（应用数学专业论文）关于强极限定理的若干研究及应用.pdf

上海交通大学博士学位论文 关于强极限定理的若干研究及应用 摘要 概率论是研究大量随机现象的统计规律的学辩用数学语言来说，就是研究 对随机现象的观察次数趋于无穷时，。它的极限”呈现出的某种规律性因此强极 限理论在概率论中占有重要地位二十世纪六十年代以来。继独立随机变量和序 列的极限理论获得完善发展之后，各种混合随机变量序列、相伴随机变量序列及 鞅的强极限理论又有很大发展，我国学者在这方面做出了许多出色的工作，在国 际上也有一定的影响( 参见似3 ，7 6 ，1 0 8 ，8 1 ，7 7 ，s 2 1l 强援疆理论在国际上的文献 浩如爝海关于强极限理论的经典结果可参见专著【1 4 ，1 3 ，7 0 ，勰，7 9 j ，丽最近的文 献可参见【3 1 ，4 ，3 2 ，6 9 ，1 6 ，1 1 1 信息论的熵定理也称s h a n n o n - m c m i l h n 定理或信 源的渐进均分害苷性( a e p ) ，是信怠论的基本定理。是各种缩码定理的基础关于 熵定理的最新发展可参考文献【2 6 】 设 矗，n o ) 为随机变量序列，如果 e i ( x , , + i ) i x o ，葛i 】= e i ( x n + 1 ) i 置d ( - a 0 1 ) 其中，为有界函数贝i l 称 溉，n 0 ) 为马氏链如果纠，( + - ) l 矗】与n 有关，则 称 蜀，“o ) 为非齐次马氏链。如果e 【，( 蜀+ i ) i x 。l 与n 无关，则称 矗，n2o ) 为齐次马氏链如果 矗，n o 在有限或可列状态空间取值，则张之为有限或可 列马氏链，如果 矗，n o 在一般状态空同取值。则称之为在一般状态空问取值 的马氏链如果 e l f ( 弱+ 1 ) 怖，| - e f ，( + 1 ) i 矗，一+ l 】n ( 1 0 2 ) 且 ，n o 与n 有关，则称 ，n o ) 为非齐次女阶马氏链。 马氏随机场是马氏过程推广到多维指标情形由于有广泛的应用前景而受到 物理学、概率论，信息论界的广泛兴趣由于马氏箍机场具有相变现象，其研究内 容更加深刻且具有很大的难度马氏随机场理论是近年来发展起来的概率论重要 分支之一，而马氏随机场极限理论又是其中重要的研究内容，其中关于马氏随机 场强极限定理的研究目前尚无系统和深刻的结果本博士论文将推进这方面的研 究 中文摘要 设 矗，矗，n o ) 是一随机序列，即矗c 矗+ l 且溉是又可测的关于任 意随机变量序列的强极限定理( 其推论是鞅的强大数定德) ，耳前已有经典的结果 ( 参见1 2 8 ，7 9 】) 强偏差定理是由不等式表示的一类强极限定理，是由等式表示的一类强极限 定理的推广，是刘文开辟的研究强极限定理一个新的方向( 参见f 3 6 i ) 近年来，本博士论文作者与刘文教授合作，采用与传统方法不同的研究方法 ( 参见【3 6 | ) ，在非齐次马氏链强大数定律、信息论熵定理、任意随机变量序列的 强极限定理、任意离散随机变量序列的强偏差定理及树图上马氏链场的强大数定 律与熵定理等方面进行了一系列研究，在国内外重要学术刊物上发表了一系歹0 论 文( 参见【4 5 ，4 6 ，4 7 ，4 8 ，4 9 ，5 0 ，5 1 ，5 2 ，5 3 ，5 4 ，5 5 ，5 6 ，5 7 ，5 8 ，5 9 ，6 0 ，6 1 ，6 2 ，8 6 ，8 7 ，8 8 ， 8 9 ，9 0 ，9 1 ，9 2 ，9 3 ，9 4 ，弱，9 6 ，9 7 ，9 8 ，9 9 ，1 0 1 ，6 3 ，1 0 0 】) ，其中部分结果已总结在专著 1 4 0 i 中 本博士论文分为五章 第零章一基本概念，主要结论和方法介绍 第一章利用一致平均强遍历的条件，研究了可列非齐次马氏链的强大数定 律及熵定理 第二章t 首先研究了有限m 阶非齐次马氏链的强大数定律及熵定理，其次研 究了可列m 阶非齐次马氏链的强大数定律及熵定理 第三章t1 、研究了齐次树图上一类非齐次树指标马氏链的强大数定律及熵 定理2 、研究了齐次树图上奇偶马氏链场的若干强大数定律及熵定理 第四章z1 、研究了一类随机适应序列的强极限定理，推广了若干著名的结 果2 、用不同的方法研究了任意随机适应序列局部强极限定理，推广了已知的 一些结果，例如推广了广义b o r e l - c a n t e l l i 引理 第五章t 通过任意测度与m 阶马氏测度比较，研究了任意随机变量序列关于 m 阶非齐次马氏链的强偏差定理，作为推论，得到了一类m 阶非齐次马氏链的强 大数定律与熵定理 关键询非齐次马氏链，强大数定律，随机场，熵，强偏差定理 i i 上海交通大学博士学位论文 s o m er e s e a r c h e so n s t r o n gl i m i tt h e o r e m sa n d a p p l i c a t i o n s a b s t r a c t p r o b a b i l i t yt h e o r yi sas u b j e c tw h i c hc o n c e r n st h es t u d ys t a t i s t i c a ll a w sf o r d i f f e r e n tk i n d so fr a n d o mp h e n o m e n o n ，p a t i c u l a r l y , t h