（应用数学专业论文）典型非线性演化方程及其应用于图像处理的研究.pdf

两北 ：业大学硕士学位论文 中文摘要 随着非线性科学的迅猛发展，非线性演化方程( 包括非线性常微分方 程、非线性偏微分方程、非线性差分方程和函数方程等) 及其应用于图像 处理方面的研究已成为非线性科学前沿领域的主要研究内容。 非线性演化方程的求解问题是古老而在理论和实际上都很重要的研究 课题。随着非线性科学的进展，非线性演化方程的求解成为广大物理学、 力学、地球科学、生命科学、应用数学和工程技术科学工作者研究非线性 问题所不可缺少的。目前，国内外许多学者都致力于这方面的研究。另一 方面，非线性演化方程在图像处理方面有着广泛的应用。因此，如何更好 的利用非线性方程进行数字图像处理，成为当前重要的研究课题。 本文围绕非线性演化方程领域的上述重要研究命题，运用数学机械化、 符号计算、物理学、力学、信号处理及模式识别等学科交又综合技术，研 究某些典型非线性演化方程的求解问题及非线性演化方程在图像处理方面 的应硐，主要研究内容包括： 1 利用一种基于符号计算的代数方法，结合m a p l e 环境中的e p s i l o n 软件包，求解了b o u s s i n e s q 方程，获得了若干其它方法不曾给出的形式更为 丰富的新的显式行波解，其中包括孤波解、三角函数解、有理函数解、j a c o b i 椭圆函数周期解和w e i e r s t r a s s 椭圆函数周期解与文献1 1 ，4 3 相比，本文的 方法更为简便、易行将该方法应用于其它非线性演化方程( 组) 中，可获 得更多的显式行波解 2 在l 的基础上，发展了一种推广的代数方法，并借助该方法求解了 非线性色散b o u s s i n e s q 方程( 8 ，”) 方程) ，获得了其多种显式精确行波 解，包括孤波解、三角函数解、有理函数解、j a c o b i 椭圆函数周期解和 w e i e r s t r a s s 椭圆函数周期解，进一步丰富了b ( m ，”) 方程的解 3 空间域上的水印算法往往不能同时有效的抵抗高斯噪声和椒盐噪 声的攻击，而仅对其中的一神表现出较强的健壮性本文借助于典型非线性 演化方程一l o g i s t i c 映射产生混沌序列，然后基于混沌序列提出了种 新的空间域盲水印算法通过引入特征串的概念，算法有效的克服了空间域 水印算法的上述缺点系列水印攻击实验表明该算法能够有效的抵抗高 斯噪声和椒盐噪声的攻击，而且对诸如图像增强、锐化、滤波、剪切、j p e g 压缩等一些常见的图像处理也都表现出了较好的健壮性 阳北工业人学硕士学位论文 关键词：非线性演化方程，符号计算， b o u s s i n e s q 方程，显式行波解，版权保 护，数字水印，混沌序列 a b s t r a c t w i t ht h ef a s td e v e l o p m e n to fn o n l i n e a rs c i e n c e ，t h er e s e a r c ho fn o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n s ( e g n o n l i n e a ro r d i n a r yd e r i v a t i v ee q u a t i o n s ，n o n l i n e a r p a r t i a l d e r i v a t i v ee q u a t i o n s ，n o n l i n e a rd i f f e r e n c e e q u a t i o n sa n df u n c t i o n e q u a t i o n se t c ) a n dt h ea p p l i c a t i o no fi tt ot h ei m a g ep r o c e s s i n gh a v eb e c o m e t h em a i nc o n t e n to ft h ef r o n t i e ro fn o n l i n e a rs c i e n c e t h ep r o b l e mo ft h es o l v i n gn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n si sn o to n l y a g e o l d b u ta l s o i m p o r t a n ti nt h e o r ya n dp r a c t i c e w i t ht h ee v o l u t i o no f n o n l i n e a r s c i e n c e ，s o l v i n gn o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n s h a sb e e n i n d i s p e n s a b l et om o s tp h y s i c s ，m e c h a n i c s ，g e o s c i e n c e ，l i f es c i e n c