（应用数学专业论文）关于多元切触插值问题的研究.pdf

摘要 内容摘要：插值问题是一个十分经典的数学问题，同时它也是计算数 学中的一个基本问题一元插值的理论与方法现如今已基本上臻于完 善，八十年代起，插值问题研究的重点开始转向多元插值主要原因是 多元插值在多元的函数的列表、曲面外形设计和有限元法等诸多领 域有着广泛的应用同时，由于近年来代数几何理论与方法的不断发 展和完善，又为多元插值问题的进一步研究提供了强有力的理论依据 和全新的研究方法本文共分为四章；第一章介绍了有关多元插值的 基本理论和方法第二章阐述了有关多元l a g r a n g e 插值和多元切触插 值的近期主要结果9 第三章我们主要研究了二维单纯形上的插值问 题：第四章给出了一种构造球面上l a g r a n g e 插值适定结点组的添加圆 周法，并利用这些方法，并给出构造球面上l a g r a n g e 插值多项式的一 种具体算法最后，给出了一种球面分片插值和它的误差估计 关键词：l s g r a n g e 插值，切触插值，插值空间维数，代数曲线曲面， b e z o u t 定理 a b s tr a c t c o n t e n t ：i n t e r p o l a t i o ni sav e r yc l a s s i cp r o b l e mo fm a t h e m a t i c sa n d a l s oab a s i cp r o b l e mi nc o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s i ti sw e l lk n o w n t h a tu n i v a r i a t ei n t e r p o l a t i o nh a sav e r yw e l ld e v e l o p e dt h e o r ya n d m e t h o d h o w e v e r ，s i n c e1 9 8 0 s ，p e o p l ec o m et ot u r nt h er e s e a r c ho f i n t e r p o l a t i o no nm u l t i v a r i a t ei n t e r p o l a t i o n ，t h er e a s o ni st h a tm u l t i - v a r i a t ei n t e r p o l a t i o nh a saw i d e s p r e a da p p l i c a t i o ni nm a n yf i e l d s ，s u c h a ss u r f a c e sd e s i g n ，m u l t i v a r i a t ef u n c t i o na r r a n g ef i g u r e sa n df i n i t ee l e - m e n tm e t h o d a tt h es a r n et i m e ，s i n c et h ea l g e b r a i cg e o m e t r yt h e o r y a n dm e t h o dd u r i n gt h ep a s tf e wy e a r sh a v eu n c e a s i n g l yd e v e l o p e da n d i m p r o v e d ，w eh a v ef o r c e f u lt h e o r yb a s i sa n dn e wm e t h o dt of u r t h e rr e - s e a r c ht h ep r o b l e mo fm u l t i v a r i a t ei n t e r p o l a t i o n i nt h i sp a p e r ，t h e r e a r ef o u rs e c t i o n s i nt h ef i r s ts e c t i o n ，w ei n t r o d u c et h eb a s i ct h e o r y i n t h es e c o n ds e c t i o n ，w eg i v eo u tt h er e c e n tm a i nr e s u l t so fm u l t i v a r i a t e l a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n