c yo f 嚣褥 b i f i t r c a t i o ni nt h e 螽s e sgh a r m o n 曼r e s o n a n c e 。s u b h a r m o n 靶r e s o n a n c e ， u l t r a h a r m o n i cr e s o n 氇t l c e ，a n du l t r a s u b h a r m o n i cr e s o n a n c ei sd i s c u s s e d t ti s s h o w nt h a ti ns o m ep a r a m e t e rr e g i o n st h es e s t y m se x h i b i th a r m o n i cs o - l u t i o nb i f u r c a t i o n ，s u b h a r m o n i es o l u t i o nb i f u r c a t i o n 、u l t r a h a r m o n i es o l u t i o 娃 b i f u r c a t i o n ，u t t r a s u b h a r m o a i cs o l u t i o nb i f u r c a t i o na n dq u a s i - p e r i o d i cs o l u - t i o n ，f u r t h e r m o r e ，t h es t a b i l i t yo f b i f u r c a t i n gp e r i o d i c s o l u t i o n si sd i s c u s s e d ， k e y w o r d s ：m e t h o d o f a v e r a g i n g ，c e n t e rm a i n f o l d ，n o r m a lf o r m s ，h a t m m o n i cs o l u t i o n ，s u b h a r m o n i es o l u t i o n ，u l t r a h a r m o n i cs o l u t i o n u l t r a s u b h a r - m o n ；cs o l u t i o n ，q u a s i - p e r i o d i cs o l u t i o n ； 独刽鳇声裙 本人声明所黑交盼学位论文是本人瞧导师指导下进弦的研究工 露获鼗褥瓣掰褒藏象。撵我掰焱，豫了文争黪嚣# 翔臻称洼黪致澎黪羹叁 蠢终，论文巾不像会其魏a 鑫缀发表葳撰写避豹磅究成聚，氇不蕊禽 为获褥东北师范大学或其德教育机构的学位溅证书耐使用过的材料。 与我同工作的隧态对本磺究辫傲的任何羹漱均已猩论文中幸乍了明 确熬瀵臻弊畿零落意。 举位论义作嚣箍名：越l 至建：日期：垒鲤! ：墨拦 学位论文敝权使耀授权书 零学使论文作畿完全了解寨l 师范必学裔关保赘、使瘸学位谂嶷 的规定，即；东a b 师范大学寄权保留并向国家有关部门或机构送交攀 键谂囊煞鬟舔佟秘穰鑫，灸诲德交被套鞫窝臻瓣。本入授蔽零嚣爨蘧 夫孥鬻疆将擎鼗谂文熬垒帮躐蘩分疼爨镟入露关羧灏瘁莲l 蠢梭索，露 以采用影印、缩印域其它赛涮警段保存、汇编学位论文。 ( 保密豹学位论文在辫糍蕨邀用本授投聿孳) 糍搅剡罐懿：盘熊恕 豳辫幽：趱 ；之垒整叠 日躲嬲艘墨：墨篓 学篷谂义雅蠹攀遵器塞彝： 工作单位；盘i 5 i 蝤敷基澎魄话：垒举盘碰型塑 遵讯地址；麴垦越：熬自$ 编：鲤z 堡 l 。孽l 言 周期扰动h o p f 分支的研究许始于上世缌a - f 。年代，酋您以常微分方 程巍辑究对象，爨考擞懿窝题楚；受一令l 线慷爨涎蒙绽正经瓣黄h o p f 分 支辩，籍宅魏主枣懿矫为嚣黎魏凌，麓究嚣对菇囊懿魏逶产嫩鹱些藜翡变 化。