（应用数学专业论文）具有阶梯状空间对照结构的一类二阶奇摄动方程的渐近解.pdf

摘要 本文主要利用边界函数法和缝接法研究了如下一类具有阶梯型空间对照结 构的非线性微分方程： 9 2 窘川嗉，y ，o 川 y ( o , s ) = y o ，y ( 1 ，占) = y 1 ，0 s l 在第0 章，简要介绍了奇摄动理论的发展过程，并对前人在这方面所做的工 作予以介绍在第一章，对本文所讨论的问题和得到的结果予以介绍在第二章， 在一定条件下利用边界函数法构造了其一致有效的渐近解，同时讨论了该问题解 的存在性在第三章，给出转移点一次近似x l 的确定方法在第四章，证明了 边界层函数项的指数衰减性在第五章，给出了一些特殊情况和例子 关键词渐近解；转移点；奇摄动；边界函数；渐近展开 a b s t r a c t i nt h isp a p e r ，u s i n gt h em e t h o do fb o u n d a r yf u n c ti o n sa n ds e w i n g c o n n e c t i o n ， an o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hs t e p t y p ec o n t r a s t s t r u c t u r e sw a ss t u d i e da sf o l l o w s s 2 窘训s 去幽破o x l y ( o ，s ) = y o ，y ( 1 ，占) = y 1 ，0 g 1 i nc h a p t e r0 ，w es i m p l yi n t r o d u c e dt h ed e v e l o p m e n ti ns i n g u l a r p e r t u r b a ti o n ，a n di n t r o d u c et h ew o r kt h a th a sb e e nd o n e i nc h a p t e r1 ， w ei n t r o d u c et h ep r o b l e mt h a tw i l l b ed i s c u s s e di nt h i sp a p e ra n di t s c o n c l u s i o n s i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s st h ea b o v ep r o b l e m ，t h em e t h o do f b o u n d a r yf u n c t i o nw a su s e dt oc o n s t r u s tt h eu n i f o r m l yv a l i da s y m p t o t i c s o l u t i o n so ft h ep r o b l e mw ed i s c u s s e d a tt h es a m et i m et h ee x i s t e n c eo f s o l u tio na r eg iv e n i nc h a p t e r3 ，t h em e t h o dt od e t e r m in e 毛，f i r s t a p p r o x i m a t i o no fp o i n to ft r a n s i t i o ni sg i v e n i nc h a p t e r4 ，w ep r o o f t h a tt h eb o u n d a r yl a y e rf u n c t i o ni se x p o n e n t i a la n dl e s s e n e d i nc h a p t e r 5 ，as p e c i f i ce x a m p l e i sg i v e n k e yw o r d s ：a s y m p t o t i cs o l u t i o n ；p o i n t o f t r a n s i t i o n ；s i n g u l a r p e r t u r b a t i o n ：b o u n d a r yl a y e rf u n c t i o n ；a s y m p t o t i ce x p a n s i o n 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名：兰毽垒 日期：作者签名：圭丝垡日期： 学位论文授权使用声明 帕? j z 与 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在 解密后适用本规定 学位论文作者签名：王随钍导师签名：圆 日期：日期：呈! 墨丝三兰 第0 章引言 奇异摄动及其应用是目前国际上最为关注的课题之一。奇异摄动是一种求近似 解析解的方法，它的主要思想是将非线性的、高阶的或变系数的数学物理方程问题 的解，用含某个或几个小参数的渐近近似解来表示。