e | i m i tb e h a v i o rw h e nt h e a b s e r v i n gt i m e st e n dt oi n f i n i t y h e n c et h es t r o n gl i m i tt h e o r e m sc o n s i s to fa l li m - p o r t a n tp a r to fp r o b a b i l i t yt h e o r y i n1 9 6 0 s ，t h el i m i tt h e o r e mf o rt h es e q u e n c e s o fi n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e sh a sb e e nw e l le s t a b l i s h e d s i n c et h e n ，t h el i m i t t h e o r e m sf o rm i x i n g 鲫：l u e n c e so fr a n d o mv a r i a b l e sa n dc o r r e l a t e ds e q u e n c e so f r a n d o mv a r i a b l e sh a v eb e e nd e v e l o p e dg r e a t t y m a n yc h i n e s er e s e a r c h e r sh a v ec o n - t r i b u t e do u t s t a n d i n g l yi nt h i sf i e l d t h e i ri n f l u e n t i a lw o r k sh a v eb e e ni n t e r n a t i o n a l r e c o g n i z e d ( c f 4 3 ，7 6 ，1 0 8 ，8 1 ，7 7 ，8 2 】) t h e r ea l ev a s tn u m b e ro fr e f e r e n c e su p o n l i m i tt h e o r e m si nf i t e r a t u r e ，o fw h i c ht h ec l a s s i c a lo n e s ( c f 1 4 ，1 3 ，7 0 ，2 8 ，7 9 】) s o m er e c e n t l yu p d a t e dr e f e r e n c e sa r e 【3 1 ，4 ，3 2 ，6 9 t1 6 ，l l 】t h ee n t r o p yt h e o r e m i ni n f o r m a t i o nt h e o r y , w h i c hi so fc o r ei n t e r s ti nt h i st h e s i s ，i sa l s of r e q u e n t l ya s t h es h a n n o n - m c m i u a nt h e o r e mo ra z y m p t o t i ce q u i p a r t i t i o np r o p e r t y ( a e p ) i ti s f u n d a m e n t a lt h e o r e mi ni n f o r m a t i o nt h e o r yw h i c hl a y st h ef o u n d a t i o no fa l m o s ta l l t h ec o d i n gt h e o r e m s t h em o s tr e c e n td e v e l o p m e n to fe n t r o p yt h e o r e mc o u l db e f o u n di n 2 6 l e t 墨。，n o ) b eas t o c h a s t i cs e q u e n c e i f e f ( x 。+ t ) l x o ，托】_ e 【，( + i ) i 】a 8 ，( 一1 0 ，3 ) w h e r e ，i sab o u n d e df u n c t i o n ， 咒，n o ) w i l lb ec a l l e dam a r k o vc h a i n i f e 【，( 葺l + 1 ) l 墨ja r ed e p e n d e n to n 馆，t 工。，饨o ) w i l lb ec a l l e dan o n h o m o g e n e o u s m a r k o vc h a i n i fe f ，( 五+ 1 ) 1 矗】a r ei n d e p e n d e n to nn ， ，n o w i l lb ec a l l e d ah o m o g e n e o u sm a r k o vc h a i n i f k ，n o ) t a k ev a l u e si naf i n i t es e to ra c o u n t a b l es e t ，i tw i l lb ec a l l e daf i n i t em a r k o vc h a i no rc o u n t a