照然，这个问题溅论在实鼯照耀上还是在数学理论上都楚擞有意义的； 医蕊g | 趣不少学者的广泛注意，觅文1 1 l ，f 2 1 ，f 8 l ，f 9 】。 奎楚瑟兔手警我耱，交弼考露手鹭嚣皴努方毯爨羹麓凝凌h o p f 努 支简蹶，并以具有限时滞的v a nd e rp o l 方程为俐，把常微分方程的周期 挽动h o p f 努支鲍慕嫂穷法接广裁? 对潍微分穷攒中，得翻了一系到有意义 羹臻恭。誊交将恕变黼孛舞溪塞魏耀题簸避一爹靛攘广，帮垮瘗曩煮瓣辩 爨l i d n a r d 方程熬瓣麓撬动h o p ：努支。 绺文考虑的系娩为 争斗萝每鞠警霉秘器痨。釉甜$ 争蝴蛹，轴) 程 笔笋，簿羚，建擎手彗蠹翁- - t 冀一够姆帮争搿掰鐾嚣器；，； 这里，g c 4 ，( 0 ) w - k ，9 ( o ) * 0 ，( 0 ) = 1 ，0 r l ，m 怒熬数。考虑上羧眩y ) 一五，0 ) 终懿掰 骞煮，鑫2 4 ) 窝f 2 7 ) 翔窀瓣郄是p 黪m 嚣期煮，邃藏宅靛掰砖建靛黪 在闭合翦转- gm 个缀圈在z y 平筒上着，诧时。( ) 和( t ) 的频率为 w m ，因懿经过时阀t 一2 s w ，解程茹一鼍西上转了2 ，r l m 膀以这烂 点霹寂豹掰期舞麓合翦嶷臻嚣主转进了m 个缀溪秘一个终鬻，这榉翡鼷# q 骰次灞和熊。 3 ) n 阶趣调幂n 共振 毅设制= w t i ，辩1 ，瓤蔻麓数。爨考惑嚣上簸髫，y ) 一( 磊，0 ) 羚戆新 育熹，麦( 2 , 4 ) 霰( 2 ，霸翔宅l l 郝爨p 不凄熹。森嚣一y 平蘩上爱，魏时x ( t ) 和( t ) 的频率为，因此经过时间t 一2 s w ，解在x y 平面上转了2 n t r ， 耩敬邃璺杰瓣应熬麓麓鼹麓会羲在嚣疆主转避了一个经嚣耱珏个终整，这 撵懿藤聪徽超调翻蒜。 4 ) m ，r l 阶超次调和共振 媛设虹甜= 獭哟，m ，嚣 l ，m 露n 楚笪貘驰整数。垂( 2 4 ) 酾2 。7 ) 霹 黧噩l ：辩上狳 磐) = 蔗，蛰多 秘耩毒点霉怒p 靛m 熏期赢。与上蠢弱 样的邋璎，这些点对应的周期解阏合前在环磷上转避了m 个经嘲和n 个纬 圈，这襻的勰叫做趣汰渭秘孵。 5 ) 羧鹅期藏振 假设置l o f t = 笼疆数，那么辩予嚣平面童除彩= 汹，0 ) 外的所蠢 点，每个患所对应的轨滋将稠密的壤满上的一个隧，它对应蒋一y 一0 空鬻懿一令不变二薹l ：瑟，送整熹掰对藏懿翳将在环溪上羌蔽改旋转，囊避 环垂芝豹舔一点，滚榉鹣解嘲祓撇瘸期解。 下霹考虑方獠( 1 3 ) 先把它碍成如下形式 妻( 曲= 蓼转) + 。+ 功茹( ) 一；， e 善2 妨 ：- x 巅( t 鬟鬯嘉搿巾瞅o ) z ) 瞬。) l 寸0 ) =一r ) 一i 参( o ) 髫2 ( t r ) 一5 尊( 3 ( t r ) 、 l+ 0 茹4 8 一r ) ) + 毋( s i ，m 以十c o s w t ) 5 系统( 2 9 ) 在p = 0 时，线性部分的特征方程魁 碧一 鹣痨孟r 7 3 。e ，2 ，1 0 ) 这里刖一k k o ( o 的定义见下黼的引理) ，文 3 中的结论怒 嚣l 灌夸k 。一苎! 婴，其孛镪：镪是方程：。潞疗，东 0 0 ，矗0 ； 毪 ( i i ) ( 2 1 0 ) 式张肼= 0 时的根除a ( _ 0 ) 拳廿x ( n 0 ) 外，其余的根都具谢 严格鲍受实部； f i 箍耋箩= 0 游，方程鐾。镑在弘= o 瓣襻在嚣肇f 努囊，曼舞慕努 支发生柱肛 0 方懿( 上临界分支) | 那么分擞愿期解是稳娥的。 