i nt h et h i r ds e c t i o n ，w em a i n l yd e a l sw i t ht h e r e l a t e dp r o b l e m so fa p p r o a c h i n gt h et w i c ec o n t i n u o u s - d i f f e r e n t i a lf u n c t i o no ns i m p l e xi n t e g r a t i o n sw i t ht h eb i n a r yq u a d r a t i cp o l y n o m i a l i n t h ef o u rs e c t i o n ，w eg i v eak i n do fm e t h o do fc o n s t r u c t i o nm e t h o d ，w e s t i l lg i v ea l la l o g r i t h mf o rc o m p u t i n gl a g r a n g ei n t e r p o l a t i o np o l y n o - m i a lo ns p h e r e a n dw og i v ea p i e c e w i s ei n t e r p o l a t i o np o l y n o m i a lo n s p h e r ea n di t se r r o re s t i m a t e k e yw o r d s ：l a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n ；o s c u l a t o r yi n t e r p o l a t i o n ；d i - m e n s i o no fi n t e r p o l a t i o n ；a l g e b r a i cc u r v ea n ds u r f a c e ；b e z o u t st h e - o r e m 1 1 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果论文中除特别 加以标注和致谢的地方外，小包含其他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同 志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均己在论文中做出了明确的声明并表示谢意 一虢彩岳簪日期：泐l ff ， 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权辽宁师 范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或其他复制手段保存、汇编学位论文保密的论文在解密后使用本授权书 学位论文作者船易密詹雌甏 静、易 沁霉 r 砂 关于多元切触插值问题的研究 1引言 关于多元插值格式的研究 插值问题是计算数学中的一个基本问题，同时它也是一个十分经典的数学问 题插值概念最早是在公元5 4 4 6 1 0 年间由我国隋朝数学家刘焯首先提出的，这比 西欧学者在1 6 5 5 年发表相应的结果早一千多年对于单变元插值问题而言，由于 其长期的不断发展与完善，有关插值理论与方法已基本臻于完善但多变元插值 却是近年来一个较新的研究主题，特别是近二十年来，随着多元插值在解决实际 问题和其它相关学科理论研究中的广泛应用( 比如，数值分析与逼近，多元样条， 曲面的拼接技术和有限元法等) ，使得有关多元插值理论及其插值格式构造问题 的研究越来越受到人们的关注，尤其是在多元多项式插值理论及其方法的研究方 面，取得了许多新的结果本章中，我们就近年来有关多元多项式插值问题较新 的研究结果加以总结与评述 多元插值是计算数学中一个重要的研究方向，特别是有关多元多项式插值的 理论和方法的研究，在近二十年中得到了迅速的发展，主要原因是它在多元函数 的列表，曲面的外形设计和有限元法中有着广泛的应用同时，由于近年来代 数几何理论与方法的不断发展和完善，又为多元插值问题的进一步研究提供了 强有力的理论依据和全新的研究方法多元多项式插值与一元多项式插值的本 质区别就在于前者定义域的多维性以及多元多项式在多为区域上所表现出的更 加复杂的性质，由此导致了再进行多元多项式插值时，即便插值结点数等于插 