（应用数学专业论文）具时滞反馈的双激励耦合振子的动力学研究.pdf

硕十学位论文 摘要 本文研究了由两个具有时滞反馈的激励耦合振子组成的神经网络模型的动力 学性质 我们详细分析了振子之间的耦合强度是如何影响整个神经网络的动力学性 态。通过分析线性化系统的特征方程，给出了参数空间中所有平衡点类型的全面 分类。此外，我们还证明了系统可能会产生h o p f 分岔，而且还利用中心流形约化 方法和正规型理论得到了分岔周期解的分岔方向和稳定性。最后，运用数值模拟 说明了本文的主要结果。 本论文主要由以下六个部分组成： 第一章主要介绍了非线性时滞动力系统的研究背景、意义及进展情况，并简单 介绍了本文的主要工作 第二章给出了本课题研究所需的分岔理论、中心流形定理和神经网络的相关 知识。 第三章全面分析了系统可能出现的平衡点类型，给出了系统绝对同步的充分 条件。 第四章研究了系统的线性稳定性，并对其线性化系统的特征方程进行了详细 地剖析。 第五章证明了当耦合强度q 穿过临界值q 七或q j 时，系统便产生了局部h o p f 分 岔。 最后，第六章运用m a t l a b 的计算机仿真，给出的数值模拟支持了本文的主要 结果。 关键词：振子；同步；平衡点；稳定性；h o p f 分岔 i i 硕：学位论文 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d yd y n a m i c so fan e u r a ln e t w o r km o d e lc o n s i s t i n go ft w o c o u p l e do s c i l l a t o r sw i t hd e l a y e df e e d b a c ka n de x c i t a t o r y - t o - e x c i t a t o r yc o n n e c t i o n w ea n a l v z ei nd e t a i lh o wt h es t r e n g t ho ft h ec o n n e c t i o n sb e t w e e nt h eo s c i l - l a t o r sa f f e c t st h ed y n a m i c so ft h en e u r a ln e t w o r k w eg i v eaf u l lc l a s s i f i c a t i o no f a l le q u i l i b r i ai nt h ep a r a m e t e rs p a c ea n do b t a i ni t sf i n e a rs t a b i l i t yb ya n a l y z i n g t h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o no ft h el i n e a r i z e ds y s t e m w ea l s os h o wt h a ts y s t e m m a yu n d e r g oh o p fb i f u r c a t i o n m o r e o v e r ，t h es t a b i l i t ya n d b i f u r c a t i o nd i r e c t i o n o ft h eb i f u r e a t e dp e r i o d i cs o l u t i o n sa r eo b t a i n e db ye m p l o y i n gc e n t e rm a n i f o l dr e - d u c t i o na n dn o r m a lf o r mt h e o r y f i n a l l y , s o m en u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r eg i v e nt o i l l u s t r a t et h em a i nr e s u l t s t h e p a p e rc o n s i s t so ft h ef o l l o w i n gs i xp a r t s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h eb a c k g r o u n d ，t h es i g n i f i c a n c ea n dt