e s ，a p p l i e d m a t h e m a t i c sa n dt e c h n i c a la n ds c i e n t i f i cw o r k e r s c u r r e n t l y ，m a n ys c h o l a r s a r ea p p l y i n gt h e m s e l v e st ot h i sf i e l d o nt h eo t h e rh a n d ，n o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n sh a v ea na b r o a da p p l i c a t i o ni nt h ei m a g ep r o c e s s i n g t h e r e f o r e ，h o w t od ot h ei m a g ep r o c e s s i n gb e t t e rb yu s eo fn o n l i n e a re q u a t i o n si sa ni m p o r t a n t r e s e a r c hc o n t e n tf o rd i s c u s s i o nc u r r e n t l y b a s e do nt h ea b o v ei m p o r t a n tp r o b l e m si nt h er e s e a r c hf i e l do fn o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n s ，t h es o l v i n gp r o b l e mo fs o m et y p i c a ln o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n sa n dt h ea p p l i c a t i o no fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n st ot h ei m a g e p r o c e s s i n g h a v e b e e ns t u d i e d b y t h ec r o s s o v e ra n d i n t e g r a t i o n o f m u l t i d i s c i p l i n e s ，s u c h a sm a t h e m a t i cm e c h a n i z a t i o n ，s y m b o l i cc o m p u t a t i o n ， p h y s i c s ，m e c h a n i c s ，s i g n a lp r o c e s s i n ga n dp a t t e r nr e e o g n i t i o n t h em a i n c o n t e n t so ft h ed i s s e r t a t i o na r ed e s c r i b e da sf o l l o w i n g ： 阳北工业人学硕士学位论文 关键词：非线性演化方程，符号计算， b o u s s i n e s q 方程，显式行波解，版权保 护，数字水印，混沌序列 a b s t r a c t w i t ht h ef a s td e v e l o p m e n to fn o n l i n e a rs c i e n c e ，t h er e s e a r c ho fn o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n s ( e g n o n l i n e a ro r d i n a r yd e r i v a t i v ee q u a t i o n s ，n o n l i n e a r p a r t i a l d e r i v a t i v ee q u a t i o n s ，n o n l i n e a rd i f f e r e n c e e q u a t i o n sa n df u n c t i o n e q u a t i o n se t c ) a n dt h ea p p l i c a t i o no fi tt ot h ei m a g ep r o c e s s i n gh a v eb e c o m e t h em a i nc o n t e n to ft h ef r o n t i e ro fn o n l i n e a rs c i e n c e t h ep r o b l e mo ft h es o l v i n gn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n si sn o to n l y a g e o l d b u ta l s o i m p o r t a n ti nt h