值空间的维数，也未必能保证多元插值多项式存在唯一性的问题，也就是多元 插值的适定性问题目前，国内外对于这一问题的研究大体上有两种方法：方法 一就是针对给定的插值多项式空间，去构造出适定的插值结点组，也就是构造出 是插值多项式唯一存在的插值结点组；方法二是针对给定的插值结点组，去构 造适定的插值多项式空间，使其在给定的插值结点组上是适定的，并且这个多 项式空间是在这个给定的结点组上插值适定的所有多项式守间中次数最低者， 这样才能更有利于提高插值多项式的代数精度国外一些学者，比如：d e b o o r ， r o n 和t s a u e r 等人都对方法二进行了研究，而我们则一直致力于方法一的研究 1 9 6 5 年，梁学章教授首次把多元l a g r a n g e 插值适定性问题转化为一个几何 问题，从而使得我们可以借助于代数几何的方法来研究多元多项式插值适定点组 的理论问题及构造方法，他同时还给出了构造r 2 中插值适定结点组的添加直线 法和添加圆锥曲线法，但由于当时文章发表于中文期刊上，故国外学者未能了解 到这一结果直蛰j 1 9 7 7 年，c h u n g 和y - 肋以及1 9 8 2 年m g a s c a t j - 给出了类似的构造 1 关于多元切触插值问题的研究 方法1 9 9 8 年，为了进一步研究r 2 中的l a g r a n g e 插值问题，梁学章和吕春梅又提 出了沿平面代数曲线插值的基本概念，并给出了利用直线与一个任意k 次代数曲 线相交来构造沿平面代数曲线插值适定结点组的方法，同时，梁和吕有对著名的 多元k e r g h l 插值多项式的收敛性问题进行了研究，给出了网域，l k e r g i n 插值算子 及其微商对于光滑被插函数的一致收敛性和积分收敛性的结果 2 关于多元切触插值问题的研究 1 1 多元多项式插值的基本概念 插值问题最一般的提法是：对于一个给定的赋范线性空间y ，一个y 的有限 线性子空间y ，有界泛函的一个有限集厂= ) 器1 和一个实数集【q 吕1 寻找 一个y 中元素p v ，使之满足： f q 尸= q ，q = 1 ，m( 1 1 ) 如果对于每一个任意给定的实数集【q 凳1 ，方程( 1 1 ) 总有唯一解，则称该插值问 题是正则的( r e g u l a r ) 否则，称该插值问题是奇异的( s i n g u l a r ) 显然，要使一个插 值问题是正则的，就必须有 d i mv = m ( 1 2 ) 在通常情况下，实数值q 是由泛函足作用于y 中一个元素，而得到，即 q = 局，q = l ，m( 1 3 ) 设圣= s 加几【日) 凳l ，则圣是y 的对偶空间y 的一个m 维子空间插值问 题( 1 3 ) 的对偶问题等价于：给定，y ，寻找一个p v ，使得对任何f 圣，有 f p = f l( 1 4 ) 上述情形的一个典型的例子就是我们通常所称之的古典h e r m i t e 插值。为了描述 它，我们下面先引入一些相关的记号设 z = ( z l ，z d ) ，z r d ，歹= 0 l ，j d ) ，j 喇，z j = 霹1 z 字眵j = 歹1 + + j d 。 用 蟛= g j 夕b n 8 ，z 一，q r ) ( 1 5 ) i j l 凳1 和非负整 数k l ，克。，使得 其中 为微分算子 b o ，= d 。( z q ) ，0 i q i 七q ，1 q m ( 1 6 ) 一燕， 3 关于多元切触插值问题的研究 由于d h p 妒= ( d ：n ) ，并且在白处被插值的偏导数c 包括函数值，的个 数为( d 乞b ) ，则要求下式成立 ( d 之n ) = 喜( d 之后9 ) c 1 7 ， 古典h e r m i t e 插值或称为全次数h e r m i t e 插值问题的提法如下：对于一些给定 值g 印寻找一个多项式p 蟛) ，使之满足 d 。p ( z 。) = q 。，0 i 口i k 。，1 q m( 1 8 ) 如果所有七口= 0 ，则我们得到l a g r a n g e 插值问题：寻找一个多项式p p g ) ，使 得： p ( z q ) = q ，1 q m( 1 9 ) 其中m ：d i m p 乎) 1 2 二元多项式插值 通过前面的讨论与分析，我们知道在进行多元多项式插值时必须首先解决插 值的正则性问题首先我们关注的问题是，确认具有什么性质的结点组能够作成 关于给定的插值多项式空间是正则的插值结点组 在这方面首先应该提到的是梁学章教授于1 9 6 5 年将二元l a g r a n g e 插值的正 则性问题转化为一个几何问题，从而使得我们可以应用代数几何的方法构造出二 元多项式空间的一系列插值适定结点组 j 9 定义1 1 设a = q i ) 警1 ( e 。