h ep r o g r e s sf o rt h e s t u d vo nn o n l i n e a rt i m e - d e l a yd y n a m i c a ls y s t e m sa r ep r e s e n t e d t h e n ，t h em a i n w o r ko ft h i sp a p e ri sa l s os i m p l yi n t r o d u c e d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，t h er e l e v a n tk n o w l e d g ei n c l u d i n gb i f u r c a t i o nt h e o r y , c e i l t e rm a n i f b l dt h e o r e ma n dn e u r a ln e t w o r k s ，w h i c hi sn e e d e di nt h es t u d yo ft h i s p r o b l e m ，w i l lb eg i v e n i nd e t a i l i nt h et h i r dc h a p t e r ，w eg i v eaf u l la n a l y s i so fa l le q u i l i b r i at h a tm a ye x i s ti n t h es y s t e m a n dt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o no na b s o l u t es y n c h r o n i z a t i o no ft h es y s t e m t h ef o u r t hc h a p t e ri sd e v o t e dt ot h el i n e a rs t a b i l i t yo ft h es y s t e ma n dt h e c h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o no ft h el i n e a r i z e ds y s t e m i nc h a p t e rf i v e ，w es h o wt h a tt h es y s t e mu n d e r g o e sh o p fb i f u r c a t i o nw h e n t h ec o n n e c t i o ns t r e n g t hqp a s s e sc r i t i c a lv a l u e so ko rq ， f i n a l l y , i nc h a p t e rs i x ，b ym a k i n gu s eo ft h ec o m p u t e r s i m u l a t i o no nm a t l a b ， s o m en u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r eg i v e nt os u p p o r to u rm a i nr e s u l t s k e yw o r d s ：o s c i l l a t o r ；s y n c h r o n i z a t i o n ；e q u i l i b r i a ；s t a b i l i t y ；h o p fb i f u r c a t i o n i 硕士学何论文 插图索引 图1 1 模型( 1 4 ) 的结构图5 图4 17 - = 0 9 时的参数曲线1 8 图6 1 系统( 1 4 ) 的平凡解是渐进稳定的，这里c 1 = 0 4 ，c 2 = 1 1 和q = 1 2 3 2 图6 2 系统( 1 4 ) 出现稳定的同步平衡点，这里c 1 = 0 4 ，c 2 = 1 1 3 2 图6 3 系统( 1 4 ) 在c 1 = 1 5 0 ，c 2 = 0 8 和q = 7 6 9 9 5 处出现周期分支解3 3 图6 4 系统( 1 4 ) 在c 1 = 1 5 0 ，c 2 = 0 8 和q = 2 2 5 6 4 处也出现周期分支解3 4 v 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：易伤午嗍研年如髟日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书。 