e o r ya n dp r a c t i c e w i t ht h ee v o l u t i o no f n o n l i n e a r s c i e n c e ，s o l v i n gn o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n s h a sb e e n i n d i s p e n s a b l et om o s tp h y s i c s ，m e c h a n i c s ，g e o s c i e n c e ，l i f es c i e n c e s ，a p p l i e d m a t h e m a t i c sa n dt e c h n i c a la n ds c i e n t i f i cw o r k e r s c u r r e n t l y ，m a n ys c h o l a r s a r ea p p l y i n gt h e m s e l v e st ot h i sf i e l d o nt h eo t h e rh a n d ，n o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n sh a v ea na b r o a da p p l i c a t i o ni nt h ei m a g ep r o c e s s i n g t h e r e f o r e ，h o w t od ot h ei m a g ep r o c e s s i n gb e t t e rb yu s eo fn o n l i n e a re q u a t i o n si sa ni m p o r t a n t r e s e a r c hc o n t e n tf o rd i s c u s s i o nc u r r e n t l y b a s e do nt h ea b o v ei m p o r t a n tp r o b l e m si nt h er e s e a r c hf i e l do fn o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n s ，t h es o l v i n gp r o b l e mo fs o m et y p i c a ln o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n sa n dt h ea p p l i c a t i o no fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n st ot h ei m a g e p r o c e s s i n g h a v e b e e ns t u d i e d b y t h ec r o s s o v e ra n d i n t e g r a t i o n o f m u l t i d i s c i p l i n e s ，s u c h a sm a t h e m a t i cm e c h a n i z a t i o n ，s y m b o l i cc o m p u t a t i o n ， p h y s i c s ，m e c h a n i c s ，s i g n a lp r o c e s s i n ga n dp a t t e r nr e e o g n i t i o n t h em a i n c o n t e n t so ft h ed i s s e r t a t i o na r ed e s c r i b e da sf o l l o w i n g ： 西北上业人。予：硕士学位论文 1 t h ea l g e b r a i cm e t h o d ，w h i c hi sb a s e do nt h es y m b o l i cc o m p u t a t i o n ， h a sb e e na p p l i e dt os t u d yn e wt r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n sf o rt h eb o u s s i n e s q e q u a t i o nb ym e a n so fe p s i l o np a c k a g ei nm a p l e m o r en e we x p l i c i tt r a v e l l i n g w a v es o l u t i o n sa r eo b t a i n e d ，w h i c hc o n t a i n s o l i t o n s ，t r i a n g u l a rp e r i o d i c ， r a t i o n a l ，j a c o b ie l l i p t i c f u n c