= ( ”：。) ) 是r 2 中的e 。个相异点对于一个 z 任意给定的实数组 ) 整1 ，寻找一个多项式p ( z ，夕) 蟛) ，使之满足如下插值条 件： p ( q ) = ，i = 1 ， ( 1 1 0 ) 如果对于每一个任意给定的实数组 ) 整。，方程组( 1 1 0 ) 总存在唯一一组解，则我 们称该插值问题是适定插值问题( 或称该插值问题是适定的) ，并称相应的插值 结点组a = q i ) 罂。为关于多项式空间群j 的一个插值适定结点组 由定义1 1 和前面所述插值的正则性可知，插值的适定性和插值的正则性实 际上是同一个概念的两种不同提法 4 关于多元切触插值问题的研究 定理1 1如果a = q i ) 罂1 是p 孥j 的一个插值适定结点组，并且a 中没 有任何点位于一个詹次不可约代数曲线9 ( z ，y ) = o _ k ( 后= 1 ，2 ， 惫= 1 意味 着q ( x ，掣) = o 为直线：惫= 2 意味着q ( x ，可) = 0 为圆锥曲线) 则在曲线q ( z ，可) = 0 上任取( n4 - 3 ) k 1 个点- q a = q i ) 整l 一起必定构成关于p 罂七的一个插值适定 结点组 由定理1 1 ，我们得到了构造p ( 2 ) 的某一子空间插值适定结点组的添加直线 法( 南= 1 ) 和添加圆锥曲线法( 七= 2 ) 由于r 2 中任一点均可以构成关于蟛的插 值适定结点组，因此，从其出发，反复应用定理1 1 ，我们便可得n i l , ( 2 ) 中任意一 个子空间的插值适定结点组 为了进一步研究二元l 呼a n g e 插值适定结点组的几何结构及特征，1 9 9 8 年， 梁和吕在文献 9 】中进一步提出了沿平面代数曲线进行二元l a g r a n g e 插值的基 本概念，并将定理中所给出的构造二元l a g r a n g e 插值适定结点组的添加直线 法( 后= 1 ) 和添加圆锥曲线法( 七= 2 ) 推广到了添加任意次( 忌3 ) 代数曲线的情 形 定义1 2 设七为自然数，e 。( 七) 定义如下： “啦) _ ( = ；蒜芏舞鬟n 假定q ( z ，夕) = 0 是一个后次无重复分量代数曲线( 我们称代数曲线口( z ，y ) = 0 为无重复分量代数曲线，如果在多项式o ( z ，可) 的分解式中没有重数2 的重因 子) ，并且层= q i ) 凳子为曲线g ( z ，y ) = 0 上的e 。( 七) 个相异点对于一个任意给 定的实数组【 ) 罂，寻找一个多项式p ( z ，可) p g ，使之满足如下插值条件： p ( q i ) = ，i = 1 ，( 七) ( 1 1 2 ) 如果对于每一个任意给定的实数组 ) 整，方程组( 1 1 2 ) 总存在一组解，则称结 点组8 = q ) 整垆为沿七次无重复分量代数曲线g ( z ，y ) = 0 的n 次插值适定结 点组，并简记为b 砰( g ) ( 这里砰( 口) 代表所有沿平面代数曲线g ( z ，y ) = 0 上 的几次插值适定结点组的集合) 定理1 2 假设一个后次无重复分量代数曲线g ( z ，y ) = 0 和一个直线f ( z ，y ) = 0 相交于后个相异点，记为c = ( q 0 垒1 如果召= 【q i 罂# ) 牌( 口) ( n 七一2 ) 并且bnc = o 则有： 1 3 u c 删1 ( g ) 此定理可以解释为构造沿平面代数曲线插值适定结点组的添加直线法 5 关于多元切触插值问题的研究 定理1 3设点组a = q i 警，是哗的插值适定结点组，并且a 中没有任 何点位于k 次无重复分量代数曲线g ( z ，y ) = 0 1 对于任何d i n n ( 2 + ) ( g ) 的适定结 点组d ，则刃ua 必定构成p 翌。