2 、不保密函。 ( 请在以上相应方框内打“”) 日期少哆年厂月彩e t 日期：o 斫年p 形日 一 石丁陟 椤 舷弋 r 名名签签者师作导 硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 非线性时滞动力系统简介 真实的动力系统几乎都含有各种各样的非线性因素，诸如机械系统中的间隙、 干摩擦，结构系统中的材料弹塑性、构件大变形，控制系统中的元器件饱和特性、 变结构控制策略等。实践中，人们经常试图用线性模型来替代实际的非线性系统， 以求方便地获得其动力学行为的某种逼近。然而，被忽略的非线性因素常常会在 分析和计算中引起无法接受的误差，使得线性逼近成为一场徒劳。特别对于系统 的长时间历程动力学问题，有时即使略去很微弱的非线性因素，也会在分析和计 算中出现本质性的错误。 因此，人们很早就开始关注非线性系统的动力学问题 1 ，2 j 。早期研究可追溯 至u h u y g e n s 对单摆大幅摆动非等时性的观察。从1 9 世纪末起，p o i n c a r 6 、l y a p u n o v 、 b i r k h o f f 、a n d r o n o v 、a r n o l d 和s m a l e 等数学家和力学家相继对非线性动力系统的 理论进行了奠基降研究，d u f f i n g 、v a nd e rp o l 、l o r e n z 、u e d a 等物理学家和工程 师则在实验和数值模拟中获得了许多启示性发现。他们的杰出贡献相辅相成，形 成了分岔、混沌、分形的理论框架，使非线性动力学在2 0 世纪7 0 年代成为一门重 要的前沿学科，并促进了非线性科学的形成和发展。 近2 0 年来，非线性动力学在理论和应用两个方面均取得了很大进展。这促使 越来越多的学者基于非线性动力学观点来思考问题，采用非线性动力学理论和方 法，对工程科学、生命科学、社会科学等领域【3 ，4 ，5 1 中的非线性系统建立数学模型， 预测其长期的动力学行为，揭示内在的规律性，提出改善系统品质的控制策略。一 系列成功的实践使人们认识到：许多过去无法解决的难题源于系统的非线性，而 解决难题的关键在于对问题所呈现的分岔、混沌、分形、孤立子等复杂非线性动 力学现象具有正确的认识和理解。 与此同时，非线性动力学理论和方法正在从低维向高维乃至无穷维发展。伴 随着计算机代数、数值模拟和图形技术的进步，非线性动力学所处理的问题规模 和难度不断提高。已逐步接近实际系统。在工程科学界，以往研究人员对于非线 性问题绕道而行的现象正在发生变化。人们不仅力求深入分析非线性对系统动力 学的影响，使系统和产品的动态设计、加工、运行、与控制满足日益提高的运行速 度和精度需求；而且开始探索利用分岔、混沌等非线性现象造福人类。 分岔和混沌是两个最基本的非线性现象，它们是从动力学的角度去揭示事物 非线性的本质特征，已成为非线性科学研究的极为活跃的主题。然而，近年来同步 也是非线性研究领域兴起的一个热门的课题，而且具有广阔的应用背景f 6 1 0 。随 着非线性动力学的发展，同步的概念和理论也在迅速地发展。同步一词来源于希 腊语，其意义是在时间上一致或相关。同步的研究始于1 6 7 3 年，h u y g e n s ( 惠更斯) 具时滞反馈的双激励耦合振予的动力学研究 发现悬挂在同一横梁上的两个弱耦合的摆钟能达到在相的同步。在此之后，关于 同步的研究主要集中在耦合周期系统的基础上。自从p e c o r a 和c a r r o l i n ，1 2 阐明了 两个耦合的混沌系统能够同步以来，混沌同步引起了众多学者的广泛兴趣。由此 同步已经从周期振子的锁相扩展到了混沌系统的同步【1 3 , 1 4 l ，而且从两个或者三个 系统耦合的同步发展到了复杂网络的同步【1 6 。另外，随着科学技术日益发达，混 沌同步的应用已经渗透到通信、激光、生态系统、神经元系统等各个领域，因此许 多学者致力于这个领域的研究并取得了一些极为重要的结果。特别是随着非线性 科学的深入研究，同步的概念和理论基础曰趋完善，使同步不仅可以在实验上观 察到，而且能从理论上严格地给出实现条件。对于耦合的混沌系统而言，已经发 现了许多不同类型的同步状态，如完全同步或恒等同步【1 1 , 1 2 】、相位同步【1 6 ”1 9 j 、滞 后同步和期望同步【2 1 , 2 2 l 、射影同步【2 2 】、广义同步【2 3 】、阵发性滞后同步f 2 4 】、弱相同 步【2 5 l 和几乎完全同步【2 6 等。 