b l em a r k o vc h a i n i f ( k ，n 0 t a k ev a l u e si nag e n e r a ls t a t es p a c e ，i tw i l lb ec a l l e da m a r k o vc h a i n i t i a b s z l t a o t t s k i n gv a l u e si nt h eg e n e r a ls t a t es p a c e i f e ，( 墨+ 1 ) l x o ，】- e 【，( 蜀+ 1 ) 隅，托一k + 1 a 8 ， ( 一1 0 4 ) a n d x k ，礼o ) a r ed e p e n d e n to n 几， ) 厶，礼o ) w i l lb ec a l l e d ak t ho r d e r n o n h o m o g e n e o u sm a r k e rc h a i n m a r k o vr a n d o mf i e l d so r et h em a r k o vp r o c e s s e si n d e x e db ym u l t i d i m e n s i o n a l i n d e x i th a sd r a w ni n c r e a s i n gi n t e r e s tf r o ms p e c i a l i s ti np h y s i c s ，p r o b a b i l i t ya n d i n f o r m a t i o nt h e o r yf o ri t sw i d e 印p l i c a t i o n s s i n c em a r k o vr a n d o mf i e l dh a sp h a s e t r a n s i t i o np h e n o m e n o n ，s oi t i sv e r yd i f f i c u l tt os t u d yi t m a r k o vr a n d o mf i e l d t h e o r yi so n eo fb r a n c h e so fp r o b a b i l i t yt h e o r yd e v e l o p e dr e c e n t l y , a n dt h es t r o n g l i m i tt h e o r e m so fm a r k o vr a n d o mf i e l di sa l s oi t si m p o r t a n tc o m p o n e n tp a r t b u t u pt on o w ，t h e r eh a v en o tb e e ns y s t e m a t i ca n dd e e pr e s u l t sa b o u tt h i st o p i c i n t h i sd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n w es h a l ld e v e l o pt h i sr e s e a r c h l e t x ，矗，n o b ea s t o c h a s t i cs e q u e n c e s ，w h i c hs a t i s f i e st h a t 兀c 矗+ 1 a n d 矗i s 元m a e s u r a b l e t h e r ea l s oh a v eb e e nt h ec l a s s i c a lr e s u l t sa b o u tl i m i t t h e o r e m sf o ra r b i t r a r ys t o c h a s t i cs e q u e n c e s ( s e e 【2 8 ，7 9 ) s t r o n gd e v i a t i o nt h e o r e m sa r ea c l a s so fs t r o n gl i m i tt h e o r e m se x p r e s s e db yi n - e q u a l i t i e s t h e ya r et h ee x t e n s i o n so fs t r o n gl i m i tt h e o r e m se x p r e s s e db ye q u a l i t i e s ， i ti san e wr e s e a r c h i n gt o p i cp r o p o s e db yp r o f e s s o rl i uw e n i nr e c e n ty e a r s ，y a n ga n dl i uh a v es t u d i e dt h es t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r sf o r n o n h o m o g e n e o u sm a r k o vc h a i n s ，e n t r o p yt h e o r e m si ni n f o r m a t i o nt h e o r y , s t r o n