的插值适定结点组 此定理可以解释为构造二元多项式空间插值适定结点组的添加代数曲线法 而且从定理1 2 和定理1 3 可知，定理1 1 中所给出的构造插值适定结点组的添加直 线法和添加圆锥曲线法就是定理1 ，3 中当k = 1 和k = 2 时的特例 对于二元坐标次h e r m i t e 插值，如果关于z 插值直到七】阶的全部偏导数，关 于y 插值直到七2 阶的全部偏导数( 这时插值空间为p ：引) ，则必有 ( 扎l + 1 ) ( m + 1 ) = m ( k l + 1 ) ( 是2 + 1 )( 1 1 3 ) 成立 1 9 9 2 年，r a l o r e n t z 研究了二元坐标次一致h e r m i t e 插值的几乎处处正则性 问题，他得到了如下结论： 定理1 4 在( 1 1 3 ) 式成立的条件下，并且如果k 1 + 1 整除n l + l 或者k 2 + 1 整除佗2 + 1 ，则在空间p 一中关于z 直到后l 阶全部偏导数，关于y 直到后2 阶全 部偏导数的二元坐标次二致h e r m i t e 插值是几乎处处正则的 定理1 5 在( 1 1 3 ) 式成立的条件下，除了k l = 1 和k 2 = 2 或者南i = 2 和k 2 = 1 这两种情况外，则当0 i | c l ，七2 2 和0 七1 礼1 ，0 k 2 r t 2 时在空 间p ：引中关于z 直到惫1 阶全部偏导数，关于y 直到七2 阶全部偏导数的二元坐 标次一致h e r m i t e 插值是几乎处处正则的，而当七1 = 1 和k 2 = 2 时对于空间p ：j 3 、 或者后1 = 2 和k 2 = 1 时对于空间p 、的h e r m i t e 插值是奇异的 我们指出，定理1 4 并非定理1 ，5 的特例，或者说定理1 5 并非全部包含定理1 4 比如，在空间p ：名、中在8 个结点处关于z 插值所有1 阶偏导数，而关于y 插值所 有2 阶偏导数的h e r m i t e 插值由定理1 5 知它是几乎处处正则的，但是由于2 不能整 除9 同时3 也不能整除4 ，故此定理1 4 不能使用 对于二元非一致h e r m i t e 插值。r a l o r e n t z 指出： 定理1 6 对于空间p 昆m ) 中在z q 处关于z 直到全部b 1 阶偏导数关于暑，直 到七。2 阶全部偏导数的一个二元坐标次h e r m i t e 插值问题，如果矩形( o ，n 1 + 1 ) ( 0 ，r t 2 + 1 ) 是矩形( o ，k q 1 + 1 ) ( 0 ，k q 2 + 1 ) ，q = 1 ，m 的不相交的并，则该插 值问题是几乎处处正则的 但该定理在d 3 的r d 空间中不再成立 6 关于多元切触插值问题的研究 1 3插值格式 这一节，我们介绍几种目前十分流行的多元多项式插值格式的构造方法，并 且这些插值格式都可以用显示形式表示出来 1 9 7 7 年，c h u n g $ 1 y a o 在文献 7 】中证明，若一个点集满足o c ( g e o m e t r i cc h a r - a z t e r i z a t i o n ) 条件，则在这个结点集上的l a g r a n g e 插值是正则的后来，g a s c a 和m a e z t u s 在 1 1 】中将这一方法应用于h e r m i t e 插值问题中，得到了一种构 造h e r m i t e 插值格式的方法 定义1 3 一个由m ( m = d i m p ) 个点所构成的结点集z = z 1 ，z 。) c r d 称之为满足g c 条件，如果对每一个结点白，存在r t 个超平面域1 ，峨m 使 得 ( ) 不位于任何一个超平面上； ( b ) 所有除知点之外的其余结点至少位于其中一个超平面上 满足g c 条件的结点集称之为一个自然网格一个结点集如果是一个自然网 格，则其所对应的l a g r a n g e 插值是正则的这是由于函数 是l a g r a n g e 插值基函数，其中风iz ) = 0 是满足g c 条件中的超平面方程t s a u e r 和y x u 在【7 】中给出一种构造r 2 中自然网格的一个非常好的例子这个 方法就是在一个单位圆周上取等距分布的2 7 i + 1 个点，然后分别用直线连接 这2 r + 1 个点中的钿和z q + ，点，其中当q + r 超过2 7 _ + 1 时，则以z q 一，一1 点取代z g + ， 点用z ( r ) 表示这些直线的交点和在圆周上所取的2 7 + 1 个点的集合则他们证 明： 定理1 7 上述得到的结点集z ( r ) 准确地含有r ( 2 r + 1 ) = d i m p 裂】个点，并 且z ( 7 ) 是一个自然网格，则在z ( ) 上的l a 留a n g e 插值关于空间p ：翌1 是正则的 文献【7 】中还给出了一种叫做扎阶束网格构造插值适定结点组的方法首先 我们回顾一下r d 中一个亿阶束的概念，它是在一个余维数为2 的仿射子空间内 全部相交或全部平行的n + 1 个超平面簇一束超平面只相交( 在射影意义下) 一 个点，这个点称之为这个束的中心考虑r d 中n 阶d + 1 个束，它们的中心分别 为g 1 ，q ，q + l 且不含在d 一维射影空间的一个超平面上在这d + 1 个束上 存在f n + d1 个结点组构成蟛的插值适定结点组这个点组在【1 6 】中被称之为 d 一个n 阶d + 1 柬网格 1 9 8 2 年，g a l s c 棚m a e z t u 在文献【1 1 】中给出了一种更为有效的构造l a g r a x i g e 插 值格式的方法。