（应用数学专业论文）具有阻尼项的非线性kg方程的柯西问题.pdf

哈尔滨- t 程大学硕士学位论文 ；昌i ；i 高每i 1 i ；宣暑皇暑i 暑i i i i i 宣；i ；i ；i ；i i i i 暑昌；暑i i i i i ；i i i i ；i ；i i i i j ； 摘要 在量子力学中提出了相对论性波动方程，描述刀介子场的场方 程，k l e i n g o r d o n 方程，本文研究具有阻尼项的非线性k l e i n g o r d o n 方程，其 模型如下 u t t - a u + y u t + “= “i 甜p - i ，x r ，f 0 u ( x ，0 ) = 1 4 。( x ) ，u t ( x ，o ) = ( x ) ，x r 的柯西问题( 初值问题) 1 首先，我们介绍位势井，通过引理的形式得到位势井的性质；然后，我们引进 位势井族，并由定义我们证明它们的性质，从而得出了原位势井与这一族位 势井族之间的差别 2 证明了整体解在问题的流之下的不变性，保证了解在存在时间内是不变的 另外，我们得到了解的真空隔离现象，存在一个真空区域使得在这个区域内 解是不存在的，随着e 的减少，真空区域变得越来越大 3 用位势井族对问题证明了解的整体存在性，并得到了有限时间内解的爆破， 同时得到了解的整体存在与不存在的门槛结果 4 运用g a l e r k i n 方法结合位势井理论，证明了在临界初始条件，( ) 0 ， e ( o ) = d 下解的存在性 5 运用能量估计法与位势井族的方法证明了问题的整体解的渐近性质 关键词k l e i n - g o r d o n 方程：位势井族：真空隔离：爆破：渐近性 哈尔滨j i ：程火学硕十学何论文 a b s t r a c t k l e i n g o r d o ne q u a t i o ni so n eo ff a m o u se v o l u t i o ne q u a t i o n sa r i s i n gi n r e l a t i v i s t i cq u a n t u mm e c h a n i c s i td e s c r i b e st h e i p a r t i c a lf i e l de q u a t i o n i nt h i s p a p e r , w es t u d yt h ec a u c h yp r o b l e mf o rn o n l i n e a rk l e i n g o r d o ne q u a t i o nw i t h d a m p i n gt e r m - a u + y u f + ”= ujup ，x e r ，r 0 u ( x ，o ) = ( x ) ，坼( 五o ) = ( x ) ，x r 1 f i r s tw ei n t r o d u c ea p o t e n t i a lw e l l ，w ec a ng e tt h ep r o p e r t i e so fp o t e n t i a lw e l l i nl e m m af o r m t h e nw eg e n e r a l i z et h ef a m i l yo fp o t e n t i a lw e l l s ，a n db yt h e d e f i n i t i o no ft h ef a m i l yo fp o t e n t i a lw e l l sw ep r o v et h e i rp r o p e r t i e s s ow e o b t a i nt h ed i f f e r e n c e so ft h es i n g l ep o t e n t i a lw e l la n daf a m i l yo fp o t e n t i a l w e l l s 2 w ed i s c u s st h ei n v a r i a n c eo fs o m es e t so fs o l u t i o n su n d e rt h ef l o wo f p r o b l e m ， s ow ep r o v et h a tt h es e t so fs o l u t i o n sa l ei n v a r i a n ti nt h ee x i s t e n c et i m e i n a d d i t i o n , w eo b t a i nv a c u u mi s o l a t