6 5 3 调和解、次调和解、超调和解、趟次调和解的存在性 交警l 壤翔当声一0 辩，系统( 2 9 ) 在茚= 0 辩存程h o p f 分支，下藤 考虑( 2 , 9 ) 猩经历h o p f 分支时，嫩上愿期扰劫滕濒的作用，邵芦0 的 臻瑟。这璧姆豢要考藤麓麓鼗凌频率努麓装运予国，嘞，镪胁，黼始题魏祷 形，这蕊镪蔻系统1 3 ) 魏籀莠瓣骞h o p ：努蕊频率，r l l ，n 熬不秀i 秘嚣 整数，风m 、n 苴藤 3 , 1 麓往系统粼挚心滤影土 嚣巍辩系统 2 9 逡褥廷褰蹇羧，令善崎 g x ，g 叶姆，芦- - 4 胁露呻# 萝+ 则系统( 2 9 ) 化为 奎f 磅= 挈鸯+ 鹣+ 曲茗f 一，鼢铲转 ：二鬈登祭姜轰蹿叫一痧霉艄o ) x 阳) 强t 萝( 圣) = 一嚣器一r ) ；$ 蚕( 稃) 茹2 8 一r ) 一l 驴霉f 3 秘一r ) _ “ l+ s 声( s i r m 以+ c o s w t ) + o ( ) 。 器将3 1 鬻或爨黠溅滋遗羧羚方程簸澎式。令g s 卜磷，搭，辩程意 簪c ， i 毋i | 一s 晔| 番) l ，若奄最i ? 0 ，慧x e 汝一r ，t o + 霹，嚣0 ， 那么对任意的t 【t o ，t o + t ，定义蕊c 为五( 8 ) 一x 0 + 砷，一r 曼0 曼0 ， 于罨f 3 1 霹霉巍 需蛰一三g 弘疑+ 毋毛麓，岛敞参， 3 , 2 ； 其孛x 一缸，孽) 喾，f s 转母= ji 如( 敬g 弘) l 簪8 ) ， 燃嘲】= ( 簿”汐) ，： 逮墼# f 参 憝d i r a c 蠢滚羧， 7 瓴萎，热露) 一f 矗 r 一如?。 = ( 一蠹；嘲一焉孥譬爹辫缫糊盆棼十嘲) - 这里 使用f 4 1 中的袭示方法，我们可以把方程( 3 2 ) 写成 ( 丽d ) x 产摊甄+ e x o t ( ，蜀，邸) ， ( 3 1 3 ) 弱= x o ( e ) = 2 姬单位毙篡 a 垂= 十x o 瞄垂一妒( o ) 】， 矗= 奠k 国：c 1 q b c 是一瓣线性算子，b c = c o x o 箍一r 鸯曼0 上所有涟续函数，胤可在口= 0 处有不连续跳跃的函数空间，( 凰) 是 x o ) 的扩张+ 文已诞耀，对于t o 时满足( 3 2 ) 酶任何一个解，在t # o + r 薅一定游是3 3 ，照然耋垂= 0 嚣雩，3 3 ；藏艇3 2 ) 1 4 1 。 令、= i a o ，一i 咖) 是( 2 。1 0 ) 的一对纯鹰根，由【4 】溅【5 ，空间 b c 出a 分解成脉毋q i ，这里n 是a 的= 维特征空间，固 a 是其补 空裁。我害】将要撼方程滔饕懿辩萎努解囊p a 释q 矗上去。鹫锰意懿 庐g ，妒c 篁a ( f o ，r 】，r 2 ) ，其内积定义为 壁鐾 ( 妒，拳) 一妒嚣e 簪爷) 一? ? 妒秘一秽) 脚( o ) 垂s ) 煮s 二 假设( m ，垂) = 1 ，对于任意的b c ，西剿p 和国 的投影咖p 和 毋q 一分黑是 疹p 矗= 零f 零，辩，护a = 母拳聂， 这里壤= ( 妒l ，如) 魁p 的一组攀，田= ( 妒l ，如) 是其对偶撩，如果魁魁 方程( 3 3 的在l = t 。畦满足韧始蘧数垂的一个鳃，那么对带经意的t 0 8 霹毅分辫蔑隽 x t ：x p + x p 一= 婚( 田，五) + 义 d = e l 垂虿( t ) 十翦# ， 参= 甑+ 簪镌，建= 辔，耱， 8 这里r ( t ) = ( x l ( t ) ，z 2 ( t ) ) t r 2 ，而玩取值于q a 并且满足方程 梨、29 ( 郇) 虿( t ) + ( e 肛) 弛圣z ( z ) + 玩 p ，卢) ，( 3 4 ) li ( t o ) = o ， lo q j 这里 p 表示a 在p a 上的限制 令e _ “= 0 ，分别选取 圣( 口) = 皿( s ) = ( 识，如) t = ( ( t oc o s a 甜o o 拨s i n 印。)