设有n + 1 条相异直线2 iz ) = 0 ，i = 0 ，n 对每一条直线2 i ，我 们构造一组直线b ，j = 0 ，r ( i ) ，使得这组直线中的每一条均与岛恰交于一个 7 盟风瓦堕飓 = 力张 关于多元切触插值问题的研究 , f i , , z i j ，并设这些交点的集合为 z = 磊j l o j r ( i ) ，0 i n ) ( 1 1 4 ) 定义插值空i ；- v 如下：设 p o ，o ( z ) = 1 ， r j ( z ) = o 0 z o ，j 一1 ( z ) ，1 j 7 ( o ) 只，o ( z ) = f 0 l i - 1 ( z ) ，1 i n p i j ( z ) = l o l i - 1 ( z ) 如，0 ，l i d 一1 ( z ) ， 1 j 7 0 ) ，1 i n v = 5 p n n 只j 10 j r 0 ) ，0 i n ) ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) ( 1 1 9 ) 定理1 8 在( 1 1 9 ) 式给出的空间y 中关于( 1 1 4 ) 的结点集z 的l a g r a n g e 插值 是正则的 比较定理1 8 和c h u n g 与1 的结果，g a s c a 和m a e z t u 给出如下猜想： 猜想设z 是r 2 中的一个自然网格，则满足g c 条件的直线组中有一条直线 恰好通过结点集z 中的几十1 个点 我们指出，该猜想是正确的，因为它恰好可以由定理1 1 中所给出的构造r 2 中插值适定结点组的添加直线法而得到并且从z 中去掉这佗+ 1 个点，我们就 得n z 的一个子结点集z o ) ，它对于空间皑1 满足g c 条件，继续做下去的话，则 就会得出如下结论：任何一个自然网格都是上述g a s c a 牙i j m a e z t u 构造方法的特例 g a s c a 和m a e z t u 对上述构造l a g r & n g e 插值结点集的方法中的n + 1 条直线相 异这个条件修改为允许有重复的直线存在，则得到了构造h e r m i t e 插值格式的方 法 设t i 是垂直于k 的直线0 = 1 ，他) ，并且是垂直于k 的直线0 = 0 ， 7 ( i ) ) 定义a i ，b i 和q j 如下： f a 4 = | i 6 i ：f 【 0 ，歹= 0 ( 1 2 0 ) 在 f o ，2 i 一1 ) 中与k 重合的直线条数， 1 i n 、7 0 在【1 0 ，l i - 1 ) 中通过点磊j 的直线条数， i = 1 1si n ，j = o 1 j 7 ( i ) ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) 数条线直的 缸 8 点立。毗0 通 中。卜叶1o “ 在 ，j 1 l = 关于多元切触插值问题的研究 插值泛函定义为 d 巧，= d 孑d 等。幻，( 么j ) ，1 i n ，1 歹7 - ( i ) ( 1 2 3 ) 这里d 。，是，沿方向的方向导数 定理1 9 以( 1 1 5 ) 式定义的多项式所张成的空间作为插值空间并以( 1 2 3 ) 式 为插值泛函的h e r m i t e 插值是正则的 9 关于多元切触插值问题的研究 2 预备知识 关于二元多项式空间l a g r a , n g e 插值适定性问题的研究首创于梁学章教授，他 将多元插值的适定性问题转化为一个几何问题，从而使得我们可以应用代数几 何中的一一些理论和方法给出二元多项式空间中插值适定结点组的存在性理论及 相应的递归构造方法1 9 9 8 年，梁学章和吕春梅在文献9 1 中以代数几何中的有 关理论为基础，进一步讨论了沿无重复分量平面代数曲线上的l a g r a a a g e 插值问 题崔利宏进一步对梁学章和吕春梅等人所创立的有关构造沿平面代数曲线上 的2 5 ；元l a g r a n g e 