i n gb e h a v i o ro fs o l u t i o n sf o rp r o b l e m ，i e t h e r ee x i s t sav a c u u mr e g i o ns u c ht h a tt h e r ea r en os o l u t i o n so fp r o b l e m t h e v a c u b mr e g i o nb e c o m e sb i g g e ra n db i g g e r 诚t ht h ed e c r e a s i n go fe 3 w ep r o v et h eg l o b a le x i s t e n c ea n df i n i t et i m eb l o wu po fs o l u t i o n sf o r 哈尔滨丁程大学硕士学何论文 p r o b l e mb yu s i n gt h ef a m i l yo fp o t e n t i a lw e l l s a tt h es a m e t i m ew ec a ng i v ea t h r e s h o l dr e s u l tf o rt h eg l o b a le x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c eo fs o l u t i o n s 4 w ep r o v et h eg l o b a le x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rp r o b l e mw i t hc r i t i c a li n i t i a l c o n d i t i o ni ( u o ) o ，6 ( 0 ) = db yu s i n gg a l e r k i nm e t h o da n dap o t e n t i a lw e l l t h e o r y 5 w ed i s c u s st h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h es o l u t i o n sf o rp r o b l e mb yu s i n g e n e r g ye s t i m a t em e t h o da n daf a m i l yo fp o t e n t i a lw e l l s k e yw o r d s ：k l e i n - g o r d o ne q u a t i o n ；p o t e n t i a lw e l l s ；v a c u u mi s o l a t i n g ；b l o w u p ； a s y m p t o t i cb e h a v i o r 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下， 由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献的引用 已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中己注明引用的内 容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表的作品 成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承 担。 作者( 签字) ：夕砻枫 ，百一 - 日期：训年月7 日 哈尔滨r t 程大学硕十学位论文 第1 章绪论 很多重要的物理、力学学科，其基本方程均是偏微分方程，偏微分方程产 生于十八世纪，在十九世纪得到了迅速的发展，而偏微分方程的产生与发展是 与物理学的研究密不可分随着物理学所研究的现象在广度和深度两方面的 扩展，偏微分方程的应用范围更加广泛，从数学自身的角度看，偏微分方程的 求解促进数学需要在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分 几何等各方面发展，偏微分方程变成了数学的中心任何物质的运动都受到一 定的自然规律的制约，我们常见的偏微分方程就是作为描写这些物质运动的 数学模型，它们从数量形式上刻划了由相应的物理定律所确定的某些物理量 之间的联系质量守恒、动量守恒和能量守恒是自然界一切运动所遵循的基本 规律，对于自然界的某一特定问题，如果把相应的守恒律数量化，就导出刻划 