t i o np e r i o d i ca n dw e i e r s t r a s se l l i p t i cf u n c t i o n p e r i o d i cs o l u t i o n s c o m p a r e dw i t h t h er e f e r e n c e s 【11 ，4 3 1 ，t h em e t h o dp u t f o r w a r di nt h i sp a p e ri sm o r es i m p l ea n dc o n v e n i e n t m o r ee x p l i c i tt r a v e l l i n g w a v es o l u t i o n sc a nb eo b t a i n e db yu s i n gt h i sm e t h o dt os o l v eo t h e rn o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n s 2 b a s e do nt h es e c t i o n1 ag e n e r a l i z e da l g e b r a i cm e t h o dh a sb e e n d e v e l o p e d ，a n dt h ep r o b l e mo ft r a v e l l i n g w a v es o l u t i o n so f n o n l i n e a r l y d i s p e r s i v eb o u s s i n e s qe q u a t i o n s ( b ( m ，n ) e q u a t i o n s ) h a sb e e ni n v e s t i g a t e db y u s i n gt h i sm e t h o d ，a n dav a r i e t yo fe x p l i c i te x a c tt r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n s ， s u c ha ss o l i t a r yw a v e ，t r i a n g u l a rp e r i o d i c ，r a t i o n a l ，j a c o b ia n dw e i e r s t r a s s e l l i p t i cf u n c t i o np e r i o d i cw a v es o l u t i o n sw e r eo b t a i n e df o r m a l l y ，t h u sf u r t h e r e n r i c h i n gt h es o l u t i o n so fb ( m ，) e q u a t i o n s 3 an e wb l i n dg r a y l e v e lw a t e r m a r k i n ga l g o r i t h mi ns p a t i a ld o m a i n b a s e do nc h a o t i cs e q u e n c e sw h i c hw e r eg e n e r a t e db yt h el o g i s t i cm a pw h i c h i so n eo ft h et y p i c a ln o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n si sp r o p o s e di nt h i sp a p e r b yt h ei n t r o d u c t i o no fc h a r a c t e r i s t i cs t r i n g ，a l g o r i t h m sb a s e do nb i t c h a n g e a n db l o c k m e a nh a v eb e e nc o m b i n e dt o g e t h e rq u i t ew e l l e x p e r i m e n t a lr e s u l t s s h o wt h a tt h ep r o p o s e ds c h e m ei sr o b u s tf o rs o m ei m a g eo p e r a t i o n ss u c ha s n o i s ea d d i n g ，c r o p p i n g ，f i l t e r i n ga n dl o s s yj p e gc o m p r e s s i o n k e y w o r d s ：n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ，s y m b o l i cc o m p u t a t i o n ，b o u s s i n e s q e q u a t i o n s ，e x p l i c i tt r a v e l i n g w a v es o l u t i o n s ，c o p y r i g h tp r o t e c t i o n ，d i g i t a l w a t e r m a r k ，c h a o t i cs e q u e n c e s 强匕l ：业人学烦十。