而这个近似解是从解原来问题 简化方程得来的，称为近似解析解。它可以用来对原数学物理问题定性地且近似定 量地分析讨论。摄动方法已被公认为数学，物理学，化学，生物学以及各种工程技 术科学中研究非线性问题的基本工具之一。 近年来，大量的工作是研究奇摄动问题中产生强烈反差解的内部层现象，这类 解我们习惯上称之为空间对照结构。空间对照结构可以分为阶梯状空间对照结构( 它 在相平面或相空间上对应于异宿轨道) 和脉冲状空间对照结构( 它在相平面或相空 间上对应于同宿轨道) ，该问题的研究具有很重要的意义，常常出现在流体动力学、 半导体设备的物理理论、化学反应理论、生物、通信和生态等研究领域。 空间对照结构这种特殊的内部层问题最早在1 9 7 3 年a b v a s i l e v a 和 v f b u t u z o v 的奇摄动微分方程的渐近展开书中已有所反映h 1 ，但当时并没有提 出空间对照结构的概念，最早提出空间对照结构的是a b v a s i l e v a 和v f b u t u z o v 在1 9 8 7 年发表的文章具有空间对照结构的渐近解，文中讨论了二阶非自治方程 边值问题： 一彳2 占z = 孚= f ( u ，毛s ) ，o x 1 ，u ( o ，占) = u o ，g ) = 0 出 产生空间对照结构时渐近解的构造及其余项估计嘲。在此基础上倪明康教授于1 9 9 3 年发表了具有空间对照结构渐近解的构造( i ) 一文，把慢变量考虑在内，讨 论了半线性方程组： 华= g ( 训，y ，w ) ， 口x 譬= f ( 而“，w ) ， 4 x 了d w = g 0 ，“，吐 4 x “( 0 ) = v ( o ，) = v o ，) = 0 产生空间对照结构时渐近解的构造，并给出渐近解的余项估计陋1 。1 9 9 8 年 a b v a s il e v a 和m a d a v y d o v a 发表了某类二阶非线性奇异摄动方程阶梯型空间 对照结构，讨论了二阶非线性方程： 2 罢孚= f ( 譬，y ，功，一l x l ， y ( - l ，) = y ( 1 ，) = 0 产生阶梯型空间对照结构时渐近解的构造，并给出渐近解的余项估计n 1 嗍。2 0 0 1 年 m a d a v y d o v a 发表了一类奇摄动方程组的空问对照结构，给出了在临界和非临 界两种情况下空间对照结构解的存在性n 们。2 0 0 7 年，倪明康教授和林武忠教授发表 的具有阶梯状空间对照结构的奇摄动，针对二阶半线性d i r i c h l e t 问题用边界 层函数法构造了渐近解，给出了转移点的渐近表达式，并用微分不等式证明了阶梯 状空间对照结构的存在性和进行余项估计脚1 。 2 第一章问题的提出 对下面的二阶非线性问题 2 窘叫唾戊州 川， y ( - i ，z ) = y 0 ，) = 0 ，占 i 设它的退化方程f ( o ，y ，工) = 0 有三个根y = 办( 工) ，i = 1 ，2 ，3 办 办 o ，i = 1 ，3 c ( o ，办( 对，工) o ，点4 ( 办，o ) ，a 3 ( 丸，o ) 在相平 面上是鞍点，点彳：( 丸，o ) 是中心。在文【l 】中讨论了该问题连接两个鞍点4 和4 轨线 的情况，并讨论了阶梯型解的存在性和转移点z 的精确化。 本文将讨论下面的问题 占2 窘叫哮幽破o 川 ( 1 1 ) y ( o ，s ) = y o ，y ( 1 ，g ) = y 1 ，0 f i( 1 2 ) 其中a ：( 欢，0 ) 是稳定的结点，我们将对于连接4 ( 或翻3 ) 和彳：的轨线( 鞍结点连线) ， 讨论该问题的渐近解的表达式和存在性，并确定转移点x 及其精细化。 将( 1 i ) 改写为方程组 我们先给出如f 1 段设： 函数，( z ，y ，工) 在区域d = 口s zs6 ，彳y b 上具有二阶连续导数，其中 a l ， 么 y o ，y 1 b 日2退化方程f ( 0 ，y ，功= 0 有三个根y = 办( 破i = l ，2 ，3 秃( 功 办( 功 0 ，i = l ，3 ( o ，d 2 ( x ) ，工) 0 且五如= ( o ，功 0 如 则4 ( 办( 功，o ) 和鸣( 九( 石) ，o ) 是鞍点 当f = 2 时，a = r ( o ，办，工) + 4 l ( o ，办，曲 0 且 如= 一( o ，妒2 ，x ) 0 + 如= l ( o ，办，x ) o 即 0 ，如 0 ， 如 则彳2 ( 办( 工) ，o ) 是稳定的结点 凰存在y ( x ) 满足办( 石) 0 时 g ( x o + k s ，占) = ，( + 拓) + o ( c ) = l ( x o ) + i ( x o + o , k e ) k s + o ( e ) = ，( x o + b 鼢) 妇+ o ( c )( o q 1 ) 同理 g ( x o 一妇，g ) = ，( x o 0 2 k s ) ( - k s ) + d ( s )( o c ，其中i d ( s ) isc g 此时g ( x o + 鼢，s ) 与 ，( 而) 同号而g ( x o 一拓，s ) 与，( ) 异号，a pg o 。