这个问题的微分方程，每一个微分方程都在一定条件下刻划了某一特定的物 理现象例如形如材打一a u = 厂( “) 的波动方程，这类方程描述了多种物理过程， 一维情形就是大家熟悉的弦振动方程，此外，它还描述了鼓膜的振动，电磁波 的传播等物理过程还有一例是形如u ，一a u = 厂( 甜) 的热传导方程，它可以描 述均匀物体中热的传导，扩散物质的浓度，粒子的扩散等物理现象，以上所举 两例均为发展方程所谓发展方程，就是描述物理量随时间演变的方程波动 方程、热传导方程、反映扩散方程、k d v 方程、流体动力学方程组等等以及 由这些方程通过适当的方式耦合起来的种种耦合方程组，都属于发展方程的 范畴 1 1 偏微分方程简述 偏微分方程这一学科并不是数学家自觉创立的，而是在讨论自然现象( 特 哈尔溟工程大学硕士学位论文 别是物理现象) 的过程中逐步建立起来的时至今日，虽然偏微分方程已经发 展成了一个理论丰富并且应用广泛的数学学科，但比起其他一些数学学科来， 还远不是完善的这大体上是由偏微分方程所反映的自然现象的复杂性所决 定的，从另一个角度来看，这大概也是偏微分方程这一学科生命力特别旺盛的 原因 偏微分方程理论的起源可以追溯到1 8 世纪对弦振动现象的讨论，这一讨 论吸引了众多的数学家的注意，其中有e u l e r , d a l e m b e r t ，t a y l o r , d a n i e lb e r n o u l i ，l a p l a c e 和l a g r a n g e 这里特别要指出的是他们对三角级数的争论 1 9 世纪初，在对热传导问题研究的过程中，f o u r i e r 确立了三角级数作为 函数的一种表达方式的位置这大大改变了人们对函数的认识，从此人们开始 接受级数作为表示函数的一种合法手段 偏微分方程理论是在1 9 世纪发展起来的，随着( 物理) 科学所研究的现 象在广度和深度上的扩展，偏微分方程变成并继续成为数学的中心之一这归 结为两方面，一方面是由于偏微分方程对于( 物理) 科学的重要性，另一方面 是从数学自身的角度，偏微分方程的求解也促使数学在函数论，变分法，级数 展开，常微分方程，代数，微分几何等方面的发展 在1 9 世纪，数学家们找到了许多定解问题的表达式，这些表达式除了利 用有限形式外，还利用了级数和积分，这大大促进了人们对函数及数学本身的 理解人们还发现，并非每个定解问题的解都可以用这些方式表达出来，即使 表达出来了，也未必能够看清其意义 1 9 世纪末至2 0 世纪上半叶发展起来的积分方程、泛函分析以及各种广 义解的理论为人们提供了研究偏微分方程的新手段和新思想人们不再迷恋 于求出解的表达式，而是把注意力放在确定解的存在性和讨论解的性质这两 方面这里特别要记住f r e d h o l m ，b a n a c h ，s c h a u d e r , s o b o l e v 和s c h w a r z 等人的 工作 目前，偏微分方程所涉及的领域越来越广，研究的问题也越来越深入各 2 哈尔滨t 程大学硕十学何论文 种新理论和新结果大量涌现，众多的问题有待人们去探讨这里特别注意微分 几何与数学物理仍然是偏微分方程的思想和方法的重要来源另外，科学技术 的进步也在不断扩大偏微分方程的研究领域遥感和图象处理中的种种模型和 反问题 一个偏微分方程是l 个含有多元未知函数及其偏导数的方程方程中所 含偏导数的最高阶数称为该方程的阶数，或简称为该方程的阶由多个偏微分 方程构成的方程组称为偏微分方程组，这些偏微分方程中的最高阶数称为这 个偏微分方程组的阶数因而一个m 阶偏微分方程的一般形式为： f ( x ，甜，d u ，d m 材l - 0 ， ( h ) 其中f 一般是q r x r ”r 矿上的已知函数 一个q 内的实函数“如果在某种意义下满足( h ) 方程，就称“为方程在q 内的解这里有两个问题需要解答：一个是“本身所应有的性质，比如其偏导 数的意义：另一个是u 如何满足方程 一般把解分成两类：古典解和广义解如同数域的扩张一样，广义解可以 被理解为古典解的推广，也就是古典解应当为广义解所谓广义解，首先要推 广偏导数的概念，即对偏导数的意义作某种推广，其次对如何满足方程加以说 明，例如：s o b o l e v 意义下的广义解，s c h w a r z 分布意义下的广义解，守恒律意义 下的广义解和粘性解意义下的广义解 人们通常按照偏微分方程理论的基本历史发展过程，将偏微分方程分成 线性，半线性，拟线性和完全非线性等四类 ( 1 ) 线性偏微分方程( 简称线性方程) ：称方程( h ) 为i n 阶线性偏微分 方程当且仅当该方程能被写成 a o ( x ) d 口“+ 厂( x ) = o ， 扛i s 埘 其中( z ) ( h m ) 和厂( x ) ( 称为方程的非齐次项) 是q 上的已知实函数并 哈尔溟工程大学硕士学位论文 t 且至少有一个口满足= 朋使得吒( x ) 在q 上不恒为零 ( 2 ) 半线性偏微分方程( 简称半线性方程) ：当( h ) 能写成 e ( x ) d 口u + b ( x ，材，d u ，d ”1 甜) = o ， p i - m 时，称之为半线性方程，这里( x ) ( 川= 朋) 和b 是已知函数，至少有一个 吼( x ) 不恒等于零，而6 ( x ，甜，d u ，d ”1 u ) y 毛y - u ，d u ，d ”1 ”不是线性的 ( 3 ) 拟线性偏微分方程( 简称拟线性方程) ：此时( h ) 能写成 o a t ( x , u , d ，d ”1 “) d 口u + b ( x ，“，d u ，d ”1 甜) = o ， p 1 2 ” 其中矿和b 为已知函数，并且至少有一个矿( x ，甜，d u ，d ”1 “) 中含有 u ，d u ，d ”1 u 中的项 ( 4 ) 完全非线性偏微分方程( 简称完全非线性方程) ：如果方程( h ) 不能 够写成上述三种形式之一，则称之为完全非线性偏微分方程 一般地，我们又把拟线性的偏微分方程与完全非线性偏微分方程，统称为 非线性偏微分方程与常微分方程类似，一个偏微分方程可以有无穷多个解， 而人们所关心的往往是某一种或某一个解，为此就必然要加一定的条件把所 求的解与方程的其他解区分开来，这样的条件就称为定解的条件，对一个偏微 分方程附加上一个或若干个定解条件的求解问题就称为偏微分方程的一个定 解问题，若定解条件为初始条件，则称该定解问题为初值问题或柯西问题：若 定解条件为边界条件，则称该定解问题为边值问题：若定解条件中既有初始条 件又有边界条件，这时称定解问题为初边值问题或混合问题 事实上，求得一个偏微分方程的所有解一般是不可能的，而一个定解问题 的求解则常常是可行的，因此，定解问题的研究是偏微分方程理论的中心问题 对于一个具体的定解问题，我们要求它是适定的，即这个定解问题能够保证有 解( 称之为存在性条件) ，至多只有一个解( 称之为唯一性条件) ，当已知的 4 哈尔滨丁程大学硕十学位论文 定解条件在某种意义下作微小的变动时，相应的定解问题的解也只作微小的 变动( 称之为稳定性条件) ，并且其解连续依赖方程和定解条件中的某些参数 和函数，否则，就称之为不适定的 1 2 非线性k loin - g o r d o n 方程的物理背景 大家已经知道，在量子力学中，s c h r 6 d i n g e r 方程是基本方程，是非相对论性 的它描述的粒子概率是守恒的，并且它对于描述原子和分子的绝大多数现象， 甚至包括低能核物理的许多现象，是很成功的但一涉及高能领域，粒子产生与 湮没就无能为力了，为解决这些问题，差不多与s c h r o d i n g e r 方程提出的同时，e s c h r s d i n g e r , ok l e i n ，wg o r d o n 等人就提出了相对论性波动方程，在自由粒子 的情况下，方程表示为 盘2 埘素缈= ( 一h 2 c 2 v 2 - i - m 2 ) 妒， 习惯上称为k l e i n g o r d o n 方程，但此时如果与非相对论性的s c h r 6 d i n g e r 方程 一样，把k l e i n g o r d o n 方程看成描述单粒子的波动方程，则不仅对于描述粒子 的产生，湮没或转化，同样无能为力，而且还将遇到新的严重困难由于这些原因 k l e i n g o r d o n 方程在提出后达7 年之久，没引起人们重视直到1 9 3 4 年，p a u l i 和w e i s s k o p f 才给以新的解释：它不是一个单粒子波动方程，而是一个场方程， 并对它进行量子化，之后，才重新引起人们注意1 9 4 7 年在实验上发现万介子以 后，人们普遍用k l e i n g o r d o n 方程来描述万介子场，称为标量场，以后解决了许 多物理实际问题，而在近三十年来，不断出现了大量的研究成果 1 3 非线性k iein - g o r d o n 方程的研究现状 从文献资料上看，对非线性k l e i n g o r d o n 方程的研究已经存在了大量很 5 一 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 好的成果，近几年的就有很多卜引，而且也提出了很多的研究方法 如对于非线性k l e i n g o r d o n 方程 一a u + m u = g