学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 非线性演化方程研究的基本概况f 卜3 】 近几十年来，非线性科学得到了迅速的发展，现在人们已经普遍认识 到非线性科学是已经处于自然科学前沿的学科，它作为一门研究非线性现 象共性的交叉学科，被誉为2 0 世纪继相对论、量子力学之后的又一次“科 学革命”非线性科学也是人类认识自然的一次飞跃，它证在改变着人们对 传统学科的划分和科学研究的方法 非线性问题在数学、物理和力学中早已存在，从前人们只能对具体问 题采取新颖的技巧或特殊的算法个别的解决，没有认识到它们之间的内在 联系，不能用解析方法一般的处理到2 0 世纪6 0 年代以后，由于计算机的 广泛应用和由此发展起来的“计算物理”和“实验数学”方法的利用， 方面。人们从研究可积系统无穷多自由度的非线性偏微分方程的过程中， 在浅水波方程罩发现了“孤立予”，并得出了一套求解一大类非线性偏微 分方程的逆散射法；另一方面，从一些看起来不甚复杂的不可积系统的研 究中，发现了确定性动力系统中存在着对初值极为敏感的混沌运动人们越 柬越清楚的认识到，“大自然无情的是非线性的”在现实世界中，能解的、 有序的线性系统4 。是少见的例外，非线性才是大自然的普遍特性线性系统 其实只是对少数简单非线性系统的一种理论近似，非线性才是世界的魂魄， 而且正是非线性才造成了现实世界的无限多样性、曲折性、突变性和演化 性这样，就逐渐形成了贯穿物理学、力学、数学、天文学、生物学、生命 科学、空间科学、气象科学和环境科学等广泛领域，揭示非线性系统的共 性，探讨复杂性现象朴实方法的新的科学领域一一“非线性科学” 随着人们认识的不断深入，非线性科学这门新必学科所包含的内容也 在不断地充实和变化着 8 0 年代初，美国著名的l o sa l a m o s 国家实验室( 以造出第一颗原子弹 著称于世1 率先成立了非线性科学中心它的负责人d ，c a m p b e l l 在8 0 年代 中期将非线性科学要研究的问题归结为：( 1 ) 孤立予和逆序结构：( 2 ) 混沌和 分形：( 3 ) 斑图( p a t t e r n ) 的形成 1 9 9 1 年，l o sa l a m o s 实验室为庆祝非线性科学中心成立十周年而召开 两北r 业大学颀士学位论文 第一章绪论 的预测下十年非线性科学的学术讨论会上，又将非线性科学研究的闯题归 结为：( 1 ) 混沌和非线性动力学；( 2 ) 孤立子和关联结构：( 3 ) 斑图和湍流 9 0 年代末期，他们又将非线性科学研究的问题归结为：( 1 ) 混沌和动力 系统：( 2 ) 斑图形成利孤立子；( 3 ) 自适应和自组织系统；( 4 ) 计算方法和数 据分析：( 5 ) 完全可解和可积系统 为研究上述各种非线性问题，人们往往借助于它们的数学模型一一非 线性方程束研究，山子非线性方程中一般含有时间项，于是将含时间项的非 线性方程称为非线性演化方程( n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ) 或非线性发展 方程 通常，非线性方程3 1 包括非线性常微分方程( 对未知函数及其导数都不 全是线性的或一次式的常微分方程) 、非线性偏微分方程( 对未知函数及其 偏导数都不全是线性的或一次式的偏微分方程) 、非线性差分方程( 又称为 非线性映射或非线性迭代，它通常是非线性常微分方程或偏微分方程的离 散形式，它对未知函数的r 1 次迭代值都不全是线性的或一次式的) 和函数方 程( 一个函数自身或多个函数之间满足的一个代数关系式) 自2 0 世纪6 0 年代以来，非线性科学飞跃发展，与此相应，非线性演 化方程的研究内容也目趋丰富本论文的重点放在非线性演化方程精确解 的求解和非线性差分方程在图像处理方面的应用上下面对本文重点研究 的非线性偏微分方程和非线性差分方程做以简要介绍 物理和力学中经常提到和用到的非线性偏微分方程有： 1 l i o u v i l e 方程 最简单的二维l i o u v i l l e 方程的一般形式为 塑：。u a x 巩 它在微分几何、量子场论等问题中经常出现 2 m o n g e a m p e r e 方程 在流体力学的许多问题中经常用到的m o n g e a m p e r e 方程的般形式 为 宴堡一( 堕“a 蜜+ b 里至+ c 宴：d ， 爵萨一丽1 a 静仙丽“可划 其c pa ，b ，c ，d 均是x ，y ，娑和娑的连续函数或常数 萌- l t ：一i 。业大学硕士学位论文 第一章绪论 3 非线性平流方程 空间的一维非线性平流方程为 坐+ u 塑：0 执孤 4 b u r g e r s 方程 b u r g e r s 方程是非线性的耗散( 热传导、扩散和黏性) 方程，其一般形式 为 垒+ 。塑一。