g l i m i tt h e o r e m sf o ra r b i t r a r ys t o c h a s t i cs e q u e n c e s ，s t r o n gd e v i a t i o nt h e o r e m sf o r s e q u e n c e so fd i s c r e t er a n d o mv a r i a b l e sa n ds t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r sa n de n t r o p y t h e o r e m sf o rm a r k o vc h a i nf i e l d so nt r e e sb yu s i n gt h en f f wa p p r o a c h e sw h i c h a r ed i f f e r e n tf r o mt h et r a d i t i o n a lo n e s m a n yp a p e r sh a v eb e e np u b l i s h e di nt h e n a t i o n a lj o u r n a l sa n di n t e r n a t i o n a lj o u r n a l s ( c f 4 5 ，4 6 ，4 7 ，4 8 ，4 9 ，5 0 ，5 1 ，5 2 ，5 3 ， 5 4 ，5 5 ，5 6 ，5 7 ，5 8 ，5 9 ，6 0 ，6 1 ，6 2 ，8 6 ，8 7 ，8 8 ，8 9 ，9 0 ，9 1 ，9 2 ，9 3 ，9 4 ，9 5 ，9 6 ，9 7 ，9 8 ， 9 9 ，1 0 1 ，6 3 ，1 0 0 ) m a n yr e s u l t sc a na l s ob e e nf o u n di nb o o k1 4 0 t h e r ea r es i xc h a p t e r si nt h i sd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n i nc h a p t e r0 ，w eg i v ea ni n t r o d u c t i o no ft h eb a s i cn o t i o n s ，m a i nr e s u l t sa n d a p p r o a c h e su s e di nt h i sp a p e r i v 上海交通大学博士学位论文 i n c h a p t e r l ，w ee s t a b l i s hs t r o n g l a w o f l a r g e n u m b e r s f o r t h e b i v a r i t e f u n c t i o n s o fc o u n t a b l en o n h o m o g e n c o u sm a r k o vc h a i n sa n de n t r o p yt h e o r e mf o rc o u n t a b l e n o n h o m o g e n e o n sm a r k o vc h a i n su n d e rn i ec o n d i t i o no fu n i f o r mc o n v e r g e n c ei nt h e c e s 缸os e n s e i nc h a p t e r2 ，w ef i r s te s t a b l i s ht h es t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r sa n de n t r o p y t h e o r e mf o rf i n i t er u t ho r d e rn o n h o m o g e n e o u sm a r k o vc h a i n s ，t h e no b t a i nt h e s t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r sa n ds h a n n o n - m c m i l l a nt h e o r e mf o rc o u n t a b l em t h o r d e rn o n h o m o g e n e o n sm a r k o vc h a i n s i nc h a p t e r3 ，w ef i r s ts t u d yt h es t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r sa n de n t r o p y t h e o r e mf o rn o n h o m o g e n e o u sm a r k o vc h a i n si n d e x e db yh o m o g e n e o u st r e e ，t h e n o b t a i nt h es t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r sa n de n t r o p yt h e o r e mf o re