g ) ， 在1 9 7 4 年，hal e v i n e 在文 9 中研究了在有限时间内解的爆破在1 9 7 8 年w as t r a u s s 在文 1 0 中研究了当g 满足一些局部l i p s c h i t z 条件，k l e i n g o r d o n 方程的柯西问题对于初始条件( ，v o ) 磁( n ) n e ( q ) 存在局部解1 9 8 5 年 t h i e v v yc a z e n a v e 在文 1 1 中又对此方程在斛( q ) 中的整体解进行了估计，得 出在一些超线性条件下，如 馏( x ) ( 2 + g ) 扣( j 灿， 0 所有整体解在日：( q ) 中一致有界，且对于足够大的时间，边乔只依赖于初始能 量，即对于，【_ o d ，栩】，解是存在的，并由初始能量得出解是一致有界的，最后， 又得到了在初始条件下，解在有限时间内爆破 在2 0 0 5 年，mek h a l i f a , m a h m o u de l g a m a l 在文 12 中对具有d i r i c h l e t 边 界条件的非线性k l e i n g o r d o n 方程， 甜，+ ，一届“+ 万i “i 甜= 厂， 进行了研究，得到了它的整体解的存在性和唯一性，并根据有限元方法得到了 数值概型，在一维空间中，建立了利用二次插值公式所得数字解的完全数字的 算法 在2 0 0 6 年由高萍，郭柏灵在文【1 3 】中又用周期边界条件，对二维色散 k l e i n g o r d o n 方程， “盯一”+ 及w ，+ 触+ r l u l 2 甜= 厂， 进行了研究，他们利用o a l e r k i n 方法和l e r a y - s c h a u d e r 不动点理论得到了此方 程周期解的存在性和唯一性 之后2 0 0 6 年房道元，钟思佳在文【1 4 】中改变了上述模型，对非线性 6 哈尔滨下程大学硕十学位论文 k l e i n - g o r d o n 方程 “打一g u + m 2 u - - l l 麒= 厂0 ，材，甜。) ， 进行研究，利用基态形式，特征值的特殊分布，在无限同种类的波导中，研究 了具有极小数据的非线性k l e i n g o r d o n 方程的整体解的存在性 而同年房道元，童崇庆，钟思佳在文【1 5 】中又对上述方程进一步改变，对 模型 “甜一，材一g u + m 2 “- - a , , ，甜，a ，甜，a x u , v g “) ， 进行研究，得到了其整体解的存在性 在2 0 0 4 年，j e a n - m a r cd e l o r t ，房道元，薛如英在文【1 6 】中对二次拟线性 k l e i n - g o r d o n 方程 材：一a u + u = ，0 ，a ，“，a ，“，a ，a ，甜，a ：甜) ， 在二维空间中进行研究得出了整体解的存在性 在2 0 0 5 年，甘在会，张健在文 1 7 中对有非负位势的非线性 k l e i n g o r d o n 方程 材盯= a u 一册2 甜一y g - + 口h p - i “， 进行研究，对此方程考虑驻波首先，通过变分演算和紧致性原理，获得驻波的 存在性，并和基态结合；接着，根据基态和局部理论特征，建立了非负位势 k l e i n - g o r d o n 方程的整体存在所满足的充要条件：然后，给出初值在如何小 的情况下整体解存在最后，得出驻波的不稳定性 2 0 0 6 年蒋毅，成和平，孟宪良，蒲志林在文 1 8 中，研究了带有势的非 线性k l e i n g o r d o n 方程 一缈+ 矿( x ) 妒= 伊l 伊l p ，t 0 ，x r ， 矿( o ，x ) = ，仍( o ，x ) = 仇 的柯西问题，得到了在不稳定集合时解是在有限时间内爆破，而当在稳定集合 7 哈尔滨t 程大学硕士学何论文 时解是整体存在的，并且也得到了解在如何小的初始条件下是整体存在的 2 0 0 2 年，张健在文【4 】中对于非线性k l e i n g o r d o n 方程 f 一甜+ u = u i u p - i x r ，t 0 ， 研究了此方程的柯西问题整体解存在的充要条件尤其更关注于柯西问题的 整体存在和基态之间的关系，又根据基态性质得出解的爆破 k l e i n g o r d o n 方程的研究成果很多在这里就不一一介绍，总的来说 k l e i n g o r d o n 方程已经成了物理，数学中非常重要的发展方程，对于此方程的 研究依然是今后人们的热门话题，研究的对象 1 4 本文研究内容及所得结论 对于这类方程已经存在了大量的研究成果【1 9 。