众所周知，动力系统的稳定性理论【2 7 l 是研究耦合系统同步的最基本的理论基 础。一般都是通过研究同步差或者在同步流形处的线性化系统的零解渐进稳定性 给出实现同步的条件。p e c o r a 和c a r r o l 提h 了主稳定性函数判别法【2 8 】，这是一个 适用于对称和非对称耦合系统同步的一般性判别准则。这个准则必须依赖于数值 去计算最大条件l y a p u n o v 指数或f l o q u e n t 乘子。而依赖于构造l y a p u n o v i 函数去判 别同步的方法比较保守，所以一般得到达到同步的耦合强度是较大的。在时滞耦 合出现的情况下，同步差所满足的线性化系统变成无穷维的动力系统。虽然这时计 算所有的l y a p u n o v 指数是不可能的，但是我们可以计算它的极大条件l y a p u n o v 指 数，而同步稳定性是仅依赖于极大条件l y a p u n o v 指数，所以时滞耦合的系统也可 以借助极大条件l y a p u n o v 指数来确定同步问题【2 9 】。除了动力系统的稳定性理论之 外，判断同步还有另外一种应用统计物理的有效方法，比如，可以用互相关函数去 判别完全| 一步、滞后同步和期望同步；用平均相差或频率差能判别相位同步；用 环相差的分布可以研究噪声作用的随机系统的相位同步【1 1 ，1 9 1 。总之，同步的判别 方法已日趋完善，这为我们更好地研究耦合系统的同步提供了坚实的理论基础。 耦合振荡的同步是非线性动力学的一个基本现象它发生在许多物理、通信、 生态和神经系统中并且在振荡的集体行为中扮演着重要的角色。女h b a z h e n o v l 3 0 】研 究了链式抑制性化学突触耦合的混沌h i n d m a r s h r o s e 神经元的集体行为。通过 数值模拟表明，临近的神经元呈现反相的同步，与下一个临近的神经元在相同步， 而且通过被耦合神经元中某个神经元随着耦合强度变化的分岔图可以看出，随着 耦合强度的增加，耦合神经元的规则化也随之提高。他们还把噪声加入耦合强度 中，考虑到噪声对耦合神经元分岔的作用，发现噪声阻止了小尺寸吸引子的出现， 从而降低了系统的多稳定性。又如石霞和陆启韶 3 1 】研究了具有环式结构的电耦合 的h i n d m a r s h r o s e 同步模式。基于在同步流形处的线性化系统，他们利用微分方 程的稳定性理论，给出了达到同步稳定性的个依据。王青云等【3 2 】研究了对称结 一2 一 硕r 上学位论文 构的耦合神经元网络的同步行为，利用动力系统的渐进稳定理论和矩阵理论，得 到了对称耦合神经元网络同步的一个充分条件，而且给出了不同连接方式电耦合 神经元同步的临界值也不同的理论解释。徐健学等【3 3 】给出了电突触耦合与化学突 触耦合单独和联合作用时，两个耦合神经元实现完全同步、反相同步和相位同步 的规则和不规则振荡，及其依赖于耦合强度的转迁。 在大多数的物理和生态系统中，时滞是普遍存在的。由于时滞的出现，使得 有限维的动力系统变为无穷维的系统，从而诱导了更复杂的非线性动力特性，因 此，时滞耦合系统的非线性行为引起了许多学者的关注。鉴于时滞耦合系统的复 杂性，很多学者首先专注于研究两个神经元的时滞系统f 3 4 4 4 1 。而其他学者则专 注于三个或更多神经元的时滞系统，它们显示出更丰富的动力学行为，包括振荡、 波动、稳定性、甚至是混沌【4 5 “5 3 1 。在上述现象中研究最为广泛的就是分支周期 解。例如g o p a l s a i n y 和l e u n g 【5 4 】研究了解析机械装置在一个二元时滞神经系统中 的分支周期解。w e i 和r u a n 4 4 1 分析了具有两个离散时滞的简单神经网络。o l i e n 和b 6 l a i r 5 5 研究了一个具有离散时滞的无反馈二元神经系统的稳定性和h o p f f f f 岔。 另外，还有大量的文章研究两个耦合振子的动力学行为【5 6 , 5 7 】振动神经网络的 主要功能单元就是单振子。一些振子模型把振荡看作是神经元的内在特性，如v a n d e rp o l 模型【5 8 f ，h i n d m a r s h - r o s e 模型【5 9 l ，和h o d g k i n h u x l e y 模型另一种研究 方式则认为振荡的产生是由于神经元群体的相互作用，比如激励群体与抑制群体 之间的相互作用，象w i l s o n - c o w a n 模型【6 1 】，i n t e g r a t e - f i r e 模型【6 2 1 ，和m c g r e g o r 模 型6 3 1 。