v e n - o d dm a r k o v c h a i n 丘d d so nt r e e s i n c h a p t e r 4 ，w e f i r s te s t a b l i s h t h es t r o n g l i m i t t h e o r e m s f o r a c l a s s o f s t o c h a t i c s e q u e n c e r s ，w h i c hg e n e r a l i z es o m ek n o w nr e s u l t s ，t h e ns t u d yt h el o c a lc o n v e r g e n c e t h e o r e mf o ra r b i t r a r ys t o c h a s t i cs e q u e n c e sw h i c ha l s og e n e r a l i z es o m ek n o w nr e - s t i l t s ，f o re x a m p l e ，g e n e r a l i z et h eb o r e l - c a n t e u il e m m a i nc h a p t e r5 ，b yc o m p a r i n gb e t w e e na r b i t r a r ym e a s u r ew i t hm t ho r d e rm a r k o v m e a s u r e w eo b t a i nt h es t r o n gd e v i a t i o nt h e o r e m sf o rs e q u e n c e so fa r b i t r a r yr a n d o mv a r i a b l e s d t hr e s p e c tt om t ho r d e rn o n h o m o g e n c o u sm a r k o vc h a i n s a sa c o r o l l a r y ，w eg e tas t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r sa n dae n t r o p yt h e o r e mf o rm t h o r d e rn o n h o m o g e n e o u sm a r k o vc h a i n s k e yw o r d s i n o n h o m e g e n e o n sm a r k o vc h a i n s ，s t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r s ， r a n d o mf i e l d s ，e n t r o p y , s t r o n gd e v i a t i o nt h e o r e m v 上海交通大学博士学位论文 符号说明 q ，p ) ：概率空间； i i a i i = s u p 建q j e s i ：矩阵a = ( 叼) 的范数； l = 邑。s i l j l ：行向量，= ( ，2 ，) 的范数； i _ 巩s i g d ：列向量g = ( 9 l ，卯，) 的范数； 设r = 0 n ( i ，j ) ) ，i ，j 只n 1 为非齐次马氏链的转移矩阵列； p ( m 砷= 只计l j + o r ，p ( m ，”) = p ( 托= 引x m = i ) ； i l k ) = ，( o ) 只恳p k ，( ) 0 ) = p ( x k = j ) ； 记霸= 五m ，墨 ，j p = x o ， 2 象= 。， ，矿= 硒，靠 ； 严= o l ，i m ) ，j ”= u l ，) ； 厶p ) ；一；h l p ( x o ，) ： x o ， 的熵密度； 岛( 一) ： ”在x 矿，j 甲，掣n 。一- 。1 中出现的次数； 厶( i ”1 ) ：i ”+ 1 在x 矿，】甲“，瑚一。中出现的次数； t b n = t n ：b e t h e 树，其每个顶点有n 个相邻定点； t o , 2 ：c a y l e y 树。其每个顶点有2 个下层的顶点； p o c ，驴：奇偶马氏链场； 硝帕：树图t 包含从根顶点到n 层上所有顶点的子图； 晶( t ) = m 和，x t = ) i ； ，矗，n o ) 是一随机序列，即矗c 磊+ l 且是矗可测的； h ( p f q ) = l h i n k 丢l i t 粤黼：p 关于q 的榉本散度率距离； 设c 0 为常数，d ( c ) = 如：h ( p l q ) c ； ( 口j + ；m “( o ，d 鲥| 幛；四 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：奄奄虱 1 3 期；2 0 0 6 年1 1 月2 6 日 附件五 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在一年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密口。 ( 请在以上方框内打“4 ”) 学位论文作者签名： 裥 日期2 0 0 6 年1 1 月2 6 日 c 、 玩卜日 刖 签 f 稚 年 i y ， 捌 吖 剥 弦j 荆 期 第零章绪论 o 1 研究背景和意义 强极限理论在概率论中占有十分重要的地位二十世纪六十年代以来，继独立 随机变量和序列的极限理论获得完善之后，各种相依随机变量序列强极限理论有 了很大发展，我国学者在这方面做出了许多出色的工作，在国际上有一定影响( 见 【4 3 1 及所引文献) 关于强极限理论的最新进展可参见 3 1 ，4 ，3 2 ，1 6 ，1 1 1 信息 论的熵定理也称s h a n n o n - m c m i l l a n 定理或信源的渐近均分割性( a s p ) ，是信息论 的基本定理。是各种编码定理的基础，在大偏差理论中也有重要应用见f 7 4 】) 关于信息论的熵定理的系统介绍见【2 6 】 马氏随机场是马氏过程推广到多维指标情形，由于有广泛的应用前景而受到 物理学，概率论、信息论界的广泛兴趣。它是近年来发展起来的概率论重要分支之 一随机场大致分为格上随机场与树囝上随机场。其中重要内容是格上与树图上 的马氏随机场( g i b b s 随机场) ( 参见 2 5 1 ) 文献【5 l 给出了树图上马氏链一般定 义关于树图上随机场研究的最新进展见1 2 5 ，7 8 ，5 ，6 ，7 1 ，1 0 5 ，1 0 6 ，8 0 ，2 4 ，1 7 ，倒 随机场理论的系统介绍也可参见【2 5 j 通常认为研究树图上随机场的强极限定理是十分困难的树图上马氏随机场 的强大数定律及具有m m 收敛性的熵定理是一个没有解决的公开问题，甚至对最 简单马氏随机场- b i n g 模型，这方面问题也没有解决由于树图上马氏随机场与 树图上马氏链密切相关 参见【2 5 】沪。2 3 8 ) 本人希望在这方面的研究有所突破另 外，树指标非齐次马氏链的强大数定律及熵定理也是一个值得研究的问题 文献【1 5 j 的第一部分系统的研究了齐次马氏链的强大数定律，中心极限定理 及重对数律由于缺乏有效的工具，非齐次马氏链和随机场强极限定理与熵定理 方面的研究一直未取得系统性突破近年来有一定的迸展，包括杨卫国及合作者 的一些工作进步的深化和拓展工作还未系统进行近年来，杨卫国与已故刘文 教授合作，采用与传统方法不同的研究方法( 见【删) ，在非齐次马氏链强大数定 律，信息论熵定理，任意随机变量序列的强极限定理、任意离散随机变量序列的强 偏差定理、树图上马氏链场的强大数定律与熵定理等方面进行了一系列研究。在 国内外重要学术刊物上发表了一系列论文，其中部分结果已总结在专著中 文献】研究了在一般状态空间取值的齐次马氏链的各种遍历性问题我国 学者陈木法院士等近年来对马氏链各种遍历性进行了一系列研究，做出了出色的 上海交通大学博士学位论文 工作( 参见【1 2 i 及所引文献) 杨卫国与刘文合作利用可列非齐次马氏链平均强遍 历性研究了有限和可列非齐次马氏链强大数定律及熵定理( 觅1 5 7 ，5 8 ，髓，9 1 1 ) 设 ，元，n o ) 是一随机序列，即矗c 矗+ l 且五是矗可测的关于任 意随即变量序列的强极限定理( 其推论是鞅的强大是定律) ，目前已有经典的结果 ( 参见f 2 8 ，7 9 1 ) 本博士论文拟采用以下方法1 ) 采用已故刘文教授提出的。后被本文作者 与刘文教授合作不断发展的研究概率论强极限定理的新方法该方法的要点是通 过构造含参数的似然比或鞅。利用似然比几乎处处收敛或鞅收敛定理来证明某些 极限几乎处处存在本文作者及其合作者用这种方法成功的研究了齐次树图上有 限马氏链及树指标有限马氏链的强大数定律及熵定理，而强偏差定理是这种方法 特有的结果本博士论文扩大该方法的应用范围，得出了更多的新结果2 ) 本 文作者在研究非齐次马氏链强大教定律方面，我们利用鞅收敛定理、可列非齐次 马氏链平均强遍历性或可列非齐次马氏链的转移矩阵绝对平均收敛到个遍历矩 阵证明了可列非齐次马氏链若干强大数定理及熵定理 本博士论文采用的研究概率论强极限定理的新方法，是与传统方法不同的 利用该方法开展的马氏随机场强极限定理及强偏差定理的研究，本文作者认为这 是传统方法不易做到的对于研究树图上马氏链的强大数定律与爝定理，传统方 法甚至没有办法给出满足强大致定律与熵定理的矩条件对于齐次马氏链极限定 理的研究。传统方法是利用齐次马氏链的常返性。将齐次马氏链部分和表示为独 立同分布随机变量序列的部分和，然后利用独立同分布随机变量序列的强大致定 律、中心极限定理及重对数律得到齐次马氏链的相应结果但这种方法对于研究 非齐次马氏链的强大数定律及熵定理就不太有效了国际上非齐次马氏链强大数 定律及熵定理的研究一直没有取得系统性突破，本文作者与合作者利用本博士论 文的研究方法取得了一定的进展，本博士论文进一步深化和拓展这方面的研究 将信息论的概念与概率论的定理结合起来进行研究是本博士论文的特色 0 2 基本概念 o 2 1 条件期望与鞅 定义0 2 1 设( n ，p ) 为一概率空间，为，的子口代数设x 为数学 期望存在的随机变量，即m i n e x + ，e x 一 - - o o 则x 的期望存在。且e x nt e 吲a e ； f 砂设置。j xn ，且e 【x l 】 一o 。，且对每个t 1 2 1 ，有矗yd c 则l i m i n f 。_ 。x 。的期望存在，且有 e i 骧群吲1 骢酽e 陬i 明o c 例若存在随机变量 ，使e l y l 0 的z l 求和由于 厶d p = 上删麓兰毫妄岩a p 。! ! 