空：o a孤 良 其中v 0 为耗散系数 5 k d v ( k o r t e w e g - d ev r i e s ) 方程 k d v 方程是非线性的频散方程，其一般形式为 象+ u 衾+ 喀- o ，a t叙敏3 其中卢为频散系数 6 b o u s s i n e s q 方程 b o u s s i n e s q 方程的一般形式为 塑0 t 2 暴一口窘一p 等一o ，q ；雨咄丽一丽。0 ， 其中口，和c ：均为正的常数 对浅水波而言，其x 方向的速度u 和自由面的高度h 通常满足下列 b o u s s i n e s q 方程组： l 塑+ u 塑+ g 垫+ 1 姜生：0 h， l 瓦瓦地赢+ 石际2 ， l 垫+ u o h + h 塑：0 【反 瓠 0 x 7 非线性s c h r 6 d i n g e r 方程 非线性s c h r s d i n g e r ( 简称为n l s 方程，又称为立方s e h r t ，d i n g e r 方程1 它是描写非线性波的调制( 即非线性波包) 方程，其一般形式为 i 窑+ 口筹叩i u l 2 u _ o ，( i s 再) 其中，1 2 和口分别为频散系数和l a n d a u 系数 4 阳北。f ：业人学硕十学位论文 第一章绪论 差分方程( 也称为映射) 是微分方程的离散形式，其自变量为 n ( n 2 0 ，1 ，2 ，) ，因变量为x 。、( n = 0 7 1 ，2 ，) x 。的一阶导数和二阶导数分别用 x 。，一x 。和x m 一2 x 。+ ，+ x 。来表示，在物理学和力学的众多问题中遇到的非线 性差分方程和非线性微分一差分方程很多，经常提到和用到的有： 1 l o g i s t i c 映射 l o g i s t i c 映射是个离散的生态模式设x 。代表第r l 代某种生物群体的 数目( 为了方便，已用生物群体数目的最大值作为参考值无量纲化) ，则 l o g i s t i c 映射通常写为 x 。+ l = , u x 。( 1 一x 。)( 0 x 。1 ，0 4 ) ，( 1 i ) 其中“为参数 2 帐篷映射 帐篷映射的一般形式为 x 。t = 葛；一。， ：- 0 )( 1 1 2 ) 则方程( 1 1 1 ) 化为 r ，= a ( 2 e 一一e 4 “一e 。，)( 1 1 3 ) 它称为t o d a 映射( m a p ) ，又称t o d a 晶格( 1 a t t i c e ) 或t o d a 链( c h a i n ) 1 2非线性演化方程精确解研究的发展概况【4 4 】 由于非线性问题的纷繁复杂，所以如何获得非线性演化方程的解就成 为研究非线性问题的首要任务几百年来，这曾经是摆在广大数学、物理和 力学工作者面前的一道难题然而，科研工作者通过不懈的努力，也取得了 令人可喜的成绩一般而言，对非线性演化方程求解的研究，可以从以下几 个方丽入手其一，在难于求得显式解的情况下，根据基础的数学知识对解 的适定性( 解的存在性、雎一性和稳定性) 进行分析，即采用定性理论或几 何方法；其二，借助计算数学理论和数值方法进行数值模拟，进行数值分 析求解；其三，应用某些数学技巧和假设，构造适当的变换，对方程进行 化简，然后求得某些解析解( 一般包括近似解和精确解) ，甚至有些方法要 6 p q 此1 业人学硕1 j 学侥论文 第一章绪论 借助符号计算来进行第一种研究方法为定性研究，而后两个方恧主要是定 量的研究由于非线性演化方程本身的复杂性，非线性演化方程的求解是各 门学科中所遇到的大难题，仍然有大量的有实用价值的重要方程无法求 得解析解，而已经求得精确解的非线性演化方程，也是根据不同的方法获 得的，目自u 尚无统的方法，而且得到的解是否具有物理意义还有待进 步的验证当然，所求得的解也是满足一定条件的特解，比如孤波解和相似 解，因此，非线性演化方程的求解和求解方法的发展构成了显式解研究中 的一个有机整体 出于非线性演化方程本身就是对自然规律的近似捕述，因而剥非线性 演化方程的近似解的研究就显得尤为重要，具有重要的实际意义 基于l i e 对称理论的自相似解方法j 就是求解非线性演化方程近似解 的一种有效方法 2 0 世纪6 0 年代产生的约化摄动方法以及后来发展起来的幂级数展开 方法，是用来求解非线性演化方程及近似解的好方法 2 0 世纪7 0 年代提出的等价粒子理论，运用于孤子理论中，也可以得 到许多新的结果 在精确解方面，尽管求解技巧性很强，能够求解析解的非线性演化方 程数量有限，然而到目前为止已发展了一系列获得非线性演化方程显式精 确解的精巧方法尤其是孤立子理论的产生和发展，更为非线性演化方程的 求解提供了便利条件 b a c k l u n d 5 1 变换是求解非线性演化方程精确解的一个有效方法早在 1 8 7 5 年，瑞典几何学家b t c k l u n d 在研究负常曲率面时就提出了s i n e 。