插值适定结点组的理论及方法做更加深入的研究和探讨，引入了 弱g r s b n e r 基这一新的数学概念同时使用代数几何中著名的c a y l e y - b a c h a 工a c h 定 理的结论，给出了构造沿无重复分量代数曲线插值适定结点组的一系列新的构造 方法，所得结论推广了梁学章等人在文献f 1 2 1 和f 1 3 1 中所得到的主要结果 2 1沿平面代数曲线插值问题 梁学章给出t - 元l a g r a , n g e 插值适定结点组的如下定义和定理： 定义2 1 设4 = ( q i ) 譬l ( 本文中我们总以a ，b ，c 等代表点组，但同一字母 在不同的地方所代表的点组未必相同) 是r 2 中的个相异点对于一个任意给 定的实数组 ) 警1 ，寻找一个多项式p ( z ，可) p 穿，使之满足如下插值条件： p ( q i ) = ，i = 1 ，e 。 如果对于每一个任意给定的实数组 ) 罂l ，方程组( 1 ) 总存在唯一一组解，则我们 称该插值问题是适定插值问题( 或称该插值问题是适定的) ，并称相应的插值结 点组 定理2 1平面上的一个结点组么= q i 整】能够做成关于衅j 的插值适 定结点组的充要条件是a = 【q j 整1 不落在p g 中任何一条代数曲线上( 我们 称p ( z ，y ) = o 为耐j 中的代数曲线，如果p ( z ，y ) p g j 并且p ( z ，y ) o ) 定理2 2 如果a = 【q i ) 罂】是p g 中的一个插值适定结点组，并且a 中 没有任何点位于一个后次不可约代数曲线口( z ，y ) = o 上( 七= 1 ，2 ，南= 1 意味 着g ( z ，y ) = o 为直线；k = 2 意味着q ( x ，y ) = o 为圆锥曲线) 则在曲线g ( z ，y ) = o 上 任取( n + 3 ) 七一1 个点与以= q 0 罂1 一起必定构成关于p 罂 的一个插值适定结点 组 了进一步研究二元l a g r a n g e 插值适定结点组的几何结构及特征，1 9 9 8 年， 梁和吕在文献 1 2 】中进一步提出了沿平面代数曲线进行l a g r a n g e 插值的基本 概念，并将定理2 2 中所给出的构造二元l a g r a n g e 插值适定结点组的添加直线 1 0 关于多元切触插值问题的研究 法( 七= 1 ) 和添加圆锥曲线法( 后= 2 ) 推广到了添加任意次( 七3 ) 平面代数曲线的 情形 定义2 2 设七为自然数，e n ( 矗) 定义如下： e 。c 惫，= ( n 妄2 ) 一( n + ；一壳) = | 蔽未? 二最n n k 后c 2 ， 假定g ( z ，y ) = o 是一个奄次无重复分量代数曲线( 我们称代数曲线n ( z ，y ) = o 为 无重复分量代数曲线，如果在多项式a ( x ，夕) 的分解式中没有重数2 的重因子) ， 并且b = q i ) 羔r 为曲线g ( z ，夕) = o 上的e 。( 七) 个相异点对于一个任意给定的实 数组 ) 罂于，寻找一个多项式p ( z ，可) p 窘) ，使之满足如下插值条件： p ( q i ) = 五，i = l ，e 。( 七) 定义2 3如果对于每一个任意给定的实数组 ) 銎r ，方程组( 3 ) 总存在一 组解，则称结点组召= q i 警y 为沿七次无重复分量代数曲线9 ( z ，y ) = o 的几次 插值适定结点组，并简记为1 3 群( 口) ( 这里彤( 口) 代表所有沿平面代数曲 线q ( x ，y ) = 0 上的n 次插值适定结点组的集合) 定义2 2 中条件：如果对于每一个任意给定的实数组 警，方程组( 3 ) 总存 在一组解( 即总有满足插值条件p ( q i ) = ，i = 1 ，e 。( 惫) 的插值多项式存 在) 可以由条件：如果存在多项式p ( x ，y ) 蟛满足零插值条件p ( q i ) = 0 ，i = 1 ，e 。( 后) ，蕴含沿代数曲线q ( x ，y ) = o 恒有p ( z ，y ) 兰。而取代 定理2 3 假设一个k 次无重复分量代数曲线q ( z ，y ) = o 和一个直线f ( z ，y ) = o 恰相交于七个相异点，记为c = q i ) 冬1 如果日= q i ) 墨r 群( q ) ( 竹七一2 ) 并 且召nc = o 则有： b u c i 死n ( z + 1 ( q ) 此定理可以解释为构造沿平面代数曲线插值适定结点组的添加直线法 定理2 4设点组a = q i ) 墨】是畔j 的插值适定结点组，如果a 中没有任 何点位于k 次无重复分量代数曲线q ( z ，y ) = o 上并且d i n z ) ( 口) ，则dua 构 成咄。