3 0 1 ，关于含有源项和阻尼项的 波动方程的初边值问题的整体解的存在性也研究了很多，并且也应用了一些 可行的处理方法【3 3 们，如特征值法，积分估计法，等等而本文就从柯西问题去研 究这类方程，利用位势井及位势井族的方法，积分估计法得到了完整的结果 其模型如下 u t t - a u + y u t + 列= ulu p - i ，x r ， 0 ， ( 1 一1 ) u ( x ，o ) = u o ( x ) ，坼( 五0 ) = ( x ) ，x r ( 卜2 ) 即在原来模型基础上加上了一个阻尼项，使其在t - - o o 时可以得到解的渐进 性质从而得到了原方程模型所不能解决的问题 众所周知，对非线性发展方程的解的整体存在性的研究，已经有了很多的 结果，并已经建立了许多非常有效的处理方法但非线性发展方程的范围十分 广泛，而且各个具体方程的特点又多种多样，很多结果往往只是针对某一特定 的物理模型，由某一类具体方程的定解问题而得到的自从1 9 6 8 年s a t t i n g e r 在 国际上首次引进了位势井理论，3 0 多年来，已经出现了很多的研究成果【3 7 5 7 1 ，许 8 哈尔滨丁程大学硕士学位论文 i i i m 多人对位势井理论作了各种推广和应用但是这些工作中所引进的位势井并 没有本质区别，而且用这些位势井得到的结果也基本相同：即当 w 且e ( 0 ) d 或j ( u 。) d 时，问题存在整体解有关位势井理论的一些基 本问题，如位势井矽的结构，位势井深度d 的值的求法或估计及具有临界初始 条件，“) = 0 或e ( 0 ) = d 的问题是否存在整体解，而且迄今为止，大多数人利 用位势井方法的工作都是关于有界域的初边值问题的，只有极少数工作是关 于柯西问题的，因而本文中的非线性方程的模型，运用了位势井簇理论的方法 去研究非线性方程的柯西问题但是对于以前位势井理论还存在一些不能解 决的问题，所以在很长时间内并没有进一步发展，直到2 0 0 3 年，刘亚成教授在国 际上首次引进了位势井簇的理论，使上述问题得到彻底解决，特别是利用这一 位势井簇理论，在国际上首次发现了非线性发展方程解的真空隔离现象因此 本文运用这种位势井族理论研究非线性k l e i n g o r d o n 方程的柯西问题，得到 了很多非常好的结果，有 ( 1 ) 门槛结果，即 若u o ( x ) 日5 ( r ”) 并且( x ) h ”1 ( 尺”) ，s 詈1 ，若e ( o ) 0 时( 只要可能) 问题( 卜1 ) 一( 卜2 ) 存在整体解，而当，( ) 0 时，问题 ( 1 - 1 ) - ( 卜2 ) 不存在任何整体解我们都知道门槛结果是最好结果，即对所有 i ( u 。) 取值情形都进行了讨论，且给出了明确的结果 这个结果在运用以前位势井理论时，并不能详细得出能量与初始条件之间 的关系，后发展了位势井族的理论，能够使人们更进一步的理解和运用能量与 初始条件而得到更明确的结论 ( 2 ) 解的不变性与真空隔离现象，即 定理3 1 设u o ( x ) h 1 ( r ”) ，( x ) r ( r ”) 设0 p d ，4 o 或f 扣。忆= 0 的所有解z ，o ) ， v 万( 4 ，暖) ( i i ) i h - n ( 1 1 ) 一( 卜2 ) 满足e ( o ) = p ，( ) o 的解“( f ) ，v 万( 4 ，疋) 当0 e ( o ) e 时存在一个真空区域 ， u e = 0 h 1 ( r ”扰峙o ，l 0 ) = o ，4 万 岛 ， 使得问题( 卜1 ) 一( 卜2 ) 在此区域内不存在任何解，并且随着e 的减少真空区域 玑会变得越来越大，当e = 0 时，可得到最大区域 = 0 h 10 ”m l h o ，l g ) = o ，0 万 6 j ， 这个结果，充分说明了位势井族理论的优越性，使得位势井与井外集合的 自身的特性更容易理解，而且对于以前的位势井理论只能得到在一定的区域 内方程解的存在性，但这个区域是多大，受什么条件的限制，如何变化等问题都 没有得到充分的肯定，但是运用位势井族理论却可以解决以上问题，并具体给 出解存在的具体区域与范围 ( 3 ) 研究了有限时间内解的爆破，利用局部解定理可得到整体解的存在定 理，并得到了解的爆破定理即为下面的定理 定理4 4 当刀2 n 1 p 詈当时，若( 甜。