婴上2 孕土；掣p ( 跏，+ 1 ) 每p ( x o ，+ 1 ) f 、“一 0 2 8 = q ( z o ，z ，件i ) q ( z o ，x n + 1 ) = 口( 知，孙) = “ap q ( ( 函x o ，, - ，, x ) ) 一- - = a z d p 所以t 磊，n o ) 为一p - 上鞅 引理o 2 8 ( 参见8 5 j , p 剁君) ( d b 鞭收敛定理) 设矗，”o 为一上 鞅。如果欺e f 东j 线等价的s u p e i x 1 1 0 ，使当a6 ，且p ( ) 最有 ， s u p l f i d p e f 州j a 引理0 2 1 1 ( 参见口，p 9 7 ) 设0 o ， c a ， 当p ( a ) 6 ，对所有n 有 lh ( w ) d v o ，f = l ，2 ，5 ，且名1 r = 盛l 吼在( o 2 1 1 ) 中用l n 船代 替i n p ( a n x o = x o ，= z 。) ) 。并注意到 p ( a n x o = ，托= 蚶) = 跗) = 裂， ( 0 2 1 3 ) 由( 0 2 1 1 ) ，舡2 1 2 ) 和0 2 1 3 ) 有 f a - ( u ) d es 亲一磊1 ( 1 n 篇) p ( a a 弱= 知，= ) = 一( i n 裂) 亲王p ( a n 弱= 知，= ) ( 0 2 朋) ；( 型i n n 一訾娑) p ( a ) nn ( 2 i n n i n p ( ) ) p ) 由于l i n k 妒( 2 l n 一i n z ) z = 0 ，故当p ( a ) 任意小时，可使( 0 2 1 4 ) 右端任意小， 故1 ) 成立 再证2 ) 在( o 2 1 4 ) 中令a = n ，有 e 厶) 2u o ( 。) 2 i n n ,( 0 2 1 5 ) 故e 厶) 关于n 一致有界 所以 ，二u ) ，n o ) 一致可积证毕 由引理0 2 1 1 及引理0 2 1 2 知，厶( u ) 几乎处处收敛可以导致l l 收敛，所以 关于厶) 几乎处处收敛的定理是最强的结果 7 上海交通大学博士学位论文 0 3 主要结果 设a = ( 叼) ，i ，j s , s = l ，2 ，) 定义 的范数如下 i l a l l = s u p k | ( o ，3 1 ) j 我们在第一章证明如下结果 定理0 , 3 1 设 墨，n o 是在状态空问s = l ，2 ， 上_ 取值的非齐次马氏 链，其转移矩阵列为 晶= ( 鳓( ，j ) ) ，n 1 ) ，其中( i ，j ) = p ( 墨，= 引葺。一1 = i ) 设 ，n ( ，) ，n 1 ) 是定义在s s 上的一列函数， ( z ) ，n 1 ) 是定义在丑上 的非负偶函数，满足当川增加时 ( z ) ht ， ( z ) 舻i 设 甄( i ) = - f 0 ，咖如j ) ， ( 0 3 3 ) j 9 ( ) 是定义在s2 g s 另一函数，璺n 与9 是列向量，其第i 个分量分别为鲰( ) 与 9 ( i ) 设口为常数矩阵，即q 的每行均相同如果 1 。 塞型铲 m ， ( o 3 4 ) ：； ( n ) 2 0 规潞o ：薹加删一0 1 1 = o t ( o 3 j 5 ) 即非齐次马氏链是一致c 强遍历的， 3 0 舰；目珊一，i i 划， ( n 3 6 ) 其中i 是有限，即i i g l sm ，则 ，墨：歪a ( 尥山拖) 2 莩娟) 丌l “b ， ( o 3 7 ) 其中= ( 1 r 1 ，匏，) 是常数矩阵口共同的行向量 以上定理推广了文献【4 2 】的定理3 由此定理可得非齐次马氏链的一个a e p 8 第零章t 绪论 定理0 3 2 设非齐次马氏链 矗，n o ，常数随机矩阵q ， ( z ) ，n l 如定理0 3 1 厶) 为 置，0 s i s n ) 的熵密度设 如( ) = 一( i ，j ) i n 砌( i ，j ) ， ( o 3 8 ) 9 ( ) 是定义在8 上的另一函数，璺n 与g 是列向量。其第i 个分量分别为鲰( ) 与 9 ( i ) 设口为常数矩阵，即口的每行均相同如果 l o 曼型鼍静趔 * ， ( o 。9 ) n 。= l 【n ) 、 2 0 撬嚣| i ：荟加肿虬0 1 1 = 0 t ( 0 3 1 0 ) 熙；砉恢刊| _ o ， ( o - 3 1 1 ) 其中吲lsm ，则 2 骢厶扣) = g ( h o e ，( o 3 1 2 ) t 其中口= ( 7 1 1 ，丌2 ) 是口共同的行向量 设s 为有限集或可列字母集，不妨设s = 1 ，2 ) 或s = 1 ，2 ，j v ) 设 ，n 2o ) 是在字母集s 中取值的随机变量序列如果当n 芝m 时 p ( 蜀= 如阢= z o ，一1 = 一1 ) = p ( 焉= o n l 矗一。= - m ，以一1 = 一1 ) 则称f 矗，”2 0 为m 阶非齐次马氏链记 q ( i 0 ，。一1 ) = p c x o = 主o ，x k 一1 = 。一1 ) p h u i l ，i m ) = _ 尸( j = j | 弱一。= i l ，一l = i m ) 口( ，i r a - 1 ) 称为m 维初始分布， 0 h ，i 。) 称为m 阶转移概率而 称为m 阶转移矩阵这时 r = 0 h 0 ，k ) ) ，n m( 0 3 1 3