然而，他们只考虑了神经元之间的连接，而非单个神经网络内部之间的连 接。在本文中，我们将研究由两个单振子模型经过对称性耦合所组成的耦合振子 系统。通过这个耦合振子系统的研究，我们可以看出耦合强度到底是如何影响其 动力学形态的。基于动力学系统的h o p f ：分岔分析，我们还研究了耦合强度在一个 大参数范围变化时系统的动力学行为。 1 2模型的提出 在本文中，单神经元振子模型由两个自治时滞微分方程系统来表示，该系统 描述了激励神经元和抑制神经元的动力学性态。我们分别用e 和，表示激励神经 元和抑制神经元，则该模型可写为： je 俅) = - e ( t ) 一c l f ( i ( t 一7 - ) ) ，、 【j 他) = - i ( t ) + c 2 f ( e ( t 一7 _ ) ) ， 、。 这里c 1 ，c 2 和7 _ 是正常数，：r _ 缺是足够光滑的奇函数，且是有界的信号放大 函数，满足厂7 ( o ) = 1 ( 规范性) 和z ，( z ) o ) 都将指数地趋向于系统俾彰的c o 上的某些解即如果妒u 和珏t ( 垆) u ，t r ，则存在f r ，9 c onu 和7 0 ，使得 让( t ；妒) = u ( t 一云) + o ( e 一7 ) ( t _ ) 在上述定理中，c o 是系统( 2 6 ) 的一个参数化z r m 的c 七中心流形因此，g 具 有和e 。一样的维数，且g 与e 。相切于乱= 0 接下来，我们考虑系统( 2 6 ) 在中心流 行上的约化方程如果妒c onu ，那么接近t = o 时有u t ( 妒) c o 定义 z o = ，z ( t ；z o ) = 于是 毗( 妒) = 圣z ；z o ) + ( z ) ) 通过系统( 2 6 ) ，我们获得如下性质： ( i ) z ( 亡；z o ) 满2 ：m 维非线性微分方程 i 三= b z + a ( z ) 这里a ( z ) = ( o ) f ( ( z ) 十c z ) ( i i ) 映射w 满足 w = 如- + h ( z ) 这里日( z ) = x o f ( w ( z ) + 圣z ) 一圣( o ) f ( ( z ) + c z ) 一1 2 一 ( 2 1 4 ) 硕七学位论文 约化系统( 2 1 4 ) 控制着系统( 2 6 ) 上的中心流形g 。下面的定理将告诉我们系 统( 2 1 4 ) 包含了决定系统( 2 6 ) 的解的渐进行为所必需的所有必要信息。 定理2 3 5 ( i ) 假定盯u = d ，系统俾j 纠的零解是稳定的他渐进稳定的，不稳定 的j ，那么系统俾砂的零解也是稳定的儆渐进稳定的，不稳定的， ( i i ) 系统俾彰的零解也是渐进稳定的令扎( t ；妒) 为系统偿砂一个解细值妒足够小， 那么当亡_ o 。时，存在系统俾j 的一个解z ( t ) ，使得 这里7 是一个正数 仇( 妒) = , b z ( t ) + w ( z ( 亡) ) + 0 ( e 一啊) ， 一1 3 具时滞反馈的双激励耦合振子的动力学研究 第3 章系统的绝对同步及平衡点类型 3 1系统的绝对同步 在下面的讨论中，我们将考虑系统( 1 4 ) 的绝对同步，即对于任意固定的非负 时滞7 ，系统( 1 4 ) 的每一个解都满足： 1 i mf e l ( t ) 一e 2 ( ) i = 0 + o o 和 。l i m1 1 1 ( t ) 一如( t ) i = 0 o o 定理3 1 1 ：如果- - c l + c 2 + 2 a 2 ，那么对于任意给定的时滞7 - ，系统一是绝对同 步的 证明令可( 亡) = e l ( t ) 一易( ) ；z ( t ) = 厶( ) 一厶( 亡) ，则根据系统( 1 4 ) ，对于所有 的t 0 ， f j ( t ) = - y ( t ) 一c l f ( i i ( t 一7 ) ) 一f ( 1 2 ( t 一7 - ) ) 】一a f ( e l ( t 一7 ) ) 一f ( e 2 ( t 一7 - ) ) 】 = - y ( t ) 一c l p 2 ( t ) z ( t 一7 ) 一a p l ( t ) y ( t 一7 ) ， 之 ) = - z ( t ) + c 2 f ( e l ( t 一丁) ) 一，( 易( t 一7 - ) ) 】 = - z ( t ) + c 2 p l ( t ) y ( t 一丁) ， 一 这里 p l ( t ) = 詹f ( s e l ( t 一丁) + ( 1 一s ) 易(