，) 日5 ( 尺”) h ”1 ( r ”) ，对于 刀一z 、7、7 s 昙1 并且满足e ( o ) d ， ( i ) i ( u 。) l ，假设o 0 ，使得 e o ) c e ( 0 p 一刀，0 t 玎 ( m - 1 ) p ， 则 形埘p ( q ) 嵌入c 0 z ( 五) ， 其中五由下列条件确定： ( i ) 如果玎 ( 所一1 ) p ，则o 兄研一暑： 哈尔滨工程大学硕十学位论文 ( i i ) 如果刀- - ( m - o p ，则o 旯 胛( 小一1 ) p ，o 以， 则可得到形 ( q ) 紧嵌入c 。( 磊) 引理1 5 若g ( x ，) 口( q ) ， g 胛( x ，f ) ) 于口( 9 ) 有界，1 g ，且满足 ( x ，) 一g ( x ，f ) ，于q 几乎处处收敛，则于( x ，) - g ( x ，) 口( q ) 弱收敛 引理1 6 假设厂c ，u j ( x ，) r ( o ，t ；w ”( q ) nr ( q ) ) ，七1 ， 1 p o o ，j = l ，2 ，s 贝j j f ( u 。，”：，砟) r ( o ，t ；w l ，( q ) ) 引理1 7 对任意实数f ，s ，当，s ，有日( r ”) c 日( 尺“) 定义1 8 对p 1 ，m 是非负整数，我们定义s o b o l e v 空间 w m , p ( q ) 口f ( q ) n 甜l d 口甜( q ) ，i 口i 肌 在形峨，( q ) 内引入范数 = “陋( q ) ，甜( q ) ，i 口l - m 陋扎棚：妇叫呼陋叫 冉娜， 陬。ii_“叱ii。印1maxll = 佃 1 2 哈尔滨工程大学硕十学位论文 除了w 眠9 ( q ) 以外，还可以引入另外两个s o b o l e v 空间： ( 1 ) 日肼p ( q ) 口函数类s 关于( f ) 中所定义的范数的完备化，其中 s = “i 材c ”( q ) ，| i 材i i 。，p o o ) ： ( 2 ) 盱( q ) 口g ( q ) 在矿肼p ( q ) 中的闭包 当p = 2 时，w 帆2 ( q ) ，w o 2 ( q ) ，日峨2 ( q ) 简记为w “( q ) ，( q ) ，日”( q ) 从定义可直接推得下列结果成立 w 0 p ( q ) = f ( q ) ： 眩p ( q ) = r ( q ) ： w o o ( q ) c w 眠p ( q ) ： w m p ( q ) c w ( q ) ( 如果聊 册) ： 当1 p 佃时，h 卅p ( q ) = 形”p ( q ) ： 当p = 佃时，h 眠p ( q ) cw 埘p ( q ) ： 当q 为有界开集时，昭护( q ) c w 卅p ( q ) ： 昭护( - - w p ( 尺”) 1 6 几个空间和不等式 定义1 1 设qcr ”，0 t o o ，1 p ，1 q ，则 即丑c 鳓= k 圳 葡卜li。q，衍)，且ii“110。正矿。q ，= ( 葡0 卜o 。q ，班 ； 删衍 ，且“螂舢，= m ，班卜 j 引理1 2 ( g r o n w ai i 不等式) 设y ( f ) z ( o ，r ) 且存在常数口与6 ，使得 1 3 哈尔滨下稗大学硕十学位论文 则有 y ( f ) 口+ 6 p ( z ) 比，o t t ， y ( ，) 口，o t t 引理1 3 ( h 6 ld e r 不等式) 设qcr 一是开集，如果l p ，g o ，1 p o o ，1 + li ， pqpq 其中令 可得 因此，在q 上积分，即得 弘品扣龆， j 生 皿+ 盟 1 1 1 1 p0 9 虬。p 0 厂0 ：。g i i g 屹 1 4 哈尔滨工程火学硕士学位论文 说明h 6 1 d c r 不等式对于多个函数情形可以推广，如 若“( x ) f ( q ) ，v ( z ) 口( q ) ，w ( x ) r ( q ) ，刍+ 吉+ 吾= 1 ，贝。 成立 i u v w d x _ 0 ，1 p 口 o ，( 甜) a u o l ， 形= 形u a 形= “或( q ) i ，( ”) o ，( 甜) d ) ， 其中位势井深度为 其中 y = k 日1r ”) ) o ，j ( 甜) d ) ， d = i n f j ( u ) , 1 7 哈尔滨工程大学硕士学位论文 越日1 ( r ”) ，( z ，) = o ，s o 引理2 1f f l f u h 1 r ”) ，1 1 , , 1 1 o 则 ( i ) l m i m ，( 五甜) = 0 ，熙( 砌) = 咱 ( i i ) 。 名 o 。存在唯一的z = z 。) 