，占) 在闭区间k 一拓，而+ 鼢】的两个 端点处函数值异号。由根的存在性定理，存在x ( s ) k 一鼢，j r o + 鼢】有 g ( x p ) ，s ) = 0 ，即( 2 1 9 ) 成立。 这样( 2 1 5 ) 、( 2 1 6 ) 连在一起构成( 1 1 ) 、( 1 2 ) 的一个渐近解y ( x , 6 ) ，从( 2 1 5 ) 、 ( 2 1 6 ) 直接得到定理l 中的极限是成立的。 注l 、由以上证明可得到工的零次近似x 。忙) = x o + d ( 占) 注2 、转移点x 的零次近似只得到，如果在f = 伍一工弦- 1 中用而替换x 。，则f 中 相差0 0 ) ，代入到( 2 1 5 ) 、( 2 1 6 ) 中时，( 2 1 5 ) 、( 2 1 6 ) 的精度就不再是d p ) 量阶了。为此，需要求出工的一次近似而，即 x = x 0 + 掰i + d ( 占2 ) 事实上，若令y 一( x ，g ) = y 一( x ，占) 一死( x ) - l i o j ，一( f o ) 一魏y 一( r ) 则矿。( x ，占) = y 一( x 。，s ) 一磊( x ) 一点：丁一q j y 一【( 工一而) 占- 1 】 = 吵( x ) 一么( x 。) 一点t 一y 卜【o 一j r o ) 占q 】 = q o y t 一( 0 ) 一q o y 卜 ( x 。一而) 占- 1 】一e n t = 一残y 卜【9 ( 工一) g - 1 】( x 。一而) g 一e n 7 其中0 0 0 ，否则用如换 由于f 一哪时，萝寸办o 。) ，则存在f 。 0 ，当f f 时， 生爹兰掣j 1 ，即i 。( 萝一死( 工) ) i ( 夕一办( j ) ) 从而导 ( 歹一办( 工) ) z 寻 ( j i f 一办( j ) ) 即 寻五q o j ，t 一sz dq o y 一，i 4 q o y 一， 或 詈 割_ i 詈 从f 到f + 积分得 ； p 一f ) h 下i q 夏o y - 了 ( 石r 丌) | 詈 ( f 。一f ) 于是得c l 唧( k 。r ) q o y 一( f ) l ( 7 2e x p ( k ：f 其中l r l r * o ，k 。4 3 ，k 2 = 了2 jj q = i q o j ，一( f 。) i 唧( 一j 4 f 。) ，c 2 = i q o y - ( f ) i e x p ( 一j 2 f ) 1 8 j a 而i q o y 一( f ) 1 - ce x p ( k f ) 1 9 第五章某些特殊情况和例子 例l 占2 磐：彳( y ，x ) p 拿) + b ( y , x ) 戤。 积 y ( o ，占) = y ( 1 ，s ) = 0 假设曰( 歹，x ) = o 有三个根办( 工) 0 ，召；( 办) 0 ，么( 欢) 0 化成方程组 陲z 1 9 7 d z ：d ( y , x 弦+ 曰( y ，功 讨论f ( z ，y ，工) = a ( y ，x ) z + b ( y ，x ) f ( 0 ，y ，x ) = b ( y ，工) 有三个根以( x ) 0 所以( 死，0 ) 和( 九，o ) 均为鞍点。 而工( o ，办，x ) = b ：( 欢) 0 ，正( 0 办，功= 彳( 欢) 0 所以( 办，o ) 是稳定的结点，从而在相平面上存在从4 ( 或者a s ) 出发，而进入彳2 的 轨线。 参考文献 1 a b v a s i l e v a ，m a d a v y d o v a 某类二阶非线性奇异摄动方程阶梯型空间对照 结构， j 计算数学和数学物理杂志1 9 9 8 n o 6 ，9 3 8 9 4 7 2 倪明康奇摄动问题中的空间对照结构， j 华东师范大学学报( 自然科学 版) n o 1 ，2 0 0 6 ，卜1 3 3 王爱峰，倪明康二阶非线性奇摄动方程脉冲状空间对照结构， j 数学物理 学报2 0 0 9 ，2 9a ( 1 ) ：2 0 8 一_ 2 1 6 4 a b v a s i l e v a ，v f b u t u z o v a s y m p t o t i ce x p a n s i o n so fs i n g u l a r l yp e r t u r b e d d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， m n a u k a ，m o s c o w ，1 9 7 3 ，( i nr u s s i a n ) 5 v f b u t u z o v ，a b v a s i l e v a 具有空间对照结构的渐近解1 9 8 7 ， v 0 1 4 2 ，n o 6 ，8 3 1 8 4 1 6 a b v