一o 一f a os i n a 0 8 + e o b c o s g 0 8 e a os i n 0 0 8 + f c r 0c o s g o s e s i n 0 0 s f c o sc r o s 、 一f s i n ( 7 0 8 + e c o s g 0 8j 这里一r 日o ，0 曼ss r ，e = u o 一 k o o o r ，f = ( + r 爵) ，n = n ( r ) = ( ；( o + 旧；) 2 + ( o o 一 k o 盯o r ) 2 】_ 1 = ( e 2 + ，2 ) 这里所选取的是标准基， 即满足( ，圣) = i , i 是2 2 单位阵。于是在此坐标系下，( 3 3 ) 分僻为 如( ) 出 ( 珈 = a l p 茸( t ) + p a 2 p 虿( t ) + 皿( o ) 7 ( t ，圣舅。) + 可。，。，卢) + 。( s 2 ) ( ：) ， ( 3 5 ) = a 。( s ，p ) 矾+ 船7 ( t ，圣芽 ) + y t ，p ，卢) ， a 1 p a = ( 三g 。o ) a 靠= ( 兰弼0 0 ) ， a o2 a ( o ) 。i a o n ( 2 a o 叫印) 。扣e ， 而= 方( o ) = 一j 1 口o ( o + r 仃3 ) = 一；印f a q a ( e ，p ) 是a ( ，p ) 在q 上的限制，瑶“= 一x p = x o 一垂皿( o ) 3 2 积分平均 由2 中引理知a o ( o ) 的特征根都具有严格负实部，因此可以对( 3 5 ) 的前两个方程施行积分平均法首先对( 3 5 ) 进行时间变换，令w t = 7 ，则 z ( t ) = u ( 下) ，u = ( 7 2 1 , u 2 ) r 9 p 0 叮s o 口盯 0 盯 一 宝护 c 盯so ) c 2 o k 渺i 箩。= 可( t + p ) 一v ( r + u 日) 蟛”，。，一r 0 0 在这个变换下，f 3 5 ) 式纯为 d u ( r ) d 丁 ，d 、 【鬲j = 三 a t p 钍( r ) + s 弘a 。p u + m ( o ) 7 ( ，谗札( r ) + ”r ，u ，s ，。，卢) + 。( s 2 ) ( ；) ， ( 3 6 ) = 三。( ，弘) 强。+ s 船一7 ( r ，圣鞋( r ) + 一幽厣) 】 为了寻求( 3 6 ) 的调和解，进一步引进一个去谐参数玑它由等式一w o ( 1 确瑟定义，歙鳃下交羧，令 u l ( 7 - ) = as i n ( j r + ) ，u 2 ( r ) = a c o s ( j r + ) 其中j = o 0 w 0 在这令变铑下，系统( 3 6 ) 毙为 筹= 忐陋“函穗+ e b n ( s i n r + c o s r ) ( e c o s ( j r + ) - f s i n ( j r + f ) ) 一 e n a o a 2 ，( o ) s i n 2 ( j r + ) ( e s i n ( j r + f ) + f c o s ( j r + 9 + ；s 蚕o ) 8 2 s i n 2 ( j r + f ) ( f s i n ( j r + ) 一ec o s ( j r + f ) ； 一扫2 n a 3 a o f ( o ) s i n a ( j r + ) ( e s i n ( j r + ) + f c o s ( j r + ) ) 十 护n 可( o ) a 3s i n 3 ( j r + f ) ( f s i n ( j r + 9 一e c o s ( j r + f ) ) ! o 妒( 筘露霉) j ， 醒 d r fd 、 i 磊2 ；蕊1 p 对a u 8 + s 弘矗o n e l a n ( s i n r + c o s r )( 3 7 ) ( f c o s ( j r + ) + e s i n ( j r + f ) ) 一 # 咖a 2 ， o ) s i n 2 ( j r + f ) ( e c o s ( j r + ) 一f 。