使得丢肛l - o ( i i i ) ，q “) 于o 名z 单调增加，于z 名 o 于o 元 z ，似) o 于z 名 o o 证明 ( i )由于 ，( 砌) = 翱v 甜1 1 2 + 1 w ) 一面3 p + l 川p + l ， 所以可直接得到结论 ( i i )由于 所以可得结论 ( i i i ) 由( 2 - 1 ) 可得 当0 a z 有 当z 五 o ， 丢m “) 0 我们定义 其中 厶( 材) = 万( 1 l v “l | 2 + i w ) 刊瞄 d ( 8 ) - - i 。n 。石fj ( u l b = “h l ( r ”) i 厶( “) = 0 ，圩o 引理2 2 若ue h 1 ( 尺”) 且o l u l l h 0 ；特别，若 o o 其中，阱而 嵌入常数 证明若o 1 1 4 0 引理2 3 若日1 ( r ”) 且厶0 ) r p ) ，特别若，0 ) ，( 1 ) 证明如果，占( u ) r ( 1 ) 或l u l l = o 证明若l ( u ) - - o 贝, jl l u l l o ，由于 可以得到结论 喇l ： 孚咖o ，( 甜) o 证明由引理2 4 及 刷= 寿h np - 兰- - i - x , , ( u ) ， 可得到结论 引理2 6 作为万的函数d ( 万) 在区间0 万1 有如下性质： ( i ) d p ) 口p p 2 p ) 其中口( 万) = 三一鲁，0 万 孚 ( i i ，洲l i m d ( 、万- - 叫( 孚) - - o , 8 - 1 ；d ( j ) 孚 哈尔滨工程大学硕十学位论文 ( i i i ) 当o 万l 时，d ( 万) 单调增加；当1s 万旦笋时d ( 万) 单调减少；当 万21 时，d 【万) 取得最大值，d = d 【万j ( i v ) 在o o ，存在唯一 荆= 而， 2 l 哈尔滨 ：程大学硕十学位论文 1 8 以甜) = 0 ， 由以上让明川得 烛兄p ) = o ， 因此 嬲似) = l i m j ( a u ) = 0 ， 并且 l 。i m 。d ( 8 ) = 0 ， 本引理剩余部分可由引理2 5 得到 ( i i i ) 我们首先证明对于 o 段九1 或1 o ，使得 j ( v ) ，0 ) 一s p ，万”) 事实上，对于上述甜我们由( 2 2 ) 式定义a p ) ，那么 l 以p b ) = 0 ，五p ”) = 1 设g 以) = ，q 材) ，那么 丢g ( 一2 ) = 知桃枷暇)万，2 列砌扩圳 = 去( ( 1 一万) l i 五材o ：+ 厶( a “) ) = ( 1 一万) 五：， 哈尔滨r t 程大学硕十学位论文 取v = 五p - ， 则，j o ) = o 且删o 若o 艿 万” 1 ，则 若1 ( 万。一1 ) r 2 ( 艿) 旯( 艿。) ( 旯( 6 ) - 1 ) 暑占( 万，j 。) ， 从而由d p ) 的定义可知d p ) d ( 8 。) 故结论成立 ( i 显然，只需证明对任何4 ( 0 1 ) 水( 1 ，譬h 万) 在b ，1 】和【1 ，疋】上 分别一致连续 首先，我们证明对任意4 ( o ，i ) ，d ( 8 ) 在8 1 ，1 】上一致连续，对任意 0 6 d 并且扩慨，1 】取h ( r ”) 使得 并且 l = o ，k 卜o ， o ，0 万) 一d p ) 差， 对于每一6 万，1 定义允= 九p ) 满足 万忆| i i f = 忱e ， ( 2 - 3 ) ( 2 - 4 ) 哈尔滨1 ：稃大学硕士学位论文 从( 2 3 ) 我们得到 并且 厶( 乃( 万) ) = o ，以( 万) = l ， 肚拍，- ( 1 p - l ，万万i ， 拈骺舻气邝m ， 5 ， 很明显以p ) 在 艿，1 ，办( 兄) 在 1 ，乃( 1 ) 单调增加且连续设 邑( 2 ) - j ( 2 u a ) = ，( 九( 万) “。) ，万j 1 ， 那么，类似于本引理( i i i ) 我们能得到 丢邑( 旯) = ( 1 一万) 兄m 万 1 因此，对万万l 且五= 乃p ) 可得 0 j ( 2 u j ) 一( ) = 艮( 五) 一g ( 1 ) = ( 1 一彦) 五m 巴( 五一1 ) 从 可得 ( 1 一磊) 0 “艿i e 名( 力一1 ) ，万占万，1 互名 六f o 二陪寿f 卜六。 = s ( u j ) 矗p ) + 三 1 ，使得 4 ( 1 4 ) 岩以以一1 ) = 要， 口一i z 那么从 九如叫铮。2 ：型噬 以忡e = 三( p 一，) 万， 得到 办瓴) 一九( 1 ) ( p 一1 h “一1 ) 竺。，v 万盼，1 】， 因此，对于艿” 万，1 并且o 万。- 8 。可得 o 力( 万。) 一l 一l ， 且 o j