g o r d o n 方程的b g c k l u n d 变换，但直到2 0 世纪6 0 年代，由于非线性光学等许多物 理领域都与s i n e g o r d o n 方程有关，从而才使这种方渡又一次受到重 视w a h l q u s t ，e s t a b r o o k ( 1 9 7 3 ) ，w e i s s ，t a b o r ，c a r n e v a l e ( 1 9 8 3 ) 等发展了这种 方法我国胡星标教授在这方面也作了深入的研究这神方法建立了一个偏 微分方程的解与另一个已知的线性偏微分方程解之间的关系或一个偏微分 方程两个不同解之间的联系( 即非线性叠加原理) 从而就可以根据已知线性 方程的解去求非线性偏微分方程的解或根据非线性偏微分方程的一个解去 求其他的解 d a r b o u x 【7 1 变换也是一个和b f i c k l u n d 变换具有同等地位的重要变 换1 8 8 2 年，d a r b o u x 首先引入了d a r b o u x 变换，通过多次d a r b o u x 变换， 就可阻获得非线性演化方程的多孤子解等，它是一个完全代数化的方 法w a d a t i ( 1 9 7 5 ) ，谷超豪院士、耿献国教授、范恩贵教授等人在这方面作 一北l ：业人学硕+ 学位 仑文 第一章绪论 了许多工作该方法的主要思想如下： 考虑一个非线性演化方程组 l c f ( u ，u x , u i ，ux x ，) = 0 ， 其中u = u ( x ，t ) 寻找其l a x 变换a l ，使得 d = a ；l ；( 1 1 4 ) 我们称( 1 1 4 ) 的非奇异解妒为基本解 变换( u ，妒) 斗( u ，r , o ) 斗( u ”，妒) j 就是d a r b o u x 变换利用方程组( 1 1 4 ) 找到递推关系、约束条件和递推关系中的其它待定函数，然后利用形成的 递推公式就可求出原非线性演化方程( 组) 的孤子解 1 9 6 7 年，普林斯顿大学的数学家、物理学家g a r d n e r ，g r e e n e ，k r u s k a l 和m i u r a ( 简称g g k m ) 合作把k d v 方程和一维线性s e h r g d i n g e r 方程的逆散 射问题联系起来，导出了k d v 方程初值问题的解可简化为求解三个线性方 程的问题，并得到了许多结果，包括k d v 方程n 个孤波相互作用的精确 解，此后人们把这种方法称为逆散射方法 9 】或反散射方法由于求解过程中 运用了f o u r i e r 变换和逆变换，故也称为f o u r i e r 变换法。后来，经过l a x ( 1 9 6 8 ) ，z a k h a r o v ( 1 9 7 2 ) ，a b l o w i t z ，k a u p ，m e w e l l 和s e g u r ( 1 9 7 4 ) 等人的 进一步总结，使该方法更加完善，并能求得大批非线性演化方程的有重 要意义的解，包括多孤子解这种方法的出现，标志着现代意义上的孤立子 理论的真正产生 该方法的关键取决于三个方面： 1 ) 首先给定一个特征值问题 l 伊= 五妒，( 1 15 ) 其自共轭线性微分算子l 是与方程孤子解u ( x ，t ) 有关的线性算子，波函数 p = e ( x ，t ) 找到该特征值问题的正散射问题( 如l 是s c h r 6 d i n g e r 算子时，给 定位势u ( x ，t ) ，求a 。= _ k ：，c 。( k m ) 及波函数伊及反散射问题( 如给定散射 数据而求位势u ( x ，t ) ) 2 、再找一个合适的线性算子a ，使得 识= a 伊( 1 16 ) 由当冈斗m 时的渐近态，可确定散射数据随数据时间t 的发展规律 两北1 业人学硕+ 学位论文 筇一章绪论 3 ) 设特征值兄与t 无关( 称为谱不变( i s o s p e c t r a l ) ) ，即 z = 0 由此可推出 l l 妒十l g = l f p + l a 伊= 丑p + 霞= 五a 妒= a l 妒 囚e l 。= a l l a = 【a ，l 融号 a ，l 】= a l - l a 称为交换子上述算子方程称为l a x 方程算子a 和l 称 为l a x 对1 f 确选择a 和l ，使l a x 方程与非线- 陛演化方程等价，则其非线 性演化方程的初值问题可用i s t 方法求解 解法的基本步骤如下： 1 ) 对初值u ( x ，0 ) 的特征问题( 1 15 ) 进行处理，找到t = 0 时的散射数据； 2 ) 利用( 1 1 6 ) 及i x l 一。时的渐近念，可确定散射数据随时间t 的发展规 律； 3 ) 利用l 在时刻t 的散射数据，决定u ( x ，t ) ， 这种思想的特点是简练，但却不容易找到a 和l 征求解非线性演化方程孤子解时，h i r o t a 双线性方法也是一种重要的 直接方法1 9 7 1 年，日本数学家h i r o t a 引入了利用函数变换求特解的双线 性方法，即h i r o t a 方法9 1 该方法的基本思想是酋先引入适当的变换，将原 方程改写为双线性导数形式，然后将扰动展开式代入到双线性方程中，在 一定条件下将级数截断至有限项，最后构造出多孤子解的表达式这种方法 简洁宣观，现已发展成为求解非线性演化方程精确解的一种普适方法胡星 标教授进一步发展了该方法，使该方法所求的解更为广泛，并给出了互换 