s i n ( j r + 羚+ i 娜( 国8 2s i n 2 。玢+ 0 ( f c o s ( j r + 勤+ e s i n ( j r + 喜) ) ；2 疗o ，( o ) 口3s i n 3 ( j r + ) ( e c o s ( j r + ) 一f s i n ( j r + ) ) 十 2 n 亨( 0 ) a 3s i n 3 ( j r + f ) ( f c o s ( j r + f ) + e s i n ( j r + f ) ) 】+ 0 ( 护( 芦+ 口+ 露) ) ， 言l a q p ，芦) t k p + g x 竽6 7 ( r ，o u ( r ) + 珥，。，s ，m 黟) 1 首先讨论j = 1 的情形( 共振情形) ，忽略d ( 8 2 ) 项，对( 3 7 ) 进行积 1 0 襄2 a o a - 互i l i ( c 。：幢一日) + s i n ( 一口) ) k ( 3 9 1 筹= 意瞰霉国酬一昧删剖瑚，坤 其中0 = t a n 一1 鲁显然( 3 9 ) 的非平凡解a o 对应系统( 3 ，1 ) 的一个周期 鼹猩洚9 ) 孛令筹= o ：篆一q ，惩褥& 掰潢蹙熬方程隽 0 3 = 卢2 【p 2 a 3 + ( p 氏十叼仃o ) 2 】一1 ( 3 1 0 ) 下嚣考惑这个嚣乎建簿戆稳定爱+ 令a = 8 。+ 礁，善一- t - 毪，我入 ( 3 1 0 ) 式，可以得剡关于非平凡解( a o ，如) 的线性变分方程为 石d v l = 扣鼍n + 主1 删( s i 啪卅) c 啪卅黼 警= 赤扣s ( 岛棚) - s 瓤岛卅渺t 3 1 1 ” 【十扣n 一口) + c o s ( f o p ) ) 地1 设f 3 1 1 ) 寿彩魏e x p ( a e r w o ) 懿勰，鄂么a 爨灌是熬将缀方程努 ( p a o a ) 2 + ( p 讥+ 町d b ) 2 = 0 ， a l 。= 肛d o 土i ( p 西十订盯o ) z i ( t 秘, 0 = 8 a o x 2 ( t 。然二落：憝：撼 ，8 ) 一镪濑蛳l s 哟t + 螽) 专毋 s 2 妒。q 了= l 胁，一珏纛= 搬，钍，这燕燃，赣1 ，媳溉凄戆莲挞黢。瑟 2 。) 睡搿黧t 蔷n c q + a 辩2 ( 叩f ( o ) f + g 翥( 兰翥藕瑚l 骞一妄l 卿每娥+ 1 嗡喇固，婶。川 令否d a = 毽麓斌一蠢帮璐积。) 露爹辨乏+ 焚趣= 魄艘；嚣渡 n 32 丽顶砸1 6 2 丽& o 2 丽面8 # 可e 磋t 4 n ；2 丽顽硒诵2 诮汪了碟 p 鹪j 势薹褰器髯懑囊 秘；一一妒鼙露撂鳓，魄，鋈笋式0 鼗，袅 镪；嫒骜弘 0 对，建f 韵) 0 ，这谎臻豢芦 0 ，捷褥露 至爨鲶8 ，岛j ：系缝 2 。；袁g 空篾祗点辩 遥静一个二维积势滚夥上，蘧警激赫频率甜努嬲接遥予r ；o 0 ，a o n ，n 锄，h 而存档俄意阶次调和解，超调和解和超次调和解，并且都魁不稳定的( 稳 定的) ，蕊近镟表达式是 霉1 t ) = 堪os i n ( j r + 善) 十o ( 2 ) ， 搿2 ( t ，g - = g 群。c o s ( j r + f + o ( 9 2 j ， 这鼙稚巍 3 ，1 4 式绘凄；j r 年荽蠢3 ，1 5 式绘篷，礴，热簪1 是互囊熬蠢 整数。 