的插值适定结点组 此定理可以解释为构造二元多项式空间插值适定结点组的添加平面代数曲 线法而且从定理2 3 和定理2 4 可知，定理2 2 中所给出的构造插值适定结点组的 添加直线法和添加圆锥曲线法就是定理2 4 中当k = 1 和七= 2 时的特例 定义2 4假设点组召= q t ) 警r 为惫次无重复分量代数曲线口( z ，y ) = o 上 的( 七) 个相异点，则b 群( q ) 的充要条件是：对任何满足零插值条件 p ( q i ) = 0 ，i = l ，e n ( 七) 1 1 关于多元切触插值问题的研究 的多项式p ( z ，y ) p 2 ) ，均存在如下形式的分解： p ( x ，y ) = q ( z ，y ) r ( x ，y ) 其中，当n 七时7 ( z ，y ) 皑七；而当几 七时，r ( z ，y ) 三0 崔利宏在文献 1 】给出了如下结论： 定义2 5 褒j g r s b n e r 基) 假设p l k x l ，z 。】，i = 1 ，m ，d e g p i = 如且，= 如果对于每一个多项式p in 衅，我们总能找到多 项式啦k x l ，z 。】0 = 1 ，m ) ，使得 m p = q 以 i = 1 成立，并_ 且d e g a i n 一如( i = 1 ，m ) 则我们称多项式集合伽1 一，p 。) 是关 于，= 的弱g r 6 b n e r 基 定理2 5 假设一个k 次无重复分量代数曲线q ( x ，y ) = o 和一个f 次代数曲 线p ( x ，y ) = o 恰相交于踉个相异点c = q i ) 您1 ，而 p ，g 是关于理想，= 的 写i g r s b n e r 基，b 群( g ) ( n k 一2 ) nbnc = d 则我f f 有 召u c i 。n ( + z ( g ) 定理2 6假设一个七次无重复分量代数曲线q ( z ，y ) = o 和一个1 次代数曲 线p ( z ，y ) = o 恰相交于撂个相异点e = q 丝l ，而和，g 是关于理想i = 的 弱g r 曲n e r 基，b 群( q ) ( n k 一2 ) 且b n e = 0 则我们有 b u c 璎j ( 口) 定理2 7 ( ca y l e y b a c h a r a c h 定理) 设m ，n 和r 均为自然数，3 7 m 讥 m ，n h 2 m 次代数曲线p ( z ，y ) = o 与死次代数曲线q ( x ，y ) = o 恰相交于m n 个相异点如 果厂( z ，y ) p 翳n - - f 且曲线，( z ，y ) = o 通过这m 礼个交点中的m 佗一 ( r 一1 ) ( 7 - 2 ) 个 点，则它必定通过余下的；( r 一1 ) ( r 一2 ) 个点，除非这；( 7 一1 ) ( 7 一2 ) 个点位于一 条7 _ 一3 次代数曲线上 定理2 8 令 o ) ：p 婴：p 翌：p 翌：，表示零多项式所构成的空间，并 认为它们所对应的插值适定结点组为空集设行z 和诧均为自然数，m n ，口为整数 且满足盯1 一m 又设m 次代数曲线p ( x ，y ) = o 与n 次代数曲线q ( x ，y ) = o 恰相交 于m n 个相异点4 = q 0 驾，而召4 为空间p 翌的插值适定结点组则有： ( 1 ) 若c 1 是沿曲线p ( x ，y ) = o 的 l + 仃一3 次插值适定结点组，且c 1na = 0 ， 则c 1u ( a 召) 必定构成沿曲线p ( x ，y ) = o 的m + 几+ o r 一3 次插值适定结点组； ( 2 ) 若c 2 是沿曲线q ( x ，y ) = o l i n + 口一3 次插值适定结点组，且岛na = 9 ， 则c 2u ( a b ) 必定构成沿曲线口( z ，y ) = o 的m + n + 盯一3 次插值适定结点组 1 2 关于多元切触插值问题的研究 在此定理叙述中，当m + 盯一3 0 时，我们认为空集( 且只有空集) 是沿给 定代数曲线的m + 盯一3 次插值适定结点组 2 2 多元切触插值的基本概念和方法 多元多项式捅值中最有意义的就是多元多项式切触插值，它是利用给定的插 值泛函组( 就是给定插值结点的同时再指定在若干个插值结点处的方向导数的 方向一也就是给定一个微分算子) 和一个多元函数，要求构造出一个多元多项式 函数来近似地表示这个