原理和非线性叠加公式 1 9 7 8 年，张鸿庆教授提出了微分方程求解的算子化方法，称为a c = b d 方法 1 9 9 4 年，王明亮教授提出了齐次平衡法f 1 0 】，又称为拟解法，成功的求 解了一大批非线性演化方程的精确解1 9 9 6 年，高以天教授等人改进了该方 法1 9 9 8 年，范恩贵博士、张鸿庆教授进一步发展了该方法，使该方法所求 的解更为丰富闰振亚博士在这方面也作了许多工作 2 0 0 1 年，刘式适教授等人提出了j a c o b i 椭圆函数展开法【1 1 12 1 ，并指 出了该方法的适用范围，求得了一系列非线性演化方程的精确周期解( 包括 孤立波解) 张善卿博士、李志斌教授、潘祖粱教授和范恩贵教授等学者在 西北i 业大学硕士学位论文第一章绪论 这方面作了r l ：多工作，尤其是闰振亚博士对该方法进行了扩展提出了扩 展的j a c o b i 椭圆函数展开法，使所求得的解更为广泛 基于j a c o b i 椭圆函数展丌法和l a m e 函数，刘式适教授和傅遵涛博士 又于2 0 0 3 年提出了求解非线性演化方程多级精确解的有效方法 除以上方法外，还发展了许多求解非线性演化方程精确解的好方法 比如双曲函数展开法【1 5 】( 包括t a n h 函数展开法) 、s i n e c o s i n e 方法、r i c c a t i 方程展开法、s i n e - g o r d o n 方程展丌法、p a i n l e v e 截尾展开法f m i 、各种形式 的分离变量法等等在这些方面，楼森岳教授、高以天教授、张鸿庆教授、 李志斌教授、张解放教授、王明亮教授和p a r k e s 等作了不少工作 近年来，对非线性演化方程的求解仍然有许多有效的方法被提出，比 如范恩贵教授提出的直接代数方法【m 20 1 ，闫振亚博士提出的w e i e r s t r a s s 椭 圆函数展开方法等等这些方法在非线性演化方程的求解中起到了举足轻 重的作用 数值方法的研究包括数学模型的离散化、求解离散化方程的算法和二 者的可靠性、有效性研究在各类数值方法中，应用最广、最成熟的是差分 法，它有各秘构造形式：显式的和隐式的，一步的和多步的，分裂的和跳 点的，耗散的和逆耗散的，守恒的和非守恒的等等差分法最主要的思想是 在微分方程中用差商代替偏导数，得到相应的差分方程，通过鳃差分方程 得到微分方程解的近似值 1 般方法如下： 设v = h ：( o ，l ) ；h = l 2 n ，n y v h 是由定义在 j h ，( j + v h ) 上为常数的 阶梯函数空间，其中v = j = o ，1 ，2 ，2 n 一1 阶梯函数为 w，=肘垒滋h名，2n0 乇 w j j ，2 1 ，其他处j _ 1 乒 一厶 则u 。= u h ( j h ) w j ”v u 。v h w j ，。) 是v h 的自然基，定义数量积 ( ( u h ，v 。) ) 。= f “v h u h v h v h d x ， ( u i l ，v h ) 。= r u i l v l l d x 其中v 。为向前差分算予 ( v 肭) = 坐竿型 两北。1 ：业夫学硕士学位论文第一章绪论 许多物理、力学问题可化为微分方程的定解问题，也可归结为变分问 题，即某物理量的极值问题相虑的变分原理( 如能量原理) 指出两种问题是 等价的对于前者可采用差分法近似求解；对于后者可采用一种直接解法 ( 能量法) 两种方法各有利弊有艰元方法f 是汲取了它们的优点而发展起 来的一种新的解法 在变分问题中，物理量一般可表示为待定函数( 如位移函数等) 及其导 数的积分式剥其积分区域，可仿照差分法的离散化方法( 按照一定方式划 分网格并取节点) ，把它划分为有限个子区域待定函数及其导数在子区域 的某些节点上的数值，称为节点参数值，显然它是待定的再根摒真接解法 的逼近方式，采用各个子区域内解析的差值函数来逼近 凶此，有限元法叭变分原理为基础并吸耿了差分格式的思想，对照差 分法步骤进行相应的更改，就能得到 从非线性演化方程解的形式来看，主要存在以下几种形式的解( 从非线 性动力学运动方程角度分析) ： n ) 发散解，也就是随着时间的增大，解将趋于无穷，如图1 1 图1 ，1发散解 ( 2 ) 振荡解，即解的取值总是在定范围内不断变化，这种解主要有下 面几剥t 形式：( a ) 周期解，即解的振荡具有确定的周期，如v a ld e rp o l 方程 的解，如图1 2 所示；( b ) 准周期解，貌似周期解而非周期解如受迫v a ld e r p o l 方程的解，如图1 3 所示：( c ) 混沌解：即非周期的随机运动解，如d u f f i n g 方程和著名的l o r e n z 系统的混沌解，如图1 4 f4 | | 。fm 1啊y 础 圈1 2v a ld e rp o l 方程的周期解 图1 3 受迫v a ld e rp o l 方程的准周蝴解 两北1 ：业大学硕十学位论文 第一章绪论 窳 7 、 晌 龆 制j ； 图1 4d u f f i n g 方程的混沌解图1 5d u f f i n g 方程的相图 图1 6l o r e n z 方程的相图 ( 3 ) 稳定解孤波解就是孤子方程的种高度