3 , 3 饿予 学溶箕骞骧瓣辩魏魏蚤矿赫d e r 至蹇辍 蕾( t ) + ( 。2 ( t ) 一1 ) 峦( t ) 十搿( t r ) = 芦( 8 i n u t + c o s w t ) ，( 3 1 6 ) 萎蒸蠹一憝是囊赛毯，莲筵毒爨磐蓬 牵( t ) + ( o + p ) ( 茹2 ( t ) 一1 ) 圣( t ) 小茹 一r ) 一8 卢( 8 h 甜t + c o s w t ) ，( 3 1 7 ) 这壁勉蠢萼l 瑾中麟宠义 懿交罄 审帮蒜声；o 斌方程罄i 钧鼗弘= 番存在赫帮，努交，慧 分支缴嫩在肛 魄愈 毽嚣救褥 瑟姿零= 0 嚣，方秣3 1 7 ) 袭箨露秀赛茇黧h o p f 努支，羚萎努支薄鬻 解是橼定的。 蠹零交定理熟姿= 0 # ) ，零= 0 齄轰浆拣暴缝3 ；1 7 谯c 空阕擞 熹蘩邋辩一争二黎秘努浇雾主，受激鼗蒙攀甜矮运予鋈骞藜攀瓣簿，誊巍 一个布橡定的调和黼。其近似表她忒是 菩1 9 ；s ； 璺窿爵# 瓤鲰l 一嘲 专蕊；咎2 ； v 莓 砒# ) 2 去5 a 0 c o s ( 伽( 1 一_ 7 ) 如) + o 扩) ， 露拳交蹇矮凳辩，姿笋。o 妒翼多= o ( z 2 羲襄襞抟l 棼褰c 窒瓣 豢煮辫避静二难积分流影主，辕帮漱蓟频率甜势蒡接连予懒，锄7 蔸，氛鳓，辩 而存樾状调和解，炼调和解和越次调和解，辨飘都是稳定的。其近似袭热 式熹 ， 魏褥苎岛去褥# 蠛热翰拉一矿扔t 丰磊孕 萨， 勖( 屯8 ) = i 1 褒印e e 黼( 嘞( 1 - e 2 ) 7 2 弦+ f 砖4 - d 2 ) t 冀孛汹；= 黟 ，岛魏蓑蒙， 1 4 5 4 拟周期解的存在性 率节将考虑方程( 1 2 ) 在卢0 的情形，特别要讨论强二阶次调和共 振鲍情澎下，= | ： 周簸艇的存在。 先把方翟( i 4 写箴螽下形式 f 毒( t ) = 掣( t ) 十( 七o + “) z ( ) 一 ，( o ) 。( ) 一：，( o ) 茹3 ( t ) ：= = 挲s 3 _ 弑啦。巾嘲o ) x ；( 4 i )l 萝( 曲= 一茹# r ) 一l 固) 善2 擘一r ) 一 雾(3 8 r ； 。 i+ e f t ( s i n w t + c o s 甜t ) z ( t + o 和4 秘f ) ) 。 对系统( 4 1 ) 进行尺度变换，令篁_ 。，_ 女”，肛叶掣，则( 4 1 ) 式化为 童) = 警砖专辫茹如一；s u ( o , z 2 棼 二二i 拶鹦揣：。( t - r ) - 鼬o ) x ) ( 4 。)1 口( t ) = 一( t r ) 一；g 女( o ) 。2 虿( 3 ( t r ) 、 【+ + f l ( s i n , t + c o s w t ) x ( t ) + o ( 8 ) + 蓑跨豁交懿方法诗葬，薯葱蝰o f g 项，霹霉 d a 一= d r 嵌 d r 赢1 陋肛矗o n + e f l n ( s i n7 1 十c o s t ) s i n ( j r 十 ) ( e c o s ( j + r ) 一f s i n ( j ，- + ) j 窿 一i n a s a 2 歹 s i n 2 ( 了r ) ( e s i n ( j 7 - ；手f c o s ( j f + 9 ) + ；蛳( o ) n 2 s i n 2 ( ，r 十9 ( f s i n ( 。，r + 曲一e c o s ( j t + 固) 一 e n a o a 3 s i n 3 ( j r 十) ，( o ) ( f s i n ( j r + ) + fc o s ( j r + ) ) + 。3s i n 3 ( j f + ) 誊( o ) ( f s i n ( j v + ) e c o s ( j r + f ) ) l ， 熹 e r t t r s a + e i t & e a 一8 多n ( s i n r + c o s 7 4 3 ) s i n ( j r 十) ( p c o s ( j r 十9 + e s i n ( j r + ) ) 口 一； n a s a 2 ，( o ) s i n 2 ( j t + ) ( e c o s ( j r 十) fs i n ( j r + f ) ) + i e n g ( o ) a 2 s i n 2 ( d r + ) ( f c o s ( j r + + e s i n ( j r + ) ) 一；疆。，国；囊珏3 ( j r + f ) ( e c o s ( j r f s i n ( j r + + ；e 妒( 0 ) a a s i n 3 ( j r + ( ) ( f c o s ( j r + ) + e s i n ( d r + ) ) j ， 1 5 令j = ( 二阶次调和共振) ，对( 4 3 ) 进行积分平均得到 孬d a = 云妇矗。+ i 1 芦s 2 筵一8 ) “n ( 一固) 筹：豁麓篙臻渤”剀，a ， + 去热) f + 争 啦) 8 2 j 1 这里p 一；t a n _ 1 等令爵d a = o ，骞= o ，解彳导非平凡解蛳满足的方程为 霞4 f 最2 s 2 ) + 2 a 2 泌( 嚣氐+ 治b + 翻+ 茹岛) 2 十( 弘岛+ 孳殆) 2 一；声2 = 。，g 5 ) 霞= 一去n + o y ( o ) e 一多( 。) f ) ，s = - 器n ( a o ( o ) f + 垂( o ) e ) 从方程( 4 5 ) 可看出其正根的分布情况： + 芦( 嚣矗e + s 岛) + r a o s i p 2 ， 加坚挚 时，方程( 4 5 ) 有两个正实根，从( 4 5 ) 中可采得 一m ( r a o 十s 氏) + r l a o s 】士、i n f l 2 ( r 2 十s 2 ) 一【( r 古。一s a o ) p + r t 7 a o 2 0 02 了雨i 歹 2 ) 当( p 瓯) 2 十( p 如+ 7 7 a o ) 2 0 ，所以当瓦 0 时，分支发生在再 0 方向( f 临界) ，鼠 势支鼹鬻辩是不稳定懿，当嚣 e 方糍主蘩器x 疑分支阉期解是稳宠的 乎是平均方橼( 4 4 ) 在( a o ，o ) 附近的分擞周期解为 释= 鳓黯卜警拳s i n 蚤+ 卜器胁零 十嘲 这里婚；e 函t w o 十如面= u 。# 8 四十警( 簧氏十a o ) 】，妒是饺意常数， = + e o s i n 0 端) ， 这个周期解描述了浆摭( 4 1 ) 的个拟周期解。 1 9 参考文献 1 丁同仁，非线形振动的若干问题，数学年刊，1 9 8 7 ，1 7 2 n a m a c h c h i v a y a ，n s r i ，a n d a r i a r a t n a m ，s t ，p e r i d i c a l l y p e r t u r e d h o p f b i f u r c a t i o n ，s i a m j a p p l m a t h ，4 7 ：1 ( 1 9 8 7 ) ，1 5 3 9 3 潘家齐，岳锡亭具有有限时滞的l i d n a r d 方程的h o p f 分支，数学年刊 1 9 _ 4 ：1 f 1 9 9 1 1 5 0 5 6 c h o w s n a n d m a l l e d p a r e t j ，i n t e g r a la v e r a g i n g a n db i f u r c a t i